斐波那契数列的隐含周期性质

图形计算器研究斐波那契数列隐含周期性

所在省市：天津市

作者姓名：李元亨

所在学校：天津耀华中学

指导教师：王洪亮

一.简单背景介绍

斐波那契数列，又称兔子数列，是一种最简单的递归数列；它的提出，首先在斐波那契的《算盘之书》中出现，有趣的是，斐波那契只是把这种简单的计算关系作为十进制数字比罗马数字简单的优越性的一个例子，这个例子又叫做兔子谜题，原题如下：

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力。

一对兔子每个月能生出一对小兔子来。

如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

简单分析一下，可知：

幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

这样我们就得到了一个递归式：Fn =F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

三.关于斐波那契数列周期性性质的探究

斐波那契数列的无穷递增的性质很容易根据图形计算器的图形得到探究。我相信任何一个无穷递增数列的性质应当不仅仅与数列中每项的数字或数本身有关，也应当进行其在与数字进行其他运算方法的关系。利用类比的数学思想，我认为，有许多种无穷递增数列，即使在每项本身没有较易发现的关系，在经过某种运算后也可以体现出特殊的性质——体现周期性。因此，我们有不太充分的理由可以相信，斐波那契数列经过一种或几种特殊的运算之后也应当可以体现出某种周期关系。

为了让一个递增数列体现出一种周期性，我们只可以使其失去递增的特点，否则永远无法继续上一个周期。首先我只是认为斐波那契数列的末位数应当有周期关系（只要出现连续两项于前面的连续两项相等，后面必定具有周期性，证明从略）为了探讨这个问题，我将斐波那契数列一直用笔列至70项，使用了大量的时间，经过了巨大的运算量才发现了规律。后来，经过分析我认为斐波那契数列中每一项的末尾数即是每一项除以10的余数。

所以我们可以探讨对其他数取余的情况，经过了如此大规模的计算，我认为我应当可以减少计算量。突然，一个想法映入我的脑海：可使用图形计算其强大的计算功能来帮助我进行研究，并可以使用图表、递归等多种方式生动的将我的结论展现出来。

(一)斐波那契数列的周期性关系

对于斐波那契数列是否具有隐含的周期性，及余数的周期性我们应当先进行较为一般性的探究，所以我们定义一个数列bn = bn mod m（m是整数），以探究bn的周期性。为了更深层地讨论周期性问题，我们可以定义一个数列kn，以代表bn= bn mod n的周期长度。

1）首先我们讨论一下周期的存在性

利用上面建立的斐波那契数列an 建立一个bn 体现其余数关系。

我们任取一个数，比如说11

（bn=an+1-int（an+1/11）*11）即斐波那契数列中每一项对11取余。

这时，k(11)=10。下面这个表格展示了一个周期里的数字。

项数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b(n) 1 1 2 3 5 8 2 10 1 0

2）数表不容易体现其周期性，所以观察其连续图。

可以体现了较为明显的周期性，所以周期在m=11时存在。这时k（11）=10

不过我们还可以尝试一下其他的数使斐波那契数列的每一项对其取余，以确定这不是一个偶发事件。

3）所以我们把bn 的式子改为bn=an+1-int（an+1/22）*22即斐波那契数列中每一项对22

取余。

这时k（22）=30

递归还是可以体现很明显的周期性，不过显然周期中数字的个数k（22）=30要长很多。

下面这个表格展示了一个周期里的数字。

项数123456789101112131415 b(n) 112358132112111213316

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19 13 10 1 11 12 1 13 14 5 19 2 21 1 0

而和等比数列不同的是，其周期中数字个数的在取余时变化（周期长度的变化）在除数变化不太大时，周期长度的差异不是很大，而在斐波那契数列中的每一项对其他数取余时，周期的变化就很明显了。这就是斐波那契数列相似的周期性中的不同点。

4）我们把bn 的式子改为bn=an+1-int（an+1/8）*8即斐波那契数列中每一项对8取余。这时k（8）=12

下面这个表格展示了一个周期里的数字。

5）在探究周期性的同时我们可以得到一个发现，即每一个周期的最后一个数都是0，而前

一个数是1。更有趣的猜想是，每一项的周期数k(n)似乎都是一个偶数。

项数123456789101112

b(n) 112350552710

这时极易找出一个反例，即在n=2时，k（2）=3

项数123

b(n) 110

显然，我们为了确认是否是k（n）在n>2时是偶数还需进一步验证。

下面为了节约篇幅，展示出我得到的一组数据。

n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 k(n) 8 6 20 24 16 12 24 60 10 24 28 48 40 24 36 24 18 20 21 22 23 24 26 27 28 29 31 32 33 34 35 36 37

60 16 30 48 24 84 72 48 14 30 48 40 36 80 24 76

后有经过多次程序验证，我们可以得知在n<1500时这个猜想成立，进一步的证明还需要较高级的数学知识。

(二)周期长短的问题

经过刚才的验证，我们可以更了解到k(n)的性质。刚才我们在试验斐波那契数列对10取余时，发现对10 取余时得到的k（10）非常之大，已经远远大于24和10，更有k(25)与k(30)已经远远大于100，使我不禁怀疑了以上结论的正确性，不过最终找到了结果。

1)下面我们尝试一下对10取余。