2004年高考数学试卷(江苏卷)

时间(小时) 2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学（江苏卷）
一、选择题(5分×12=60分)
1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 ( )
(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}
2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( ) (A)2
π (B)π (C)π2 (D)π4 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )
(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种
4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( ) (A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33
π3416cm 5.若双曲线1822
2=-b
y x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)24
6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )
(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时
7.4)2(x x +的展开式中x 3
的系数是 ( )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)48
8.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( )
(A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 2
9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )
(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)91216
10.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
11.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴
交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交
于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( )
(A)3 (B)32 (C)43 (D)65
12.设函数)(1)(R x x
x x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个
二、填空题(4分×4=16分)
13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：
则不等式ax
+bx+c>0的解集是_______________________.
14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.
15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2
)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.
16.平面向量b a ,中，已知=(4，-3)=1，且⋅=5，则向量=__________.
三、解答题(12分×5+14分=74分)
17.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3
πα-)的值. 18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.
· B 1 P
C
D A 1 C 1 D 1
O H ·
19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .
(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k
S S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S
=成立.
21.已知椭圆的中心在原点，离心率为12
，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，
求直线l 的斜率.
22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有
)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=
(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；
(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；
(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.
2004年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考答案
一、选择题
ABDCA BCADC BA
二、填空题
13、{2x x <-或3}x >
14、22(1)(1)25x y -+-=
15、2
16、43(,)55b =-
三、解答题
17、解：由题意可知4sin 5
α=，
sin()3π
α∴-=
18、解（1）APB ∠=（2）略
（319、解：10318
x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，设0.5z x y =+
当46x y =⎧⎨=⎩
时，z 取最大值7万元 20、解：（1）4k =
（2）100a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩或110
a d =⎧⎨=⎩ 21、解：（1）22
22143x y m m
+=
（2）k =±或0
22、解：（1）不妨设12x x >，由[]2
121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-
可知12()()0f x f x ->，
()f x ∴是R 上的增函数
∴不存在00b a ≠，使得0()0f b = 又[]2212121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-⋅-≤- 1λ∴≤
（2）要证：222
000()(1)()b a a a λ-≤--
即证：2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦ (*)
不妨设0a a >，
由[]2
121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅- 得00()()()f a f a a a λ-≥-，
即0()()f a a a λ≥-，
则2
002()()2()f a a a a a λ-≥- （1） 由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤- 即0()f a a a ≤-，
则22
2
00()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦ （2）
由（1）（2）可得22
00()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦
222000()(1)()b a a a λ∴-≤--
（3）220[()]()f a a a ≤-,
2222
0(1)[()](1)()
f a a a λλ∴-≤-- 220[()]()f b b a ≤-
又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤--
222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-。