瞬时变化率——导数(2)

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高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率--导数学案苏教版选修2

1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数.1．瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的__________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．3．导数(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于__________．预习交流3做一做：函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．预习交流4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？预习导引1．(1)平均速度 (2)无限趋近于常数常数瞬时速度瞬时变化率预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2.s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 2．无限趋近于0 常数常数瞬时加速度瞬时变化率3．(1)常数可导常数导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)Δx，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝13f ′(1)．预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx.∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．一、求瞬时速度一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求a .思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)求平均速度v ＝ΔsΔt；(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．二、利用导数的定义求函数的导数已知f (x )＝x 2－3.(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.2．(1)求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝1处的导数；(2)求函数f (x )＝2x 的导数．结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求ΔyΔx 的值，即f ′(x 0)．三、导数的几何意义已知y ＝2x 3上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为__________．2．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．1．若一物体的运动方程为s ＝2－12t 2，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．4．一质点按规律s ＝2t 3运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.答案：活动与探究1：解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2＋5Δt ＋7，所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2＋5Δt ，故s (3＋Δt )－s (3)Δt＝Δt ＋5，于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，ΔsΔt→5(m/s)．2．解：运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3(s)，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4，所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ，所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .迁移与应用：1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)Δx＝a ，当Δx →0时，ΔyΔx→a ，故a ＝4.2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴ΔyΔx＝－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－14.(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴ΔyΔx＝－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－14.(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝2x ＋Δx ＋x，从而Δx →0时，Δy Δx →1x.活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3)，则割线AB 的斜率为k AB ＝2(1＋Δx )3－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲线y ＝2x 3在点A (1,2)处的切线斜率为6.迁移与应用：1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2，Δy Δx＝1＋14Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2－(－16)Δt ＝－12Δt －6，∴当Δt →0时，ΔsΔt→－6.2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )2Δx ＝1＋12Δx ，当Δx无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx＝－3.∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－2×23＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3]－16＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．98解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝94.又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－98，∴f (2)＋f ′(2)＝98.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数导数的几何意义全面版

3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数,但始终有Δx≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ �� →0
f(x0-��x��x)-f(x0);
f(x0+��xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
答案:4
1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量Δy;
(2)求平均变化率ΔΔ��; (3)取极限得导数 f'(x0)=Δl��i��m→0 ��yx.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联
系?
剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间
【做一做4】曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为
.
解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处
的导数.
因此其斜率
k= lim
Δ �� →0
(2+��x)2-22 ��x

瞬时变化率与导数

…… ……
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度到 △ 这段时间内平均速度
∆h v = = − 1 3 .1 − 4 .9 ∆ t ∆t 趋近于0时从小于2的一边还是从大于2 的一边, 当Δt趋近于时, 即无论 t 从小于的一边还是从大于
的一边趋近于2时的一边趋近于时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 无限变小时, 从物理的角度看时间间隔 |Δt |无限变小时平均速度 v 无限变小时就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度因此运动员在 t = 2 时的时的瞬时速度. 时的瞬时速度因此, 瞬时速度是 –13.1.
h(t0 + ∆t) − h(t0 ) lim ∆t →0 ∆t 2 − 4.9(∆t) − (9.8t0 − 6.5)∆t = lim ∆t →0 ∆t = lim (−4.9∆t − 9.8t0 + 6.5)
∆t →0
= −9.8t0 + 6.5
定义: 定义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
结论：随着气球体积逐渐变大它的平均膨胀率逐渐变小它的平均膨胀率逐渐变小. 结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
3
思考：
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r (V2 ) − r (V1 ) V2 − V1
问题2 问题高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单在高台跳水运动中单单位: 位:m)与起跳后的时间 t (单位 s) 存在函数关系与起跳后的时间单位
练习: 计算第3h和第时原油的瞬时变化率, 和第5h时原油的瞬时变化率练习: 计算第和第时原油的瞬时变化率并说明它们的意义. 们的意义

瞬时变化率——导数

以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝ v0t－12gt2，则物体在 t0 时刻的瞬时速度为________．
[答案] v0－gt0
[解析] 因为Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20) ＝(v0－gt0)Δt－21g(Δt)2，所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，所以当Δt无限趋近于0时，ΔΔst无限趋近于v0－gt0，故物体在时刻t0的瞬时速度为v0－gt0.
第一章
1.1 导数第2课时瞬时变化率与导数
复习平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
f (x1) f (x2 ) y
x1 x2
x
平均速度
v s t
平均速度反映了在某一段时间内
运动的快慢程度,那么,如何刻画在
某一时刻运动的快慢程度呢?
实例:
小明去蹦极,假设小明下降的运动
重要结论:
x 0
平均变化率
瞬时变化率
二、瞬时变化率与导数
设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近的改变量为 Δx 时，函数值相应地改变 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0趋近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化率当．Δ记x→作0：时，fx0＋ΔΔxx－fx0→l.上述过程通常也记作 Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝l.函数在点 x0 处的瞬时变化率通常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，这时，记作 f′(x0)，即 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0，也可记作 y′|x＝x0.

高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021

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3.1。

2 瞬时变化率—导数学习目标：1。

理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。

当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。

高二数学选修课件第章瞬时变化率导数

优化问题中的近似计算
在求解一些优化问题时，可以利用微分进行近似计算，如求解最小值、最大值等问题。
05
高阶导数及其性质探讨
Chapter
高阶导数定义及计算方法
高阶导数定义
高阶导数是指函数导数的导数，即多次求导得到的导数。例如，函数f(x)的一阶导数为f'(x)，二阶导数为f''(x)，以此类推，n阶导数为f^n(x)。
最值
函数在某一区间内的最大值或最小值称为该函数在该区间内的最值。通过求导并令导数为零，可以求得函数的驻点，进而判断驻点是否为最值点。
极值
函数在某一点处的极大值或极小值称为该函数在该点的极值。极值是函数局部性质的一种表现，通过研究函数的极值可以了解函数的整体性质。
04
微分概念及其在近似计算中应用
06
总结回顾与拓展延伸
Chapter
本章知识点总结回顾
导数的定义与几何意义
导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率，其几何意义是函数图像在该点处的切线的斜率。
高阶导数
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，表示函数的变化率的变化率。
01 02 03 04
导数的计算法则
包括基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等。
若f(x) = log_a x（a > 0，a ≠ 1），则 f'(x) = 1 / (x ln a)
常数函数
若f(x) = c（c为常数），则f'(x) = 0
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
若f(x) = a^x（a > 0 ，a ≠ 1），则f'(x) = a^x ln a

瞬时变化率——导数课件

随着数学与其他学科的交叉融合，导数的应用将更加深入和广泛，为解决实际问题提供更加有效的工具。
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隐函数导数计算
总结词
掌握隐函数的求导方法
详细描述
隐函数的导数可以通过对等式两边同时求导来获得，注意处理复合变量和函数之间的关系。
高阶导数计算
总结词
理解高阶导数的概念和计算方法
详细描述
高阶导数表示导数在研究函数的极值、拐点等问题中有重要应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率。
详细描述
在二维平面坐标系中，函数图像上某一点的切线斜率即为该点的导数值。导数可以用来判断函数在该点的增减性以及变化趋势。
导数与瞬时速度的关系
总结词
导数与瞬时速度之间存在密切联系。
详细描述
在物理和工程领域中，瞬时速度的概念常常用到。瞬时速度可以理解为物体在某一时刻的运动速度，这个速度是通过物体在该点的加速度与时间的变化率来计算的，而加速度的变化率即为该点的导数。因此，导数可以用来描述瞬时速度的变化趋势。
要点二
详细描述
在实际问题中，经常需要解决一些优化问题，如最大利润、最小成本等。通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，并利用导数研究函数的性质，可以找到最优解，为实际问题的解决提供有效的途径。
04
导数的物理意义与经济学意义
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和加速度，例如自由落体运动中，物体的速度和加速度可以通过对高度关于时间的函数求导得到。
导数在其他领域的应用
工程学
在工程学中，导数可以用来描述机械运动的规律，例如在机械振动中，物体的振动频率和振幅可以通过对位移关于时间的函数求导得到。

高中数学第一章1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率导数教学案苏教版选修

1．1.2 瞬时变化率——导数曲线上一点处的切线如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．问题2：割线PP n 斜率是什么？提示：割线PP n 的斜率是k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？提示：能．1．割线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线． 2．切线随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间．问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－31＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．导数1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程．2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．[对应学生用书P5]求曲线上某一点处的切线[例1] 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f 2＋Δx －f 2Δx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx 22＋Δx ＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx 2＋Δx ＋Δx Δx ＝－122＋Δx ＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－121＋Δx2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－121＋Δx 2－2＋52Δx＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝2Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4，因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3，所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)．答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))，则k AB ＝31＋Δx2－1＋Δx －3×12－1Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.瞬时速度[例2] 一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解． [精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔSΔt ＝4a ＋a Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2，所以ΔS Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎨⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt ＝S 1＋Δt －S 1Δt＝1＋Δt 2＋2－3Δt＝2＋Δt ，当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2，所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56， ∴ΔS Δt＝34＋Δt 2－184＋Δt ＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.导数及其应用[例3] 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析] (1)因为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx＝2＋Δx2－3－22－3Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4，所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f a ＋Δx －f aΔx＝a ＋Δx2－3－a 2－3Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ，所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝Δx 21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f 1＋Δx －f 1Δx ＝a 1＋Δx ＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f 6＋Δx －f 6Δx＝6＋Δx2－76＋Δx ＋15－62－7×6＋15Δx＝5Δx ＋Δx 2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同区别联系f ′(x 0) f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值f ′(x )f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数[对应课时跟踪训练(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________．解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－ 3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________．解析：∵f 1＋Δx －f 1Δx＝121＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12Δx 2＋ΔxΔx＝12Δx ＋1. ∴当Δx 无限趋近于0时，f 1＋Δx －f 1Δx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________．解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)．又Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx＝21＋Δx 2＋1－2×12－1Δx＝4＋2Δx .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于常数4，∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4.由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt ＝S 4＋Δt －S 4Δt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g 4＋Δt 2＋24＋Δt －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g Δt 2＋4g ·Δt ＋2·Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2.∵当Δt →0时，ΔS Δt→4g ＋2， ∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程．解：∵31＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3×12－4×1＋2Δx ＝2Δx ＋3Δx 2Δx ＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2，所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0. 8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标．解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝x 0＋Δx 3－2x 0＋Δx 2＋3－x 30－2x 20＋3Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2. ∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127，当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．。

3.1.2瞬时变化率---导数

s s ff ((tt00 tt)) ff ((tt00)) v 。 v 。 tt tt
s 近似的程度就越好。所以当t0时，比值 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
f (t0 t ) f (t0 ) v在t0的瞬时速度 t
解:
v f (t0 t ) f (t0 ) a ． t t
2t 0 x
当t无限趋于0时， a无限趋于2t 0 ,即a 2t 0
H ( 2.1) H ( 2) v 13.59( m / s ) 2.1 2
(2)计算运动员在2s到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t])
内的平均速度。
时间区间 [2，2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001] 当△t→0时，
数学运用：
例2 设一辆轿车在公路上作直线运动，假设t s时
v(t ) t 2 3 ，求当的速度为
t t0 s时轿车的瞬时
加速度．
分析:
1 s s(t0 t ) s(t0 ) 2 g t g (t ) 2 2 __ s s(t0 t ) s(t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2
v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小，
当t 0时
1.曲线在某一点切线的斜率
y
y=f(x)
Q
割线
T
回顾
P
切线
o
x
k PQ
f ( x x) f ( x) ) x
(当x无限趋限0时, k PQ无限趋限趋近点P处切斜率)
3.物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度. （即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率）以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速度的精确值。其实函数在某一点处的瞬时变化率---------导数。

1.1.2 瞬时变化率——导数(2)

1.1.2 瞬时变化率——导数（2）-------- 瞬时速度与瞬时加速度学习目标：1．理解并掌握瞬时速度及瞬时加速度的定义；2．会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度；3．会运用瞬时加速度的定义求物体在某一时刻的瞬时加速度；4．会利用瞬时速度及瞬时加速度的实际背景解决实际问题．学习重点：会运用瞬时速度（加速度）的定义求物体在某一时刻的瞬时速度（加速度）．学习难点：理解瞬时速度和瞬时加速度的定义．【明标自学】问题情境:一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间．问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？建构数学1．平均速度：设物体运动位移为)(t s ,以0t 为起始时刻，物体在∆t 时间内的平均速度为v = 。

2.瞬时速度：一般地，如果当∆t 无限趋近于0时，运动物体位移)(t s 的平均变化率v 无限趋近于一个，那么这个常数称为物体在t=0t 时的。

（即当∆t →0时，v 极限就是物体在0t 时刻的瞬时速度．也就是位移对于时间的变化率。

3．平均加速度：设物体运动速度为)(t v ，以0t 为起始时刻，物体在∆t 时间内的平均加速度为：∆∆v a t＝= ． 4. 瞬时加速度：一般地，如果当∆t 无限趋近于0时，运动物体速度)(t v 的平均变化率a 无限趋近于一个，那么这个常数称为物体在t=0t 时的。

（即当∆t →0时，a 极限就是物体在0t 时刻的瞬时加速度．），也就是速度对于时间的变化率。

探究：1.如何求物体的瞬时速度？2.如何求物体的瞬时加速度？【典型例题】例1 物体作自由落体运动，运动方程为212S gt ＝，其中位移单位是m ，时间单位是s ，210m/s g ＝，求：（1）物体在时间区间 [2，2.1]s 上的平均速度；（2）物体在时间区间上的平均速度；（3）物体在t ＝2s 时的瞬时速度．变式：若一物体的运动方程是()tt S 1=，则t = 3时的瞬时速度为。

苏教版选择性必修第一册5.1.2瞬时变化率——导数新课授课课件

度，S(b)是从t＝0到t＝b的路程，则下列说法正确的是( BC)
A.a甲(b)>a乙(b) C.S甲(b)>S乙(b)
B.a甲(b)<a乙(b) D.S甲(b)<S乙(b)
解析加速度是速度v对t的函数图象的切线斜率，由图可得在b处，甲的切线
斜率小于乙的切线斜率，即甲在b处的加速度小于乙在b处的加速度；由图知t
(3)质点在3 s时的瞬时速度.
解 (2)v－2＝S（3）3－－2S（2）＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12(m/s).
所以质点在 2 s 到 3 s 内的平均速度为 12 m/s.
(3)
因
为
S（3＋Δt）－S（3） Δt
＝
2（3＋Δt）2＋2（3＋Δt）－（2×32＋2×3） Δt
＝
2Δt＋14，
索引
思维升华
瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表征速度变化快慢的物理量.
索引
训练3 有一做直线运动的物体，其速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系是v ＝3t－t2，求此物体在t＝2 s时的瞬时加速度. 解因为 v(2＋Δt)－v(2)＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，所以v（2＋Δt）Δt－v（2）＝－1－Δt，所以当Δt无限趋近于0时，－1－Δt无限趋近于－1. 所以该物体在t＝2 s时的瞬时加速度为－1 m/s2.
索引
题型二求瞬时速度
例2 一质点按S＝2t2＋2t(位移单位：m，时间单位：s)做直线运动.求： (1)该质点在前3 s内的平均速度；解 v－1＝S（3）3－－0S（0）＝（2×32＋32×3）－0＝8(m/s)，所以该质点在前 3 s 内的平均速度为 8 m/s.

瞬时变化率-导数

当平均速度v的极限为:
Dt 0, Ds 2 g 19.6(m / s) Dt
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s).
当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
3.1 瞬时变化率与导数
1．瞬时速度平均速度的概念
这段时间内汽车的平均速度为
v
经过的路程所有的时间
s t
150 10
54(km
/
h)
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了
解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度—
—瞬时速度．
已知物体作变速直线运动，其运动方程为
s＝s(t)(ｓ表示位移，t
4.9Dt 13.1 13.1
导数的概念一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化率是
当Dx 0，f (x0 Dx) f (x0 ) A Dx
我们称A它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
记为 f (x0 ) 或 y xxo
说明：
（1）函数 f (x) 在点 x0 处可导，是指 Dx 0 时，
Dy 有极限．如果 Dy 不存在极限，就说函数在
Dx
Dx
点 x0 处不可导，或说无导数．（2）Dx是自变量x在 x0 处的改变量，Dx 0，而
Dy 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数 y f (x) 在 x0 处的
导数的步骤:
（1）求函数的增量: Df f (x0 Dx) f (x0 ) ；

高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数课件苏教版选修2-2

St0＋Δt－St0
Δt
无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的
瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
vt0＋Δt－vt0
Δt
无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时
加速度，也就是速度对于时间的瞬＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．( ) (3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( ) (4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在．( )
ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 无限趋近
于一个常数 A，则称f(x)在x＝x0处可导，并
称该常数 A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
(2)导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x) 在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________

高二数学瞬时变化率导数教案苏教版

高二数学瞬时变化率导数教案教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。

从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。

2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。

3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。

第二章1导数——瞬时变化率

x
x
曲线在P(x0,y0)点处的切线的斜率就是割线的斜率当
x 0 时的极限
k tg lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
说明四：导函数的几何意义
函数 f x在点 x0 处的导数 f x0 就是函数所表示的曲线在点x0, y0 处切线的斜率．
k f '(x0 )
平行于x轴的切线垂直于x轴的切线
x0
k f x0 0
2
k tg
f x0
切线 x轴
例1.指出右图中的函数图形在 a,b,c, d点是否连续，是否可导？
例2. 对于右图所示的函数曲线，请标出斜率为正的点．
练习2 [电流强度]
设有非稳恒电流通过导线．从某一时刻开始到时刻 t0
通过该导线横截面的电量为Q, 则Q为t 的函数Q Qt.
y
f x 在 x0 处不可导
说明二：导函数
如果函数f (x)在区间(a,b)内每一点都有导数，函数f (x)
在区间(a,b)内有一导函数，即 f 'x lim f x x f x
x0
x
也可记作 y ，ddyx ，dfd(xx)
在区间 a,b 上
x1
f x1
x2
f x2
x
f x
导数与导函数的区别与联系区别： f (x0 ) 是一常数。
记作
f (x0 ), y
，dy xx0 dx
或者 df (x)
x x0
dx
，即
x x0
y |xx0 f x0
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x

导数：平均变化率与瞬时变化率

【同步教育信息】一. 本周教学内容：导数——平均变化率与瞬时变化率w二. 本周教学目标：1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵．2、通过函数图象直观理解导数的几何意义．三. 本周知识要点：（一）平均变化率1、情境：观察某市某天的气温变化图t (d)202、一般地,函数f （x ）在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．（二）瞬时变化率——导数1、曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ ，当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线割线PQ 的斜率为PQk =00()()f x x f x x +∆-∆，即当0→∆x 时，00()()f x x f x x +∆-∆无限趋近于点P 的斜率．2、瞬时速度与瞬时加速度1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度. 2）确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度．我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s ＝s （t ），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs ＝s （t 0+Δt ）－s （t 0）（Δt 称时间增量）平均速度t t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率00()()s t t s t t +∆-∆无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体在t ＝ t 0的瞬时速度同样，计算运动物体速度的平均变化率00()()v t t v t t +∆-∆，当Δt →0时，平均速度00()()v t t v t t +∆-∆无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t ＝ t 0时的瞬时加速度．3、导数设函数)(x f y =在（a,b ）上有定义，0(,)x a b ∈．若x ∆无限趋近于0时，比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称f （x ）在x ＝0x 处可导，并称该常数A 为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作'0()f x ．几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率．导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)('x f ，从而构成了一个新的函数)('x f ，称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作'y ．【典型例题】例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积tt V 1.025)(-⨯=（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率．解：在区间[0，10]上，体积V 的平均变化率为(10)(0)2.550.2510010V V--≈=--3cm 即第一个10s 内容器甲中水的体积的平均变化率为0.25-3cm ．例2、已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数()f x 及()g x 的平均变化率．解：函数()f x 在[－3，－1]上的平均变化率为(1)(3)2(1)(3)f f ---=---()g x 在[－3,－1]上的平均变化率为(1)(3)2(1)(3)g g ---=----函数()f x 在[0，5]上的平均变化率为(5)(0)250f f -=-()g x 在[0，5]上的平均变化率为(5)(0)250g g -=--例3、已知函数2()f x x =，分别计算函数()f x 在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．解：函数()f x 在区间[1，3]上的平均变化率为(3)(1)431f f -=-函数()f x 在[1，2]上的平均变化率为(2)(1)321f f -=-函数()f x 在[1，1.1]上的平均变化率为(1.1)(1)2.11.11f f -=-函数()f x 在[1，1.001]上的平均变化率为(1.001)(1)2.0011.0011f f -=-例4、物体自由落体的运动方程s ＝s （t ）＝21gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g ＝9.8m/s 2. 求t ＝3这一时段的速度.解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量Δs ＝21g （3+Δt ）2－21g ·32＝2g（6+Δt ）Δt ，平均速度21=∆∆=t s v g （6+Δt ）当Δt 无限趋于0时，v 无限趋于3g ＝29.4 m/s ．例5、已知质点M 按规律s ＝2t 2+3做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ），（1）当t ＝2，Δt ＝0.01时，求t s∆∆. （2）当t ＝2，Δt ＝0.001时，求t s∆∆.（3）求质点M 在t ＝2时的瞬时速度.分析：Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的t s∆∆越接近某时刻的速度.解：∵t t t t t t s t t s t s ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)32(3)(2)()(22＝4t +2Δt ∴（1）当t ＝2，Δt ＝0.01时，t s∆∆＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s ．（2）当t ＝2，Δt ＝0.001时，t s∆∆＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s ．（3） Δt →0，（4t +2Δt ）＝4t ＝4×2＝8 cm/s例6、曲线的方程为y ＝x 2+1，那么求此曲线在点P （1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程．解：设Q （1+x ∆，2+x ∆），则割线PQ 的斜率为：22(1)(1)(1)1(11)f x f x x x +∆-+∆+-+=∆∆ 2()22x x x x ∆+∆==∆+∆ 0,x ∆→∴斜率为2∴切线的斜率为2．切线的方程为y －2＝2（x －1），即y ＝2x ．【模拟试题】1、若函数f （x ）＝2x 2+1，图象上P （1,3）及邻近点Q （1+Δx,3+Δy ），则x y∆∆＝（）A. 4B. 4ΔxC. 4+2ΔxD. 2Δx2、一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0t ∆→时，st ∆∆为（）A. 从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；B. 在t 时刻时该物体的瞬时速度；C. 当时间为t ∆时物体的速度；D. 从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 3、已知曲线y ＝2x 2上一点A （1，2），求（1）点A 处的切线的斜率.（2）点A 处的切线方程.4、求曲线y ＝x 2+1在点P （－2，5）处的切线方程．5、求y ＝2x 2+4x 在点x ＝3处的导数．6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝s （t ）＝t 2（位移单位：m ，时间单位：s ），求小球在t ＝5时的瞬时速度7、质点M 按规律s ＝2t 2+3做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ），求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．【试题答案】1、B2、B3、解：（1）0x ∆→时，k ＝22(1)(1)2(1)21f x f x x x +∆-+∆-⋅=∆∆ 242()(42)4x x x x ∆+∆==+∆=∆∴点A 处的切线的斜率为4.（2）点A 处的切线方程是y －2＝4（x －1）即y ＝4x －24、解：0x ∆→时，k ＝22(2)(2)(2)1(2)1f x f x x x -+∆---+∆+---=∆∆ 24()(4)4x x x x -∆+∆==-+∆=-∆∴切线方程是y －5＝－4（x +2），即y ＝－4x －3.5、解：Δy ＝2（3+Δx ）2+4（3+Δx ）－（2×32+4×3）＝2（Δx ）2+16Δx ，x y∆∆＝2Δx +16∴0x ∆→时，y ′|x ＝3＝166、解：0t ∆→时，瞬时速度v ＝22(5)(5)(5)5s t s t t t +∆-+∆-==∆∆（10+Δt ）＝10 m/s.∴瞬时速度v ＝2t ＝2×5＝10 m/s.7、解：0t ∆→时，瞬时速度v ＝22(2)(2)2(2)3(223)s t s t t t +∆-+∆+-⋅+=∆∆＝（8+2Δt ）＝8cm/s【励志故事】遭窃的罗斯福罗斯福还未当上美国总统之前，家中遭窃，朋友写信安慰他．罗斯福回信说：“谢谢你的来信，我现在心中很平静，因为：第一、窃贼只偷去我的财物，并没有伤害我的生命．第二、窃贼只偷走部分的东西，而非全部．第三、最值得庆幸的是：做贼的是他，而不是我．”。