§4.7 平面图形的密铺
平面图形的密铺12
?
正 方 形 和 正 三 角 形 能 否 密 铺
?
小明家刚买了一套新居，准备用地板砖铺地面， 某装饰市场有四种可供选择的地板砖，它们分别 是正三角形；正方形；正六边形；正八边形，且 每种地板砖的边长都相等。 （1）厨房只用同一种地板砖密铺，可分别选用 哪些形状？ （2）卫生间准备用两种地板砖进行密铺，请你 帮助小明选择并说明你的道理。
1
4 3
2
我的发现2
任意全等的四边形可以单独密铺.
每个拼接点处有四个角，恰好是一个四 Ｏ 边形的四个内角，他们的和是３６０ ， 且相等的边互相重合．
归纳
任意全等的三角形，四边形可以单独密铺.
能密铺的图形的条件：
能单独密铺的图形在所有拼接点处恰
好是３６０ ，且相等的边互相重合.
Ｏ
议一议
正五边形，正六边形可以单独 密铺吗？
正三角形、正六边形的密铺
正三角形、正方形的密铺
正八边形、正方形的密铺
自主探索
用多边形或其组合可以拼成许多漂亮的密铺图案，如 图是现实生活中大量存在的密铺图案的一部分，欣赏 这些图案，你能发现哪些多边形或其组合可以密铺？
快速反应
判断：
1、形状、大小相同的正三角形可以密铺，非正三角形 但形状、大小完全相同的三角形不可以密铺。（错 ） 2、只有同一种图形才可以密铺，几种不同的图形不可 密铺。 （错 ）
平面密铺的特点
（1）用一种或几种全等图形进 行拼接. （2）拼接处不留空隙、不重叠. （3）能连续铺成一片.
一定要理解哟！
做一做
用形状，大小完全相同的 三角形能否单独密铺？四 边形呢？
三 角 形 的 密 铺 图 形
想：在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有 几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？ 相等的边互相重合吗？
平面图形的密铺
几个图形的内角拼接在一起时，只要其和等于 360º ，并使相等的边能够互相重合，就能密铺。
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你知道吗？
密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺术 家都在这方面进行过研究，其中最富有趣味的是 荷兰艺术家埃舍尔，他到西班牙旅行参观时，对 一种名为阿罕伯拉宫的建筑有很深刻的印象，并 得到启发，创造了各种并不局限于几何图形的密 铺图案。这些图案包括鱼、青蛙、狗、人、蜥蜴， 甚至是他凭空想象的物体。他创造的艺术作品， 结合了数学与艺术，给人留下深刻印象，更让人 对数学产生另一种看法。
像这样把一种或几种平面图形既无空隙，又 不重叠地铺在同一个面上，这种铺法数学上称 它为“密铺”。
下面的三幅图，可以看作是密铺吗？为 什么？
操作要求
• 1.同桌相互合作，在桌上摆一摆，判断哪 些基本图形可以密铺。 • 2.铺的的同时，思考一下怎么样才能密铺， 密铺的条件是什么？ • 3.保持良好的纪律。
埃 舍 尔 的
4.7 平面图形的密铺1
想一想
Shuxue
密铺需要什么基本条件呢?
几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 360º ，并使相等的边互相重合。
一种完全相同的平面图形能够密铺，几种完 全相同的平面图形能够密铺吗？你见过吗？
试一试 用边长相等的正方形和正八边形能不能密铺呢？
Shuxue
试一试 用边长相等的正三角形和正方形能不能密铺呢？
Shuxue
试一试
Shuxue
你能将一个底角为60°，上底与两腰相等 的等腰梯形分成4个全等的等腰梯形吗？
模拟考场
练习：判断题： 1：只有正多边形才能单独进行平面密铺（ ） 2：两种不同的正多边形不能一起进行平面密铺（ ） 3：矩形可以单独进行平面密铺（ ） 4：圆形不能用作平面密铺（ ）
为了美化城市，建设中的某休闲广场准备用边长相等的 正方形和正八边形两种地砖镶嵌地面，在每一个顶点得的周 围，正方形，正八边形地砖地块数分别是： A1.2 B2.1 C2.3 D3.2
想一想
Shuxue
（2）用同一种四边形可以密铺吗？
在密铺过程中，观察每个拼接点处的四个 角与这种四边形的四个内角有什么关系？ 任意全等的四边形可以密铺，在每个拼接 点处有四个角，而这四个角的和恰好是这个四 边形的四个内角的和，它们的和为360º 。且相 等的边互相重合。
想一想：
还有哪些多边形可以进行密铺？
小结
1：密铺的定义 大小、形状完全相同一种或几种的平面图形 不留空隙； 不重叠。
2：只用一种多边形能密铺的平面图形： 任意三角形，四边形，正六边形
3：密铺的基本条件 几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 360º 。
Shuxue
图形的密铺
埃 舍 尔 的 作 品
北师大版八上4.7《平面图形的密铺》word教案1
平面图形的密铺教学目标：(一)知识目标掌握平面图形的密铺定义和多边形密铺的条件.(二)能力目标经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，知道任意三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计.(三)情感目标通过探究，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，进一步体会密铺在现实生活中的广泛应用.教学重点多边形密铺的条件.教学难点运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计.突破难点措施:学生动手操作和老师讲解相结合，利用多媒体课件辅助教学，使学生从视、听、练等方面，集声音，视频，图片展示于一体，色彩协调，布局合理，美观大方，互动性高，使用性强，能有效提高课堂教学效率，提高学生学习的积极主动性.学具准备：课前要求学生准备以下学具：1、利用课外时间，观察多种建筑物的地板、墙壁，或上网搜集一些地板铺设图案，并说出这些图案由什么几何图形组成.2、用硬纸板剪全等的平行四边形、梯形、任意四边形各四个，全等的任意三角形六个；全等的正五边形三个，全等的正六边形六个。
教学过程：一、巧设情景问题，引入课题：1、密铺图案欣赏（展示课前搜集的密铺图片）2、平面图形的密铺的定义.（引导学生归纳要点）二、探索互动：（一）任意多边形的密铺 ：探究一:用同一种四边形可以密铺吗？思考：你发现相拼接的边有什么关系？每个拼接点处有几个角？它们与这种四边形的四个角之间有什么关系？（学生动手操作完后教师用多媒体动画演示同一种四边形——平行四边形、梯形、任意四边形可以密铺。
）探究二：用同一种三角形可以进行密铺吗？（学生拼图，进行探究，寻找规律，教师巡视指导，然后用多媒体动画演示三角形密铺，并让学生回答问题。
）知识宝盒：1、用同一种三角形和四边形都可以进行密铺。
2、用多边形进行密铺，相拼接的边相等，每个拼接点处各个角的和为360° 拓展延伸：1、如图，六边形ABCDEF 的三条对角线AD,BE,CF 互相平分，交点为O 。
图形的密铺ppt课件
形状、大小完全相同的平行四边形可以密铺。
猜一猜：
哪些图形可以密铺？
（ ）（ ） （ ） （ ） （ ）（ ）
怎样知道大家 的猜测是否正 确呢？
咱们来试一 试吧！
汇报：
（×）（√） （√） （√） （×） （√） 正三角形、长方形、梯形、正六边 形可以进行密铺 。 圆形和正五边形不能进行密铺。
不能密铺。
用了（12 ）块，所占 面积是（ 6 ）平方厘 米。
在我的图案中，
用了（12）块，所占面积是 （6 ）平方厘米。
用了（12）块，所占面积是 （ 6 ）平方厘米。
让我们放飞理想， 翱翔于数学殿堂。
先看下面几个密铺的图案
观察下图，这些图形在拼接时有什么特点?
平面图形的密铺
用形状、大小完全相同的一种 或几种平面图形进行拼接，彼此之 间不留空隙、不重叠地铺成一片，
这就是平面图形的密铺，又称作
平面图形的镶嵌。
下面我们具体来研究下密铺现象
猜一猜形状、大小完全相同的 平行四边形可以密铺吗？
看我的！
呀，可以！
我的也 可以。
1.用形状、大小完全相同的任意
三角形能否密铺？
1Leabharlann 3122
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形状、大小完全相同的三角形可以密铺
在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？
它们与这种三角形的三个内角有什么关系？
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初中数学知识点精讲精析 平面图形的密铺
4·7 平面图形的密铺1. 密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺．2. 密铺的特征（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为3600．3. 能够密铺的多边形能够密铺的多边形有三种：三角形、四边形、正六边形.学习中不仅要了解能密铺的多边形有哪些，还要了解为什么这些图形能够密铺，除了通过实际操作探索外，还要明白内在的数学上的理由.因为三角形的内角和是180°，把相同三角形的顶点拼结在一起时能够容纳6个角（其中三组角两两相等，恰好是两个三角形的内角），可以无重叠无空隙地拼接在一起，四边形是同样的解释.正六边形是因为它的每个内角是120°，把三个正六边形拼接在一起，三个内角的和恰为360°，也能无重叠、无空隙地拼接在一起.难点：不理解密铺所具备的条件.密铺所具备的条件是：多边形的几个内角拼在一起，恰好是360°，即这几个内角的和为360°.易错点：误认为边数为偶数的正多边形都能够密铺.比如：认为正八边形、正十边形可以密铺；其实正八边形、正十边形不能密铺，理由是正八边形的每个内角为135°，两个内角拼在一起小于360°，三个内角拼在一起大于 360°.不能无重叠、无空隙地拼在一起；正十边形也是同样的道理. 例1. 由7个大小、形状完全相同的矩形不重复，无重叠地拼成如图所示的大矩形，大矩形的周长为68，则此大矩形的面积为多少？解：设小矩形的长为x ，宽为y ，由图可知：53452y x y y x ++==⎧⎨⎩即：63452y x y x +==⎧⎨⎩∴=∴=y x 410，∴小矩形的面积为4×10=40，大矩形的面积为7×40=280一变：如图所示，正方形是由K 个形状大小完全相同的矩形密铺而成，其中上下各横排2个，中间竖排若干个，求K 的值.一变解：∴中间有4个矩形，∴共有8个矩形，即：K=8.点拨：此种题要与代数知识、及密铺的一些知识结合起来考虑.设正方形的边长为，矩形的宽为，则矩形的长为a x a 2由图可知：，a x a x a 224+==。
平面图形的密铺
教师姓名学生姓名填写时间学科数学年级教材版本第章（单元）第节阶段□观察期第（）周□维护期教师课时统计课程名称平面图形的密铺课时计划上课时间教学目标同步教学知识内容了解平面图形的密铺的含义个性化学习问题解决掌握哪些平面图形可以密铺，密铺的理由及简单的密铺设计教学重点三角形、四边形和正六边形可以密铺。
教学难点用同一种平面图形或者几种平面图形可以密铺的条件。
教学过程一. 平面图形的密铺1、平面图形的密铺的概念：又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠。
2、多边形密铺的条件：1．用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.2．用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.3．从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？想一想，议一议：(1)正六边形能否密铺？简述你的理由.(2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺.(3)还能找到能密铺的其他正多边形吗？小结：要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边行、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺.一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角未必都相等.教学过程二．知识延伸：探索用两种正多边形镶嵌平面的条件(1)正三角形与正方形正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个90°角，则：60x+90y=360 即：2x+3y=12 又x、y是正整数解得：x=3,y=2即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接.(如下图)(2)正三角形与正六边形(3)正三角形和正十二边形三．例题讲解和练习四．课时小结任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形密铺的条件.即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：(1)n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°;(2)n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.课堂练习课后作业课后记本节课教学计划完成情况：□照常完成□提前完成□延后完成，原因学生的接受程度：□完全能接受□部分能接受□不能接受，原因学生的课堂表现：□很积极□比较积极□一般□不积极，原因学生上次作业完成情况：完成数量 % 已完成部分的质量分（5分制）存在问题配合需求：家长学管师备注提交时间教研组长审批教研主任审批。
平面图形的密铺教学课件
小小设计师
１厘米 １厘米
１厘米
１厘米
3厘米
１厘米 １厘米
3厘米
（１）
（２）
铺一铺： 请你选用一组瓷砖，设计一幅密铺图案。 算一算： 你能通过哪些方法计算出密铺图形的面积？
美妙的密铺世界
－－荷兰艺术家埃舍尔作品欣赏
等边三角形、长方形、等腰梯形、 正六边形可以进行密铺。
圆形和正五边形不能进行密铺。
请看要求：
1、请你选用两组瓷砖中的一组进行设计，
先想一想：你准备选哪一组？准备怎样铺？
2、在拼摆密铺图案时，一定要有序的进行。
3、想一想：怎样才能设计得美观、新颖、 富有想像力？ 4、先完成设计的同学可以下位去欣赏别人 的作品。
义务教育课程标准实验教科书五年级数学上册
平面图形的密铺
自然艺术家
蜂巢
龟背
象这样用形状、大小完全相同的一种或几种图 形，既没有重叠，又没有空隙地铺在平面上，这种 铺法在数学上就叫平面图形的密铺，也叫做平面图 形的镶嵌。
请你猜测
哪些图形可以单独密铺？
怎样知道大家 的猜测是否正 确呢？
咱们来试一 试吧！
思考与操作
下 面 的 图 形 可 以 密 铺
观察与理解 思考与操作
三角形 平行四 正方形 边形
梯形
正六边形
在所有的正多边形中，只有正三角形（等边三角 形）、正四边形（正方形）、正六边形可以密铺。 看看对了没有？
它们能密铺可能和什么有关?
猜一猜：
哪些图形可以单独密铺？
不可以 可以 可以 可以 不可以 可以
平面图形的密铺
在铺地板砖时应注意 什么？砖与砖之间是否 有空隙，是否重叠？
没有空隙，不重叠
观察以下图案，说明它们都是由哪些 几何图形组成？
它们都有哪些共同的特征？
Hale Waihona Puke 没有空隙，不重叠现实生活中的问题
平 面 图 形 的 密铺
用形状、大小完全相同的一种或几种平 面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重 叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又 称做平面图形的镶嵌。
哪些正多边形通过拼接能进行平面 的密铺？
密铺时，要做到既无缝隙又不重叠?
60° 60° 60° 60° 60° 60°
90°
正三角形
正方形
正六边形
正五边形可以密铺吗？
1 2
3
啊!拼不了啦, 为什么呢?你 能说说道理 吗?
∠1+∠2+∠3=?
用同一种正多边形 进行平面镶嵌，只有正 三角形、正四边形、正 六边形三种图形才行。
3
1
4
3 1
2
4
2
1
3
2 2
4
1
3
密铺的条件
1、相拼接的边长相等。
2、每个公共顶点处几个内 角的和为360°。
3 1
4 3 1 2
2
4
4
用形状、大小完全相同的任意三角形可 以密铺吗？
1 2 1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 2 3 3 1 2 2
1
3
1
2
1
3
用同一种三角形和同一种四边形都可以进行密铺
哪两种正多边形组合在一起能进行镶嵌？
（1） 正三角形与正方形的平面镶嵌
（2） 正三角形与正六边形的平面镶嵌
八年级数学上册4.7平面图形的密铺教案
八年级数学上册§4.7 平面图形的密铺教案教学目标(一)知识目标平面图形的密铺及多边形密铺的条件.(二)能力训练目标 1.经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力.2.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计.(三)情感与价值观目标 1.在探索活动过程中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用. 2.在探索性活动中，开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际.教学重点：多边形密铺的条件. 教学难点：运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计.教学过程：一、巧设情景问题，引入课题［师］同学们好，老师问大家一个问题：你家铺有地板砖吗？［生齐］铺有地板砖.［师］那你家铺的地板砖是什么图形呢？［生甲］正方形、正六边形.［师］很好，我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.(出示投影，展示各种地板图片) ［师］这些地板漂亮吗？［生齐］非常漂亮.［师］很好，这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺. 这节课我们来探索平面图形的密铺.二、讲授新课：平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.大家愿意美化生活环境吗？［生齐］愿意.［师］好，那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出剪刀和硬纸片分组来做一做：(1)用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？(2)用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流. (3)在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？(4)在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？(学生动手制作、教师强调：)［师］大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形.(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导) ［生甲］用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.［生乙］用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.［生丙］从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.［师］同学们总结得非常好，通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想，议一议(出示投影片§4.8 B) (1)正六边形能否密铺？简述你的理由.(2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺.(3)还能找到能密铺的其他正多边形吗？(学生分析、讨论、归纳)［生甲］正六边形能密铺.因为正六边形的每个内角都是：6180)26(︒⋅-=120°,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙.［生乙］正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍.如图所示，在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和都大于360°.［师］很好，乙同学说的也就是：在每个拼结处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象.［生丙］老师，我知道了，要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺.很好，事实上，对于正n 边形，它的每一个内角都为nn ︒⋅-180)2(,在每个拼接点处，设可以将m 个内角彼此无重叠、无缝隙地拼接在一起，由于这些角的和应为360°，因此有n n ︒⋅-180)2(×m =360° 此式可化为：(m －2)(n －2)=4 m 、n 都是正整数.因此：m －2,n －2都是4的因子. 所以，m 、n 的取值仅有三种可能，即：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==63 44 36n m n m n m 这正是正多边形的三种可以密铺的情况.当然，一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角未必都相等.［师］这是用一种正多边形镶嵌平面的三种情况，图案漂亮吗？ ［生齐］漂亮.老师，我们讨论了用正多边形镶嵌平面，那非正多边形能否镶嵌一个平面呢？这个问题我们以后要涉及到，因为用非正多边形镶嵌平面比较复杂，所以这节课我们不进行讨论.三、课堂练习1.如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图(2)所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？说说你的理由.答案：可以进行密铺.因为正方形是可以密铺的.这个题只是在整个密铺图案中，将其中一个正方形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位，因而它也是可以密铺的.2.利用习题3.7第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的“基本单位”图形.3.读一读课本P114漂亮的密铺图案.4.试一试同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料进行实验.答案：可以密铺(学生进行操作，来实验，从而得证)5.看课本P113后总结四、课时小结本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形密铺的条件.即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.五、课后作业课本P115习题4.12 1、2、3；试一试。
平面图形的密铺
因为三角形的内角和是180°, 用 几个全等三角形拼接时,每个角只需用 两次,就能拼出一个周角,所以
三角形一定可以密铺.
2.任意四边形的四个内角之和是360°,而密铺 时拼接点的四个角刚好能拼成一个周角,所以
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
任意四边形一定可以密铺.
3.正六边形的每个内角都是120°,也能拼接 出周角,所以
正六边形可以密铺.
好漂亮的地板!这 是怎么铺设的?一点空 隙也没有.
请观察,这些图形在拼接时有什么特点?
请观察,这些图形在拼接时有什么特点?
请观察,这些图形在拼接时有什么特点?
1、剪六个同样大小的任 意三角形试着拼拼看
2、剪四个同样大小的任意 三角形试着拼拼看
2 3
1 3
4
1 2 3 3
1、对于正三角形能密铺吗？
2、对于正四边形能密铺吗？
正六边形可以密铺吗？
正六边形的每个内角是几度? 三个内角合起来呢?
平面密铺的特点
（1）用一种或几种能重合的图形进行拼接. （2）拼接处不留空隙、不重叠. （3）能连续铺成一片.
1、正五边形可以密铺吗？
2、说说你的理由
啊!拼不了啦,
1 2 3
∠1+∠2+∠3=?
归纳: 1.
初中数学《平面图形的密铺》说
北师大版初中数学《平面图形的密铺》说课稿一、教材分析《平面图形的密铺》是四边形一章的结尾，位居多边形内角和与外角和之后，是多边形知识的生活应用。
内容的编写旨在通过生活中密铺的现象去发现它所蕴含的数学问题，理解并运用密铺的原理设计图案，培养学生的动手能力和数学应用意识。
二、学情分析知识储备：学生已学过图形的平移和对称，多边形的内角和、外角和公式、正多边形等，在日常生活中见到用瓷砖密铺的实例，具有了一定的生活经历。
心理特点：八年级学生好奇心和探索欲望特别强，但推理能力较弱，抽象思维能力较差，认识事物感性经验占主导。
校情学情：我校地处城乡结合部，学生基础薄弱，但我班学生活泼好动，思维活跃，学习数学的兴趣比较高。
经过一年多的训练，他们的动手能力，合作学习能力有了较大提高，为本节课使用小组合作学习打下了一定基础。
三、目标设计基于以上分析，制定如下教学目标知识与技能目标：知道密铺的概念和原理。
知道任意一个三角形、四边形、正六边形可以密铺。
过程与方法目标：经历探索多边形密铺条件的过程，发展学生的动手能力和合情推理能力。
.情感态度价值观目标: 在探索活动中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，体会数学的应用价值.重点：认识三角形，四边形和正六边形是密铺图形，理解密铺的原理。
四、教法学法教法上我采用以学案导学的DJP教学模式，为了引导和帮助学生更有效地自主学习，在课堂学习过程中，尽量放手让学生讨论、展示、讲解。
动手实践---合作探究----总结归纳是本节课的主要学习方法。
五教学设计本节课的设计思路是：图片欣赏，感知密铺含义——动手实践，归纳密铺原理——分类讨论，寻找密铺方案——设计图案，解决密铺问题。
（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
请预览后才下载，期待你的好评与关注！）。
平面图形的密铺
活动二：欣赏室内装饰图，并思考
1：n边形的内角和公式 . （n-2)×180度
2：周角的度数：.
请欣赏精美图片
360度
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14×2×4－4＝108。若其拼成菱形则有108÷4＝27个，由有面积可知，一个瓷砖
的面积等于两个菱形的面积。
所以菱形的个数：196×2－27＝365（个)
有花纹菱形的个数：365－196＝169（个）
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活动五：小结
1：密铺的定义
大小、形状完全相同一种或几种的平面图形 不留空隙； 不重叠。
解（1）瓷砖数：
4.2*2.8
＝196（块）
H
F
0.3*0.2
B
E
C
（2）由图案的形状可知，每块瓷砖都有中间一个白色菱形，在同一
顶点处由四个瓷砖才能拼成一个有淡黄色花纹的菱形，或认为瓷砖的四个
角是有淡黄色花纹的直角三角形，则四个三角形才能拼成一个有淡黄纹的菱形
因此在外面的这一圈有色花纹的三角形不能拼成菱形，其个数为
角形进行平面图案的密铺．
3：资料搜集：请在生活中或网上搜寻有关平面图形密铺的
美丽图案，与同学和老师交流。（时间为一周）
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设计思路
如今，成都房地产市场发展迅猛，装修市场也随之发展起来，让学生观察生活， 了解生活，并用所学知识解决生活中的问题 ，这种“人人学有用的数学”的思想正是 现行新课程标准所要求的。“平面图形的密铺”是新教材新纳入八年级教材中的，是 一节与生活密切相关内容的课，也是向学生贯彻新课标思想的比较好的例子。对学 生而言，其重要性不言而语。
《平面图形的密铺》教案
《平面图形的密铺》教案一、教学目标：知识与技能：1. 学生能够理解平面图形的密铺的概念。
2. 学生能够运用平面图形的密铺原理进行实际问题的解决。
过程与方法：1. 学生通过观察、操作、交流等活动，培养空间观念和逻辑思维能力。
2. 学生能够运用画图工具或手工绘制出平面图形的密铺图形。
情感态度价值观：1. 学生体验数学与实际生活的联系，培养学习数学的兴趣。
2. 学生在解决实际问题的过程中，培养合作意识与团队精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 平面图形的密铺概念的理解。
2. 平面图形的密铺方法的掌握。
难点：1. 平面图形的密铺原理的应用。
2. 复杂平面图形的密铺方法的探索。
三、教学准备：教师准备：1. 平面图形的密铺的相关教学材料。
2. 画图工具（如彩笔、直尺、剪刀等）。
学生准备：1. 完成预习任务，了解平面图形的密铺的基本概念。
2. 准备好画图工具。
四、教学过程：1. 导入：教师通过展示一些生活中的实例，如瓷砖铺贴、地板图案等，引导学生观察并思考这些实例中的平面图形的密铺现象。
2. 新课讲解：教师介绍平面图形的密铺的概念，讲解密铺的原理和方法，并通过示例进行讲解。
3. 实践操作：学生分组进行实践操作，运用画图工具或手工绘制出不同平面图形的密铺图形。
4. 交流分享：学生展示自己的作品，分享在操作过程中的发现和感悟，师生共同讨论并总结密铺的方法和技巧。
5. 巩固练习：教师给出一些实际问题，学生独立解决，运用密铺原理进行图形设计或计算。
五、作业布置：1. 绘制一个自己设计的平面图形的密铺图形，并写上设计思路和感受。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 学生能够准确地解释平面图形的密铺的概念。
2. 学生能够熟练地运用平面图形的密铺原理进行实际问题的解决。
3. 学生能够通过实践操作，展示自己的创新能力和团队合作精神。
七、教学拓展：1. 引导学生探索更多平面图形的密铺方法，如五边形、六边形等。
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§4.7 平面图形的密铺
教学目标
(一)知识目标
平面图形的密铺及多边形密铺的条件.
(二)能力训练目标
1.经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力.
2.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计.
(三)情感与价值观目标
1.在探索活动过程中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用.
2.在探索性活动中，开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际.
教学重点
多边形密铺的条件.
教学难点
运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计.
教学过程
一、巧设情景问题，引入课题
［师］同学们好，老师问大家一个问题：你家铺有地板砖吗？
［生齐］铺有地板砖.
［师］那你家铺的地板砖是什么图形呢？
［生甲］正方形、正六边形.
［师］很好，我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.(出示投影，展示各种地板图片)
［师］这些地板漂亮吗？
［生齐］非常漂亮.
［师］很好，这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺.
这节课我们来探索平面图形的密铺.
二、讲授新课
［师］平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.大家愿意美化生活环境吗？
［生齐］愿意.
［师］好，那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出剪刀和硬纸片分组来做一做：
(1)用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？
(2)用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流.
(3)在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内
角有什么关系？
(4)在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？(学生动手制作、教师强调：)
［师］大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形.(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导)
［生甲］用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.
从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.
［生乙］用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.
［生丙］从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.
［师］同学们总结得非常好，通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想，议一议(出示投影片§4.8 B) (1)正六边形能否密铺？简述你的理由.
(2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺.
(3)还能找到能密铺的其他正多边形吗？(学生分析、讨论、归纳)
［生甲］正六边形能密铺.因为正六边形的每个内角都是：6
180)26(︒⋅-=120°,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙.
［生乙］正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍.如图所示，在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和都大于360°.
［师］很好，乙同学说的也就是：在每个拼结处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象.
［生丙］老师，我知道了，要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺.
［师］很好，事实上，对于正n 边形，它的每一个内角都为n
n ︒⋅-180)2(,在每个拼接
点处，设可以将m 个内角彼此无重叠、无缝隙地拼接在一起，由于这些角的和应为360°，因此有n
n ︒⋅-180)2(×m =360° 此式可化为：(m －2)(n －2)=4 m 、n 都是正整数. 因此：m －2,n －2都是4的因子. 所以，m 、n 的取值仅有三种可能，即：
⎩
⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==63 44 36n m n m n m 这正是正多边形的三种可以密铺的情况.当然，一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角未必都相等.(出示投影片§4.8 C)
［师］这是用一种正多边形镶嵌平面的三种情况，图案漂亮吗？
［生齐］漂亮.
［生］老师，我们讨论了用正多边形镶嵌平面，那非正多边形能否镶嵌一个平面呢？ ［师］这个问题我们以后要涉及到，因为用非正多边形镶嵌平面比较复杂，所以这节课我们不进行讨论.
三、课堂练习
1.如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图
(2)所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？说说你的理由.
答案：可以进行密铺.因为正方形是可以密铺的.这个题只是在整个密铺图案中，将其中一个正方形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位，因而它也是可以密铺的.
2.利用习题
3.7第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的“基本单位”图形.
(二)读一读课本P114漂亮的密铺图案.
(三)试一试
同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料进行实验.
答案：可以密铺(学生进行操作，来实验，从而得证)
(四)看课本P113后总结
四、课时小结
本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形密铺的条件.即：
一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.
五、课后作业
课本P115习题4.12 1、2、3；试一试。
六、教后感：
1、数学教学是数学活动的教学，本节课能充分体现新课程精神，充分体现学生主动参与意识，每个同学都可以在不同的场合表现自己。
从而使学生在活动中学习数学、感知数学，使人人都能学到有价值的数学，人人都学必需的数学。
有些同学能密铺图形，有些同学能摆出图案并设置问题，有些同学能利用正多边形的一个内角的度数归纳能否密铺问题，这也就体现了不同的人在数学上有不同的发展。
2、教学情景的设置，数学活动的安排，体现出创造性的使用教材，学生的探究过程、自我评价张扬了学生的个性，激发了学生的学习热情，体现了《标准》的人文性。
本节课把数学活动贯穿于整个教学活动始终，学生参与程度高，在合作学习中教师能有效的组织学生进行小组合作学习与交流活动，老师的引导语言和积极的鼓励性语言，突出了本课时的重、难点，并和谐了课堂气氛；探究过程中安排学生演示来回走动、互问互答，交流合作，注重了学生已有知识和生活经验，使学生感受到数学源于生活，运用于生活。