16.2线段的垂直平分线的性质课件

探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B 作法： · A （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
B
A l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． · A· l
B
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探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？ 点此播放题解视频
B
A l
像学者一样思索
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
探索并证明线段垂直平分线的性质
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段 AB 两个端点的距离相等吗？
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等． A l P4 P3 P2 P1 B
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．” 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上． l 求证：PA =PB． P A
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． B A
C l
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问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · 追问1 对于问题2，如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？
解：∵
D
C
E
∵ ∴ ∵
AB =CE，BD =DC，∴ 即 AB +BD =DE ．
AB +BD =CD +CE．
一个重要的结论
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于 C 点P。求证：PA=PB=PC.
结论：三角形三边的垂 直平分线交于一点，并 且这点到三个顶点的距 离相等。
P A
B
源于生活，用于生活
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
·
A
·
B
C′ C
l
B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ B · A 若直线l 上任意一点（与点 · C 不重合）与A，B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC，就说明AC + C BC 最小． B′
创设情境，温故知新
1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？
2.线段的对称轴是什么 3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，„是 l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，„ 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系． P3 相等． 你能用不同的方法验证这一结论吗？ P2 P1 A l B
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 ． 于______ A
B
D
E
C
垂直平分线与证明
2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平 分 线 上 ， AB ， AC ， CE 的 长 度 有 什 么 关 系 ？ AB+BD与DE 有什么关系？ A AD⊥BC，BD =DC ∴ AD 是BC 的垂直平分线 ∴ AB =AC B 点C 在AE 的垂直平分线上 AC =CE． ∴ AB =AC =CE
如图，EFGH是矩形的台球桌面，有两球 分别位于A、B两点的位置，试问怎样撞 击A球，才能使A球先碰撞台边EF反弹后 再击中B球？
解：1．作点A关于EF 的对称点A′
H
A B
G
2．连结A′B交EF于 点C则沿AC撞击黑球A， 必沿CB反弹击中白球 E B。
C
A′
F
在数学的领域中,提出问题的艺术比解答 问题的艺术更为重要. ——康托尔
·
C
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
·
A
·
B
C
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C，BC′=B′C′． · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′， C AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′
用几何语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB．
垂直平分线与周长
• 如图所示，在△ABC中， AB=AC＝32，MN是AB的 垂直平分线，且有BC=21 ，求△BCN的周长。
A
M N
B
C
变式1
如图，如果△ACD的周长为18cm，△ABC的周 长为28cm， DE是BC的垂直平分线,根据这些
A D B E C
条件，你可以求出哪条线段的长? 【解析】
（1）△ACD的周长＝AD ＋CD＋AC＝18cm. （2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝28cm.
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝ AD＋BD＝AB. （4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.
变式2
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ B
·
A
·
C′ C
l
B′
应用拓展
A工厂
B工厂
货场C
如图,在公路L的同侧有两个工厂A 、B,要在路边建一个货场C,
使A、B两厂到货场C的距离之和最小,问点C的位置如何选择? 小结:作已知点的对称点是解决实际问题常用的方法.
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB， 点P 在l 上．求证：PA =PB． 证明：∵ l⊥AB， l ∴ ∠PCA =∠PCB P
在△APC与△BPC中
AC=B C ∠PCA=∠PCB ，
A
Hale Waihona Puke CBPC=PC ∴ΔAPC≌BPC（ SAS ）
∴ PA =PB． 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等．