实验三 离散傅立叶变换

周期连续频谱密度函数。
离散时间的傅里叶变换(DTFT):离散时间,连续频率的
傅里叶变换。非周期离散的时间信号(单位园上的Z变
换(DTFT))得到周期性连续的频率函数。
离散傅里叶变换(DFT):离散时间, 离散频率的傅里叶
变换。
上面讨论的前三种傅里叶变换对,都不适用在

计算机上运算, 因为至少在一个域( 时域或频 域)中, 函数是连续的。因为从数字计算角度 我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况, 这就是第四种离散傅里叶变换。
nk X ( k ) W N n 0 N 1
例：求出下面周期序列的DFS
x(n)={……,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,……}
基本周期为N=4，WN=W4=-j，
(k ) X ( n) W x
n 0 3 nk 4
因而
(0) x (n)W X
由非周期到周期变换时 ，频谱由连续谱逐渐向离散谱 过渡的过程。
例：已知一个矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/2，一 个周期的采样点数为10，用傅立叶级数变换求信号的重 复周期数分别为1、4、7、10时的幅度频谱。

MATLAB程序： xn=[ones(1,5),zeros(1,5)]; Nx=length(xn); Nw=1000;dw=2*pi/Nw; k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); for r=0:3; K=3*r+1; nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1); Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; subplot(4,2,2*r+1); stem(nx,x) axis([0,K*Nx-1,0,1.1]); ylabel('x(n)'); subplot(4,2,2*r+2); plot(k*dw,abs(Xk)) axis([-4,4,0,1.1*max(abs(Xk))]); ylabel('X(k)'); end
周期序列可表示成：
1 x ( n) N
(k )e X
k 0
N 1
j
2 kn N
n 0, 1,......
(k ), k 0, 1,......} 叫做离散傅立叶级数系数，也 其中 {X
称为周期序列的频谱，可由下式表示
(k ) x (n)e X
nk=n’*k;


WNnk=WN.^(-nk);
xn=（xk*WNnk）/N;
xn=idfs(xk',4) x=xn'
周期重复次数对序列频谱的影响
理论上讲 ，周期序列不满足绝对可积条件，要对周期
序列进行分析，可以先取K个周期进行处理，然后让K
无限增大，研究其极限情况。这样可以观察信号序列
的主值区间序列，则前面的两个表
达式可写成：
W x X N 1 x WN X N
式中，矩阵WN为方阵——DFS矩阵。
WN [WNkn 0 (k , n) N 1] 11n1 1 N 1 1 W W N N k N 1 ( N 1) 2 WN ...WN
0 0
3
3
(3) x (n)W43n x (n)( j )3n 2 2 j X
0 0
3
3
MATLAB实现
矩阵-向量相乘运算来实现。
和 X (k )均为周期函数，周期为N，可设 x 由于x ( n) 和 X
( n) x 代表序列
(k ) 和 X
利用MATLAB实现傅立叶级数计算
编写函数实现DFS计算
function xk=dfs(xn,N)
n=[0:1:N-1]; k=n; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k;
%n的行向量 %k的行向量 %WN因子
%产生一个含nk值的N乘N维矩阵 %DFS矩阵 %DFS 系数行向量
所以“时间”或“频率”取连续还是离散值, 就形成
各种不同形式的傅里叶变换对。
四种不同傅里叶变换对
傅里叶级数(FS)：连续时间, 离散频率的傅里叶变换。
周期连续时间信号傅里叶级数(FS)得到非周期离散频 谱密度函数。
傅里叶变换(FT)：连续时间, 连续频率的傅里叶变换。
非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非
一、实验目的
加深对离散傅立叶变换(DFT)的理解。 掌握利用MATLAB语言进行离散傅立叶变换和逆变换的
方法。
加深对离散傅立叶变换基本性质的理解。 掌握离散傅立叶变换快速算法的应用。
二、实验原理及方法
傅里叶变换
建立以时间t为自变量的“信号”与以频率f为 自变量的“频率函数”(频谱)之间的某种变换关系。
n 0 N 1 j 2 nk N
,k 0, 1,......
(k )也是一个基本周期为N的周期序列。 注意 X
上面两式称为周期序列的傅立叶级数变换对。 令 WN e
j 2 N
表示复指数，可以得到以下：
N 1 n 0
(k ) DFS[ x (n)] x (n)WN nk X 1 (n) DFS[ X (k )] x N
0 3 3 0 n 4
(n) x (0) x (1) x (2) x (3) 6 x
0 3
3
(1) x (n)W41n x (n)( j ) n 2 2 j X
0 0
(2) x (n)W42 n x (n)( j ) 2 n 2 X
离散傅里叶级数(DFS)
离散时间序列x(n)满足x(n)=x(n+rN)，称为离散周期
序列，其中N为周期，x(n)为主值序列。
由傅立叶分析知道周期函数可由复指数的线性组合叠
加得到。其频率为基本频率的倍数。从离散时间傅立
叶变换的频率周期性，我们知道谐波次数是有限的，
其频率为 { 2
N k , k 0,1,......, N 1}
WNnk=WN.^nk; xk=xn* WNnk;
例：xn=[0,1,2,3]，N=4
xn=[0,1,2,3]; N=4; xk=dfs(xn,N)’
逆运算IDFS
function xn=idfs(xk,N)


n=[0:1:N-1];
k=n;


WN=exp(-j*2*pi/N);