三角函数线的定义及应用
高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，ta nα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x 轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数的线性代数解析与应用
三角函数的线性代数解析与应用三角函数是数学中一个重要的概念，在不同的领域有着广泛的应用。
本文将探讨三角函数的线性代数解析与应用，并介绍其中的一些具体实例。
一、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们都可以通过单位圆上的点坐标来定义。
正弦函数定义为在单位圆上，给定一个角度θ，该角度对应的点的y坐标即为正弦值。
余弦函数则对应点的x坐标，正切函数是正弦函数除以余弦函数。
三角函数具有一些重要的性质。
例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，有着周期为2π的特点。
它们还有诸如对称性、奇偶性等性质。
这些性质可以通过线性代数的方法来解析和证明。
二、三角函数的线性代数解析线性代数作为数学的一个重要分支，能够通过向量和矩阵的运算来分析三角函数的性质。
我们可以将三角函数表示为矩阵和向量的形式，从而进行线性代数运算和分析。
以正弦函数为例，假设有一个向量v = (x, y)表示一个点的坐标，我们可以定义一个叫做旋转矩阵的矩阵R，使得向量v绕原点旋转θ角度后的坐标为v' = Rv。
通过线性代数的运算，我们可以得出旋转矩阵与正弦函数之间的关系。
同样地，余弦函数和正切函数也可以通过矩阵和向量的形式进行线性代数解析。
通过矩阵运算的方法，我们可以更深入地理解三角函数的性质，例如它们的周期性、对称性等。
三、三角函数的应用三角函数在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
在物理学中，正弦函数的周期性和波动性使之成为描述振动和波动现象的重要工具。
在工程学中，三角函数可以用于描述波的传输、信号的调制等问题。
在计算机图形学中，正弦函数和余弦函数因其周期性和波浪形状而得到广泛的应用。
例如，在计算机游戏中，通过正弦函数和余弦函数可以生成逼真的波浪效果。
在计算机生成的图形中，三角函数可以用于旋转、缩放和平移等操作。
四、案例分析：正弦函数的应用正弦函数是三角函数中的一种，它具有周期2π的特点。
我们可以通过矩阵和向量的形式来分析正弦函数的应用。
高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)_知识点总结
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）_知识点总结高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT 方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
三角函数线
三角函数线一、知识与技能1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题二、过程与方法1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.三、情感、态度与价值观1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识.2.通过三角函数线学习，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间教学重点：三角函数线的作法及其简单应用教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、温故而知新1. 前面我们学习了利用单位圆定义三角函数，复习：1单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦(sine),记做,即;(2)叫做的余弦(cossine),记做,即;(3)叫做的正切(tangent),记做,即.正弦函数,余弦函数,正切函数统称为三角函数师：我们那么能否在此基础上用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢?这就是我们今天一起要研究的问题.二、研探新知(1)设角的终边与单位圆交于点P(_,y),过点P作_轴的垂线,垂足M,用的三角函数表示点P的坐标 ;线段OM的长度|OM|= ;线段MP的长度|MP|= .(利用几何画板演示,角的变化过程中,角的终边和单位圆的交点坐标的变化)|MP|=|y|=|sin_alpha;|, |OM|=|_|=|cos_alpha;|(2)思考1:如何去掉上述等式中的绝对值符号,为此能否给线段OM,MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?2.有向线段我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴上时, 规定：(1) 以为始点、为终点的线段：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值;当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值;其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有(2)以为始点、为终点的线段，当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值;当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值;其中为点的纵坐标.这样,无论那种情况都有像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.思考2:你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗?过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.(利用几何画板演示)根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有三、三角函数线由上述四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有,，.我们把这三条与单位圆有关的有向线段分别称为角的正弦线,余弦线,正切线.他们统称三角函数线几点说明：①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段;余弦线在轴上;正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
圆与三角函数线
05
实例分析
三角函数线在几何问题中的应用
确定角度
01
三角函数线可以用来确定几何图形中的角度，例如在三角形中，
通过三角函数线可以找到角的大小。
计算长度
02
利用三角函数线，可以计算出几何图形中某条边的长度，例如
在直角三角形中，可以通过三角函数线计算斜边长度。
解决最值问题
03
通过三角函数线，可以解决几何图形中的最值问题，例如在圆
圆与三角函数线在解析几何问题中的应用
极坐标与直角坐标转换
圆和三角函数线在解析几何中常常用于极坐标与直角坐标之间的转换，例如在求解某些 曲线方程时，可以将极坐标转换为直角坐标，或者将直角坐标转换为极坐标。
解决轨迹问题
通过圆和三角函数线的组合，可以解决一些轨迹问题，例如在平面内求一个点绕另一个 点做圆周运动的轨迹。
解决最值问题
通过圆和三角函数线的组合，可以解决一些最值问题，例如在平面内求一个点到另一个 点的距离的最大值或最小值。
06
总结与展望
总结
圆与三角函数线是数学中两个重要的 概念，它们在几何、代数和三角学等 多个领域都有广泛的应用。
三角函数线是三角函数在直角坐标系 中的图像表示，包括正弦线、余弦线 和正切线等。
圆是二维平面上的一个封闭曲线，其 性质包括圆心到圆上任一点的距离相 等、经过圆心的直径将圆分成两个相 等的部分等。
圆与三角函数线在解析几何、微积分、 物理和工程等领域都有广泛的应用， 是数学和科学研究中不可或缺的工具。
未来研究方向
随着数学和科学技术的不断发展， 圆与三角函数线的研究也在不断
深入。
未来研究方向包括探索圆与三角 函数线的更多性质和应用，以及 如何将它们应用于实际问题中， 如物理学、工程学和经济学等。
三角函数的图像性质及应用
三角函数的图像性质及应用三角函数是数学中的重要概念之一，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像性质及应用广泛存在于物理、工程、计算机图形学等领域，下面将对其进行详细介绍。
首先介绍正弦函数的图像性质及应用。
正弦函数的图像是一条连续、周期为2π的曲线，其形状为振荡在y轴上下的波浪线。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，中心线为y=0，对称轴为中心线。
在一单位周期内，正弦函数从最小值经过中心线到最大值，再回到中心线。
正弦函数的周期性质与弧度相关，其周期公式为T=2π，其中T为周期。
正弦函数的应用非常广泛，比如在物理学中可以用来描述波动的运动状态，如光波、声波等。
在工程学中，正弦函数可以用来描述交流电的变化规律，同时在信号处理中也有重要作用。
接着介绍余弦函数的图像性质及应用。
余弦函数的图像也是一条连续、周期为2π的曲线，与正弦函数非常相似，但其图像在y轴向左移动了π/2。
余弦函数的最大值为1，最小值为-1，中心线为y=0，对称轴为中心线。
在一单位周期内，余弦函数从最大值经过中心线到最小值，再回到中心线。
余弦函数与正弦函数的周期、相位存在关系，其中余弦函数的相位比正弦函数的相位延迟π/2。
余弦函数的应用也非常广泛，在物理学中可以用来描述振动的运动状态，如弹簧振子、机械波等。
在工程学中，余弦函数可以用来描述交流电的变化规律，同时在图像处理中也常常用到。
最后介绍正切函数的图像性质及应用。
正切函数的图像是一条周期为π的曲线，其形状具有对称性，在每个周期内从负无穷大变到正无穷大，同时具有垂直渐近线和周期渐近线。
正切函数的应用主要体现在三角解析中，可以用于求解各种三角方程以及解决各种与角度有关的问题，如航空飞行、旗杆倾斜、测高仪等。
除了上述的图像性质和应用之外，三角函数还与解析几何、微积分等数学分支紧密相关。
在解析几何中，三角函数可以用来描述平面和空间中点的位置关系、角的大小以及各种几何形状的性质。
在微积分中，三角函数是常见的函数类型，与指数、对数函数一样，具有重要的微分和积分性质，经常被用于求导、积分、级数展开等。
三角函数线及应用
三角函数线及应用三角函数是高等数学中的重要内容，广泛应用于各个领域，如工程、物理、天文学等。
本文将介绍三角函数的定义、性质及其在实际问题中的应用。
首先，我们来定义三角函数。
在平面直角坐标系中，以原点O为起点，做一条射线r，与X轴正半轴之间的夹角记为θ。
此时，r与X轴正半轴的交点为点P。
根据射线和X轴的夹角θ不同，我们定义三角函数sinθ、cosθ、tanθ和cotθ等，其中：正弦函数sinθ等于点P的纵坐标y与斜边OP的长度之比；余弦函数cosθ等于点P的横坐标x与斜边OP的长度之比；正切函数tanθ等于点P的纵坐标y与点P的横坐标x之比；余切函数cotθ等于点P的横坐标x与点P的纵坐标y之比。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下性质：1. 对于任意实数θ，有sin²θ+ cos²θ= 1。
这被称为“三角恒等式”，是三角函数的基本性质之一。
2. sinθ和cosθ的取值范围均在[-1, 1]之间，tanθ和cotθ的取值范围为实数集。
3. 三角函数在不同象限的取值情况：第一象限：sinθ> 0，cosθ> 0，tanθ> 0，cotθ> 0；第二象限：sinθ> 0，cosθ< 0，tanθ< 0，cotθ< 0；第三象限：sinθ< 0，cosθ< 0，tanθ> 0，cotθ> 0；第四象限：sinθ< 0，cosθ> 0，tanθ< 0，cotθ< 0。
接下来，我们来看一些三角函数的具体应用。
1. 工程中的应用：在工程中，三角函数常常被用于解决各种测量和设计问题。
例如，在建筑设计中，建筑师需要根据太阳的位置来确定房间的采光效果。
这时，就可以利用三角函数来计算太阳的仰角和方位角，从而确定阳光的照射方向和强度。
2. 物理学中的应用：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述振动、波动和旋转等现象。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
1.2.1.2三角函数线
三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了 三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.
图示
对三角函数线的理解 (1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几 何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定 的有向线段的数值可以用来表示三角函数值． (2)三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时， 也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠 倒．为此，我们规定凡由原点出发的线段，以原点为起点；不 从原点出发的线段，以三角函数线与坐标轴的交点为起点．
(1)
(2)
1 1 【变式 1】 若将例题中“sin α＝2”改为 cos α＝2， 如何画出角 α 的终边． 解 1 如图作直线 x＝ 交单位圆于 M、N.则 OM、ON 为角 α 的 2
终边．
题型二 三角函数线的简单运用 π π 【例 2】 (2012· 聊城高一检测)如果4<α<2，那么下列不等式成 立的是( )． B．tan α<sin α<cos α D．cos α<tan α<sin α
π 2π ∴x∈2kπ＋3，2kπ＋ 3 (k∈Z)．(6 1－ (2)如图所示，∵ 1＋
分)
2cos x>0， 2cos x≥0，
2 2 ∴－ 2 ≤cos x< 2 ，(9 分)
π 3π 5π 7π ∴ x ∈ 2kπ＋4，2kπ＋ 4 ∪ 2kπ＋ 4 ，2kπ＋ 4 (k ∈ Z) ，即 π 3π kπ＋ ，kπ＋ (k∈Z)(12 4 4
三角函数线及其应用
三角函数的一种几何表示--三角函数线
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线， 余弦线，正切线．
高一第12讲 三角函数定义及运用(教师版)
(2)设 90° α<180°， 角 α 的终边上一点为 P(x， 5)， 且 cosα＝ 的值； 解析：(1)∵r＝ x ＋5，∴cosα＝
2
2 x， 求 sinα 与 tanα 4
x 2 x ，从而 x＝ 2 ，解得 x＝0 或 x＝± 3. 2 4 x ＋5 x ＋5
5 10 ∵90° α<180°，∴当 x＝－ 3时 r＝2 2，sinα＝ ＝ ， 4 2 2 5 15 tanα＝ ＝－ .当 x 0 时，sinα= 5 ，tanα 不存在。 3 － 3 例 4 角α终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a＞0)，角β终边上的点 Q 与 A 关于直线 y＝x 对称，求 sin α²cos α＋sin β²cos β＋tan α²tan β的值． 解析 由题意得，点 P 的坐标为(a，－2a)，点 Q 的坐标为(2a，a)． －2a 2 a 1 所以，sin α＝ 2 ＝－ ，cos α＝ 2 ＝ ， 2 2 a ＋－2a 5 a ＋－2a 5 －2a a 1 2a 2 tan α＝ ＝－2，sin β＝ ＝ ，cos β＝ ＝ ， 2 2 2 2 a 2a ＋a 5 2a ＋a 5 a 1 tan β＝ ＝ ，故有 sin α²cos α＋sin β²cos β＋tan α²tan β 2a 2 －2 1 1 2 1 ＝ ³ ＋ ³ ＋(－2)³ ＝－1. 2 5 5 5 5 课堂小结：任意角的三角函数值与终边所在的位置有关，与点在终边上的位置无关，故要首 先判定 P 点所在的象限，确定 r，最后根据定义求解．
y x
α 的终边不能与 y 轴重合，故正切函数的定义域为α|α≠kπ＋ ，k∈Z.
π 2
[3] 三角函数线是三角函数的几何表示 (1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负． (3)当角 α 的终边在 x 轴上时，点 T 与点 A 重合，此时正切线变成了一个点，当角 α 的终边在 y 轴上时，点 T 不存在，即正切线不存在． (4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的 三角函数， 即用有向线段表示三角函数值， 这是三角函数与其他基本初等函数不同的地 方．
(完整版)任意角的三角函数定义、三角函数线重点、难点题型
任意角的三角函数定义、三角函数线重点、难点题型知识梳理：1．任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立直角坐标系．设P (x ，y )是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r ＝OP ＝x 2＋y 2>0．定义：x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r；y r 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ； y x 叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝y x． 另外，角α的正割：sec α＝1cos α＝rx ；角α的余割：csc α＝1sin α＝ry ；角α的余切：cot α＝1tan α＝xy．2．六种三角函数值在各象限的符号3．三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α，cos α tan α，sec αcot α，csc α题型一：三角函数定义的应用 例1. 已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．思维启迪：对m 的讨论必须全面，不能遗漏m=0例2. 角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5跟踪练习：已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求sin cos αα+感悟：1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin ”、“cos ”、“tan ”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin ”与“α”的乘积．题型二 符号规律的应用 例3.判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan(－23π4)．例4.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________跟踪练习：1. 若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2. 已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( )A ．{－3，－1,1,3}B ．{－3，－1}C ．{1,3}D ．{－1,3} 3.．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________ 4.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ能力提升：1若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．2. 若角α的终边过点0(2sin 30,2cos30)-，则sin α=______3. 角α的终边过点P 43(,)55m m --，且cos 0tan αα<，求sin tan αα+的值题型三：单位圆与三角函数线的应用1．单位圆与三角函数的定义一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．2．三角函数线三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值．图 示正弦线 有向线段MP 即为正弦线 余弦线 有向线段OM 即为余弦线正切线有向线段A T 即为正切线例5在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12．能力提升: 求下列函数的定义域． f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22 例6.已知点P (sin cos ,tan )ααα-在第一象限，在[]0,2π内，求α的取值范围例7.若如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：（1）sin α<α<tan α．（2）1sin cos 2παα<+<跟踪练习：1.已知5,44x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则sin x 与cos x 的大小关系是（ ） （A ）sin cos x x ≥（B ）sin cos x x ≤ （C ）sin cos x x >（D ）sin cos x x <2.下列四个命题中：（1）α一定时，单位圆中的正弦线一定； （2）单位圆中，有相同正弦的角相等； （3）α与απ+有相同的正弦线（4）具有相同正切线的两个角终边在同一直线上。
高中常考的数学知识点三角函数的定义
高中常考的数学知识点三角函数的定义一、三角函数三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的'三角不等式，通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用,如何运用三角函数的图像解决问题能够帮助对数形结合思想的掌握。
二、三角函数诱导公式1.公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等运用同角三角函数的基本关系式求值2.公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=—sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα三、锐角三角函数在△ABC中，∠C为直角，∠A和∠B是锐角三角函数专题题型全归纳第一节：三角函数概念及同角三角函数关系题型一：概念辨析题型二：象限角及终边相同的角题型三：扇形的弧长及面积公式题型四：三角函数的定义及应用题型五：同角三角函数直接应用题型六：同角三角函数之弦的齐次式第二节：诱导公式及恒等变换题型一：诱导公式的运用题型二：恒等变换题型三：角的拼凑第三节：三角函数的图像及性质题型一：三角函数的周期题型二：三角函数的定义域题型三：三角函数的单调性题型四：三角函数的对称性题型五：三角函数的奇偶性题型六：三角函数的值域第四节：三角函数的图像变换及综合题型一：图像变换题型二：已知图像求解解析式题型三：三角函数性质综合（多选题专练）题型四：三角函数解答题题型五：三角函数实际应用第五节：解三角形题型一：正余弦定理选择题型二：边角互换题型三：与三角形面积有关题型四：三角形形状判断题型五：三角形的个数判断题型六：最值与取值范围题型七：解三角形在平面图形中的运用题型八：解三角形的实际应用题型九：解三角形解答题专练。
三角函数线
1 单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么得到六个三角函数
有向线段：有大小和方向的线段。
3，正弦线作法：
(1)设角的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,
得有向线段MP叫做角的正弦线，当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且y有正值；当线段MP与y 轴反向时，MP的方向为负向，且y有负值。
同理可得余弦线等其它线。
正弦线的方向以上为正，且永远为从点P在x轴的投影点M指向终边与单位圆的交点P，
余弦线的方向以右为正，且永远为从原点O指向终边与单位圆的交点P在x轴的投影点M，
4. 正切线作法：
根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
正切线的方向以上为正, 正切线的方向永远从（1，0）指向角终边所在直线，
且正切线永远在y轴右边，正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上。
角终边落在1、3象限正切线为正，2、4象限时正切线为负，
常用的三种三角函数线的作法：
第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；
第二步：过点P作X轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；
第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.
特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写时要带上方向符号。
五、三角函数线的应用。
正弦线和余弦线的定义
正弦线和余弦线的定义数学中的正弦线和余弦线是两个最为重要的三角函数之一，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质、图像以及应用等方面详细介绍正弦线和余弦线的知识。
1.定义正弦线和余弦线是以圆上一点为基础定义的三角函数。
假设点P在单位圆上，以x轴正方向为起点，按逆时针方向旋转一定角度θ，则我们可以得到如下定义：正弦线sinθ=蓝线OP/红线OA余弦线cosθ=绿线OC/红线OA其中，P点到圆心O的距离为1，OA和OC分别为x和y轴上的坐标。
2.性质正弦线和余弦线都是周期函数，其最小正周期为2π。
在周期为2π的区间内，正弦线和余弦线都是奇函数和偶函数。
即sin（ - θ）= - sinθ，cos（ - θ）=cosθ，sin（θ±π）= - sinθ，cos（θ±π）= - cosθ。
另外，它们还有如下的性质：①在第一象限，0°<θ<90°，正弦线是单调递增的，余弦线是单调递减的；②在第二象限，90°<θ<180°，正弦线是单调递减的，余弦线是单调递减的；③在第三象限，180°<θ<270°，正弦线是单调递减的，余弦线是单调递增的；④在第四象限，270°<θ<360°，正弦线是单调递增的，余弦线是单调递增的。
3.图像正弦线和余弦线的图像是两个典型的波形图。
正弦线图像为周期为2π的正弦曲线，波峰为1，波谷为-1，它在数学中有着重要的应用。
余弦线的图像为周期为2π的余弦曲线，它的图像同正弦曲线相似，在应用中经常用作电路中的交流电压。
4.应用正弦线和余弦线在工程、物理学等领域有着广泛的应用。
例如：①在电气工程中，交流电压的变化规律就是一个余弦曲线，通过调整余弦曲线的参数可以实现电压的调节控制。
②在声学和声波技术中，正弦线和余弦线的图像被用来描述声波的传播和振动规律。
正弦线和余弦线的定义
正弦线和余弦线的定义正弦线和余弦线是初中数学中经常出现的概念，也是高中数学中的重要概念之一。
正弦线和余弦线的定义涉及到三角函数的概念，在本文中，我们将对正弦线和余弦线的定义进行详细的介绍。
一、正弦线和余弦线的定义正弦线和余弦线是三角函数中的两个重要概念。
在定义正弦线和余弦线之前，我们先来了解一下什么是三角函数。
三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，其中最常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
其中，正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数。
正弦函数表示的是一个角的正弦值，用sin表示，其定义如下：在直角三角形中，如果一个角的对边为a，斜边为c，则这个角的正弦值为sinA=a/c。
余弦函数表示的是一个角的余弦值，用cos表示，其定义如下：在直角三角形中，如果一个角的邻边为b，斜边为c，则这个角的余弦值为cosA=b/c。
正弦线和余弦线的定义是：正弦线是以圆的中心为原点，以圆的半径为单位，将圆周上的点与x轴正半轴的交点的纵坐标作为函数值，所得的函数。
余弦线是以圆的中心为原点，以圆的半径为单位，将圆周上的点与x轴正半轴的交点的横坐标作为函数值，所得的函数。
二、正弦线和余弦线的性质1. 周期性正弦线和余弦线都是周期函数，它们的周期都是2π。
也就是说，当自变量增加2π时，函数值会重复。
2. 奇偶性正弦线是奇函数，即sin(-x)=-sinx。
余弦线是偶函数，即cos(-x)=cosx。
3. 对称性正弦线和余弦线都有对称性。
正弦线关于y轴对称，即sin(-x)=-sinx。
余弦线关于x轴对称，即cos(-x)=cosx。
4. 增减性正弦线和余弦线在不同的区间内有不同的增减性。
在0到π/2的区间内，正弦线和余弦线都是单调增加的。
在π/2到π的区间内，正弦线单调递减，余弦线单调递增。
在π到3π/2的区间内，正弦线和余弦线都是单调递减的。
在3π/2到2π的区间内，正弦线单调递增，余弦线单调递减。
三、应用正弦线和余弦线在数学中有很多的应用，其中最常见的应用是在三角函数的计算中。
三角函数的定义及应用
三角函数的定义及应用角度1 利用三角函数定义求值已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( B )A ．－45B ．－35 C.35D.45解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55.因此cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.角度2 三角函数值的符号判定若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0__. 解析：∵角α的终边落在直线y ＝－x 上， ∴角α的终边位于第二或第四象限． 当角α的终边位于第二象限时， sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0； 当角α的终边位于第四象限时， sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0. ∴sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 角度3 三角函数线的应用函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z ) .解析：要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z )． 1.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．3．利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 (1)用边界值定出角的终边位置． (2)根据不等式(组)定出角的范围． (3)求交集，找单位圆中公共的部分． (4)写出角的表达式．(1)(2019·西安一模)函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin α＋cos α的值为( D )A.75B.65C.55D.35 5解析：∵函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4,2)，且角α的终边过点P ，∴x ＝4，y ＝2，r ＝25，∴sin α＝55，cos α＝255， ∴sin α＋cos α＝55＋255＝35 5.(2)若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( C )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α解析：如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4＜α＜－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.。
高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x 轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。