人教版高中数学高考总复习函数概念习题及详解及参考答案

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高中数学函数与导数复习题集附答案

高中数学函数与导数复习题集附答案1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义函数是一种具有对应关系的数学工具，它使得一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。

一般来说，函数由输入和输出组成，输入称为自变量，输出称为因变量。

1.2 函数的性质函数有以下几个基本性质：- 定义域：函数的自变量能取的值的范围。

例如，对于函数f(x) =√x，定义域是非负实数集。

- 值域：函数的因变量能取的值的范围。

继续以f(x) = √x为例，值域是非负实数集。

- 单调性：函数的增减关系。

可分为严格单调递增、严格单调递减、非严格单调递增、非严格单调递减四种情况。

- 奇偶性：函数图像相对于y轴的对称性。

奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

- 周期性：函数图像的重复性。

周期函数满足f(x+T) = f(x)，其中T为正数。

2. 常见函数类型及性质2.1 一次函数（线性函数）一次函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。

- 斜率 k 决定了函数图像的斜率和单调性。

- 截距 b 决定了函数图像与y轴的交点位置。

2.2 二次函数（抛物线函数）二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a ≠ 0。

- 抛物线开口方向由二次项系数a的正负决定。

- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

- 对称轴方程为x = -b/2a。

2.3 幂函数幂函数的一般形式为f(x) = x^a，其中a为常数。

- 当a > 1时，函数图像在定义域上是递增的。

- 当0 < a < 1时，函数图像在定义域上是递减的。

- 当a < 0时，函数图像具有奇对称性。

2.4 指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。

- 指数函数的图像都通过点(0, 1)。

- 当a > 1时，函数图像在整个定义域上递增。

高三第三章函数参考答案

高三第三章函数参考答案高三第三章函数参考答案函数是高中数学中的重要概念，也是数学学习中的重要内容之一。

在高三的第三章函数中，我们学习了函数的定义、性质以及一些常见的函数类型。

下面将给出一些高三第三章函数的参考答案，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一章的知识。

一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用符号表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示自变量x经过函数f的变换后得到的值。

2. 函数的性质：(1) 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

(2) 单调性：函数的单调性指函数在定义域内的增减性质。

如果对于任意的x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为增函数；如果当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为减函数。

(3) 奇偶性：函数的奇偶性指函数的对称性质。

如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。

二、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型之一，它的函数表达式为y=kx+b，其中k和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，常数b表示直线与y轴的截距。

2. 幂函数：幂函数是形如y=x^n的函数，其中n为常数。

幂函数的图像随着n的不同而变化，当n>1时，函数图像呈现上升的曲线；当0<n<1时，函数图像呈现下降的曲线。

3. 指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。

指数函数的图像呈现递增或递减的曲线，斜率随着a的大小而变化，当a>1时，函数图像呈现上升的曲线；当0<a<1时，函数图像呈现下降的曲线。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它的函数表达式为y=loga(x)，其中a为底数，x为真数。

高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析

专题3.1 函数的概念及其表示1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩则(3)f =（）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．练基础3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（）A ．16B ．18C ．21D ．24【答案】B 【解析】根据分段函数解析式直接求解. 【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=. 故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（） A ．1 B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果. 【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x x=的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+ 【解析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3 【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果. 【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则0f x 或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=-AB .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2 【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+， 1y x x =-在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________. 【答案】1或- 【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可. 【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：2a =-，故1a =或2-，故答案为：1或2-. 10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围. 【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=. 所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（） A ．t 没有最小值 B ．t 1 C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值. 【详解】如图，作出函数()f x 的图象，练提升()()f n f m =且n m >，则1m ，且1n >，2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤222211317(32)()333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤∴当n =()min 1n m -=.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案. 【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-. 故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）A ．865y x =+ B ．225y x x =--+ C ．y =D ．11y x=- 【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断. 【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x +-，则f (x )满足的关系有（）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x - C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x ) D ．1()()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案. 【详解】因为f (x )= 2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x +-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项， 1()f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（） A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f x g x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，()()()f xy f x f y =+，则（）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞ 【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈ 【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确. 故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.1a ≤< 【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x =，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝⎭⎝⎭，由于01a <<1a ≤<.故答案为：112a ≤< 9. （2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析. 【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象. 【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩. ()m x 图象如下图所示：10. （2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-. （1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞.【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集. 【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩. 则对应的图象如图：（2）函数()min x 的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞.1.（山东高考真题）设f (x )={√x,0<x <12(x −1),x ≥1 ,若f (a )=f (a +1),则f (1a )=（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x −1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f(a)=f(a +1)得√a =2(a +1−1),解得a =14,则f (1a )=f(4)=2(4−1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（） A ．√3 B ．√32 C ．√33 D ．0 【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）=√3，√33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或练真题者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=√32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ．3. （2018年新课标I 卷文）设函数f (x )={2−x ， x ≤01 ， x >0 ，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（）A. (−∞ ， −1]B. (0 ， +∞)C. (−1 ， 0)D. (−∞ ， 0) 【答案】D【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有{2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(−∞ ， 0)，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ，()f x 的最小值是．【答案】162- 【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。

高中数学函数题型练习与参考答案

高中数学函数题型练习与参考答案1. 函数概念与性质练习题1.1 判断题：1）对于任意函数 f(x) 和 g(x)，若它们的定义域相同且在定义域上满足 f(x) = g(x)，则它们一定是同一个函数。

（√）2）对于函数 f(x) = x^2 + 1，当 x > 0 时，f(x) > 0。

（√）3）对于函数 f(x) = 2^x，其值域为全体正实数。

（√）1.2 填空题：1）设函数 f(x) = ax + b，若 f(1) = 2，f(-1) = -2，则 a = 2，b = 0。

2）函数 f(x) = 3^x 的定义域为 (-∞, +∞)。

3）若函数 f(x) = 3x + a 在 x = 0 处有极值 5，则 a = 5。

2. 函数的图像与性质练习题2.1 判断题：1）若函数 f(x) 为偶函数，则它的图像关于 y 轴对称。

（√）2）若函数 f(x) 为奇函数，则它的图像关于原点对称。

（√）3）若函数 f(x) 的图像关于点 (1, 2) 对称，则它一定为偶函数。

（×）2.2 填空题：1）函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图像顶点坐标为 (-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ 表示判别式。

2）函数 f(x) = a^x 在平面直角坐标系中的图像上，点 (0, 1) 必在曲线上。

3）给定函数 f(x) = a(x - h)^2 + k，若其图像顶点为 (2, -3)，则 h = 2，k = -3。

3. 函数的运算与复合练习题3.1 判断题：1）复合函数 (f ∘ g)(x) = f(g(x))，其中 f(x) 和 g(x) 都是函数。

（√）2）若函数 f(x) = sinx，g(x) = 2x，则 (f - g)(x) = sinx - 2x。

（√）3）若函数 f(x) = x + 1，则 f(f(x)) = x + 2。

（√）3.2 填空题：1）设函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3，g(x) = x - 1，则 (f + g)(2) = 11。

高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题(含答案解析)

高中数学高考总复习----函数与方程知识讲解及巩固练习题（含答案解析）【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。

【知识网络】【考点梳理】1．函数零点的理解（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数．（2）变号零点与不变号零点①若函数在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点．②若函数在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点．③若函数在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a ，b ）内有零点的充分不必要条件．要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。

2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．（2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根．要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。

3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题函数与方程函数的零点二分法函数与方程的关系（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点即为方程的根．【典型例题】类型一、判断函数零点的位置例1.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：∵f(0)＝1>0，f(－1)＝<0，∴选B.答案：B点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式】已知函数，当时，函数的零点,则．.解：用数形结合法作出及的图象，作出及由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．类型二、确定函数零点的个数例2.二次函数中，，则函数的零点的个数是()A.1B.2C.0D.无法确定解法1：∴方程有两个不相等的实数根∴函数有两个零点，选B.解法2：，不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.点评：可以利用函数图象或方程的判别式.举一反三：【变式】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4]解析：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝54π－12时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝54π－12<4，有交点，故选A.答案：A例3.（2015安徽三模）定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．答案：D【解析】当时，，当时，，为奇函数时，画出和的图像如图所示：共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为，，，，，则，，而即即所以，故选D.举一反三：【变式1】（2015河东区一模）函数在定义域内零点的个数为（）A.0B.1C.2D.3答案：C【解析】由题意，函数的定义域为；求函数在定义域内零点的个数等价于求函数和函数的图像在上的交点个数，在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下：由图得，两个函数图像有两个交点，故对应函数有两个零点.故选C.【变式2】已知函数，.若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围。

函数概念练习题(含解析)

2
， y
2x 1 的值域为 , 2
x3
2,
.
（4）令
x 1 t ，则 t 0 且 x t2 1， y 2
t2 1
t 2t 2 t 2 2 t
1 4
2
15 ， 8
则当 t
1 4
时，
ymin
15 8
，
y
2x
x
1
的值域为
15 8
,
.
18．(1) R
(2){x∣1 x 4}
A． f (x) x0 与 g(x) 1
B． f (x) x 与 g(x) x2 x
C．
f
x
1，x 0， 1，x 0 与
g
x
x x
，x
1，x
0
0， D．
f
(x)
(x 1)2 与 g(x) x 1
6．若函数
f
2x 1 的定义域为1,1 ，则函数 y
f
x 1
的定义域为（
）
x 1
A． 1, 2
x 不是同一函数. 故选：C. 9．A 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的最值，即可得到结果.
【详解】设 t 3 x ，则 t 0 ，即 x 3 t2 ，所以 y f t 2 3 t2 4t 2 t 12 8，
因为 t 0 ，所以当 t 1时，函数取得最大值为 8 . 故选：A 10．C 【分析】把自变量直接代入解析式即可求解.
x 1
故选：D
7．C
【分析】逐个求解函数的定义域判断即可
【详解】对于 A，由 x 0 ，得函数的定义域为[0, ) ，所以 A 错误，
答案第 2页，共 6页
对于 B，由 x 1 0 ，得 x 1 ，所以函数的定义域为 (,1) (1,) ，所以 B 错误，

函数的概念试题及答案高中

函数的概念试题及答案高中一、选择题1. 下列哪个选项正确描述了函数的概念？A. 函数是一种运算B. 函数是一种关系C. 函数是一种映射D. 函数是一种变量2. 如果f(x) = 2x + 3，那么f(-1)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 53. 函数y = x^2 + 1在x = -2时的值是多少？A. 5B. 4C. 3D. 1二、填空题4. 如果一个函数f(x)的定义域是所有实数R，那么这个函数被称为_________函数。

5. 函数f(x) = 3x - 2的反函数是_________。

三、简答题6. 函数的三要素是什么？7. 请解释什么是函数的值域，并给出一个例子。

四、计算题8. 给定函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求出当x = 0, 1, 2, 3时的函数值。

答案一、选择题1. C. 函数是一种映射2. A. -1（计算过程：f(-1) = 2*(-1) + 3 = -2 + 3 = 1）3. A. 5（计算过程：y = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5）二、填空题4. 无界5. f^(-1)(x) = (x + 2) / 3三、简答题6. 函数的三要素包括：定义域（Domain）、值域（Range）和对应法则（Rule of correspondence）。

7. 函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。

例如，函数y =x^2的值域是所有非负实数，即[0, +∞)。

四、计算题8. 当x = 0时，f(x) = 0^2 - 4*0 + 4 = 4；当x = 1时，f(x) = 1^2 - 4*1 + 4 = 1；当x = 2时，f(x) = 2^2 - 4*2 + 4 = 0；当x = 3时，f(x) = 3^2 - 4*3 + 4 = 1。

结束语：通过本试题的练习，希望同学们能够加深对函数概念的理解，掌握函数的基本性质和计算方法。

函数是数学中的基础工具，对后续的数学学习至关重要。

高中数学函数的概念知识点总结及练习题(含答案)

高中数学函数的概念知识点总结及练习题（含答案）※函数的定义设f是集合A﹐B中元素之间的一个对应关系。

若对于集合A中的每个元素a﹐都可以找到集合B中的唯一元素b﹐使得a对应到b﹐则称f为A到B的一个函数。

用f：A→ B表示此函数。

而a对应到b记为f（a）＝b﹐b称为函数f在a的值。

集合A称为f的定义域﹐集合B称为f的对应域高中数学中常见的函数﹐例如多项式函数﹑指数函数﹑对数函数﹑三角函数等﹐因为函数值都是实数﹐故对应域皆可定为实数集合R﹐通称为实数值函数。

一般而言﹐实数值函数的定义域指的是﹐会使函数作用有意义的最大可能集合。

※根式函数y＝x此函数是由非负实数所成的集合﹐到实数集合R的一个对应关系每一个非负实数﹐都有唯一的非负平方根。

函数的定义域：{x|x∈﹐且x≥0}函数的对应域：实数集合R函数的值域：{y|y∈﹐且y≥0}例题1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试求下列各函数的定义域：(1)f （x ）＝1x (2)f （x ）＝3－x (3)f （x ）＝1x 2－x ＋1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (1)定义域为{x |x ∈﹐且 x 0}。

(2)定义域为{x |x ∈﹐且 x ≤3}。

(3)分母须有 x 2－x ＋10﹐但 x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋34 ＞0 恒成立﹐故定义域为 R 。

随堂练习 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 试求下列各函数的定义域： (1)f （x ）＝1x 2－4 (2)f （x ）＝1x 2＋x ＋1(3)f （x ）＝x －2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------※区间的符号设 a ﹐b 为实数﹐且 a ＜b 。

高中数学函数经典复习题含答案

高中数学函数经典复习题含答案1、求函数的定义域1）y=(x-1)/(x^2-2x-15)先求分母为0的解：x^2-2x-15=0x-5)(x+3)=0得到：x=5或x=-3但是x=-3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-3)∪(-3,5)∪(5,+∞)2）y=1-((x+1)/(x+3))-3先求分母为0的解：x+3=0得到：x=-3但是x=-3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞)2、设函数1/(x-1)+(2x-1)+4-x^2的定义域为[1,∞)，则函数f(x^2)的定义域为[1,∞)；函数f(x-2)的定义域为[3,∞)。

3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域为[-1,2]，函数f(2x-1)的值域为[-2,3]。

4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。

因为F(x)的定义域存在，所以f(x+m)和f(x-m)的定义域必须都存在，即：1≤x+m≤11≤x-m≤1将两个不等式联立，得到：1≤x≤1m≤x≤m所以m的取值范围为[-1,1]。

二、求函数的值域5、求下列函数的值域：1）y=x+2/x-3 (x∈R)先求分母为0的解：x-3=0得到：x=3但是x=3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,3)∪(3,+∞)当x→±∞时，y→±∞，所以值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)2）y=x+2/x-3 (x∈[1,2])先求分母为0的解：x-3=0得到：x=3但是x=3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为[1,3)∪(3,2]∪(2,+∞)当x→1+时，y→-∞，当x→2-时，y→+∞，所以值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)3）y=22/(3x-13x-1)先求分母为0的解：3x-13x-1=0得到：x=4但是x=4不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,4)∪(4,+∞)当x→±∞时，y→0，所以值域为(0,+∞)4）y=(5x^2+9x+4)/(2x-6) (x≥5)当x→+∞时，y→+∞，当x→5+时，y→+∞，所以值域为[5,+∞)5）y=(x-3)/(x+1)+x+1先求分母为0的解：x+1=0得到：x=-1但是x=-1不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)化简得到y=x-2，所以值域为(-∞,-2]∪[-2,+∞)6）y=(x-3+x+1)/(2x-1x+2)先求分母为0的解：2x-1=0或x+2=0得到：x=1/2或x=-2但是x=1/2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,1/2)∪(1/2,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=1/2，所以值域为{1/2}7）y=x^2-x/(x+2)先求分母为0的解：x+2=0得到：x=-2但是x=-2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=x-2-5/(x+2)，所以值域为(-∞,-13/4]∪[1/4,+∞)8）y=(2-x^2-x)/(3x+6)先求分母为0的解：3x+6=0得到：x=-2但是x=-2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=-1/3，所以值域为{-1/3}三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1)=x-4x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式。

函数的概念(含答案解析)

函数的概念一、选择题1.函数y=+的定义域为( )A.{x|x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|x≥1,或x≤0}D.{x|0≤x≤1}【解析】选D.要使函数有意义,需解得0≤x≤1.2.若函数y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤8,x≠5},值域为{y|-1≤y≤2,y≠0},则y=f(x)的图象可能是( )【解析】选B.A中y取不到2,C中不是函数关系,D中x取不到0.3.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是( )A.f:x→y=xB.f:x→y=xC.f:x→y=xD.f:x→y=【解题指南】解答此类问题时,若否定结论则只需找一反例即可.【解析】选C.因为P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},从P到Q的对应关系f:x→y=x,当x=4时,y=>2,所以在集合Q中没有数y与之对应,故构不成函数.4.下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2B.y=x+1C.x+y=0D.y=x2【解析】选A.从函数的概念来看,一个自变量x对应一个y;而A中x=y2中一个x 对应两个y.所以A不是函数.5.函数f(x)=(x∈R)的值域是( )A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)【解析】选C.因为x2≥0,所以x2+1≥1,所以0<≤1,所以值域为(0,1].6.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A.y=与y=x+1B.y=与y=C.y=-1与y=x-1D.y=x与y=【解析】选D.对于选项A:函数y=的定义域不包含1,而y=x+1的定义域是R,显然不是同一个函数.对于选项B:函数y=的定义域为x≥0,而函数y=的定义域是{x|x≠0},显然不是同一个函数.对于选项C:函数y=-1的值域是大于等于-1的,而直线y=x-1的值域是R,显然不是同一个函数.对于选项D:因为y=x与y=的最简解析式相等,且定义域都为R,所以为同一个函数.7.函数y=2的值域是( )A.[0,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,+∞)D.[,+∞)【解析】选A.因为x≥0,所以≥0,所以y≥0,所以函数的值域为[0,+∞).8.已知函数f(x)的定义域为[0,1),则函数f(1-x)的定义域为( )A.[0,1)B.(0,1]C.[-1,1]D.[-1,0)∪(0,1]【解题指南】原函数的定义域,即为1-x的范围,解不等式组即可得解.【解析】选B.因为原函数的定义域为[0,1),所以0≤1-x<1,即所以0<x≤1,所以函数f(1-x)的定义域为(0,1].9.下列函数中,与函数y=有相同定义域的是( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=|x|D.f(x)=【解析】选B.因为函数y=的定义域是{x|x≠0},所以A,C,D都不对.10.已知函数f(x)=-1,则f(2)的值为( )A.-2B.-1C.0D.不确定【解题指南】解答本题的关键是明确对应关系为定义域中的任意变量的值都对应于-1,即该函数为常函数.【解析】选 B.因为函数f(x)=-1,所以不论x取何值其函数值都等于-1,故f(2)=-1.11.函数y=的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( )A.(-∞,0)∪B.(-∞,2]C.∪[2,+∞)D.(0,+∞)【解题指南】根据定义域求值域.【解析】选A.因为x∈(-∞,1)∪[2,5),所以x-1∈(-∞,0)∪[1,4),当x-1∈(-∞,0)时,∈(-∞,0);当x-1∈[1,4)时,∈.12.函数f(x)的定义域为[-6,2],则函数y=f()的定义域为( )A.[-4,4]B.[-2,2]C.[0,]D.[0,4]【解析】选D.因为函数f(x)的定义域为[-6,2],所以-6≤≤2,又因为≥0,所以0≤≤2,所以0≤x≤4.二、填空题1.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.2.已知函数f(x)=ax2-1(a≠0),且f(f(1))=-1,则a的取值为.【解析】因为f(x)=ax2-1,所以f(1)=a-1,f(f(1))=f(a-1)=a(a-1)2-1=-1,所以a(a-1)2=0,又因为a≠0,所以a-1=0,所以a=1.答案:13.四个函数:(1)y=x+1;(2)y=x3;(3)y=x2-1;(4)y=.其中定义域相同的函数的序号是.【解析】函数y=x+1的定义域是R;函数y=x3的定义域是R;函数y=x2-1的定义域是R;函数y=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).由此可知定义域相同的序号是(1)(2)(3).答案:(1)(2)(3)4.若函数y=的定义域是A,函数y=的值域是B,则A∩B= . 【解析】由题意知A={x|x≠2},B={y|y≥0},则A∩B=[0,2)∪(2,+∞).答案:[0,2)∪(2,+∞)三、解答题1.已知函数f(x)=x2+x-1,求(1)f(2).(2)f.(3)若f(x)=5,求x的值.【解析】(1)f(2)=4+2-1=5.(2)f=+-1=++1.(3)f(x)=5,即x2+x-1=5.由x2+x-6=0得x=2或x=-3.2.已知f(x)=,x∈R.(1)计算f(a)+f的值.(2)计算f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f的值.【解题指南】(1)将函数的自变量代入计算即可,(2)可以分别将f(1),f(2),f,f(3),f,f(4),f的函数值算出再相加,也可以根据待求式中数据的特征,结合(1)中所得结果求解.【解析】(1)由于f(a)=,f=,所以f(a)+f=1.(2)方法一:因为f(1)==,f(2)==,f==,f(3)==,f==,f(4)==,f==,所以f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=++++++=.方法二:因为f(a)+f=1,从而f(2)+f=f(3)+f=f(4)+f=1,即++f(4)+f=3,而f(1)=,所以f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=.3.已知函数y=(1<x≤2),求函数值域.【解析】设x1,x2∈(1,2]且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1<x2,所以x2-x1>0,因为x1,x2∈(1,2],所以(2x1-1)(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(1,2]上单调递减,所以当1<x≤2时,f(2)≤f(x)<f(1),即≤f(x)<1,所以函数的值域为.4.记函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=图象在二、四象限时,k的取值集合为B,函数h(x)=x2+2x+4的值域为集合C.(1)求集合A,B,C.(2)求集合A∪(B),A∩(B∪C).R【解析】(1)由2x-3>0,得x>,所以A=, 又由k-1<0,得k<1,所以B=,而h(x)=x2+2x+4=+3≥3,所以C=.B)=,A∩(B∪C)=.(2)A∪(R。

高三数学专题复习-函数概念及其表示专题练习带答案

04 函数概念及其表示1．函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 【答案】D.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，12)．2.已知集合A={x|x 2-2x ≤0},B={y|y=log 2(x+2),x ∈A },则A ∩B 为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2]【答案】D由题意,集合A={x|x 2-2x ≤0}=[0,2], 因为x ∈A ,则x+2∈[2,4],所以B={y|y=log 2(x+2),x ∈A }=[1,2], 所以A ∩B=[1,2].故选D .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f （x ＋5），x ＜－2，若f (2 019)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2【答案】B.由于f (2 019)＝f (－2 019)＝f (－404×5＋1)＝f (1)＝a ＋1＝0，故a ＝－1.4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=【答案】Dy=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞).A 项中,y=x 的定义域和值域均为R;B 项中,y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R;C 项中,y=2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);D 项中,y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D . 5．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1e D ．－1【答案】B.解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e1－t ，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.6.若函数y=f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-f (x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]【答案】C∵1≤f (x )≤3,∴1≤f (x+3)≤3,-3≤-f (x+3)≤-1,∴-2≤1-f (x+3)≤0.故F (x )的值域为[-2,0].7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ， x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B ．78C.34 D ．12【答案】D.f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ，即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ，即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去．综上，b ＝12，故选D.8. 若任意都有，则函数的图象的对称轴方程为A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】A令，代入则联立方程得解方程得=所以对称轴方程为解得所以选A 。

2020-2021学年人教版高三数学复习《2.11 函数与方程》练习及解析答案

第十一节函数与方程一、基础知识考点一函数零点个数、所在区间[典例] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≤0，1＋1x，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点[题组训练]1.[定理法]函数f (x )＝x 3－x 2－1的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(1,2)D ．(2,3)2.[解方程法或图象法]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3 B ．2 C ．7 D ．0 3.[图象法]设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)考点二函数零点的应用考法(一) 已知函数零点个数求参数范围[典例]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围[典例] 若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．[题组训练]1．若函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ．(0,2)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －94，x ≤0，x －2，x >0.若方程f (x )＝a 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－52，－94∪[－2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－52，－94∪(－2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－52，－94∪(－2，＋∞) [课时跟踪检测]1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3 2．函数f (x )＝e x ＋x －3在区间(0,1)上的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)4．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)5．已知实数a ＞1,0＜b ＜1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)6．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内7．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(－∞，1]9．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则f (x )的零点为________． 11．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．12．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内，则k 的取值范围为________．(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．第十一节函数与方程(函数)一、基础知识1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)零点的几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．函数的零点不是函数y ＝f (x )与x 轴的交点，而是y ＝f (x )与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3．二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．考点一函数零点个数、所在区间[典例] (1)(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 [解析] (1)解方程法令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.(2)法一：图象法令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x<0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，e 上单调递减．又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内． [答案] (1)C (2)D[解题技法] 掌握判断函数零点个数的3种方法(1)解方程法若对应方程f (x )＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点．(2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．(3)数形结合法合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[题组训练]1.[定理法]函数f (x )＝x 3－x 2－1的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 函数f (x )＝x 3－x 2－1是连续函数．因为f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (2)＝8－4－1＝3>0，所以f (1)f (2)<0，结合选项可知函数的零点所在的区间是(1,2)．2.[解方程法或图象法]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．3B ．2C ．7D ．0解析：选B 法一：(解方程法) 由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：(图象法) 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．3.[图象法]设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在区间．如图如示，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．考点二函数零点的应用考法(一) 已知函数零点个数求参数范围[典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．[答案] C考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围[典例] (2019·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. [答案] ⎣⎡⎦⎤－14，2 [题组训练]1．(2019·北京西城区模拟)若函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －94，x ≤0，x －2，x >0.若方程f (x )＝a 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－52，－94∪[－2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－52，－94∪(－2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－52，－94∪(－2，＋∞) 解析：选C 方程f (x )＝a 有两个不相等的实数根等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y＝a 有两个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，a ∈⎝⎛⎦⎤－52，－94∪(－2，＋∞)． [课时跟踪检测]1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 12x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－12 D ．y ＝－x 3 解析：选B 函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增．故选B.2．(2018·重庆一中期中)函数f (x )＝e x ＋x －3在区间(0,1)上的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 由题知函数f (x )是增函数．根据函数的零点存在性定理及f (0)＝－2，f (1)＝e －2>0，可知函数f (x )在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.3．(2018·豫西南部分示范性高中联考)函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (1)·f (2)<0，∴根据零点存在性定理知f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为(1,2)． 4．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)解析：选C 由题意知，f (－1)·f (1)＜0，即(1－a )(1＋a )＜0，解得a ＜－1或a ＞1.5．已知实数a ＞1,0＜b ＜1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B 因为a ＞1,0＜b ＜1，所以f (x )＝a x ＋x －b 在R 上是单调增函数，所以 f (－1)＝1a－1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，由零点存在性定理可知，f (x )在区间(－1,0)上存在零点．6．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：选A 由题意知f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点的存在性定理可知函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．7．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.8．(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1]解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.9．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－1210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则f (x )的零点为________．解析：当x ＞0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数f (x )的零点为1，－1.答案：1，－111．(2019·太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.答案：⎝⎛⎭⎫14，12 12．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内，则k 的取值范围为________．解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ，则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1,2)内时，f (1)·f (2)<0，即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10.当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5,10)．答案：[5,10)13．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x .又因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0. (2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，故实数a的取值范围为(－1,1)．。

(完整版)高考数学函数专题习题及详细答案

函数专题练习1。

函数1()x y e x R +=∈的反函数是（）A ．1ln (0)y x x =+>B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>2。

已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是(A ）(0,1) (B ）1(0,)3 (C ）11[,)73（D ）1[,1)73。

在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x=（B )()||f x x = (C ）()2x f x =(D ）2()f x x =4。

已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则(A ）a b c << （B ）b a c << (C ）c b a << (D ）c a b <<5.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C 。

11(,)33- D . 1(,)3-∞-6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C 。

,y x x R =∈R7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如右图所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A 。

4B .3C . 2D .18、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数（B )()()f x f x -是奇函数（C ) ()()f x f x --是偶函数（D ） ()()f x f x +-是偶函数9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则A ．()22()x f x e x R =∈B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>C ．()22()x f x e x R =∈D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>)10、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（A ）0 (B )1 （C ）2 （D )311、对a ，b ∈R ，记max {a ，b }＝⎩⎨⎧≥b a b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max {|x ＋1｜，｜x －2|｝（x ∈R )的最小值是(A ）0 （B ）12 (C ) 32（D ）3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题: ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（一）填空题（4个)1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________。

2019-2020学年度最新人教版高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解Word版

2019-2020学年度最新人教版高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解Word 版(附参考答案)一、选择题1．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( )A ．至少有一实数根B ．至多有一实数根C ．没有实数根D ．有唯一实数根 [答案] D[解析] ∵函数f (x )在[a ，b ]上是单调减函数，又f (a )，f (b )异号．∴f (x )在[a ，b ]内有且仅有一个零点，故选D.2．(2010·文)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ [答案] B[解析] 易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12(x ＋1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B.3．(2010·模拟)设y 1＝0.413，y 2＝0.513，y 3＝0.514，则( ) A ．y 3<y 2<y 1B ．y 1<y 2<y 3C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2[答案] B[解析] ∵y ＝0.5x为减函数，∴0.513<0.514， ∵y ＝x 13在第一象限内是增函数，∴0.413<0.513，∴y 1<y 2<y 3，故选B.4．(2010·)已知函数⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1 x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)[答案] C[解析] ∵f (x )在R 上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a －2>0(a －2)×1－1≤log a 1，∴2<a ≤3，故选C.5．(文)(2010·山东济宁)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ≤0C ．a ≥－4D ．a ≤－4 [答案] D[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立， ∴g (0)≤0，g (1)≤0，即a ≤－4.(理)已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是( ) A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1 [答案] B[解析] ∵tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω<0.当－π2<x <π2时，有－π2≤πω2<ωx <－πω2≤π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ π2ω≥－π2－π2ω≤π2ω<0，∴－1≤ω<0.6．(2010·天津文)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c[答案] D[解析] ∵1>log 54>log 53>0，∴log 53>(log 53)2>0，而log 45>1，∴c >a >b .7．若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[－2,2]C ．{2}D ．[2，＋∞)[答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <x <2a 时，f (x )单调减，∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2，∴a ＝2.[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．8．(文)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (13)＝0，则适合不等式f (log 127x )>0的x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，13)C ．(0，＋∞)D ．(0，13)∪(3，＋∞) [答案] D[解析] ∵定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则由f (log 127x )>0，得|log 127x |>13，即log 127x >13或log 127x <－13.选D. (理)(2010·)已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a [答案] D[解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<f (2)<f (2)，即a <b <c .9．(2009·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[答案] C[解析] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<a <1.10．(2010·泉州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2[答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得，f (0)＝0，令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )．对任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[a ，b ]上最小值为f (b )．二、填空题11．(2010·重庆中学)已知函数f (x )＝ax ＋b x －4(a ，b 为常数)，f (lg2)＝0，则f (lg 12)＝________. [答案] －8[解析] 令φ(x )＝ax ＋b x，则φ(x )为奇函数，f (x )＝φ(x )－4， ∵f (lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4，∴f (lg 12)＝f (－lg2)＝φ(－lg2)－4 ＝－φ(lg2)－4＝－8.12．偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )在[－2，k ]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.[答案] 3[解析] ∵偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．因此，若k ≤0，则k －(－2)＝k ＋2<3，若k >0，∵f (x )在[－2,0]上单调减在[0，－k ]上单调增，∴最小值为f (0)，又在[－2，k ]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.13．函数f (x )＝ax －1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，则a 的取值范围是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫－∞，－13 [解析] ∵f (x )＝a －3a ＋1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a <－13. 14．(2010·江苏调研)设a (0<a <1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f (log a t )>0，则t 的取值范围是______．[答案] (1，1a )∪(0，a ) [解析] f (log a t )>0，即f (log a t )>f ⎝⎛⎭⎫12，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴log a t >12， ∵0<a <1，∴0<t <a .又f (x )为奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， ∴f (log a t )>0又可化为f (log a t )>f ⎝⎛⎭⎫－12， ∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，0)上为增函数，∴0>log a t >－12， ∵0<a <1，∴1<t <1a，综上知，0<t <a 或1<t <1a . 三、解答题15．(2010·东)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值集合．[解析] (1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1. 解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值集合是{x |0<x <1}．16．(2010·东)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1是奇函数(a >0，a ≠1)． (1)求m 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若当x ∈(1，a －2)时，f (x )的值域为(1，＋∞)，求实数a 的值．[解析] (1)依题意，f (－x )＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，即log a 1－mx x －1＋log a 1＋mx －x －1＝0， ∴1－mx x －1·1＋mx －x －1＝1，∴(1－m 2)x 2＝0恒成立， ∴1－m 2＝0，∴m ＝－1或m ＝1(不合题意，舍去)当m ＝－1时，由1＋x x －1>0得，x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数f (x )的定义域，又有f (－x )＝－f (x )，∴m ＝－1是符合题意的解．(2)∵f (x )＝log a 1＋x x －1， ∴f ′(x )＝x －1x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x －1′log a e ＝x －1x ＋1·(x －1)－(x ＋1)(x －1)2log a e ＝2log a e 1－x 2①若a >1，则log a e >0当x ∈(1，＋∞)时，1－x 2<0，∴f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，即(1，＋∞)是f (x )的单调递减区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f (x )的单调递减区间．②若0<a <1，则log a e <0当x ∈(1，＋∞)时，1－x 2<0，∴f ′(x )>0，∴(1，＋∞)是f (x )的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f (x )的单调递增区间．(3)令t ＝1＋x x －1＝1＋2x －1，则t 为x 的减函数 ∵x ∈(1，a －2)，∴t ∈⎝⎛⎭⎫1＋2a －3，＋∞且a >3，要使f (x )的值域为(1，＋∞)，需log a ⎝⎛⎭⎫1＋2a －3＝1，解得a ＝2＋ 3.17．(2010·山东文)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．[解析] (1)a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln2＋2，所以y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －(ln2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－ax 2 x ∈(0，＋∞)．令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，①当a ＝0时，g (x )＝1－x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，g (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )单调递增；②当a ≠0时，f ′(x )＝a (x －1)[x －(1a －1)]，(ⅰ)当a ＝12时，g (x )≥0恒成立，f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当0<a <12时，1a －1>1>0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减；x ∈(1，1a－1)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )单调递增； x ∈(1a－1，＋∞)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减； ③当a <0时，1a－1<0， x ∈(0,1)时，g (x )>0，有f ′(x )<0，f (x )单调递减x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，有f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，1a －1)上单调递增，在(1a－1，＋∞)上单调递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．。

人教版高中数学高考总复习抛物线习题及详解及参考答案

人教版高中数学高考总复习抛物线习题及详解及参考答案(附参考答案)一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2 B．2C．－4 D．4[答案]D[解析]椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝＝2，∴右焦点(2,0)，由题意知＝2，∴p＝4.2．已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A．相交B．相切C．相离D．以上三种情形都有可能[答案]B[解析]如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MD＝MF，ON＝OF，∴AB＝＝ON＋CM2＝＝，∴这个圆与y轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB 的中点(，)，∴＝2，∵A 、B 在抛物线y2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y12＝2px1 ①y22＝2px2 ②①－②得y12－y22＝2p(x1－x2)， ∴kAB ＝＝＝，∵kAB ＝1，∴，p ＝2∴抛物线方程为y2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线－＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y2＝2px(p>0)过点A ，则该抛物线的方程为()A ．y2＝9xB ．y2＝4xC ．y2＝xD ．y2＝x[答案]C[解析]∵双曲线－＝1的渐近线方程为y ＝±x ，F 点坐标为(，0)，设A 点坐标为(x ，y)，则y ＝±x ，由|AF|＝2⇒＝2⇒x ＝，y ＝±，代入y2＝2px 得p ＝，所以抛物线方程为y2＝x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B ．3C.D.92[答案]A[解析]记抛物线y2＝2x 的焦点为F ，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于＝，选A.6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为()A．(2,2) B．(2，－2)C．(2，±) D．(2，±2)[答案]D [解析]如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴＝＝3，∴|AM|＝3，设A，∴＋1＝3，解得y0＝±2，∴＝2，∴点A的坐标是(2，±2)，故选D. 7．(2010·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为()A．y2＝－2xB．y2＝－xC．y2＝4xD．y2＝－4x[答案]D [解析]设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5)的直线上任一点Q(x，y)，则∥a，∴＝，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F，∴m＝－4，故选D. 8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是()[答案]A [解析]若mn>0，则mx2＋ny2＝1应为椭圆，y2＝－x应开口向左，故排除C、D；∴mn<0，此时抛物线y2＝－x应开口向右，排除B，选A. 9．(2010·山东聊城模考)已知A、B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为()A ．±B ．±32 C ．±D ．±43[答案]D[解析]∵＝－4，∴||＝4||，设|BF|＝t ，则|AF|＝4t ，∴|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t ，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t ，∴|AM|＝4t ，∴tan ∠ABM ＝，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±.10．已知抛物线C 的方程为x2＝y ，过点A(0，－4)和点B(t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(，＋∞)[答案]B[解析]由题意知方程组无实数解由②得y ＝－4，代入①整理得， 2x2－＋4＝0，∴Δ＝－32<0，∴t>或t<－，故选B.[点评]可用数形结合法求解，设过点A(0，－4)与抛物线x2＝y 相切的直线与抛物线切点为M(x0，y0)，则切线方程为y －y0＝4x0(x －x0)，∵过A 点，∴－4－2x02＝4x0(0－x0)，∴x0＝±，∴y0＝4，∴切线方程为y －4＝±4x －8，令y ＝0得x ＝±，即t ＝±，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t<－或t>.二、填空题11．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．[答案](0,0)[解析]设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．[答案]y2＝3x[解析]设抛物线准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，FQ⊥l，垂足分别为A1、B1、Q，作BM⊥AA1垂足为M，BM交FQ于N，则由条件易知∠ABM＝30°，设|BF|＝t，则|NF|＝，|MA|＝，∵|AM|＝|QN|，∴3－＝p－，∴p＝，∴抛物线方程为y2＝3x. (理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．[答案]y2＝3x[解析]解法1：过A、B作准线垂线，垂足分别为A1，B1，则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3，∴p＝|CF|＝，∴抛物线方程为y2＝3x.解法2：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离，由|BC|＝2|BF|得∠BCB1＝30°，又|AF|＝3，从而A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝.点评：还可以由|BC|＝2|BF|得出∠BCB1＝30°，从而求得A点的横坐标为|OF|＋|AF|＝＋或3－，∴＋＝3－，∴p＝. 13．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．[答案]3＋22 [解析]分别由A和B向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，则由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧|AA1|＋|BB1|＝|AB|，|AA1|－|BB1|＝22|AB|，解得，∴＝3＋2，即＝3＋2.14．(文)若点(3,1)是抛物线y2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案]2[解析]设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则，两式相减得，＝＝2，∵y1＋y2＝2，∴p ＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x2＝12y 的焦点为F ，经过点P(2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF|＋|BF|＝________.[答案]8[解析]过A 、B 、P 作准线的垂线AA1、BB1与PP1，垂足A1、B1、P1，则|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|PP1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C1：＋＝1(0<b<2)的离心率等于，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在椭圆C1的顶点上．(1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(－1,0)的直线l 与抛物线C2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l 的方程．[解析](1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝，由离心率e ＝＝＝得，b2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x2＝4y.(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)， ∵y ＝x2，∴y ′＝x ，∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2，当l1⊥l2时，x1·x 2＝－1，即x1·x 2＝－4，由得：x2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.又x1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，⊥，＝(0，－2)，点M 在y 轴上且＝(＋)，点C 在x 轴上移动．(1)求B 点的轨迹E 的方程；(2)过点F 的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若＝，求直线l的方程．[解析](1)设B(x ，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x0≠0，∵⊥，∴∠ACB ＝，∴·＝－1，于是x02＝2y0①M 在y 轴上且＝(＋)，所以M 是BC 的中点，可得⎩⎪⎨⎪⎧x0＋x2＝0y ＋02＝y0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－x ②y0＝y2 ③把②③代入①，得y ＝x2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x2(x ≠0)．(2)点F ，设满足条件的直线l 方程为：y ＝kx －，H(x1，y1)，G(x2，y2)，由消去y 得，x2－kx ＋＝0.Δ＝k2－1>0⇒k2>1，∵＝，即＝(x2－x1，y2－y1)，∴x1＝x2－x1⇒3x1＝x2.∵x1＋x2＝k ，x1x2＝，∴k ＝±，故满足条件的直线有两条，方程为：8x＋4y＋＝0和8x－4y－＝0. 16．(文)已知P(x，y)为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．[解析](1)由题意得：－x＝1，化简得：y2＝4x(x≥0)．∴点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)．(2)设直线AB为y＝k(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得ky2－4y－4km＝0，∴y1＋y2＝，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.即m2－4m＝0⇒m＝0或4.当k不存在时，m＝0或4.∴存在m＝0或4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．[点评](1)点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，即点P到定点F(1,0)的距离与到定直线l：x＝－1的距离相等．∴P点轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴p＝2，∴方程为y2＝4x. (理)已知抛物线y2＝4x，过点(0，－2)的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．(1)若·＝4，求直线AB的方程．(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点(n,0)，求n的取值范围．[解析](1)设直线AB的方程为y＝kx－2(k≠0)，代入y2＝4x中得，k2x2－(4k＋4)x＋4＝0①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝(kx1－2)·(kx2－2)＝k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝－.∵·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－＝4，∴k2＋2k－1＝0，解得k＝－1±.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k2＝32k ＋16>0得k>－，∴k ＝－1＋，∴直线AB 的方程为(－1)x －y －2＝0.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x0，y0)，则由(1)知x0＝＝，y0＝kx0－2＝，∴线段AB 的垂直平分线的方程是y －＝－.令y ＝0，得n ＝2＋＝＋＋2＝22＋.又由k>－且k ≠0得<－2，或>0，∴n>22＋＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)．17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过点K(－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D.(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设·＝，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)(1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y2＝4x 并整理得y2－4my ＋4＝0，从而y1＋y2＝4m ，y1y2＝4①直线BD 的方程为y －y2＝(x －x2)即y －y2＝4y2－y1⎝⎛⎭⎪⎫x －y224令y ＝0，得x ＝＝1，所以点F(1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1，y1)·(x 2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝，解得m ＝±，直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.从而y2－y1＝±＝±，故＝±37因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.因为KF为∠BKD的角平分线，故可设圆心M(t,0)，(－1<t<1)，M(t,0)到直线l及BD的距离分别为，，由＝得t＝或t＝9(舍去)，故圆M的半径为r＝＝，所以圆M的方程为2＋y2＝. (理)(2010·揭阳市模考)已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析](1)法一：连结CP，由·＝0知，AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简得，x2－x＋y2＝4.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，根据题意知，x12＋y12＝9，x22＋y22＝9,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，∴4x2＝x12＋2x1x2＋x22,4y2＝y12＋2y1y2＋y22故4x2＋4y2＝(x12＋y12)＋(2x1x2＋2y1y2)＋(x22＋y22)＝18＋2(x1x2＋y1y2)①又∵·＝0，∴(1－x1，－y1)·(1－x2，－y2)＝0∴(1－x1)×(1－x2)＋y1y2＝0，故x1x2＋y1y2＝(x1＋x2)－1＝2x－1，代入①式得，4x2＋4y2＝18＋2(2x－1)，化简得，x2－x＋y2＝4. (2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，由方程组得，x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。

[配套k12学习]2019年人教版高中数学高考总复习函数概念习题及详解Word版

高中数学高考总复习函数概念习题(附参考答案)一、选择题1．(文)(2010·浙江文)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意知，f (a )＝log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2， ∴a ＝1.(理)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ∈(－∞，2]log 2x x ∈(2，＋∞)，则满足f (x )＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16[答案] C[解析] 当f (x )＝2x 时.2x ＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.2．(文)(2010·湖北文，3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x >02x x ≤0，则f (f (19))＝( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14[答案] B[解析] ∵f (19)＝log 319＝－2<0∴f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－1 (x <1)lg x (x ≥1)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10)[答案] A[解析] 由⎩⎨⎧x 0<121－x 0－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1lg x 0>1⇒x 0<0或x 0>10.3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个[答案] C[解析] 由x 2＝1得x ＝±1，由x 2＝4得x ＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C.4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f (x )＝1－2x1＋x ，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则g (1)等于( )A ．－32B ．－1C ．－12D ．0[答案] D[解析] 设g (1)＝a ，由已知条件知，f (x )与g (x )互为反函数，∴f (a )＝1，即1－2a1＋a ＝1，∴a ＝0.5．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( )[答案] A[解析] 解法1：y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位得y＝f(1－x)的图象，故选A.解法2：由f(0)＝0知，y＝f(1－x)的图象应过(1,0)点，排除B、C；由x＝1不在y＝f(x)的定义域内知，y＝f(1－x)的定义域应不包括x＝0，排除D，故选A.6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表，填写下列g(f(x))的表格，其三个数依次为()A.3,1,2C．1,2,3 D．3,2,1[答案] D[解析]由表格可知，f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，g(1)＝1，g(2)＝3，g(3)＝2，∴g(f(1))＝g(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2，g(f(3))＝g(1)＝1，∴三个数依次为3,2,1，故选D.(理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为()A．{1} B．{2}C．{3} D．∅[答案] C[解析]g[f(1)]＝g(2)＝2，g[f(2)]＝g(3)＝1；g [f (3)]＝g (1)＝3，故选C.7．若函数f (x )＝log a (x ＋1) (a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) A.13B. 2C.22D ．2[答案] D[解析] ∵0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2，又∵0≤log a (x ＋1)≤1，故a >1，且log a 2＝1，∴a ＝2.8．(文)(2010·天津文)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) [答案] D[解析] 由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2 x <－1或x >2x 2－x －2 －1≤x ≤21°当x <－1或x >2时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74 由函数的图可得f (x )∈(2，＋∞)．2°当－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94，故当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－94，当x ＝－1时，f (x )max ＝f (－1)＝0， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－94，0. 综上所述，该分段函数的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)． (理)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x ) (x ≤0)f (x －1)－f (x －2) (x >0)，则f (2010)的值为( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] f (2010)＝f (2009)－f (2008)＝(f (2008)－f (2007))－f (2008)＝－f (2007)，同理f (2007)＝－f (2004)，∴f (2010)＝f (2004)，∴当x >0时，f (x )以6为周期进行循环， ∴f (2010)＝f (0)＝log 21＝0.9．(文)对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ；b ，若a >b函数f (x )＝log 12(3x－2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[答案] C[解析] ∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ，b ，若a >b .而函数f (x )＝log 12(3x －2)与log 2x 的大致图象如右图所示，∴f (x )的值域为(－∞，0]．(理)定义max{a 、b 、c }表示a 、b 、c 三个数中的最大值，f (x )＝max{⎝⎛⎭⎫12x，x －2，log 2x (x >0)}，则f (x )的最小值所在范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,3)[答案] C[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝x －2与y ＝log 2x 的图象，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 2x 图象的交点为A (x 1，y 1)，y ＝x －2与y ＝log 2x 图象的交点为B (x 2，y 2)，则由f (x )的定义知，当x ≤x 1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，当x 1<x <x 2时，f (x )＝log 2x ，当x ≥x 2时，f (x )＝x －2，∴f (x )的最小值在A 点取得，∵0<y 1<1，故选C.10．(文)(2010·江西吉安一中)如图，已知四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1,2y )作用下的象集为四边形A 1B 1C 1D 1，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12，则四边形ABCD 的面积是( )A ．9B ．6C ．6 3D ．12[答案] B[解析] 本题考察阅读理解能力，由映射f 的定义知，在f 作用下点(x ，y )变为(x ＋1,2y )，∴在f 作用下|A 1C 1|＝|AC |，|B 1D 1|＝2|BD |，且A 1、C 1仍在x 轴上，B 1、D 1仍在y 轴上，故S ABCD ＝12|AC |·|BD |＝12|A 1C 1|·12|B 1D 1|＝12SA 1B 1C 1D 1＝6，故选B. (理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02 x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 解法1：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c (－2)2＋b ·(－2)＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋2 x ≤02 x >0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x 得，x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．解法2：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2可得，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图如图所示．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．二、填空题11．(文)(2010·北京东城区)函数y ＝x ＋1＋lg(2－x )的定义域是________． [答案] [－1,2)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x >0得，－1≤x <2.(理)函数f (x )＝x ＋4－x 的最大值与最小值的比值为________． [答案]2[解析] ∵⎩⎨⎧x ≥04－x ≥0，∴0≤x ≤4，f 2(x )＝4＋2x (4－x )≤4＋[x ＋(4－x )]＝8，且f2(x )≥4，∵f (x )≥0，∴2≤f (x )≤22，故所求比值为 2.[点评] (1)可用导数求解；(2)∵0≤x ≤4，∴0≤x 4≤1，故可令x 4＝sin 2θ(0≤θ≤π2)转化为三角函数求解．12．函数y ＝cos x －1sin x －2 x ∈[0，π]的值域为________．[答案] ⎣⎡⎦⎤0，43 [解析] 函数表示点(sin α，cos α)与点(2,1)连线斜率．而点(sin α，cos α)α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知y ∈[0，43]．13．(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数，有下列函数①f (x )＝sin2x ②g (x )＝x 3 ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是________．(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④[解析] 其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1)，(1,1)，(2,8)等，③过(0,1)，(－1,3)等．14．(文)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝________.[答案] 2011[解析] 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝1，∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝2011. (理)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有的正确命题的序号为________． [答案] ①②[解析] ①f (x )＝x |x |＋c＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋c ，x ≥0－x 2＋c ，x <0，如右图与x 轴只有一个交点．所以方程f (x )＝0只有一个实数根正确．②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx 显然是奇函数．③当c ＝0，b <0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ，x ≥0－x 2＋bx ，x <0如右图方程f (x )＝0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②. 三、解答题15．(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张．(理)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围内？ (2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体形建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)[解析] (1)依题意得三角形NDC 与三角形NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD20，AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为S ＝20x －23x 2 (0<x <30)，要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，即20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18. 所以AB 长度应在[12,18]内．(2)仓库体积为V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，V ′＝40x －2x 2＝0得x ＝0或x ＝20，当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时V ′<0，所以x ＝20时，V 取最大值80003m 3，即AB 长度为20米时仓库的库容最大．16．(2010·皖南八校联考)对定义域分别是Df ，Dg 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，规定：函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )，当x ∈Df 且x ∈Dg ，f (x )，当x ∈Df 且x ∉Dg ，g (x )，当x ∈Dg 且x ∉Df .(1)若函数f (x )＝1x －1，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式；(2)求问题(1)中函数h (x )的值域；(3)若g (x )＝f (x ＋α)，其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y ＝f (x )，及一个α的值，使得h (x )＝cos4x ，并予以证明．[解析] (1)由定义知，h (x )＝⎩⎨⎧x 2x －1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，1，x ＝1.(2)由(1)知，当x ≠1时，h (x )＝x －1＋1x －1＋2，则当x >1时，有h (x )≥4(当且仅当x ＝2时，取“＝”)；当x <1时，有h (x )≤0(当且仅当x ＝0时，取“＝”)．则函数h (x )的值域是(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．(3)可取f (x )＝sin2x ＋cos2x ，α＝π4，则g (x )＝f (x ＋α)＝cos2x －sin2x ，于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x .(或取f (x )＝1＋2sin2x ，α＝π2，则g (x )＝f (x ＋α)＝1－2sin2x .于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x )．[点评] 本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂h (x )的定义，第(3)问是一个开放性问题，乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x ＝cos 22x －sin 22x ＝(cos2x ＋sin2x )(cos2x －sin2x )积式的一个因式取作f (x )，只要能够找到α，使f (x ＋α)等于另一个因式也就找到了f (x )和g (x )．17．(文)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如表所示：(1)(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *) (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *) (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *) 若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125. 由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大． (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x－40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192·(60－x )万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)前5年的利润和为7958×5＝39758(万元)设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x )×5＝－5(x －30)2＋4950.当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)．∵39758＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值．。

2020-2021学年人教版高三数学复习《2.1 函数及其表示》练习及解析答案

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示一、基础知识考点一函数的定义域 [典例] (1)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝⎛⎭⎫12，1 [题组训练] 1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．考点二求函数的解析式 [典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；(2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )．[题组训练] 1.已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________. 2.已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________. 3.已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 考点三分段函数考法(一) 求函数值[典例] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) [题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2) B ．(2，＋∞) C ．[0,2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74 C.43 D ．－43 4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或36．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0) 7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2 D ．f (x )＝－2x8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①9．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 10．若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示(答案)一、基础知识1．函数与映射的概念 2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略 (1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. 两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1) (2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝⎛⎭⎫12，1 [解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1. 所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B[解题技法] 1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2] 解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2018，且x ≠1. 因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}．答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1} 考点二求函数的解析式 [典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；(2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )．[解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c . 因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ①得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x 3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝_________. 解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．答案：lg 2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，① 把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)考点三分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( ) A ．－2 B ．2 C ．3 D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，② 联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.[答案] B [解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D.[答案] D [解题技法] 已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法 (1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( )A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0. ②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1.综上可得－3<a <1.答案：(－3,1) [课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2) B ．(2，＋∞) C ．[0,2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74 C.43 D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516. 6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0) 解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2 D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．① 解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是____．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]．答：[－4,2]。