最新8-.3-1基本事实与定理教学讲义PPT课件
基本事实与定理概述课件
定理的证明方法
01
02
03
直接证明法
通过逻辑推理，直接证明 定理的正确性。
反证法
假设定理不成立，通过推 理导出矛盾，从而证明定 理的正确性。
归纳法
通过对一系列具体事例进 行观察和总结，归纳出一 般性的结论，进而证明定 理的正确性。
定理的应用场景
数学领域：定理在数学领域中有着广 泛的应用，如代数、几何、概率统计 等领域。
定理在经济学中用于证明市场均衡、最大化利益等经济理论和模型。
定理的拓展与深化研究
定理的推广
对原有定理进行推广，使其能够解决更广泛的问题。
定理的证明方法研究
研究定理的证明方法，深入理解定理的证明思路和技巧。
定理的应用研究
研究定理在不同领域的应用，拓展定理的应用范围和价值。
PART 05
习题与解答
习题一：基本事实的辨析与运用
正确性。
归纳法
通过对个别情况进行分析和归 纳，得出一般性的结论。
构造法
通过构造一个实例或反例来证 明某个命题的正确性。
放缩法
通过放大或缩小数量级，将复 杂问题转化为简单问题，便于
推导和证明。
定理证明中的常见错误
逻辑错误
在推导过程中出现逻辑错误，导致结论不正 确。
定义和性质理解不准确
对定义和性质理解不准确，导致推导过程中 出现偏差。
总结词
理解与辨析
详细描述
本题主要考察学生对基本事实的掌握程度，要求学生对基本事实进行 理解和辨析，能够正确运用基本事实进行推理和证明。
总结词
运用与推理
详细描述
本题要求学生运用基本事实进行推理，通过已知的事实推出未知的事 实，培养学生的逻辑推理能力。
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计一. 教材分析《基本事实与定理》是鲁教版数学七年级下册第八章第三节的内容，主要介绍了几个重要的数学定理，包括勾股定理、平方差定理和完全平方定理。
这些定理是初中数学的基础，对于学生理解和掌握数学知识体系具有重要意义。
本节课的教学内容不仅要求学生掌握定理本身，还要学会如何运用这些定理解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些简单的数学概念和运算方法已经熟悉。
但是，对于较复杂的数学定理，学生可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，帮助学生深入理解定理的含义和应用。
三. 教学目标1.了解勾股定理、平方差定理和完全平方定理的基本概念。
2.学会运用这些定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明和应用。
2.平方差定理和完全平方定理的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
同时，结合实例讲解，让学生直观地理解定理的应用，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用定理解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用数学定理解决问题。
例如，一个直角三角形，两条直角边的长度分别是3cm和4cm，如何求斜边的长度？2.呈现（15分钟）介绍勾股定理的概念和证明方法。
通过PPT展示勾股定理的证明过程，让学生直观地理解定理的含义。
同时，给出一些勾股定理的应用实例，让学生学会如何运用定理解决实际问题。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些关于勾股定理的实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生巩固对勾股定理的理解和运用。
教师及时批改学生的答案，给予反馈。
基本事实与定理课件
05
CATALOGUE
定理的发展历程
古代定理的发现
1 2 3
勾股定理
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中证明了 勾股定理，而在中国，商高早在西周时期就发现 了勾股定理的特例。
毕达哥拉斯定理
古希腊数学家毕达哥拉斯学派在公元前6世纪发 现了这一定理，并证明了直角三角形斜边的平方 等于两直角边的平方和。
示例
在统计学中，归纳法常常被用来总结数据分布规 律和趋势，通过观察和计算得出结论。
04
CATALOGUE
定理的应用场景
数学教育
定理在数学教育中扮演着重要的角色，是数学知识的核心内 容之一。通过学习定理，学生可以深入理解数学概念和原理 ，提高数学思维能力。
在数学教育中，定理的应用场景包括课堂教学、习题练习和 考试等。教师可以通过讲解定理、推导证明和引导学生应用 定理来帮助学生掌握数学知识。
02
CATALOGUE
定理的分类
代数定理
01
02
03
代数定理定义
代数定理是数学中关于代 数对象的性质和关系的定 理，通常涉及代数运算、 代数式、方程等。
代数定理举例
例如，代数基本定理、韦 达定理、二次方程求根公 式等。
代数定理的应用
代数定理在数学的其他分 支和实际应用中都有广泛 的应用，如解方程、不等 式、函数性质等。
科学研究
在科学研究中，定理常常被用来建立理论模型、推导公式和解决问题。例如，在 物理学中，牛顿三定律、能量守究中的定理应用场景还包括实验设计、数据分析和结论推导等。通过应用 定理，科学家可以得出更准确的结论和预测，推动科学研究的进步。
工程实践
定理的证明
证明方法
基本事实的证明通常采用逻辑推理、 反证法、归纳法等数学方法。
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》说课稿
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》说课稿一. 教材分析鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》这一节的内容，主要介绍了几个重要的数学定理，包括勾股定理、平方根的性质、相反数的性质等。
这些定理是初中数学的基础，对于学生后续的学习具有重要意义。
在教材中，这些定理通过具体的例子进行介绍，并且配有相应的练习题，帮助学生理解和掌握。
二. 学情分析在七年级的学生中，他们已经学习过一些基本的数学知识，对于一些简单的数学运算和概念已经有了一定的理解。
但是，对于一些抽象的数学定理，他们可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学这一节的内容时，需要考虑到学生的实际情况，尽可能地用生动形象的例子和生活中的实际问题，帮助他们理解和掌握定理。
三. 说教学目标教学目标主要包括三个方面：知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标。
1.知识与技能目标：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握勾股定理、平方根的性质、相反数的性质等基本数学定理。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方式，学生能够掌握定理的证明过程，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：通过学习数学定理，学生能够感受到数学的趣味性和实用性，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点本节课的重点是让学生理解和掌握勾股定理、平方根的性质、相反数的性质等基本数学定理。
难点主要是让学生理解并能够运用这些定理解决问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、提问法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动参与学习，培养他们的思维能力和解决问题的能力。
同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，帮助学生形象地理解定理，提高学习效果。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对数学定理的兴趣，导入新课。
2.讲解：讲解勾股定理、平方根的性质、相反数的性质等基本数学定理，并通过例题进行解释和应用。
3.讨论：引导学生进行小组讨论，让学生通过自己的思考和交流，理解和掌握定理。
《基本事实与定理》课件
事实二：逻辑推理
总结词
逻辑推理是学习《基本事实与定理》的关键能力。
详细描述
在《基本事实与定理》的学习过程中，需要运用逻辑推理来理解定理的推导过程 和证明方法。此外，还需要通过逻辑推理来分析问题、找出解决方案，并验证答 案的正确性。
事实三：证明方法
总结词
掌握证明方法是学习《基本事实与定理》的核心要求。
证明三：哥德巴赫猜想的证明
总结词
简化证明但仍有争议
详细描述
哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以 写成两个质数之和。虽然这个猜想的证明过 程非常复杂，但近年来有数学家提出了一些 简化的证明方法。然而，这些证明方法仍然 存在争议，因为它们在某些情况下可能不成 立。因此，哥德巴赫猜想的证明仍是一个开
放的问题，需要进一步的研究和探索。
PART 05
总结与展望
总结：基本事实与定理的重要性和影响
数学基础
科学应用
基本事实与定理是数学学科的基础，对于 数学的发展和应用至关重要。
基本事实与定理在物理学、工程学、经济 学等科学领域中有着广泛的应用，为解决 实际问题提供了重要的理论支持。
教育价值
文化传承
基本事实与定理是数学教育的重要组成部 分，对于培养学生的逻辑思维、推理能力 和解决问题的能力具有重要意义。
定理三：哥德巴赫猜想
总结词
关于质数的数学猜想
VS
详细描述
哥德巴赫猜想是一个著名的数学猜想，它 认为任何一个大于2的偶数都可以写成两 个质数之和。尽管这个猜想已经提出很长 时间，但是至今仍然没有被证明或证伪。 这个猜想在数学界中引起了广泛的兴趣和 研究，也是数学研究的一个重要方向。
PART 03
定理证明
详细描述
8.3 基本事实与定理
8.3 基本事实与定理●教学目标（一）教学知识点1. 定理的概念2. 公理的概念3.了解数学史.（二）能力训练要求1. 能够用基本事实、定理证明一些命题.2. 通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.（三）情感与价值观要求通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣.●教学重点用基本事实、定理进行证明.●教学难点用基本事实、定理进行证明.●教学过程回顾［师］每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.新授［师］一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想：［生甲］用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.［生乙］这些方法往往并不可靠.［生丙］能不能根据已经知道的真命题证实呢？［生丁］那已经知道的真命题又是如何证实的？［生戊］哦……那可怎么办呢？……［师］其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作.［生］老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实.［师］对，我们这套教材选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：［师］同学们来朗读一次.［师］好.除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以作为证明的依据.在等式中，一个量可以用它的等量来代替.如：如果a=b,b=c,那么，a=c,这一性质也看做公理，称为“等量代换”.注意：（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据.好，下面我们通过“读一读”来进一步了解《原本》这套书，进而了解数学史.Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结说明一个命题是假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题.Ⅴ.课后作业（一）课后习题（二）预习后面的内容。
8.3基本事实与定理
用实验、归 纳、观察、 猜想等方法.
真命题常常通过 推理的方式即根 据已知事实来推 断未知事实
这些方法往 往并不可靠.
也有一些命题是 人们经过长期实 践后而公认为正 确的命题
在数学发展史上，数学家们也遇到过类 似的问题，公元前3世纪，古希腊数学家
欧几里得编写了《原本》，将前人积累下
来的丰富的几何学成果整理在系统的逻辑 体系之中，他挑选了一部分不定义的数学 名词（称为原名）和一部分公认的真命题 （称为基本事实）作为证实其他命题的出 发点和依据，定义出其他有关的概念，并 运用推理的方法，证实了数百个有关的命 题，使几何学成为一门具有公理化体系的 科学。
定理 同角（等角）的补角相等.
归纳总结：
一些条件
+
公理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
推理
证实其它命题的正确性
温馨提示：证明一个命题的正确性，要按“已 知”“求证”“证明”的顺序和格式写出。
1、你认为基本事实和定理有哪些相同点和不同点？ 相同点：①都是真命题；②都可以作为证明依据； 不同点: 基本事实是实践得来的；定理是推理证明得到。
(3)假命题.当a=b=1时，左边=3，右边=4 , 不相等.
如果一个三角形是直角三角形， 那么它的两个锐角互余.
都是真命题.
假命题. 真命题.
假命题.
（1）例如a=0时,/a/=0 (3)例如： 30, 60, 30, 满足 90， 90，但 60 90.
如何证实一个命题是真命题呢
通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命 题叫做 。
除了公理之外，其他真命题的正确性都通过推理的 方法证实。
经过证明的真命题叫做 。
1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么 这两条直线平行.（同位角相等,两直线平行） 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等
基本事实与定理课件
定理的定义和特点
定理是通过逻辑严密的推理证明得出的，具有一定的普遍性和重要性。
基本事实和定理的区别和联系
基本事实是不需要证明的真实陈述，而定理是通过推理证明得出的数学结论，二者有着密切的联系和依存关系。
常见的基本事实
加法
两个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相加的结果是唯一确定的。
交换律
加法和乘法中，交换操作数的顺序不会改变结 果。
乘法
两个数相乘的结果是唯一确定的。
结合律
加法和乘法中，操作数的结合方式不会改变结 果。
常见的定理
勾股定理
直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
平行四边形定理
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
相交线定理
平行线被切割产生的内错角相等。
证明基本事实的方法
基本事实不需要证明，它们是数学系统的基础，可以通过定义或公理直接得 出。
基本事实与定理课件
通过这个课件，我们将介绍基本事实和定理的定义和特点，探讨它们的区别 和联系，以及它们在数学中的应用和历史背景。
什么是基本事实和定理
基本事实是数学中不需证明的真实陈述，定理是通过严格证明得出的数学结 论。
基本事实的定义和特点
基本事实是数学中最基本的真实陈述，不需要证明，可以作为其他推理的基础。
《基本事实与定理》课件1-优质公开课-鲁教7下精品
把下列命题改写成“如果┄┄那么┄┄” 的形式，并指出命题的条件和结论
1、相等的角是对顶角； 2、钝角大于它的补角； 3、两直线平行，同位角相等； 上述的命题中，哪些是正确的？哪 些是不正确的？你怎么知道它们是不正 确的？与同伴交流.
正确的命题称为真命题，不正确的的命 题称为假命题. 要说明一个命题是假命题，通常可以 举出一个例子，使之具备命题的条件， 而不具备命题的结论，这种例子称为反 例.
七年级 下册(第八章)
8.3 基本事实与定理
1、定义:对名称和术语的含义加以描述， 作出明确的规定，也就是给出它们的
定义 .
2、命题的定义:判断一件事情的句子，
叫做命题.
3、命题的结构:每个命题都由条件和 结论两部分组成.条件是已知事项， 结论是由已知事项推断出的事项.
4、命题的特征:一般地，命题可以写 成“如果„„，那么„„”的形式， 其中“如果”引出的部分是条件，“ 那么”引出的部分是结论.
推理的过程 叫证明
命题叫定理
+ 原名、公理
一些条件
推 理
证实其它命 题的正确性
本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两点确定一条直线． 2.两点之间线段最短． 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直． 4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线平行． 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行. 6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 8.三边分别相等的两个三角形全等．
书上P41，了解古希腊数学家欧几里得 (公元前300前后)和他的《原本》； 找出下列各个定义.
1、原名: 2、公理: 3、证明: 4、定理:
基本事实与定理课件
数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后 公认的真命题称为公理.
定理和公理都可以作为判断其他命题真假 的根据.
对顶角相等 (真命题)
∵∠1＋∠3＝180°
31 2
∠2＋∠3＝180°
∴∠1＝∠2
(同角的补角相等)
要判定一个命题是真命题常常通过推理的方式.
公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题, 作为判断其他命题的根据。这些公认的真命题叫 做公理。
8.3 基本事实与定理
(1)什么是定义? 一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意
义的句子叫做该名称或术语的定义.
(2)什么是命题? 命题由哪两部分组成? 一般地,对某一件事情作出正确或不正确
的判断的句子叫做命题.
命题由可看做由题设(或条件)和结论两 部分组成.
正确的命题叫做 真命题 不正确的命题叫做 假命题 要说明一个命题是假命题只须
定理（举例）：经过证明的真命题称为定理。
同角（等角）的补角相等; 同角（等角）的余角相等; 三角形的任意两边之和大于第三边.
前面我们已经学过的,用推理的方法得到的那些 用黑体字表述的图形的性质都可以作为定理.
等式的有关性质和不等式的有关性质都可 以看作公理
在等式或不等式中,一个量可以用它的等 量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这 一性质也看作公理,称为“等量代换”.
4、下列句子中，是定理的是（ B ），是公理 的是（ E，C ），是定义的是（ D ），
A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等 C、全等三角形的对应边相等，对应角相等 D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角 相等
第八章第四课时：基本事实与定理
课题：基本事实与定理设计人：吴占杨学习目标：1、知道公理、定理的含义。
会背初中数学教科书中所采用的基本事实。
2、会用基本事实和等式的性质证明一些定理。
核心知识：八个基本事实与相关的定理，等式的性质学习过程：一、导入新课：说明一个命题是假命题我们应该做些什么？如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢？二、学习新知：模块一、知道公理、定理的含义。
会背初中数学教科书中所采用的基本事实。
1、出示问题自学课本P41最后一段，了解《欧氏原本》的来历。
把P42的公理、定理的定义画下来，要求会背。
通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。
除公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题叫做定理。
2、交流展示领会P42的8条基本事实，高声读出来。
（其意义要求同桌互动交流）等量代换的名词解释：在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替。
模块二、会用基本事实和等式的性质证明一些定理。
1、出示问题学生自学P42的例题（要求每一步都注写理由）。
通过例题的证明我们得到了一个定理：同角（或等角）的补角相等。
2、交流展示学生自学P43最后一段。
要求学生今后的证明题要严格按格式进行，3、针对性训练完成P43随堂练习2 （可选优秀学生演板书写本题，按要求去做）由此得到定理：同角（或等角）的余角相等。
三、课堂训练：P44习题8.4 1题 2题四、课堂小结：本节课我们学了什么内容？你得到了几个定理？五、课堂作业：P44习题8.4 3题补充：若∠1+∠2=90º，∠3+∠2=90º，∠1=40º，则∠3=________,依据是_________________证明：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等六、教学反思——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————。
8.3 基本事实与定理 课件
12 如图，设相邻两个角∠AOB，∠BOC的平分线分别 为OE，OF，且∠EOF是直角，求证：A，O，C三点 共线.
证明：∵OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，且∠EOF是直角， ∴∠AOE＝∠BOE，∠COF＝∠BOF，∠EOF＝90°. ∴(∠AOE＋∠BOE)＋(∠COF＋∠BOF)＝ 2(∠BOE＋∠BOF)＝2∠EOF＝2×90°＝180°， 即∠AOB＋∠BOC＝180°. ∴∠AOC＝180°. ∴AO，OC成一直线，即A，O，C三点共线．
的，所以是定理.
【答案】 D
3 在下列语句中，属于定理的是( ) A．在直线AB上任取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．有两个角相等的三角形一定是等腰三角形吗 D．到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上
【点拨】 A.不是命题，所以不是定理；B.相等的角不一定
11 如图，将三个正方形的一个顶点重合放置，若OF平
分∠DOB，求证：OE平分∠AOC．
证明：由题意可知∠COD＝∠AOB＝90°， ∴∠COA＝∠DOB. 同理可得∠EOA＝∠FOB. ∵OF 平分∠DOB，∴∠DOF＝∠FOB＝12∠DOB. ∴∠EOA＝12∠DOB＝12∠COA. ∴OE 平分∠AOC.
9 要证明命题“垂直于两条平行线中的一条直线，也一 定垂直于另一条”，写出“已知”，“求证”， 正确的是( B ) A．已知：如图，l1∥l2，求证：l3⊥l1，l3⊥l2
B．已知：如图，l1∥l2，l3⊥l2，求证：l3⊥l1 C．已知：如图，l3⊥l1，l3⊥l2，求证：l1∥l2 D．已知：如图，l3⊥l1，求证：l1∥l2，l3⊥l2
第八章 平行线的有关证明
8.3
8.3基本事实与定理教案
作业设计 必做作业1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）A 、定理B 、公理C 、定义D 、只是命题 2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ） A 、定理 B 、公理 C 、定义 D 、只是命题 3下列命题中，属于定义的是（ ）A 、两点确定一条直线B 、同角的余角相等C 、两直线平行，内错角相等证明：4、下列句子中，是定理的是（ ）是公理的是（ ）是定义的是（ ）， A 、若a=b ，b=c ，则a=c ； B 、对顶角相等 C 、全等三角形的对应边相等，对应角相等 D 、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E 、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等5、有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：（1）红箱子盖上写着：苹果在这个箱子里；（2）黄箱子盖上写着：苹果不在这个箱子里：（3）蓝箱子盖上写着：苹果不在红箱子里。
已知（1），（2）（3）中只有一句是真的，那么苹果在那个箱子里？ 选做作业1、已知一角的两边与另一个角的两边平行，分别结合下图，试探索这两个角之间的关系，并证明你的结论。
（1）AB ∥EF,BC ∥DE.∠1与∠2的关系是：____________ （2）AB ∥EF,BC ∥DE. ∠1与∠2的关系是：____________ 证明： （3）经过上述证明，我们可以得到一个真命题：如果________________________________________那么 （4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？EC效果预设：学生能顺利完成必做作业，而选做作业需经过更深度的思考，有点难度，一部分同学能完成。
作业反思：通过批改必做作业，找出了学生知识薄弱的地方，对于选作作业也找到了学生在思考的过程中在那个地方遇到了困难。
七年级下册冀教版数学【授课课件】第2课时 基本事实和定理
课后作业
1.教材P34 习题第1，2题. 2.七彩作业.
性质);④所以∠B=∠D(等量代换)；⑤所以∠B= 180°-∠C(等
量代换).
正确的顺序是（ C ）
A.①→③→②→⑤→④
B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④
D.②→⑤→①→③→④
当堂训练
2.说明“任意两个偶数的和一定还是偶数”是真命题. 解:设这两个偶数分别为2m,2n(m,n都是整数),则这两个偶数的和 为2m+2n=2(m+n).因为m ， n都是整数,所以m+n也是整数.所以 2(m+n)是2的整数倍，即2(m+n)也是偶数.所以任意两个偶数的 和一定还是偶数.
回顾反思
1. 什么是说理？ 2. 什么基本事实？ 3. 什么是定理？
当堂训练
1.试说明“若∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠A=∠C，
∠B=∠D"是真命题，以下是排乱的推理过程:
①因为∠A=∠C(已知)；②因为∠A+∠B=180°，∠C+∠D=
180°(已知)；③所以∠B=180°-∠A，∠D= 180°-∠C(等式的
探究新知
解：因为OD 平分∠AOC( 已知 ) ，
所以∠DOC=
1 2
∠AOC(
角平C( 已知 ) ，
所以∠EOC =12∠BOC( 角平分线的定义 ) .
所以∠DOE=∠DOC＋∠EOC=12∠AOC＋12∠BOC=12(∠AOC＋ ∠BOC)=12∠AOB =12×120°=60°( 等量代换 ).
你能举出学过的定理吗?
探究新知
学生活动二【一起探究】
观察相邻两个奇数的和：
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是（ ），是定义的是（ ），
A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等
C、全等三角形的对应边相等，对应角相等
D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
选做
❖ 已知：如图，∠BAD=∠EAC ❖ 求证：∠1=∠2
解答
❖ 证明：∵∠BAD=∠EAC（已知）
8-.3-1基本事实与定理
自学指导
看课本，思考并回答以下问题：
1、基本事实、定理、的概念 2、会证明定理“同角或等角的补角相等”。 3、证明及证明的一般步骤。
知识结论
❖ 通过长期实践总结出来，并且被人们公认的 真命题叫做公理
❖ 通过推理得到证实的真命题叫做定理
现在所学的基本事实（公理）：
1、两点确定一条直线。 2、两点之间线段最短。 3、同一平面内，过一点有且只有一条与已知 直线垂直。 4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么这两直线平行 5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行。
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语
句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 3、下列命题中，属于定义的是（ ）
A、两点确定一条直线
B、同角的余角相等
C、两直线平行，内错角相等
D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
4、下列句子中，是定理的是（ ），是公理的
❖
∴∠BAD-∠EAD=∠EAC-∠EAD（等式
的性质）
❖
∴∠1=∠2
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数
学家欧几里得(Eyclid,公元前300前后)；找出下
列各个定义并举例．
1、原名: 某些数学名词称为原名. 2、公理: 公认的真命题称为公理.
3、证明: 除了公理外,其它真命题的正确性都通过
❖ 如果D是错误的，说明D不是最后一名，结合ABC的说法， 他们也不是最后一名，不可能，与题意不符。
解答
❖ A的预测是错误的
❖本节课你有何收获? ❖你还有疑问吗? ❖将你的疑问说出来与你的 同学和老师一起探讨间，线段最短”这个语句是（ ）
公理：是人们实践活动中总结出来的 定理：是通过证明得到的
基本事实、定理、命题的 关系：
命题 真命题
假命题
基本事实（正确性在实践中总结 的，我们称之为公理）
定理（正确性通过推理证实）
证明及证明的一般步骤（难点）
什么是证明？
根据条件、定义以及基本事实(公理)、定理 等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正 确，这样的推理的过程叫做证明。
❖ 如果A是错误的，说明B是第一名，D是最后一名，A与C一 个是第二名，一个是第三名，有可能。
❖ 如果B是错误的，就说明B得了最后一名，那就和D的说法相 矛盾，说明D的预测也是错的，与题意不符。
❖ 如果C是错误的，说明他不是第一名就是最后一名，要么与 A的说法相矛盾，要么与D的说法相矛盾，说明A或D的预测 也是错的，与题意不符。
习题8.4
1、已知：如图，直线AB和CD相交于点O，且 ∠AOC是直角，求证：∠COB，∠BOD，∠DOA
都是直角。
A D
O
C
B
❖ ∵∠AOC是直角， ∴∠AOC =90 °，
❖ ∵ AOB是一条直线， ∴ ∠COB =180 ° ∠AOC=90 °， ∴ ∠COB 是直角。
❖ 同理可证： ∠BOD，∠DOA都是直角。
知）° ∴ ∠3=180°- ∠ 1， ∠4=180°- ∠ 2 （等式的基本性质）
∵ ∠1=∠2， ∴ ∠3=∠4
随堂练习 1、你认为基本事实和定理有哪些相
同点和不同点？
❖ 相同点：1、它们都是真命题 2、它们都是做为证明的依据
❖ 不同点：1、公理的真实性是通过实践证实的， 而定理的真实性必须通过推理证明。
变式引申
❖ 4人进行游泳比赛，赛前4名选手A，B，C， D分别对自己进行预测。A说：“我肯定得第 一名。”B说：“我绝对不会得最后一 名。”C说：“我不可能得第一名，也不会 得最后一名。”D说：“那只有我是最末了 的了！”比赛结果揭晓后，发现他们之中只 有一位预测错误。请指出这是哪一位选手。
分析
现在所学的基本事实（公理）：
6、两边及其夹角分别相等的两个三 角形全等。 7、两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等。 8、三边分别相等的两个三角形全等。
举出几个定理
❖1、三角形内角和定理 ❖2、同角的补角相等。 ❖3、直角三角形的两个锐角互余。 你还能举出其他的定理吗？
思考？
定理与公理的区别是什么？
A说：“如果我得优，那么B也得优。” B说：“如果我得优，那么C也得优。” C说：“如果我得优，那么D也得优。” D说：“如果我得优，那么E也得优。” 大家都没有说错。如果A得优，那么 他们之中有几人得优？如果C得优，
那么他们这中至少有几个得优？
答案：如果A得优，那么五 人都得优，如果C得优，那 么至少三人得优
证明的一般步骤：
（1）根据题意，画图形； （2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、 求证； （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径， 写出证明过程，并注明依据。
典例精讲 定理：同角（等角）的补角相等
❖ 写出已知、求证、证明 ❖ 已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°，
∠2+∠4=180 °，求证：∠3=∠4 ❖ 证明：∵ ∠1+∠3=180° ， ∠2+∠4=180 （已
推理的方法证实.推理的过程称为证明.
4、定理: 经过证明的真命题称为定理.
经过证明的真
一些条件
推理的过程 叫证明
命题叫定理
+
推理
证实其它命 题的正确性
原名、公理 温馨提示：证明所需的定义、公理和其它定理都
要编写在要证明的这个定理的前面
作业： 必做《配套练习册》8.3 1---4 选做《配套练习册》8.3 5
2、证明：对顶角相等
❖ 已知：如图，直线AB和CD相交于点O，∠1
和∠2是对顶角，求证 ∠1 =∠2
A
D
O
C
B
证明： ∵ ∠1 和∠2是对顶角， ∴OA和OB 互为反向延长线， ∴ ∠AOB是平角，同理 ∠COD也是平角。 ∴ ∠1 和∠2 都是∠AOC 的补角， ∴ ∠1 =∠2
3、A,B,C,D,E五名学生猜测自己的数 学成绩，