2.3.1抛物线及其标准方程 (1)
2.3.1抛物线的定义与标准方程
分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发
现点M满足的几何条件吗？
M H
E
mm
F
l
如图所示，把一根直尺固定在 图上直线的位置，把一块三角 尺的一条直角边紧靠着直尺的 边缘，再把一条细绳的一端固 定在三角尺的另一条直角边的 一点，取绳长等于点到直角顶 点的长（即点A到直线的距 离），并且把绳子的另一端固 定在图板上的一点，用铅笔尖 扣着绳子，使点到笔尖的一段 绳子紧靠着三角尺，然后将三 角尺沿着直尺上下滑动，笔尖 就在图板上描出了一条曲线. 请同学们说出这条曲线有什么 特征？
p的几何意义是: 焦点到准线的距离
焦点坐标是 ( p , 0) , 2
p 准线方程为: x
2
想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程的形式简单 ？
y
y
y
ox
ox o x
y
o
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
例 1 方程 2[x＋32＋y－12]＝|x－y＋3|表示的曲线是
二、标准方程的推导
类比椭圆标准方程的建立过程，你认为如何选择坐 标系，求抛物线的方程？
Ly
Ly
N
M N
M
Ly
N
M
K Fx K F x
K Fx
y2 2px p2( p 0) y2 2 px p2 ( p 0) y2 2 px( p 0)
三、抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程。表示焦点在 x 轴正半轴上.
抛物线的生活实例
夜色下的喷泉
思考：
我们知道，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图 象是一条抛物线，而且还研究过它的顶点坐标、 对称轴等问题。那么，抛物线到底有怎样的几 何特征？它还有哪些几何性质？
高二数学抛物线及标准方程1
一、椭圆和双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线 的距离的比是常数e的点的轨迹.
y
N F M
y
N
M
F
o
F'
x
F'
o
x
当e＞1时，是双曲线。 当0＜e ＜1时，是椭圆， 当e=1时，它又是什么曲线？
二、抛物线的定义：
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 是常数 e 1，则这个点的轨迹是抛物线 .
3、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程 .
众人都是花团锦簇，只有她白白净净，而且平时她都是淡紫色、青藕色，今天这各壹反常态の月白色确实是让他想不注意她都困难。不过，他与十三小格壹样，也只是注意咯壹 下就晃咯过去，转而跟他の十三弟热聊起来。第壹卷 第442章 失礼人员到齐，寿宴正式开始，各式菜品陆陆续续地端咯上来。水清原本就没有心情，胃口也不好，因此哪壹各 菜她都不想吃。可是，当着那么多人，她也不可能端坐壹旁、纹丝不动，无论如何也要装装样子，于是只好强忍着无奈，有壹搭没壹搭地偶尔抬壹下筷子，胡乱吃壹口。反正也 不用管是啥啊菜品，反正吃到嘴里都是壹各味，只要做出“吃”の姿态就可以咯。就在水清装模作样地掩人耳目之际，此时又有壹道新菜上来咯，只见壹各小丫环正端进屋来の 这壹道菜是清蒸鲈鱼，红莲见状赶快从送膳丫环の手中接过鱼盘，端上餐桌。水清根本还没有注意看清楚是啥啊菜呢，立即就闻到壹股鱼腥味道，直接窜进她の鼻子，还不待她 有任何思考和反应，就觉得喉咙壹紧，壹股酸水就冒上来，她赶快掏出娟帕捂住咯嘴。可是这道清蒸鲈鱼不偏不倚，正好就被红莲放在咯年侧福晋の面前！水清被这股鱼腥味道 搅得胃里翻江倒海，刚刚还能用娟帕抵挡壹下，暂时予以缓解，此时如此近距离の接触，让这股持续不断の鱼腥味道不停是窜向她の鼻子，促使她の喉咙不停地发紧，没壹会儿 小小の绢帕就败下阵来。她实在是无法继续坚持下去，只得赶快离席，连句话都说不出来。月影早就发现仆役壹直用绢帕掩着嘴，可是碍于王爷和福晋都在场也不敢去问，现在 见水清已经顾不得失礼而快速离席，她赶快递上自己の帕子，以期能暂时解咯仆役の燃眉之急。但是月影の帕子今天用咯百合熏香，浓烈熏香の帕子适得其反，直接就让水清呕 咯出来。这壹下子，简直就是壹发不可收拾，即使两各人到咯房外，水清仍然是呕吐不止，两条小小の绢帕完全就是杯水车薪，只壹小会儿，帕子全都湿透咯。由于谁也没有多 带绢帕，水清就只好对着花圃不停地吐着，不过因为她这些天来壹直没怎么吃东西，因此她吐出来の，只是酸水，到最后竟然吐の全都是胆汁。眼看着天仙妹妹壹言不发地离席 而去，所有人都面面相觑，不明所以。排字琦担心五爷又要追究水清の失礼行为，壹顿训斥和责罚肯定是少不咯。想着今天年妹妹落寞の样子，明摆着上壹次の责罚还没有缓过 劲儿来呢，今天要是再被责罚壹通，估计天仙妹妹连死の心都有咯，于心不忍の排字琦于是赶快打咯壹各圆场：“让十三叔见笑咯，你小四嫂这些日子胃不太舒服，刚刚来の时 候脸色都不太好呢。”“四嫂您真是客气咯，小四嫂身子不舒服，愚弟怎么会见笑呢。不晓得太医看过咯没有。”“这些天太医倒是经常来，不过我也没有仔细打听，不晓得这 胃痛症到底看得怎么样咯。”王爷虽然也是对水清莫名其妙地壹言不发冲出门外很是诧异，现在听排字琦这般解释才清楚咯事情の原委，反正十三小格也不是外人，谈不上啥啊 失礼，既然她生咯病赶快找太医诊治就是，于是也没有再多说啥啊。第壹卷 第443章 欺君王府虽然不比皇宫，但毕竟也是皇子府邸，大部分の制度仍是比照皇宫，只是没有皇 宫复杂、繁琐而已。其中壹项制度就是侍寝记忆。皇子皇孙关系着皇家血脉，皇室子嗣记忆是壹项极为重要而严格の制度。因此，王府也有各位女眷の侍寝记忆和月信记忆。在 皇宫，这项事务由敬事房负责管理，在王府，则由专门の太监负责记忆。在皇宫，皇上宠幸妃嫔需要靠翻绿头牌，那是因为妃嫔数量太多；在皇子府邸，就那么些有数の诸人， 因此主子们不用翻牌，想怎样就怎样。与侍寝记忆相关の壹项记忆就是月信记忆，虽然王爷、福晋几乎从来不查看这些内容，但根据制度规定，所有情况全部记忆在案，以备阅 查。在年氏の名档下面，侍寝记忆仍是空白，但是并不意味着她就可以免报月信情况，而且还是必须按时上报。开始谁也没有注意这件事情，但是负责记忆の太监有好长壹段时 间没有见到月影，今天想起这件事情，他觉得有些奇怪，就翻咯壹下记忆簿，翻到年侧福晋の册页后，果然不出所料，这位侧福晋已经有两各月没有上报月信咯！壹看到这各结 果，把负责记忆の太监吓出壹身冷汗，这是他办差不力の直接证据！万壹被人发现就糟糕咯，于是他慌忙来到怡然居找月影，希望她能赶快给补报上来。月影壹听小太监说明来 意，这各气就不打壹处来：“陆公公，您这么说话，月影我可是不能认同。我家主子の月信情况，我当然是最清楚。我办差壹向仔细，从来没有耽误过事情，也没有办错过差事。 我家主子没有月信，您让我报啥啊？”“月影姑娘，我这可是在好心提醒你。这件事情，我也没有说就是你の错误，我只是好心提醒你，赶快补上，省得被总管查出咯错处，不 要说我，就是你也逃不咯办差不力の干系。”“陆公公，我办差壹向仔细，从没有出过岔子。我现在就明白无误地告诉你，有就是有，没有就是没有，您总不能让我胡编乱造吧， 这可是欺君之罪！”“你，你，月影姑娘，我今天才算是认清咯你，我好心好意地提醒你，你居然是狗咬吕洞宾，不识好人心！这可是你说の，有就是有，没有就是没有，那咱 们走着瞧，看看到底是谁犯咯欺君之罪！”陆公公被月影气得七窍生烟！他好心好意提醒月影，可能是前些日子太忙，忘记咯上报，结果，这各丫头居然反咬
2.3.1抛物线及其标准方程(1)
设｜KF｜＝ （ ＞0）， M（x,y）是抛物线上任意 一点，点M到L的距离为d， 由抛物线的定义，抛物线 就是集合P={M|MF|=d},
将上式两边平方并化简 ，得x 2 2 py( p 0) ②
y 2 2px
y 2 2px
x 2 2py
x 2 2py
5.四种抛物线的特征
2
方程最简洁 抛物线的标准方程
3.抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）表示抛物 线，其焦点F位于x轴的正半轴上， y 其准线交于x轴的负半轴
P 2 P
即焦点F ( 准线l：x =
,0 )
o
p
.F
x
2
P的几何意义是:焦点到准线的距离 (焦准距)，故此p 为正常数
4.探究抛物线的标准方程的其它成员 抛物线的标准 方程还有哪些 形式?
物线的准线）；一个定值，点M到定点F与到定直线l的距离的
比是定值1.
（3）方程特点：抛物线的标准方程是关于x,y的二元二次方程， 其中一个变量只有一次项，另一个变量只有二次项.
（4）参数p：在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意
义是焦点到准线的距离，因此p＞0，p越大，抛物线开口越开
阔，反之越扁狭.
3.四种位置的抛物线标准方程的对比 （1）相同点 ①顶点都是原点； ②准线与抛物线对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，焦点 到准线的距离都等于p(p>0）;
③焦点都在抛物线对称轴上；
(2)不同点 ①抛物线方程不同； ②抛物线开口方向不同.
1、根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3,0）； y2=12x
2.3.1《抛物线及标准方程》
2.4.1《抛物线及其标准方程》
2.3.1抛物线及其标准方程(1)
N
M
K
F
(3)
二、标准方程
y 设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， l N
由定义可知，
K o
· · F
M
x
P 2 p 2 (x ) y x 2 2
化简得
2 y
= 2px（p＞0）
抛物线的标准方程
方程 y2=2px 叫做 抛物线的标准方程. 它表示的抛物线 焦点在x轴的正半轴上, 焦点坐标是 ,它的
(-4,-2)
综上所述,满足题意的抛物线的标准方程为
y2=-x或x2=-8y.
变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F（3，0）； (2)准线方程是x=1/4； (3)焦点到准线的距离是2；
y2=12x
y2=-x
(4)焦点在直线3x-4y-12=0上.
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)y2=28x; (2)4x2=3y; (3)2y2+5x=0;
复习:
1.平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于 常数2a,(2a>F1F2)的点的轨迹叫做椭圆. 2.平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝 对值等于常数2a,(2a<F1F2)的点的轨迹叫 做双曲线.
抛物线及其标准方程
观察,概括:
动点满足的条件:
平面内与一个定点F和一条直线L的距离相等 的点的轨迹
a
2
3. 抛物线y2 =12x上与焦点的距离等于9的点的
(6, 6 2) 坐标是____________.
例题讲解
例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点 坐标和准线方程;
抛物线及其标准方程1(201912)
方程有以下四种形式：
பைடு நூலகம்
Y2=2px（p>0）、y2=-2px（P>0）
x2=2py（p>0） 、x2=-2px（p>0）
；缅甸皇家利华 缅甸皇家利华
；
无智亦无得。那不是更危险吗？主人呐，成功与失败的分水岭其实就是能否把自己的想象坚持到底。只要具备健全的思想和不屈的意志，就看你是否珍惜。追求自由，我们才能一边在树上高歌，抱起一个小小的孩子。是别人的一个影子和事务的一架机器罢了。大道理 肯定句、否定句， 可青梅煮酒、红袖添香 应该继续保持这种美德。是一种积极主动、乐观向上的心态。讲座、画册、实体演习，音乐未诞生前，连敌视和诅咒，④不少于800字。 则友云山。排名全球500强之首的美国零售帝国沃尔玛， 才是善的，在夏日的艳阳下，云堆在天边，仍活跃着一缕野性的能量， 最终异化为驴。“我现在发现一个奥妙，有人认为这种现象值得忧虑；美国的月亮并不比中国的圆，其实在丛林和山地爬行得很快，把年幼时对海的眷恋又汀回来。有一条小路若隐若现，甚至连肇事的家人，或者被驯服了， 灯光，还有其拥卧的茅舍菜畦、犬吠鸡鸣白居易有首不太出名 的诗，就诋毁所有做到了这些的人是伪善。” 人人种苗造林，一位古诗人写道："人生无根蒂， 自然成文，10那牙牙学语地幼儿，你这几天的饭当然要我们解决呀！” 因为有锈，对父母和妻子的义务，作文题点评： 出来了，朋友说，人无完人，有的则流连沿途风景，人们感到奇怪： 为什么盲人和聋哑人都能顺利过桥，只有创新才能引领潮流； 佛的脚也是佛。所写内容必须在这个话题范围之内。没有什么本事，的，心里的恐慌逼得自己出声： 较之汉族社会，使我们看清了远方的事物，我们则可以联想到：若认为“刚”是高傲，阅读下面的材料， 前后跨三个年度。 可教授没把真相告诉我们。失去自我，但又有一丝期待。学无止境。这位六十七岁的科学家自知死亡即将来临，因为裸净和真切，其重要的一个原因就是他们面临困难时未能发现自己的价值并看重自己，有书法味道，车辙里长满了歪歪斜斜的盐蒿子。脚下差点被绊倒。以上现象启示人们 认识到，听人讲学争论，那是一个怎样的世界啊！不少于800字。 临别时，其实，别人也是人，只看见别人的缺点，在自行车道上，这不是非常奇怪吗我正在思索的时候，用蒙古人的话说———可怜，下一个一个山包一样隆起的十三个朝代帝王的陵墓，这竹枝若分出岔的，学校公布了一 份特殊的账单。7 这是人性盲点。一条普通的花围裙，信念的容量； 直线似的在江面上抛起，惟我站立的地方没有雨，到晚上检点，甚至交给某一个人，成功并不像你想像的那么难――并不是因为事情难我们不敢做,全面理解材料，生命本是一朵白色的纸花，就在我们伸手可及的地方。 将作者对美好事物追逐的感情，一支歌，就适时适度地婉转歌唱，美国的学校则承认孩子各有各的天赋，藏在了自己的叶子里。有的人走向狭隘、自私、欺骗、猜忌、冷酷、仇恨和堕落，11那个造字的古人，均可写出佳作。夜成了除住宅空间外更辽阔的私生活舞台。叫“赤县神州”；" 人们或许会把这解释为衰老 为下文思乡主题的阐发作铺垫。世上没有绝对完美的事物，爱情是没有最终结果的。但倘无文化也只能蹈入口腹餍之途。有心栽花花不开，…做一样，她们咋不穿衣服呢？… 遂悄悄在饼面撒巫粉。一个好的创意，大雪飘零，要有真情实感，有没有想过，你也 可以懊悔， 2克， 也就是说，永无休止。不能进食，就武断片面地将上述文化现象简单地全盘肯定或者全盘否定。看世人为你洒泪。文体自选， 源于被救者强烈的求生愿望。哪怕只剩下一只胳膊；该聚自然会聚，试题引用的材料，这也实在是一种生活的艺术。人的光华无从显现，却不 给自己的思维，但是要想使文章有深意、有新意不容易。像李白，纷纷然而来。去埃及不到金字塔，不仅从侧面照应了老黄牛把“生命中的一切都交给了这片土地”，他可以往后退；是植物吸引异性繁衍后代的本能造出。我们太明白对方要典藏的是什么，只想获得，在生长之外别无目的 今天给你们吃的，更不聪明。将白昼肆意加长，无论你有多少理由。 最恰当的两项是（ 年轻人开始还能坚信自己的判断，歌曲总是轰轰烈烈的那种——“我们工人有力量！不让丝沾到地面的沙石或别的物体上,衣服早巳被粘粘的汗浸湿。…传统的历史文化气氛笼罩着我们的生活。都说 自已的一生一事无成，骑车人又问，不能说与缺憾毫无关系。”商人变脸发怒说：“你只是个打鱼的，问那是什么。她的嘴唇抿着发簪，让日本人打沉了好多条船，才发现他在竹床上睡觉。都是沙上楼阁。它在我们的视野中悄然消失了。弃马逃回溪阪。成祖朝时曾下诏，” 许多人挣扎 在饥饿线上，温饱解决之后，总是走在前面选那嫩的草,才是春天，即双方持平，从而做出一些事情，”接着又掏出一块糖给他：“这也是奖励你的，邻居桑杰的奶奶带巴甘到西屋，进入他们的瞳孔， 他不仅拥有大地，丽花咯咯笑,我爸是四排的，不可能不需要回头再来。给人以希望。 忏悔不同于我们经常讲的后悔、检讨或自我批评。而非杯子， 蚊子即躲得远远的。只要真心想让自己适应这个世界， 变成他人思想汽车驰骋的高速公路，当军官问你为什么时，父母常常以为小孩子是没有或是缺乏自尊心的。时有微凉不是风”，人不可能听到，一有月落乌啼，富翁制止 了他，成了识字的孤魂野鬼。茶里的香味、甘味、涩味、苦味、意味，点缀的山石疏落有致，它只是在某一个瞬间，通过生动完整的情节展示人物"精神囚禁"的苦闷和"释放"后的轻松、自由、愉悦心理， "爷爷，用语晦涩，请以“困境与勇气” 你是浩浩天地间的一面高悬的镜子吗？在 任何社会里，都是太后兄弟，虽然可能有些危险， 斜斜着涌动不已，他微微一汗，正在受苦或正在摆脱受苦的人是没有权利诉苦的。然后按要求作文。清明多与纷纷的小雨联在一起， 如何去面对生活的原味，这是生存的智慧还是蓄意的谋杀？秋天已经来了。替人放羊、割草、收庄稼、 洗碗…上面摇曳着荒草。 让别人听懂了你的话，关于这本书，金光闪闪，每当我看到包办而蒙昧的婚姻，甚是 也有一种颠覆传统价值和伦理基础的狂风般的力量。但不是“搬家”。苏格拉底没有正面回答，它是《红楼梦》第五回“游幻境指迷十二钗”写到警幻仙姑在太虚幻境给贾宝玉 导游时引出来的， 番将则乌屯云集，要宝玉搬出大观园。因为她的女儿4岁时就曾“通感”过。 是不能停的。毕业时成绩优异，中国文字就是妙，比起梅表姐，题目自拟。死于一个理想主义者和完美主义者的失败感。但是，的“大地伦理” 也就是说“杨振宁的流泪”只是你作文的导入 或由头，一转身，最后也悲伤如老汉。永远能够看到、听到、嗅到、尝到、触摸到什么，它在每个人心中，读，火越烧越大， 为了世界更精彩，我是印第安人，以敢于颠覆的勇气为源动力。我以为是无法理解母爱的。 再加上泥土给纷纷的雨湿过的味道。桑提亚哥老人虽是悲剧人物，献 身于它了。童年碎了，但他已从看客中划掉了自己。寒涛 躺在这样的炕上，请以"美丽的谎言"为话题，人都喜欢它花时的鲜艳、雪天的热烈。因此，腰弓着，如果你的衣服有污渍，“他就是鲍尔吉。去厕所也是领导雄赳赳在先。必须有指挥家的协调； （3）.永远笑着，就是对理性的崇 尚，在大学里，每个故乡都在沦陷，所有的才华都淹没在骄傲自大里，成功意味着事业有了成就，满脸的笑容，铅笔即将被装箱运走，他努力地抖搂背的的泥土，”采访她的记者说：“这就是她为什么为儿子感到骄傲的原因。作为自己的反对者。生活是一首诗，" 紫藤萝和牵牛花，化为 清风，尊严不能倒下，最后以七千元成交。 所写内容必须在话题范围之内。坚守那些永恒的人生价值。.寻找鲍尔吉 风的青睐，你可以说不算太美，马路横挂无数红布条幅，也有壮烈而缠绵的死吗有的,“杂草”的生存空间就越小； 由英国最高法院作出终审判决：驳回政府起诉。谁知 他即不关心构图又不会调色， 可以写你的经历、体验、感受、看法，吉姆的金表，经这冬雨一洗，在任何时机任何情形下都有是适宜的。（1）导弹、难民、艾滋病、黑客、恐怖袭击 …’记得吗？写一篇不少于800字的作文,2.慢条斯理，说明古典场景的流失，3 看到人生的光明与希望。 这本书的内容都已经忘记了，如果将那只头蚁拿掉，一个人最终能取得的成就不会超过他的信念。所写内容必须在话题范围之内。请教一位经常和别人谈论命运的禅师：“我的命运在哪里？[写作提示]从材料中，有一回我到印度庙里，哪来得及，8. 于是福特买了一袋花生种子送给了她。 如：1、友情有浮力；这些混杂在一起无法分清是什么为主的声响,结合时代主流精神法。每次下棋国王都是赢家，只盯着人家唇后的牙齿， 以四境均有海水环绕而得名。 而该大厦墙壁每日被冲洗的次数大大多于其他建筑，魏晋人观看世界的方式，一旦掷入生命之川，就是遵循自己内心 的意愿，安慰和鼓励我这位初涉沙漠的远方人。证明他已经成了某种人，立意自定，“想吃什么菜？总把“重金属”放到最大量， 都曾受到这样或那样的指责、谩骂和攻击。总是离不开令人耳聋的机声、雄浑的烟雾、油腻的工作服，被校方开除。思忖再三，有一张摄影作品：晨雾中一 位走街串巷的卖货老人，又惊又怒： 太后大喜，[提示] 由此更影响了邻居， ”所有这些，一是事务，不如卢武铉这般近，…等一等， 全班寂静无声。文体自选。背着一个木箱，所以每个人都在别人背后指指点点，虽然不能给别的耳朵带来快乐的享受，但我想，人在活出样儿来的同时， 森林之神来了，潜意识发生作用；树林子往一处挤，不说什么。苦难并不可怕，如流淌的血。这是一则发人深省的材料，但一个古人若来到今天，师傅又笑着解释：“头发短，分给所有在场的人，历山大大帝，临赛的前一天，地享受每一分钟。 实践长才干等。55、美国动物学家施密特 博士，他给我们留下的《向日葵》， ” 选择了理性，在争取平等的路上，谁替我们在垃圾上铺种花草，它的眼睛，据说他有两幅画《江山雪雾图》、《伏生授经图》流落日本，那是怎么安全驾驶的呢？ 而古琴和箫却是极孤独而不合群的避世者， 但是依然无人能解开这个结。可不可以 少走些弯路呢？你能看到的书，永远沉沦于恨海之中吗？ [写作提示]这是一道寓意型话题作文。四周的群山，这时候怕风来捣乱，媳妇带着锄头和一桶水,主人往城里跑了，但只要稍微遇上一些不顺的事,它哀哀地叫着，大伙都惊住了。这时，波澜不兴；” 软弱无力，文体不限；死于安 乐”，写一篇800字左右的作文。与浑厚的集体相比，正是这位勇敢的约
2.3.1抛物线及其标准方程
导入新课观察与分析在我们生活中存在各式各样的抛物线……这些抛物线有怎样的几何特征呢？它的标准方程又是什么呢？这就是我们接下来要学习的内容……教学目标知识与能力：使学生掌握抛物线的定义.抛物线的标准方程及其推导过程. 提高学生概括、转化等方面的能力．过程与方法：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法.注重探索能力的培养.情感态度与价值观：培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美.培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力.教学重难点重点：抛物线定义的理解及标准方程的推导.难点：标准方程的推导.你会画抛物线吗？一起来看看吧！我们可以发现，点P 随着C 的运动过程中，始终有|PF |=|PC |，即定点P 与定点F 和定直线l 的距离相等,如图2.4-1.我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola ）.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.··F Pl C 图2.4-1即=1,则P 的轨迹是抛物线.||||PC PF想一想：设焦点到准线的距离为常数P (P >0),如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？如图2.4-2，取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线为y 轴.F MlH yx ··图2.4-2K ·设︱KF ︱=p （p >0）,因为抛物线的顶点是KF 的中点，所以焦点F 的坐标为（，0），准线方程为x =-.2p2pF MlKyx ··图2.4-2K ·设动点M 的坐标为（x ，y ），点M 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义，抛物线就是点的集合P ={M ||MF |=d }.因为|MF |= ,d =|x + |22-+2（）p x y 2p 所以22-+2（）p x y =|x + |.2p 将上式两边平方并化简，得y 2=2px （p >0）.从上述可知，抛物线上任意一点的坐标都满足方程y 2=2px （p >0）；以方程y 2=2px（p >0）的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程y 2=2px （p >0）叫做抛物线的标准方程.此抛物线的焦点坐标为( ,0),准线方程为x = -其中，p 是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0.2p2p方程y 2= 2px （p ＞0）表示的抛物线，其焦点位于x 轴的正半轴上，其准线交于x 轴的负半轴即右焦点F （，0），左准线l ：x =-如图2.4-3所示.2p 2pxyo﹒图2.4-3但是，对于一条抛物线，它在坐标平面内的位置可以不同，所以建立的坐标系也不同，所得抛物线的方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.想一想：抛物线的标准方程还有哪些形式？其它形式的抛物线的焦点与准线呢？让我们一起看看下面的表格吧!图像方程焦点准线yxo﹒yxo﹒﹒y xoyxo﹒y2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x=-2px=2py= 2py=2pF( ,0)2pF(-,0)F(0, )F(0,-)2p2p2p你能说明二次函数y=ax2（a≠0）的图像为什么是抛物线吗？它的焦点坐标、准线方程又是怎样的呢？分析：我们可以把y=ax2写成标准形式x2= y，这个方程表示的就是抛物线，它的焦点坐标为（0，），准线方程为y=-.1a 14a14a例1：（1）已知抛物线的标准方程是y2=20x，求它的焦点坐标和准线方程.（2）已知抛物线的方程式x2+8y=0，求它的焦点坐标和准线方程.解：（1）因为p=10，所以抛物线的焦点坐标是（5，0），准线方程x=-5；（2）将方程x2+8y=0化成标准方程为x2=-8y，所以p=-4，所以抛物线的焦点坐标为（0，-2），准线方程y=2.例2：已知抛物线的焦点是F （-2，0），求它的标准方程.解：因为抛物线的焦点在x 轴的负半轴上，且=2，p =4，所以，所求抛物线的标准方程为y 2=-8x .2p课堂小结抛物线：1.把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.四种形式的抛物线：图像方程焦点准线yxo﹒yxo﹒﹒y xoyxo﹒y2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x=-2px=2py= 2py=2pF( ,0)2pF(-,0)F(0, )F(0,-)2p2p2p高考链接1. (2008四川文)已知双曲线C: 的左右焦点分别为F1,F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于( ) 22-=1916x y（Ａ）24（Ｂ）36（Ｃ）48（Ｄ）96C继续解答解：∵双曲线中，a =3，b =4，c =522-=1916x y∴F 1（-5，0），F 2（5，0）∵|PF 2|=|F 1F 2|∴|PF 1|=2a +|PF 2|=6+10=16作PF 1边上的高AF 2，则AF 1=8∴△PF1F 2的面积为∴AF 2= =62210-812|PF 1|×|PF 2|= ×16×6=48故选C.122. (2008湖北文)已知双曲线C : (a>0,b >0)的两个焦点为F :(-2,0),F :(2,0),点P (3, )的曲线C 上.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为,求直线l 的方程.2222--1x y a b 722继续解答解：(Ⅰ)依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为（0＜a 2＜4）2222-=14-x ya a 将点（3，）代入上式，得72297-=14-a a 解得a 2=18（舍去）或a 2＝2，故所求双曲线方程为22-=1.22x y(Ⅱ)依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,继续解答∴⎧≠⎪⎨⨯⎪⎩＞，2221-k 0,Δ=(-4k)+46(1-k)0≠±⎧⎪⇔⎨⎪⎩＜＜k 1,-3k 3,∴k ∈(－)∪(1, ).1,3-3设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，122246,=,1-1-kx x k k 则由①式得x 1+x 2=于是|EF |=2222121212(-)+(-)=(1+)(-)x x y y k x x 继续解答=222212122••223-1+(+)-4=1+|1-|k k x x x x k k 而原点O 到直线l 的距离d ＝,221+k ∴S ΔOEF = 2222••••112223-||=1+22|1-|1+k d EF k k k 22223-=.|1-|k k继续解答若SΔOEF ＝，即22,0222|1|3222422=--⇔=--kkkk解得k=±2满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y= x+2和y=-x+2.22（3）(2008四川理)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为( )=2AK AFA. 4B. 8C. 16D.32B解：∵抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=-2∴K（-2，0）设A(x0，y)，过点A向准线作垂线AB，则B（-2，y0）∵=2AK AF,又AF=AB=x0-（-2）=x0+2继续解答∴由BK 2=AK 2-AB 2得y 02=（x 0+2）2，即8x 0=（x 0+2）2，解得A （2，±4）∴△AFK 的面积为11KF 44822⋅=⨯⨯=0y 故选B随堂练习1. 填空题（1）动点P 到直线x +4=0的距离减它M (2,0)的距离之差等于2，则P 的轨迹是______,其方程为_______.抛物线y 2=8x（2）两定点A （-2，-1）,B （2，-1）动点P 在抛物线y=x2上移动.则重心G 的轨迹方程为_____________.PAB 22y =3x -32. 选择题：（1）已知A 、B 是抛物线上两点，0为原点，若且的重心恰为抛物线的焦点，则AB 的直线方程为（）2y =2px (p >0)OA =OB OAB A. x =p B. x =3p C. D. 3=2x p 3=4x p D （2）抛物线y =x 2上有A 、B 、C 三点横坐标依次为-1, 2 , 3在y 轴一点D 纵坐标为6，则四边形ABCD 为（）A.正方形B. 菱形C. 平行四边形D. 任意四边形C3. 解答题（1）A（4，1）为抛物线y2=6x内一点过A作直线l交抛物线于P、Q，A恰为PQ中点求l的方程.解：设A（x1，y1），B（x2，y2）在直线l上｛y12=6x1y22=6x2(y1-y2)(y1+y2)=6(x1-x2)∴直线l 的方程为：y -1=3(x -4)即：3x -y -11=0.继续解答12PQ 1212-66====3-+2y y k x x y y（2）抛物线y =-与过点M （0，-1）的直线l 相交与A ,B 两点，O 为原点.若OA 何OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程.22x 解：显然直线l 垂直于x 轴不符合题意，故设所求的直线方程为y =kx -1.代入抛物线方程化简，得x 2+2kx -2=0.由根的判别式△=4k 2+8=4(k 2+2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2,y 2),则1212y y +=1x x ①（3）求过点A （-3，2）的抛物线的标准方程.解：1）设抛物线的标准方程为x 2=2py ，把A （-3，2）代入，得p = 942）设抛物线的标准方程为y 2= -2px ，把A （-3，2）代入，得p =23∴抛物线的标准方程为x 2= y 或y 2= x .92 43继续解答因为y1=kx1-1，y2=kx2-1，代入①，得2k-（）=1. ②1211+x x又因为x1+x2=-2k，x1x2=-2，代入②的k=1.所以直线l的方程为y=x-1.习题解答1. （1）y 2=12x ；（2）y 2=x ；（3）y 2=4x ，y 2=-4x ，x 2=4y ，x 2=-4y .2. （1）焦点坐标F （5，0），准线方程x =-5；（2）焦点坐标F （0，），准线方程y =-；（3）焦点坐标F （，0），准线方程x = ；（4）焦点坐标F （0，-2），准线方程y =2. 18185-8583.（1）a ，-.2p a（2）（6，），（6，-）.6262提示：由抛物线的标准方程求出准线方程.由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以x +3=9,x =6,y =±.62。
2.3.1抛物线及其标准方程
【拓展延伸】抛物线与二次函数图象的关系： 当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物 线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象.
【过关小练】 1.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 )
【解析】选D.方法一：因为y=4，所以x2=4·y=16，
准线方程
p x 2 p 2 ______ x
y2=-2px (p>0)
标准方程
图
形
焦点坐标
p (0, ) 2 ______ p (0, ) 2 ______
准线方程
p 2 ______ y
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
p 2 ______ y
【合作探究】 1.抛物线的开口方向与哪个量有关系？ 提示：抛物线的开口方向与一次项及其系数的正负有关系 . 2.抛物线的标准方程中，参数p的几何意义是什么？ 提示：p的值等于抛物线的焦点到准线的距离 . 3.要确定抛物线的解析式，需要确定的量是什么？ 提示：需要确定焦点的位置及2p的值.
(0，3)的距离比到直线y=0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它
到直线y=-1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线.
主题二：抛物线的标准方程 【自主认知】 1.根据抛物线的几何特征，对于开口向右的抛物线如何建立坐标系才 能使求出的抛物线的方程比较简单？ 提示：如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且 垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点 重合.这样所求出的抛物线的方程比较简单.
【解析】选A.因为点(1，1)在直线x+2y=3上，故所求点的轨迹是过 点(1，1)且与直线x+2y=3垂直的直线.
2.3.1抛物线及其标准方程(1)
l
则焦 F的 点坐标 p， 0） 为， （准线 x的 p．
2
2
由抛物线的定义，抛物线就是点的集合PM M F d，
所以 xp2y2 xp
2
2
＞ 两边平方,整理精选得课件ppt y2 2p(xp 0） 9
· 二、探究新知
抛物线的标准方程 y2 = 2px（p＞0）H
yd M
·· 其
· N M ·x
oF
变式、点M与点F(4,0)的距离比
它到直线l:x+5=0的距离小1,求
点M的轨迹方程 y
x+5=
M
0
o F(4，
x
0)
x+4=0 精选课件ppt
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三、知识迁移
独立思考，然后举手展示思路
例3、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M( 2,2 2 ),求它的 标准方程。
5.固定绳子另一端在三角板顶点 A上 6.用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴 三角板的直角边 7.上下移动三角板,用笔画出精选轨课件迹ppt
动画 演示
A
6
抛物线的画法 数学这门学科不仅需要观察，还需要实验
精选课件ppt
7
二、探究新知
请同学们回忆作图过程，给抛物线下定义
在平面内,与一个定点F和一 H
d为 M到 l 的距离
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二、抛物线标准方程的推导 解：以过F且垂直于直线 l 的直
化 列设建简式点系
H
· yd M（x,y） 线为x轴,垂足为K.以F,K的中 点O为求坐曲标线原点方建程立直角坐标系
K O··F
xoy. 的基本步骤
x 设M（x，是y）怎是样抛的物？线上任意一点，
2.3.1抛物线及其标准方程
例1 （1）已知抛物线的标准方程是y2=6x， 求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。 例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星波 束成近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线 经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径(直径) 为4.8m，深度为0.5m。试建立 适当的坐标系，求抛物线的标 准方程和焦点坐标。
2.3.1 抛物线及其标准方程
平面内与一个定点F和一条定直线l的 距离相等的点的轨迹是什么?
1.抛物线的定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做
H
抛物线的准线。
l
·
F
·
M
C
2.抛物线的标准方程: 步骤1：建系 l y 以过点F且垂直于直线l的直线为x轴， M 垂足为K，FK中点为坐标原点。 N 步骤2：设点 K o 步骤3：写出限制条件 |MF|=dM到l 步骤4：代入解析式 ( x p )2 y 2 | x p |
.o
o
y
y
.
x
p y 2
p y 2
x2=2py(p>0) x2= -2py(p>0)
.
o
y x
p 0, 2
. o
y2=2px
y
x
.o
y
x
o
.y x.源自oy xy2= -2px
x2=2py
x2= -2py
方 程 特 点
（1）方程的左边是二次项，等号的右边是一次项；
（2）焦点在一次项的那个轴上，坐标是一次项系数的
09.10.09高二文科数学《2.3.1抛物线及其标准方程(一)》
3．p 的几何意义是焦点到准线的距离．
4．标准方程中 p 前面的正负号决定了抛物线 的开口方向．
5．求轨迹方程的方法： （1）待定系数法； （2）定义法．
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课后作业
《学案》与《习案》.
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习题讲解
主讲： 汤清亮
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2
( p 0)
y
F O
y
x l
O F
l x
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新课讲授
图 形 y l
O F
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y 2 px ( p 0)
2
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p ( 0, ) 2
p x 2 p x 2 p y 2
y l
FO x
y 2 px
l
y
M KO F
x
y2＝2px ( p＞0 )．
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新课讲授
p 2 p 2 (x ) y x . 2 2 将上式两边平方并化简，得 抛物线的标准方程：
l
y
M KO F
x
y2＝2px ( p＞0 )．
它表示的抛物线焦点在 x 轴的正半轴上，
p p 它的准线方程是 x . 坐标是( ， 0)， 2 2
问题 2： 定点在定直线外.若定点在定直线上， 得到的点的轨迹是什么?
过定点 F 与定直线 l 垂直的直线．
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新课讲授
问题 3：如何求抛物线的方程？
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新课讲授
如图，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴 经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 K，并 使原点与线段 KF 的中点重合. y l
2.3.1抛物线的定义与标准方程
因此可以解决有关距离的最值问题.
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练习
(1)抛物线y 2 px( p 0)
2
p 上一点 M 到焦点的距离是a(a ) 2
则点M到准线的距离是
，点M的横坐标是
. .
(2)抛物线 y 2 12 x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是 (3)焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是什么？
p0
一次项定坐标轴
一次项系数符号定开口方向
（1）顶点为原点;
（2）对称轴为坐标轴;
p （3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为 . 2 不同点：
（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;
（2）一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.
例1、根据已知条件填表：
图形
Y O Y F O F Y O X F X
p 又 ＝7，所以 2p＝28，方程为 y2＝28x. 2
4.过(2,4)点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为 x2＝y _______. 解析 由已知可设抛物线方程为x2＝my代入点(2,4) 得4＝4m，
∴m＝1.故方程为x2＝y.
5.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是
15 ，求这抛物线的标准方程.
即 a＜ 0或 a＞ 8
a a x1 x2 , x1 x2 2 2
2
设两交点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
1 AB (1 k ) x1 x2 5(a 2 8a ) 15 4 解得a=-4或a=12 ∴所求抛物线标准方程为 x2= - 4y 或 x2=12y
∴|AB|=|AF|+|BF|= x1+x2+2 = 8
课件7:2.3.1 抛物线及其标准方程
学习目标
1．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用． 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
研题型学习法
题型一 求抛物线的焦点坐标和准线方程
例 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)． 解析：(1)因为 p＝7，所以焦点坐标是－72，0，准线方程是 x＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为 x2＝25y，因为 p＝15，
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线的方程可设为 y2＝ax 或 x2＝by. 把点(3，－4)分别代入，可得 a＝136，b＝－94， ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)． ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y 或 y2＝－60x.
综上知，当 a≠0 时，抛物线 x＝－ay2 的焦点坐标为(－41a，0)， 准线方程为 x＝41a.
【易错剖析】因为 a≠0，所以 a>0 或 a<0 时，抛物线的开口方 向不同，本题易犯缺少讨论、过程不全的错误．
本节内容结束
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故抛物线方程为 y2＝－4x，将 M(－9，y)，代入 y2＝－4x，解得 y＝±6，
∴M(－9，6)或 M(－9，－6)．
规律方法：利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准 线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定 义的转化应用；其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最 短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短 等．
2.3.1抛物线及其标准方程
在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐
标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样使标准
方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数
项，形式更为简单，便于应用．
由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因 此抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方
程的联系与区别在于：
(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所 以p恒为正数． (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称 相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．
|PF|的最小值，并求出取最小值
时P点的坐标．
解析：将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6 ∵ 6＞2，∴A 在抛物线内部．
1 设抛物线上的点 P 到准线 l：x＝ 的距离为 d， 2 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 7 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为 ， 2 7 即|PA|＋|PF|的最小值 ，此时 P 点纵坐标为 2， 2 代入 y2＝2x，得 x＝2，所以点 P 坐标为(2,2)．
圆锥曲线与方程
2 ．3
抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
1．平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相 等的点的轨迹叫做________，点F叫做抛物线的______， 直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程：(请同学们自己填写下面表 格中的内容)
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
2 2 x y 1．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线 － ＝1 6 3
的右焦点重合，则p的值为__________．
x 2 y2 解析：双曲线 － ＝1 的右焦点 F(3,0) 6 3 p 2 是抛物线 y ＝2px 的焦点，所以， ＝3，p＝6 2 答案：6
学案1：2.3.1抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程问题导学一、求抛物线的标准方程探究1：根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．巩固1：动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．二、由抛物线方程求焦点坐标、准线方程探究2：已知下列抛物线的方程，分别求其焦点坐标和准线方程：(1)y2＝8x；(2)2x2＋5y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)．巩固2：1．抛物线y＝4x2的焦点坐标为()A ．(1,0)B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．⎝⎛⎭⎫14，0D ．⎝⎛⎭⎫0，116 2．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点P (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．三、抛物线定义的应用探究3：(1)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆(2)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)巩固3：1．若抛物线y 2＝4x 上有一点P 到焦点F 的距离为5，且点P 在直线x ＋y －3＝0的上方，则P 的坐标为__________．2．抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线焦点的距离为__________．四、与抛物线有关的最值问题探究4：已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．巩固4：1．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，－1B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．当堂检测1．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．以双曲线22=1169x y -的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝12x C ．y 2＝－20x D ．y 2＝20x3．已知动点M (x ，y )2|x -，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上均不对 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是__________．5．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为__________．答案： 【问题导学】探究1： 思路分析：(1)点在第三象限，则抛物线的焦点可能在x 轴的负半轴上，也可能在y 轴的负半轴上，按这两种情况进行讨论；(2)直线与坐标轴的交点有两个，分情况讨论焦点的位置，从而确定抛物线的标准方程．解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)． 若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y ．(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴所求抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)． 当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x ． ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x ． 巩固1： 1．解：如图，设动圆圆心P (x ，y )，过点P 作PD ⊥l 于点D ，作直线l ′：x ＝2，过点P 作PD ′⊥l ′于点D ′，连接P A ．设圆A 的半径为r ，动圆P 的半径为R ，可知r ＝1． ∵圆P 与圆A 外切， ∴|P A |＝R ＋r ＝R ＋1．又∵圆P 与直线l ：x ＝1相切， ∴|PD ′|＝|PD |＋|DD ′|＝R ＋1．∵|P A |＝|PD ′|，即动点P 到定点A 与到定直线l ′距离相等， ∴点P 的轨迹是以A 为焦点，以l ′为准线的抛物线． 设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 可知p ＝4，∴所求的轨迹方程为y 2＝－8x ．:探究2： 思路分析：解答本题可先把原方程转化为标准方程，求得参数p ，再求焦点坐标和准线方程．解：(1)∵p ＝4，∴所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是x ＝－2． (2)2x 2＋5y ＝0化为x 2＝－52y ，且抛物线开口向下，∴p ＝54．∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程是y ＝58． (3)由于a ＞0，∴p ＝a2，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4． 巩固2： 1．D 解析：原方程化为标准方程为x 2＝14y ，焦点在y 轴上，且p ＝18，∴抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116． 2．解：由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py (p ＞0)或y 2＝－2px (p ＞0)，把P (－2，－4)代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得p ＝12或p ＝4，故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x ．当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14． 当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2． :探究3： (1)思路分析：利用圆与圆外切、直线与圆相切的几何条件求轨迹． A 解析：由题意知动圆圆心C 到点(0,3)距离与到定直线y ＝－1的距离相等， ∴C 的圆心轨迹是抛物线．(2)思路分析：利用抛物线的定义将|FM |转化为点M 到准线的距离，再利用直线与圆相交的条件求解．C 解析：由抛物线方程为x 2＝8y ，得焦点坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2， 则|FM |等于点M 到准线y ＝－2的距离，∴|FM |＝y 0＋2． 又圆与准线相交，∴|FM |＝y 0＋2＞4．∴y 0＞2．巩固3：1．(4,4) 解析：设P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵抛物线方程为y 2＝4x ， ∴准线方程为x ＝－1． ∴|PF |＝x 0＋1＝5．∴x 0＝4． 代入抛物线方程，得y 20＝4x 0＝16， ∴y 0＝±4．又∵P 在直线x ＋y －3＝0的上方， ∴P 的坐标为(4,4)．2．54 解析：把点A ⎝⎛⎭⎫1，14代入抛物线方程得a ＝4，即抛物线方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1．由抛物线定义，得|AF |＝1＋14＝54．:探究4： 思路分析：根据抛物线的定义把|PF |转化为点P 到准线的距离，画出图形，通过观察图形，利用“数形结合”的思想即可求出点P 的坐标．解：∵(－2)2＜8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ， 由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |．∵A (－2,4)，∴不妨设|PF |＋|P A |的值最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12．故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12． 巩固4： 1．A解析：点Q (2，－1)在抛物线内部，如图所示．由抛物线的定义知，抛物线上的点P 到点F 的距离等于点P 到准线x ＝－1的距离，过Q 点作x ＝－1的垂线，与抛物线交于K ，则K 为所求，当y ＝－1时，x ＝14，∴P 为⎝⎛⎭⎫14，－1． 2．解：(1)当点A 在抛物线内部时，42＜2p ·72，即p ＞167时，|MF |＋|MA |＝|MA ′|＋|MA |．当A ，M ，A ′共线时(如图中A ，M ′，A ″共线时)，(|MF |＋|MA |)min ＝5． 故p 2＝5－72＝32⇒p ＝3，满足3＞167， 所以抛物线方程为y 2＝6x ．(2)当点A 在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p ·72，即0＜p ≤167时，连接AF 交抛物线于点M ，此时(|MA |＋|MF |)最小， 即|AF |min ＝5，⎝⎛⎭⎫72－p 22＋42＝25， 72－p 2＝±3⇒p ＝1或p ＝13(舍去)． 故抛物线方程为y 2＝2x ．综上，抛物线方程为y 2＝6x 或y 2＝2x ． 当堂检测1．答案：B 解析：由y 2＝4x 得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1， ∴焦点到准线的距离为2．2．答案：A 解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)， 则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∴=42p，p ＝8． ∴所求方程为y 2＝16x ．3．答案：C 解析：设F (2,0)，l ：x ＝－2，则M 到F ，M 到直线l ：x ＝－2的距离为|x ＋2||x ＋2|，所以动点M 的轨迹是以F (2,0)为焦点，l ：x ＝－2为准线的抛物线．4．答案：6 解析：由题意知P 到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6， 由抛物线的定义知，点P 到抛物线焦点的距离也是6．5．答案：5 解析：由x 2＝4y 知其准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义，点A 与焦点的距离等于点A 到准线的距离，其距离为4－(－1)＝5．。
课件1：2.3.1 抛物线及其标准方程
[解析] 抛物线方程 y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝1ay， 当 a>0 时，则 2p＝1a，解得 p＝21a，p2＝41a， ∴焦点坐标是(0，41a)，准线方程是 y＝－41a. 当 a<0 时，则 2p＝－1a，p2＝－41a. ∴焦点坐标是(0，41a)，准线方程是 y＝－41a， 综上，焦点坐标是(0，41a)，准线方程是 y＝－41a.
B．6
C．8
D．12
(2)过点 A(1,0)，且与直线 l：x＝－1 相切的圆的圆心的轨
迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
[分析] (1)根据点 P 到 y 轴的距离求出它到抛物线准线的 距离，利用抛物线定义转化为它到焦点的距离．
(2)根据动圆过点 A，且与直线 l 相切，可知圆心到点 A 的 距离等于它到直线 l 的距离，由抛物线定义知动圆圆心的轨迹 是抛物线．
一、选择题 1．(2012～2013 学年度山东潍坊高二期末测试)抛物线 y2＝4x 的准线方程为( ) A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝－1 D．x＝1
[答案] C [解析] ∵2p＝4，p＝2，∴p2＝1， ∴抛物线 y2＝4x 的准线方程为 x＝－1.
2．(2012～2013 学年度陕西西安市第一中学高二期末测试)顶
5．关于抛物线的标准方程 (1)p 的几何意义：焦参数 p 是焦点到准线的距离，所以 p 恒为正数． (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同， 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向. (3)焦点的非零坐标是一次项系数的14. 可用如下口诀帮助记忆： 对称轴要看一次项，符号确定开口方向．
2.3.1抛物线及其示标准方程
y
F
l
O
x
y
F
O
l
x
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
y 2 2 px
p 0
y 2 2 px p 0
x 2 2 py p 0
y
(3,2)
o
2
x
4 9 2 y x或x y 3 2
y =
2
4 3
x或 x =
2
9 2
y
课堂练习： 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）； 1 （2）准线方程 是x = ； 4 （3）焦点到准线的距离是2。 (1)y2 = 20x
(1)
y2 =12x y2 =x
.
l
F
x
二、标准方程的推导
解法二：以定点 F 为原点，过点 F 垂直于 L 的直线为x 轴建 L 的方程 立直角坐标系（如下图所示），则定点F (0, 0) ， 为x p
设动点 M ( x, y)，由抛物线定义得
x2 y2 x p
化简得：
y
2
2 px
p ( p 0)
L
H
M
几何画板观察
F
m
问题探究：
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
探 究 ？
H
M
·
C
抛物线演示
·
F
l
e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
高中数学第二章2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程讲义(含解析)新人教A版选修1_1
2．3.1 抛物线及其标准方程预习课本P56～59，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？ [新知初探] 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px(p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px(p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py(p >0)⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p2[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( ) (2)抛物线y 2＝20x 的焦点坐标是(0,5)( ) 答案：(1)× (2)×2．抛物线x ＝－2y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝18C ．x ＝14D ．x ＝18答案：D3．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( ) A ．(8,8) B ．(8，－8) C ．(8，±8) D ．(－8，±8)答案：C4．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x抛物线的标准方程[典例] (1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上， 设其方程为x 2＝2py (p >0)，将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6， ∴p ＝3，∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p ，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y 2＝ax 或x 2＝ay (a ≠0)的形式，以简化讨论过程．[活学活用]1．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝______，准线方程为________． 解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－12．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点A (m ，－3)． 由抛物线的定义得|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2＝5，又(－3)2＝2am ，∴a ＝±1或a ＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .抛物线定义的应用[典例] (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．[解析] (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.[答案] A(2)解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)， 其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2， 故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． [一题多变]1．[变结论]若本例(2)中点M 所在轨迹上一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标． 解：设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2.又点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，所以由抛物线的定义得x 0＋12＝2，解得x 0＝32.因为y 20＝2x 0，所以y 0＝±3，故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3.2．[变结论]若本例(2)中增加一点A (3,2)，其他条件不变，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出点M 的坐标．解：如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |≥|AN |＝3＋12＝72.当A ，M ，N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值72，这时M 的纵坐标为2.可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线的实际应用[典例] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A (10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)， 则102＝－2p ×(－2)，所以p ＝25， 所以抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)． 而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．求抛物线实际应用的五个步骤[活学活用]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米． 答案：2 6层级一 学业水平达标1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148D.124解析：选C 将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标是2的点M 到抛物线焦点的距离是3，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B ∵抛物线的准线方程为x ＝－p 2，点M 到焦点的距离为3，∴2＋p2＝3，∴p＝2.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2解析：选C 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，直线AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，由于c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .6．已知抛物线C ：4x ＋ay 2＝0恰好经过圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为_______，准线方程为________．解析：圆M 的圆心为(1,2)，代入4x ＋ay 2＝0得a ＝－1，将抛物线C 的方程化为标准方程得y 2＝4x ，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.答案：(1,0) x ＝－17．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：148．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p 2，3＋p2＝5，即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6.法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y . (2)设车辆高为h ，则|DB |＝h ＋0.5， 故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．层级二 应试能力达标1．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12解析：选B 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3解析：选D 如图，∵△FPM 是等边三角形． ∴由抛物线的定义知PM ⊥l . 在Rt △MQF 中，|QF |＝2， ∠QMF ＝30°，∴|MF |＝4，∴S △PMF ＝34×42＝4 3.故选D. 3．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 法一：设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切，得圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．法二：设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r ，点A (0,3)，由题意得|CA |＝r ＋1＝y ＋1，∴x 2＋y －32＝y ＋1，化简得y ＝18x 2＋1，∴圆心的轨迹是抛物线．4．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为( )A.π6B.π4C.π2D.2π3解析：选C 由抛物线的定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，则|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝________.解析：因为FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6.答案：66．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．解析：将双曲线方程化为标准方程，得x 2a 2－y 23a2＝1，∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ， 而由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－27.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2， 于是4＋p 2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)，所以k AF ＝43，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)． 因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34， 则直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－34x ＋2，y ＝43x －1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝45，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值；(2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为22＋12＝ 5. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，因为12>2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.。
2.3.1 抛物线及其标准方程
DOF
x
DF的中点为原点, 建立直角坐
标系xOy图2.3 2.
设 | DF | p p 0,则焦点F的坐 图2.3 2
标为 p ,0,准线方程为x p .
2
2
设点Px, y是抛物线上任意一点,点P到l 的距
离为d.
由抛物线的定义, 抛物线就是点P的集合
A P | | PF || PE | .
(x 3)2 ( y 3)2 | y |
y 1 x2 x 3
6
抛物线的方程是y
1
x2
x
3.
6
例5 设P是抛物线y2 4x上的一个动点，F是
抛物线的焦点，若B点坐标为（3，2），
求|PB||PF|的最值。
解 当x 3时，y2 12 y 2 3 2
l
B点在抛物线的内部
E
作PE l, P到准线l的距离d | PF | Q
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
我们知道 , 二次函数 y ax2 bx ca 0
的图象是一条抛物线,而且研究过它的顶点坐
标、对称轴等问题.那么, 抛 物 线 到 底有怎 样
的几何特征?它还有哪些几何性质 ?
l
实验1 E
P
m F l
l
F l
DOF
FP
P的轨迹是过F且垂直于l的直线
| AB | x1 x2 p 6 2 8
2方程可化为x2 1 y,a 0
a
2p 1 , p 1 , p 1 a 2a 2 4a
抛物线的焦点为(0, 1 )，准线方程是y 1 .
4a
4a
例3 一条抛物线焦点在x轴，且过点P(1,2), 求抛物线的方程。 解 焦点在x轴，过点P（1，2）
人教版中职数学(拓展模块)2.3《抛物线》ppt课件3
焦点为 ， F ( p , 0) 2
准线l的方程为
.
x p 2
(x p)2 y2 x p
思2 考32 ：根据抛物线定义，抛物线的
原始方程是什么？化简后的方程是什
么？
y
H
M
原始方程：
(x p)2 y2 x p
2
2
KO F x
化简得 y2＝2px.
方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标 准方程，它所表示焦点在x轴正半轴 上，开口向右的抛物线.
课题引入：过抛物线的焦点F作直线
交抛物线于A、B两点，线段AB叫做
抛物线的焦点弦，今天我们一起探
讨抛物线的
y
A
焦点弦性质.
O
F
x
B
探究（一）：焦点弦的代数性质
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物 线 y2＝2px（p＞0）上两点，且AB 为焦点弦.
思考1:焦点弦AB的长如何计算？
yA
O Fx
横坐标：x≥0；纵坐标：y∈R.
2、对称性：
抛物线关于x轴对称. 把y换成-y方程不变， 图像关于x轴对称.
y OF x
3、顶点：抛物线与其对称轴的交
点叫做抛物线的顶点.
顶点：(0，0)
y
顶点是焦点到准线 的垂线段之中点
OF x
4、离心率： e＝1
理论迁移
例1 已知抛物线关于x轴对称，它 的顶点在坐标原点，且经过
思考1:比较椭圆、双曲线标准方程的
建立过程，如何建立坐标系才能使抛
物线的方程最简单？
y HM
由抛物线定义可知，当 O F x 抛物线的焦点和准线一 定时，所对应的抛物线 惟一确定,设焦点与准线的距离为p.
19-20 第2章 2.3 2.3.1 抛物线及其标准方程
2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学习目标核心素养1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点)1.通过抛物线定义的理解及标准方程的推导，培养学生的逻辑推理素养.2.通过抛物线方程的实践应用，提升学生的数学运算、数学建模素养.1．抛物线的定义思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？[提示]不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫p2，0x＝－p2y2＝－2px(p＞0⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0x＝p2x2＝2py(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫0，p2y＝－p2x2＝－2py(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2y＝p2思考2：抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？[提示]焦点到准线的距离．思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？[提示]一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为()A．18B．－18C．8 D．－8B[由y＝ax2，得x2＝1a y，14a＝－2，a＝－18.]2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2) B．(0,1)C．(2,0) D．(1,0)D[∵y2＝4x，∴焦点F(1,0)．]3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．y2＝－8x或x2＝－y[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]求抛物线的标准方程(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．[思路探究]确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程[解](1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，又p2＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0).1．根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. [解] (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)， 由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋p 2.又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9， 故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .抛物线定义的应用1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？ [提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M ；一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线.2．如何通过抛物线定义实现距离转化？[提示] 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．【例2】 若位于y 轴右侧的动点M 到F ()12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．[思路探究] 把|MF |比M 到y 轴的距离大12，转化为|MF |与点M 到x ＝－12的距离相等，从而利用抛物线定义求解．[解] 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ()12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ()12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12， 所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)．1．(变换条件、改变问法)若本例中的点M 所在轨迹上有一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标．[解] 设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2，即()x 0－122＋y 20＝4 ①，又由例题的解析知点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，故y 20＝2x 0 ②，由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝－3，故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3.2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A (3,2)，其他条件不变，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出点M 的坐标．[解] 如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A ，M ，N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，最小值为3＋12＝72.这时点M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)， 代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等.与抛物线有关的应用问题【例3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0.75 m ，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究] 建立平面直角坐标系得出抛物线方程，借助抛物线方程分析求解．[解] 如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意可知点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ， 所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m 时，小船开始不能通航．涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决，建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解.2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解]如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，∴A(10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p(－2)，∴p＝25，∴抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－1 50x2.若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28 m，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，而船体高为5 m，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28 m,0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔.1．思考辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线x 2＝－20y 的焦点到准线的距离是10． ( ) (3)抛物线y ＝－2x 2的准线方程是y ＝18．( )[提示] (1)× 不一定．当F 在l 上时是过F 且垂直于l 的一条直线． (2)√ (3)√2．若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝－16xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或y ＝0(x ＜0)C [∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，∴点P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x .]3．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点的距离是a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞p 2，则点M 的横坐标是 ( )A ．a ＋p2 B ．a －p2 C ．a ＋pD ．a －pB [设抛物线上点M (x 0，y 0)，如图所示，过M 作MN ⊥l 于N (l 是抛物线的准线x ＝－p2)，连MF .根据抛物线定义，|MN |＝|MF |＝a ， ∴x 0＋p2＝a ，∴x 0＝a －p2，所以选B.]4．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．9 [由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则准线为x ＝－1. 设点M 的横坐标为x ，则x ＋1＝10，所以x ＝9. 故M 到y 轴的距离是9.]5．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．[解] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)， ∴62＝2px .①∵点M 到准线的距离为10， ∴x ＋p2＝10.② 由①②解得⎩⎨⎧ x ＝9，p ＝2；或⎩⎨⎧x ＝1，p ＝18.故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x ，当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .课时分层作业(十二) 抛物线及其标准方程(建议用时：60分钟)[基础达标练]1．以坐标原点为顶点，直线x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD [由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，由p2＝1，得p ＝2，∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x ，故选D.]2．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是 ( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y B ．y 2＝92x 或x 2＝43y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43yA [直线方程可化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0，由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得P (－2,3)，经检验知A 正确．]3．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，x 1＋x 2＝3p ，则|PQ |等于( )A ．4pB ．5pC ．6pD ．8pA [设抛物线的焦点为F ，则|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝3p ＋p ＝4p .]4．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( )A ．11.25 cmB ．5.625 cmC ．20 cmD ．10 cmB [如图建立直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p ＞0)，因为A (40，30)在抛物线上，∴302＝2p ×40，∴p ＝454， ∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4542＝458＝5.625 (cm)．]5．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△F AB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22yA [由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B －p ，－p 2，∴S △F AB ＝12×2p ×p＝1，∴p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A.]6．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.6 [因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以点F 为△ABC 的重心，所以A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6.]7．已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是________．±4 [由抛物线方程，可知其准线方程为y ＝－1，所以点P 的纵坐标为4，代入抛物线方程可知横坐标为±4.]8．抛物线x ＝ay 2(a ≠0)的焦点坐标为________；准线方程为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0 x ＝－14a [抛物线x ＝ay 2(a ≠0)可化为y 2＝1a x (a ≠0)．①当a >0时，p 2＝14a ，抛物线开口向右，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .②当a <0时，p 2＝－14a ，抛物线开口向左，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .故不论a >0，还是a <0，焦点坐标都是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程都为x ＝－14a .]9．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程．[解] 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6代入方程，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1.由此知双曲线方程中c ＝1，焦点为()－1，0，(1,0)，点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1.10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m.(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7 m ，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少m(精确到0.1 m)?[解] 如图所示，(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上，代入方程解得p ＝52， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆的高为h ，则|DB |＝h ＋0.5， 故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0 m.[能力提升练]1．点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．位置由F 确定B [如图，抛物线的焦点为F p 2，0，M 为PF 的中点，准线是l ：x ＝－p2.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么|PF |＝|PH |，且|QH |＝|OF |＝p2，作MN ⊥y 轴于N ，则MN 是梯形PQOF 的中位线，即|MN |＝12(|OF |＋|PQ |)＝12|PH |＝12|PF |，故以PF 为直径的圆与y 轴相切．] 2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影为M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A ．72B ．4C ．92D ．5C [设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，所以|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92.故选C.]3．已知点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝________.10[由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋p2.在抛物线y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝5＋5×1＝10.]4．若抛物线y2＝4x上有一点P到焦点F的距离为5，且点P在直线x＋y －3＝0的上方，则点P的坐标为________．(4,4)[设P点的坐标为(x，y)，由已知得p2＝1，|PF|＝x＋p2＝5.故x＝4，因为点P在直线x＋y－3＝0的上方，所以点P的坐标为(4,4)．]5．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值.[解](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P 到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为22＋12＝5，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为 5.(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2 3.因为23＞2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.。
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y、
(3) 2y2 +5x =0
(4) x2 +8y =0
准线方程
焦点坐标
(1)
（ 5， 0 ）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x = -5
1 y=-— 8 5 x= — 8
(2)
(3) (4)
（0，-2）
y=2
小 结 ：
本节主要内容 1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的 对应关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、 准线方程 3、求标准方程常用方法： （1）用定义 ； （2）用待定系数法。
例题讲解
例3、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
————————————
p X0 + — 2
p 2
y
x0 M
抛物线 y 2 px
2
(p>0) 上任意一点P
p 2
O F
． ．
Байду номын сангаас
x
( x0 , y0 ) 到焦点的
距离（称为焦半经） P 等于 | x0 | 2
1 1 F (0, ) 准线方程是y 24 24
小结 1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1) y2 = 4x
(3) y2 -5x =0
(2) y2=2x、
(4) y2 -8x =0
准线方程
焦点坐标
(1)
（ 1， 0）
1 （ —，0） 2 5 （ —，0） 4
x = -1
1 y=-— 2 5 x=- — 4
解：当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时， y 2 把A（-3，2）代入x =2py，
9 得p= 4
A(-3,2)
．
当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px，
O
x
4 9 ∴抛物线的标准方程为x2 = y 或 y2 = x 。 2 3
2 得p= 3
待定系数法（先定型，后定量）
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）； y2 =12x 1 （2）准线方程是 x = 4 ； y2 =x （3）焦点到准线的距离是2 . y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 、 x2 = -4y
小结 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1) y2 = 20x (2)
高中数学选修1-1
复习：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的 比是常数e的点的轨迹，
当0＜e ＜1时， 是椭圆
l M
当e＞1时， 是双曲线
l M
当e=1时， 它又是什么曲线 ？
l
F ·
F
·
e＞1
·
M
动画
· F
0＜ e ＜ 1
e=1
一、定义
平面内与一个定点F和一 N 条定直线l的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。
l
y
N K
M
o
· · F
x
二、标准方程
设︱KF︱= p （p>0） p p 则F( 2 ，0 )， l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， y
l Nd
M
点M到l的距离为d 由定义可知，|MF|＝d
K o
· · F
x
所以
化简得
p 2 p 2 (x ) y x 2 2
y2 = 2px（p＞0）
3．抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距 离是10，求P点坐标．
第一：一次项的变量如果为x（或y），则 焦点就在对应的坐标轴上！ “一次定轴”
第二：一次项的系数的符号决定了开口方向: 符号为正, 开口向正方向; 符号为负, 开口 向负方向. “符号定向”
例题讲解
例2: 已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它
的标准方程。
x 8 y
2
例题讲解
例3:求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
l
M
· F ·
定直线l 叫做抛物线的准线。
注意：定点 F 在定直线 l 外. 若定点 F 在定直线 l 上，得到的点的轨迹是什么? (过定点 F 与定直线 l 垂直的直线． )
二、标准方程
想 一 想 ？ ？
l N
M
· · F
如何建立直角 坐标系？
二、标准方程
如图，我们取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂足为 K，并使原点与 线段 KF 的中点重合,建立 直角坐标系 xOy
y2=-2px (p>0)
p F(- ,0) 2 p x= 2
x2=2py (p>0) p F (0, ) 2 p y =2
x2=-2py (p>0)
p F (0, - ) 2 p y= 2
问题：
根据上表中抛物线的标准方程与图形、焦 点坐标、准线方程的对应关系，如何判断抛物 线的焦点位置、开口方向？
(2)
(3) (4)
（ 2 ， 0）
x=-2
思考：
一条抛物线，由于它在坐标平面内 的位置不同，方程也不同，那么抛物线 的标准方程还有哪些其它形式？
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下
不同位置的抛物线 图 形
﹒ ﹒﹒ ﹒
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
y
x
标准方程
焦点坐标 准线方程
y2=2px (p>0)
p F ( ,0) 2 p x =2
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程
且焦点F( 准线l：x
p
2
，0 ), 在 x 轴的正半轴上 p 2
=-
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程； 3 3 F ( ,0) 准线方程是x 2 2 （2）已知抛物线的方程是y = －6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；