理解离散傅立叶变换
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
常见离散傅里叶变换
常见离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种广泛应用于信号处理、图像处理和通信领域的数学工具。
它能够将一个离散的时间域信号转换为一个复频域信号，揭示信号频谱的频率成分。
离散傅里叶变换的应用非常广泛，比如音频压缩、图像滤波、信号分析等。
离散傅里叶变换的概念起源于傅里叶分析。
傅里叶分析是将一个连续信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，从而揭示信号的频率成分。
离散傅里叶变换是将傅里叶分析的思想推广到离散信号上的一种方法。
离散信号是在有限时间间隔内取样的信号，比如数字音频和数字图像。
离散傅里叶变换通过使用复指数函数来表示离散信号的频域表示，将离散信号在频域上进行变换分析。
离散傅里叶变换的数学表达式是一个复数系数的序列，其中每个系数表示输入信号在不同频率上的能量。
变换的结果通常被称为频谱，它显示了信号在频域上的频率成分。
离散傅里叶变换的算法通过一系列复数乘法和加法运算来计算这些系数。
计算的时间复杂度为O(n^2)，其中n是输入信号的长度。
然而，快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法可以将计算复杂度优化到O(n log n)，使得离散傅里叶变换能够高效地应用于实时信号处理。
离散傅里叶变换的应用非常广泛。
在音频处理中，离散傅里叶变换用于音频压缩、信号滤波和频谱分析。
在图像处理中，离散傅里叶变换被用于图像滤波、边缘检测和图像压缩。
此外，离散傅里叶变换还被应用于数据压缩、语音识别和信号恢复等领域。
离散傅里叶变换的学习和应用有一定的挑战性。
首先，了解傅里叶分析的基本原理和数学概念是必要的。
其次，学习离散傅里叶变换的算法和实现也需要一定的数学和计算机基础。
最后，应用离散傅里叶变换需要对具体问题进行合理的数学建模和信号处理的理解。
为了学习离散傅里叶变换，可以参考各种教材、学术论文和在线资源。
其中一种常见的方法是通过计算机软件或编程语言来实现离散傅里叶变换，比如MATLAB、Python和C++等。
离散傅里叶变换(DFT)
sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8
kn 16
设变换区间N=16， 则
X (k ) x(n)W
n 0
15
e
N 0
3
j
2 kn 16
e
3 j k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
具体而言，即：
(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓 (3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值 区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同 周期序列）
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
DFT 矩阵方程为:X WN x 即: 1 X (0) 1 X (1) 1 WN 1 WN 2 X (2) ＝ 1 ( N 1) X ( N 1) 1 W N 1 WN 2 WN 4 WN 2( N 1)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
一. 引言
3.1 离散傅里叶变换的定义
我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信 号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号 处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换 (DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可 以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得 以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理 中也起着核心作用。
离散傅立叶变换
则
m 0
N 1 N 1 ~ f ( n ) ~ ( m) ~ ( n m ) ~ ( m ) ~ ( n m) x y y x
记为
~ f ( n) ~ ( n) ~ ( n) y x
谢 谢！
(3)周期卷积性质 ~ ~ ~ 若 F (k ) X (k ) Y (k ) ~ 则 f ( n) ~ ( n) ~ ( n) y x
2T
t
3. 时移和频移定理
x(t ) X ( f )
x(t t0 ) e
j 2ft0
X( f )
e jx cos x j sin x jx e cos x j sin x
x(t )e
4.卷积定理
j 2f 0t
X ( f f0 )
x1 (t ) x2 (t ) X1 ( f ) X 2 ( f )
。
4、DFS 的性质： (1)线性 (2)移位 ~ ~ ~ (n) b~ (n)] aX (k ) bY (k ) DFS[ax y ~ ~ (n m)] W mk X (k ) DFS[ x
N
~ nl IDFS[ X (k l )] WN ~ (n) x (3)周期卷积 ~ ~ ~ 若 F (k ) X (k ) Y (k )
连续傅里叶变换(FT)：
连续时间,连续频率 的傅里叶变换。 傅里叶级数(FS)： 连续时间,离散频率 的傅里叶变换 序列的傅里叶变换(DTFT): 离散时间, 连续频率 的傅里叶变换. 离散傅里叶变换(DFT): 离散时间, 离散频率 的傅里叶变换
3.1.1
连续时间信号的傅立叶变换
将~的傅氏级数式两端乘以 x e 求和，则得到 x ~(n)e
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将一个离散信号（或称时域信号）转换为频域表示的数学工具。
在现代信号处理和通信领域中，DFT被广泛应用于信号分析、滤波、频谱估计等领域。
DFT的概念源于傅里叶分析，它是将一个连续时间函数表示为一组基函数乘以一系列复数系数的线性组合。
而离散傅里叶变换则是将这一思想应用于离散信号，将离散时间序列转换为离散频率表示。
通过使用离散傅里叶变换，我们可以将一个时域上的离散信号转换为频域上的频谱表示，从而可以更加直观地观察信号的频率成分和能量分布。
离散傅里叶变换的时移性质是指当输入信号在时域上发生时移时，其在频域上的表示也随之发生相应的时移。
这一性质使得我们可以通过时移操作对信号进行处理和分析。
具体来说，如果我们对一个信号进行时移操作，即将信号中的每个样本向前或向后平移若干个位置，那么该信号在频域上的表示也会相应地发生同样的平移。
在本文中，我们将着重讨论离散傅里叶变换时移的原理和性质。
我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和原理，包括如何进行DFT变换、如何计算DFT系数以及DFT的逆变换等。
然后，我们将详细解释离散傅里叶变换的时移性质，包括时域上的时移操作如何在频域上体现以及时域和频域之间的变换关系等。
通过对离散傅里叶变换时移性质的研究，我们可以更好地理解信号在时域和频域之间的关系，以及对信号进行时移操作的影响。
同时，我们还将探讨离散傅里叶变换时移的应用，包括在信号处理、通信系统和图像处理等领域中的具体应用案例。
通过这些应用案例，我们将展示离散傅里叶变换时移的重要性以及它在实际问题中的实用价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，首先概述了离散傅里叶变换时移的主题，介绍了离散傅里叶变换的基本概念和原理。
接着，详细说明了本文的结构，即按照离散傅里叶变换时移的相关性质展开论述。
第四章 离散傅立叶变换(DFT)
x ( n )W N
kn
n0
X ( k ) DSK [ x ( n )] N 点
x ( n )W N
k=0, 1, …, N-1
n0
式中的周期序列 ~ N 是有限长序列x(n)的周期延拓 x 序列，其定义为
~ (n ) xN
m
x ( n mN )
(4.2.3)
X(N-k)=X*(k) k
0 ,1, 2 , N 2 1
共需要N2/2次复数乘法，比直接按定义计算少一半。 对一般的复序列，DFT也有共轭对称性。
4.3.5 循环卷积定理 1) 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点
循环卷积定义为
1 e
8k
1 e
j
k
2
k
j
2
k
e
j
(e
k j
e e
j
2
k
)
k
16
16
k
j
16
e
j
(e
k
)
7 16
sin( sin(
2
k)
e
k=0, 1, 2, …, 15
k)
16
x(n)的幅频特性函数曲线、 8点DFT、 16点DFT和 32点DFT的模分别如图4.2.1(a)、 (b)、 (c)和(d)所示。
通常又定义周期序列的主值序列为
x N ( n ) ~N ( n ) R N ( n ) x
比较以上四种变换的计算式可得到：
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
4点离散傅里叶变换
4点离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散时间域信号转换为频域表示的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域中广泛应用。
本文将介绍离散傅里叶变换的原理、算法和应用，并重点讨论其与连续傅里叶变换之间的关系。
一、离散傅里叶变换的原理离散傅里叶变换是将一个长度为N的离散时间域信号x(n)变换为其频域表示X(k)的过程。
其中，n表示时间的离散样本点，k表示频率的离散样本点。
离散傅里叶变换的数学表达式如下：X(k) = Σ[n=0 to N-1] x(n) * exp(-j*2πnk/N)其中，j表示虚数单位，exp(-j*2πnk/N)为旋转因子。
离散傅里叶变换可以将信号从时间域转换到频域，得到信号在不同频率上的成分。
二、离散傅里叶变换的算法离散傅里叶变换的计算可以通过不同的算法实现，其中最常用的算法是快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。
FFT算法利用了信号的周期性和对称性，将离散傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算效率。
FFT算法的基本思想是将信号分解成两个长度为N/2的子信号，再通过递归的方式计算子信号的离散傅里叶变换。
具体步骤如下：1. 如果信号长度N为1，则直接输出该信号作为结果。
2. 将信号分成偶数和奇数索引的两个子信号，分别进行离散傅里叶变换。
3. 将两个子信号的离散傅里叶变换结果合并成一个长度为N的结果信号。
FFT算法的关键在于旋转因子的利用和子信号的合并。
通过适当的重排子信号和旋转因子，可以有效地提高计算效率。
三、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在信号处理和通信领域中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 信号频谱分析：离散傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱信息。
通过分析信号的频谱，可以了解信号的频率成分和能量分布，从而实现信号的频谱分析和滤波处理。
傅里叶变换的四种形式
傅里叶变换的四种形式
傅里叶变换的四种形式包括：
1.连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform）：这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
其逆变换为：一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
对于周期函数，其傅里叶级数是存在的。
2.离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）：DTFT在时域上是离散的，在频域上则是周期的。
DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。
3.离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）：DFT 是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
4.离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，DFS）：对于周期性离散信号，可以使用离散傅里叶级数（DFS）进行表示。
五种傅里叶变换解析
五种傅里叶变换解析标题：从简到繁：五种傅里叶变换解析引言：傅里叶变换是数学中一种重要且广泛应用于信号处理、图像处理和物理等领域的工具。
它的基本思想是将一个信号或函数表示为若干个不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号或函数的频谱特性。
本文将展示五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开，帮助读者逐步理解傅里叶变换的原理与应用。
第一部分：离散傅里叶变换（DFT）在此部分中，我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和算法。
我们将讨论DFT的离散性质、频域和时域之间的关系，以及如何利用DFT进行频域分析和滤波等应用。
此外，我们还将探讨DFT算法的时间复杂度，以及如何使用DFT来解决实际问题。
第二部分：快速傅里叶变换（FFT）在这一部分中，我们将深入研究快速傅里叶变换算法，并详细介绍其原理和应用。
我们将解释FFT如何通过减少计算量和优化计算过程来提高傅里叶变换的效率。
我们还将讨论FFT算法的时间复杂度和几种不同的FFT变体。
第三部分：连续傅里叶变换（CTFT）本部分将介绍连续傅里叶变换的概念和定义。
我们将讨论CTFT的性质、逆变换和时频分析的应用。
进一步，我们将引入傅里叶变换对信号周期性的描述，以及如何利用CTFT对信号进行频谱分析和滤波。
第四部分：离散时间傅里叶变换（DTFT）在这一章节中，我们将介绍离散时间傅里叶变换的基本原理和应用。
我们将详细讨论DTFT的定义、性质以及与DFT之间的关系。
我们还将探讨DTFT的离散频率响应、滤波和频谱分析的相关内容。
第五部分：傅里叶级数展开最后，我们将深入研究傅里叶级数展开的原理和应用。
我们将解释傅里叶级数展开如何将周期函数分解为多个不同频率的正弦波的叠加。
我们还将讨论傅里叶级数展开的收敛性和逼近性，并探讨如何利用傅里叶级数展开来处理周期信号和周期性问题。
结论：综上所述，本文介绍了五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开。
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
离散傅里叶变换的基本性质
x(5 )
A(6 )
W
0 N
x(3 )
A(7 )
x(7 )
W
0 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
W
0 N
A(3 )
W
2 N
A(4 )
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
A(0 ) X(0 ) X(1 ) X(2 ) X(3 ) X(4 ) X(5 ) X(6 )
A(7 ) X(7 )
m N
WN 2
WNm
2. 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：
时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT,简称DITFFT)和频域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简 称DIF―FFT)。下面先介绍DIF―FFT算法。
设序列x(n)的长度为N，且满足
N 2M , M 为自然数
离散傅里叶变换的定义及物理意义离散傅里叶变换的基本
即如果 n=MN+n1 0≤n1≤N－1, M为整数
则
((n))N = (n1)
例如，
, 则有
N 8, x(n) x((n))8 x(8) x((8))8 x(0) x(9) x((9))8 x(1)
x(2) x((2))8 ？ 2 (1) 8 6
x(2) x((2))8 x(6)
即 X(k) 为 X的(k主)值序列
有限长序列 x(n) 的 N 点离散傅里叶变换 X(k) 正好是x(n)的周期延拓序列
x((n))N 的离散傅里叶级数系数
的主值序列。
X (k)
周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数
确定，因此：X (k )
X(k) 实质上是 x(n) 的周期延拓序列 x((n)) N 的频谱特性
如果x(n)的长度为M，且
~x (n)的离散傅里叶级数：
~x (n，) N≥xM(，(n则)) N
N 1
N 1
N 1
X (k)
x(n)WNkn
x
((n))
N
W
kn N
x(n)WNkn
n0
n0
n0
x(n)
1 N
N 1
X
(k
)W
N
kn
k0
1 N
N 1
X
(k
)W
N
kn
k0
式中 X(k) X(k)R N (k)
1 N
N 1
X (k)WNkn ,
k0
n=0,
1,
, M-1
式中，WN=
，eN称j2N为 DFT变换区间长度, N≥M
❖ 3.1.2 DFT与傅里叶变换（DTFT）和Z 变换的关系
离散傅里叶变换
这个过程如下图所示。 16
从图中两虚线之 间的主值序列的 移位情况可以看 出，当主值序列 左移m个样本时， 从右边会同时移 进m个样本，而 且好像是刚向左 边移出的那些样 本又从右边循环 移了进来。因此 取名“循环移 位”。 显然，循环移位 不同于线性移位
17
18
19
b) 时域循环移位定理 对长度为N的有限长序列x(n)，其循环移位后序列y(n)的DFT为
2
傅里叶变换的各种形式
连续时间、离散频率的傅里叶变换 对于周期为T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：
连续时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：
它在时域和频域都是连续的。
3
离散时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以2π为周 期的连续函数。
(1)周期延拓 (2)折叠 (3) 移位和取主值 (4)相乘 (5)相加
x2(m)————x2((m))N
x2((m))N————x2((-m))N
循环反转序列
x2((-m))N————x2((n-m))NRN(m)
x2((n-m))NRN(m) ————x1(m) x2((n-m))NRN(m)
summ{0,1,……,N-1}
考虑到DFT关系的对偶性，可以证明，长为N的两序列之积的DFT 等于它们的DFT的循环卷积除以N，即
频域循环卷积定理 26
27
3.2.4 复共轭序列的DFT
x n 是长度为N的序列x(n)的复共轭序列，X k DFT xn
则
DFT x n X N k , 0 k N 1
(3.2.11)
将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 再将式(3.2.9) 和
离散傅里叶变换和连续傅立叶变换区别
离散傅里叶变换和连续傅立叶变换区别
离散傅里叶变换和连续傅立叶变换是两种不同的信号处理方法。
它们的区别在于信号的采样方式和处理方式。
连续傅立叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它适用于连续信号，即信号在时间上是连续的。
在进行连续傅立叶变换时，需要对信号进行采样，将其离散化，然后进行傅立叶变换。
这种方法可以用于分析和处理各种类型的信号，例如音频信号、图像信号等。
相比之下，离散傅里叶变换是一种将离散信号转换为频域信号的方法。
它适用于离散信号，即信号在时间上是离散的。
在进行离散傅里叶变换时，信号已经被离散化，因此不需要进行采样。
离散傅里叶变换通常用于数字信号处理中，例如数字滤波器设计、频域滤波等。
另一个区别是它们的计算方式不同。
连续傅立叶变换是通过积分计算得到的，而离散傅里叶变换是通过离散的计算公式得到的。
这意味着离散傅里叶变换可以在计算机上进行快速计算，而连续傅立叶变换需要进行数值积分，计算速度较慢。
它们的应用场景也有所不同。
连续傅立叶变换通常用于分析和处理模拟信号，例如音频信号、图像信号等。
而离散傅里叶变换则更适用于数字信号处理，例如数字滤波器设计、频域滤波等。
离散傅里叶变换和连续傅立叶变换是两种不同的信号处理方法，它们的区别在于信号的采样方式和处理方式、计算方式以及应用场景。
在实际应用中，我们需要根据信号的特点和处理需求选择合适的方法。
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
它是傅里叶变换在离散领域的推广和延伸，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
在理解离散傅里叶变换之前，我们先来回顾一下傅里叶变换的概念。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号表示为不同频率的正弦波或余弦波的叠加。
傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，从而实现滤波、音频处理等操作。
而离散傅里叶变换则是将傅里叶变换应用于离散信号。
离散信号是指信号在时间（或空间）上以离散的方式采样得到的信号。
在现实应用中，信号往往是以数字的形式存储和处理的，因此离散傅里叶变换成为了非常重要的工具。
离散傅里叶变换的定义如下：给定由N个实数或复数构成的序列{x(n)}，其离散傅里叶变换为:X(k) = Σ(x(n) * e^(-i2πkn/N))其中，k和n都是整数，X(k)是频谱上的一个点，对应于频率为k的分量，x(n)是原始信号上的一个点。
离散傅里叶变换的求解可以利用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法进行高效计算。
FFT算法利用了信号的周期性和对称性，通过将计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算的速度。
FFT算法的精髓在于将长度为N的DFT分解为多个长度为N/2的DFT，这样递归地进行分解，最后合并得到结果。
离散傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用。
例如，在音频处理中，可以利用离散傅里叶变换将时域上的音频信号转换为频域上的频谱图，从而实现音频的分析和处理。
在图像处理中，可以利用离散傅里叶变换将图像转换为频域表示，进而实现图像去噪、图像压缩等操作。
离散傅里叶变换还被广泛应用于通信系统中。
在数字通信中，可以利用离散傅里叶变换将时域上的数字信号转换为频域上的信号，实现信号的调制和解调。
在无线通信中，可以利用离散傅里叶变换对信号进行频谱分析，从而实现信号的解调和信号的检测。
离散傅里叶变换----解释的最透彻的包括定义物理意义
离散傅里叶变换----解释的最透彻的包括定义物理意义1. 傅里叶变换的集中形式及应用傅立叶变换是以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的一种变换关系。
由于自变量时间和频率可以是连续的，也可以是离散的，因此可以组成几种不同的变换对。
（1）非周期的连续时间，连续频率-----傅里叶变换正变换X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt反变换x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(jΩ)*exp^jΩt dt练习一：时域函数：连续时间矩形脉冲频域：连续频率的非周期函数（2）周期的连续时间，离散频率----傅里叶级数周期为T0的时间信号x(t) 的傅里叶级数展开的系数为X(jkΩ0),构成的傅里叶变换对如下：正变换X(jkΩ)= {-T0/2,+T0/2}x(t)*exp^-jkΩ0t dt反变换X(t)= ∑k={-∞,+∞} X(jkΩ0)*exp^jkΩ0t式中X(jkΩ0)是以角频率Ω0为间隔的离散函数形成频域的离散频谱，Ω0与时间信号的周期之间的关系为Ω0=2ΠF=2π/T0.傅里叶级数展开将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率为Ω0整数倍的谐波，k为各次谐波序号。
练习二时域：连续时间周期矩形脉冲频域：非周期的频域结论：时域的周期性对应于频域的离散性（3）非周期的离散时间、连续频率---序列的傅里叶变换非周期离散时间信号的傅里叶变换就是序列的傅里叶变换正变换X(e^jω)= ∑n={-∞,+∞}x(n) e^-jωn反变换x(n)=1/2π{-π,+π}X(e^jω) e^jωn dω式中，ω是数字频率如果序列x(n)是模拟信号x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为Ts,抽样频率为fs=1/TS,抽样角频率为Ωs=2π/Ts，由于数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为ω=ΩTs，因此抽样数字频率ωs=ΩsTs=2π，则上面的变换对也可写成正变换X(e^jΩT)= ∑n={-∞,+∞}x(nT) e^jnΩT反变换x(nT)=1/Ωs{-Ωs/2,+ Ωs/2}X(e^jΩT) e^jnΩT dΩ练习三时域：对连续时间矩形脉冲按照Ts为周期进行采样频域：以Ωs为周期严拓结论：时域的离散造成频域的周期严拓，时域的非周期性对应于频域的连续性（4）离散时间，离散频率----离散傅里叶变换由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换，其所涉及的变量和运算都是离散的，而前面三种傅里叶变换对中，时域或频域中至少有一个域是连续的，所以都不可以在计算机上进行运算和实现，因此对于数字信号处理，应该找到在时域和频域都是离散的傅里叶变换，即离散傅里叶变换。
离散傅里叶变换和傅里叶变换
离散傅里叶变换和傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和傅里叶变换（Fourier Transform）是信号处理和频谱分析中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解信号的频率成分，对信号进行频域分析，以及在数字信号处理中起到了非常重要的作用。
本篇文章将从简单到复杂，从浅入深地介绍离散傅里叶变换和傅里叶变换的概念和应用，帮助大家更深入地理解这两个概念。
一、离散傅里叶变换1. 概念概述离散傅里叶变换是傅里叶变换在离散域上的表示。
它将一个离散的信号转化为一组离散的频谱成分，用于分析信号的频域特性。
在许多数字信号处理的应用中，离散傅里叶变换被广泛应用，比如音频分析、图像处理等领域。
2. 计算公式离散傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$其中，$X_k$表示频谱分量，$x_n$表示输入信号的离散样本，而$e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$则是复指数函数。
3. 应用场景离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，包括语音处理、图像处理、通信系统等。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，对信号进行压缩、滤波等操作。
二、傅里叶变换1. 概念概述傅里叶变换是一种数学变换，将一个时域上的信号转化为频域上的表示。
通过傅里叶变换，我们可以将信号分解为不同频率成分，从而更好地理解信号的频谱特性。
2. 计算公式傅里叶变换的计算公式可以表示为：$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \cdot e^{-j2\pi ft} dt$其中，$X(f)$表示频谱成分，$x(t)$表示输入信号，而$e^{-j2\pi ft}$则是复指数函数。
3. 应用场景傅里叶变换在信号处理、通信系统、图像处理等领域都有着非常重要的应用。
它可以帮助我们分析信号的频谱特性，进行滤波、压缩等操作，同时也在图像处理中起到了重要作用。
离散傅里叶变换的定义
所以
x (n ) IDFT [ X (k )] x1 (n ) x2 (n ) x2 (n ) x1 (n )
即循环卷积亦满足交换律。
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1
0 1 2 3 4 5 6 7 x2 (n ) 1
n ，m
0 1 2 3 4 5 6 7 x2 ((－ m))NRN(m) 1
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
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3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位 定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
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其中X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1。
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证明：
Y (k ) DFT [ y ( n )]
kn x (( n m)) N RN ( n )WN n 0 kn x (( n m)) N WN n 0 N 1 N 1
n
0 1 2 3 4 5 6 7 x2 ((1 －m))NRN(m) 1
m
0 1 2 3 4 5 6 7 x2 ((2 －m))NRN(m) 1
m
0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 x(n )
m
0 1 2 3 4 5 6 7
n
图3.2.2 循环卷积过程示意图
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2 k N
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理解离散傅立叶变换（一）
------傅立叶变换的由来
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：
/pdfbook.htm
要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
一、傅立叶变换的提出
让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，否定了傅立叶的工作成果，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因怕会被推上断头台而一直在逃避。
直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。
但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。
为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷多的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。
用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真
下图是四种原信号图例：
但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。
所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT 方法。
这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。
每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT)，再去理解复数傅立叶变换就更容易了，所以我们先把复数的傅立叶变换放到一边去，先来理解实数傅立叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。
还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。
三、一个关于实数离散傅立叶变换(Real DFT)的例子
先来看一个变换实例，下图是一个原始信号图像：
这个信号的长度是16，于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波（一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号，这是为什么呢？结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围），如下图：
9个余弦信号：
9个正弦信号：
把以上所有信号相加即可得到原始信号，至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的，我们先不急，先看看对于以上的变换结果，在程序中又是该怎么表示的，我们可以看看下面这个示例图：
上图中左边表示时域中的信号，右边是频域信号表示方法，从左向右表示正向转换(Forward DFT)，从右向左表示逆向转换(Inverse DFT)，用小写x[]表示信号在每个时间点上的幅度值数组, 用大写X[]表示每种频率的幅度值数组, 因为有N/2+1种频率，所以该数组长度为N/2+1，X[]数组又分两种，一种是表示余弦波的不同频率幅度值：Re X[]，另一种是表示正弦波的不同频率幅度值：Im X[]，Re是实数(Real)的意思，Im是虚数(Imagine)的意思，采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示，但这里我们不考虑复数的其它作用，只记住是一种组合方法而已，目的是为了便于表达（在后面我们会知道，复数形式的傅立叶变换长度是N，而不是N/2+1）。