实变函数 期末考试

黄冈师范学院

2015—2016学年度第学期一期末试卷 考试课程：实变函数 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师：陈文略

考试专业：应数 考试班级：应数2013

一、填空题：(3分×5题=15分)

1、实数R 的基数为 。

2、设[)(]1,01,0:→f 为一一映射，则()=x f 。

3、非真正的实数是指： 。

4、在区间[]b a ,上的单调函数 连续。

5、若)(x f 在[a ，b]上严格单调，则()f V b

a =

二、选择题：(3分×5题=15分)

（1）与[)1,0间不存在一一对应的是（ ）

A 、有理数Q

B 、平面2R

C 、实数R

（2）对于连续基数c, 下列不成立的是（ ）

A 、4c=c

B 、c c a =+

C 、c aa =

（3）f f n ⇒与f f n →的关系是（ ）

A 、f f n ⇒则f f n →

B 、f f n →则f f n ⇒

C 、都不是

（4）下列正确的表述是（ ）

A 、[][]a f E a f E <⇔>

B 、[][]a f E a f E =⇔>

C 、[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+>=≥∞

=k a f E a f E k 11

（5）[](){}2221,,1,0R y x y x B R A ⊂≤+=⊂=，则B A ⨯为

A 、圆

B 、圆柱

C 、圆锥

三、计算与证明：(6分×7题=42分)

（1）已知(){}2221,R y x y x E ⊂<+=，求'E

（2）证明在区间[]1,01R ⊂中，不含数码7的点的全体所成之集为一零测度集．

（3）证明：有理数集R Q ⊂为零测度集．

（4）已知()()x g x f = a.e. 于E,()()x h x g = a.e. 于E .

证明：()()x h x f = a.e. 于E.

（5）对于任何有限实数a ，若[]a f E ≥可测，证明[]a f E >可测.

（6）()x f 为E=[0，1]上的狄利克雷函数，求()dx x f E ⎰

（7）已知()x x f sin =，求：()f V π

20 .

四、证明：若()*0m E E φ=≠，E A ⊂, 则A 可测，

且 0=mA （9分）

五、已知函数()2x x f =，[]1,0∈x

求：()f E mG , (9分)

六、已知()x x f =，求当00=x 时的下列列导数

(1) {}n h 中n h n 1

=

(2) {}n h 中n h n 1

-= (10分)