坐标表示的焦半径公式

1.1 附件 1：ace 与 GBT19011-2008 标准主要差异性分析 一． 坐标表示的焦半径公式
1、 椭圆（一类）
由
代入整理得
,
同理，
可以假想点P在y轴右边， 公式常见应用：
且x>0 帮助，显然总有
（1） 椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c
符合椭圆定义。
（2） 椭圆上三点 A
,B
,C
则有
.
三．相交弦长公式 将直线 y=Kx+d 代入椭圆
存在相交弦 在
中，由求根公式
2d
1.1 附件 1：ace 与 GBT19011-2008 标准主要差异性分析
，
在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。 上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的方法推导。只是对于双曲线，直线不能 与渐近线平行；对于抛物线，直线不能与对称轴平行。 四． 焦点三角形问题 对于椭圆和双曲线存在焦点三角形
对于焦点三角形问题，应注意两条：
一是用定义：椭圆：
；双曲线：
。
二是用正余弦定理：
举例：已知椭圆
，点 P 位其上一点，点 P 对
张角
（即∠
），试求
表示式。
解：由余弦定理：
移项，消去 4：
又 说明：上面这个例子完全适用双曲线中的焦点三角形。
请你推导右面双曲线的图，若∠
，求
。
五． 其他有关知识点： 1. 椭圆中的基本
为椭圆
上一点，则椭圆过点 P 的切线方程为
同一法证明：由
（1）知点
为椭圆与直线的公共点，若椭圆与直线还有一个公共点
，则
（2）
（3）
（1）+（2）－2（3）：
即
，直线与椭圆仅有一个公共点，故为切线。
2） 椭圆切线的一般表示
点
为椭圆
上点的一般表示，代入上面的切点公式得
. 此为椭圆切线的一般表示。
练习题：求椭圆
为圆
上一点，则方程
为圆在点 P 处的切线。
3） 若点
或
上一点，则方程
或
为切点弦直线。
练习题： 1. 由 P（3,4）向圆 解：由 P（3,4）向圆
引两条切线 PA，PB，切点 A,B，求△PAB 外接圆方程。 所引切点弦直线方程为
6d
方程
1.1 附件 1：ace 与 GBT19011-2008 标准主要差异性分析
为过 A,B 两点的圆系方程，代入 P（3,4），
，外接圆方程为
.
2.（09 山东）圆 点，都有 OA⊥OB。
在椭圆
内部，求 t 使圆
上任意一点处的切线与椭圆交于点 A,B 两
解：设
为圆
上一点，此点切线为
.
取
代入椭圆
得
，
得
.
再将切线
写成
，代入椭圆得
，得
.
由 OA⊥OB 知
.
5.有关切点弦直线的统一结论： 在准线上任一点的切点弦直线必过对应的焦点。
,B
,C
，有
成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半
径
也成等差数列。
（2）定义直线
为双曲线
的左右准线。
由焦半径公式，双曲线上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比 3.抛物线
总等于离心率 e.
公式的应用：抛物线上三点 A
,B
,C
，
1d
1.1 附件 1：ace 与 GBT19011-2008 标准主要差异性分析
.
间接证明：
先证切点弦直线必过焦点，再由焦点弦端点坐标公式，证明所引的两条切线必定垂直。
y 关于圆锥曲线焦点弦一个有关角度的结论：
如图，AB 为圆锥曲线任意一条焦点弦，点 E
C
B
为准线和对称轴焦点（亦称准点），则定有∠AEF=∠BEF。
证明：设点 C,D 为点 B,A 在准线上的射影，由圆锥
E
F
x
曲线统一定义：
若 较小，使
时，此时公式应表为
，此时焦点弦的两个端点分在两支上。
（4）对于抛物线
，∵e=1 ,
. 为焦点弦与对称轴夹角。
（5）通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在
，令
得通径的统一表示 2eP.
对于椭圆，双曲线:
；对于抛物线: 2eP=2P.
（6）以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比如
焦点弦与对称轴夹角 ，
1） 椭圆
，左准线
上一点
的切点弦直线
立。
对于双曲线，抛物线同样证明。
2） 抛物线
准线上一点的切点弦直线，不仅过焦点，且两条切线垂直。
可以直接证明：
代入左焦点
,方程成
设过点 M( )的直线
代入
，得一代入后方程：（请自己写结果）由这一方程的
得一斜率为 K 的二次关系式，视为 K 的一元二次方程。由韦达定理
对于椭圆，双曲线
(要求记忆)
（2）公式：
e:离心率，对于椭圆，双曲线，
.
（3）公式的应用： 焦点弦长公式
说明：
（1）焦点弦长公式中，方向角 以平方形式出现， 不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴
夹角：
.
（2）有对称性 改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立。
（3）对于双曲线当
所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。
具体运作时，移项，开方：
。这一结果可以使双曲线方程和它的渐近线方程，两者相互反馈。
例：已知双曲线以坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为
，且过点（6， 4）。试求该双曲线方程。
由
可得
得
.
4. 有关抛物线的知识点：
（1）四类抛物线：
可以简化为两大类：
.
焦点
。
（2）焦点弦端点坐标公式
如图，
为
的焦点弦，则有：
令∠ 可以通过三角函数对椭圆中的 a,b,c,e 进行相互转换。
比如：由 2. 双曲线中的基本矩形：
.椭圆的方程便可以假设为：
称为是相互共轭两条双曲线，作
3d
1.1 附件 1：ace 与 GBT19011-2008 标准主要差异性分析 ,四条直线构成一个矩形，称作 是这两条双曲线的基本矩形（如图）： 基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。
若
，则
。
二． 圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式
1、 统一定义：平面上到定点 F 与定直线 l 距离之比等于 常数 e 的点轨迹。若 0<e<1,轨迹为椭圆。 若 e=1，则轨迹为抛物线。 若 e>1，则轨迹为双曲线。 2.方向角焦半径公式
（1）方向角定义 如图：将 Fx 当始边，FM 当终边所成角定义为 点 M 的方向角。方向角 范围 将焦准距离统一表示为 P。
上点与直线距离的最大值。
设椭圆切线
，令其斜率
3） 切点弦直线
点
为椭圆
外一点，由 P 可向椭圆引
两条切线 PA，PB，切点 A,B。直线 AB 称为切点弦直线。
容Fra Baidu bibliotek证明点
的切点弦直线方程为
。
设切点
，则
切线 PA:
，由切线过
，则
。（1）
切线 PB:
，由切线过
，则
。（2）
由（1），（2），直线
过
2. 双曲线
，若
数列。
成等差数列，则到同一个焦点的焦半径
（3） 定义直线
为椭圆
的左右准线。
也成等差
由焦半径公式，椭圆上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比
2. 双曲线
由
代入整理得
总等于离心率 e.
,
由双曲线上点
,
若点 P 在右支上，
同理，
.总有
.
若点 P 在左支上，
同理，
.总有
.
公示的应用：
（1）若双曲线上同一支上的三点 A
y
M为
上任意一点，MA,MB 为
的两条切线。
求证：A,M,B 三点横坐标成等差。
证明：设
，由求导公式得过点 A 的抛物线切线为
,同理点
处切线为
若这两条直线是由点
所引的两切线，
A
.这一结果表明直线
B
过点
，点
，故直线
即为直线 AB
x
3. 圆 1） 若点
为圆
上一点，则方程
M 为圆在点 P 处的切线。
2） 若点
。
由
.
D
A
练习题：椭圆
，过点 P(4,0)做斜率 K 直线交椭圆于 A,B 两点，再过 P 做斜率－K 直线交椭圆于 C，D 两点。
（如图）
求证：AB 与 CD 交于定点。
y
证明：利用上面定理（要先证明引理），用同一法证明：
∵点 P(4,0)为准点，设椭圆右焦点 F。连接 DF 角椭圆
7d
与 ，则
1.1 附件 1：ace 与 GBT19011-2008 标准主要差异性分析
为焦点弦。
A
∴
.
又由假设
知
。
∵A 与 同为椭圆上一点，∴只能是 A= .
也即 AD 连线过右焦点 F，同理，BC 连线过右焦点 F。 ∴AB 与 CD 交于定点 F 。 精品文档 word 文档可以编辑！谢谢下载！
8d
基本矩形中
是
的一个基本 ：
OA=a ,AD=b, OD=c .令∠DOA= ,则 就是其一条渐
近线的倾斜角。设斜率 K，则 可以利用三角函数在双曲线的 a,b,c,e,K 之间进行过渡。
对于
，则
是它的基本 ：
. 令∠
BOD
。
互余，在共轭双曲线之间 e 与 有关系
.
3. 双曲线
渐近线
m>0 为一类双曲线，m<0 为二类双曲线，不论一类，二类，令 m=0 得到的两条直线定为双曲线的渐近线，
。故为切点弦直线。
（1）若点
为双曲线
上一点，则双曲线过点 P 的切线方程为
。
（2）若点
为双曲线拱形外一点，则由 P 可引双曲线的两条切线 PA，PB，切点 A,B，切点弦直线 AB 方程为
5d
1.1 附件 1：ace 与 GBT19011-2008 标准主要差异性分析
。 3. 抛物线
（1）若点
为抛物线
上一点，则抛物线
在点
处的切线方程为
.
完全类似于椭圆时情形，用同一方法进行证明。
若抛物线方程为
，其上一点
，则点 P 处切线方程为
。
若抛物线方程为
，其上一点
，则点 P 处切线方程为
（2）若点
为抛物线
拱形外一点，则由 P 可引抛物线
的两条切线 PA，PB，切点 A,B，则切
点弦 AB 所在直线方程为
。
练习题：（08 山东理）
y
练习题：由焦点弦的一个端点 B 做准线
的垂线，
垂足 E。证明：A,O,E 三点共线。
E
上面的性质可以推广到其他类型的抛物线。
（3）抛物线上两点连线斜率公式 4d
对于一类抛物线
1.1 附件 1：ace 与 GBT19011-2008 标准主要差异性分析 上两点
关于圆锥曲线的切线 1. 椭圆
1） 若点