浅谈埃舍尔的数学艺术
浅谈埃舍尔的数学艺术
一般来说,对于几维空间的思考，从来都是数学家物理学家思考的问题.著名的英国剑桥大学应用数学及理论物理学系教授，当代最重要的广义相对论和宇宙论家霍金在《时间简史》对于宇宙学的完美演绎,对于思维空间的描述就体现了这一点.当霍金的时间简史完美的展现四维世界而向更高一步探索时埃舍尔在他的艺术世界中是否已建起了五维的世界观？
埃舍尔多次表达数学上有趣的茂比乌斯带.但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易的，1963年的《红蚁》便是这种题材的作品，也是一件稀有的埃舍尔套色版画.埃舍尔在他的著作中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。在作品《红蚁》中，仔细看你会发现作品中的蚂蚁不是在相同的面上爬行而是在同一个面上爬行，可以一次性将丝带的每一个部分走完。与此相同的还有作品《天鹅》《骑马的人》。
极限思想的应用
看上面第三幅镶嵌图形中，黑白灰三种壁虎相互镶嵌在一起,不仅仅形成了一幅完美的镶嵌图形，并且替下了数学中无穷小的极限思想。
或许正是由于他对数学、建筑学和哲学的过深理解，阻碍了他与同道的交流,他在艺术界几乎总是特立独行，后无来者。他甚至至今无法被归入20世纪艺术的任何一个流派。但是，他却被众多的科学家视为知己。他的版画曾被许多科学著作和杂志用作封面，1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史上罕见的。
埃舍尔——一个画家的数学素养
埃舍尔——一个画家的数学素养1898年出生在荷兰的埃舍尔，自称是一个“图形艺术家”，他专门从事木版画和平版画。
他的家庭为他设想希望他将来能从事他父亲的建筑事业，但由于他对绘画和设计的偏爱，最终还是选择了从事图形艺术的职业。
1956年，他举办了他生平第一次重要的画展，这个画展得到了《时代》杂志的好评，使他获得了世界范围的名望。
在对他热情的赞美者中不乏有许多的数学家，他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。
由于这位荷兰艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而尤其令人赞叹。
随着他的创作的发展，他从自己读到的数学思想中获得了巨大的灵感，他经常直接运用平面几何和射影几何的结构，这使得他的作品中深刻地反映了非欧几何学的精髓。
他也被悖论和“不可能”的图形结构所迷住，创造了许多引人入胜的艺术成果，下面我们将看到这一点。
1.镶嵌图形规则的平面分割叫做“镶嵌”，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。
一般说来，构成一个镶嵌的封闭图形的基本单元是多边形或类似的常规形状。
然而，更使埃舍尔着迷的是那些不规则的、形状特别的平面镶嵌。
他用几何学中的反射、变换和旋转来获得更多的变化图案，他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。
这样的效果既是惊人的，又是美丽的。
下面选录了埃舍尔的“骑士平面镶嵌”和“黑白鸟的镶嵌”两幅平面镶嵌图（图1、图2)供读者欣赏。
其中，“骑士平面镶嵌”曾被诺贝尔奖获得者杨振宁作为他的名著《基本粒子小史》的封面，显示了物理大师的艺术底蕴。
图1呈现了某种怪异的对称现象（把白骑士看作图形，黑色骑士就成了“衬底”。
把衬底揭起来，翻转180°，就能够同原图形重叠)，而杨振宁、李政道所发现的，就是物理世界某种“对称”的破坏和缺损——在弱相互作用下的“宇称不守恒”。
图1而在黑白鸟的平面镶嵌里，我们看到的是向西北方向飞去的黑色的鸟和向西飞去的白色的鸟。
图22.多面体规则的几何体，例如多面体，对埃舍尔而言具有特殊的魅力。
【高中数学】数学与埃舍尔的艺术
【高中数学】数学与埃舍尔的艺术仅是人类的发明或创造。
它们本来就“是”如此；它们的存在完全不依赖于人类的智慧。
具有敏锐领悟能力的任何人所能做的事至多是发现它们的存在并认识它们而已。
──m.c.埃舍尔m.c.埃舍尔的确就是重新认识数学的。
用数学的眼光去观测他的许多工作，就是令人激动的事情。
我们中大多数人都熟识埃舍尔有关平面方形图案的美妙缔造。
他的工作远远比不上传统的平面方形图案。
他给与他所方形的对象以运动和生命，这从《变形》、《天和水》、《昼和夜》、《鱼和鳞》和《遭遇》等知名作品可以获得证明。
除了转换平面以外，被方形对象本身也抵挡转换。
此外，人们看见他对周期铺成结构中的位移、转动和散射的概念掌控得较好。
埃舍尔也利用拓扑学领域中的对象和概念。
麦比乌斯带在他的木刻《麦比乌斯带ⅰ》、《麦比乌斯带ⅱ》和《骑手》中起着关键作用。
他在他的作品《纽结》中精巧地作成三叶形纽结。
埃舍尔的《蛇》是介绍纽结理论主题的一件完美的艺术品，即使他可能并非有意这样做。
《画廊》和《阳台》是拓扑变形的奇妙例子。
这些版画看来几乎好像是印刷在经过奇妙的拓扑变形的橡皮薄板上的。
人们在埃舍尔的许多作品中辨认出的另外两个数学主题就是操作方式和混合佩。
在《爬虫》中，埃舍尔的二维蜥蜴诡异地变为了在现实三维空间中跳跃的生命。
相似的转换出现在《魔镜》和《循环》中。
他利用射影几何中的概念──投影、传统意义上的憋屈点和他自己的曲线憋屈点，并使《圣彼得的罗马》、《通天塔》和《低与高》中产生深度和维度的感觉。
圆、椭圆、螺线、多面体和其他立体是我们在埃舍尔作品中看到的几种几何对象。
例如，《三个球》创造出关于球形的三维错觉，虽然它是完全由圆和椭圆组成的。
在《星》中，我们看到各种不同的立体，包括柏拉图立体在内，而四面体则是《四面类星体》的中心所在。
在《重力》中高中化学，有着星形十二面体。
埃舍尔并使无穷大的概念养了出来。
不须要用什么话去给它下定义，他的作品就说明了它的意义。
埃舍尔——融数学思想于艺术设计的大师
埃舍尔——融数学思想于艺术设计的大师打开文本图片集埃舍尔1898年出生在荷兰的一个水利工程师家庭.在中學时代，他的成绩一般，只有绘画成绩相对好一点.1919年进入哈勒姆建筑与美术学院，在此期间他得到美术老师的鼓励，从此对平版画、木刻版画和雕版画产生了浓厚兴趣.正是出于对绘画的偏爱，最终埃舍尔走上了图形艺术设计的道路，埃舍尔的作品之所以引起数学家的兴趣是源于1954年在荷兰首都阿姆斯特丹召开的国际数学家大会.数学家彭罗斯在一次偶然的机会下参观了会场附近展出的埃舍尔画作，回到会场就成了埃舍尔作品的超级粉丝，在他的影响下，埃舍尔的作品首先在这群数学家中传播开来.彭罗斯在他花了整整八年才写成的数学物理学巨著《通往实在之路——宇宙法则的完全指南》中，就是用埃舍尔的画作来解释罗巴切夫空间的.无独有偶，杨振宁的《基本粒子发现简史》也用了埃舍尔的作品《骑士》作为封面（如图1）.虽然埃舍尔没有接受过中学数学以外的正式的数学训练，但他的创作中数学与艺术得到了完美的结合，数学的思想得到了非同寻常的形象化，他在数学的匀称、精准、规则、连续、循环等抽象的特性中发现了难以言喻的美，并结合了他那娴熟的技巧、天才的想象，创作出了广受欢迎、带着数学意味的作品，镶嵌是埃舍尔作品中的一个重要主题.在镶嵌中，埃舍尔找到了在有限的平面中表达极限的方法，作品《蝴蝶》中我们看到一个大而有限的圆周之中有无数多的蝴蝶正在不断地沿着边缘逐渐靠近圆中心，当蝴蝶越来越靠近圆中心时它们的数量会越来越多，但与此同时，它们会变得越来越小，最终消失在我们的眼际，令我们感到惊奇的是，虽然蝴蝶最终没能到达圆中心，但无限多消失的蝴蝶给我们留下了一个神奇而又充满想象的小圈，图的中央究竟是什么呢？埃舍尔汲取来自数学对称理论、射影几何、拓扑学等数学理论的灵感，创作了许多以极限、变换、易维、镶嵌等为主题风格独特的作品，这使得埃舍尔在艺术界特立独行.作为一位伟大的艺术家，埃舍尔对世界各地的众多艺术家和设计师都有着深刻的影响，日本著名平面设计师福田繁雄就是其中的典型.当代的艺术设计作品中也经常可以捕捉到埃舍尔元素，比如手表表盘设计、广告设计等等.从以上图形设计中我们可以看出埃舍尔的图形思想已经渗透到了设计的方方面面.埃舍尔图形设计中的数学美还将继续影响后世.。
埃舍尔：艺术世界里的数学家，数学家中的艺术天才
埃舍尔：艺术世界里的数学家，数学家中的艺术天才“I’m always wandering around inenigmas.”(我永远都在神秘中徘徊)——毛里茨·科内利斯·埃舍尔想象中的世界、不可能的楼梯、荒谬的走廊、神秘的图案等等都是用来形容荷兰艺术家毛里茨·科内利斯·埃舍尔（Maurits Cornelia Escher，1898—1972）的标志性语句。
如科学家一般的思考方式、作品中浓厚的数学特质，使其作品具有极高的辨识度。
○ 埃舍尔，1963年。
埃舍尔出生在一个科学之家，父亲是工程师，四个兄弟都是科学家，包括一名晶体学家，全家只有他一人从事艺术工作。
如今，极富盛名的埃舍尔，他的作品很长一段时间并不被艺术界看好，大部分批评家无法理解他的作品，或者再直白些说，他没有被当作艺术家。
不过由于独特的创作方式，吸引了很多数学家、晶体学家和物理学家的关注。
为埃舍尔写传记的布鲁诺·恩斯特（Bruno Ernst）就是位数学家。
许多艺术家觉得他的作品太过理性，少了艺术该有的感性。
连埃舍尔本人也说：我是要更多地去思考而不是去感受。
○ 《海豚》（Dolphins），1923年埃舍尔早年作品大量来自旅行见闻，还看不到太多数学的影子，主要体现了他扎实的版画功底。
○ 《巴别塔》（Tower of Babel），1928年埃舍尔的矛盾空间在这幅作品中初现雏形。
○ 欧洲旅行途中某地（Fiumara，Calabria），1930年埃舍尔第一次的作品回顾展直到70岁时才在荷兰举办。
波士顿美术博物馆（Museum of Fine Arts, Boston）资深策展人Baer曾说：“即使你没有在纯艺术的范畴内了解埃舍尔，仍可以很好地欣赏他的作品，这大概也是为什么艺术界很难意识到他的才华。
”制造“不可能的世界”在计算机三维图形出现之前，埃舍尔就已经在二维的纸面上，建立了自己一套与三维空间的联系方式。
埃舍尔美学
埃舍尔美学
埃舍尔美学是指荷兰数学家和艺术家M.C.埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）的艺术作品所展现出来的美学观点和风格。
埃舍尔的作品在数学、几何学和视觉错觉等领域展现出了极为深刻的思考和创意，同时也在艺术表现上达到了令人惊叹的高度。
埃舍尔的作品主要以图案和几何形状为主，常常结合着视觉和心理的错觉效果。
其作品的特点是以复杂的几何形状为基础，利用对称性、重复性和透视等手法，创造出令人眼花缭乱的视觉效果和错觉感受。
这些效果既可以是静态的，也可以是动态的，如旋转、镜像等。
埃舍尔的艺术作品被誉为“数学艺术”的代表作，对于近代艺术和数学的发展都产生了深远的影响。
他的艺术作品不仅展现出了数学的美学，也展现出了科学和艺术之间的内在联系和相互依存的关系。
总之，埃舍尔美学是一种独特的艺术表现形式，其内在的数学规则和几何原理的运用，以及对视觉和心理错觉效果的发挥，让人们在欣赏和探究其作品时不断发现新的魅力和趣味。
埃舍尔的数学的艺术
埃舍尔的数学的艺术无论这个问题从属于数学领域还是从属于艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题．M.C.埃舍尔介绍自画像埃舍尔把自己称为一个"图形艺术家"，他专门从事于木版画和平版画．1898年他出生在荷兰的Leeuwarden，全名叫Maurits Cornelis Escher．他的家庭设想他将来能跟随他的父亲从事建筑事业，但是他在学校里那可怜的成绩以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业．他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了他的第一次重要的画展,这个画展得到了《时代》杂志的好评,并且获得了世界范围的名望．在他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家,他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化．因为这个荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而这一点尤其令人赞叹．随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，下面我们将看到这一点．他也被悖论和"不可能"的图形结构所迷住，并且使用了罗杰·彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果．这样,对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域："空间几何学"和我们或许可以叫做的"空间逻辑学"．镶嵌图形豪华装饰的草图规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列．一般来说,构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形状,例如经常在地板上使用的方瓦．然而,埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的;并且对一种他称为metamorphoses（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面的自由．他的兴趣是从1936年开始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了当地使用的瓦的图案．他花了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些"是我所遇到的最丰富的灵感资源"，1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道："在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了...，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见,它不是．数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域．从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园．"无论这对数学家是否公平,有一点是真实的--他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌．但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状．埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案．他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状．这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形．这样做的效果既是惊人的，又是美丽的．鸟分割的平面蜥蜴循环逐步展开1在"蜥蜴"里，镶嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃离二维平面的束缚到桌面放风,然后又重新陷入原来的图案．埃舍尔在许多六边形的镶嵌图形中使用了这个图案模式．在"逐步展开1"中，可以追溯到这个方形的镶嵌图形从边缘到中间的不断扭曲转化．多面体四个规则的几何体规则的几何体,例如多面体，对埃舍尔而言具有特殊的魅力．他把它们作为许多作品的主题，并且在许多作品中作为第二重要的元素出现．仅仅只有五种多面体被称为理想的多面体．四面体有四个三角形的表面；正方体有六个正方形的表面；八面体有八个三角形的表面；十二面体有十二个五边形的表面；而二十面体有二十个三角形的表面．在木版画"四个常规的几何体"中，埃舍尔把理想多面体中的四个匀称地交叉了，并且使它们呈半透明状以便每个都可以透过其它得以辨认，请看漏了哪个？有序和无序有许多有趣的几何体可以通过理想几何体的交叉和星形化来获得，即几何体的每一面都由表面为三角形的金字塔形来替代，通过这种变换，多面体转变成了一个尖锐的,三维的星形几何体．在埃舍尔的作品"有序和无序"中我们可以发现.一个美丽的星形十二面体，星形的轮廓隐现在一个水晶球中，严谨构造的美丽与在桌子上混乱摆放的其他的杂物形成了鲜明的对比．注意一下还可以猜测到光的来源，球面上反射出左上方有一个明亮的窗口．星交叉的几何体也常常出现在埃舍尔的作品中,其中最有趣的是一幅木版画"星"．这是一个由八面体、四面体、立方体和其他东西交叉构成的几何体，我们不妨这样认为，如果埃舍尔简单地画一些数学的形状并且把它们放在一起，我们也许永远不可能听说他或他的作品．相反,通过将变色龙放置在多面体内并向我们嘲笑和恐吓的构思，埃舍尔给了我们一种奇异的视觉刺激，使我们对他的画刮目相看．显然，数学家们对埃舍尔的作品颇为赞赏的另外的原因就是所有伟大的数学发现背后都具有与此相同的感性和创意．空间的形状三个方向交叉的平面在埃舍尔用数学观点完成的所有重要的作品中，最重要是处理空间性质的那些．他的木版画"三个方向交叉的平面"是评论这些作品的好例子,因为它显示了艺术家对空间维度的关心，以及用二维的方式表现三维的能力．在下一节我们将看到，埃舍尔经常利用了后者的特征来获得令人震惊的视觉效果．圆形限制III受一位名叫H.S.M Coxeter的数学家在一本书中绘画的启发,埃舍尔创造了许多美丽的双曲线空间的作品，例如木版画"圆形限制III"．这是非欧几里德几何学的二种空间之一，在埃舍尔的作品中它的原型实际上源自法国数学家Poincaré．要得到这个空间的感觉，必须想象你实际上是在图像的内部．当你从它的中心走向图像的边缘，你会象图像里的鱼一样缩小,从而到达你移动后实际的位置，这似乎是无限度的，而实际上你仍然在这个双曲线空间的内部，你必须走无限的距离才能到达欧几里德空间的边缘，这一点确实不是显而易见的．然而,如果你能仔细观察的话，你还可以注意到一些其他的事情,例如所有类似的三角形都一样大小，以及你能画没有直边却有四个直角的图形，这就是说，这个空间没有任何正方形或矩形．这确实是一个奇怪的地方！蛇更不平常的是木版画"蛇"所表现的空间，在缠绕和缩小的环的表现下，空间既向边界也向中心延伸并且无穷无尽．如果你在这一空间里，你将是什么模样？莫比乌斯带II除了欧几里德几何学和非欧几里德几何学，埃舍尔对拓扑学的视觉效果也很感兴趣,拓扑学是在他艺术创作的鼎盛期发展起来的一个数学分支．拓扑学关注空间那些扭曲后依然不变的性质，这种扭曲可以是拉长或弯曲，但不是撕裂或折断．拓扑学家们忙于向世界展示那些奇怪的物体，莫比乌斯带也许是最主要的例子，埃舍尔利用它创作了许多作品．它有一个令人感兴趣的性质--它只有一条边和一个面．这样,如果你在"莫比乌斯带II"上跟踪蚂蚁的路径,你将发现它们不是在相反的面上走，而是都走在一个面上．制作一个莫比乌斯带很容易;只要用剪刀把纸剪成条状，将它扭曲180度,然后用胶水或胶带粘住两头就可以了．如果你试图把这条东西纵向的剪成两半，请你预想一下会发生什么情况？艺术画廊另外一幅很著名的平版画,叫做"艺术画廊"，它探索了空间逻辑与拓扑的性质．一个年轻人在一个艺术画廊正看着海边小镇的一角，在船坞边有一家小店，在店里面是一个艺术画廊及一个年轻人--他正朝着海边小镇的一角望去...但是等一下！发生了什么？埃舍尔的所有作品都值得细细观赏，但是这一次尤其特别．某种程度上,埃舍尔把空间由二维变成了三维,使人感觉到那个年轻人同时既在画像内又在画像外面．达到这样效果的秘密在艺术家创作这幅平版画的格子草图中有所显现注意格子的边框连续地按顺时针方向排列这一规律，并且特别注意这个技巧的关键：在中间的一个洞．一个数学家将这叫做奇异点，一个空间的结构不再保持完整的地方，要将整个空间编织成一个无洞的整体是非常困难的，埃舍尔也宁可保持这种现状，并且把他的商标initials放在了奇异点的中心．空间的逻辑有带子的立方体这里所说的空间的逻辑是指物理中的物体之间的那些空间的必要的关系,在产生违背视觉的悖论时，被叫做视错觉．所有的艺术家都关心空间的逻辑，而且许多艺术家深入地探索了它的规律，例如毕加索．埃舍尔知道：立体几何学决定了空间的逻辑，同样地，空间的逻辑也经常决定其自身的立体几何学．他经常使用的空间逻辑的特征之一是展示在凹面和凸面物体上的光和阴影．在平版画"有带子的立方体"中，带子上的凹凸是我们觉察它们怎样与立方体缠绕在一起的视觉线索．然而,如果我们相信我们的眼睛，那么我们不能相信这带子！高和低埃舍尔关心的另一个主要方面是透视．在任何透视画中，趋向消失的点被选择用来代表无穷远．正是由于Alberti、Desargues以及其他一些人在文艺复兴时期对透视和趋向无限的点的研究直接导致了现代射影几何学的出现．通过一些不平常地消失的点的引导并迫使一幅作品的基本元素去服从于它们，埃舍尔能够使作品"上和下"、"高和低"表现的场景取决于观众观察它的目光如何．在他的名为"高和低"的透视作品中，艺术家总共设置了五个消失点：上方的左边和右边，底部的左方和右边，以及中心．其结果是：在作品的下半部观众是在往上看,但是在作品的上半部，观众是在朝下看．为了强调他所取得的成功，埃舍尔把上半部和下半部合成了一幅完整的作品．不可能的三角形瀑布这种另类的"不可能的绘画"用二维的图形表示并构造一个三维的物体，它们主要依靠人的大脑通过视觉暗示来理解，埃舍尔创作了许多这种表现反常规图形的作品．其中最吸引人的一个创意源于一个叫罗杰·彭罗斯的数学家所提出的不可能的三角形．在这幅名叫"瀑布"的平版画中，两个彭罗斯三角形被结合成一个不可能的形状．一个人如果明白空间的逻辑对如此的一个构造就必然会觉得不可思议：瀑布是一个封闭系统,但它却能使作坊车轮象一台永动机一样连续地转动，这就违背了能量守衡的定律．（请注意一下在塔上交叉的立方体和八面体．）自我复制和信息科学互绘的双手我们对埃舍尔的艺术所作的最后研究包括了其艺术与信息科学、人工智能的关系，这在先前的研究中被忽略了，但是这一点的重要性被道格拉斯·R·霍夫施塔特细心的发现了，并写在他赢得1980普利策奖的《Gödel，Escher，Bach：一条永恒的金带》一书中．埃舍尔表现的一个核心概念是自我复制--这被许多人认为已经逼近了大脑知觉这个难题的核心，并且至今计算机还不具备成功地模仿人类大脑处理信息能力．平版画"互绘的双手"和木版画"鱼和规模"用不同的方法表现了这个思想．前者的自我复制是直接的，概念化的．双手互绘对方，互绘的方式就是意识思考和构建自己的方式，神奇的是，在这里自我和自我复制是连结在一起的，也是相互同等的．鱼和规模另一方面,在"鱼和规模"这幅画中，自我复制具有更大的功能;人们也许宁愿称之为自我相似．这样木板画描述的就不仅是鱼，而是所有的有机体．因为，尽管从物理角度来说，我们不是由微小的自我复制建造起来的,但是，从信息理论角度说，我们的确是以这样一种方式建立起来的，因为我们身体上的每一个细胞都以DNA的形式携带了我们个体的完整信息．在更深层次的水平上，自我复制是一种我们的认知世界互相反映和互相交错的结果．我们每一个人都像一本书里的正在读他（或她）自己的故事的人物，或者像反映它自身风景的一面镜子那样．许多埃舍尔的作品都展现了相互交错的世界这个主题,我们在这里只举一个这样例子．正如通常埃舍尔对这个想法的处理那样,平版画"三个圆球II"利用了球形镜面的反射原理．这里,正如Hofstatder提到的那样"世界的每个部分似乎都包含它，也似乎都被包含进去了，...."．这些球体彼此相互反射，折射出艺术家自己、他工作的房间和他用来画这些圆球的纸．三个圆球II最后，就象本文开头一样我们用这幅埃舍尔的自我肖像结束本文，它表现了艺术家的工作，艺术家被反映在他的作品中．结论我们这里仅仅分析了埃舍尔在1972年去世之前留给我们的几百幅素描、平版画和木版画中的一小部分．关于他的作品的深度、意义和重要性还有很多可谈，或已被谈过．读者可以进一步更深入地去探索M.C.埃舍尔留下的丰富的遗产,并且再思考他从幻想的世界、数学的世界和我们现实的世界中抽象出的这些世界之间丰富的联系．。
埃舍尔的数学艺术 埃舍尔画作
埃舍尔的数学艺术20世纪的伟大艺术家埃舍尔(Escher)是个与众不同的画家，是个和我差不多的数学Geek。
他的所有艺术品都不是通常的画作，而是充满数学气息或者是现实中不可能的视觉错觉作品。
在所有艺术家中，我最欣赏的就是埃舍尔，甚至甚于达芬奇。
虽然埃舍尔的作品初期被当作异类来排斥，但是随着岁月流逝，越来越多的人狂热的喜爱起了他的作品，尤其是对数学有癖好的人。
这篇文章将带着大家看看埃舍尔是如何将数学与艺术完美结合。
给大家展示的第一幅画叫《天使与魔鬼》，是我见过的最强的艺术品。
这不是一个普通的圆，而是一个非欧几何空间，最早是由庞加莱（Poincaré）（又被翻译成彭加勒）提出了这个模型。
而填充整个非欧几何空间的，居然是有着强烈反差的白色天使和黑色魔鬼，真是绝了！下面这张仍然是借用非欧几何的图案：下面这张更绝，在另一种非欧几何空间中，蝴蝶们身上的颜色居然形成了一个一个的圆！不得不说，没有任何其他人能够让非欧几何如此直观而又艺术。
旋转的楼梯，永远也走不到顶峰：循环的瀑布，水流无止境：错位的楼梯，这梯子是怎么放的？这柱子是怎么放的？以上三幅画，无一例外的是现实生活中不可能出现的情景。
画中的每一个小部分却都是合情合理，组合起来就逾越了现实。
这般天马行空的想象力，其实凡人所为？正是这样，他的画才前期遭排斥，后世受追捧。
下面一幅画，是两只手互相画：为了纪念埃舍尔，Google主页上甚至曾经出现了这样一个Logo：平面密铺及其变性也是埃舍尔的拿手好戏。
平面密铺是直到20世纪才引起数学家关注的，它与群论有密切关系，实际应用也挺多，比如研究晶体材料。
下面三幅画都是埃舍尔在平面密铺的基础上加入了自己神奇的想象力绘制出来的：埃舍尔甚至对拓扑学也有所涉及，下面这幅画描绘的是一个青年站在走廊上欣赏画作，而他本身其实就在画作之中。
埃舍尔对画作进行了拓扑变换，就像在橡皮膜上画的画拉伸过了一样，就形成了视觉冲击力巨大的此画：最后展示一个拓扑学上的莫比乌斯带，这些可怜的蚂蚁正为人们阐释单侧曲面到底长什么模样：如果我们画的画能像埃舍尔那么漂亮该多好！。
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浅谈埃舍尔的数学艺术2011/01/01浅谈埃舍尔的数学艺术摘要：埃舍尔在世界艺术中占有独一无二的位置。
他的作品，主要是带有数学意味的作品无法归属于任何一家流派。
在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品，在他之后，迄今为止也没有艺术家追随他发现的道路。
接下来主要谈谈埃舍尔艺术作品中的数学特征。
Summary:M.C.Escher had occupies a unique position in art world. His art works —mainly with mathematical means art works —can’t belong to any one genre. Before him, never had artists to create similar works of him. After him, no artist follow he found ways until now. The next major talk, the mathematical characteristics in M.C.Escher’s art works.关键词：矛盾空间莫比乌斯带拓扑学极限思想空间思想镶嵌图形正文：埃舍尔（1989.06.17-1972）全名毛里茨·科内流斯·埃舍尔（Maurits Cornelius Escher）.出生于荷兰北部。
世界艺术史上“绝无仅有的”艺术家。
把自己称为一个"图形艺术家"，他专门从事于木版画和平版画。
早于1916年，他已经熟识油耗浮雕印刷术。
1917年，他在画家实地格纹的印刷公司制作蚀刻版画。
1919年，在贺林的建筑装饰艺术学院修读建筑学。
当时收美术老师熏陶，对装饰设计艺术产生浓厚兴趣，尤其是木刻版画。
自这个时候开始，埃舍尔的生活便与他的作品完美的结合。
随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，这样, 对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域："空间几何学"。
欣赏家王丽丽所描绘的:"埃舍尔的画很美丽,可是仔细研究,就会发现他的荒谬.而恰恰愈是荒谬,对我们的吸引力也就愈大.太阳神阿波罗的光环固然诱人,可是埃舍尔那种荒谬透顶的完美则更值得推崇.''看埃舍尔的画，感觉就是像在玩游戏，第一印象就是一副具有极强的装饰美感的画，精致，没有丝毫的缺陷。
然后，从画面的内容上看，有很多都违背了常理。
让你的头脑发晕，匪夷所思但富有趣味性。
发散你的理科思维。
从我所学的专业知识中（设计课中所提到的），有很多范画中都拿埃舍尔的画作为典型的例子，比如说矛盾空间，图形渐变，图形同构，联想，图形替换。
埃舍尔画画的形式涉及到：悖论，幻觉，双重意义，多面体，空间形状，镶嵌图形，空间逻辑，自我复制和信息科学。
埃舍尔缜密的思维在画面上的体现从一部分作品的名称来看，埃舍尔的画体现除了事物的相对和矛盾。
比如《水和天》《上行与下行》《凹与凸》《递增与递减》《有序和无序》《天使与恶魔》《相对论》……在一张纸上，将一组完全相对的事物完美的组合起来，没有丝毫的缺陷，体现出了埃舍尔思维的缜密和独特。
从精确、规则、秩序等特性中发现了美，创造了美。
埃舍尔的传记作家布鲁诺·恩斯特看着即将完成的《画廊》原稿，对画家抱怨说，画面左上角的柱子太难看了，埃舍尔听后沉思了片刻，然后表情严肃地说：“可你要知道，那根柱子只能那样，我经过了非常精密的计算才把它造出来，不会有别的可能！”这个事例完全体现的埃舍尔讲缜密的数学性思维应用的他的画面上。
我看《走廊》这幅画的第一感觉就是，这幅画的扭转部分非常到位，没有丝毫可以给别人的地方，精细，到位。
从目前的大众语境看，埃舍尔是一位艺术家。
但是，由于埃舍尔所思考的问题，以及他思考问题的方式，更接近于科学家而不是艺术家；所以毫不奇怪，他的作品首先为科学家所接受，是科学家发现了埃舍尔作品的价值和意义。
数学家、物理学家以及心理学家如侯世达一般各自从自己的角度解释埃舍尔，或者用埃舍尔说明自己的理论。
一位艺术家表达了“科学的思想”，并能为科学家所欣赏，是艺术家的荣耀。
所以，也经常会引发一个问题：他到底是艺术家还是科学家。
矛盾空间的应用关于矛盾空间这个问题，当时在上设计课上老师所展示出的作品都让同学们觉得饶有趣味，重点拿出埃舍尔的作品讲解。
《景观楼》《瀑布》等都是著名的矛盾空间的作品。
《景观楼》可以体现出矛盾空间的特点。
若完成画中的一個面，其他的面就不能成立。
看一幅画的一部分成立，另一部分成立，综合在一起就矛盾了。
具体分析一下《瀑布》中矛盾的地方。
1.水在封闭的环境下流动违背了能量守恒定律；2.水从下往上流动违背了重力势能；3.单看水流的道路（M型）是在一个平面中。
但是结合了两个塔又感觉是在三维空间里。
其实，《瀑布》中应用了几个彭罗斯三角形在加上两个个辅助的塔，形成了矛盾的空间。
二维空间和三维空间空间是一个集合，最基本的元素是点。
一维指线性的交通，二维指平面的区域环境，三维指太阳园的整体设计，四维当然是时间上的，指未来的可持续发展，简单的说五维就是由于四维运动产生。
埃舍尔作品中经常出现由二维平面转换成三维立体。
比如说一下两幅画都是空间转换的一种体现，其实也可以划分为矛盾空间的一种。
一只手正在描绘另一只快要画完的手。
而被画得这一只手也在纸上描画那一只手。
第二幅则是平面画纸中的壁画逐渐爬出纸张，爬到三维空间中，再爬回纸里面去。
一般来说，对于几维空间的思考，从来都是数学家物理学家思考的问题。
著名的英国剑桥大学应用数学及理论物理学系教授，当代最重要的广义相对论和宇宙论家霍金在《时间简史》对于宇宙学的完美演绎，对于思维空间的描述就体现了这一点。
当霍金的时间简史完美的展现四维世界而向更高一步探索时埃舍尔在他的艺术世界中是否已建起了五维的世界观？人们发现，埃舍尔30年前作品中的视觉模拟和今天的虚拟三维视像与数字方法是如此相像，而他的各种图像美学也几乎是今天电脑图像视觉的翻版，充满电子时代和中世纪智性的混合气息。
因此，有人说，埃舍尔的艺术是真正超越时代，深入自我理性的现代艺术。
也有人把他称为三维空间图画的鼻祖。
拓扑学和莫比乌斯带的应用拓扑学是数学领域的一个分支，是研究集合对象在连续变换下保持不变的性质学问，保持不变的性质就是拓扑性质。
研究集合图形连续改变形状是的特征和规律。
莫比乌斯带是最有趣的但侧面问题之一。
莫比乌斯带(Möbius strip, Möbius band)是一种单侧、不可定向的曲面。
因A.F.莫比乌斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)发现而得名。
当一条丝带被扭曲180度后，将两端连在一起，则丝带的正面和反面是相间地连接起来的。
得到的曲面就是麦比乌斯带。
关于麦比乌斯圈的单侧性，可如下直观地了解，如果给麦比乌斯圈着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把麦比乌斯圈两面均涂上颜色，即区分不出何是正面，何是反面。
对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。
单侧性又称不可定向性。
以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴麦比乌斯圈单侧曲面圆心点的指向，若能使相邻两点相伴的指向相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向。
所以麦比乌斯圈是不可定向的。
埃舍尔多次表达数学上有趣的茂比乌斯带。
但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易的，1963年的《红蚁》便是这种题材的作品，也是一件稀有的埃舍尔套色版画。
埃舍尔在他的著作中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。
在作品《红蚁》中，仔细看你会发现作品中的蚂蚁不是在相同的面上爬行而是在同一个面上爬行，可以一次性将丝带的每一个部分走完。
与此相同的还有作品《天鹅》《骑马的人》。
莫比乌斯带就像变魔术一样的神奇。
将莫比乌斯带沿纵向剪开，照理应得到两个圈儿，但是得到的是一个大的双侧曲面；而纵向将莫比乌斯带分成3等份，沿线剪开，得到一个小的莫比乌斯带与一个大的双侧双侧曲面相扣。
埃舍尔在他的艺术作品中不仅仅应用了完整的莫比乌斯带，还运用到了剪开的莫比乌斯带。
例如：《果皮》《婚姻的联结》《结》《鱼与球面螺旋》。
都是由剪开的莫比乌斯带组合而成的。
非常完美的将数学原理与美术结合镶嵌图形平面镶嵌图形让我想到了最简单的一个运用了镶嵌图形的物体—足球。
由五边形和六边形镶嵌而成组成一个球体。
还有地板上的三角形与正方形的镶嵌。
这些都只是简单的集合图形的镶嵌。
从埃舍尔的镶嵌图形的作品中我们看到的都是复杂的具象图形之间的完美的镶嵌，没有一点空隙。
《天使与恶魔》《鸟与鱼》都是镶嵌图形的经典之作。
本人最喜欢的镶嵌图形就是《天使与恶魔》，两个形象都如期之具象，完美的结合成一个圆圈，这两个形象都是彼此相对的，就像那句话：“天使与恶魔往往只有一步之遥。
”埃舍尔镶嵌图形是一种基于数学原理的图形绘画方式，大概可分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌等四种。
平面镶嵌图形，埃舍尔写到：“在数学领域，平面规则分割已经从理论上获得了充分的研究……数学家打开了一扇通向无限可能性的大门，但是他们自身并没有进入其中看看。
他们特殊的禀赋使他们对如何打开这扇门的方式更感兴趣，而对隐藏在其后的花园不感兴趣。
”埃舍尔正是从一个艺术家的角度，利用数学家的发现，发掘了美，创造了美。
他的平面规则分割作品令许多数学家吃惊。
他在已知的17种抽象平面分割群组形式上创造了许多具象镶嵌图案。
这种把抽象的几何形状赋予具象的形象其实是一种复杂的图形思维过程。
要完成具象镶嵌图案的创作，对各个图形的思考必须要非常严谨，每个镶嵌图形既要考虑它的镶嵌可能性，又要赋予具体的形象，而且这种镶嵌是四面无限延伸的，这就必须要具备很强的图形联想能力。
（参考文献）。
极限思想的应用看上面第三幅镶嵌图形中，黑白灰三种壁虎相互镶嵌在一起，不仅仅形成了一幅完美的镶嵌图形，并且替下了数学中无穷小的极限思想。
或许正是由于他对数学、建筑学和哲学的过深理解，阻碍了他与同道的交流，他在艺术界几乎总是特立独行，后无来者。
他甚至至今无法被归入20世纪艺术的任何一个流派。
但是，他却被众多的科学家视为知己。
他的版画曾被许多科学著作和杂志用作封面，1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史上罕见的。
也许，数学是他的艺术之魂，他没有故意表达的数学思想，而是在表达他自己的思想。
埃舍尔用他这种独特的理科思维结合他无与伦比的艺术禀赋，创作出广受欢迎的迷人作品。