高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算二学案苏教版选修1_22
2017_2018版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3_2复数的四则运算一学案苏教版选修1_2
3.2 复数的四则运算（一）学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.理解共轭复数的概念及应用．知识点一复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．思考1 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？思考2 复数的加法满足交换律和结合律吗？1．复数的加法、减法法则(1)条件：z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(其中a，b，c，d均为实数)．(2)加法法则：z1＋z2＝__________________，减法法则：z1－z2＝__________________.2．运算律(1)交换律：z1＋z2＝____________.(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝________________.知识点二复数的乘法思考如何规定两个复数相乘？1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝____________________. 2．乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝__________结合律(z1z2)z3＝__________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝____________知识点三共轭复数思考复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积．1．定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，即复数z＝a＋b i的共轭复数是z＝____________.2．关系：若z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数⇔________________ 3．当复数z＝a＋b i的虚部b＝0时，z＝z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身．类型一复数的加减法运算例1 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.反思与感悟(1)复数的加减法可以推广到多个复数连续加减．(2)把i看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项．跟踪训练1 (1)计算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)．(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.类型二 复数的乘法运算例2 (1)若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m ＝________.(2)若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．第(2)题利用复数相等条件求a ，b .(2)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．跟踪训练 2 (1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部分别为________．(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)＝________. 类型三 共轭复数例3 复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数．反思与感悟 (1)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键．(2)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z＝a＋b i，则z·z＝a2＋b2，②z∈R⇔z＝z.跟踪训练3 若把例题中复数z满足的条件改为“3z＋(z－2)i＝2z－(1＋z)i”，试求复数z.1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝____________.2．复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则z·z－z－1＝________.3．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－y i(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝____________. 4．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)．1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．3．理解共轭复数的性质：(1)z∈R⇔z＝z.(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋b i)(a－b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．答案精析问题导学知识点一思考1 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.思考2 满足．1．(2)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i2．(1)z 2＋z 1 (2)z 1＋(z 2＋z 3)知识点二思考 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i 2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i2．z 2z 1 z 1(z 2z 3) z 1z 2＋z 1z 3知识点三思考 两复数实部相等，虚部互为相反数；z 1·z 2＝a 2＋b 2，积为实数．1．a －b i2．a ＝c 且b ＝－d .题型探究例1 解 z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.跟踪训练1 解 (1)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 011－2 012)i ＝1 006－1 007i.(2)由z ＋1－3i ＝5－2i ，得z ＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i ＝4＋i. 例2 (1)－1 (2)4解析 (1)∵(m 2＋i)(1＋m i)＝m 2－m ＋(m 3＋1)i ， 又∵(m 2＋1)(1＋m i)是实数，∴m 3＋1＝0，则m ＝－1.(2)∵a ＋b i ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，∴a ＝1，b ＝3.∴a ＋b ＝4.跟踪训练2 (1)1，－2 (2)－3＋12＋1－32i 解析 (1)由题意得，z 1－z 2＝－2－i ，则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i ， ∴(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2.(2)原式＝[(－34－34)＋(34－14)i](1＋i) ＝(－32＋12i)(1＋i) ＝(－32－12)＋(12－32)i ＝－3＋12＋1－32i. 例3 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ，因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.跟踪训练3 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. ∵3z ＋(z －2)i ＝2z －(1＋z )i ，∴3(a ＋b i)＋(a －2－b i)i ＝2(a －b i)－(1＋a ＋b i)i ， ∴3a ＋b ＋(3b ＋a －2)i ＝2a ＋b －(2b ＋a ＋1)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝2a ＋b ，3b ＋a －2＝－2b －a －1，解得a ＝0且b ＝15，故所求的复数z ＝i 5. 达标检测1．4＋2i解析 z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i.2．－i解析 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.3．－1＋10i解析 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， ∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )，由复数相等定义，得x ＝2，且y ＝8，∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i.4．解 (1)原式＝1－i 2＋(－1)＋i ＝1＋i.(2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。
2．一致。
3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。
提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。
活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。
2019-2020年苏教版高中数学(选修1-2)3.2《复数的四则运算》word教案2篇
2019-2020年苏教版高中数学（选修1-2）3.2《复数的四则运算》word 教案2篇一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数12的虚部是．3．复数相等的充要条件 a b i c d i a +=+⇔=且()b d a b c d =∈R ，，， 注意事项：（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）复数集C ⎧⎨⌝⎩RR实数集虚数集（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应． 2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，． 3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有： 复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为z ． 三、复数代数形式的四则运算 1．复数的加法、减法①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±． 其运算法则类似于多项式的合并同类项 ②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有： 交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++． ③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2）， 根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=． 于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····． 分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数 a b i +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)a bi ac bd bc adi c di c di c d c d++-=++≠+++． 其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．数系的扩充与复数的引入复习指导『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法．『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法．『复习过程指导』在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：1数学思想方法之一：类比法 （1）复数的运算复数代数形式的加法、减法运算法则 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±复数代数形式的乘法运算运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便．（2）复数的几何意义 我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有：复数集C ＝{}|,a bi a b R +∈与坐标系中的点集{}(,)|,a b a R b R ∈∈一一对应．于是：复数集z ＝a bi +↔复平面内的点(,)Z a b复数集z ＝a bi +↔平面向量OZ 例1．在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点 位于 ( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解答：复数1i i+＋(1＋3i )2＝1132i +++-＝31(22i -++因为复数31(22i -++对应着直角坐标平面内的点31(,22-+，故在第二象限，答案为B ．此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．例2．非零复数12,z z 分别对应复平面内向量,OA OB ，若12||z z +=12||z z - 则向量OA 与OB 的关系必有（ ）A ．OA =OB B ．OA OB =C ．OA OB ⊥D ．OAOB ，共线 解答： 由向量的加法及减法可知：OC ＝ OA OB +AB ＝ OB OA -由复数加法以及减法的几何意义可知： 12||z z +对应OC 的模 12||z z -对应AB 的模又因为12||z z +=12||z z -，且非零复数12,z z 分别对应复平面内向量,OA OB所以四边形OACB 是正方形 因此OA OB =，故答案选B ．注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义（3）复数的化简虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”． 例３若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （A ）-2 (B)4 (C) -6 (D)6 解答：由ii a 213++＝(3)(12)(12)(12)a i i i i +-+-＝226(32)12a a i++-+ ＝63255a a i +-+ 因为复数iia 213++是纯虚数所以605a +=且3205a-≠ 解得6a =-故答案选C ．注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数(12)(12)i i -+＝５，一般地（a bi +）（a b i -）＝22a b + 这也是一个复数与实数转化的过程，即63255a ai +-+是纯虚数可得：605a +=且3205a-≠， 2．数学思想方法之二 转化法我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．基础知识：复数a bi +(0)(0)(0)0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数（ 例４若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则 实数a 的值为 ． 解答：12z z ＝222(2)(34)3434a i a i i i +++=-+＝38642525a a i -++ 因为12z z 为纯虚数 所以38025a -=且64025a +≠．解得83a = 例５．设a 、b 、c 、d R ∈，若a bic di++为实数，则，（A ）0bc ad +≠（B ）0bc ad -≠ （C ）0bc ad -=（D ）0bc ad +=解答： 由2222a bi ac bd bc adi c di c d c d++-=++++ 因为 a bic di++为实数，所以其虚部220bc adc d -=+，即0bc ad -=故答案选C ． 这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式． 类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算．二．解题规律总结１有关虚数单位i 的运算及拓展虚数i 的乘方及其规律：1i i =，2i ＝－１，3i i =-，41i =，5678,1,,1i i i i i i ==-=-=…4142434,1,,1n n n n i i i i i i +++==-=-=…（n N *∈）拓展（1）任何相邻四个数的和为０；（2）指数成等差的四个数的和为０；例如：23212123n n n n i i i i --+++++＝０（3）连续多个数相加的规律． 例6．求101112i i i +++ (2006)i的值解答：共有2006－10＋１＝１997项由于1997＝4⨯499＋1 由于连续4个的和等于0因此原式＝10i ＝－12．有关复数的几个常用化简式 22(1)2,(1)2i i i i +=-=-，1i i =-，11,11i ii i i i+-==--+ 例7（2005高考重庆2）．20051()1i i+=- （ ）A ．iB ．－iC ．20052D ．－20052解答： 2005200545011()()1i i i i i i+===- 故答案选A 3．有关复数的综合运算例７、（本题满分12分）在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）解法一．设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-由于222||()2z z z i a b ai ++=++32i i-+＝22(3)(2)21i i --+＝1i - 所以222a b ai ++＝1i -根据复数的相等得22121a b a ⎧+=⎨=-⎩解得1,2a b =-=因此，12z =-±即为所求． 解题评注：（1）设复数的代数形式（z =(,)a bi a b R +∈）以代入法解题的一种基本而常用的方法；（2）复数的相等（a bi +＝c di +⇔,a c b d ==(,,,a b c d R∈）是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切实掌握；三．高考命题趋势从新教材的特点来看，高考题的难度不会大，主要以客观题的形式考察基础知识．以上结合高考题给出了复习的方法，以及重点难点，希望同学们结合数学思想方法，使知识形成网络，系统全面的掌握所学知识．。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入第2课时复数四则运算(1)教案苏教版选修2_2
第2课时复数的四则运算（1）【教学目标】理解复数代数形式的四则运算，能运用运算律进行复数的四则运算【问题情境】我们知道，i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算，那么，任意两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？【合作探究】一、复数加法，减法运算法则：已知两复数,(1)加法法则：(2)减法法则：即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).注:①复数的减法是加法的逆运算；②易知复数的加法满足_____________律______________律；③复数的加减法可类比多项式的加减法进行；④复数的加减运算仍是一个复数.二、复数乘法运算法则：已知两复数, 则=__________________注:①复数的乘积仍然是一个复数；②复数的乘法与多项式的乘法类似，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并③易知复数的乘法满足_______________律、_____________律以及______________律三、共轭复数共轭复数的定义:_ _____________________________________________________________ 当复数中____________________时，有【展示点拨】例1.计算 (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)例2.计算 (－2－i )(3－2i)(－1+3i)例3.计算例4：已知复数，实数满足，求的值.【学以致用】1.若且,则2.已知且,则3.在复数集C内分解因式， =____________；4.已知,求复数5.已知复数是的共轭复数，求x的值第2课时复数的四则运算（1）【基础训练】1.计算： __________， =____________2.计算： ________________3.若，则______________4.若，则______________5.计算： _________________6.若是方程的1个根，则_________， _________，此方程的另一个根是____________ 【思考应用】7.已知，求复数.8.计算9.已知复数与都是纯虚数，求复数.10.已知成等比数列，求复数.【拓展提升】11.已知，并满足，求复数和.12.已知且，求和.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
推荐高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3-2复数的四则运算学案苏教版选修2_2
3.2 复数的四则运算1．复数的加法法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(其中a ，b ，c ，d 均为实数)是任意两个复数，复数的加法按照以下的法则进行：(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝________＋________i ，即：两个复数相加就是把__________、__________分别相加．(2)两个复数的和仍是一个________．(3)加法的运算律：对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：①交换律：z 1＋z 2＝________；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋________.2．复数的减法法则(1)我们把满足(c ＋d i)＋(x ＋y i)＝a ＋b i 的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 减去复数c ＋d i 的______，记作__________．(2)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，复数的减法按照以下的法则进行：(a ＋b i)－(c ＋d i)＝________＋________i ，即：两个复数相减就是把__________、________分别相减．(3)两个复数的差仍是一个________．预习交流1做一做：已知复数z 1＝1－i ，z 2＝2－3i ，则z 1＋z 2＝__________，z 1－z 2＝__________.3．复数的乘法法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，复数的乘法按照以下的法则进行：(a ＋b i)(c ＋d i)＝________＋________i.(2)两个复数的积仍然是一个________．(3)乘法的运算律：对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有①交换律：z 1z 2＝________；②结合律：(z 1z 2)z 3＝________；③分配律：z 1(z 2＋z 3)＝________.(4)(________)2＝－1.预习交流2(2012福建高考改编)若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于__________．4．共轭复数(1)我们把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为________．(2)复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作_______，即_______．(3)当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝________，也就是说，实数的共轭复数仍是________． 预习交流3互为共轭的两复数，在复平面内对应的点有何关系？预习交流4做一做：若复数a ＋3i 与复数－3＋b i 互为共轭复数，其中a ∈R ，b ∈R ，则a ＋b i ＝__________.5．复数范围内正整数指数幂的运算律(1)对任何z ，z 1，z 2∈C ，及m ，n ∈N *，有z m z n ＝________，(z m )n ＝________，(z 1z 2)n ＝________.(2)一般地，如果n ∈N *，我们有i 4n ＝________，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.6．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的________，记作________或______________．(2)一般地，我们有a ＋bi c ＋di ＝________＝ac ＋bd c2＋d2＋bc －ad c2＋d2i. (3)两个复数的商仍是一个________．预习交流5做一做：i 是虚数单位，则复数3＋i 1－i＝__________.答案：预习导引1．(1)(a ＋c ) (b ＋d ) 实部与实部 虚部与虚部(2)复数 (3)①z 2＋z 1 ②(z 2＋z 3)2．(1)差 (a ＋b i)－(c ＋d i) (2)(a －c ) (b －d ) 实部与实部 虚部与虚部 (3)复数 预习交流1：提示：3－4i －1＋2i3．(1)(ac －bd ) (bc ＋ad ) (2)复数 (3)①z 2z 1②z 1(z 2z 3) ③z 1z 2＋z 1z 3 (4)±i预习交流2：－1－i 提示：由z i ＝1－i ，得z ＝1－i i ＝(1－i)i i2＝i －i2－1＝i ＋1－1＝－1－i. 4．(1)共轭复数 (2)z z ＝a －b i (3)z 它本身预习交流3：提示：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，在复平面内对应的点为Z (a ，b )； 其共轭复数z ＝a －b i 在复平面内对应的点为Z ′(a ，－b )显然两点关于x 轴对称． 预习交流4：提示：－3－3i5．(1)z m ＋n z m n z 1n z 2n (2)16．(1)商 a ＋bi c ＋di(a ＋b i)÷(c ＋d i) (2)(a ＋bi)(c －di)(c ＋di)(c －di)(3)复数 预习交流5：提示：1＋2i一、复数的加减运算计算(6－6i)＋(7－i)－(4＋6i)．思路分析：利用复数的加、减法法则进行运算．1．(1)(1＋3i)＋(－2＋i)－(2－i)＝__________.(2)已知复数z 1＝2＋a i ，z 2＝b －3i ，a ，b ∈R ，当z 1－z 2＝(1－i)＋(1＋2i)时，a ＝__________，b ＝__________.2．已知复数(5＋6i)＋(b －3i)－(2＋a i)＝0(a ，b ∈R )，则复数z ＝a ＋b i ＝__________.(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；(2)复数的加、减运算结果仍是复数；(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算；(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．二、复数的乘除运算。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入32复数的四则运算课件苏教版选修2 2
思考
判断.
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( × )
2 (2)若z1，z2∈C，且 z2 ＋ z 1 2＝0，则z1＝z2＝0.( × )
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( √ )
(4)在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.( √ )
答案
知识点四
复数的除法
利用共轭复数的乘积为实数这一性质，对分母实数化，即得复数除法法则：
即对于任意的复数z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
思考 (1)两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？
答案 是复数，唯一确定.
(2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，能否认为z1＞z2?
答案 不能，例如可取z1＝3＋2i，z2＝2i.
答案
知识点二
复数的乘法
1.复数的乘法法则 (a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2 ＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意的z1，z2，z3∈C，有 (1)z1z2＝z2z1； (2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
z1 z1 ＝ (z ≠0). (4) z1· z2 ＝ z1 · z2 ， z 2 z 2
2
证明共轭复数的这些性质并不难，如 z· z ＝(a＋bi)· (a－bi)＝a2－b2i2＝a2＋b2. 其余的性质可自己证明，这里再举一例说明. 例如：求证：z 为纯虚数的充要条件为 z≠0 且 z＋ z ＝0. 证明：(充分性)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi. 因为 z≠0，所以 a≠0 或 b≠0. 由 z＋ z ＝2a＝0，知 a＝0 且 b≠0，故 z 为纯虚数. (必要性)设 z 为纯虚数，则 z＝a＋bi 中 a＝0 且 b≠0，故 z＋ z ＝2a＝0 且 z≠0.
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(二)学案 苏教版选修2-2-苏教版
3．2 复数的四则运算(二)1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法．2.理解i 幂性质，能熟练进行复数的乘方和除法运算． 3．掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题．1．复数的乘方在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立，即对任意的复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n 有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ＝(z n )m ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．2．i 幂性质一般地，如果n ∈N *，我们有①i 4n＝1；②i 4n ＋1＝i ；③i4n ＋2＝－1；④i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作a ＋b ic ＋d i或(a ＋b i )÷(c ＋d i)． (2)一般地，我们有a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (3)两个复数的商仍是一个复数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B3．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．答案：－34．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i2＝－b ＋2＋(b ＋2)i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i复数的乘方运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.复数的除法运算计算下列各题． (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i； (2)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【解】 (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i ＋13i13＝2i.(2)原式＝－i ·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1＋i)22＋i 7＝162(－1＋i)－14－i ＝－⎝⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (3)原式＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[(1＋i)2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i.(1)复数的除法运算中，要牢记“分母实数化”(类比实数运算的分母有理化)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，不必死记除法法则．(2)复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(3)要记住下列结果，使运算起点高． ①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3＝－1. 2.计算下列各题：(1)－1＋3i 1＋i ；(2)3－4i 4＋3i ＋1＋i 1－i ；(3)(2＋2i)4(1－3i)5. 解：(1)原式＝(－1＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1＋3＋(1＋3)i 2＝3－12＋3＋12i.(2)原式＝(3－4i)(4－3i)(4＋3i)(4－3i)＋(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝(12－12)－(16＋9)i 25＋2i2＝－i ＋i ＝0.(3)(2＋2i)4(1－3i)5＝24(1＋i)4(1－3i)5＝24·(2i)2(1－3i)5＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝－1＋3i.复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程： (1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b (a －1)＝0.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 2.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0，所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 2－x ＋1；(3)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i . (2)x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i . (3)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i .1．复数除法的认识复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R )的形式即可．2．复数范围内因式分解由于实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立，因此可以据此在复数范围内进行因式分解，而原来在实数范围内不能进行的因式分解，在复数范围内则可以进行，比如a 2＋b 2＝a 2－(b i)2＝(a ＋b i)(a －b i)．3．1的三次虚根ω的性质由方程x 3－1＝0得x 1＝1，x 2＝－1＋3i 2，x 3＝－1－3i 2.若取ω1＝－1＋3i 2，ω2＝－1－3i2，有如下性质： (1)ω31＝ω32＝1； (2)1＋ω1＋ω2＝0； (3)ω21＝ω2； (4)ω1·ω2＝1，ω1＝1ω2，ω2＝1ω1；(5)ω1＝ω2；(6)1＋ω1＋ω21＝0，1＋ω2＋ω22＝0.下列命题中错误的序号是________． ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2. 【解析】 ①错，反例设z ＝i 则z 2＝i 2＝－1＜0.②错，反例设z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，满足z 1－z 2＝1＞0，但z 1、z 2不能比较大小． 【答案】 ①②(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，易误认为命题①正确． (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来．认为两复数差为实数则这两个复数也为实数．而误认为命题②是正确的．(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件．1．复数z ＝1－i 1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 2.i －21＋2i＝________． 解析：法一：原式＝(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋2)＋(1＋4)i5＝i.法二：原式＝i ＋2i 21＋2i ＝i(1＋2i)1＋2i ＝i.答案：i3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 为________． 解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ＝－i ，所以z ＝－3－i.答案：－3－i[A 基础达标]1．设复数z ＝3＋2i2－3i ，则z 的共轭复数为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选D ．z ＝3＋2i 2－3i ＝2－3i2－3i ·i ＝i ，于是z 的共轭复数为－i.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ．因为2＋a i1＋i ＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，又a ∈R ，所以a＝4.3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.4．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 5．若ω＝－12＋32i ，则ω＋1ω＝________．解析：ω＋1ω＝－12＋32i ＋1－12＋32i ＝－12＋32i －12－32i ＝－1.答案：－16．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：因为11－7i 1－2i ＝(11－7i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝15(25＋15i)＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3. 所以a ＋b ＝5＋3＝8. 答案：87．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝________．解析：由题意可知1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ， 因此1－a 21＋a 2＝－35. 化简得5a 2－5＝3a 2＋3，所以a 2＝4，则a ＝±2. 由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，所以a ＝－2.答案：－28．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，所以z －＝1－2i.所以⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6.答案：69．计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i)2－(－4＋8i)24＋3i . 解：原式＝i(23i ＋1)1＋23i＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009＋(4－8i)2－(4－8i)24＋3i＝i ＋(－i)1 009＋04＋3i＝i －i ＋0＝0. 10．已知复数z 1＝a ＋2i(a ∈R )，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，求复数z 1.解：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)25＝(3a －8)＋(6＋4a )i25，因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0，a ＝83，z 1＝83＋2i.[B 能力提升]1．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i ＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0解析：选D ．因为z ＝a 1－2i ＋b i ＝a (1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＋b i ＝a 5＋(2a 5＋b )i.由题意知，a 5＝－2a 5－b ，则3a ＋5b ＝0. 2．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是________．解析：由于ω1*ω2＝ω1ω2—，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z －3＝z 1z －3＋z 2z －3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z －2＋z 1z －3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立；对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z －2)z －3＝z 1z －2z －3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z －3)＝z 1z －2z 3，显然不成立；对于④，由于z 1*z 2＝z 1z －2，而z 2*z 1＝z 2z －1，显然不一定成立．答案：23．已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，求x 与y 的值． 解：根据已知条件x 是实数，y 是纯虚数，可设y ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，代入关系式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，整理得：(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，根据复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4i.4．(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)z ＋10z 是实数且1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i ＝x ＋y i ＋10(x －y i)x 2＋y 2∈R ，得y －10y x 2＋y 2＝0， 所以y ＝0或x 2＋y 2＝10.若y ＝0，1＜x ＋10x≤6无解，所以x 2＋y 2＝10. 从而z ＋10z＝2x ∈(1，6]．又x ，y ∈Z ，所以x ＝1或x ＝3. 若x ＝1，则y ＝±3；若x ＝3，则y ＝±1.所以z ＝1±3i 或z ＝3±i.。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算学案苏教版选修1-2(2021年整理)
2018年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2 复数的四则运算学案苏教版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2 复数的四则运算学案苏教版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
2 复数的四则运算第1课时复数的加减与乘法运算已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复数如何加减?提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减)．问题2:复数的加法满足交换律和结合律吗?提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R），则z1＋z2＝（a＋b i)＋（c＋d i)＝（a＋c)＋(b＋d）i,z－z2＝(a＋b i)－（c＋d i)＝（a－c)＋(b－d）i．1即两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减)．2．复数加法的运算律(1）交换律:z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R）问题1:如何规定两复数相乘?提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝（a＋b i）(c＋d i）＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋（bc＋ad）i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i）(c＋d i）＝(ac－bd)＋（bc＋ad）i，z 2z1＝(c＋d i)（a＋b i)＝(ac－bd）＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1。
2020高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(2)学案 苏教版选修1-2
§3.2 复数的四则运算课时目标 1.理解复数四则运算的定义.2.掌握复数四则运算法则，能够熟练地进行复数的运算.3.理解共轭复数的概念．1．复数的加减法(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i.则z 1＋z 2＝__________.z 1－z 2＝__________. 它们类似于多项式的合并同类项． (2)复数的加法满足交换律与结合律，即z 1＋z 2＝________.(z 1＋z 2)＋z 3＝____________. (3)复数减法是加法的__________． 2．复数的乘除法(1)z 1·z 2＝________________，z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i＝________________. (2)复数乘法满足交换律、结合律、分配律，即z 1z 2＝__________.(z 1z 2)z 3＝__________.z 1(z 2＋z 3)＝__________.3．共轭复数若z ＝a ＋b i ，则记z 的共轭复数为z ，即z ＝________. 共轭复数的性质 ①z z ∈R ，z ＋z ∈R ； ②z ＝z ⇔z ∈R .一、填空题1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2＝__________.2．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a ＝________.3．复数i 3(1＋i)2＝________. 4．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.5．设i 是虚数单位，则i3＋i －1＝________.6．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是________． 7．已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________.8．若21－i ＝a ＋b i (a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.二、解答题9．计算：(1)(2＋i)(2－i)； (2)(1＋2i)2； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i.10．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y 的值．能力提升11．已知复数z 满足z ·z ＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z .12．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，求这个实根以及实数k 的值．1．复数加减法可以类比多项式加减中的合并同类项．2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，在所得结果中把i2换成－1.3．复数除法的实质是“分母实数化”，一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数．4．解决复数问题时，可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件，即实数化思想．§3.2复数的四则运算答案知识梳理1．(1)(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i(2)z2＋z1z1＋(z2＋z3) (3)逆运算2．(1)(ac－bd)＋(bc＋ad)i ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(2)z2·z1z1·(z2z3) z1z2＋z1z33．a－b i作业设计1．4＋2i解析z1－z2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i. 2．1解析a－i1＋i＝a－－＋－＝a－1－a＋2＝a－12－a＋12i，因为该复数为纯虚数，所以a＝1.3．2解析 i 3(1＋i)2＝i 3·2i＝2i 4＝2. 4．1 解析 ∵a ＋2ii＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. 5．－1解析 ∵i ＋1i －1＝＋2－－＋＝2i－2＝－i ， ∴i3＋i －1＝i 3·(－i)＝－i 4＝－1.6．x ＝－1，y ＝1解析 x －2＝3x ，y ＝－(－1)，即x ＝－1，y ＝1. 7．－2i解析 2z －z ＝21＋i －1－i ＝－＋－－1－i ＝－2i.8．2解析 由21－i ＝a ＋b i ，得2＝(a ＋b i)·(1－i)，∴2＝a ＋b ＋(b －a )i ，(a ，b ∈R )， 由复数相等的定义，知a ＋b ＝2.9．解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.(3)方法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋226＋2＋33＋232＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋226＋2＋33－2＝i 6＋2＋32＋3i＝－1＋i.10．解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.11．解 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)＋2(a ＋b i)i ＝4＋2i ， ∴a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝4，2a ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.12．解 设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝02x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2k ＝－22或⎩⎨⎧x 0＝－2k ＝22，∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2， 相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算知识导航学案苏教版选修1-2
3.2 复数四那么运算知识梳理两个复数相加〔减〕就是把_____________，即a+bi±(c+di)=_____________.〔1〕设Z 1=a+bi,Z 2=c+di 是任意两个复数，那么它们积(a+bi)(c+di)=_____________，它们商(a+bi)÷(c+di)=_____________(c+di≠0)〔2〕在进展复数除法运算时，通常先把〔a+bi)÷(c+di)写成_____________形式，再把分子分母都乘以_____________.当两个复数实部_____________，虚部互为_____________时，这两个复数叫做互为_____________.i 4n =___________,i 4n+1=___________,i 4n+2=___________i 4n+3=___________.(n∈N *)5.常用1±i,w 运算规律. ①i 1=___________,(1±i)2=___________,i i -+11=___________; ②设w=i,那么w 2=___________，w+w =___________， w·w =___________，1+w+w 2=_____________，w n +w n+1+w n+2=___________(n∈Z );w 3k = ___________,w 3k+1=___________,w 3k+2=___________(k∈Z ).疑难突破剖析：课本上规定(c+di)+(x+yi)=a+bi 复数x+yi(x,y∈R )叫做复数a+bi 减去复数c+di 差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数加法法那么和复数相等定义有即x=a-c,y=b-d. ∴x+yi=(a -c)+(b-di)在学习复数减法时，首先类比实数减法规定复数减法也是加法逆运算，即用加法定义两个复数差，然后只要根据复数加法，复数相等条件就可以得到复数减法法那么.这里实际上使用是待定系数法，也是确定复数一个一般方法.在学习复数除法时，可类比实数除法，联系复数减法法那么引入过程，探求复数除法法那么.规定复数除法是乘法逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)复数x+yi,叫做复数a+bi 除以复数c+di 商.经计算可得(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.根据复数相等定义，有cx-dy=a,dx+cy=b.由此x=,y=于是(a+bi)÷(c+di)=+i(c+di≠0)这就是复数除法法那么.而如果在实际进展复数除法运算时，每次都按照乘法逆运算方法来求商，这是十分麻烦.可以设想解决方法，类比根式除法，从而得到简便操作方法.先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母共轭复数，使分母“实数化〞，最后再化简.典题精讲【例1】 计算〔1〕+(5+i 19)-;(2).思路分析：利用特殊复数性质进展运算如i 乘方、及w 性质运算、关键是变形.解：〔1〕+(5+i 19)-=+[5+(i 4)4·i 2·i]-=i+5-i-i 11=5+i〔2〕含w=那么w 3=1 于是525544542)2()2321(2)1(2)31()22(wi i i i i -=+--+=-+ =62w w =2w=-1+i 3 绿色通道：〔1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,w 3=1,巧用这些性质，可以快速解答许多问题，因此，记住这些小结论将是有益.【变式训练】〔1〕计算;(2).思路分析:计算〔a+bi)时，一般按乘法法那么进展计算，对于复数1±i 计算它n(n 大于或等于2自然数〕次方时，常先计算1±i 平方；对于复数计算它n 次方根时，〔n 为大于或等于3自然数〕常先计算它立方.解：原式=5)21)(2(])1[()31(323i i i i -+--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i =ii i i 8)3()3)(1(33)1(3)1(3223-+-•+-•+--i =i88--i=i-i=0. 〔2〕设w=那么w 3==wi∴原式=(wi+w)8=w 8(1+i)8=w 6×w 2(2i)4=16w 2=16(-21-i 23) =-8-i 38.【例2】设Z 是虚数，w=是实数，且-1＜w ＜2.〔1〕求Z 实部取值范围；〔2〕设μ=求证μ为纯虚数；〔3〕求w-μ2最小值.思路分析：此题考察复数根本概念及根据根本不等式求最值问题.〔1〕〔2〕利用根本概念求解，〔3〕中不难得到w-μ2=2a-11+-a a =2a-1+12+a =2(a+1)+12+a -3再利用均值不等式求得最小值，还要注意结论等号是否能成立.解：〔1〕设Z=a +bi(a,b∈R ,b≠0) w=a+bi+)()(12222i ba b b b a a a bi a +-+++=+ ∵w 是实数，b≠0 ∴b -=0. ∴w=2a ∵-1＜w ＜2 ∴-21＜a ＜1 ∴Z 实部取值范围是 (2)μ=i a b b a bi b a bi a bi a Z Z 1)1(2111112222+=+++--=++--=+- ∵a∈ b≠0,∴μ为纯虚数.〔3〕w-μ2=2a+ =2a+=2a-11+-a a =2a-1+12+a =2[(a+1)+]-3.∵a∈,∴a+1＞0,∴w -μ2≥2×2-3=1,∴当a+1=11+a 即a=0时 上式等号成立，∴w -μ2最小值是1.绿色通道：设Z=a+bi 将复数问题实数化，是解决复数问题根本思想；另外，在利用不等式求最值时，特别要注意三点：①自变量是否有范围；②等号是否能够成立〔在变量范围下〕；③要注意恒等变形，配凑成能使用不等式形式.【变式训练】 设i 是虚数单位，复数w 和Z 满足Zw+2iZ-2iw+1=0，假设Z 和w 又满足-Z=2i,求w 和Z 值.思路分析:设复数代数形式，进而将复数问题转化为实数问题，是解决复数问题时常用解题技巧.解：∵w -Z=2i ∴Z=w -2i代入Zw+2iZ-2iw+1=0得 〔w -2i)w+2i(w -2i)-2iw+1=0 ∴w w -4iw+2i w +5=0设w=x+yi(x,y∈R ),那么上式可变为〔x+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0,∴x 2+y 2+6y+5-2xi=0, ∴∴或∴w=-i,Z=-i 或w=-5i,Z=3i.【例3】 Z=1+i(1)设w=Z 2+3Z -4求w;〔2〕如果=1-i ；求实数a,b 值.思路分析：〔1〕采用代入法求出w;〔2〕代入化简后，通过复数相等，把复数问题转化为实数问题来解.解：〔1〕∵Z=1+i,∴w=Z 2+3Z -4=(1+i)2+3(i +1〕-4=-1-i. (2)由=1-i ，把Z=1+i 代入得=1-i ，∴=1-i,∴(a+b )+(a+2)i=1+i∴得绿色通道：通过复数相等定义，把虚数问题转化成实数问题，是复数重要数学思想，代入化简时，注意复数运算技巧.【变式训练】 Z 1满足〔Z 1-2〕i=1+i,复数Z 2虚部为2，且Z 1·Z 2是实数，求复数Z 2值. 思路分析:此题考察复数乘法，除法运算法那么.解：由〔Z 1-2〕i=1+i,得Z 1=ii +1+2=(1+i)(-i)+2=3-i ∵Z 2虚部为2，∴可设Z 2=a+2i(Z∈R )Z 1·Z 2=(3-i)(a+2i)=(3a+2)+(6-a)i 为实数∴6-a=0,即a=6 因此Z 2=6+2i.问题探究对于任意一个非零复数Z ，M z ={w ｜w=Z 2n-1,n∈N *}〔1〕设α是方程一根，试用列举法表示集合M α,假设在M α中任取两个数，求其和为零概率P.〔2〕假设复数w∈M z ,求证M w ⊆M Z .导思：复数四那么运算类似于多项式四那么运算，此时含有虚数单位i 看作一类同类项，不含i 看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 幂写成最简单形式，化简依据是i周期性，即i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i(n∈N )复数代数形式运算，根本思路是直接用法那么运算，但有时能用上特殊复数i 或w 一些性质，以及一些常见结论如(1+i)2=2i(1-i)2=-2i,ii -+11=i 等，可更有效简化运算，提高计算速度. 探究：〔1〕由方程,得x=22±i 22 当α1=22+i 22时，w=α12n-1=1121212222)(ααααn n n i i =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 由i n 周期性知，w 有四个值.n=1时，w=i i i22222222+=+;n=2时，w=i i 222222221+-=+-; n=3时，w=i i i22222222--=+- n=4时，w=i i 222222221-=+. 当α2=时，w=α22n-1= n=1时，w=i i i22222222-=--; n=2时，w=i i 222222221--=--; n=3时，w=i i i22222222+-=-; n=4时，w=i i 222222221+=-; ∴不管α=，还是α=M α=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+--+i i i i 2222,2222,2222,2222 那么P=(2)∵w∈M z 那么w=Z 2m-1 m∈N ,任取x∈M z 那么x=w 2n-1,n∈Z ,而w=Z 2n-1∴x=(Z 2m-1)2n-1=Z (2m-1)(2n-1).∵(2m -1)(2n-1)为正奇数，∴x∈M Z ,∴M w ≤M Z .。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算(二)学案苏教版选修1-2(2021学年)
20１7－201８版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.２复数的四则运算（二)学案苏教版选修1-2编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2017-２0１８版高中数学第３章数系的扩充与复数的引入 3．2 复数的四则运算(二)学案苏教版选修1－2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
2 复数的四则运算(二）学习目标1。
进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解复数的乘方，正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2。
理解复数商的定义，能够进行复数除法运算。
3.了解i幂的周期性．知识点一复数的乘方与i n（ｎ∈N*）的周期性思考计算i5,i6,i7，i8的值,你能推测i n(n∈Ｎ*)的值有什么规律吗?1.复数范围内正整数指数幂的运算性质对任何z,z1，ｚ２∈C及ｍ，ｎ∈Ｎ*,有ｚm z n=ｚｍ＋ｎ，（ｚm)n＝＿___＿___,(ｚ1z２）n＝z错误!ｚ错误!.2.虚数单位ｉｎ(n∈N＊)的周期性ｉ４n＝＿＿＿__＿_＿_＿,i４ｎ＋1＝___＿__＿＿__,ｉ4n＋2=_＿＿＿______，i4n＋3＝＿_＿_______.知识点二复数的除法思考如何规定两复数z1=a＋ｂi，z2=ｃ+d i(a，ｂ，ｃ,d∈Ｒ,c+d i≠０)相除?把满足(c+d i)（ｘ＋ｙｉ）＝a+b i（c+dｉ≠0)的复数x＋ｙi（x,y∈R)叫做复数ａ+b i除以复数c+d i的商．且x+ｙi=＼ｆ(a+b i,c＋dｉ)＝错误!＋错误!i.类型一 i的运算性质例１计算下列各式的值.(1）1+i＋i2＋…+i2 01７。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算课堂导学案苏教版选修1_2
3.2 复数的四则运算课堂导学三点剖析各个击破一、复数代数形式的加减运算【例1】 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i). 解法一：原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i. 解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.温馨提示复数的加减法，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时，可适当地进行组合，简化运算.类题演练1设z 1=x+2i,z 2=3-yi(x 、y ∈R )，且z 1+z 2=5-6i,求x+yi.解:z 1+z 2=x +2i+3-y i=(x +3)+(2-y )i.∵z 1+z 2=5-6i,∴⎩⎨⎧-=-=+.62,53y x 解得⎩⎨⎧==.8,2y x∴x +y i=2+8i.变式提升 1已知平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i,4+3i ，3+5i,求第四个顶点对应的复数.解:如右图，设点Z 1、Z 2、Z 3分别对应复数2+i,4+3i,3+5i.(1)若Z 1Z 3为对角线， 则3241Z Z Z Z =,即z 4-z 1=z 3-z 2,∴z 4=z 3-z 2+z 1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.(2)若Z 1Z 2为对角线， 则2341Z Z Z Z =，即z 4-z 1=z 2-z 3,∴z 4=z 2-z 3+z 1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.(3)若Z 2Z 3为对角线，则3142Z Z Z Z =，即z 4-z 2=z 3-z 1,∴z 4=z 3-z 1+z 2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.二、复数代数形式的乘除运算【例2】已知x 、y ∈R ,且i315i 21y i 1x +=+++，求x 、y 的值. 解：i 315i 21y i 1x +=+++可写成103i)-(1552i)-y(12i)-x(1=+, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.∴⎩⎨⎧=+=+,15y 4x 5,5y 2x 5⎩⎨⎧=-=.5y ,1x 温馨提示在进行复数除法运算时，通常把(a+bi)÷(c+di)写成di c bi a ++的形式，再把分子与分母都乘复数（c-di ），并进行化简整理.类题演练2已知 z =i 1i a --(a>0)，且复数ω=z (z +i)的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω. 解：ω=i a a a ai a i i a a i a i i a i i i a i i a 2212)1)(1(2))(1(111)1(12+++=++=--+=-+⋅--=+----， ∴232122=+-+a a a , 即a 2-1=3.∵a>0,∴a=2,ω=23+3i. 变式提升 2计算:i 21i 2i)(1i)3(-162++--++. 解:5)21)(2(])1[()31(212)1()31(32363i i i i i i i i -+--++-=++--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i=ii i i i i 888)3()3)(1(33)1(3)1(3223-=--+-⋅+-⋅+--i=i-i=0. 三、共轭复数问题【例3】 已知复数z 满足z ·z --i （z 3）=1-（i 3），求z .思路分析：(1)将方程两边化成a+bi 的形式，根据复数相等的充要条件来解.(2)根据模的性质即|z |2=z z 和两个纯虚数的积为实数来解.解:方法一：设z =x+yi(x,y ∈R )，则x 2+y 2-i ［yi)(x 3+］=1-(i 3), 即x 2+y 2-3y-3xi=1+3i, 由复数相等得⎩⎨⎧=-=-+.3x 3,1y 3y x 22解得⎩⎨⎧=-=,0y ,1x 或⎩⎨⎧=-=.3y ,1x∴z =-1或z =-1+3i.方法二：∵z z -i(z 3)=1-(i 3),∴z z -1=3i+3i z ,即|z |2-1=3i(z +1)∈R , ∴z +1是纯虚数或0， 可令z =-1+ai(a ∈R ),∴|-1-ai|2-1=3i(ai),即a 2=-3a ⇒a=0或a=-3, ∴z =-1或z =-1-3i,故z =-1或z =-1+3i.类题演练3设a 、b 为共轭复数，且(a+b)2-3abi=4-6i,求a 和b.解:设a=x +y i ，则b=x -y i ，（x ,y ∈R ）,由条件得：(x +y i+x -y i)2-3(x +y i)(x -y i)i=4-6i,即4x 2-3(x 2+y 2)i=4-6i,由复数相等的充要条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=.6)(3,44222y x x解得：⎩⎨⎧±=±=.1,1y x∴⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.1,11,1i b i a i b i a 或 变式提升 3计算(-i 2321+)n +(-i 2321-)n (n ∈N ). 解:设ω=-i 2321+，分以下三种情况： ①当n=3k 时，原式=ω3k +k 3ω=1+1=2； ②当n=3k+1时，原式=ω3k+1+13+k ω=ω+ω=-1； ③当n=3k+2时，原式=ω3k+2+23+k ω=ω2+2ω=-1. 综上，原式=⎩⎨⎧≠-=k n k n 3,13,2(k∈Z).。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入第2课时复数的四则运算(1)教学案2
第三章数系的扩充与复数的引入
第2课时复数的四则运算（1）
教学目标：
1. 掌握复数的代数形式的加法、减法运算；
2. 掌握复数的代数形式的乘法运算.
教学重点：
复数的代数形式加法、减法、乘法运算
教学难点：
复数的代数形式加法、减法、乘法运算
教学过程：
Ⅰ.问题情境
我们知道：i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算。
Ⅱ.建构数学
1、复数的加法运算
2、复数的减法运算
3、复数的乘法运算
4、共轭复数
Ⅲ.数学应用
例1：计算(52)(14)(23)
+
i i i
--+--
变式练习：计算（1）(14)(72)i i +-- （2）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[ 例2：计算(14)(72)i i +⨯-
变式练习：计算(72)(14)i i -⨯+
例3：计算))((bi a bi a -+ 变式练习：求满足条件1)43(=-+i z 的复数z ： Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
1. 计算（1）()
845i -+；（2）()543i i --；（3())29
i i +---.
2.计算（1）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+； （2）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[.
3. 求满足条件i z i 24)3(+=-的复数z ：
4.说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--. Ⅵ.课后作业
书本P 66 习题1，2。
2017_2018版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3_2复数的四则运算一学案苏教版选修1_2
3.2 复数的四则运算（一）学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.理解共轭复数的概念及应用．知识点一复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．思考1 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？思考2 复数的加法满足交换律和结合律吗？1．复数的加法、减法法则(1)条件：z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(其中a，b，c，d均为实数)．(2)加法法则：z1＋z2＝__________________，减法法则：z1－z2＝__________________.2．运算律(1)交换律：z1＋z2＝____________.(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝________________.知识点二复数的乘法思考如何规定两个复数相乘？1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝____________________. 2．乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝__________结合律(z1z2)z3＝__________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝____________知识点三共轭复数思考复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积．1．定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，即复数z＝a＋b i的共轭复数是z＝____________.2．关系：若z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数⇔________________ 3．当复数z＝a＋b i的虚部b＝0时，z＝z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身．类型一复数的加减法运算例1 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.反思与感悟(1)复数的加减法可以推广到多个复数连续加减．(2)把i看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项．跟踪训练1 (1)计算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)．(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.类型二 复数的乘法运算例2 (1)若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m ＝________.(2)若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．第(2)题利用复数相等条件求a ，b .(2)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．跟踪训练 2 (1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部分别为________．(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)＝________. 类型三 共轭复数例3 复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数．反思与感悟 (1)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键．(2)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z＝a＋b i，则z·z＝a2＋b2，②z∈R⇔z＝z.跟踪训练3 若把例题中复数z满足的条件改为“3z＋(z－2)i＝2z－(1＋z)i”，试求复数z.1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝____________.2．复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则z·z－z－1＝________.3．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－y i(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝____________. 4．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)．1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．3．理解共轭复数的性质：(1)z∈R⇔z＝z.(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋b i)(a－b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．答案精析问题导学知识点一思考1 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.思考2 满足．1．(2)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i2．(1)z 2＋z 1 (2)z 1＋(z 2＋z 3)知识点二思考 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i 2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i2．z 2z 1 z 1(z 2z 3) z 1z 2＋z 1z 3知识点三思考 两复数实部相等，虚部互为相反数；z 1·z 2＝a 2＋b 2，积为实数．1．a －b i2．a ＝c 且b ＝－d .题型探究例1 解 z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.跟踪训练1 解 (1)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 011－2 012)i ＝1 006－1 007i.(2)由z ＋1－3i ＝5－2i ，得z ＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i ＝4＋i. 例2 (1)－1 (2)4解析 (1)∵(m 2＋i)(1＋m i)＝m 2－m ＋(m 3＋1)i ， 又∵(m 2＋1)(1＋m i)是实数，∴m 3＋1＝0，则m ＝－1.(2)∵a ＋b i ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，∴a ＝1，b ＝3.∴a ＋b ＝4.跟踪训练2 (1)1，－2 (2)－3＋12＋1－32i 解析 (1)由题意得，z 1－z 2＝－2－i ，则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i ，∴(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2.(2)原式＝[(－34－34)＋(34－14)i](1＋i) ＝(－32＋12i)(1＋i) ＝(－32－12)＋(12－32)i ＝－3＋12＋1－32i. 例3 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ，因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.跟踪训练3 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. ∵3z ＋(z －2)i ＝2z －(1＋z )i ，∴3(a ＋b i)＋(a －2－b i)i ＝2(a －b i)－(1＋a ＋b i)i ， ∴3a ＋b ＋(3b ＋a －2)i ＝2a ＋b －(2b ＋a ＋1)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝2a ＋b ，3b ＋a －2＝－2b －a －1，解得a ＝0且b ＝15，故所求的复数z ＝i 5. 达标检测1．4＋2i解析 z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i.2．－i解析 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.3．－1＋10i解析 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， ∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )，由复数相等定义，得x ＝2，且y ＝8，∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i.4．解 (1)原式＝1－i 2＋(－1)＋i ＝1＋i.(2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i.。
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3.2 复数的四则运算（二）学习目标 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解复数的乘方，正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解i 幂的周期性．知识点一 复数的乘方与i n (n ∈N *)的周期性思考 计算i 5，i 6，i 7，i 8的值，你能推测i n (n ∈N *)的值有什么规律吗？1．复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任何z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *，有z m z n ＝z m ＋n，(z m )n ＝________，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2.2．虚数单位i n (n ∈N *)的周期性 i 4n＝__________，i4n ＋1＝__________，i4n ＋2＝__________，i4n ＋3＝__________.知识点二 复数的除法思考 如何规定两复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i≠0)相除？把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商．且x ＋y i ＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.类型一 i 的运算性质 例1 计算下列各式的值． (1)1＋i ＋i 2＋…＋i 2 017.(2)(1－1i )2 014＋(1－i)2 014.(3)(－12＋32i)3.反思与感悟 (1)虚数单位i 的性质： ①i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．②i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1i ＝－i 等一些重要结论简化运算．(3)设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω.跟踪训练1 计算下列各式： (1)i2 006＋(2＋2i)8－(21－i)50. (2)(－1－3i)3＋(－1＋3i)3.类型二 复数的除法例2 (1)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝__________.(2)复数z ＝i －32＋i的共轭复数是____________．反思与感悟 (1)这类问题求解的关键在于“分母实数化”类似于根式除法的分母“有理化”．(2)复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式． 跟踪训练2 (1)设i 是虚数单位，则i3＋i －1＝________.(2)复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 类型三 复数四则运算的综合应用 例3 计算下列各式：(1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2； (2)2＋23＋－－.反思与感悟 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减． (2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．①a ＋b i b －a i ＝a ＋b b i －a i 2＝a ＋ba ＋b i＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；②记住一些简单结论如1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，(1±i)2＝±2i 等．跟踪训练3 复数z ＝＋2＋－2＋i，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .1．设i 为虚数单位，则复数5－6ii＝____________. 2.＋23＋4i＋＋24－3i＝______________.3．如果复数2－b i1＋2i 的实部与虚部互为相反数，那么实数b ＝________.4．设z 1＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 11，z 2＝i 1·i 2…i 12，则z 1·z 2＝________. 5．计算：(1)若2＋a i 1＋2i＝－2i ，求实数a 的值；(2)若复数z ＝2i1－i，求z ＋3i.1．熟练掌握乘除法运算规则．求解运算时要灵活运用i n的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌握一些常用的结论，如(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1－i1＋i＝－i，1＋i1－i＝i，－b＋a i＝i(a＋b i)．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．3．在进行复数运算时，要理解好i的性质，切记不要出现如“i2＝1”，“i4＝－1”．答案精析问题导学 知识点一思考 i 5＝i ，i 6＝－1，i 7＝－i ，i 8＝1，推测i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．1．z mn2．1 i －1 －i 知识点二思考 通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式再把分子与分母都乘c －d i ，化简后可得结果． 题型探究例1 解 (1)原式＝1－i 2 0181－i ＝1－i 21－i ＝1＋i.(2)1－1i ＝1＋i 2i ＝1＋i 且(1±i)2＝±2i.∴原式＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i 3－21 007i 3＝0.(3)(－12＋32i)3＝(－12＋32i)2(－12＋32i)＝(－12－32i)(－12＋32i)＝1.跟踪训练1 解 (1)i 2 006＋(2＋2i)8－(21－i)50＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－[2－2]25＝i 2＋(4i)4－i 25＝－1＋256－i ＝255－i. (2)原式＝23(－12－32i)3＋23(－12＋32i)3＝23×1＋23×1＝16. 例2 (1)1＋i (2)－1－i 解析 (1)2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝－2＋2i ＝1＋i.(2)∵z ＝－3＋i2＋i＝－3＋－＋－＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z 的共轭复数z ＝－1－i. 跟踪训练2 (1)－1 (2)2＋i 解析 (1)∵i ＋1i －1＝＋2－－＋＝2i－2＝－i ， ∴i 3＋i －1＝i 3(－i)＝－i 4＝－1.(2)∵z ＝4＋3i1＋2i ＝＋－5＝10－5i 5＝2－i ，∴复数z ＝2＋i.例3 解 (1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2＝＋231＋23i＋(5－1)－2i2＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝22＋3－－－＝22＋4i－＋＝22＋2]2·i 2＝2·(2i)2·i＝－42i.跟踪训练3 解 ＋2＋－2＋i＝2i ＋－2＋i＝3－i 2＋i＝－－＋－＝1－i.∵a 是纯虚数，设a ＝m i(m ∈R ，且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋a 1－i＝－2i ＋m＋－＋＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋(m2－2)i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2<0，m 2－2＝0，得m ＝4，∴a ＝4i. 达标检测 1．－6－5i 解析5－6ii ＝－i2＝－(5i －6i 2)＝－(5i ＋6)＝－6－5i.2.725＋4925i 解析 原式＝－3＋4i 3＋4i ＋3＋4i4－3i＝－3＋－25＋－4－3i＝7＋24i 25＋i ＝725＋4925i. 3．－23解析2－b i1＋2i＝－b－5＝2－2b －＋b5＝2－2b 5－4＋b 5i.由题意知，2－2b＝4＋b ，得b ＝－23.4．1解析 z 1＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i 8)＋(i 9＋i 10＋i 11)＝0－1＝－1.z 2＝i 1＋2＋…＋12＝i 78＝－1，∴z 1z 2＝1.5．解 (1)依题意，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ， ∴a ＝－ 2. (2)∵z ＝2i1－i＝＋－＋＝i(1＋i)＝－1＋i ， ∴z ＝－1－i ， ∴z ＋3i ＝－1＋2i.。