浅谈埃舍尔的数学艺术
浅谈埃舍尔的数学艺术
一般来说,对于几维空间的思考，从来都是数学家物理学家思考的问题.著名的英国剑桥大学应用数学及理论物理学系教授，当代最重要的广义相对论和宇宙论家霍金在《时间简史》对于宇宙学的完美演绎,对于思维空间的描述就体现了这一点.当霍金的时间简史完美的展现四维世界而向更高一步探索时埃舍尔在他的艺术世界中是否已建起了五维的世界观？
埃舍尔多次表达数学上有趣的茂比乌斯带.但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易的，1963年的《红蚁》便是这种题材的作品，也是一件稀有的埃舍尔套色版画.埃舍尔在他的著作中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。在作品《红蚁》中，仔细看你会发现作品中的蚂蚁不是在相同的面上爬行而是在同一个面上爬行，可以一次性将丝带的每一个部分走完。与此相同的还有作品《天鹅》《骑马的人》。
极限思想的应用
看上面第三幅镶嵌图形中，黑白灰三种壁虎相互镶嵌在一起,不仅仅形成了一幅完美的镶嵌图形，并且替下了数学中无穷小的极限思想。
或许正是由于他对数学、建筑学和哲学的过深理解，阻碍了他与同道的交流,他在艺术界几乎总是特立独行，后无来者。他甚至至今无法被归入20世纪艺术的任何一个流派。但是，他却被众多的科学家视为知己。他的版画曾被许多科学著作和杂志用作封面，1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史上罕见的。
埃舍尔——一个画家的数学素养
埃舍尔——一个画家的数学素养1898年出生在荷兰的埃舍尔，自称是一个“图形艺术家”，他专门从事木版画和平版画。
他的家庭为他设想希望他将来能从事他父亲的建筑事业，但由于他对绘画和设计的偏爱，最终还是选择了从事图形艺术的职业。
1956年，他举办了他生平第一次重要的画展，这个画展得到了《时代》杂志的好评，使他获得了世界范围的名望。
在对他热情的赞美者中不乏有许多的数学家，他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。
由于这位荷兰艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而尤其令人赞叹。
随着他的创作的发展，他从自己读到的数学思想中获得了巨大的灵感，他经常直接运用平面几何和射影几何的结构，这使得他的作品中深刻地反映了非欧几何学的精髓。
他也被悖论和“不可能”的图形结构所迷住，创造了许多引人入胜的艺术成果，下面我们将看到这一点。
1.镶嵌图形规则的平面分割叫做“镶嵌”，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。
一般说来，构成一个镶嵌的封闭图形的基本单元是多边形或类似的常规形状。
然而，更使埃舍尔着迷的是那些不规则的、形状特别的平面镶嵌。
他用几何学中的反射、变换和旋转来获得更多的变化图案，他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。
这样的效果既是惊人的，又是美丽的。
下面选录了埃舍尔的“骑士平面镶嵌”和“黑白鸟的镶嵌”两幅平面镶嵌图（图1、图2)供读者欣赏。
其中，“骑士平面镶嵌”曾被诺贝尔奖获得者杨振宁作为他的名著《基本粒子小史》的封面，显示了物理大师的艺术底蕴。
图1呈现了某种怪异的对称现象（把白骑士看作图形，黑色骑士就成了“衬底”。
把衬底揭起来，翻转180°，就能够同原图形重叠)，而杨振宁、李政道所发现的，就是物理世界某种“对称”的破坏和缺损——在弱相互作用下的“宇称不守恒”。
图1而在黑白鸟的平面镶嵌里，我们看到的是向西北方向飞去的黑色的鸟和向西飞去的白色的鸟。
图22.多面体规则的几何体，例如多面体，对埃舍尔而言具有特殊的魅力。
【高中数学】数学与埃舍尔的艺术
【高中数学】数学与埃舍尔的艺术仅是人类的发明或创造。
它们本来就“是”如此；它们的存在完全不依赖于人类的智慧。
具有敏锐领悟能力的任何人所能做的事至多是发现它们的存在并认识它们而已。
──m.c.埃舍尔m.c.埃舍尔的确就是重新认识数学的。
用数学的眼光去观测他的许多工作，就是令人激动的事情。
我们中大多数人都熟识埃舍尔有关平面方形图案的美妙缔造。
他的工作远远比不上传统的平面方形图案。
他给与他所方形的对象以运动和生命，这从《变形》、《天和水》、《昼和夜》、《鱼和鳞》和《遭遇》等知名作品可以获得证明。
除了转换平面以外，被方形对象本身也抵挡转换。
此外，人们看见他对周期铺成结构中的位移、转动和散射的概念掌控得较好。
埃舍尔也利用拓扑学领域中的对象和概念。
麦比乌斯带在他的木刻《麦比乌斯带ⅰ》、《麦比乌斯带ⅱ》和《骑手》中起着关键作用。
他在他的作品《纽结》中精巧地作成三叶形纽结。
埃舍尔的《蛇》是介绍纽结理论主题的一件完美的艺术品，即使他可能并非有意这样做。
《画廊》和《阳台》是拓扑变形的奇妙例子。
这些版画看来几乎好像是印刷在经过奇妙的拓扑变形的橡皮薄板上的。
人们在埃舍尔的许多作品中辨认出的另外两个数学主题就是操作方式和混合佩。
在《爬虫》中，埃舍尔的二维蜥蜴诡异地变为了在现实三维空间中跳跃的生命。
相似的转换出现在《魔镜》和《循环》中。
他利用射影几何中的概念──投影、传统意义上的憋屈点和他自己的曲线憋屈点，并使《圣彼得的罗马》、《通天塔》和《低与高》中产生深度和维度的感觉。
圆、椭圆、螺线、多面体和其他立体是我们在埃舍尔作品中看到的几种几何对象。
例如，《三个球》创造出关于球形的三维错觉，虽然它是完全由圆和椭圆组成的。
在《星》中，我们看到各种不同的立体，包括柏拉图立体在内，而四面体则是《四面类星体》的中心所在。
在《重力》中高中化学，有着星形十二面体。
埃舍尔并使无穷大的概念养了出来。
不须要用什么话去给它下定义，他的作品就说明了它的意义。
埃舍尔——融数学思想于艺术设计的大师
埃舍尔——融数学思想于艺术设计的大师打开文本图片集埃舍尔1898年出生在荷兰的一个水利工程师家庭.在中學时代，他的成绩一般，只有绘画成绩相对好一点.1919年进入哈勒姆建筑与美术学院，在此期间他得到美术老师的鼓励，从此对平版画、木刻版画和雕版画产生了浓厚兴趣.正是出于对绘画的偏爱，最终埃舍尔走上了图形艺术设计的道路，埃舍尔的作品之所以引起数学家的兴趣是源于1954年在荷兰首都阿姆斯特丹召开的国际数学家大会.数学家彭罗斯在一次偶然的机会下参观了会场附近展出的埃舍尔画作，回到会场就成了埃舍尔作品的超级粉丝，在他的影响下，埃舍尔的作品首先在这群数学家中传播开来.彭罗斯在他花了整整八年才写成的数学物理学巨著《通往实在之路——宇宙法则的完全指南》中，就是用埃舍尔的画作来解释罗巴切夫空间的.无独有偶，杨振宁的《基本粒子发现简史》也用了埃舍尔的作品《骑士》作为封面（如图1）.虽然埃舍尔没有接受过中学数学以外的正式的数学训练，但他的创作中数学与艺术得到了完美的结合，数学的思想得到了非同寻常的形象化，他在数学的匀称、精准、规则、连续、循环等抽象的特性中发现了难以言喻的美，并结合了他那娴熟的技巧、天才的想象，创作出了广受欢迎、带着数学意味的作品，镶嵌是埃舍尔作品中的一个重要主题.在镶嵌中，埃舍尔找到了在有限的平面中表达极限的方法，作品《蝴蝶》中我们看到一个大而有限的圆周之中有无数多的蝴蝶正在不断地沿着边缘逐渐靠近圆中心，当蝴蝶越来越靠近圆中心时它们的数量会越来越多，但与此同时，它们会变得越来越小，最终消失在我们的眼际，令我们感到惊奇的是，虽然蝴蝶最终没能到达圆中心，但无限多消失的蝴蝶给我们留下了一个神奇而又充满想象的小圈，图的中央究竟是什么呢？埃舍尔汲取来自数学对称理论、射影几何、拓扑学等数学理论的灵感，创作了许多以极限、变换、易维、镶嵌等为主题风格独特的作品，这使得埃舍尔在艺术界特立独行.作为一位伟大的艺术家，埃舍尔对世界各地的众多艺术家和设计师都有着深刻的影响，日本著名平面设计师福田繁雄就是其中的典型.当代的艺术设计作品中也经常可以捕捉到埃舍尔元素，比如手表表盘设计、广告设计等等.从以上图形设计中我们可以看出埃舍尔的图形思想已经渗透到了设计的方方面面.埃舍尔图形设计中的数学美还将继续影响后世.。
埃舍尔：艺术世界里的数学家，数学家中的艺术天才
埃舍尔：艺术世界里的数学家，数学家中的艺术天才“I’m always wandering around inenigmas.”(我永远都在神秘中徘徊)——毛里茨·科内利斯·埃舍尔想象中的世界、不可能的楼梯、荒谬的走廊、神秘的图案等等都是用来形容荷兰艺术家毛里茨·科内利斯·埃舍尔（Maurits Cornelia Escher，1898—1972）的标志性语句。
如科学家一般的思考方式、作品中浓厚的数学特质，使其作品具有极高的辨识度。
○ 埃舍尔，1963年。
埃舍尔出生在一个科学之家，父亲是工程师，四个兄弟都是科学家，包括一名晶体学家，全家只有他一人从事艺术工作。
如今，极富盛名的埃舍尔，他的作品很长一段时间并不被艺术界看好，大部分批评家无法理解他的作品，或者再直白些说，他没有被当作艺术家。
不过由于独特的创作方式，吸引了很多数学家、晶体学家和物理学家的关注。
为埃舍尔写传记的布鲁诺·恩斯特（Bruno Ernst）就是位数学家。
许多艺术家觉得他的作品太过理性，少了艺术该有的感性。
连埃舍尔本人也说：我是要更多地去思考而不是去感受。
○ 《海豚》（Dolphins），1923年埃舍尔早年作品大量来自旅行见闻，还看不到太多数学的影子，主要体现了他扎实的版画功底。
○ 《巴别塔》（Tower of Babel），1928年埃舍尔的矛盾空间在这幅作品中初现雏形。
○ 欧洲旅行途中某地（Fiumara，Calabria），1930年埃舍尔第一次的作品回顾展直到70岁时才在荷兰举办。
波士顿美术博物馆（Museum of Fine Arts, Boston）资深策展人Baer曾说：“即使你没有在纯艺术的范畴内了解埃舍尔，仍可以很好地欣赏他的作品，这大概也是为什么艺术界很难意识到他的才华。
”制造“不可能的世界”在计算机三维图形出现之前，埃舍尔就已经在二维的纸面上，建立了自己一套与三维空间的联系方式。
埃舍尔美学
埃舍尔美学
埃舍尔美学是指荷兰数学家和艺术家M.C.埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）的艺术作品所展现出来的美学观点和风格。
埃舍尔的作品在数学、几何学和视觉错觉等领域展现出了极为深刻的思考和创意，同时也在艺术表现上达到了令人惊叹的高度。
埃舍尔的作品主要以图案和几何形状为主，常常结合着视觉和心理的错觉效果。
其作品的特点是以复杂的几何形状为基础，利用对称性、重复性和透视等手法，创造出令人眼花缭乱的视觉效果和错觉感受。
这些效果既可以是静态的，也可以是动态的，如旋转、镜像等。
埃舍尔的艺术作品被誉为“数学艺术”的代表作，对于近代艺术和数学的发展都产生了深远的影响。
他的艺术作品不仅展现出了数学的美学，也展现出了科学和艺术之间的内在联系和相互依存的关系。
总之，埃舍尔美学是一种独特的艺术表现形式，其内在的数学规则和几何原理的运用，以及对视觉和心理错觉效果的发挥，让人们在欣赏和探究其作品时不断发现新的魅力和趣味。
埃舍尔的数学的艺术
埃舍尔的数学的艺术无论这个问题从属于数学领域还是从属于艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题．M.C.埃舍尔介绍自画像埃舍尔把自己称为一个"图形艺术家"，他专门从事于木版画和平版画．1898年他出生在荷兰的Leeuwarden，全名叫Maurits Cornelis Escher．他的家庭设想他将来能跟随他的父亲从事建筑事业，但是他在学校里那可怜的成绩以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业．他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了他的第一次重要的画展,这个画展得到了《时代》杂志的好评,并且获得了世界范围的名望．在他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家,他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化．因为这个荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而这一点尤其令人赞叹．随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，下面我们将看到这一点．他也被悖论和"不可能"的图形结构所迷住，并且使用了罗杰·彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果．这样,对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域："空间几何学"和我们或许可以叫做的"空间逻辑学"．镶嵌图形豪华装饰的草图规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列．一般来说,构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或类似的常规形状,例如经常在地板上使用的方瓦．然而,埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论是常规的还是不规则的;并且对一种他称为metamorphoses（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，并且有时突破平面的自由．他的兴趣是从1936年开始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了当地使用的瓦的图案．他花了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些"是我所遇到的最丰富的灵感资源"，1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道："在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了...，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见,它不是．数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域．从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园．"无论这对数学家是否公平,有一点是真实的--他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌．但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状．埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案．他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状．这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形．这样做的效果既是惊人的，又是美丽的．鸟分割的平面蜥蜴循环逐步展开1在"蜥蜴"里，镶嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃离二维平面的束缚到桌面放风,然后又重新陷入原来的图案．埃舍尔在许多六边形的镶嵌图形中使用了这个图案模式．在"逐步展开1"中，可以追溯到这个方形的镶嵌图形从边缘到中间的不断扭曲转化．多面体四个规则的几何体规则的几何体,例如多面体，对埃舍尔而言具有特殊的魅力．他把它们作为许多作品的主题，并且在许多作品中作为第二重要的元素出现．仅仅只有五种多面体被称为理想的多面体．四面体有四个三角形的表面；正方体有六个正方形的表面；八面体有八个三角形的表面；十二面体有十二个五边形的表面；而二十面体有二十个三角形的表面．在木版画"四个常规的几何体"中，埃舍尔把理想多面体中的四个匀称地交叉了，并且使它们呈半透明状以便每个都可以透过其它得以辨认，请看漏了哪个？有序和无序有许多有趣的几何体可以通过理想几何体的交叉和星形化来获得，即几何体的每一面都由表面为三角形的金字塔形来替代，通过这种变换，多面体转变成了一个尖锐的,三维的星形几何体．在埃舍尔的作品"有序和无序"中我们可以发现.一个美丽的星形十二面体，星形的轮廓隐现在一个水晶球中，严谨构造的美丽与在桌子上混乱摆放的其他的杂物形成了鲜明的对比．注意一下还可以猜测到光的来源，球面上反射出左上方有一个明亮的窗口．星交叉的几何体也常常出现在埃舍尔的作品中,其中最有趣的是一幅木版画"星"．这是一个由八面体、四面体、立方体和其他东西交叉构成的几何体，我们不妨这样认为，如果埃舍尔简单地画一些数学的形状并且把它们放在一起，我们也许永远不可能听说他或他的作品．相反,通过将变色龙放置在多面体内并向我们嘲笑和恐吓的构思，埃舍尔给了我们一种奇异的视觉刺激，使我们对他的画刮目相看．显然，数学家们对埃舍尔的作品颇为赞赏的另外的原因就是所有伟大的数学发现背后都具有与此相同的感性和创意．空间的形状三个方向交叉的平面在埃舍尔用数学观点完成的所有重要的作品中，最重要是处理空间性质的那些．他的木版画"三个方向交叉的平面"是评论这些作品的好例子,因为它显示了艺术家对空间维度的关心，以及用二维的方式表现三维的能力．在下一节我们将看到，埃舍尔经常利用了后者的特征来获得令人震惊的视觉效果．圆形限制III受一位名叫H.S.M Coxeter的数学家在一本书中绘画的启发,埃舍尔创造了许多美丽的双曲线空间的作品，例如木版画"圆形限制III"．这是非欧几里德几何学的二种空间之一，在埃舍尔的作品中它的原型实际上源自法国数学家Poincaré．要得到这个空间的感觉，必须想象你实际上是在图像的内部．当你从它的中心走向图像的边缘，你会象图像里的鱼一样缩小,从而到达你移动后实际的位置，这似乎是无限度的，而实际上你仍然在这个双曲线空间的内部，你必须走无限的距离才能到达欧几里德空间的边缘，这一点确实不是显而易见的．然而,如果你能仔细观察的话，你还可以注意到一些其他的事情,例如所有类似的三角形都一样大小，以及你能画没有直边却有四个直角的图形，这就是说，这个空间没有任何正方形或矩形．这确实是一个奇怪的地方！蛇更不平常的是木版画"蛇"所表现的空间，在缠绕和缩小的环的表现下，空间既向边界也向中心延伸并且无穷无尽．如果你在这一空间里，你将是什么模样？莫比乌斯带II除了欧几里德几何学和非欧几里德几何学，埃舍尔对拓扑学的视觉效果也很感兴趣,拓扑学是在他艺术创作的鼎盛期发展起来的一个数学分支．拓扑学关注空间那些扭曲后依然不变的性质，这种扭曲可以是拉长或弯曲，但不是撕裂或折断．拓扑学家们忙于向世界展示那些奇怪的物体，莫比乌斯带也许是最主要的例子，埃舍尔利用它创作了许多作品．它有一个令人感兴趣的性质--它只有一条边和一个面．这样,如果你在"莫比乌斯带II"上跟踪蚂蚁的路径,你将发现它们不是在相反的面上走，而是都走在一个面上．制作一个莫比乌斯带很容易;只要用剪刀把纸剪成条状，将它扭曲180度,然后用胶水或胶带粘住两头就可以了．如果你试图把这条东西纵向的剪成两半，请你预想一下会发生什么情况？艺术画廊另外一幅很著名的平版画,叫做"艺术画廊"，它探索了空间逻辑与拓扑的性质．一个年轻人在一个艺术画廊正看着海边小镇的一角，在船坞边有一家小店，在店里面是一个艺术画廊及一个年轻人--他正朝着海边小镇的一角望去...但是等一下！发生了什么？埃舍尔的所有作品都值得细细观赏，但是这一次尤其特别．某种程度上,埃舍尔把空间由二维变成了三维,使人感觉到那个年轻人同时既在画像内又在画像外面．达到这样效果的秘密在艺术家创作这幅平版画的格子草图中有所显现注意格子的边框连续地按顺时针方向排列这一规律，并且特别注意这个技巧的关键：在中间的一个洞．一个数学家将这叫做奇异点，一个空间的结构不再保持完整的地方，要将整个空间编织成一个无洞的整体是非常困难的，埃舍尔也宁可保持这种现状，并且把他的商标initials放在了奇异点的中心．空间的逻辑有带子的立方体这里所说的空间的逻辑是指物理中的物体之间的那些空间的必要的关系,在产生违背视觉的悖论时，被叫做视错觉．所有的艺术家都关心空间的逻辑，而且许多艺术家深入地探索了它的规律，例如毕加索．埃舍尔知道：立体几何学决定了空间的逻辑，同样地，空间的逻辑也经常决定其自身的立体几何学．他经常使用的空间逻辑的特征之一是展示在凹面和凸面物体上的光和阴影．在平版画"有带子的立方体"中，带子上的凹凸是我们觉察它们怎样与立方体缠绕在一起的视觉线索．然而,如果我们相信我们的眼睛，那么我们不能相信这带子！高和低埃舍尔关心的另一个主要方面是透视．在任何透视画中，趋向消失的点被选择用来代表无穷远．正是由于Alberti、Desargues以及其他一些人在文艺复兴时期对透视和趋向无限的点的研究直接导致了现代射影几何学的出现．通过一些不平常地消失的点的引导并迫使一幅作品的基本元素去服从于它们，埃舍尔能够使作品"上和下"、"高和低"表现的场景取决于观众观察它的目光如何．在他的名为"高和低"的透视作品中，艺术家总共设置了五个消失点：上方的左边和右边，底部的左方和右边，以及中心．其结果是：在作品的下半部观众是在往上看,但是在作品的上半部，观众是在朝下看．为了强调他所取得的成功，埃舍尔把上半部和下半部合成了一幅完整的作品．不可能的三角形瀑布这种另类的"不可能的绘画"用二维的图形表示并构造一个三维的物体，它们主要依靠人的大脑通过视觉暗示来理解，埃舍尔创作了许多这种表现反常规图形的作品．其中最吸引人的一个创意源于一个叫罗杰·彭罗斯的数学家所提出的不可能的三角形．在这幅名叫"瀑布"的平版画中，两个彭罗斯三角形被结合成一个不可能的形状．一个人如果明白空间的逻辑对如此的一个构造就必然会觉得不可思议：瀑布是一个封闭系统,但它却能使作坊车轮象一台永动机一样连续地转动，这就违背了能量守衡的定律．（请注意一下在塔上交叉的立方体和八面体．）自我复制和信息科学互绘的双手我们对埃舍尔的艺术所作的最后研究包括了其艺术与信息科学、人工智能的关系，这在先前的研究中被忽略了，但是这一点的重要性被道格拉斯·R·霍夫施塔特细心的发现了，并写在他赢得1980普利策奖的《Gödel，Escher，Bach：一条永恒的金带》一书中．埃舍尔表现的一个核心概念是自我复制--这被许多人认为已经逼近了大脑知觉这个难题的核心，并且至今计算机还不具备成功地模仿人类大脑处理信息能力．平版画"互绘的双手"和木版画"鱼和规模"用不同的方法表现了这个思想．前者的自我复制是直接的，概念化的．双手互绘对方，互绘的方式就是意识思考和构建自己的方式，神奇的是，在这里自我和自我复制是连结在一起的，也是相互同等的．鱼和规模另一方面,在"鱼和规模"这幅画中，自我复制具有更大的功能;人们也许宁愿称之为自我相似．这样木板画描述的就不仅是鱼，而是所有的有机体．因为，尽管从物理角度来说，我们不是由微小的自我复制建造起来的,但是，从信息理论角度说，我们的确是以这样一种方式建立起来的，因为我们身体上的每一个细胞都以DNA的形式携带了我们个体的完整信息．在更深层次的水平上，自我复制是一种我们的认知世界互相反映和互相交错的结果．我们每一个人都像一本书里的正在读他（或她）自己的故事的人物，或者像反映它自身风景的一面镜子那样．许多埃舍尔的作品都展现了相互交错的世界这个主题,我们在这里只举一个这样例子．正如通常埃舍尔对这个想法的处理那样,平版画"三个圆球II"利用了球形镜面的反射原理．这里,正如Hofstatder提到的那样"世界的每个部分似乎都包含它，也似乎都被包含进去了，...."．这些球体彼此相互反射，折射出艺术家自己、他工作的房间和他用来画这些圆球的纸．三个圆球II最后，就象本文开头一样我们用这幅埃舍尔的自我肖像结束本文，它表现了艺术家的工作，艺术家被反映在他的作品中．结论我们这里仅仅分析了埃舍尔在1972年去世之前留给我们的几百幅素描、平版画和木版画中的一小部分．关于他的作品的深度、意义和重要性还有很多可谈，或已被谈过．读者可以进一步更深入地去探索M.C.埃舍尔留下的丰富的遗产,并且再思考他从幻想的世界、数学的世界和我们现实的世界中抽象出的这些世界之间丰富的联系．。
埃舍尔的数学艺术 埃舍尔画作
埃舍尔的数学艺术20世纪的伟大艺术家埃舍尔(Escher)是个与众不同的画家，是个和我差不多的数学Geek。
他的所有艺术品都不是通常的画作，而是充满数学气息或者是现实中不可能的视觉错觉作品。
在所有艺术家中，我最欣赏的就是埃舍尔，甚至甚于达芬奇。
虽然埃舍尔的作品初期被当作异类来排斥，但是随着岁月流逝，越来越多的人狂热的喜爱起了他的作品，尤其是对数学有癖好的人。
这篇文章将带着大家看看埃舍尔是如何将数学与艺术完美结合。
给大家展示的第一幅画叫《天使与魔鬼》，是我见过的最强的艺术品。
这不是一个普通的圆，而是一个非欧几何空间，最早是由庞加莱（Poincaré）（又被翻译成彭加勒）提出了这个模型。
而填充整个非欧几何空间的，居然是有着强烈反差的白色天使和黑色魔鬼，真是绝了！下面这张仍然是借用非欧几何的图案：下面这张更绝，在另一种非欧几何空间中，蝴蝶们身上的颜色居然形成了一个一个的圆！不得不说，没有任何其他人能够让非欧几何如此直观而又艺术。
旋转的楼梯，永远也走不到顶峰：循环的瀑布，水流无止境：错位的楼梯，这梯子是怎么放的？这柱子是怎么放的？以上三幅画，无一例外的是现实生活中不可能出现的情景。
画中的每一个小部分却都是合情合理，组合起来就逾越了现实。
这般天马行空的想象力，其实凡人所为？正是这样，他的画才前期遭排斥，后世受追捧。
下面一幅画，是两只手互相画：为了纪念埃舍尔，Google主页上甚至曾经出现了这样一个Logo：平面密铺及其变性也是埃舍尔的拿手好戏。
平面密铺是直到20世纪才引起数学家关注的，它与群论有密切关系，实际应用也挺多，比如研究晶体材料。
下面三幅画都是埃舍尔在平面密铺的基础上加入了自己神奇的想象力绘制出来的：埃舍尔甚至对拓扑学也有所涉及，下面这幅画描绘的是一个青年站在走廊上欣赏画作，而他本身其实就在画作之中。
埃舍尔对画作进行了拓扑变换，就像在橡皮膜上画的画拉伸过了一样，就形成了视觉冲击力巨大的此画：最后展示一个拓扑学上的莫比乌斯带，这些可怜的蚂蚁正为人们阐释单侧曲面到底长什么模样：如果我们画的画能像埃舍尔那么漂亮该多好！。
埃舍尔数学启发
埃舍尔数学启发埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）是荷兰的一位著名的画家、图像艺术家，他以非常出色的数学图像艺术作品而著名，他不仅善于画出“视觉谬误”和平面几何图形的组合，也能成功地把一个幻想世界的三维物体画在平面上。
他的作品被广泛地用于艺术、设计、科学、教育等领域，成为各行各业中的人们的灵感来源。
下面我将从不同的角度深入分析埃舍尔数学启发的艺术思想。
一、埃舍尔数学启发的艺术思想的基础1、艺术和数学的和谐配合。
许多艺术家和数学家通过各种途径来创建新的艺术形式。
埃舍尔作为一名数学家和艺术家，他创作的艺术作品中具有数学元素。
他利用几何形式、点、线、面、体等几何图形和数学公理、规则、性质等数学元素构建出很多美妙的杰作。
他的作品成为数学教育中一个生动的教材，也受到艺术迷的喜爱。
2、科学哲学的启示。
知觉、认知、思想和文化等主题，是埃舍尔探究世界的核心部分，他运用不同艺术形式表达自己的观念。
他的艺术作品十分富有哲学、科学、文化等方面的内容，有着深厚的思想内涵和丰富的文化背景。
二、埃舍尔数学启发的艺术思想的表现1、绘画艺术。
埃舍尔的绘画艺术的最大特点是视觉谬误和透视观念的运用。
他对几何形式和色彩运用独出心裁，形成了他独特的风格。
2、图像艺术。
埃舍尔的图像艺术主要是以几何形式为基础的，绘画构图的几何原理和规则都在其中。
他把平面上的几何图形组合，创造出异想天开的三维世界。
三、埃舍尔数学启发的艺术思想的应用1、科学和技术。
在科学和技术领域，埃舍尔的数学思维和艺术作品得到了广泛的应用。
比如在计算机绘图、工业设计和建筑设计等领域，埃舍尔的数学艺术帮助设计师快速地构建各种几何形状，并实现三维图像上的变换和模拟。
2、教育。
数学启发艺术思维，数学和艺术相互促进，大大增强了学生的兴趣和动力。
埃舍尔数学艺术被广泛地应用于教育领域。
在这种方法下，学生们可以使用艺术作品来理解数学概念和规则，激发他们的探索精神和创造力。
埃舍尔的魔幻图形及其数学原理
埃舍尔的魔幻图形及其数学原理论文导读：摩里茨·科奈里斯·埃舍尔（M.C.Escher）。
从事图形艺术的创作。
他们的世界都是这幅作品中的全部空间。
空间，埃舍尔的魔幻图形及其数学原理。
关键词：埃舍尔，图形，空间，数学原理摩里茨·科奈里斯·埃舍尔（M.C.Escher），于1898年出生在荷兰，从事图形艺术的创作。
硕士论文，空间。
许多数学家热情赞美埃舍尔的作品, 他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。
1951年2月，马可·塞韦林在期刊《工作室》上发表了一篇关于埃舍尔作品的文章，他认为埃舍尔是一位有独创性的艺术家，埃舍尔能够以一种最震撼人心的方式描绘事物的数学特性。
埃舍尔被众多的科学家视为知己。
杨振宁的《基本粒子发现简史》就是以埃舍尔的《骑士》作为封面的。
1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史和数学史上是极为罕见的。
一、不可能存在的世界埃舍尔曾坦率地声明，就数学而言，他完全是个门外汉。
埃舍尔不喜欢抽象的概念，不过，只要抽象的概念和具体的现实能够有一点联系，他就能够迅速地将概念以某种具体的形式表现出来。
50年代至60年代，埃舍尔开始利用人的视觉错误，利用灭点的相对性，让他的作品在三维空间里展现出来。
他的作品骤看起来没有什么奇怪的地方，但其实当中蕴藏的幻觉事物是最引人入胜的。
参观者常常把他们认识的真实世界与埃舍尔的虚构幻象相混淆，而产生迷惑。
画一组直线交与一点，这个点可以代表很多东西包括天顶天底和地平点等等，而究竟是什么点，则完全取决于观者看问题的角度。
在埃舍尔1953年制作的石版画《相对性》中，在作品的外围有三个灭点，它们形成了一个边长为两米的等腰三角形，每个灭点都承担着三个不同的功能。
在这幅作品中，三个完全不同的世界构成了一个统一的整体，作品中出现的十六个小人可以分成三组，每组小人都生活在自己的世界里。
圆极限埃舍尔
圆极限埃舍尔
《圆极限埃舍尔》是荷兰艺术家M.C.埃舍尔的一幅著名作品，它展示了一个无限重复的圆形图案，给人一种深奥的感觉。
在这幅作品中，埃舍尔将圆形图案无限地重复在一个封闭的空间里，这种视觉效果给人一种无限延伸的感觉。
在整个作品中，圆形图案似乎没有开始和结束，给观者带来了一种深深的迷惑感。
除了这种无限延伸的视觉效果外，作品中的圆形图案还带有一种几何美感。
埃舍尔精准地使用了圆形和线条，创造出了一种完美的几何图案，给人一种宁静而和谐的感觉。
通过这幅作品，《圆极限埃舍尔》呈现出了埃舍尔独特的艺术风格，他擅长用几何图案和视错觉来挑战观者的认知。
这幅作品让人感受到了艺术与几何学的奇妙结合，让人陶醉其中。
总的来说，《圆极限埃舍尔》是一幅充满深意的作品，它展现了埃舍尔在艺术和几何领域的独特见解。
这幅作品不仅具有震撼人心的视觉效果，还蕴含着深厚的哲学意味，给人留下了深刻的印象。
埃舍尔作品中的数学
埃舍尔作品中的数学埃舍尔作品中的数学埃舍尔（M.C. Escher）是20世纪最具创意和影响力的艺术家之一。
他以其独特的视觉效果和迷人的图画闻名于世。
许多人可能不知道的是，埃舍尔的作品中融入了丰富的数学元素。
这些数学概念和几何原理给他的艺术创作增添了深度和观赏价值。
埃舍尔将艺术和数学完美结合，形成了独特的风格。
他熟练运用了几何学中许多概念，例如对称性、无限循环和透视。
这些数学原理不仅赋予了他的作品以视觉上的吸引力，同时也使得观者在欣赏之余能够感受到一种美妙的智力刺激。
一个经典的例子是埃舍尔的《无尽楼梯》。
这幅画显示了一组楼梯，看起来像是在倒着走，不论上下走了多少步，都无法到达终点。
这种视觉效果被称为“无限循环”，正是数学中著名的“无限递归”概念的应用。
这不仅仅是艺术上的奇思妙想，更是埃舍尔对无限概念的深入表达。
另一个令人着迷的作品是《蜥蜴画廊》。
在这个画廊里，蜥蜴们爬到了墙上，却发现墙上的画中也有蜥蜴在爬行。
这种视觉效果被称为“自指”，可以追溯到数学中的“自引用”概念。
埃舍尔通过这种方式，创造了一种无限反射的视觉效果，使观者产生了一种奇妙的错觉。
埃舍尔的另一个经典作品是《鸟兽花园》。
这幅画展现了一些鸟的形象，它们变形成人的形状并相互交织在一起。
这种几何形变被称为“旋转对称”。
埃舍尔的技巧在于将各种形状和图案以无缝的方式结合起来，创造出令人惊叹的视觉效果。
除了这些例子之外，埃舍尔的作品中还有很多其他数学原理的应用。
例如，他经常使用平面镶嵌来构建具有平衡和对称的复杂图形。
他还善于使用透视效果来创造空间感，并以精确的比例来强调图形之间的关系。
总的来说，埃舍尔的作品不仅仅是艺术上的杰作，更是数学和几何学的奇妙结合。
他的作品向世人展示了数学在艺术中的无限可能性，同时也向人们展示了数学的美妙和智力的魅力。
通过埃舍尔的作品，我们可以欣赏到数学所带来的无穷乐趣，并对数学产生一种崇高的兴趣。
无论是对艺术还是数学有兴趣的人，欣赏埃舍尔的作品都是一种难忘的体验。
埃舍尔创作理念
埃舍尔创作理念埃舍尔的创作理念埃舍尔，全名M.C.埃舍尔，是20世纪的一位独特艺术家，他的作品充满了数学、几何与哲学的深度思考。
对于埃舍尔而言，创作不仅仅是画笔与颜料的交织，更是思维与观念的碰撞。
1. 数学与艺术的融合埃舍尔坚信，数学是宇宙的语言，而艺术则是人类情感的表达。
在他的作品中，我们可以看到数学图形、几何结构与艺术创意的完美结合。
例如，他的作品中经常出现对称、递归、变换等数学概念，但这些概念又被他巧妙地转化为视觉上的震撼与美感。
2. 空间的探索对于空间的探索也是埃舍尔创作理念中的一个核心部分。
他经常在作品中玩弄视角、深度和空间的关系，使得观者在欣赏时产生错觉和迷惑。
这种对空间的探索不仅展示了他的高超技巧，也引发了观者对于现实与幻觉、对于空间的本质的思考。
3. 哲学思考埃舍尔的作品常常带有哲学的意味。
他通过作品提出了许多有关存在、真实、幻觉等哲学问题，引发人们的深思。
例如，他的《上升与下降》系列作品，通过无尽的楼梯与循环的图案，让人们思考生命的循环、时间的流逝与宇宙的无穷。
4. 对称与递归对称与递归是埃舍尔作品中的两大要素。
他相信，对称代表了平衡与和谐，而递归则是无穷与循环的象征。
这两大要素的结合，不仅为他的作品带来了独特的视觉魅力，也使得他的作品具有了深厚的哲学内涵。
5. 挑战传统艺术界限埃舍尔的作品挑战了传统艺术的界限。
他并不满足于仅仅描绘现实或表达情感，而是希望通过作品引发人们更深层次的思考。
他的创作理念跨越了艺术、数学、哲学等多个领域，使得他的作品具有了独特的跨学科价值。
综上所述，埃舍尔的创作理念是独特而深远的。
他通过将数学、哲学与艺术巧妙地融合，为我们呈现了一个充满奇幻与思考的世界。
在这个世界里，我们不仅可以欣赏到视觉上的美感，更可以体验到思维的碰撞与哲学的深度。
他的作品不仅是艺术的杰作，更是人类思考与创新的结晶。
艺术家埃舍尔的数学之美
艺术家埃舍尔的数学之美机器人2025本期导读第一版：关于自动化/控制的学习经历和经验分享第二版：Edges2cats：这款在线机器学习工具能将任何涂鸦变成猫咪谷歌起诉Uber盗窃无人驾驶技术谷歌推出Android语音助手Assistant高通发布新款VR头显开发套件，VR一体机时代来了第三版：艺术家埃舍尔的数学之美第四版：影响人类文明的11个数学方程式除了芭蕾、绘画外，R&Bow还将建构思维数学作为美商教育的重要课程，这可绝非仅仅为了让孩子在应试教育中得到好成绩，而是我们认为，数学思维本身就是艺术思维的重要组成部分，更是让孩子懂得如何将天马行空的想法有逻辑地组织在一起、将想象力和创造力发挥最大作用的重要因素。
今天R&Bow就和你一起探索艺术家埃舍尔绘画里的数学奥妙。
摩里茨·科奈里斯·埃舍尔(M·C·Escher，1898～1972)，世界最著名的视错觉画家，这位荷兰版画大师是独一无二的，在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品，在他之后，迄今为止也没有艺术家追随他发现的道路——恐怕今后也很难再有。
埃舍尔的创作笔记《不规则图案的平面规则分割》等，证明了他和达·芬奇一样，都是致力于对艺术创作的基本原理做彻底探究的艺术家。
埃舍尔写道：“在数学领域，平面规则分割已经从理论上获得了充分的研究……数学家打开了一扇通向无限可能性的大门，但是他们自身并没有进入其中看看，他们特殊的禀赋使他们对如何打开这扇门的方式更感兴趣，而对隐藏在其后的花园不感兴趣。
”但是这个“花园”让埃舍尔迷恋终生。
他曾说：“当我开始做一个东西的时候，我就想，我正在创作全世界最美的东西。
如果那件东西做得不错，我就会坐在那儿，整个晚上含情脉脉地盯着它。
”↑《茂比乌斯带II》，埃舍尔，1963年石版画埃舍尔的作品尽显科学的造型之美。
他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了第一次重要的画展, 这个画展得到了《时代》杂志的好评, 并且获得了世界范围的名望。
埃舍尔的“不可能”的画
埃舍尔的“不可能”的画荷兰艺术家埃舍尔是20世纪最具有创造性的艺术家之一，他创造了大量的几何结构、有趣的图案、无尽的循环。
在他的作品中最著名的是他的“不可能”的画，这些画展示了一些看似不可能的形式、关系和空间，从而引起了人们的兴趣和争议。
在这篇文章中，我们将探讨埃舍尔的“不可能”的画中的一些关键元素和技术，并解释它们是如何工作的。
1. 循环性埃舍尔的许多作品都以循环作为主题，这些循环可以是嵌套形状、延伸线条或者重复的图案。
在循环中，他常出现“莫比乌斯环”这一重要的数学概念，它是一个只有一个侧面和一个边界的曲面。
这种循环性使得我们的眼睛感到混乱和困惑，因为我们难以识别图形或形状的起点和终点。
这种方式创造了一种视觉上的无限，使得我们的眼睛难以停止、难以离开画面。
2. 透视性埃舍尔另一个经常使用的元素是透视，他的绘画中经常出现的几何形状和精细的线条，使得我们眼睛感到一种深度、立体感。
他会巧妙地使用透视和和照明，通过调整视角和空间来创造一些看似不可能的形状。
这些形状虽然不真实，但是却具有引人注目的视觉效果。
3. 反射在一些作品中，埃舍尔将一些形状和镜面反射相结合，创造出了一些看似不可能的形态。
为了达到这个效果，他会使用对称图案，并将它们转换成各种形状。
这样，我们就可以同时看到反射的形式和原图之间的相似性，同时，它们之间的微妙差异也会让我们感到混淆。
4. 无限重复埃舍尔在“不可能”的画中经常使用一种图案，这种图案无限重复，它的组成非常简单，但是却非常吸引人。
这些图案通过各种方式来摆脱原始的限制，创造出各种看似不可能的形态。
通过无限重复，这些画创造了一种视觉上的混乱，而这种混乱实际上是有规律的。
这种无限重复最终会导致使我们的大脑感到混乱和困惑。
5. 独特的视角埃舍尔的“不可能”的画刻意让人们视角产生困惑，使得我们难以分类或理解画面中的事物。
例如，他会使用弯曲的墙、斜向的楼梯、倾斜的窗户来干扰我们的视觉，创造出一种破坏常规的视觉。
埃舍尔作品中数学图像运用及其哲学内涵研究
埃舍尔作品中数学图像运用及其哲学内涵研究在艺术的长河中，莫里茨·科内利斯·埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）以其独特而令人惊叹的作品独树一帜。
他巧妙地将数学图像融入艺术创作，赋予作品深刻的哲学内涵，引发了人们对空间、秩序和无限的思考。
埃舍尔的作品常常呈现出复杂而精确的几何结构，这并非偶然。
他对数学的热爱和深刻理解使他能够运用各种数学概念和图像，创造出看似不可能却又令人着迷的视觉效果。
数学中的对称概念在埃舍尔的作品中得到了精彩的展现。
他通过精确的构图和巧妙的线条运用，创造出具有完美对称性的图案。
比如在《反射球》中，球体的反射和对称不仅在视觉上给人以强烈的冲击，更让我们感受到了对称之美所蕴含的秩序和平衡。
这种对称不仅仅是形式上的美，更暗示了宇宙中某种潜在的规律和秩序，仿佛在告诉我们，世界在某种程度上是遵循着一定的对称原则运行的。
而在数学的镶嵌图案方面，埃舍尔同样有着非凡的表现。
他的作品《蜥蜴》就运用了镶嵌的手法，将不同形状的蜥蜴巧妙地组合在一起，形成了一个无缝的整体。
这种镶嵌图案的运用不仅展示了数学的严谨性和规律性，同时也让我们思考个体与整体之间的关系。
每一只蜥蜴既是独特的个体，又在整体中扮演着不可或缺的角色，这仿佛在隐喻着人类社会中个体与集体的相互依存。
除了对称和镶嵌，埃舍尔还对拓扑学有着深入的探索和运用。
在作品《莫比乌斯带》中，他通过对这个特殊的拓扑结构的描绘，打破了我们对常规空间的认知。
原本二维的平面似乎在莫比乌斯带上变得模糊，空间的界限被重新定义。
这让我们不禁思考，我们所认为的“真实”空间是否只是一种局限的认知，而在更广阔的维度中，存在着无数超乎想象的可能性。
埃舍尔作品中的数学图像运用，不仅仅是一种艺术表现手法，更蕴含着深刻的哲学思考。
他的作品常常让我们对现实与幻觉之间的界限产生疑惑。
比如在《相对性》中，不同角度的楼梯和人物似乎都在合理地存在着，但又相互矛盾。
埃舍尔的神奇艺术，把数学玩弄于股掌之间的骚年
埃舍尔的神奇艺术，把数学玩弄于股掌之间的骚年今天秒总来介绍一个大牛M.C.埃舍尔首先他老人家长这样用一句话形容埃舍尔就是【埃舍尔=艺术+数学】这是他的一幅代表作简~直~吊~炸~天这张图从头到尾撸了一遍之后我默默地献出了膝盖以后都要跪着走路了埃舍尔的这种作品叫做“镶嵌画”也就是镶嵌在地板上或墙壁上的那种拼图进行无缝拼接要知道以前的人只想得到用几何图形做镶嵌画家里钱多的话可能会做得更复杂一些：不过埃舍尔企图绘制出超级无敌宇宙第一复杂的镶嵌画譬如他绘制了这幅“羊驼”看着这些天马行空的画面眼花缭乱惊讶于这种巧妙的拼接居然具象的马的造型也能作为拼图我的小心肝受到一百点的暴击其实埃舍尔运用了最基本的数学原理来产生图像看完之后我狗眼已瞎埃舍尔将简单的正方形经过剪切和平移转变成了一个复杂的镶嵌图形“简单”是“复杂”的基础数学与艺术完美结合其实你可以拿一张普通的正方形便条贴亲手做一个诡异的镶嵌画实在太简单了以下是秒总的绝作个人认为美到爆表！！不服来战！！除此之外埃舍尔还创作了更更更复杂的图形“一群猥琐的蜥蜴”使用了正六边形为基础进行旋转运动埃舍尔！感觉你每一个脑细胞都在跳广场舞自嗨地不要不要哈！！不过老铁的智商还没完呢下面这张是用平行四边形为基础通过某种不可描述的数学运动创作而成别问我要GIF动态图别问我怎么作出来的你猜！！然后留言给我哦亲！！还有更加巧妙的结合天衣无缝的一群鸟哦不一~~坨~~鸟别看这图画得很形象背后都是一整套深奥抽象的数学模型譬如这幅由无数条鱼组成的圆利用的是数学里的“分形学”“微积分”“极限”等数学理论具体解释可以看秒总的另一篇文章这幅画里所要表现的是无数条鱼但是因为越往外围鱼越小所以“无限”被锁定在一个圆圈里了否则如果真有无数条鱼埃舍尔估计早就画得累死了下面这一幅画带了些宗教思想天使与恶魔是相辅相成的正邪对立却又融为一体这一幅涉及种族话题黑人与白人这一幅更流弊天上的鸟和水里的鱼渐变过渡反应了当时的物种演化理论达尔文的死忠粉昼夜更替代表二元论老子阴阳学说的完美图式这幅挤满了各种东西看完之后秒总的脑洞闲不住寂寞将它变成了一个游戏一个埃舍尔版的“俄罗斯方块”觉得真是毫无违和感妥妥的其实埃舍尔的很多作品都可以变成游戏这是真的【总结】————————埃舍尔研究的镶嵌画是平面密铺图形他用精密的图形和构造展示数学的严谨但是却又用另一系列作品展示数学的不严谨也就是悖论的一面下一集秒总接着给大家叨叨~~~先别离开允许我厚颜无耻地求你点赞呗然后再厚颜无耻地求你打个评论尺度太大，我有点hold不住达芬奇名作经历540年的真相揭秘，深刻中我被逗乐了。
埃舍尔分形
埃舍尔分形
埃舍尔分形：无穷细节与复杂性的数学艺术
毛里茨·科内利斯·埃舍尔，一位才华横溢的荷兰艺术家，创造了一种名为“埃舍尔分形”的独特数学图形。
这种分形图形神秘而美丽，其独特之处在于通过不断重复一个图案的自相似性变换而生成。
在埃舍尔分形中，无论我们放大或缩小任何一个部分，都会发现相同的模式不断涌现。
这种特性使得埃舍尔分形充满了无穷细节和复杂性，成为一门独特的艺术形式。
埃舍尔分形在各个领域中的应用
计算机图形学、艺术和设计等领域广泛应用了埃舍尔分形。
其独特的视觉效果和复杂性使得它成为许多艺术家和设计师的灵感来源。
通过模仿埃舍尔分形的自相似性和无穷细节，他们在自己的作品中呈现出一种令人叹为观止的美感。
此外，埃舍尔分形还具有启发性，引导人们在自然界中探索复杂结构和模式。
自然界的复杂性及其与埃舍尔分形的联系
由于其自相似性和无穷细节，埃舍尔分形成为了研究和探索自然界中复杂结构和
模式的有力工具。
例如，山脉、河流、云朵等自然景观都可以在埃舍尔分形中找到相似之处。
这种数学图形为人们提供了一种新的视角，去观察和理解自然界中的美丽和复杂。
通过研究埃舍尔分形，我们可以更好地认识自然界中的相似性和规律。
结语
埃舍尔分形是一种极具魅力和价值的数学艺术形式。
它不仅展示了数学与艺术的完美结合，还为我们提供了研究和探索自然界中复杂结构和模式的有力工具。
作为一种具有无穷细节和复杂性的图形，埃舍尔分形将继续在各个领域发挥重要作用，并为人们带来更多关于美的感悟和智慧的启示。
埃舍尔正负形
埃舍尔正负形
埃舍尔正负形是荷兰艺术家M.C.埃舍尔(Maurits Cornelis Escher)在20世纪上半叶所创作的一种艺术形式。
它以对称、重复和视觉错觉为特点，常被用于表现几何学和透视学的概念。
在埃舍尔正负形中，他经常使用了一些图形元素，如方块、三角形、圆形等，并通过这些图形元素的重复和交错来创造出一些看似不可能存在的图案。
其中最为著名的就是“无限升级”(Ascending and Descending)这幅画作，它展示了一个不可能存在的楼梯，让人感到无穷无尽地上升或下降。
另外一个经典的例子是“鸟与鱼”(Birds and Fish)，它展示了一群鸟和一群鱼，在它们之间有一个看似不可能存在的转换区域。
这幅画作让人感到自己置身于两个完全不同的世界之间。
除此之外，埃舍尔还创作了很多其他类型的正负形画作，如“螺旋”(Spirals)、“镜面反射”(Mirror Reflections)等。
这些画作都展示了埃舍尔独特的创造力和对几何学的深刻理解。
至于埃舍尔正负形的艺术价值，它不仅仅是一种视觉上的享受，更是一种对几何学和透视学的深入探究。
通过这些画作，我们可以更好地
理解几何学中一些看似抽象的概念，如无限、对称、重复等等。
同时，这些画作也激发了人们对于现实世界中可能存在的不可能性问题的思考。
总之，埃舍尔正负形是一种独特而有趣的艺术形式，它不仅具有很高
的审美价值，更是一种对几何学和透视学深入探究和思考的方式。
埃舍尔循环原理
埃舍尔循环原理埃舍尔循环原理是指荷兰艺术家莫里茨·康利斯·埃舍尔所创造的一种视觉效果，通过重复的图形和形状来创造出无限循环的效果。
这种原理被广泛应用于艺术、设计和科学领域，成为了一种独特的视觉语言。
埃舍尔循环原理的核心在于重复和对称。
通过将一个图形或形状重复多次，并将它们对称地排列，就可以创造出一种无限循环的效果。
这种效果可以让人们感受到一种奇妙的视觉体验，同时也可以让人们更好地理解对称和重复的概念。
在艺术领域，埃舍尔循环原理被广泛应用于绘画、雕塑和建筑设计中。
艺术家们可以通过这种原理来创造出独特的视觉效果，让观众感受到一种奇妙的美感。
例如，一些建筑师会在建筑物的外墙上使用埃舍尔循环原理来创造出一种无限延伸的效果，让人们感受到一种无限的空间感。
在设计领域，埃舍尔循环原理也被广泛应用于标志设计、包装设计和网页设计中。
设计师们可以通过这种原理来创造出独特的视觉效果，让产品或品牌更加突出。
例如，一些品牌会在它们的标志中使用埃舍尔循环原理来创造出一种无限循环的效果，让人们感受到一种无限的可能性。
在科学领域，埃舍尔循环原理也被广泛应用于数学和物理学中。
科学家们可以通过这种原理来研究对称和重复的概念，从而更好地理解自然界中的规律。
例如，一些物理学家会使用埃舍尔循环原理来研究宇宙中的对称性，从而更好地理解宇宙的本质。
埃舍尔循环原理是一种独特的视觉语言，它通过重复和对称来创造出无限循环的效果。
这种原理被广泛应用于艺术、设计和科学领域，成为了一种重要的工具和语言。
无论是在哪个领域，我们都可以通过埃舍尔循环原理来创造出独特的视觉效果，让人们感受到一种奇妙的美感和无限的可能性。
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浅谈埃舍尔的数学艺术2011/01/01浅谈埃舍尔的数学艺术摘要：埃舍尔在世界艺术中占有独一无二的位置。
他的作品，主要是带有数学意味的作品无法归属于任何一家流派。
在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品，在他之后，迄今为止也没有艺术家追随他发现的道路。
接下来主要谈谈埃舍尔艺术作品中的数学特征。
Summary:M.C.Escher had occupies a unique position in art world. His art works —mainly with mathematical means art works —can’t belong to any one genre. Before him, never had artists to create similar works of him. After him, no artist follow he found ways until now. The next major talk, the mathematical characteristics in M.C.Escher’s art works.关键词：矛盾空间莫比乌斯带拓扑学极限思想空间思想镶嵌图形正文：埃舍尔（1989.06.17-1972）全名毛里茨·科内流斯·埃舍尔（Maurits Cornelius Escher）.出生于荷兰北部。
世界艺术史上“绝无仅有的”艺术家。
把自己称为一个"图形艺术家"，他专门从事于木版画和平版画。
早于1916年，他已经熟识油耗浮雕印刷术。
1917年，他在画家实地格纹的印刷公司制作蚀刻版画。
1919年，在贺林的建筑装饰艺术学院修读建筑学。
当时收美术老师熏陶，对装饰设计艺术产生浓厚兴趣，尤其是木刻版画。
自这个时候开始，埃舍尔的生活便与他的作品完美的结合。
随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，这样, 对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域："空间几何学"。
欣赏家王丽丽所描绘的:"埃舍尔的画很美丽,可是仔细研究,就会发现他的荒谬.而恰恰愈是荒谬,对我们的吸引力也就愈大.太阳神阿波罗的光环固然诱人,可是埃舍尔那种荒谬透顶的完美则更值得推崇.''看埃舍尔的画，感觉就是像在玩游戏，第一印象就是一副具有极强的装饰美感的画，精致，没有丝毫的缺陷。
然后，从画面的内容上看，有很多都违背了常理。
让你的头脑发晕，匪夷所思但富有趣味性。
发散你的理科思维。
从我所学的专业知识中（设计课中所提到的），有很多范画中都拿埃舍尔的画作为典型的例子，比如说矛盾空间，图形渐变，图形同构，联想，图形替换。
埃舍尔画画的形式涉及到：悖论，幻觉，双重意义，多面体，空间形状，镶嵌图形，空间逻辑，自我复制和信息科学。
埃舍尔缜密的思维在画面上的体现从一部分作品的名称来看，埃舍尔的画体现除了事物的相对和矛盾。
比如《水和天》《上行与下行》《凹与凸》《递增与递减》《有序和无序》《天使与恶魔》《相对论》……在一张纸上，将一组完全相对的事物完美的组合起来，没有丝毫的缺陷，体现出了埃舍尔思维的缜密和独特。
从精确、规则、秩序等特性中发现了美，创造了美。
埃舍尔的传记作家布鲁诺·恩斯特看着即将完成的《画廊》原稿，对画家抱怨说，画面左上角的柱子太难看了，埃舍尔听后沉思了片刻，然后表情严肃地说：“可你要知道，那根柱子只能那样，我经过了非常精密的计算才把它造出来，不会有别的可能！”这个事例完全体现的埃舍尔讲缜密的数学性思维应用的他的画面上。
我看《走廊》这幅画的第一感觉就是，这幅画的扭转部分非常到位，没有丝毫可以给别人的地方，精细，到位。
从目前的大众语境看，埃舍尔是一位艺术家。
但是，由于埃舍尔所思考的问题，以及他思考问题的方式，更接近于科学家而不是艺术家；所以毫不奇怪，他的作品首先为科学家所接受，是科学家发现了埃舍尔作品的价值和意义。
数学家、物理学家以及心理学家如侯世达一般各自从自己的角度解释埃舍尔，或者用埃舍尔说明自己的理论。
一位艺术家表达了“科学的思想”，并能为科学家所欣赏，是艺术家的荣耀。
所以，也经常会引发一个问题：他到底是艺术家还是科学家。
矛盾空间的应用关于矛盾空间这个问题，当时在上设计课上老师所展示出的作品都让同学们觉得饶有趣味，重点拿出埃舍尔的作品讲解。
《景观楼》《瀑布》等都是著名的矛盾空间的作品。
《景观楼》可以体现出矛盾空间的特点。
若完成画中的一個面，其他的面就不能成立。
看一幅画的一部分成立，另一部分成立，综合在一起就矛盾了。
具体分析一下《瀑布》中矛盾的地方。
1.水在封闭的环境下流动违背了能量守恒定律；2.水从下往上流动违背了重力势能；3.单看水流的道路（M型）是在一个平面中。
但是结合了两个塔又感觉是在三维空间里。
其实，《瀑布》中应用了几个彭罗斯三角形在加上两个个辅助的塔，形成了矛盾的空间。
二维空间和三维空间空间是一个集合，最基本的元素是点。
一维指线性的交通，二维指平面的区域环境，三维指太阳园的整体设计，四维当然是时间上的，指未来的可持续发展，简单的说五维就是由于四维运动产生。
埃舍尔作品中经常出现由二维平面转换成三维立体。
比如说一下两幅画都是空间转换的一种体现，其实也可以划分为矛盾空间的一种。
一只手正在描绘另一只快要画完的手。
而被画得这一只手也在纸上描画那一只手。
第二幅则是平面画纸中的壁画逐渐爬出纸张，爬到三维空间中，再爬回纸里面去。
一般来说，对于几维空间的思考，从来都是数学家物理学家思考的问题。
著名的英国剑桥大学应用数学及理论物理学系教授，当代最重要的广义相对论和宇宙论家霍金在《时间简史》对于宇宙学的完美演绎，对于思维空间的描述就体现了这一点。
当霍金的时间简史完美的展现四维世界而向更高一步探索时埃舍尔在他的艺术世界中是否已建起了五维的世界观？人们发现，埃舍尔30年前作品中的视觉模拟和今天的虚拟三维视像与数字方法是如此相像，而他的各种图像美学也几乎是今天电脑图像视觉的翻版，充满电子时代和中世纪智性的混合气息。
因此，有人说，埃舍尔的艺术是真正超越时代，深入自我理性的现代艺术。
也有人把他称为三维空间图画的鼻祖。
拓扑学和莫比乌斯带的应用拓扑学是数学领域的一个分支，是研究集合对象在连续变换下保持不变的性质学问，保持不变的性质就是拓扑性质。
研究集合图形连续改变形状是的特征和规律。
莫比乌斯带是最有趣的但侧面问题之一。
莫比乌斯带(Möbius strip, Möbius band)是一种单侧、不可定向的曲面。
因A.F.莫比乌斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)发现而得名。
当一条丝带被扭曲180度后，将两端连在一起，则丝带的正面和反面是相间地连接起来的。
得到的曲面就是麦比乌斯带。
关于麦比乌斯圈的单侧性，可如下直观地了解，如果给麦比乌斯圈着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把麦比乌斯圈两面均涂上颜色，即区分不出何是正面，何是反面。
对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。
单侧性又称不可定向性。
以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴麦比乌斯圈单侧曲面圆心点的指向，若能使相邻两点相伴的指向相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向。
所以麦比乌斯圈是不可定向的。
埃舍尔多次表达数学上有趣的茂比乌斯带。
但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易的，1963年的《红蚁》便是这种题材的作品，也是一件稀有的埃舍尔套色版画。
埃舍尔在他的著作中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。
在作品《红蚁》中，仔细看你会发现作品中的蚂蚁不是在相同的面上爬行而是在同一个面上爬行，可以一次性将丝带的每一个部分走完。
与此相同的还有作品《天鹅》《骑马的人》。
莫比乌斯带就像变魔术一样的神奇。
将莫比乌斯带沿纵向剪开，照理应得到两个圈儿，但是得到的是一个大的双侧曲面；而纵向将莫比乌斯带分成3等份，沿线剪开，得到一个小的莫比乌斯带与一个大的双侧双侧曲面相扣。
埃舍尔在他的艺术作品中不仅仅应用了完整的莫比乌斯带，还运用到了剪开的莫比乌斯带。
例如：《果皮》《婚姻的联结》《结》《鱼与球面螺旋》。
都是由剪开的莫比乌斯带组合而成的。
非常完美的将数学原理与美术结合镶嵌图形平面镶嵌图形让我想到了最简单的一个运用了镶嵌图形的物体—足球。
由五边形和六边形镶嵌而成组成一个球体。
还有地板上的三角形与正方形的镶嵌。
这些都只是简单的集合图形的镶嵌。
从埃舍尔的镶嵌图形的作品中我们看到的都是复杂的具象图形之间的完美的镶嵌，没有一点空隙。
《天使与恶魔》《鸟与鱼》都是镶嵌图形的经典之作。
本人最喜欢的镶嵌图形就是《天使与恶魔》，两个形象都如期之具象，完美的结合成一个圆圈，这两个形象都是彼此相对的，就像那句话：“天使与恶魔往往只有一步之遥。
”埃舍尔镶嵌图形是一种基于数学原理的图形绘画方式，大概可分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌等四种。
平面镶嵌图形，埃舍尔写到：“在数学领域，平面规则分割已经从理论上获得了充分的研究……数学家打开了一扇通向无限可能性的大门，但是他们自身并没有进入其中看看。
他们特殊的禀赋使他们对如何打开这扇门的方式更感兴趣，而对隐藏在其后的花园不感兴趣。
”埃舍尔正是从一个艺术家的角度，利用数学家的发现，发掘了美，创造了美。
他的平面规则分割作品令许多数学家吃惊。
他在已知的17种抽象平面分割群组形式上创造了许多具象镶嵌图案。
这种把抽象的几何形状赋予具象的形象其实是一种复杂的图形思维过程。
要完成具象镶嵌图案的创作，对各个图形的思考必须要非常严谨，每个镶嵌图形既要考虑它的镶嵌可能性，又要赋予具体的形象，而且这种镶嵌是四面无限延伸的，这就必须要具备很强的图形联想能力。
（参考文献）。
极限思想的应用看上面第三幅镶嵌图形中，黑白灰三种壁虎相互镶嵌在一起，不仅仅形成了一幅完美的镶嵌图形，并且替下了数学中无穷小的极限思想。
或许正是由于他对数学、建筑学和哲学的过深理解，阻碍了他与同道的交流，他在艺术界几乎总是特立独行，后无来者。
他甚至至今无法被归入20世纪艺术的任何一个流派。
但是，他却被众多的科学家视为知己。
他的版画曾被许多科学著作和杂志用作封面，1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史上罕见的。
也许，数学是他的艺术之魂，他没有故意表达的数学思想，而是在表达他自己的思想。
埃舍尔用他这种独特的理科思维结合他无与伦比的艺术禀赋，创作出广受欢迎的迷人作品。