北京大学2013年网络学历教育高等数学模拟题2

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2013年高考数学二模文科试卷B版(朝阳区有答案)

2013年高考数学二模文科试卷B版（朝阳区有答案）北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文）2013.5第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合，，则=A.B.C.D.（2）已知：，：，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（3）函数（）的图象的一条对称轴方程是A．B.C.D．（4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内的条件是A.?B.?C.?D.？（第4题图）（5）若双曲线的渐近线与抛物线相切，则此双曲线的离心率等于A．B．C．D．（6）将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是A．B．C．D．（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．B．（第7题图）（８）已知函数，定义函数给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是A．②B．①③C．②③D．①②第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）为虚数单位，计算．（10）已知向量，若，则的值为.（11）已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则首项_,前项和__. （12）若直线与圆相交于,两点，且线段的中点坐标是，则直线的方程为.（13）某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨(为的约数)，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．（14）数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如当时，，，；当时，，，，.则当时，；试写出．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为，且.（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．（16）（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．（17）（本小题满分14分）如图，已知四边形是正方形，平面，，，,,分别为,,的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数，（）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，对于任意，总有成立.（19）（本小题满分14分）已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为,且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过焦点斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，试求点到轴的距离；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知实数（且）满足，记.（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）当时，求的最小值；（Ⅲ）当为奇数时，求的最小值．注：表示中任意两个数,（）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）2013.5一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DABCBCAC二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案或8；63；（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）.因为，所以.则所以当，即时，取得最大值，且最大值为.……7分（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则.因为，所以，则.由得，．……………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，解得.所以此次测试总人数为．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．……………………4分（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为．……………………7分（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在有2人，记为；在有6人，记为．从这8人中随机抽取2人有，共28种情况．事件A包括共12种情况．所以．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为． (13)分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为,分别为，的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.……………4分（Ⅱ）因为平面，所以.又因为，，所以平面.由已知,分别为线段,的中点，所以.则平面.而平面，所以平面平面.…………………………………………………9分（Ⅲ）在线段上存在一点，使平面.证明如下：在直角三角形中，因为,,所以.在直角梯形中，因为，,所以，所以.又因为为的中点，所以.要使平面，只需使.因为平面，所以，又因为，,所以平面，而平面，所以.若，则∽,可得.由已知可求得，，，所以.……14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数的定义域为，.当时，当变化时，，的变化情况如下表：当时，↗↘↗综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. ……………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且.所以时，.因为，所以，令，得.①当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以.因为，所以对于任意，总有.②当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，.所以对于任意，仍有.综上所述，对于任意，总有.…………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题设，，则，.由，解得，所以.所以椭圆的方程为.…………………………………………4分（Ⅱ）依题直线的方程为.由得.设,,弦的中点为，则，，，，所以.直线的方程为，令，得，则.若四边形为菱形，则，.所以.若点在椭圆上，则.整理得，解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形. 此时点到的距离为.………………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得．．………………………3分（Ⅱ）时，．固定，仅让变动，那么是的一次函数或常函数，因此．同理．以此类推，我们可以看出，的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是．当（）时，．因为，所以，且当，，时，因此．……………………………………………7分（Ⅲ）.固定，仅让变动，那么是的一次函数或常函数，因此．同理．．以此类推，我们可以看出，的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是．当（）时，．当为奇数时，因为，所以，另一方面，若取，，那么，因此．…………………………………………………………13分。

北京市西城区2013届高三第二次模拟考试文科数学试题(word版)

（A）8 （B）7
（C） 6
（D） 5
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第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．已知直线 l1 : x 3y 1 0 ， l2 : 2x my 1 0 ．若 l1 ∥ l2 ，则实数 m ______．
3
（Ⅰ）若 a 2 ，求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求 f (x) 在区间[2,3]上的最小值．
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19．（本小题满分 14 分）如图，椭圆 C : x2 y2 1 (0 m 1) 的左顶点为 A ， M
14 ．在直角坐标系 xOy 中，已知两定点， A(1,0)
B(1,1) ．动点
P(x,
y)
满足
0
OP OA
1,
则点
P
构成的
0 OP OB 2.
区域的面积是______；点Q(x y, x y) 构成的区
域的面积是______．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答
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北京市西城区 2013 届高三第二次模拟考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
2013.5
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，
共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选
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数学_2013年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合A ={x|(x −1)(x +2)≤0}，B ={x|x <0}，则A ∪B =( ) A (−∞, 0] B (−∞, 1] C [1, 2] D [1, +∞)2. 已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1⋅a 3=4，a 4=8，则a 1+q 的值为（） A 3 B 2 C 3或−2 D 3或−33. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（）Ama nB nam Cma 2nDna 2m4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A 180B 120C 276D 3005. 在四边形ABCD 中，“∃λ∈R ，使得AB →=λDC →，AD →=λBC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件6. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（） A 32 B 36 C 42 D 487. 双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（） A √2 B 1+√2 C 1+√3 D 2+√38. 若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期数列，周期为T ．已知数列{a n }满足a 1=m(m >0)，a n+1={a n −1，a n >1，1an，0<a n ≤1，则下列结论中错误的是( )A 若a 3=4，则m 可以取3个不同的值B 若m =√2，则数列{a n }是周期为3的数列 C ∀T ∈N ∗且T ≥2，存在m >1，使得{a n }是周期为T 的数列 D ∃m ∈Q 且m ≥2，使得数列{a n }是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为________．10. 已知a =ln 12，b =sin 12，c =2−12，则a ，b ，c 按照从大到小排列为________．11. 直线l 1过点(−2, 0)且倾斜角为30∘，直线l 2过点(2, 0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．12. 在△ABC 中，∠A =30∘，∠B =45∘，a =√2，则b =________；S △ABC =________． 13. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →⋅AP →的取值范围是________．14. 在平面直角坐标系中，动点P(x, y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1, 1)的距离，记点P 的轨迹为曲线为W ． (I)给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y =x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是________；(II)曲线W 上的点到原点距离的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知函数f(x)=1−√2sin(x−π4)．（1）求函数f(x)的定义域；（2）求函数f(x)的单调增区间．16. 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%．（1）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（2）为了能够筹得资金资助福利事业，求p 的取值范围．17. 如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠DAB =90∘，∠CAB =30∘，BC =2，AD =4．把△DAC 沿对角线AC 折起到△PAC 的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点E ，F 分别为线段PA ，PB 的中点．（1）求证：平面EFH // 平面PBC ；（2）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．18. 已知函数f(x)=e x，A(a, 0)为一定点，直线x=t(t≠0)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S(t)．（1）当a=0时，求函数S(t)的单调区间；（2）当a>2时，若∃t0∈[0, 2]，使得S(t0)≥e，求a的取值范围．19. 已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点．（1）求椭圆M的方程；（2）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0,−12)，求△AOB（O为原点）面积的最大值．20. 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；表2（3）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. C4. B5. C6. A7. B8. D9. 210. c>b>a11. (1,√3)12. 2,√3+1213. [0, 1]14. ②③,2−√215. 解：（1）∵ sin(x−π4)≠0，∴ x−π4≠kπ，k∈Z，则函数的定义域为{x|x≠kπ+π4, k∈Z}；（2）∵ f(x)=1−cos 2x−sin2xsinx−cosx =1+(cosx+sinx)=1+sinx+cosx=1+√2sin(x+π4)，又∵ y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π2, 2kπ+π2)，k∈Z，令2kπ−π2<x+π4<2kπ+π2，解得：2kπ−3π4<x<2kπ+π4，又注意到x≠kπ+π4，则f(x)的单调递增区间为(2kπ−3π4, 2kπ+π4)，k∈Z．16. 解：（1）设至少一张中奖为事件A，则P(A)=1−0.52=0.75…（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，−45，−145…故ξ的分布列为所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×(50%−2%−p)+(−45)×2%+(−145)×p=2.5−90%−145p…所以当1.6−145p>0时，即p<8725…所以当0<p<8725时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…17. 解：（1）∵ 点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，∵ 在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90∘，∠CAB=30∘，BC=2，AD=4，∴ AC=4，∠CAB=60∘，∴ △ADC是等边三角形，故H是AC的中点，∴ HE // PC同理可证EF // PB，又HE∩EF=E，CP∩PB=P，∴ 平面EFH // 平面PBC；（2）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A(0, −2, 0)，P(0, 0, 2√3)，B(√3, 1, 0)因为E(0, −1, √3)，HE →=(0, −1, √3)，设平面PHB 的法向量n →=(x, y, z)， ∵ HB →=(√3, 1, 0)，HP →=(0, 0, 2√3)，∴ {HP →⋅n →=0˙，即{√3x +y =0z =0，令x =√3，则y =−3， ∴ n →=(√3, −3, 0)…8分 cos <n →，HE →>=|n →|⋅|HE →|˙=32×2√3=√34∴ 直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值为√34 （3）存在，事实上记点E 为M 即可因为在直角三角形PHA 中，EH =PE =EA =12PA =2在直角△PHB 中，PB =4，EF =12PB =2，所以点E 到P ，H ，A ，F 四点的距离相等 18. 解：（1）因为S(t)=12|t −a|e t ，其中t ≠a…当a =0，S(t)=12|t|e t ，其中t ≠0当t >0时，S(t)=12te t ，S′(t)=12(t +1)e t ，所以S ′(t)>0，所以S(t)在(0, +∞)上递增，… 当t <0时，S(t)=−12te t ，S′(t)=−12(t +1)e t ，令S′(t)=−12(t +1)e t >0，解得t <−1，所以S(t)在(−∞, −1)上递增令S′(t)=−12(t +1)e t <0，解得t >−1，所以S(t)在(−1, 0)上递减 …综上，S(t)的单调递增区间为(0, +∞)，(−∞, −1)，S(t)的单调递增区间为(−1, 0) （2）因为S(t)=12|t −a|e t ，其中t ≠a 当a >2，t ∈[0, 2]时，S(t)=12(a −t)e t因为∃t 0∈[0, 2]，使得S(t 0)≥e ，所以S(t)在[0, 2]上的最大值一定大于等于e ， S′(t)=−12[t −(a −1)]e t ，令S ′(t)=0，得t =a −1…当a −1≥2时，即a ≥3时S′(t)=−12[t −(a −1)]e t >0对t ∈(0, 2)成立，S(t)单调递增，所以当t =2时，S(t)取得最大值S(2)=12(a −2)e 2令12(a −2)e 2≥e ，解得 a ≥2e +2，所以a ≥3…当a −1<2时，即a <3时S′(t)=−12[t −(a −1)]e t >0对t ∈(0, a −1)成立，S(t)单调递增，S′(t)=−12[t −(a −1)]e t <0对t ∈(a −1, 2)成立，S(t)单调递减，所以当t =a −1时，S(t)取得最大值S(a −1)=12e a−1，令S(a −1)=12e a−1≥e ，解得a ≥ln2+2，所以ln2+2≤a <3… 综上所述，ln2+2≤a… 19. 解：（1）因为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点，∴ a =√3，b =1，椭圆M 的方程为：x 23+y 2=1...4分（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，因为AB 的垂直平分线经过点(0, −12)，显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线为y 轴，则x 1=−x 2，y 1=y 2，所以S △AOB=12|2x 1||y 1|=|x 1||y 1|=|x 1|⋅√1−x 123=√x 12(1−x 123)=√13x 12(3−x 12)，∵ √x 12(3−x 12)≤x 12+(3−x 12)2=32，∴ S △AOB ≤√32，当且仅不当|x 1|=√62时，S △AOB 取得最大值为√32...7分当直线AB 的斜率不为0时，则设AB 的方程为y =kx +t ，所以{y =kx +tx 23+y 2=1，代入得到(3k 2+1)x 2+6ktx +3t 2−3=0，当△=4(9k 2+3−3t 2)>0，即3k 2+1>t 2①，方程有两个不同的实数解；又x 1+x 2=−6kt3k 2+1，x 1+x 22=−3kt3k 2+1...8分所以y 1+y 22=t 3k 2+1，又y 1+y 22+12x 1+x 22−0=−1k ，化简得到3k 2+1=4t②代入①，得到0<t <4，…10分又原点到直线的距离为d =√k 2+1，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√4(9k 2+3−3t 2)3k 2+1，所以S △AOB =12|AB||d|=2√k 2+1√1+k 2⋅√4(9k 2+3−3t 2)3k 2+1，化简得：S △AOB =14√3(4t −t 2)...12分∵ 0<t <4，所以当t =2时，即k =±√73时，S △AOB 取得最大值为√32．综上，S △AOB 取得最大值为√32...14分法3：改变第1列得：改变第4列得：（写出一种即可） …（2）每一列所有数之和分别为2，0，−2，0，每一行所有数之和分别为−1，1；则第一行之和为2a −1，第二行之和为5−2a ，{2a −1≥05−2a ≥0，解得a =1，a =2．… ②如果操作第一行则每一列之和分别为2−2a ，2−2a ，2a −2，2a 解得a =1 … 综上a =1 …（3）证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1−(−1)=2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于∑∑|nj=1m i=1a ij |，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …。

数学_2013年北京市朝阳区高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2013年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合M ={0, 1, 3}，N ={x|x =3a, a ∈M}，则M ∪N =( ) A {0} B {0, 3} C {1, 3, 9} D {0, 1, 3, 9}2. 已知∫(10x 2+mx)dx =0，则实数m 的值为（） A −13 B −23 C −1 D −23. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是（）A n >6？B n ≥7？C n >8？D n >9？4. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A [3, +∞)B (3, +∞)C (1, 3]D (1, 3)5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A 16 B 13 C 12 D 16. 某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有（） A 10种 B 12种 C 18种 D 36种7. 已知函数f(x)=a ⋅2|x|+1(a ≠0)，定义函数F(x)={f(x),x >0−f(x),x <0给出下列命题：①F(x)=|f(x)|； ②函数F(x)是奇函数；③当a <0时，若mn <0，m +n >0，总有F(m)+F(n)<0成立，其中所有正确命题的序号是（） A ② B ①③ C ②③ D ①②8. 点P 是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则PA →⋅PC 1→的取值范围是( )A [−1, −14] B [−12, −14] C [−1, 0] D [−12, 0]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设i 为虚数单位，计算3+i1+i =________．10. 若直线l 与圆C:{x =2cosθy =−1+2sinθ（θ为参数）相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1, −2)，则直线L 的倾斜角为________．11. 如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，PC =4，PB =8，则tan∠COP =________，△OBC 的面积是________．12. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买________吨． 13. 将一个质点随机投放在关于x ，y 的不等式组{3x +4y ≤19x ≥1y ≥1 所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是________．14. 数列{2n −1}的前n 项1，3，7，…，2n −1组成集合A n ={1, 3, 7, ..., 2n −1}(n ∈N ∗)，从集合A n 中任取k(k =1, 2, 3,…,n)个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为T k （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n =T 1+T 2+...+T n ，例如当n =1时，A 1={1}，T 1=1，S 1=1；当n =2时，A 2={1, 2}，T 2=1+3，S 2=1+3+1×3=7．则当n =3时，S 3=________；试写出S n =________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f(A)=2cos A2sin(π−A2)+sin 2A2−cos 2A2．(1)求函数f(A)的最大值； (2)若f(A)=0，C =5π12，a =√6，求b 的值．16. 如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA // PD ，AD ＝PD ＝2EA ＝2，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（1）求证：FG // 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小；（3）在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成的角为π3？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由．17. 为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：（1）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率；（2）根据（1）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ；（3）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率． 18. 已知函数f(x)=mx x 2+1+1(m ≠0)，g(x)＝x 2e ax (a ∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当m >0时，若对任意x 1，x 2∈[0, 2]，f(x 1)≥g(x 2)恒成立，求a 的取值范围． 19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，短轴的端点分别为B 1，B 2，且FB 1→⋅FB 2→=−a ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 且斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．设弦MN 的中点为P ，试求|DP||MN|的取值范围．20. 已知实数x 1，x 2，…，x n (n ∈N ∗且n ≥2)满足|x i |≤1(i =1, 2,…,n)，记S(x 1，x 2，…，x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j ．（1）求S(−1,1,−23)及S(1, 1, −1, −1)的值；（2）当n =3时，求S(x 1, x 2, x 3)的最小值；（3）当n 为奇数时，求S(x 1, x 2,…,x n )的最小值．注：∑x i 1≤i<j≤n x j 表示x 1，x 2，…，x n 中任意两个数x i ，x j (1≤i <j ≤n)的乘积之和．2013年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. B3. C4. A5. A6. C7. C8. D9. 2−i 10. π411. 43,185 12. 30 13. 1−π12 14. ,15. 解：(1)f(A)=2cos A2sin A2+sin 2A2−cos 2A2=sinA −cosA =√2sin(A −π4)．因为0<A <π，所以−π4<A −π4<3π4，所以当A −π4=π2，即A =3π4时，f(A)取得最大值，且最大值为√2． (2)由题意知f(A)=√2sin(A −π4)=0，所以sin(A −π4)=0．又知−π4<A −π4<3π4，所以A −π4=0，则A =π4．因为C =5π12，所以A +B =7π12，则B =π3．由asinA=b sinB得，b =asinB sinA=√6⋅sin π3sinπ4=3．16. 证明：因为F ，G 分别为PB ，BE 的中点，所以FG // PE ．又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，所以FG // 平面PED ．因为EA ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ．又因为四边形ABCD 是正方形，所以AD ⊥CD ．如图建立空间直角坐标系，因为AD ＝PD ＝2EA ，所以D(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，A(2, 0, 0)， C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，E(2, 0, 1)．因为F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，所以F(1, 1, 1)，G(2, 1, 12)，H(0, 1, 1)．所以GF →=(−1,0,12)，GH →=(−2,0,12)，设n 1→=(x 1,y 1,z 1)为平面FGH 的一个法向量，则{n 1→⋅GF →=0n 1→⋅GH →=0 ，即{−x 1+12z 1=0−2x 1+12z 1=0 ，再令y 1＝1，得n 1→=(0,1,0)． PB →=(2,2,−2),PC →=(0,2,−2)，设n 2→=(x 2,y 2,z 2)为平面PBC 的一个法向量，则{n 2→⋅PB →=0n 2→⋅PC →=0，即{2x 2+2y 2−2z 2=02y 2−2z 2=0，令z 2＝1，得n 2→=(0,1,1)．所以|cos <n 1→,n 2→>|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=1×√2=√22．所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4．在线段PC 上存在点M ，使直线FM 与直线PC 所成角为60∘证明：假设在线段PC 上存在点M ，使直线FM 与直线PC 所成角为60∘．依题意可设PM →=λPC →，其中0≤λ≤1．由PC →=(0,2,−2)，则PM →=(0,2λ,−2λ)．又因为FM →=FP →+PM →,FP →=(−1,−1,1)，所以FM →=(−1,2λ−1,1−2λ)．又直线FM 与直线PA 成60∘角，PA →(2,0,−2)，所以|cos <FM →,PA →>|=12，即12=|−2−2+4λ|2√2⋅√1+2(2λ−1)2，解得：λ=58．所以PM →=(0,54,−54)，|PM →|=√0+2×(54)2=5√24．所以，在线段PC 上存在点M ，使直线FM 与直线PC 所成角为60∘，此时PM 的长为5√24．17. 解：（1）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为430+630=13，即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为13．（2）由题意知随机变量X 可取0，1，2，3，∴ P(X =0)=C 03 (13)0(23)3=827；P(X =1)=C 13 (13)1(23)2=49；P(X =2)=C 23 (13)2(23)=29；P(X =3)=C 33 (13)3(23)0=127；所以X 的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）故Eξ=0×827+1×49+2×29+3×127=1，所求期望值为1．（3）设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m ，n ．则基本事件的总数为C 302，不妨设m >n ，当m =90时，n =60或40或30，基本事件的数为C 14 （C 110 +C 17 +C 13 ）；当m=70时，n=40或30，基本事件的数为C 16 （C 17 +C 13 ）；当m=60时，n=30，基本事件的数为C 110 C 1 3 ；∴ P(M)=C41(C101+C71+C31)+C61(C71+C31)+C101C31C302=3487．∴ 从这30名学生中，随机选取2人，“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为3487．18. 函数f(x)=mxx2+1+1(m≠0)的定义域为R，f′(x)=m(1−x2)(x2+1)2=m(1−x)(1+x)(x2+1)2．①当m>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：所以，函数f(x)的单调增区间时(−1, 1)，单调递减区间是(−∞, −1)，(1, +∞)．②当m<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：所以，函数f(x)的单调减区间时(−1, 1)，单调递增区间是(−∞, −1)，(1, +∞)．（2）依题意，对任意当m>0时，对于任意x1，x2∈[0, 2]，f(x1)≥g(x2)恒成立，等价于当m>0时，对于任意x1，x2∈[0, 2]，f(x)min≥g(x)max成立．当m>0时，由(Ⅰ)知，函数f(x)在[0, 1]上单调递增，在[1, 2]上单调递减，因为f(0)＝1，f(2)=2m5+1>1，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝1．所以应满足g(x)max≤1．因为g(x)＝x2e ax，所以g′(x)＝(ax2+2x)e ax．③当a＝0时，函数g(x)＝x2，任意x∈[0, 2]，g(x)max＝g(2)＝4，显然不满足g(x)max≤1，故a＝0不成立．④当a≠0时，令g′(x)＝(ax2+2x)e ax＝0得：x1=0,x2=−2a1∘当−2a≥2，即−1≤a<0时，在[0, 2]上g′(x)≥0，所以函数g(x)在[0, 2]上单调递增，所以g(x)max=g(2)=4e2a．由4e2a≤1得，a≤−ln2，所以−1≤a≤−ln2．2∘当0<−2a <2，即a<−1时，在[0,−2a)上g′(x)≥0，在(−2a,2]上g′(x)<0，所以函数g(x)在[0,−2a )上单调递增，在(−2a,2]上单调递减．所以g(x)max =g(−2a)=4a 2e 2．由4a 2e2≤1得：a ≤−2e，所以a <−1．3∘当−2a <0，即a >0时，显然在[0, 2]上g ′(x)≥0，函数g(x)在[0, 2]上单调递增，且g(x)max =g(2)=4e 2a ．显然g(x)max =4e 2a ≤1不成立，故a >0不成立．综上所述，a 的取值范围是(−∞, −ln2]．19. 解：(I)由题意不妨设B 1(0, −b)，B 2(0, b)，则FB 1→=(−1,−b)，FB 2→=(−1,b)． ∵ FB 1→⋅FB 2→=−a ，∴ 1−b 2=−a ，又∵ a 2−b 2=1，解得a =2，b =√3． ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(II)由题意得直线l 的方程为y =k(x −1)．联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=8k 23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2．∴ 弦MN 的中点P(4k 23+4k 2，−3k3+4k 2)．∴ |MN|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[64k2(3+4k 2)2−4(4k 2−12)3+4k 2]=12(k 2+1)4k 2+3．直线PD 的方程为y +3k4k 2+3=−1k (x −4k 24k 2+3)． ∴ |DP|=3√k 2(k 2+1)4k 2+3．∴ |DP||MN|=3√k 2(k 2+1)4k 2+312(k 2+1)4k 2+3=14√k 2k 2+1=14√1−1k 2+1．又∵ k 2+1>1，∴ 0<1k 2+1<1，∴ 0<14√1−1k 2+1<14．∴|DP||MN|的取值范围是(0,14)．20. 解：（1）由已知得S(−1,1,−23)=−1+23−23=−1． S(1, 1, −1, −1)=1−1−1−1−1+1=−2． …（2）n =3时，S =S(x 1，x 2，x 3)=∑x i 1≤i<j≤3x j =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3．固定x 2，x 3，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S≥min{S(1, x2, x3), S(−1, x2, x3)}．同理S(1, x2, x3)≥min{S(1, 1, x3), S(1, −1, x3)}．S(−1, x2, x3)≥min{S(−1, 1, x3), S(−1, −1, x3)}．以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x1，x2，x3所达到，于是S≥min{S(x1, x2, x3)}．当x k=±1(k=1, 2, 3)时，S=12[(x1+x2+x3)2−(x12+x22+x32)]=12(x1+x2+x3)2−32．因为|x1+x2+x3|≥1，所以S≥12−32=−1，且当x1=x2=1，x3=−1，时S=−1，因此S min=−1．…（3）S=S(x1，x2，…，x n)=∑x i1≤i<j≤nx j=x1x2+x1x3+...+x1x n+x2x3+...+x2x n+...+x n−1x n．固定x2，x3，…，x n，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，因此S≥min{S(1, x2, x3, ..., x n), S(−1, x2, x3, ..., x n)}．同理S(1, x2, x3,…,x n)≥min{S(1, 1, x3, ..., x n), S(1, −1, x3, ..., x n)}．S(−1, x2, x3,…,x n)≥min{S(−1, 1, x3, ..., x n), S(−1, −1, x3, ..., x n)}．以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x1，x2，…，x n所达到，于是S≥min{S(x1, x2, x3, ..., x n)}．当x k=±1(k=1, 2,…,n)时，S=12[(x1+x2+⋯+x n)2−(x12+x22+⋯+x n2)]=12(x1+x2+⋯+x n)2−n2．当n为奇数时，因为|x1+x2+...+x n|≥1，所以S≥−12(n−1)，另一方面，若取x1=x2=⋯=x n−12=1，x n−12+1=x n−12+2=⋯=x n=−1，那么S=−12(n−1)，因此S min=−12(n−1)．…。

北京市房山区2013届高三数学第二次模拟考试文(房山二模)(含解析)北师大版

2013年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•房山区二模）若￢p∨q是假命题，则（）A．p∧q是假命题B．p∨q是假命题C．p是假命题D．￢q是假命题考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：由题意，可得￢p，q的真假性，进而得到正确选项．解答：由于￢p∨q是假命题，则￢p是假命题，q是假命题，所以p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，￢q是真命题，故选A．点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．（5分）（2013•房山区二模）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．D．y=x3考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可．解答：解：y=x﹣1的图象不过原点，所以y=x﹣1不是奇函数，故排除A；y=tanx在每个区间（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除B；y=﹣在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除C；令f（x）=x3，其定义域为R，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f′（x）=3x2≥0，所以f（x）在R上单调递增，故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．3．（5分）（2013•房山区二模）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上（）A．所有点向右平移1个单位长度B．所有点向下平移1个单位长度C．所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D．所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数y=lg=lgx﹣1，把函数y=lgx的图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得函数函数y=lg=lgx﹣1的图象，由此得出结论．解答：解：∵函数y=lg=lgx﹣1，∴把函数y=lgx的图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得函数函数y=lg=lgx﹣1的图象，故选B．点评：本题主要考查函数的图象平移变换方法，依据x加减左右平移（左加右减），函数值加减上下平移（加向上、减向下），属于基础题．4．（5分）（2013•房山区二模）设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）A．4B．5C．D．考点：平行向量与共线向量；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出．解答：解：∵∥，∴﹣2×2﹣y=0，解得y=﹣4．∴=2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）=（4，8），∴|2﹣|==．故选D．点评：熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键．5．（5分）（2013•房山区二模）执行如图所示的程序框图．则输出的所有点（x，y）（）A．都在函数y=x+1的图象上B．都在函数y=2x的图象上C．都在函数y=2x的图象上D．都在函数y=2x﹣1的图象上考点：程序框图．专题：图表型．分析：开始x=1，y=2，输出（x，y），继续循环，x=x+1，y=2y．x≤4就循环，当x＞4时，循环结束．最后看碟输出（x，y）值适合哪一个函数的解析式即可．解答：解：开始：x=1，y=2，进行循环：输出（1，2），x=2，y=4，输出（2，4），x=3，y=8，输出（3，8），x=4，y=16，输出（4，16），x=5，y=32，因为 x=5＞4，∴退出循环，则输出的所有点（1，2），（2，4），（3，8），（4，16）都在函数y=2x的图象上．故选C．点评：本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．6．（5分）（2013•房山区二模）已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划；两点间的距离公式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD．因为四边形ABCD的对角线BD是区域中最长的线段，所以当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，|MN|取得最大值，由此结合两点间的距离公式可得本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（，），D（1，2）∵M、N是区域内的两个不同的点∴运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远因此|MN|的最大值是|BD|==故选：B点评：题给出二元一次不等式组表示的平面区域内动点M、N，求|MN|的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．7．（5分）（2013•房山区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．9考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长：3，，3．其中斜侧面的高为：3．几何体的表面积是：=．故选A．点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断几何体的形状是解题的关键．8．（5分）（2013•房山区二模）定义运算[][]=[]，称[]=[][]为将点（x，y）映到点（x′，y′）的一次变换．若=[][]把直线y=x上的各点映到这点本身，而把直线y=3x上的各点映到这点关于原点对称的点．则p，q的值分别是（）A．p=3，q=3 B．p=3，q=﹣2 C．p=3，q=1 D．p=1，q=1考点：系数矩阵的逆矩阵解方程组．专题：新定义．分析：设（1，1）是曲线y=x上的点，在矩阵的作用下的点为（1，1），再设（1，3）是曲线y=3x上的点，在矩阵的作用下的点为（﹣1，﹣3），得出关于p，q的方程组，从而解决问题．解答：解：设（1，1）是曲线y=x上的点，在矩阵的作用下的点为（1，1），即，即P+q=1①设（1，3）是曲线y=3x上的点，在矩阵的作用下的点为（﹣1，﹣3），∴，即p+3q=﹣3②．由①②得p=3，q=﹣2故选B．点评：本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•房山区二模）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点的坐标为（1，2）．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则化为1+2i，再利用复数的几何意义可得到复数i（2﹣i）对应的点的坐标．解答：解：∵复数i（2﹣i）=1+2i．∴复数i（2﹣i）对应的点的坐标为（1，2）．故答案为（1，2）．点评：熟练掌握复数的运算法则、复数的几何意义是解题的关键．10．（5分）（2013•房山区二模）已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA= ，tan（A+）= ﹣7 ．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，可得tanA的值，再利用两角和的正切公式求得tan （A+）的值．解答：解：已知角A为三角形的一个内角，且，则sinA=，∴tanA==．∴tan（A+）===﹣7，故答案为，﹣7．点评：本题主要考查两角和差的正切公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．11．（5分）（2013•房山区二模）数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项，则数列{a n}的通项公式a n= n ．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设公差为d，则由题意可得（1+2d）2=1×（1+8d），解得d=1，由此求得数列{a n}的通项公式．解答：解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项，设公差为d，则有（1+2d）2=1×（1+8d），解得d=1，故数列{a n}的通项公式a n=1+（n﹣1）×1=n，故答案为 n．点评：本题主要考查等比数列的性质，等差数列的通项公式，属于中档题．12．（5分）（2013•房山区二模）实数a，b满足2a+b=5，则ab的最大值为．考点：二次函数的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由题目给出的等式，把b用含有a的代数式表示，代回ab后化为关于a的一元二次函数，利用配方法求最大值．解答：解：由2a+b=5，得：b=5﹣2a，所以ab=a（5﹣2a）=﹣2a2+5a=﹣2=．所以ab的最大值为．故答案为．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了数学转化思想，训练了利用配方法求函数的最值，解答此题的关键是把要求值的代数式转化为二次函数的最值问题，是基础题．13．（5分）（2013•房山区二模）抛物线C：y2=2px的焦点坐标为，则抛物线C的方程为y2=2x ．考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线y2=2px，可知焦点坐标为（，0），故可求p，从而得到抛物线C的方程．解答：解：由题意，=∴p=1，则抛物线C的方程为 y2=2x．故答案为：y2=2x．点评：本题以抛物线为载体，考查几何性质，属于基础题．14．（5分）（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若，则该函数的对称中心为，计算= 2012 ．考点：导数的概念．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（，1），可知f（x）+f（1﹣x）=2，由此能够求出所给的式子的值．解答：解：∵，则f′（x）=x2﹣x+，f″（x）=2x﹣1，令f″（x）=2x﹣1=0，求得x=，故函数y=f（x）的“拐点”为（，1）．由于函数的对称中心为（，1），∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012，故答案为（，1），2012．点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）（2013•房山区二模）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）设，求函数g（x）的单调递增区间．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用函数的周期公式求出ω，通过函数图象经过的点直接求解φ的值；（Ⅱ）化简的表达式，通过正弦函数的单调增区间，直接求函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，所以T=，ω=2，图象过点．所以，0＜φ＜π，所以φ=．（Ⅱ）因为=sin（2x+）sin（2x﹣）=cos2xsin2x=sin4x，由2kπ，k∈Z得，所以函数的单调增区间为点评：本题考查三角函数的化简，函数的周期的求法，二倍角的正弦函数，函数的单调性的应用，考查计算能力．16．（14分）（2013•房山区二模）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCDAF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅲ）求四面体BDEF的体积．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由题意可得DE⊥AC，AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）设AC∩BD=O，取BE中点G，连结FG，OG，可证AFGO是平行四边形，所以FG∥AO，线面平行的判定定理可得；（Ⅲ）可得AB⊥平面ADEF，结合已知数据，代入体积公式可得答案．解答：（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC．…（1分）又因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，…（2分）因为DE∩BD=D…（3分）由线面垂直的判定定理可得：AC⊥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连结FG，OG，所以OG∥DE，且OG=DE，因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG，AF=OG，所以，OG∥，且OG=．…（5分）因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF=OG，且AF∥OG…（6分）故可得四边形AFGO是平行四边形，所以FG∥AO．…（7分）因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，…（8分）所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（9分）（Ⅲ）解：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AB因为正方形ABCD中，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF．…（11分）因为AF∥DE，DE=DA=2AF=2，所以△DEF的面积为，所以四面体BDEF的体积==．…（14分）点评：本题考查直线与平面平行和垂直的判定，涉及四面体体积的求解，属中档题．17．（13分）（2013•房山区二模）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b．（Ⅰ）求事件b=3a的概率；（Ⅱ）求事件“点（a，b）满足a2+（b﹣5）2≤9”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（I）由题可知a的取值为0，1，2，3，4，5，b的取值为6，7，8，9，从而得出基本事件空间数，求出满足b=3a的基本事件数，进而可求事件b=3a的概率；（II）满足条件的基本事件空间中基本事件的个数为24，设满足“复数在复平面内对应的点（a，b）满足a2+（b﹣5）2≤9”的事件为B．当b=8时，a=0，当b=7时，a=0，1，2，当b=6时，a=0，1，2，利用古典概率的计算公式可求事件“点（a，b）满足a2+（b﹣5）2≤9”的概率．解答：解：（Ⅰ）由题可知a的取值为0，1，2，3，4，5，b的取值为6，7，8，9基本事件空间：Ω={（0，6），（0，7），（0，8），（0，9），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，6），（3，7），（3，8），（3，9），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9）}共计24个基本事件…（3分）满足b=3a的有（2，6），（3，9）共2个基本事件所以事件b=3a的概率为…（7分）（Ⅱ）设事件B=“点（a，b）满足a2+（b﹣5）2≤9”当b=8时，a=0满足a2+（b﹣5）2≤9当b=7时，a=0，1，2满足a2+（b﹣5）2≤9当b=6时，a=0，1，2满足a2+（b﹣5）2≤9所以满足a2+（b﹣5）2≤9的有（0，6），（0，7），（0，8），（1，6），（1，7），（2，6），（2，7），所以…（13分）点评：本题主要考查了古典概率的计算公式的应用，解答（2）的关键是要由a2+（b﹣5）2≤9要对b的值分类讨论．18．（13分）（2013•房山区二模）已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；分类讨论；转化思想；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；（Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；解答：解：（Ⅰ）f'（x）=ae x+（ax﹣2）e x=（ax+a﹣2）e x，由已知得f'（1）=0，即（2a﹣2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x﹣2）e x取得极小值，所以a=1；（Ⅱ）f（x）=（x﹣2）e x，f'（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．x （﹣∞，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）减增所以函数f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f min（x）=f（m）=（m﹣2）e m．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f min（x）=f（1）=﹣e．当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，．综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x﹣2）e x，f'（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．令f'（x）=0得x=1，因为f（0）=﹣2，f（1）=﹣e，f（2）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣e，所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=e，点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想、转化思想，关于恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．19．（14分）（2013•房山区二模）已知椭圆（a＞b＞0）的焦点坐标为，离心率为．直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以PQ为直径的圆过点D（﹣1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由焦点坐标可得c，由离心率可得a，由a2=b2+c2得b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y，若存在以PQ为直径的圆过点D （﹣1，0），则，即，根据向量数量积运算、韦达定理即可得关于k的方程，解出k检验是否满足△＞0即可；解答：解：（Ⅰ）由，，a2=b2+c2得，，b=1，所以椭圆方程是：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+2，y2=kx2+2，将y=kx+2代入，整理得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*），则，以PQ为直径的圆过D（﹣1，0），则，即，所以=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2=x1x2+（x1+x2）+y1y2+1=（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=．解得，此时（*）方程△＞0，所以存在，使得以PQ为直径的圆过点D（﹣1，0）．点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系等知识，考查转化思想，解决（Ⅱ）问的关键是先假设存在，然后把问题转化为向量数量积为0求解．20．（13分）（2013•房山区二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，其中a1=1，a n≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{b n}满足，T n为{b n}的前n项和，试比较T n与的大小，并说明理由．考点：数列递推式；不等式比较大小．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用，其中a1=1，a n≠0，令n分别取1，2即可得出；（II）由已知可知，可得．由于a n+1≠0，转化为一个分奇数项和偶数项分别成等差数列：a n+2﹣a n=2（n∈N*）．即可得出通项a n．（III）要比较T n与的大小，只需比较2T n与log2（2a n+1）的大小．利用（II）和已知条件即可得出2T n，令f（n）=2T n﹣log2（2a n+1），比较f（n+1）与f（n）的大小即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵，其中a1=1，a n≠0．∴，．（Ⅱ）由已知可知，故．∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=2（n∈N*）．于是数列{a2m﹣1}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，∴a2m﹣1=1+2（m﹣1）=2m﹣1，数列{a2m}是以a2=2为首项，2为公差的等差数列，∴a2m=2+2（m﹣1）=2m，∴a n=n（n∈N*）．（Ⅲ）可知．下面给出证明：要比较T n与的大小，只需比较2T n与log2（2a n+1）的大小．由，得，，故．从而．=因此2T n﹣log2（2a n+1）=﹣log2（2n+1）==．设，则，故=，又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．所以对于任意 n∈N*都有，从而2T n﹣log2（2a n+1）=log2f（n）＞0．所以．即．点评：本题考查了数列的通项a n与S n之间的关系，分类讨论的思想方法，等差数列的通项公式，对数的运算性质，作差法和作商比较两个数的大小等知识与方法，熟练掌握它们是解题的关键．本题需要较强的计算能力和转化能力．。

2013年北京大学高等数学考研押题模拟试卷及答案解析

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北京大学360考研数学内部模拟题
模拟一
一、（12分）求下列各式的极限：
（1），其中a ＞0；（2）
（3）；（4）
二、（12分）求下列函数的指定阶导数，或在指定点的切线与法线方程：
（1）y=f(lnx)，其中f(x)二阶可导，求y ’，y ’’；
（2）求f ’(x)；
（3）求由方程ysinx+xlny=0所确定的平面曲线在x=π处的切线与法线方程；
（4），求f ’(x)
算过程），单选题写明选项。

模拟二
2 / 5
全国统一咨询热线：400-6998-626 育明教育官方网址：一、求下列极限：
（1）（2）
（3）
（4）
二、（28分）求下列函数的指定阶导数、偏导数：
（1）y=(1+x)1/x
，求y ’；（2），求f ’(x)；
（3）设δ=δ（x ，y ）是由方程δ3-2x δ+y=0所确定的隐函数，求，，
（4）设δ=f （x 2-y 2,e xy ）,其中f(u,v)有二阶连续的偏导数，求，
三、（21分）计算下列不定积分、定积分：（1）（2）
（3）
四、（24分）计算下列重积分、累次积分和曲线积分：
（1）
，其中D 为半圆域：；
（2）（3）
,其中L 为区域D ：0≤x ≤π，0≤y ≤sinx 的正向边界。

2013届高三数学第二次模拟考试试题理(西城二模)新人教B版

北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()UA B =（A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4} （D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1 （B ）2（C ）i -（D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是（A ）2sin =ρθ （B ）2sin =-ρθ（C ）2cos =ρθ（D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值，则判断框内可以填入（A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）c a b <<6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是（A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A （B （C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243--（C ）111[,)(,1]342-- （D ）111(,][,1)342--第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙，则 x 甲______x 乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△ABC 中，2BC =，AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n 项和n S =______．14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ；（Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩ 对于12(,,)n na a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．>； 10．80； 11．3 12．125； 13．21n +，4(1)n n +； 14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．2分因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin ==α． …………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． ………………5分（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α．所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos 20=α． ………………11分因为 62ππ<<α，所以 23π<<πα，所以 22π=α，即 4π=α． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， ………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===， 222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===，3344A 1(20)A 4P X ===． ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分）【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，所以 BD BC ⊥． ………………1分又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =，连结MQ ，BQ ． ………………5分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =．…………6分在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ，所以1AB =，AD =又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =．所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ．………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以直线AM ∥平面PBC ． ………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：……10分因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 ||34||||AM BN AM BN ⋅=12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ．…………13分故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分【方法二】（Ⅰ）证明：因为⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥的空间直角坐标系xyz D -．在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=因为 2=BD ，所以1AB =， AD =由俯视图和左视图可得：)4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D ．所以 )0,3,3(-=BC ，)0,1,3(=DB ．因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅DB BC ，所以BD BC ⊥． ………………2分又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ，则有 0,0.PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n因为 )0,3,3(-=BC ，)4,4,0(-=PC ，所以 440,30.y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取1=y ，得=n )1,1,3(． ………………6分因为 )3,0,3(-=AM ，所以 ⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅． ………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，所以直线AM ∥平面PBC ． ………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分所以 )3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有43||||=⋅BN AM BN AM ，…………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………13分故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(5P ，所以点M的坐标为2(,55．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分解得 47m =． ………………5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………7分因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分所以00111622(2)82m x x =+≤++-+， ………………12分当且仅当02x =- 所以 m的取值范围是1(0,2． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ，且 2()242f x x x a '=-+-． ……………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即6350x y +-=． ………………4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得11x =21x =+． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,12-∞-，(1)2++∞；单调减区间为(1+．………………8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………10分② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()3f x a =-．………………11分因为 14(3)(2)3f f a -=-，所以当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a -73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a -723a -；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠．显然n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,na a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以 l l '≠，从而 k kb b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同． ………………8分（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''．所以 1212()()nn b b b b b b '''+++-+++121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-22k b =-≥． ………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n =，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1) 123(1)2n nn-++++-=，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．……13分。

高考数学模拟试卷(北京).doc

2013年高考数学模拟试卷（北京）第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23）C （-23,3）D (3,+∞) 2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-3．设a ，b ∈R 。

“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A. 2 B .4 C.8 D. 165.如图. ∠ACB=90º，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( )A. CE ·CB=AD ·DBB. CE ·CB=AD ·ABC. AD ·AB=CD ²D.CE ·EB=CD ²6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A. 28+65B. 30+65C. 56+ 125D. 60+1258.某棵果树前n 前的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高。

m 值为（）A.5B.7C.9D.11第二部分(非选择题共110分)二.填空题共6小题。

每小题5分。

共30分. 9．直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。

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第五章不定积分（一）原函数和不定积分概念1、定义设)(x f 是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)使)()(x f x F ='在该区间成立。

则称)()(x f x F 是的一个原函数。

例5.1 对于已知函数2)(,2)(x x F x x f ==就是一个原函数。

其实c x +2（c 是任意常数）都是2x 的原函数。

2、可以证明：如果)(x f 在某区间上连续，则一定存在原函数。

F(x) 要是)(x f 的一个原函数，则F(x)+c(c 为任意常数)就是)(x f 的全部原函数。

3、定义设 F(x)是已知函数)(x f 的一个原函数，称)(x f 的全部原函数F(x)+c 为)(x f 的不定积分，记作⎰+=c x F dx x f )()(其中)()(x f x F ='。

称c 为积分常数。

4、不定积分⎰dx x f )(在几何上表示在x 处切线斜率)()(x f x F 为'的积分曲线簇y=F(x)+C 。

例5.2 求在x 处切线斜率2x ，且过点)5,2(的曲线方程。

解：⎰+==c x xdx y 22，将x=2,y=5代入得1,12+==x y c 为所求。

（二）不定积分的性质 1、dx x f dx x f d x f dx x f dx x f dxd)()(),(])([)(=='=⎰⎰⎰ 2、⎰⎰+=+='c x F x dF c x F dx x F )()()()(或 3、⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([4、⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( （k 是非零常数）例5.3 )(ln ])(ln [x f dx x f '=''⎰例5.4 )(x f 的一个原函数是x2，则)(x f '的全部原函数是c x+2ln 2。

（三）基本积分公式1、⎰=c dx 02、⎰++=+c x a dx x a a111 )1(-≠a 3、⎰+=c x dx x ln 1 4、c aa dx a x x+=⎰ln )1,0(≠>a a 5、c e dx e xx +=⎰ 6、c x xdx +-=⎰cos sin7、c x xdx +=⎰sin cos 8、⎰+=c x xdx tan sec 29、c x xdx +-=⎰cot csc 210、c x xdx x +=⋅⎰sec tan sec11、⎰+-=⋅c x xdx x csc cot csc 12、⎰+-=+=+c x arc c x dx x cot arctan 11213、c x c x dx x+-=+=-⎰arccos arcsin 112例5.5 ⎰++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c x e x dx x e x x x xx ln 312ln 21232（四）第一换元法（凑微分） 1、原理)()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕ⎰⎰=' （令u x =)(ϕ）=⎰du u f )(=c u F +)( ))()((u f u F =' =c x F +)]([ϕ 2、常用凑微分)1(11),(),0(11≠+=+=≠=+a dx a dx x a x d dx a dax a dx a a,11,ln 12⎪⎭⎫⎝⎛-==x d dx x x d dx x x d xdx x d xdx de dx e x x sin cos ,cos sin ,=-== x d x d dx xx darc x d dx x arccos arcsin 11,cot arctan 1122-==--==+例5.6 ⎰⎰-=-22122)31(2131dx x dx x x⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)31()31(31212212x d x )31(2x u -=令⎰-=du u 2161c u +⋅-=233261c x +--=232)31(91例5.7 ⎰⎰⎰+-=-==c x x d x dx x x xdx cos ln cos cos 1cos sin tan（五）第二换元法 1、原理⎰⎰'==dt t t f dxx f t x )()]([)()(ϕϕϕc t F +=)( ))()]([)((t t f t F ϕϕ'=' c x F +=-)]([1ϕ 例5.8 求不定积分⎰+dx x11解：令tdt dx t x t x 2,,2===则原式=⎰⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-+=+c t t dt t dt t t dt t t )1ln (21112111212 =c x x ++-)1ln (2 例5.9 求不定积分⎰-dx x 21解：令,sin t x =则tdt dx t t x cos ,cos sin 1122==-=-原式⎰⎰+==dt t tdt )2cos 1(21cos 2c t t ++=)2sin 21(21c x x x +-+=)1(arcsin 212其中 t t t t t 2sin 1sin 2cos sin 22sin -==。

2、常用三角函数换元t a x t a x x a cos sin ,22==-或令t a x t a x x a cot tan ,22==+或令 t a x t a x a x csc sec ,22==-或令（六）分部积分法1、设),(),(x v v x u u ==分部积分法为⎰⎰-=vdu uv udv 2、常用凑dv⎰⎰=x d x xdx x n n sin cos ⎰⎰-=x d x xdx x n n cos sin⎰⎰=x n x n de x dx e x ⎰⎰++=1arctan 11arctan n n xdx n xdx x ⎰⎰++=1ln 11ln n nxdx n xdx x 例5.10 ⎰⎰=x xd xdx x sin cos⎰-=xdx x x sin sin c x x x ++=cos sin 例5.11 ⎰⎰⎰⎰-=-==]1ln [21]ln ln [21ln 21ln 22222dx x x x x x d x x x xdx xdx x c x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-=2221ln 21 c x x +⎪⎭⎫⎝⎛-=21ln 22（七）简单有理函数积分公式⎰+=+c ax a x a dx arctan 122 )0(≠a⎰+-+=-c x a x a a x a dx ln 2122例5.12⎰⎰⎰++=++=+=+c x x d x dx x dx x x )1ln(21)1(112111********* 例5.13⎰⎰⎰++=++-=+-=+=+c x x c x x dx x x dx x x dx x x 1ln 1ln ln )111()1(112 例5.14 求⎰++5442x x dx解 41)2(2)2(54422+++=++x x x x4)12(2++=x=])21(1[42++x 原式⎰⎰++=+++=++=c x x d x x dx )21arctan(41)21()21(1141)21(14122第六章定积分（一）定积分的概念1、定义设函数y=f(x)在区间],[b a 上连续，用分点 b x x x x a n =<<<<= 210将区间],[b a 任意分成n 个小区间],[1i i x x -，其长度为),2,1(n i x i =∆在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，作乘积i i x f ∆)(ξ，并求和∑=∆ni iixf 1)(ξ取{}i x x ∆=∆max ，当∞→n 时，0→∆x ，如果上述和的极限存在，且与],[b a 的分法及i ξ的取法无关，则称此极限值为函数f(x)在],[b a 上的定积分。

记作x f dx x f ni x ba∆=∑⎰=→∆10)()(limξ并称f(x)在],[b a 上可积，a 称为积分下限，b 称为积分上限。

2、定积分的几何意义当0)(≥x f 时，dx x f S ba⎰=)(表示曲边梯形面积（如图）。

3、理解定积分定义需要注意以下两点（1）定积分是一个数值，他只与被积函数)(x f 和积分区间],[b a 有关，而与积分变量用什么字母表示无关。

（2）定义中设a<b ，因此dx x f dx x f abba⎰⎰-=)()(，特别当a=b 时，0)(=⎰aadx x f 。

例6.1 21,21101=-=⎰⎰-xdx xdx（二）定积分存在定理如果函数)(x f 在闭区间上连续，则)(x f 在],[b a 可积，如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上也可积。

（三）定积分性质1、⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( )(为常数k2、⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()()]()([3、⎰⎰⎰+=b ccabadx x f dx x f dx x f )()()(4、如果在],[b a 上总有)()(x g x f ≤，那么⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(5、a b dx ba-=⎰11、设M 和m 分别是)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值，那么)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰2、积分中值定理如果)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使⎰-=badx x f a b f )(1)(ξ 称)()(x f f 是ξ在],[b a 上的平均值。

例6.2 ⎰⎰>121dx x xdx ⎰⎰<21221dx x xdx（四）变上限定积分1、定义设)(x f 在],[b a 上可积，任取],[b a 上一点x ，则)(x f 在],[x a 上也可积。

⎰xadtt f )(是定义在],[b a 上的一个函数，称为变上限定积分。

记作⎰=xadt t f x F )()(2、定理如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且)()()(x f dt t f x F x a ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡='⎰即变上限定积分对积分上限的导数等于被积函数在积分上限的值。