高三文科数学9月第四周限时训练
上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷(含答案)
上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三 数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．直线的倾斜角大小为__________．2．在的展开式中，含项的系数为__________．3．已知集合，集合，则__________．4．若关于x ，y 的方程组有唯一解，则实数a 满足的条件是__________．5．已知x ，，则“”是“”的____________________条件．6．已知，的最小值为__________．7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为__________．8．已知函数，且，则方程的解是__________．9．已知集合，，若，则m 的取值范围是__________．10．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点且，则直线OM 斜率的取值范围是__________．12．对于定义在D 上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数10x +=51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 211x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭{1,0,1,2,3}B =-A B = 2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩y ∈R ||||||x y x y -=+0xy <1ab =2249a b +()21xf x -=+2log (1),0()(),0x x g x f x x +≥⎧=⎨-<⎩()2g x =5322A x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭{13,}B x m x m m =+≤≤∈R ∣A B A = 1222(0)y px p =>4PM MF = ()y f x =x D ∈()()0f x f x -+=1x D ∈2x D ∈21x x ≠-()()1122f x x x f x -=-()y f x =为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的序号是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．若实数a ，b 满足，则下列不等式中恒成立的是（）A ．B．C ．D ．14．在2022北京冬奥会单板滑雪U 型场地技巧比赛中，6名评委给A 选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分，则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差15．如图所示，在正方体中，M 是棱上一点，若平面与棱交于点N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．存在平面与直线垂直B ．四边形可能是正方形C ．不存在平面与直线平行D ．任意平面与平面垂直16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（ ）A ．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列B ．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列C ．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列D ．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，，，()f x x =1()1x f x x -=+2()f x x =()sin f x x =0a b >>22a b +>22a b +<a b +>a b +<1111ABCD A B C D -1AA 1MBD 1CC 1MBND 1BB 1MBND 1MBND 11A C 1MBND 1ACB {}n a n S 2024k >1k k S S +>1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a P ABCD -PD ⊥//AB CD 60BAD ∠=︒，．（1）在侧面PBC 中能否作出一条线段，使其与AD 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；（2）若四棱锥的体积是，求直线BP 与平面PCD 所成角的大小．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）记为数列的前n 项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、．当车速为v （米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒2AD AB ==4CD =P ABCD -n S {}n a 11a =n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13{}n a 121112na a a +++< 0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d [0,33.3]v ∈[0.5,0.9]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t距离米米（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆的左、右焦点分别为、、点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若，O 为坐标原点，求直线l 的方程；（3）点P 、Q 为椭圆上的两个动点，O 为坐标原点，若直线OP 、OQ 的斜率之积为，求证：为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设函数，直线l 是曲线在点处的切线．（1）当，求单调区间；（2）求证：l 不经过；（3）当时，设点，，，B 为l 与y 轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点A 使得成立？若存在，这样的点A 有几个？020d =1d 2d 23120d v k=()d v 0.9k =2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝124TF TF +=Γ(1,0)Γ35OM ON ⋅=- Γ14-22||||OP OQ +()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()y f x =(,())(0)t f t t >1k =-()f x (0,0)1k =(,())(0)A t f t t >(0,())C f t (0,0)O ACO S △ABO S △ACO △ABO △215ACO ABO S S =△△上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三 数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2．53．4．5．必要不充分6．127．8．39．10．1112．①③二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．C 14．D 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）不能．因为梯形ABCD 中，，，，所以AD 不平行于BC ，则AD 与BC 必相交于一点，设为M ，面，在侧面PBC 中不能作AD 的平行线．（2）过点B 作于H ，连接PH ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，所以，所以平面PCD ，所以PH 是BE 在平面PCD 内的射影，所以是直线BP 与平面PCD 所成角，因为中，，，所以是等边三角形，所以，，又因为，所以，所以，所以中，，又因为四棱锥的体积是所以，解得，所以中，，，直线BP 与平面PCD 所成角大小是18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）π6{1,0}-6a ≠2543m ≤58//AB CD 2AB =4CD =AD ∴ PBC M =∴BH CD ⊥PD ⊥BH ⊂PD PH ⊥BH ⊥BPH ∠ABD △2AB AD ==60BAD ∠=︒ABD △60ADB ∠=︒2BD =//AB CD 120ADC ∠=︒60BDC ∠=︒Rt BDH △BH =1DH =P ABCD -111(2332V Sh h ==⋅+=2h =Rt BPH △PH ==BH =tan BH BPH PH ∠===arctan解：（1），当时，，作差，累加得，满足，．（2），．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）由题意得，，当时，，（秒）．（2）根据题意，要求对于任意，恒成立，即对于任意，，即恒成立，由得，，即，解得，（米/秒），（千米/小时），汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，且．，椭圆的方程．（2）设，，2233n n n n S n n S a a ++=⇒=2n ≥1113n n n S a --+=111n n a n a n -+=-1(1)2n a n n a +=1a n a (1)2n n n a +∴=11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1211112121na a a n ⎛⎫∴+++=-< ⎪+⎝⎭ 0123()d v d d d d =+++21()2020d v v v k ∴=++0.9k =2()2018v d v v =++20()1112 3.118v t v v =++≥+=+=[0.5,0.9]k ∈()80d v <[0.5,0.9]k ∈21208020v v k ++<2160120k v v <-[0.5,0.9]k ∈111,201810k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2160110v v ∴<-2106000v v +-<3020v -<<020v ∴≤<360020721000⨯=∴ 2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝Γ124TF TF +=21a b =⎧⎨=⎩∴2214x y +=()11,M x y ()22,N x y根据题意得，，与联立，整理可得，根据韦达定理可得①②将①代入②，解得，即直线l 的方程为或．（3）证明：设直线，联立方程组，得，，又直线，同理可得，为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）当时，，得的单调增区间是，单调减区间是．（2），，，整理得，假设l 过原点，，设，，(1)y k x =-2214x y +=22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222148440k x k x k +-+-=212221228144414k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()()()22212121212121231115OM ON x x y y x x k x k x k x x k x x k ⋅=+=+--=+-++=- 1k =±1y x =-1y x =-+:OP y kx =2244y kx x y =⎧⎨+=⎩22414x k =+()()222222241||114k OP x y k x k +∴=+=+=+1:4OQ y x k=-222161||41k OQ k +=+2222222244161205||||5414141k k k OP OQ k k k +++∴+=+==+++1k =-()(1)1x f x x x'=>-+()f x (0,)+∞(1,0)-()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()11k f x x∴'=++:[ln(1)]1()1k l y t k t x t t ⎛⎫∴-++=+- ⎪+⎝⎭1ln(1)(0)11k kt y x k t k t t⎛⎫=+-++≠ ⎪++⎝⎭ln(1)0*1t t t -⇒++=+()ln(1)1t F t t t=+-+2211()01(1)(1)t F t t t t '=-=>+++所以在上严格增，，与*式矛盾．所以l 不经过原点．（3），，由（2）知时，，，，，设，，，极大值，极小值，又，所以在上有两个零点．存在点A 使得且点A 有两个．()F t (0,)+∞()0F t ∴>ln(1)1t t t∴+>+(,ln(1))A t t t ++(0,ln(1))C t t ++1k =0,ln(1)1t B t t ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭215ACO ABO S S = △△112||||15||||22OC AC OB AC ∴⨯⋅=⨯2||15||OC OB ∴=15()213ln(1)1t g t t t t =-+++(0)t >222294(21)(4)()(1)(1)t t t t g t t t -+--'==++13613ln 022g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭(4)2013ln 50g =-<40(8)1613ln 903g =-+>()g t (0,)+∞∴215ACO ABO S S =△△。
重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含解析
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。
湖北省黄冈市2023-2024学年高三上学期9月调研考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2. 如图，一组数据，，，…，，的平均数为，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，3.已知数列的前项和为，则（ ）A ．127B ．135C ．255D ．2634. 过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于两点向轴引垂线交轴于，，若梯形的面积为，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 已知是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集是（ ）A．B．C．D．6.，，大小关系正确的是（ ）A．B．C．D．7. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则8.，是双曲线的左，右焦点，点在C 上，且，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B．C．D．9. 正方体中，，分别是棱，上的动点（不含端点），且，则（ ）A ．与的距离是定值B ．存在点使得和平面平行C．D ．三棱锥的外接球体积有最小值10.在中，D ，E 分别是线段BC 上的两个三等分点（D ，E 两点分别靠近B ，C 点），则下列说法正确的是（ ）A．B ．若F 为AE的中点，则C ．若，，，则D．若，且，则11. 下列叙述中不正确的是（ ）湖北省黄冈市2023-2024学年高三上学期9月调研考试数学试题湖北省黄冈市2023-2024学年高三上学期9月调研考试数学试题三、填空题四、解答题A ．若a ，b ，，则“”的充要条件是“”B ．若a ，b ，，则“”的充要条件是“”C ．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“”是“”的充分不必要条件12.设离散型随机变量的分布列如下表：123450.10.20.3若离散型随机变量，且，则（ ）A．B．C．D．13.已知，则__________．14. 学校安排名同学参加两项不同的志愿活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排人，则不同的安排方法有__________种．（用数字作答）15. 若复数z 满足（i是虚数单位），则___________.16. 已知是定义在上的奇函数且单调递减..（1）解不等式；（2）若对所有的恒成立，求实数m 的取值范围.17. 在平面直角坐标系中，已知过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点的坐标为，试求直线的方程；(3)记，两点的纵坐标分别为，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.18.已知数列的前n项和为，，且(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n 项和．19. 已知菱形ABCD中，，四边形BDEF 为正方形，满足，连接AE ，AF ，CE ，CF．(1)证明：；(2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．20. 设函数．(1)证明，其中k为整数；(2)设为的一个极值点，证明；(3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明．21. 某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O的圆，已知圆O的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形为亲水木平台区域（四边形是矩形，A，D分别为的中点，米），亲水玻璃桥以点A为一出入口，另两出入口B，C分别在平台区域边界上（不含端点），且设计成，另一段玻璃桥满足．(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为，宽度、连接处忽略不计）．。
重庆市2024-2025学年高三上学期开学9月调研测试数学试题(含答案)
2025年普通高等学校招生全国统一考试9月调研测试卷 数学数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B.C. D.2.函数的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.83.已知为虚数单位，若，则（ ）A. B.C.D.4.已知向量满足，且，则（ ）A. B. C. D.5.已知，则（ ）A.B. C.3 D.46.某池塘中饲养了A ､B 两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A 约有（ ）采样点品种A 品种B 东209{}{}22,2,1,0,1,2,3A xx x B =->=--∣A B ⋂={}2,1--{}0,1{}2,3-{}1,2()221f x x x =+i ()1i 1i z -=+z =2i +2i -2i -+2i--,a b1,2a b == ()0a a b ⋅+= ,a b = 60 90 120 150()11cos ,cos cos 43αβαβ+==tan tan αβ=1413南73西178A.6尾B.10尾C.13尾D.17尾7.若函数在上单调递减，则（ ）A.B.C.D.8.已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（ ）二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（ ）A.B.C.若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修10.已知曲线，则（ ）A.将向右平移个单位，可以得到B.将向左平移个单位，可以得到C.与在有2个公共点D.在原点处的切线也是的切线11.已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上两点，且，则（）()()()ln ln 1f x x a x =---()1,∞+1a >1a …1a <0a …ABC V BC AB π()2,N μσX []3,3μσμσ-+3σX []3,3μσμσ-+()330.9973P X μσμσ-+≈……X ()1,0.0001N ()112P X ==()(0.99) 1.01P X P X <=…[]0.99,1.0212π:sin2,:sin 23C y x C y x ⎛⎫==-⎪⎝⎭1C π62C 1C 2π32C 1C 2C []0,π1C 2C O F 2:2(0)E y px p =>,A B E AF FB λ=A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列中，，则__________.13.已知直线和平面与存在位置关系M .若“且M ”是“”的充分条件，则M 可以是__________.14.有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有__________种.0001001101111111四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，内角的对边分别为，其面积.（1）若，求；（2）若，求的最大值，并判断此时的形状.16.（15分）如图，三棱锥中，平面是棱上一点，且.0,2AB p λ∀>…1120,AF BF pλ∀>+=0,sin AFO λ∠∃>=0,cos 0AOB λ∠∃>…{}n a 1233,0a a a =-+=4a =,a b ,b γγa γ⊥a b ⊥1,2,3,4ABC V ,,A B C ,,a b c 22c S =π,13A b ==c a b >222a b c ab++ABC V P ABC -PA ⊥,,15,20.ABC AB AC AB AC M ⊥==BC 12AM =（1）证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.17.（15分）甲､乙两名围机手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束.己甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5.（1）求比赛只进行了三局就结束的概率：（2）己知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.18.（17分）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点.（1）设直线的斜率为，已知，求证：（2）直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.19.（17分）已知数列.（1）证明：是等比数列；（2）已知数列.①求的最大值；②对任意的正整数，证明：.BC ⊥PAM 10PA =PA PBC 22Γ:12x y +=l Γ,A B M AB l k ()1,(0)M m m >k <l Γ1F OM Γ,C D AM BM CM DM ⋅=⋅l {}1126:2,1n n n n a a a a a ++==+32n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭{}2:n n n b b a =n b ()2k k (211)(21)k i kib k b -=>-∑2025年普通高等学校招生全国统一考试9月调研测试卷 数学参考答案一､单选题1CBBC ACCD8题提示：由题意，设内角所对的边为，则有，则该圆锥的体积，设，则在上单调递增，在上单调递减，所以.二､多选题9.BCD10.AC11.ABC11题提示：由可知，三点共线，所以直线是过焦点的直线，设其倾斜角为，，所以焦点弦，A 正确，，，所以，B 正确，，故，C 正确，，所以,D 错误.三､填空题12.313.或14.57614题提示：显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1，按照下面的顺序填入这6个数字0.（1）先找到一行并填入3个数字0，选出这样1行共有4种选法，而从该行的4格中选出3个填入数字8-ABC V ,,A B C ,,a b c 224c b +=()2211ππ433V b c c c =⋅⋅=⋅-⋅()()24f x x x =⋅-()()243,f x x f x =-'⎛ ⎝2⎫⎪⎪⎭max 14π4π33V ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭AF FB λ=,,A F B AB F α()()1122,,,A x y B x y 12222sin p AB x x p p α=++=≥1cos pAF α=-1cos p BF α=+112AF BF p +=()(]sin sin πsin 0,1AFO ∠αα=-=∈0,sin AFO λ∠∃>=2222120,||||20AO BO AB x x p λ∀>+-=--<cos 0AOB ∠<b γ⊂b ∥γ0，也有种填法.因此这一步共有种不同的填法.（2）选出一列填入3个数字0，以图为例，可知这一列必为前三列（否则就没有一列的数字之和为4）中的某一列，从而选出这一列共有3种选法.而该列中已经填入了一个数字0，所以填入另外两个数字0有种填法.这一步共有种不同的填法.（3）当完成前面两步后，最后一个数字0只有4个位置可以选择.因此，符合要求的不同填法共有种.四､解答题15.（13分）解：（1）由，得.（2）由得，所以得最大值为，此时，所以（舍去）或，从而，故是以为直角顶点的等腰直角三角形.16.（15分）解：（1）因为，所以，因为，所以因为平面所以又平面，所以平面.（2）由条件，两两垂直，以方向为轴正方向建系如图，则34C 4=4416⨯=23C 3=339⨯=1694576⨯⨯=211sin 22S bc A c==sin 1c b A ===211sin 22ab C C =2sin cab C=22222222π2cos 2sin 4a b c a b c c C C C ab ab ab +++-⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭222a b c ab++2222π,,4C a b c c =++==()2200,a b b b b ⎛⎫+=⇒-== ⎪ ⎪⎝⎭b =c =ABC V A ,15,20AB AC AB AC ⊥==25BC =300AM BC AB AC ⋅=⋅=,AM BC ⊥PA ⊥,ABC ,PA BC ⊥,AM PA ⊂PAM BC ⊥PAM ,,AB AC AP ,,AB AC AP,,x y z ()()()()()()15,0,0,0,20,0,0,0,10,15,20,0,15,0,10,0,0,10B C P BC BP AP =-=-=设平面的法向量为，则，即，取，故与平面.17.（15分）解：（1）比赛只进行三场，则都是甲赢或都是乙赢，所以概率为.（2）可取值为时，则前三场都是甲赢，时，则可能的情况是甲乙甲乙乙胜甲乙乙乙甲胜甲甲乙甲甲胜甲乙甲甲故.18.（17分）解：（1）设，PBC (),,n x y z =BC n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 340320x y x z -+=⎧⎨-+=⎩()4,3,6n = cos ,n AP ===PA PBC 0.60.50.60.40.50.40.180.080.26⨯⨯+⨯⨯=+=X 3,4,53X =()30.50.60.3P X ==⨯=4X =()()()513410.30.350.35P X P X P X ==-=-==--=()30.340.3550.35 4.05E X =⨯+⨯+⨯=()()1122,,,A x y B x y由，得，变形得，即，故，又，解得，故（2）由题意，直线不与轴重合，设直线的方程为，联立，得.设，则，可得，则弦的中点的坐标为，故的方程为.联立，得，由对称性，不妨设，则，其中.可得由题意，且，故，即代入，得，221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2222121202x x y y -+-=1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+12km =-12k m =-2112m m >⎧⎪⎨+<⎪⎩0m <<k <l x l 1x my =-22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210m y my +--=()()1122,,,A x y B x y 12122221,22m y y y y m m +==-++AB ===()2121222242222m x x m y y m m -+=+-=-=++AB M 222,22m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭CD 2m y x =-22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2242x m =+()()0000,,,C x y D x y --20242x m =+00x >0CD x ===11,22OC OD CD AM BM AB ====1122AM BM CM DM CD OM CD OM ⎛⎫⎛⎫==+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭222||||||44AB CD OM =-222||4||,AB CD OM =-,,AB CD OM ()()()()()222222222228144442222m m m m m m m ⎡⎤++⎢⎥=-+⎢⎥++++⎣⎦解得，故直线的方程为.19.（17分）解：（1）由可得，两式相除可得，又，故是首项为公比为的等比数列.（2）由（1）可知，，解得，故.①，故随的增大而减小，即时的值最大，且最大值.②.，当且仅当时取等；，其中，当且仅当时取等；，其中，故，当且仅当时取等；故，当且仅当时取等；由此.任意恒成立，即原不等式成立.m =l 1x =-1261n n n a a a ++=+11263264833,221111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++-+++-=-=+=+=++++11333124842n n n n n n a a a a a a ++--+-==-⋅+++113124a a -=-+32n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭1,4-14-3124nn n a a -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭3(4)2(4)1n n n a ⋅-+=--23162161n n n nba ⋅+==-()3161553161161n nn nb ⋅-+==+--n b n 1n =nb 1110333b =+=()21212111(21)22k k ki ki kk i k i k i i i b k bb bkb b b k b ---===>-⇔+>⇔+>⋅∑∑∑22231623162161161i k i i k ii k ib b ---⋅+⋅++=+≥--i k =()()()22231623162916616164ik ik i k i --⋅+⋅+=⋅+++216162216i k i k -+≥=⋅i k =()()()2221611611616161ik ik i k i ----=-++21616216i k i k -+≥=⋅()()()222161161162161161i k i k k k ---≤-⋅+=-i k =2316222161k i k i k k b b b -⋅++≥=⋅=-i k =()212kik iki b b k b -=+>⋅∑2k ≥。
河南省濮阳市2024-2025学年高三9月质量检测考试数学试题(含解析)
2024—2025学年高三9月质量检测考试数 学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，i 为虚数单位，为z 的共轭复数，则（ ）A.B. 4C. 3D.2.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 3. 半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（ ）A.B. C. D.4. 已知向量，，其中，若，则（ ）A. 40B. 48C. 51D. 625. 已知的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且，，则（ ）A. 5B. C. 4D. 36. 已知点在抛物线C：上，则C 的焦点与点之间的距离为（ ）A. 4B.C. 2D.7. 已知a ，且，，，则（ ）24i z =+z 1z -=(){}3log 22M x y x ==+<{}2024x N y y ==M N = ()2,7-()2,3-()0,7()7,+∞1O 2O 224π376π75π215π3()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ 0λ≥a b ∥ ()a ab ⋅+=ABC △20ac =4cos 5B =b =121,34A p p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()220x py p =>()1,2b ∈R 0b ≠1a b ≠-1sin 1a b a bα-=+ab =A.B. C.D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知直线与圆D ：有两个交点，则整数m 的可能取值有（ ）A. 0B. －3C. 1D. 310. 已知对数函数，则下列说法正确的有（ ）A. 的定义域为B. 有解C. 不存在极值点D. 11. 北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线在点处的切线方程为______.13. 被10除的余数为______.14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O ，称为密克点.在梯形ABCD 中，，，M 为CD 的中点，动点P 在BC 边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q （异于点P ），则BQ 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆C ：的焦距为.（1）求C 的标准方程；1cos 1cos αα-+πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 1sin αα-+2πtan 42α⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >ln e ln x x x x a -≥(],1-∞(21,e ⎤⎦(],2-∞[)e,+∞y x =22224x y my m +-=-()()log 1x f x x =+()f x ()0,+∞()2f x =()f x ()()()11f x f x x >+>[]0,15x ∈*x ∈N 21e1x y x -=-()1,0203111A B C △1M 1N 1P 11A B 11B C 11C A 111A M P △111B M N △111C N P △60B C ∠=∠=︒22AB AD ==ABP △CMP △()222210x y a b a b +=>>（2）若，直线l ：交椭圆C 于E ，F 两点，且，求t 的值.16.（15分）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l 上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.（1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P 的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：车站编号满意不满意合计102840113合计85完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？（2）根据以往调图经验，列车P 在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车P 经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X ，求X 的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82817.（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，.（1）仅用无刻度直尺作出四棱锥的高PH ，写出作图过程并证明；（2）若平面平面PCD ，平面平面PBC ，证明：四边形ABCD 是菱形.18.（17分）已知.（1）证明：是奇函数；5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()302x ty t =+>AEF △0.001α=1323()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -AP CP =BP DP =P ABCD -PAB ⊥PAD ⊥()()ln 0x a f x ax a x a -⎛⎫=+>⎪+⎝⎭()f x（2）若，证明在上有一个零点，且.19.（17分）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.（1）若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；（2）若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.()()()12120f x f x x x =<<()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤{}n a λ*n ∀∈N 2n ≥121n n a a a a λ-+++≥ {}n a λ{}n a 11a =21a =()123n n n a a a n --=+≥{}n a {}n a λ0M ∃>*n ∀∈N 2n ≥n a M ≤222111121111n i in a a M a a a a λ=⎛⎫≥+- ⎪+++⎝⎭∑2024—2025学年高三9月质量检测考试数学参考答案1. A 【解析】由，可得.故选A.2. C 【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3. A【解析】由题意可知体积之差的绝对值为.故选A.4. C 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选C.5. B 【解析】由题意可得，，由余弦定理可得，，解得.故选B.6. D 【解析】因为点在抛物线C 上，所以，整理得，解得或（舍去），故焦点为，故C 的焦点与点之间的距离为故选D.7. D 【解析】由题意可得，解得.24i z =+24i 11i 14z --=-==-=()3log 22x +<029x <+<()2,7M =-20240xy =>()0,N =+∞()0,7M N = 334425632224π4π2πππ33333⨯-⨯=-=()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+a b ∥ ()()54218λλ++=⨯0λ=145-0λ=a b ∥ ()()()1,43,121341251a a b ⋅+=⋅=⨯+⨯= 20ac =2b a c =+()2222282cos 24725b ac ac B a c ac ac b =+-=+--=-b =121,34A p p ⎛⎫++⎪⎝⎭()2121234p p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭272102p p --=2p =14-()0,1()1,2=1sin 1ab a bα-=+2222sin cos 2sincos1sin 22221sin sin cos 2sin cos 2222a b αααααααααα+++==-+-22222sin cos 1tan π222tan 42sin cos 1tan 222ααααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=故选D.8. A 【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9. AC 【解析】联立，消去x 可得，则，解得故选AC.10. BCD 【解析】对于A 选项，由对数函数的定义知的定义域为，故A 错误.对于B 选项，令，则，即，解得（负值舍去），故B 正确.对于C 选项，，可知，ln e ln x x x x a -≥0x >()ln f x x x =()ln 1f x x ='+()0f x '=1ex =10e x <<()0f x '<1e x >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()11e ef x f ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭1ln e x x ≥-ln t x x =()1e e t g t t t ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭()e 1t g t '=-10e t -≤<()0g t '<0t >()0g t '>()g t 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()0,+∞()()min 01g t g ==1a ≤22224y xx y my m=⎧⎨+-=-⎩222240y my m -+-=()()222840m m ∆=--->m -<<()f x ()()0,11,+∞ ()log 12x x +=21x x =+210x x --=x =()()()ln 1log 1ln x x f x x x+=+=()()()()2ln 1ln 11ln x x x x f x x x x-+++'=设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C 正确.对于D 选项，方法一：由的单调性可知，D 正确.方法二：作差有，且，故，D 正确.故选BCD.11. BC 【解析】设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，，易得，则，且，则，不妨设最大.对于A 选项，若，则不成立，故A 错误；对于B 选项，若，例如7，7，7，7，12，满足题意，故B 正确；对于C 选项，若，例如5，7，8，9，11，满足题意，故C 正确；对于D 选项，若，则，可得，可知该方程组无正整数解，故D 错误.故选BC.12. 【解析】，故时，，故曲线在点处的切线方程为.13. 1 【解析】()ln g x x x =()ln 1g x x ='+()0g x '=1e x =()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1()0g x <()()1ln 1y x x =++()g x ()f x '()f x ()f x ()()()()()11log 1log 2x x f x f x x x +-+=+-+()()()2ln 1ln ln 2ln ln 1x x x x x +-⋅+⋅+=()()()()222ln ln 22ln 1ln ln 2ln 122x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⋅+<<=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()11f x f x x >+>1x 2x 3x 4x 5x ()12345185x x x x x x =++++=1234540x x x x x ++++=()()()()()2222212243588814588x s x x x x -+-+-+-+⎡⎤==⎣⎦-()()()()()22222123458888820x x x x x -+-+-+-+-=5x 513x =()()()()2222123488885x x x x -+-+-+-=-512x =511x =510x =()()()()22221234888816x x x x -+-+-+-=12342222123430496x x x x x x x x +++=⎧⎨+++=⎩33y x =-()212e x y x x -'=+1x =3y '=21e 1x y x -=-()1,033y x =-()10201010192891010103910110C 10C 10C 101==-=-⨯+⨯--⨯+，所以被10除的余数为1.14.【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q 在线段BD 上，且时，BQ.15. 解：（1）由题意得，，（2分）又，（4分）则，（5分）所以C 的标准方程为.（6分）（2）由题意设，，联立，整理得，（7分）则，，（8分）故.（10分）设直线l 与x 轴的交点为，()9182791010101010C 10C 10C 1⨯-⨯+⨯--=+ 2031-EBC △ABP △CMP △AME △AME △120BAD ∠=︒90BAM ∠=︒AME △1R AD ==ABD △BD ==1QD =1-2c =c =c e a ==2a =2222b a c =-=22142x y +=()11,E x y ()22,F x y 2232142x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2272304t y ty ++-=12232ty y t +=-+()122742y y t =-+12y y -===3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭又，则，（11分）故，（12分）解得.（13分）16. 解：（1）补充列联表如下：车站编号满意不满意合计102812401157360合计8515100（3分）零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，（6分）所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联.（7分）（2）经分析，X 的可能取值为8，10，12，14.（8分）；（9分）；（10分）；（11分），（12分）则X 的分布列为X 8101214P（13分）所以.（15分）17. 解：（1）连接AC ，BD 交于点H ，连接PH ，5,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭35422AD ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭12122AEF S AD y y =⋅-==△t =0H ()220.001100283571220010.8284060851517x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯0.001α=0H ()3288327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2214103339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()2122123339P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()31114327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭8274929127()8421810121410279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=则PH 是四棱锥的高.（2分）由于该四棱锥底面为平行四边形，故点H 为AC 与BD 的中点.（3分）又，，故有，，（4分）又，AC ，平面ABCD ，故平面ABCD ，即PH 为四棱锥的高.（6分）（2）（方法一）证明：以H 为原点，以、的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，以垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（7分）设，，，，.则，，.（8分）设平面PAB 、平面PCD 的法向量分别为，，则，，（9分）令，解得，.所以，.（10分）因为平面平面PCD ，所以，①（11分）同理可得平面PAD 、平面PBC 的一个法向量分别为，.故，即，②（12分）P ABCD -AP CP =BP DP =PH AC ⊥PH BD ⊥AC BD H = BD ⊂PH ⊥P ABCD -BC HP (),,0A a d (),,0B b d -(),,0C a d --(),,0D b d -()0,0,P h (),2,0BA CD a b d ==- (),,BP b d h =- (),,DP b d h =-()1111,,n x y z = ()2222,,n x y z =()11111200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-++=⎩()22222200a b x dy bx dy hz ⎧-+=⎨-+=⎩122x x dh ==1112()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩2222()()x dh y b a h z b a d =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩()()()12,,n dh b a h b a d =-+ ()()()22,,n dh b a h b a d =--+PAB ⊥()()2222221240n n d h b a h a b d ⋅=+--+= ()30,,n h d = ()40,,n h d =-22340n n h d ⋅=-= h d =①②联立解得.（13分）因此，.（14分）故，而四边形ABCD 是平行四边形，故四边形ABCD 是菱形.（15分）（方法二）证明：过点H 作交AB 于点E ，交CD 于点F ，过点H 作交BC 于点M ，交AD 于点N ，连接PE ，PF ，PM ，PN ，因为平面ABCD ，AB ，平面ABCD ，所以，.（7分）因为EF ，平面PEF ，所以平面PEF ，又平面PEF ，所以.（8分）易得平面PAB 与平面PCD 的交线平行于AB ，又平面平面PCD ，平面PAB ，所以平面PCD ，又平面PCD ，所以.（10分）因为MN ，平面PMN ，所以平面PMN ，又平面PMN ，所以.（11分）易得平面PAD 与平面PBC 的交线平行于BC ，又平面平面PBC ，平面PBC ，所以平面PAD ，又平面PAD ，所以.（13分）因为H 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以，，所以，所以，（14分）又，所以，所以平行四边形ABCD 是菱形.（15分）18. 证明：（1）易得的定义域为，（2分）.由奇函数的定义知是奇函数.（6分）2ab d =AD a b =--AB a b ===--AB AD =EF AB ⊥MN BC ⊥PH ⊥BC ⊂PH AB ⊥PH BC ⊥PH ⊂AB ⊥PE ⊂AB PE ⊥PAB ⊥PE ⊂PE ⊥PF ⊂PE PF ⊥PH ⊂BC ⊥PM ⊂BC PM ⊥PAD ⊥PM ⊂PM ⊥PN ⊂PM PN ⊥HE HF =HM HN =1122PH EF MN ==EF MN =AB EF BC MN ⋅=⋅AB BC =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()ln x a f x a x x a --⎛⎫--=--- ⎪-+⎝⎭()ln ln x a x a ax ax f x x a x a -+-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=--()f x（2）由对称性，不妨取，则，（7分）而.（8分）下证，设，，，，则（当且仅当，，即时取等号）.（14分）另一方面，的定义域为，.由对称性，不妨取，则，故在上单调递增.（15分）当时，；当时，.由零点存在定理知在上有一个零点，（16分）故.（17分）19. 证明：（1）当时，；（2分）当时，，（6分）故数列是1-有限数列.（7分）（2）由，得，（9分）31x x =-()()()()()()()23232323ln 0x a x a f x f x a x x x a x a ⎡⎤--+=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()()()()()2232323232ln 2x a x a x x f a x x x a x a ⎡⎤-+-+⎛⎫=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2323202x x f f x f x +⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭2x a m -=3x a n -=2x a p +=3x a q +=()()()()()()()()()()22232322323x a x a x a x a m n mn x a x a x a x a pq p q ⎡⎤-+---+-=-⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦()()()()()()2222pq m n mn p q pm qn qm pn p q pq p q pq +-+--++==()()()22323220a x x x x p q pq +-=≥+m n =p q =23x x =()f x ()(),,a a -∞-+∞ ()()()2a f x a x a x a =++-'x a >()0f x a '>>()f x (),a +∞x a →()f x →-∞x →+∞()f x →+∞()f x (),a +∞0x 2102x x x -≤2n =121a a ==2n >122121n n n n n a a a a a a a ----++++>+= {}n a 121n n a a a a λ-+++≥ ()2221211n n a a a a λ-≥+++于是有（13分）.（17分）()222212112111nn i i i i a a a a a λ==-≥++++∑∑ ()()2221121121n i i i a a a a a a a λ=-≥+++++++∑ 222112112111n i i i i a a a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅-≥ ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭=∑222112112111n i i i a M a a a a a a λ=-⎛⎫+⋅- ⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭∑221112111n a M a a a a λ⎛⎫+- ⎪+=++⎝⎭。
湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学(含解析)
2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合，若，则集合可以为（）A. B. C. D.2．若复数，则（ ）AB.C. 1D. 23．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert 常数约为（参考数据：，）（ ）A ．1.12B ．1.13C．1.14D ．1.155．已知，且，，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数与函数的图象交点个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为.{}215=∈<N M x x {}05⋃=≤<M N x x N {}4{}45≤<x x {}05<<x x {}5<x x 232022202320241i i i i +i i z =-+-++- z =2b a = a b 60︒2a b - b 12br 12b- 32b- 32b C t I C I t λ=λ7.5A 60h 25A 15h λlg 20.301≈lg 30.477≈,(0,π)αβ∈cos α=sin()αβ+=αβ-=4π34π4π-34π-2()()ln 0f x x ax b x =++≥a 2-1-12()ln 1f x x =-()πsin 2g x x ={}n a ()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，设是的正整数解，则的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168B ．随机变量服从正态分布，若，则C ．一组数据的线性回归方程为，若，则D ．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A ．动点B ．与不可能垂直C ．三棱锥体积的最小值为D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A 在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）A ．B ．是锐角三角形C ．四边形D ．三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.13．在中，，∠，D 为线段AB 靠近点的三等分点，E 为线段CD 的中点，若，则的最大值为________.14．将这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为，若，n nn a ⎤⎥=-⎥⎦n 2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦-<+n 12310x x x x 、、、、()12210i i x x i --=≤≤110x x 、X ()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=()0.34P x a <=0.5a =()(),1,2,3,4,5,6i i x y i = 23y x =+6130i i x ==∑6163i i y ==∑2χ1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C CDD 1//B F 1A BE F 1B F 1A B 11B D EF -1311B D DF -25π22:2(0)C y px p =>F x D l F C ,A B AF M y N MN NF =l ABD △MNDF 22||BF FA FD ⋅>[]01,4x ∃∈20040x ax -+>a ABC ∆BC =3A π=A 14BF BC =AE AF ⋅ 1,2,3,4,5,6,7()1,2,,7i a i = 47a =，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.16．已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，且数列的前n 项和为，若恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.123567a a a a a a ++<++ABC △A B C a b c ()4sin sin sin -=-A b B c A B a ABC△ABC △{}n a n n S 222n n n a a n S +-={}n a 21na nb =-{}nc 11n n n n b c b b ++=⋅{}n c n T ()12n T n λ-+≤λ1OO A BCDE -F BC ,B C FG A 122,OB OO AB AC ====CG BF ⊥//DF ABE FOD GOD G OD18．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点.(1)求的方程；(2)若直线交轴于点，设.①求；②记，，求.19．如果函数 F (x )的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 y =f (x )，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表及轴围成图形面积为4.(1)若 ，求 的表达式；(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.E y =(2,1)-E 12,l l ()(,0n n P p p )*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD E MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2nn p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N 211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()()F x f x '=()()d f x x F x ⎰=()0f x ≥()()()baf x dx F b F a =-⎰x a x b ==，x 22d x x x C ⎰=+C ()()222204xdx C C =+-+=⎰0,1,2x x y x ===x ()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，()f x 2y x =6y x =-+()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，R m ∈[)0,a b ∞∀∈+，a b >()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰m()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++()0f x ≥2()g x x ax b =++1x >()0g x ≥01x <<()0g x <(1)0(0)0g g =⎧⎨≤1010a b a b b ++=⇒=--⎧⎨≤1a ≥-1．C2．C 【详解】6．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴4x ≥()()ln 1ln 31f x x g x =-≥>≥24x <<()ln 1ln10f x x g =-≥=>2x =()ln 1ln10sin πf x x =-===①当时，点，②当时，③当时，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 11,,0,242x y p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝MNF V MN l 11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为则可知为等边三角形，即且∥x 轴，可知直线[5,)+∞00040x ax -+>[]1,4x ∀∈240x ax -+≤4≥+a x x[]1,4()4f x x x=+[]1,2[]2,4()()145f f ==()max 5f x =5a ≥a [5,)+∞11812345621+++++=310S ≤333310360A A ⨯⨯=4=at ()0>t ABC △2sin =⋅a R A 2sinB =⋅b R 2sin =⋅c R C ()22sin sin sin sin -=-t A B C A B ABC △()sin sin =+C A B ()()22sin sin sin sin -=+-t A B A B A B ()()()221sin sin cos2cos2sin sin 2+-=--=-A B A B A B A B 2222sin sin sin sin -=-t A B A B 1=t 4=a 12． 【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.13．14．360【解析】∵，∴，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。
黄冈市2024-2025学年高三上学期9月调研考试 数学 含答案
黄冈市2024年高三年级9月调研考试数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号，考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在 试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷，草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一 、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的.1. 若集合A={x|x²-2x-8<0,x ∈Z},B={yly=√x,x ∈R}, 则A∩B=( )A.{0,1,2,3}B.{1,2,3} c.{0,1} D.{0}2.复数则 z 的虚部为( )B. C.3.则sin 2α=( )B. 士C.D.4.若向量a=(2,0),b=(3,1),则向量a 在向量b 上的投影向量为( )D.(5,1)5 . 若m>0,n>0, 且 3m+2n-1=0, 则的最小值为( )A.20B.12C.16D.25A A口6. 已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, ,b=3, 下面可使得△ABC 有两组解的a 的值为( )A. B.3 C.4 D.e7.设h(x),g(x) 是定义在R上的两个函数，若Vx,x₂∈R,x≠x₂, 有n(x;)-h(x₂)≥|s(x₁)-g(x₂) 恒成立，下列四个命题正确的是( )A.若h(x)是奇函数，则g(x) 也一定是奇函数B.若g(x)是偶函数，则h(x)也一定是偶函数C. 若h(x)是周期函数，则g(x) 也一定是周期函数D. 若h(x)是R上的增函数，则H(x)=h(x)-g(x) 在R上一定是减函数8. 已知向量al=|5|=4,a.b=-8,,且|i-d=1, 则n与c夹角的最大值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知c<0<b<a, 则( )A.ac+b<bc+aB.b³+c³<a³10. 已知函数的图象过点A(0,1)和B(x,-2)(x₀>0), 且满足|AB= √13,则下列结论正确的是( )A.C. 当时，函数f(x)值域为[0,1]日D. 函数y=x-f(x) 有三个零点11.已知f(x)=2x³-3x²+(1-a)x+b,则下列结论正确的是( )A.当a=1时，若f(x)有三个零点，则b的取值范围是(0,1)B.当a=1且x∈(0,π)时，f(sinx)<f(sin²x)C. 若f(x) 满足f(1-x)=2-f(x), 则a-2b=2D. 若f(x) 存在极值点x, 且f(x,)=f(x), 其中x₀≠x, 则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合A={x|log₂x<m},, 若“x∈A” 是“x∈B” 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是13.已知f(x) 是定义在R上的奇函数，f(x+2) 为偶函数.当0<x<2 时，f(x)=log₂(x+1), 则f(101)=14.已知函数f(x)=sinx-x+1,若关于x的不等式f(axe')+f(-ae*-x+2)>2的解集中有且仅有2个正整数，则实数a 的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 . (本小题13分)设S,为数列{a,}的前n项和，满足S,=1-a,(neN").(1)求证：(2)记T=S²+S²+…+S²,求T,.16.(本小题15分)函数f(x)=sin ox coscox+cos²ax,w>0,函数f(x) 的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间以及对称中心；(2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位，再向下平程个单位，得到函数g(x)的图象，在函数g(x)图象上从左到右依次取点A,A₂,..,A₂024, 该点列的横坐标依次为x,x₂,..,X2024, 其中求g(x)+g(x₂)+.+g(x2024)17. (本小题15分)已知函(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为f(x)=-x+b, 求a和b的值：(2)讨论f(x) 的单调性.18. (本小题17分)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c(1)证明：( 2 ) 若a,b,c 成等比数列.(i) 设求g 的取值范围；(ii) 求的取值范围.19. (本小题17分)已知定义在(0,+0c)的两个函数，(1)证明：|sinx|<x(x>0):(2)若h(x)=sinx-x⁴. 证明：当a>1 时，存在x∈(0,1), 使得h(x)>0;(3)若f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围.A2024年9月高三起点联考数学答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选结的得0分.9.ABD 10.AD 11.ABD11.解析：A.a=1时，f(x)=6x²-6x=6x(x-1),f(x)在(-o.0)递增，(0,1)递减，(1,+0o)递增。
湖南2023-2024学年高三上学期月考卷(四)数学试题含答案
湖南2024届高三月考试卷（四）数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（）A.()4,5- B.()4,3 C.()3,4- D.()5,4【答案】C 【解析】【分析】根据题意得234i z =-+，再分析求解即可.【详解】根据题意得：()22212i 14i 4i 34i z =+=++=-+，所以复数2z 在复平面内对应的点的坐标为：()3,4-.故选：C.2.若随机事件A ，B 满足()13P A =，()12P B =，()34P A B ⋃=，则()P A B =（）A.29B.23C.14D.16【答案】D 【解析】【分析】先由题意计算出()P AB ，再根据条件概率求出()P A B 即可.【详解】由题意知：()3()()()4P A B P A P B P AB ==+- ，可得1131()32412P AB =+-=，故()1()1121()62P AB P A B P B ===.故选：D.3.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，若{}n a 为递减数列，当11a >，则01q <<，所以11n n a a q -=，令111n n a a q -=<，则111n qa -<，所以1111log log qq n a a ->=-，所以11log q n a >-时1n a <，当101a <<，则01q <<，所以111n n a a q -=<恒成立，当11a =，则01q <<，所以11n n a a q -=，当2n ≥时1n a <，当10a <，则1q >，此时110n n a a q -=<恒成立，对任意N*n ∈均有1n a <，故充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <，当10a <且01q <<，则110n n a a q -=<恒成立，所以对任意N*n ∈均有1n a <，但是{}n a 为递增数列，故必要性不成立，故“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的充分不必要条件；故选：A4.设π(0,2α∈，π(0,)2β∈，且1tan tan cos αβα+=，则（）A.π22αβ+=B.π22αβ-=C.π22βα-= D.π22βα+=【答案】D 【解析】【分析】根据给定等式，利用同角公式及和角的正弦公式化简变形，再利用正弦函数性质推理即得.【详解】由1tan tan cos αβα+=，得sin sin 1cos cos cos αβαβα+=，于是sin cos cos sin cos αβαββ+=，即πsin()sin()2αββ+=-，由π(0,)2α∈，π(0,2β∈，得20π,0<ππ2αββ<+-<<，则π2αββ+=-或ππ2αββ++-=，即π22βα+=或π2α=（不符合题意，舍去），所以π22βα+=.故选：D5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理，求指定项的系数，各项系数和，奇次项系数和与偶数项系数和.【详解】由()52345012345(12)1(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，对于A 中，令1x =，可得01a =-，所以A 错误；对于B 中，[]55(12)12(1)x x -=---，由二项展开式的通项得44145C (2)(1)80a =⋅-⋅-=-，所以B 错误；对于C 中，012345a a a a a a +++++与5(12(1))x +-的系数之和相等，令11x -=即50123453a a a a a a +++++=，所以C 正确；对于D 中，令2x =，则50123453a a a a a a +++++=-，令0x =，则0123451a a a a a a -+-+-=，解得5024312a a a -+++=，5135312a a a --++=，可得()()10024135314a a a a a a -++++=，所以D 错误.故选：C.6.函数()()12cos 2023π1f x x x ⎡⎤=++⎣⎦-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【分析】根据()y f x =在[]3,5-的零点，转化为11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]3,5-上有8个交点，即可求出.【详解】因为()()112cos 2023π2cosπ11f x x x x x ⎡⎤=++=-⎣⎦--，令()0f x =，则12cosπ1x x =-，则函数的零点就是函数11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-交点的横坐标，可得11y x =-和2cosπy x =的函数图象都关于直线1x =对称，则交点也关于直线1x =对称，画出两个函数的图象，如图所示.观察图象可知，函数11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-上有8个交点，即()f x 有8个零点，且关于直线1x =对称，故所有零点的和为428⨯=.故选：D7.点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.(2-【解析】【分析】依据题目条件可知圆的半径为2b a ，画出图形由PQMc >，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】依题意，不妨设F 为右焦点，则(),M c y ，由圆Ｍ与x 轴相切于焦点F ，M 在椭圆上，易得2b y a =或2b y a =-，则圆的半径为2b a.过M 作MN y ⊥轴垂足为N ，则PN NQ =，MN c =，如下图所示：PM ，MQ 均为半径，则PQM为等腰三角形，∴PN NQ ==∵PMQ ∠为钝角，∴45PMN QMN ∠=∠> ，即PN NQ MN c =>=c >，即4222b c c a ->，得()222222a a c c ->，得22a c ->，故有210e -<，从而解得6202e <<.故选：B8.已知函数22,0,()414,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-++<⎪⎩ 若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（）A.{2,1,0,1}--B.{2,1,0}--C.{1,0,1}-D.{2,1}-【答案】A 【解析】【分析】作出()f x 的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(,1)a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】作出()f x 的函数图象如图所示：()10f x x a-<-表示点()(),x f x 与点(),1a 所在直线的斜率，可得曲线()f x 上只有一个点()(),x f x （x 为整数）和点(),1a 所在直线的斜率小于0，而点(),1a 在动直线1y =上运动，由()20f -=，()14f -=，()00f =，可得当21a -≤≤-时，只有点()0,0满足()10f x x a -<-；当01a ≤≤时，只有点()1,4-满足()10f x x a-<-.又a 为整数，可得a 的取值集合为{}2,1,0,1--.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已知双曲线C过点(，且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点【答案】AC 【解析】【分析】由双曲线的渐近线为3y x =±，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；联立方程组判断D ．【详解】解：由双曲线的渐近线方程为33y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确；由23a =，21b =，得2c ==，∴双曲线C3=，故B 错误；取20x -=，得2x =，0y =，曲线21x y e -=-过定点(2,0)，故C 正确；联立221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，化简得220,0y -+-=∆=，所以直线10x -=与C 只有一个公共点，故D 不正确．故选：AC ．10.已知向量a ，b 满足2a b a += ，20a b a ⋅+= 且2= a ，则（）A.2b =B.0a b +=C.26a b -= D.4a b ⋅=【答案】ABC 【解析】【分析】由2a b a += ，得20a b b ⋅+= ，又20a b a ⋅+= 且2= a ，得2b = ，4a b ⋅=- ，可得cos ,1a b a b a b⋅==- ，,πa b = ，有0a b += ，26a b -= ，可判断各选项.【详解】因为2a b a += ，所以222a b a += ，即22244a a b b a +⋅+= ，整理可得20a b b ⋅+= ，再由20a b a ⋅+= ，且2= a ，可得224a b == ，所以2b = ，4a b ⋅=- ，A 选项正确，D 选项错误；cos ,1a b a b a b⋅==- ，即向量a ，b 的夹角,πa b = ，故向量a ，b 共线且方向相反，所以0a b += ，B 选项正确；26a b -=，C 选项正确.故选：ABC11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点,P M ，使得二面角--M DC P 大小为23πB.存在点,P M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC 的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD-外接球的体积为3【答案】BC 【解析】【分析】由题意，证得1,CD MD CD DD ⊥⊥，得到二面角--M DC P 的平面角1π0,2MDD ⎡∠∈⎤⎢⎥⎣⎦，可得判定A 错误；利用线面平行的判定定理分别证得11//B D 平面BDP ，1//MB 平面BDP ，结合面面平行的判定定理，证得平面//BDP 平面11MB D ，可判定B 正确；取1DD 中点E ，证得PE ME ⊥，得到2ME ==，得到点M 在侧面11ADD A 内运动轨迹是以E 为圆心、半径为2的劣弧，可判定C 正确；当M 为1AD 中点时，连接AC 与BD 交于点O ，求得OM OA OB OC OD ====，得到四棱锥M ABCD -外接球的球心为O ，进而可判定D 错误.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，可得CD ⊥平面11ADD A，因为MD ⊂平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，所以1,CD MD CD DD ⊥⊥，所以二面角--M DC P 的平面角为1∠MDD ，其中1π0,2MDD ⎡∠∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以A 错误；如图所示，当M 为1AA 中点，P 为1CC 中点时，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//B D BD ，因为11B D ⊄平面BDP ，且BD ⊂平面BDP ，所以11//B D 平面BDP ，又因为1//MB DP ，且1MB ⊄平面BDP ，且DP ⊂平面BDP ，所以1//MB 平面BDP ，因为1111B D MB B = ，且111,B D MB ⊂平面11MB D ，所以平面//BDP 平面11MB D ，所以B 正确；如图所示，取1DD 中点E ，连接PE ，ME ，PM ，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11ADD A ，且//CD PE ，所以PE ⊥平面11ADD A ，因为ME ⊂平面11ADD A ，可得PE ME ⊥，则2==ME ，则点M 在侧面11ADD A 内运动轨迹是以E 为圆心、半径为2的劣弧，分别交AD ，11A D 于2M ，1M ，如图所示，则121π3D E D M M E ∠=∠=，则21π3M M E ∠=，劣弧12M M 的长为π3π223⨯=，所以C 正确当M 为1A D 中点时，可得AMD 为等腰直角三角形，且平面ABCD ⊥平面11ADD A ，连接AC 与BD 交于点O ，可得OM OA OB OC OD =====，所以四棱锥M ABCD -外接球的球心即为AC 与BD 的交点O ，所以四棱锥M ABCD -，其外接球的体积为348233π⨯=，所以D 错误.故选：BC.12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D.()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.【答案】ABD 【解析】【分析】令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，得到A 正确；设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，根据隔离直线定义可得不等式组22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立；分别在0k =和0k <两种情况下讨论b 满足的条件，进而求得,k b 的范围，得到B 正确，C 错误；根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为y kx e =-；分别讨论0k =、0k <和0k >时，是否满足()()e 0f x kx x ≥->恒成立，从而确定k =，再令()()e G x h x =--，利用导数可证得()0G x ≥恒成立，由此可确定隔离直线，则D 正确.【详解】对于A ，()()()21m x f x g x x x=-=-，()212m x x x '∴=+，()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x ''>，()m x '∴单调递增，()2233220m x m ⎛'∴>-=--+= ⎝，()m x ∴在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，A 正确；对于,B C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx bx ⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立.由210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立得：0k ≤.⑴若0k =，则有0b =符合题意；⑵若0k <则有20x kx b --≥对任意(),0x ∈-∞恒成立，2y x kx b =-- 的对称轴为02kx =<，2140k b ∆+∴=≤，0b ∴≤；又21y kx bx =+-的对称轴为02bx k =-≤，2240b k ∴∆=+≤；即2244k b b k⎧≤-⎨≤-⎩，421664k b k ∴≤≤-，40k ∴-≤<；同理可得：421664b k b ≤≤-，40b ∴-≤<；综上所述：40k -≤≤，40b -≤≤，B 正确，C 错误；对于D ， 函数()f x 和()h x 的图象在x =处有公共点，∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-+，则()()e 0f x kx x ≥->恒成立，若0k =，则()2e 00x x -≥>不恒成立.若0k <，令()()20u x x kx e x =-+>，对称轴为02k x =<()2u x x kx e ∴=-+在(上单调递增，又0ue e =--=，故0k <时，()()e 0f x kx x ≥->不恒成立.若0k >，()u x 对称轴为02kx =>，若()0u x ≥恒成立，则()(22340k e k ∆=-=-≤，解得：k =.此时直线方程为：y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()()2ln G x e h x e e x =--=--，则()x G x x-'=，当x =时，()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()min 0G x G==，()()0G x e h x ∴=--≥，即()h x e ≤-，∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图像在点()()11M f ，处的切线方程是122y x =+，则()()11f f '+＝______．【答案】3【解析】【分析】根据导数的几何意义，可得'(1)f 的值，根据点M 在切线上，可求得(1)f 的值，即可得答案.【详解】由导数的几何意义可得，'1(1)2k f ==，又()()11M f ，在切线上，所以15(1)1222f =⨯+=，则()()11f f '+=3，故答案为：3【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，33sin 14ACF ∠=，则DEF 的面积为________．【解析】【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.【详解】因为EFD △为等边三角形，所以60EFD ∠= ，则120EFA ∠= ，在AFC △中，由正弦定理，则sin sin AF ACACF AFC=∠∠，解得sin 7sin 23314AF AC AFC ACF =⋅∠==∠，由余弦定理，则2222cos AC AF FC AF FC AFC =+-⋅⋅∠，整理可得：21499232FC FC ⎛⎫=+-⨯⋅⋅- ⎪⎝⎭，则23400FC FC +-=，解得5FC =或8-（舍去），等边EFD △边长为532-=，其面积为122sin 602⨯⨯⋅=o .15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+．若123111181n a a a a +++⋅⋅⋅+<，则n 的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】应用等差数列定义得出等差数列,根据差数列通项公式及求和公式求解计算即得.【详解】因为12312133n n n n a a a a ++==+，所以1112,3n n a a +=+，即11123n n a a +-=，且1123a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为23，公差为23的等差数列.可求得()12221333n nn a =+-=，所以()()1232211111212222333n n n n n n a a a a ++⨯+⨯++⨯+++⋅⋅⋅+===，即()()181,12433n n n n +<+<且()*1,N n n n +∈单调递增,1516240,1617272⨯=⨯=.则n 的最大值为15.故答案为:15.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.【答案】6【解析】【分析】以点D 为原点，建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理，证得1A C ⊥平面1BC D ，记1AC 与平面1BC D 交于点H ，连接11A C ，1,C O ，AC ，得到12A H HC =，结合点()13,0,3A 关于平面1BC D 对称的点为()1,4,1G --，进而求得1A F EF +的最小值.【详解】以点D 为原点，1,,DA DC DD所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()13,0,3A ，()3,2,3E ，()0,3,0C，因为BD AC ⊥，1BD A A ⊥，且1AC A A A ⋂=，则BD ⊥平面1A AC ，又因为1AC ⊂平面1A AC ，所以1BD A C ⊥，同理得1BC ⊥平面11A B C ，因为1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC A C ^，因为1BD BC B = ，且1,BD BC ⊂平面1BC D ，所以1A C ⊥平面1BC D ，记1AC 与平面1BC D 交于点H ，连接11A C ，1C O ，AC ，且AC BD O = ，则11121A H A C HC OC ==，可得12A H HC =，由得点()13,0,3A 关于平面1BC D 对称的点为()1,4,1G --，所以1A F EF +的最小值为6EG ==.故答案为：6.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()23sin 2cos 2xf x x m ωω=++的最小值为2-.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值.【答案】（1）2（2）4【解析】【分析】（1）化简函数为()2sin 16f x x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再根据函数()f x 的最小值为2-求解；（2）利用平移变换得到()2sin g x x ω=的图象，再由()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数求解.【小问1详解】解：()23sin 2cos 2xf x x m ωω=++，3sin cos 1x x m ωω=+++，2sin 16x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最小值为2-212m ∴-++=-，解得1m =-，则()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最大值为2.【小问2详解】由（1）可知：把函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6πω个单位，可得函数()2sin y g x x ω==的图象.()y g x = 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴函数()g x 的周期22T ππω=4ω∴ ，即ω的最大值为4.18.为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。
甘肃省靖远县2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学含答案
高考模拟金典卷·数学（答案在最后）（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若3z z ⋅=，则z =（）A. B.3C.D.322.已知命题:p x ∀∈N N ；命题:q x ∃∈Z ，3x x <，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.在等差数列{}n a 中，388a a +=，则其前10项和10S =（）A.72B.80C.36D.404.已知向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，若a在b 上的投影向量为，则,a b = （）A.5π6B.3π4C.2π3D.7π125.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥6.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（）A.240B.270C.300D.3307.已知1sin 22cos 2αα+=，则tan 2α=（）A.3- B.43-C.13D.348.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是双曲线C 右支上一点，若222F B F A =uuu r uuu r ，120F B F B ⋅=，且2F B a =，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.3C.12 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1x ，2x ，L ，10x 是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（）A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差变小10.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如图所示，则（）A.(0)1f =B.()f x 在区间4π11π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在区间π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上有3个极值点D.将()f x 的图象向左平移5π12个单位长度，所得函数图象关于原点O 对称11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，当0x >时，()0f x >，则（）A.(0)0f = B.3(2)4f -=-C.()f x 在(0,)+∞上单调递增D.101()2024i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆()2211x my m +=>的离心率为2，则m =_______.13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.14.记min{,,}a b c 为a ，b ，c 中最小的数.设0x >，0y >，则11min 2,,x y y x ⎧⎫+⎨⎩⎭中的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，sin 2cos 3B B =.（1）求A .（2）若5b c a +=，求ABC V 的面积.16.已知函数()2()e xf x x ax b =++的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为21x y +-0=.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极值.17.激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.原始信息的单光子的偏振状态012解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.（1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率.（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==122BC BB ==，P ，Q 分别为11B C ，1A B 的中点.（1）证明：1A B CP ⊥.（2）求直线1A B 与平面CPQ 所成角的正弦值.（3）设点1C 到直线CQ 的距离为1d ，点1C 到平面CPQ 的距离为2d ，求12d d 的值.19.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点(0,1)的距离，记动点P 的轨迹为E .（1）求E 的方程.（2）设*n ∈N ，(),n n n A x y ，(),n n n B u v 是E 上不同的两点，且1n n x u ⋅=-，记n C 为曲线E 上分别以n A ，n B 为切点的两条切线的交点.（i ）证明：存在定点F ，使得n n n A B FC ⊥.（ii ）取2nn x =，记n n n n C A B α=∠，n n n n C B A β=∠，求111tan tan ni n n αβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.高考模拟金典卷·数学（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】4【13题答案】【答案】①.31π②.125π【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）3π；（2）20.【16题答案】【答案】（1）3a =-，1b =（2）增区间为(,1)∞--和(2,)+∞，减区间为(1,2)-，极大值为5e，极小值为2e -【17题答案】【答案】（1）23（2）分布列见解析，()1E X =【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3（3）14【19题答案】【答案】（1）2122x y =+（2）（i ）证明见解析；（ii ）1221n n +---。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
![2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ca444db8662caaedd3383c4bb4cf7ec4afeb6db.png)
2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
高三行事历具体安排
③收集并讨论各班培优治拐计划
④体育生补课情况反馈。
⑤英语听力训练。
第
一
轮
总
复
习
9月16——9月22日
（第四周）
①班主任例会。
②布置各备课组打印试卷。
③备课组长会，讨论第一轮复习中存在问题。
④教学常规检查（课堂教学、作业批改）。
⑤限时训练
9月23——9月29日
3月17日—3月23日
（第六周）
1联考分析会。年级大会，备课组学科分析。班级个例分析。
2部分教师外出联谊会。
3九校横向分析比较会。
④班主任例会。限时训练。
第
二
轮
总
复
习
3月24日—3月30日
（第七周）
①班主任例会。
②备课组长会，讨论并解决第二轮复习中存在的问题。
③文理综合测试。
3月31日—4月6日
（第八周）
①班主任例会。
②第九次月考（自命题）
③考后年级成绩分析会。
4月7日—4月13日
（第九周）
①班主任例会。
④备课组长会，确定第三轮复习计划，要求加强实战训练，查漏补缺。
③限时训练。
4月14日—4月20日
（第十周）
①班主任例会。
②组织参加市质量检查考考试（第十次月考）。
③各备课组质量分析会。
第
三
轮
总
复
习
4月21日—4月27日
限时训练教学常规检查课堂教学作业批改11月11日17第三次月考县第一次联考时间待定及试卷讲评
高三行事历具体安排
8月26——9月1日
（第一周）
①9月2日下午，各备课组、各班召开以分析上期期末调研考试成绩为主题的班会、教师座谈会。
福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题
福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题一、单选题1．若集合{}{}1,2,3,1,0,2,5M N =-=-，则M N ⋃=（ ）A ．{}1,2-B ．{}1,2,3-C ．{}1,0,2,5-D ．{}1,0,2,3,5-2．若向量()()1,2,1,2a b m =-=+r r ，且()a b a +⊥r r r ，则m =（ ） A ．−8 B ．8 C ．−2 D ．23．已知()f x x α=是幂函数，则“α是正偶数”是“()f x 的值域为[)0,+∞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若π1sin 83α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．9-C ．9D ．795．已知()f x 是奇函数，且()f x 在()2,+∞上单调递减，则（ ）A ．()()440f f -->B ．()()440f f -+>C ．()()340f f -+>D ．()()340f f -+<6．已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则()2f =（ ）A ．1-B ．C ．D ．2-7．“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部B 在同一平面内的两个测量基点C 与D ．现测得30CBD ∠=︒，23.8m CD =，在C 点测得雕塑顶端A 的仰角为45︒，在D 点测得雕塑顶端A 的仰角为30︒，则雕塑的高度AB =（ ）A ．47.6mB ．35.7mC ．23.8mD ．11.9m8．已知函数()()ln 11f x x a x =-++，()()21g x a x =+.当1x ≥时，()()20f x g x +≥恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,+∞二、多选题9．已知函数()()()2623f x x x =--，则（ ）A ．()f x 在()0,1上单调递减B ．()f x 在()1,2上单调递增C ．()f x 有3个零点D ．直线=3y -与()f x 的图象仅有1个公共点10．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且s i ns i n 5s i n ,1a B c A A b c b c +==++，ABC V的面积为ABC V 的周长可能为（ ）A ．8B ．5C ．9D ．511．已知函数()sin cos f x x x x =++，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的图象关于点ππ,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．π2x =是()f x 的极大值点三、填空题12．已知()tan 4αβ+=，()tan 3αβ-=-，则tan2β=．13．已知0a >，0b >，且2ab=14．对于任意的,x y ∈R ，函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，函数()g x 满足()()()g x y g x g y +=.若()21f =-，()38g =，则()()2024g f =.四、解答题15．已知函数()ln f x x x x a =--．(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y bx =+，求a 和b 的值；(2)求()f x 的单调区间与最大值．16．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知sin cos 0b A a B -=．(1)求角B 的大小；(2)若cb =a ；(3)若c =，求tan A 的值．17．已知函数()()211,0,122211,0.ax a x f x ax a x a x ⎧+<⎪+=⎨⎪+-++≥⎩(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在R 上单调，求a 的取值范围．18．已知函数()2cos f x x x x =+．(1)将()f x 化成()()()cos 0,0,πf x A x B A ωϕωϕ=++>><的形式；(2)求()f x 的单调区间；(3)若()f x 在π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的值域为[],a b ，求b a -的取值范围． 19．若函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，使得()1()()f b f a f x b a -'=-，()2()()f b f a f x b a-'=-，则称()f x 是[],a b 上的“双中值函数”，其中12,x x 称为()f x 在[],a b 上的中值点.(1)判断函数()3231f x x x =-+是否是[]1,3-上的“双中值函数”，并说明理由；(2)已知函数()21ln 2f x x x x ax =--，存在0m n >>，使得()()f m f n =，且()f x 是[],n m 上的“双中值函数”， 12,x x 是()f x 在[],n m 上的中值点.①求a 的取值范围；②证明：122x x a +>+.。
河南省2025届高三新未来九月大联考2024-2025学年高三上学期开学数学试题
河南省2025届高三新未来九月大联考2024-2025学年高三上学期开学数学试题一、单选题1．已知单位向量,a b r r 的夹角为π3，则()2a b a ⋅-=r r r （ ） A ．1-B ．12-C ．0D ．12．双曲线22:1(0)3x y C m m m-=>的离心率为（ ）AB ．C ．2D3．以点()1,1为圆心的圆C 截直线2y x =+所得的弦长为C 的半径为（ ）A ．1BC ．2D4．随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京､北京､西安､厦门､杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为（ ） A ．15B ．310 C ．25D ．235．已知角α的终边经过点()3,4-，则π2sin cos 24ααα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．825B ．625 C ．15-D ．725-6．如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为()2π，则瓶子的体积为（ ）A ．10π3B ．4πC ．14π3D ．16π37．已知函数()21x f x x =+，则函数()f x 的图象的对称中心的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()1,3-C ．()1,2--D ．()1,2-8．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,,cos cos cos a b cA B C成等差数列，则sin cos cos AB C 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题 9．已知复数12i2iz +=-，则（ ） A ．1i z =- B ．2025i z =-C ．复数1z +是方程2220x x +=-的一个根D ．复数()()12z z ++在复平面内所对应的点位于第二象限 10．已知函数()1e xx a f x -+=的最大值为1，则（ ） A ．0a =B ．当22m n <时，()()22f m f n <C ．2211log log 3e f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．当11x -≤≤时，()21f x x ≥-11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 且不与x 轴垂直的直线与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，过原点O 作直线AB 的平行线与抛物线C 交于另一点P ，则（ ）A ．2p =B ．线段OP 的中点和线段AB 的中点的连线与x 轴平行C ．以点,,,O P A B 为顶点的四边形可能为等腰梯形D ．21OP x x =-三、填空题12．已知集合{}{}12,1A xx B x x m =-≤≤=-≤∣∣，若A B B =U ，则实数m 的取值范围为. 13．已知函数()πsin2sin 23f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间()0,m 上有且仅有2个零点，则实数m 的取值范围为.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，点,E F 分别为,CD CP 的中点，点T 为PAB V 内的一个动点（包括边界），若CT ∥平面AEF ，则点T 的轨迹的长度为.四、解答题15．已知函数()ln bf x ax x x=++在点()()22f ,处的切线方程为1ln2y x =++. (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极值.16．某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为2110s =，化学成绩的方差为5022218,500500i i s x ===∑，其中,(i i x y i ∈N 且150)i ≤≤分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y 关于x 的线性回归方程为0.4y x t =+.(1)求y 与x 的样本相关系数r ；(2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩η服从正态分布()2,N μσ，用样本平均数x 作为μ的估计值，用样本方差21s 作为2σ的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间()96.84,106.32的人数.附：①回归方程ˆˆˆya bx =+中：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ ②样本相关系数()()niix x y y r --=∑③若()2,N ημσ:，则()()0.68,220.95P P μσημσμσημσ-≤≤+≈-≤≤+≈3.1617．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，11112,,AB AA B E EC CF C F ====.(1)证明：1⊥BC 平面1A EF ；(2)若()01AP AB λλ=≤≤u u u r u u u r，求直线1PA 与平面1A EF 所成角的正弦值的最大值.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，点⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点(),T m n 在椭圆C 上（点T 不在坐标轴上），证明：直线12mxny +=与椭圆C 相切； (3)设点P 在直线1x =-上（点P 在椭圆C 外），过点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,,A B O 为坐标原点，若PAB V 和OAB △的面积之和为1，求直线AB 的方程.19．欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数n ，记()f n 为n 的所有正因数的个数，()g n 为n 的所有正因数的和.(1)若数列()()3,3n nn n a f b g ==，求数列13n a n n n c bb +=的前n 项和n S ；(2)对互不相等的质数p q r､､，证明：()()()()()()()() 32323232,f p q r f p f q f rg p q r g p g q g r==，并求() ()22002200gf的值.。
上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月练习数学试卷
上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月练习数学试卷一、填空题1．函数tan 2y x =的最小正周期为．2．已知全集为R ，集合1{|()1}2x A x =≤，则A =3．函数()2log (1)1a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为4．函数2sin 2cos y x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭值域是.5．若实数x ，y 满足xy 1=，则222x y +的最小值为．6．已知()()||f x x a x a =+⋅+在R 上为严格增函数，则实数a 的取值范围是7．已知函数()sin (0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>>≤<的图像与直线(0)y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标依次是1,2,4，则ϕ=.8．奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=，且(3)e f =，则(2024)(2025)(2026)f f f ++=9．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是2cos3y x =，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是sin()y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2），则ϕ=10．若函数cos y x ω=(0)>ω在3π[,π]4上严格减，则正实数ω的取值范围是 11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x =+，且当[)1,0x ∈-时，()()1f x x x =-+.若对任意[),x λ∈+∞，不等式()34f x ≤恒成立，则实数λ的最小值是. 12．设9(0,)2ω∈，若在区间[π,2π)上存在唯一的a 和唯一的b ，使a b <且sin()cos()2a b ωω+=成立，则ω的取值范围是二、单选题13．函数πtan(3)6y x =-+的单调减区间是（ ）A ．ππ[π,π]33k k -+（k ∈Z ）B ．π2π(π,π)99k k -+（k ∈Z ）C ．πππ2π[,]3939k k -+（k ∈Z ） D ．πππ2π(,)3939k k -+（k ∈Z ） 14．设()f x 在0x 处可导，下列式子与()0f x '相等的是（ ）A ．()()000limx f x f x x x∆→-+∆∆B ．()()000lim2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002lim x f x x f x x ∆→+∆-∆D ．()()000lim x f x f x x x∆→--∆-∆15．已知函数()()3f x cos x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立，则（ ）A ．函数()1f x -一定是奇函数B ．函数()1f x +一定是奇函数C ．函数()1f x -一定是偶函数D ．函数()1f x +一定是偶函数16．已知0a >，sin y x =在[,2]a a 上的最小值为1S ，最大值为2S ，sin y x =在[2,3]a a 上的最小值为1T ，最大值为2T ，有以下两个命题：①11S T =且22S T =的充要条件是42k a ππ=+，k ∈N ；②存在0a >，使120S T +=且210S T +≠；下列选项正确的是（ ）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误三、解答题17．已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =--． (1)求()f x 的最小正周期和单调区间；(2)已知π3π[,]44x ∈，求()f x 的最值，并写出取得最值时x 的值．18．已知函数()log a f x x =，其中0a >且1a ≠．(1)若函数()y f x =的图象过点()4,2，求不等式()()22f x f x -<的解集； (2)若存在实数x ，使得()()()122f x f x f ax +++=，求a 的取值范围；19．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足231p x =-+（其中0x a ≤≤，a 为正常数）．已知生产该产品还需投入成本102p +万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为204p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 20．已知函数()()ln af x x a R x=+∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅲ）令()()52a k g a a--=，若对任意的0x >，0a >，恒有()()f x g a ≥成立，求实数k的最大整数．21．设()()s i n f x x ωϕ=+()0,0πωϕ><<，函数()y f x =的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴． (1)求函数()y f x =的表达式；(2)函数()1122x g x x f ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在[]0,2π上的值域； (3)将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后得到函数()y h x =的图象，设R λ∈，n 为正整数，且函数()()y f x h x λ=+在区间()0,πn 内恰有2023个零点，求λ与n 的值．。
湖北省黄冈市2023-2024学年高三上学期9月调研考试数学试题
一、单选题1. 已知平面，，直线，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若复数z 满足，则（ ）A ．3B ．5C．D．4. 已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b 的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于A，两点，若双曲线的对称中心以线段为直径的圆内部，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．不在6. 双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（ ）A．B ．2C ．3D ．67. 设，则“”是“”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知集合,则集合的子集个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 已知双曲线C 的方程为，其左、右焦点分别是、．已知点坐标为，双曲线上点（，）满足，则（ ）A．B．C．D．10. 调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为湖北省黄冈市2023-2024学年高三上学期9月调研考试数学试题二、多选题三、填空题四、填空题A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11. 已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．12. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立周年，则中国共产党成立的那一年是（ ）A ．辛酉年B ．辛戊年C ．壬酉年D ．壬戊年13.已知函数的定义域为，、都有，且，则（ ）A．B．C ．是增函数D．是偶函数14.已知函数满足，则（ ）A．的图象关于直线对称B．在区间上单调递增C．的图象关于点对称D．将的图象向左平移个单位长度得到15.设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（ ）A．B．C ．设函数的值域为，则的子集个数为D．16. 若正数a ，b满足，则（ ）A．B．C．D．17. 已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.18. 函数在的零点个数为________．19.在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.20.已知曲线和，若C 与恰有一个公共点，则实数_________；若C 与恰有两个公共点，则实数m 的取值范围是_________．21. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆相交于A ，B 两点，则直线l 的倾斜角为___________，弦AB 的长度为___________五、解答题六、解答题七、解答题八、解答题22. 求值.（1）；（2）.23. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.24.已知函数(1)若在时取得极小值，求实数k 的值；(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：25. 如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且,另一个侧面是正三角形.(1)求证:;(2)求二面角的大小;(3)在直线上是否存在一点F ,使与平面成角？若存在,确定F 的位置;若不存在,说明理由.26. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，四边形ABEF 为直角梯形，，，，，平面平面ABEF．（1）求证：平面ABEF ．（2）求平面ABCD 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．27. 某贫困地区有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）.(1)应收集多少户山区家庭的样本数据？(2)根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；(3)样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：九、解答题28. 已知函数，其中．(1)当时，若有大于零的极值点，求b的取值范围；(2)若存在不同的，使曲线在处的切线重合，求a的取值范围．。
2024届高三数学上学期9月中学生标准学术能力诊断性测试卷附答案解析
2024届高三数学上学期9月中学生标准学术能力诊断性测试卷2023.9（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}11,,1522x A xx B x x x -⎧⎫=<∈=∈<<⎨⎬+⎩⎭R N ，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则i i =（）A ．π2e B ．π2e -C ．πe D ．πe -3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公比1q ≠-，若124816S S S =+，则公比q =（）A ．3B ．2±C ．2D ．3±4．已知向量6AB AC ⋅=，线段BC 的中点为M ，且6AM = ，则BC = （）A ．230B ．330C ．226D ．3265．已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为T ，且满足2πT >，若函数()f x 在区间,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，则ω的取值范围是（）A ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭6．三棱锥A BCD -中，ππ3,42,,43AB BC BD ABC ABD DBC ===∠=∠=∠=，则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值是（）A ．41717B ．42929C ．31717D ．329297．已知三角形ABC 中，3BC =，角A 的平分线交BC 于点D ，若12BD DC =，则三角形ABC 面积的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．9．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且1abc =，则下列说法正确的是（）A ．()21a c b+>B ．11a cb c<--C ．22a b >D ．()()22110a b ab -->10．已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为21s ，平均数1x ；最大和最小两个数据的方差为22s ，平均数2x ；原样本数据的方差为2S ，平均数x ，若12x x =，则（）A ．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变B ．1x x =C ．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数D ．222124155S s s =+11．已知函数()cos22sin f x x x =+，则（）A ．函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．方程()()()0,2πf x a x =∈最多有8个根，且这些根之和为8π12．已知椭圆C ：2212x y +=的中心为O ，A ，B 是C 上的两个不同的点且满足OA OB ⊥，则（）A ．点O 在直线AB 上投影的轨迹为圆B ．AOB ∠的平分线交AB 于D 点，OD 的最小值为63C ．AOB 面积的最小值为23D ．AOB 中，AB 边上中线长的最小值为233三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知tan 2α=，则sin4α=．14．若()52210012103x x a a x a x a x --=++++ ，则12345a a a a a ++++=．15．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为36π，则该四棱锥体积的最大值是．16．已知函数()()21e sin 112xf x m x x m x =+--++，在0x =处取到极小值，则实数m =．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{}n a 是各项均为正数的数列，设3log n n c a =，若数列{}n c 的前n 项和22n n nS +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记()2265n n d a n n =⋅++，求数列{}n d 的前n 项和n T ．18．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos2c a A B b A A B =-≤．(1)求A ；(2)若D 是BC 上的一点，且:1:2,2BD DC AD ==，求a 的最小值．19．某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题．现有A 、B 、C 三位员工参加比赛，比赛规则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束．每人两次回答问题的过程相互独立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知A 员工能正确回答甲类问题的概率为0.5，能正确回答乙类问题的概率为0.6；B 员工能正确回答甲类问题的概率为0.6，能正确回答乙类问题的概率为0.5；C 员工能正确回答甲类问题的概率为0.4，能正确回答乙类问题的概率为0.75．(1)求3人得分之和为20分的概率；(2)设随机变量X 为3人中得分为100的人数，求随机变量X 的数学期望．20．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，SA BD ⊥，22SA AD CD ==，M 是SB 的中点．(1)证明：MC BD ⊥；(2)若SA AD ⊥，2SA =，点P 是SC 上的动点，直线AP 与平面AMC 所成角的正弦值为1010，求SP SC ．21．已知椭圆222:1(0)6x y C b b +=>的左右焦点分别为12,,F F C 是椭圆的中心，点M 为其上的一点满足125,2MF MF MC ⋅==．(1)求椭圆C 的方程；(2)设定点(),0T t ，过点T 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，若在C 上存在一点A ，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值，求t 的范围．22．已知函数()ln e ee (0)axxf x a x x=-->．(1)当1a =时，求函数()()1e eax f x g x x a -=-+-的单调区间；(2)证明：当2e a -<-时，不等式()0f x >恒成立．1．B【分析】根据分式不等式的解法、交集的定义求解即可.【详解】1122x x -<+，则11022x x --<+，即402x x -<+，()()420x x -+<，解得24-<<x ，故{}24A x x =-<<，又{}{}152,3,4B x x =∈<<=N ，故{}2,3A B ⋂=.故选：B 2．B【分析】由已知得出πi 2ππi cos isin e 22⋅=+=，然后指数运算可得结果.【详解】因为πi 2ππi cos isin e 22=+=，所以，2iπππi i i 222i e e e ⋅⋅-⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：B.3．B【分析】利用等比数列片断和的性质，构造新的等比数列求解即可.【详解】由题意可知，公比1q ≠.由{}n a 是等比数列，则484128,,S S S S S --成等比数列，且公比为4q ，已知124816S S S =+，则412848488444)1615()1515(S S S S S S S S S S S -=-+=+-=++，即844441615S q S S q =+，当40S ≠时，两边同除以4S 得，8415160q q --=，解得，41q =-（舍），或416q =，则2q =±，当40S =时，此时414(1)01a q S q-==-，由10a ≠，解得1q =-，由已知1q ≠-，舍去.故选：B.4．A【分析】用平面向量基底{},AB AC 表示,AM BC，找到,AM BC 的关系求解即可.【详解】设,AB a AC b ==，则()()11,22AM AB AC a b BC AC AB b a =+=+=-=-，由()22222212,24AM a a b b BC a a b b =+⋅+=-⋅+ ，得2244AM BC a b -=⋅ ，又已知6AB AC a b ⋅=⋅=，且6AM = ，则有22444(366)120BC AM a b =-⋅=-=，故230BC =.故选：A.5．C【分析】由函数()f x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，转化为在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可.【详解】已知()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，令πππ()32x k k ω+=+∈Z ，解得ππ6,()k x k ω+=∈Z 则函数()f x 对称轴方程为ππ6,()k x k ω+=∈Z 函数()f x 在区间,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，∴ππππ6,()64k k ω+<<∈Z ，解得2461,3k k k ω+<<+∈Z ，又由2πT >，且0ω>，得01ω<<，故仅当0k =时，213ω<<满足题意.故选：C.6．A【分析】取CD 中点，连接,AE BE ，证得CD ⊥面ABE ，作AO BE ⊥于O 得AO ⊥面BCD ，由等积法求出点D 到平面ABC 的距离h ，则hAD为直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值.【详解】取CD 中点，连接,AE BE ，,,AB AB BC BD ABC ABD ==∠=∠ ，ABC ∴ ≌ABD △，AC AD ∴=，AE CD ∴⊥，π,3BC BD DBC =∠=，BCD ∴△是边长为42的正三角形，,26BE CD BE ∴⊥=，,AE BE ⊂ 面,ABE AE BE E = ，CD \^面ABE ，作AO BE ⊥于O ，AO ⊂Q 面,ABE CD AO ∴⊥，,BE CD ⊂ 面,BCD BE CD E = ，AO ∴⊥面BCD ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠22π3(42)2342cos4=+-⨯⨯17=，17AC AD ∴==，221783AE AC CE ∴=-=-=，3AB AE == ，OB OE ∴=，22963AO AB BO ∴=-=-=，1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠△1π342sin 624=⨯⨯⨯=，设点D 到平面ABC 的距离为h ，由A BCD D ABC V V --=得1133BCD ABC S AO S h =⋅⋅ ，即21π(42)sin 3623h ⨯⋅⋅=⋅，解得4h =，所以直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为44171717h AD ==.故选：A.7．C【分析】先根据正弦定理可得12AB AC =，再建立平面直角坐标系求解A 的轨迹方程，进而可得ABC 面积的最大值.【详解】在ABD △中sin sin AB BDADB BAD =∠∠，在ABD △中sin sin AC DC ADC CAD=∠∠，故sin sin AB ADB BD BAD ∠=∠，sin sin AC ADCDC CAD∠=∠，因为180ADB ADC ∠=︒-∠，故()sin sin 180sin ADB ADC ADC ∠=︒-∠=∠，又角A 的平分线交BC 于点D ，则BAD CAD ∠=∠，故AB ACBD DC=.故12AB BD AC DC ==.以D 为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为3BC =，12BD DC =，故()1,0B -，()2,0C ，设(),A x y ，则()()22221122x y x y ++=-+，即()()2222412x y x y ⎡⎤=++-+⎣⎦，故222484344x x y x x +++=-+，化简可得2240x x y ++=，即()2224x y -+=，故点(),A x y 的轨迹是以()2,0-为圆心，2为半径的圆（除去()()4,0,0,0-）.故当A 纵坐标最大，即()2,2A -时ABC 面积取最大值为13232ABC S =⨯⨯=△.故选：C 8．D【分析】构造函数()12ln f x x x x=--，其中1x >，()()2ln 211x g x x x =+-+，其中0x >，()e 1x h x x =--，其中0x >，利用导数分析各函数的单调性，由()f x 的单调性可得出a 、b 的大小关系，由()g x 的单调性可得出b 、211的大小关系，由()h x 的单调性可得出c 、211的大小关系，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()12ln f x x x x =--，其中1x >，则()()22211210x f x x x x-'=+-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，所以，()()111011101.12ln1.1ln1.211010111011f f =--=-->=，所以，1110ln1.21ln1.21011a b =->>=，令()()2ln 211xg x x x =+-+，其中0x >，则()()()222220111xg x x x x '=-=>+++对任意的0x >恒成立，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，所以，()()0.220.1ln1.2ln1.2001.111g g =-=->=，即2ln1.211b =>，令()e 1x h x x =--，其中0x >，则()e 10xh x '=->对任意的0x >恒成立，所以，函数()h x 在()0,∞+上为增函数，则()()0.10.1e 1.100g g =->=，则0.1e 1.1>，所以，0.11125e 5 1.111c =<=⨯，综上所述，a b c >>.故选：D.9．ABD【分析】对A ，根据1abc =可得1ac b =，再代入()21a c b+>推导即可；对B ，由0a c b c ->->推导即可；对C ，举反例判断即可；对D ，根据1abc =代入化简()()2211a b ab --即可判断.【详解】对A ，根据1abc =可得1ac b =，故()21a c b+>即()2a c ac +>，即220a ac c ++>.因为22223204a a a c c c c ⎛⎫=++ ⎪+⎭+>⎝恒成立，故()21a c b +>成立，故A 正确；对B ，因为a b c >>，故0a c b c ->->，故11a cb c<--成立；对C ，当1,1,22a b c ==-=-时，满足a b c >>且1abc =，但22a b >不成立，故C 错误；对D ，因为1abc =，()()()()2221111a c b c a b a b ab c c c --⎛⎫⎛⎫--=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为a b c >>，故()()20a c b c c -->，故D 正确.故选：ABD 10．ABD【分析】设10个样本数据从小到大排列分别为12310,,...x x x x ，再根据中位数、平均数、下四分卫数与方差的定义与公式推导即可.【详解】设10个样本数据从小到大排列分别为12310,,...x x x x ，则剩下的8个样本数据为239,...x x x .对A ：原样本数据的中位数为562x x +，剩下的8个样本数据中位数为562x x+，故A 正确；对B ，由题意()12391...8x x x x =+++，()211012x x x =+，()12101...10x x x x =+++.因为12x x =，故()()123911011 (82)x x x x x x =+++=+，即23911101...8,2x x x x x x x +++=+=，故1239101...10x x x x x x +++++=，故()12391011 (10)x x x x x x +++++=，故1x x =.故B 正确；对C ，因为1824⨯=，故剩下8个数据的下四分位数为()3412x x +，又110 2.54⨯=，故原样本数据的下四分位数为3x ，又43x x ≥，故()34312x x x +≥，故C 错误；对D ，因为12x x x ==，故()2222212391...8s x x x x =+++-，()2222211012s x x x =+-，()2222212101 (10)S x x x x =+++-.故222222391...88x x x s x +++=+，2222110222x x s x +=+，故()22222222121114188221055S s x s x x s s =+++-=+，故D 正确.故选：ABD 11．BCD【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题.【详解】()cos22sin ,f x x x x =+∈R ，()cos(2)2|sin()|cos 22|sin |()f x x x x x f x ∴-=-+-=+=，则()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称.()cos 2()2sin()cos 22sin ()f x x x x x f x +π=+π++π=+= ，()f x ∴是周期函数，周期T π=.又()cos 2()2sin()cos 22cos 222f x x x x xπππ-=-+-=-+ 且()cos 2()2sin()cos 22cos 222f x x x x x πππ+=+++=-+，()()22f x f x ππ∴-=+，即()f x 图象关于2x π=轴对称，故直线,2k x k π=∈Z 都是()f x 的对称轴.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0x ≥，则2()cos 22sin 2sin 2sin 1f x x x x x =+=-++2132(sin )22x =--+，令sin t x =，则()f x 可看成由2132()22y t =--+与sin t x =复合而成的函数，sin ,0,2t x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦单调递增，当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2132()22y t =--+单调递增，则()f x 单调递增；当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2132()22y t =--+单调递减，则()f x 单调递减；且min max 3()(0)()1,()()262f x f f f x f ππ=====.结合以上性质，作出函数()[]cos22sin ,0,2πf x x x x =+∈的大致图象.GGB选项A ，函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 项错误；选项B ，直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 项正确；选项C ，当[0,]x π∈时，函数()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由函数周期πT =，函数()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C项正确；选项D ，如图可知，方程()f x a =最多有8个根，设为(1,2,3,,8)i x i = ，不妨设1238x x x x <<<< ，当()0,2πx ∈时，函数()f x 的图象关于x π=对称，则8182736451()()()()428i i x x x x x x x x x ==+++++++=⨯π=π∑，即这些根之和为8π，故D 项正确.GGB故选：BCD.12．ABC【分析】根据斜率是否存在分类设直线AB 方程，利用OA OB ⊥，可求得点O 到直线AB 的距离为定值，即可判断A ；根据椭圆的对称性，AOB ∠的平分线OD 及AB 边上中线最小值都为点O 到直线AB 的距离可判断BD ；C 选项可有射影定理和基本不等式求出AB 的最小值，进而得到AOB 面积的最小值.【详解】AI选项A ：如图，作OM AB ⊥于M ，则点O 在直线AB 上投影为点M ，当直线AB 斜率不存在时，设直线AB 为x m =，因OA OB ⊥，根据椭圆的对称性可知若A 在第一象限，则(),A m m ，代入2212x y +=得2212m m +=，得63m =，故直线AB 方程为63x =，此时M 为直线AB 与x 轴的交点，63OM =，根据椭圆的对称性知，当直线AB 方程为63x =-，也符合题意，63OM =，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx n =+，联立2212x y +=得()222144220k x knx n +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122414kn x x k +=-+，21222214n x x k-=+，因OA OB ⊥，故12120x x y y +=，即()()12120x x kx n kx n +++=，化简得()()22121210k x x kn x x n ++++=，即()22222224101414n knk kn n k k-⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭，得()22213n k =+，OM 即点O 到直线AB 的距离，则222261331nn OM k k====++，综上可知OM 为定值63，故M 点的轨迹为以O 为圆心以63为半径的圆，故A 正确；选项B ：由A 选项知点O 到直线AB 的最小距离为63，AOB ∠的平分线交AB 于D 点，当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆的对称性，OD 即为OM ，故OD 的最小值为63，故B 正确；选项C ：根据射影定理，223AM BM OM ⋅==，故2623AB AM BM AM BM =+≥⋅=，当且仅当AM BM =时等号成立，此时11226623332AOB S AB OM =壮=创，故C 正确；D 选项：当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆的对称性，AOB 中，AB 边上中线即为63OM =，故D 错误，故选：ABC 13．2425-##0.96-【分析】知切求弦，转化为齐次比形式再变形为切代入求解即可.【详解】22sin 42sin 2cos 24sin cos (cos sin )==-ααααααα333322242244(sin cos sin cos )4(sin cos sin cos )(sin cos )sin 2sin cos cos --==+++αααααααααααααα3424(tan tan )4(28)24tan 2tan 1168125--===-++++αααα.故答案为：2425-.14．46-【分析】根据二项展开式公式分别计算12345,,,,a a a a a 即可.【详解】由题意，()523x x --中含x 的项为()()1415C 3405x x =---；含2x 的项为()()()()2123421255C 35C 3+13x x x --=-；含3x 的项为()()()()()1133212135453+C C 33450C x x x x -=---；含4x 的项为()()()()()()()213224122122455454C 3+1C 53C 3C x x x x x -+=-----；含5x 的项为()()()()()()()21123152211253553545C C +2C 3C C 131x x x x x x -+=-----；故123454051354501521146a a a a a ++++=-++--=-.故答案为：46-15．643##1213【分析】根据球的体积求出半径，再判断出体积最大时为正四棱锥，根据直角三角形中勾股定理求出正四棱锥底面边长和高的关系，表示出正四棱锥的体积，通过导数求得其最大值.【详解】 球的体积314363V R ππ==,∴球的半径3R =要使该四棱锥体积最大，如图四棱锥P ABCD -，对于底面ABCD 所在的小圆中，顶点P 到该小圆面距离最大，也就是高最大，即点P 位于小圆圆心O 与球心M 所在直线与球面的交点（远离小圆圆心的那点）；同时要使四棱锥体积最大，底面四边形ABCD 面积S 取最大，1111sin sin()sin()sin 2222AOB AOD BOC COD S S S S S AO BO AO OD OB OC CO DO θπθπθθ=+++=⋅⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅ 1sin 2AC BD θ=⋅⋅（其中θ为AC 与BD 的夹角）所以当AC 、BD 取最大即小圆的直径，sin θ取最大为1时，即AC BD ⊥时，底面四边形ABCD 面积S 最大，也就是四边形ABCD 为正方形时，其面积最大，因此当四棱锥P ABCD -为正四棱锥时，其体积最大.设2AB a =，高PO h =，则2OD a =,在Rt MOD 中，222MD MO OD =+,即2223(3)2h a =-+，221[9(3)]2a h ∴=--所以正四棱锥的体积()223211224934(06)3333V Sh a h h h h h h ⎡⎤==⨯=--=-+<<⎣⎦2282(4)V h h h h '=-+=--，故当()0,4h ∈时，0V '>，函数V 单调递增；当()4,6h ∈时，0V '<，函数V单调递减，所以4h =时，函数V 取得最大值32max 26444433V =-⨯+⨯=故答案为：643.16．1【分析】首先求函数的导数，并求函数的多阶导数，并分析求得m 的取值.【详解】()()e cos 1xf x m x x m '=+--+，由题意可知，()()0110f m m '=+-+=，设()()g x f x '=，()e sin 1xg x m x '=--，()00g '=，设()()h x g x '=，()e cos xh x m x '=-，()01h m '=-，若()010h m '=->，则存在(),x εε∈-，使()0h x '>，则(),x εε∈-，()h x 单调递增，即()g x '单调递增，又()00g '=，所以(),0x ε∈-，()0g x '<，函数()g x 单调递减，()0,x ε∈，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以(),x εε∈-，()()00g x g ≥=，即()0f x '≥，那么，(),x εε∈-，函数()f x 单调递增，在0x =处不能取到极小值，故不成立，若()010h m '=-<，则存在(),x εε∈-，使()0h x '<，则(),x εε∈-，()h x 单调递减，即()g x '单调递减，又()00g '=，所以(),0x ε∈-，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()0,x ε∈，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以(),x εε∈-，()()00g x g ≤=，即()0f x '≤，那么，(),x εε∈-，函数()f x 单调递减，在0x =处不能取到极小值，故不成立，所以()010h m '=-=，即1m =.故答案为：1【点睛】思路点睛：本题表面是一道普通的根据极小值点求参数的取值问题，实际得需要求多阶导数，再分析出m 的取值.17．(1)3nn a =(2)n T ()212236n n n +=++⨯-【分析】（1）根据1n n n S S c --=可得n c n =，进而可得{}n a 的通项公式；（2）裂项可得()()21211313n n n d n n +⎡⎤=++⨯-+⨯⎣⎦，再累加求和即可.【详解】（1）()()22111,22n n n n n n S S --+-+=∴=，()11,n n n S S n c n n -∴-==>∈N 又()111,,3nn n c S c n n a +==∴=∈∴=N （2）()()22123265(1)1313n n nn d n n n n +⎡⎤=⨯++=++⨯-+⨯⎣⎦ ()()()()2222322213113313213n T ∴=+⨯-+⨯++⨯-+⨯++()()22121213(1)13(1)1313n n n nnn n n -+⎡⎤⎡⎤+⨯--+⨯+++⨯-+⨯⎣⎦⎣⎦()221113(1)13n n +⎡⎤=-+⨯+++⨯⎣⎦()212236n n n +=++⨯-18．(1)π3A =(2)677【分析】（1）根据正弦定理化简可得()sin sin 2C A B =-，再根据角度关系分析即可；（2）根据平面向量基本定理可得23AB ACAD += ，再两边平方可得224236b c bc ++=，结合余弦定理可得222421361c c b b a c c b b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令c x b =，结合函数单调性与最值求解即可.【详解】（1）()2cos cos cos2c a A B b A A B =-≤ ，sin 2sin cos cos sin cos2C A A B B A∴=-()sin sin2cos sin cos2sin 20C A B B A A B ∴=-=->又02πA B <-<，则C 2A B =-或2πC A B +-=，若C 2A B =-，则π3A =；若2πC A B +-=，则2A B =，又A B ≤，不符合题意，舍去，综上所述π3A =.（2）22222,,()33AB AC AB AC BD DC AD AD ⎛⎫++=∴=∴= ⎪⎝⎭224236b c bc ∴++=①，又222a b c bc =+-②，①÷②得：222222242136421c c c b bc b b a b c bc c c b b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==+-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令cx b=，又22222,,,A B a b a b b c bc b ≤∴≤∴≤∴+-≤，,01cc b x b∴≤∴<=≤，令()()22242163(01),411x x x f x x f x x x x x ++-=<≤=+-+-+ 令363,6t x t x +-==，令()()2364(33)27tg t f x t t ==+-<≤+，当0=t 时()4g t =，当0t ≠时()364(33)27g t t t t=+-<≤+，由对勾函数性质可得当03t <≤时，27y t t =+为减函数，故27273123t t +≥+=，同理当0t <时2712t t+<-，()2366717,7,7g t a a ∴<≤∴≤∴≥所以当三角形ABC 为等边三角形时a 最小，最小值为67719．(1)0.158(2)0.9【分析】（1）列举出3人得分之和为20分的各种情况，结合独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（2）计算出3人各自得分为100的概率，可知()~3,0.3X B ，利用二项分布的期望公式可求出()E X 的值.【详解】（1）解：设事件1A 为A 员工答对甲类问题；设事件2A 为A 员工答对乙类问题；设事件1B 为B 员工答对甲类问题；设事件2B 为B 员工答对乙类问题；设事件1C 为C 员工答对甲类问题；设事件2C 为C 员工答对乙类问题；三人得分之和为20分的情况有：①A 员工答对甲类题，答错乙类题；B 与C 员工均答错甲类题，则()()()()()121112110.50.40.40.60.048P A A B C P A P A P B P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=；②B 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与C 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.60.50.50.60.09P B B A C P B P B P A P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=；③C 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与B 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.40.250.50.40.02P C C A B P C P C P A P B ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=，所以三人得分之和为20分的概率为0.0480.090.020.158++=.（2）解：因为A 员工得100分的概率为()()()12120.50.60.3P A A P A P A ⋅=⋅=⨯=，B 员工得100分的概率为()()()12120.60.50.3P B B P B P B ⋅=⋅=⨯=，C 员工得100分的概率为()()()12120.40.750.3P C C P C P C ⋅=⋅=⨯=，所以，随机变量()3,0.3X B ，所以，()30.30.9E X =⨯=.20．(1)证明见解析(2)12SP SC =【分析】（1）取AB 的中点N ，连接MN 、CN ，推导出BD ⊥平面CMN ，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设SP SC λ=，其中01λ≤≤，求出平面AMC 的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于λ的方程，解出λ的值，即可得解.【详解】（1）取AB 的中点N ，连接MN 、CN ，因为M 、N 分别为SB 、AB 的中点，则//MN SA ，因为SA BD ⊥，所以，BD MN ⊥，设直线CN 与直线BD 交于Q 点，因为//BN CD ，则BNQ DCQ ∠=∠，NBQ CDQ ∠=∠，所以，BNQ CDQ △∽△，所以，12NQ BQ BN CQ DQ DC ===，故13NQ BQ NC BD ==，设AD a =，则22CD AD a ==，22222622NC BN BC a a a ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1636NQ CN a ==，且()222223BD AD AB a aa =+=+=，1333BQ BD a ==，所以，222222632a a a NQ BQ BN +=+==，所以，BD CN ⊥，又因为MN CN N ⋂=，MN 、CN ⊂平面CMN ，则BD ⊥平面CMN ，因为MC ⊂平面CMN ，故MC BD ⊥.（2）因为SA AD ⊥，SA AB ⊥，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为2SA =，则()0,0,0A 、()0,0,2S 、()2,22,0C 、()0,22,0B 、()0,2,1M ，设平面AMC 的法向量为(),,m x y z =，则()2,22,0AC = ，()0,2,1AM = ，则222020m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2x =，则()2,1,2m =- ，设()()2,22,22,22,2SP SC λλλλλ==-=-，其中01λ≤≤，()()()0,0,22,22,22,22,22AP AS SP λλλλλλ=+=+-=-，因为直线AP 与平面AMC 所成角的正弦值为1010，则()222110cos ,1051684m AP AP m m APλλλ-⋅===⋅⋅-+，解得12λ=，即12SP SC =.21．(1)22163x y +=(2)6t >或6t <-【分析】（1）在12MF F △中，根据余弦定理及MC可得2229a c -=，从而求得椭圆方程.（2）设()()()001122,,,,,A x y P x y Q x y ，直线l 的方程为x y t λ=+，代入椭圆方程得韦达定理，要使01020102y y y y x x x x --+=--()()()()200000222002212462x y tx y x t x x t λλλ+-+--+-为常数，则02120tx -=，根据0x 范围得到t 的范围及点A 坐标.【详解】（1）设1122,MF r MF r ==，在12MF F △中，设12F MF θ∠=，22221212122cos 4F F r r r r c θ=+-=，()22212121212cos 4,2r r r r c MC MF MF θ∴=+-=+ 又，()()2222222212112212121122cos 4422r r MC MF MF MF MF r r r r c θ∴=++⋅=++=+- ，()222121222222122254222r r r r r r MC c c a c +-∴=+-=-=--=2222229,6,3,3a c a c b ∴-==∴=∴= ，所以椭圆C 的方程为：22163x y +=（2）设()()()001122,,,,,A x y P x y Q x y ，直线l 的方程为x y t λ=+，()222221226063x y y t y t x y t λλλ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，2121211222226,,,22t t y y y y x y t x y t λλλλλ-∴+=-==+=+++，22121222426,22t t x x x x λλλ-+==++，设()()()()()()01020201010201020102y y x x y y x x y y y y x x x x x x x x -⋅-+-⋅---+=---⋅-()()()()0001212012201201222x y y x x y y t x y y x x x x x x λ-+++-+=-++()()()()200000222002212462x y tx y x t p x x t λλλ+-+-==-+-，若p 为常数，则02120tx -=，即06tx =，而此时()()()000002200042262y x t x y y x t x x t -==---，又0666,66x t-<<∴-<<，即6t >或6t <-，综上所述，6t >或6t <-，存在点2618,3A t t ⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值002y x t-【点睛】关键点点睛：()()()()200000222002212462x y tx y x t x x t λλλ+-+--+-对任意λ恒为定值，因为分子分母中同时含有λ，这种情况下分子分母λ的对应系数成比例则整体可以为定值，故需要02120tx -=且()()()000022004262y x t x y x x t -=--即2λ项、常数项对应成比例.22．(1)函数()g x 在()0,∞+上单调递增(2)证明见解析【分析】（1）利用导函数研究函数()g x 的单调性，由导函数分子21ln x x -+符号不易判断，再构造函数()21ln ,0h x x x x =-+>，借助导函数研究()h x 的单调性，进而求出其最小值大于0，即()0g x '>，从而得到函数的单调性.（2）等价转化不等式为1e ln 0ax x x ax --->，构造函数()1e ln ax x x x ax -=--ϕ，求导得()()()111e 1ax x ax x x-'=+-ϕ，再构造研究函数()1e 1ax r x x -=-的单调性与最值，得1e 10ax x --<，再由()()()111e 1ax x ax x x -'=+-ϕ符号，分析单调性，得()22min e e ln 1x a a --⎛⎫=---- ⎪⎝⎭ϕ，再构造函数证明()min ()ln 10x m t t t ==-->ϕ即可.【详解】（1）当1a =时，()ln e ee(0)xxf x x x=-->，则()()1ln e 1e x f x xg x x x x-=-+-=+，()()2221ln 1ln 1x x x g x x x --+=+='令()21ln ,0h x x x x =-+>，则()21212x h x x x x -=-+='，令()0h x '=，得22x =，当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以函数()h x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，()()()min 221311ln ln 20,0,022222h x h h x g x ⎛⎫∴==-+=+>∴>⎝'∴> ⎪ ⎪⎭，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增.（2）不等式ln e e e 0ax xa x -->等价于1e ln 0ax x x ax --->令()1e ln 0ax x x x ax -=-->ϕ则()()()()11111e 1e 1ax ax x ax a ax x x x --'=+-=+--ϕ设()()()11e 1,1e ax ax r x x r x ax --'=-∴=+，当()10,0x r x a '<<->，当()1,0x r x a '>-<，所以函数()r x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，()()2max 11e r x r a a a -⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭，()22max 1e ,()e 0a r x a a --<-∴=-+< ，即()0r x <，则令()()()111e 10ax x ax x x -'=+-<ϕ，解得1x a <-，令()()()111e 10ax x ax x x -'=+->ϕ，解得1x a >-，所以函数()x ϕ在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，()222min 111e e e ln 1ln 1x a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=---+=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ϕϕ，令2e t a -=-，则()()()11ln 1,0,1,1t m t t t t m t t t -=-=-='-∈，当(0,1)t ∈时，()0m t '<，()m t ∴在()0,1单调递减，()()1,(1)1ln110,m t m m ∴>=--=，()0m t ∴>()()min 0,0x x ∴>∴>ϕϕ即2e a -<-时，不等式()0f x >恒成立．。
2025届九师联盟高三9月联考数学试题(解析版)
高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语､不等式､函数､导数.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知:0,31;:0,ln 0xp x q x x ∃<>∀>>，则（ ） A. p 和q 均是真命题 B. p ¬和q 均是真命题 C. p 和q ¬均是真命题 D. p ¬和q ¬均是真命题【答案】D 【解析】【分析】取特殊验证即可得,p q .【详解】易知对任意0,31x x <<，即可得p 为假命题； 又因为1x =时，ln 0x =，即:0,ln 0q x x ∀>>为假命题； 所以p ¬和q ¬均是真命题. 故选：D2. 已知集合{}{}2,,340A a a B x x x ==−−≤∣，若A B A = ，则实数a 的取值范围是（ ）A. []1,1−B. ()1,0−C. []1,0−D. [)1,0−【答案】D 【解析】【分析】先化简集合,A B 及a 的满足的条件，再根据A B A = 列出不等式组求解即可. 【详解】由2340x x −−≤得14x −≤≤，由{},A a a =知a a ≠，所以0a <，{},A a a =−又A B A = ，则A B ⊆，所以1414a a −≤≤ −≤−≤，解得[]1,1∈−a ，故[)1,0a ∈−.故选：D.3. 为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率v 与时间t （月）满足函数关系式t v ab =（其中,a b 为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了20%，经过4个月，降解了60%，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（ ）（结果保留整数）（参考数据：lg30.48,lg50.70≈≈） A. 5个月 B. 6个月C. 7个月D. 8个月【答案】A 【解析】【分析】由题意可计算出a 、b 的值，再令1v =，代入所给函数关系式计算即可得. 【详解】由题意可得20.2ab =，42220.60.2ab ab b b ⋅，即有23b =，即b =，则115a =， 令1t ab =，即1115t⋅=，即2315t=，则3332lg 520.702log 152log 32log 5222 2.95lg 30.48t ×==+=+≈+≈+≈. 故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月. 故选：A .4. 函数()523log 11cos x f x x−+ =的图象大致是（ ）A. B.CD.【答案】B 【解析】【分析】运用函数奇偶性判断，再结合对数函数和特殊值判断即可.【详解】()55213log 13log 11cos cos x x x f x x x− − ++ ==定义域为()1,1−，关于原点对称. 且()()155113log 3log 11cos()cos()x x x x f x f x x x −+−−+ −==−−，则函数奇函数，排除CD. 5513log 3log 313112cos cos22f− == ，由于−3log 53<0,cos 12>0，则102f<，排除A. 故选：B.5. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()(),4x f x f x ∀∈−=R ，当[]2,0x ∈−时，()24f x x x =+，则()()()202320242025f f f ++=（ ） A. 2− B. 0C. 6−D. 4−【答案】C 【解析】【分析】根据题意，推得()()4f x f x +=，得到()f x 是周期为4的函数，结合[]2,0x ∈−时，函数的解析式，求得()()()1,0,1f f f −的值，进而求得()()()202320242025f f f ++的值，得到答案. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，()(),4x f x f x ∀∈−=R ，可得()()4()f x f x f x −==−，即()()4f x f x +=， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数， 可得()()()()()()202320242025101f f f f f f ++=−++，.为又因为当[]2,0x ∈−时，()24f x x x =+， 可得()()()113,00f f f −==−=，所以()()()2023202420256f f f ++=−. 故选：C.6. 已知0,0a b >>，且1a b +=，则11a b a b++ 的最小值为（ ） A. 4 B. 5C.163D.254【答案】D 【解析】【分析】首先利用条件变形为22ab ab+−，再利用基本不等式求ab 的取值范围，再构造函数，利用函数的单调性，即可求解.【详解】221111b a a b a b ab ab a b a b ab ab ab + ++=+++=++ ，()22122a b abab ab abab ab+−=++=+−， 因为0,0a b >>，且1a b +=，所以21024a b ab + <≤=， 设10,4ab t =∈，()22g t t t =+−，函数()g t 在区间10,4单调递减，所以函数()g t 的最小值为12544g =. 故选：D7. 若函数())ln 3(01xxa f xb x a a =+−+>+且1,a b ≠为常数)在[],0c −（c 为常数）上有最小值5−，则()f x 在[]0,c 上（ ） A. 有最大值12 B. 有最大值6 C. 有最小值5− D. 有最小值8−【答案】A 【解析】【分析】构造函数)1()ln 12x x a g x b x a =−++，证明函数为奇函数，利用奇函数的性质可得最大值，由7()()2f xg x =+得解.【详解】设)1()ln12x x a g x b x a =−+−+，0x x x −>−≥，所以()g x 定义域为R ，关于原点对称，)))1111()lnlnln121221xxx x x a a g x b x b x b x a a a −−−=−+=−−−=−−+++()g x =−，即()g x 为奇函数，且7()()2f xg x =+， 因为()f x 在[],0c −上有最小值5−，所以()g x 在[],0c −上有最小值717522−−=−， 由奇函数的对称性知，()g x 在[]0,c 上有最大值172， 所以()f x 在[]0,c 上有最大值1771222+=， 故选：A8. 若函数()22e 3,02,2e 2,22x x a x a xf x a x a x −+<< = +−≥在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2e ,e 2−B. e ,02 −C. 2e ,02 −D. e e ,22−【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的单调性判断方法进行分析，在每一段上通过分离参数求最值得到a 的取值范围. 【详解】当02x <<时，()2=e 32xa f x x a −+，()=e 0x f x ax ′−≥， e x a x ≤，令()e x g x x =，()()22e 1e e xx x x x g x x x−−′==， 令()0g x ′>，可得12x <<，令()0g x ′<，可得01x <<，故()g x 在()0,1上单调递减，()1,2上单调递增，()()min 1e a g x g ≤==； 当2x ≥时，()2e 22xa f x x a =+−，()e 0xf x ax ′=+≥，e xa x≥−， 的令()e x h x x =−，()()22e 1e e 0xx x x x h x x x−−′=−=<， 故()h x 在[)2,+∞上单调递减，()()2maxe 22a h x h ≥==−，同时还需满足2222e 23e 2222a aa a −⋅+≤+⋅−，解得0a ≤. 综上，a 的取值范围是2e ,02−.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知实数a b c d ,,,满足0a b c d <<<<，则（ ） A. a d b c +<+ B. 2222a d b c > C. a d b c −<− D.a cb d> 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，例如：4,1,1,5a b c d =−=−==，满足0a b c d <<<<， 但a d b c +>+，所以A 不正确；对于B 中，由2222()()ad bc a d c b b ad c −=+−， 因为0a b c d <<<<，可得0,0ad bc ad bc +<−<，所以2222()()0a a d b c d bc ad bc =+−>−，所以2222a d b c >，所以B 正确； 对于C 中，由,a b c d <<，根据不等式的性质，可得a c b d +<+， 所以a d b c −<−，所以C 正确；对于D 中，因为0a b c d <<<<，可得0,0bd ad bc <−<，则0ac ad bcb d bd−−=>，所以a c b d >，所以D 正确.故选：BCD.10. 已知函数()2241,0,32,0,x x x x f x x − −−+≤= −+> 关于x 的方程()(()20f x m f x −++=，下列命题正确的是（ ）A. 若23m <<，则方程恰有4个不同的解B. 若12m <<，则方程恰有5个不同的解C.若方程恰有2个不同的解，则3m >或m = D. 若方程恰有3个不同的解，则1m ≤ 【答案】BC 【解析】【分析】由()(()20fx m f x −++=得()f x m =或()f x =，画出()f x 的图象，数形结合即可求解在不同条件下m 的取值范围.【详解】因为()(()20fx m f x −++=，所以()[][()0f x m f x −−=，所以()f x m =或()f x = ()f x 的图象如图所示，由图可知()f x 与y =有两个交点.对于A ，若23m <<且m =，则方程恰有2个不同的解，故A 错误；对于B ，若12m <<，则()f x 与y m =有3个不同的交点，此时方程恰有5个不同的解，故B 正确； 对于C ，若方程恰有2个不同的解，当()f x 与y m =没有交点时满足题意，此时3m >；当()f x =2个不同的解，此时m =，故若方程恰有2个不同的解，则3m >或m =，故C 正确；对于D ，若方程恰有3个不同的解，则1m ≤，则()f x 与y m =有1个交点，此时3m =或1m <，故D错误. 故选：BC.11. 已知函数()ln 2(0xf x a x x x a −++>且()1),a f x ≠′是()f x 的导函数，则下列命题错误的是（ ）A. 若e a =，则()f x ′是增函数B. 若e a =，则()f x 是增函数C. 若()f x 有极大值，则1a >D. 若()f x 有极大值，则01a << 【答案】ACD 【解析】【分析】求出导函数，利用切线放缩结论判断导函数符号，从而判断B ，对导函数求导，利用特例法判断A 选项错误，分类讨论研究函数的单调性，根据极大值的概念判断CD. 【详解】若e a =，()e ln 2xf x x x x =−++，则()e ln xf x x =′−，当0x >时，e 11ln x x x x ≥+>−≥，则ff ′(xx )>0，所以()f x 是增函数，故选项B 正确； 记()()e ln x m x f x x ==−′，则()1e x m x x=′−，易知()1e xm x x =′−在(0,+∞)上单调递增，又1202m =−<′，所以当102x <<时，()1e 0xm x x =′−<， 所以ff ′(xx )在10,2上单调递减，故选项A 错误； ()ln ln x f x a a x ′=−，令ff ′(xx )>0得()ln e ln ln x a x a x x >，令()ln g x x x =，则()()ln ex ag g x >，且()1ln g x x =′+，当10,e x∈时，()0g x ′<，函数()g x 单调递减，当1,e x ∞ ∈+时，()0g x ′>，函数()g x 单调递增，所以()min 11e eg x g ==−，当0x >且0x →时，()0g x →，当x →+∞时，()g x ∞→+， 又()10g =，()g x 的大致图象如图：当1a >时，ln ln 0,e 1x a x a >>，()()ln e10x ag g >=， 若01x <≤，则()0g x ≤，显然有()()ln ex ag g x >，所以ff ′(xx )>0，()f x 单调递增，若1x >，又函数()g x 在(1,+∞)上单调递增，所以ln e x a x >，即ln ln xa x>， 令()()ln 1x h x x x =>，则()21ln xh x x−′=， 当1e x <<时，ℎ′(xx )>0，所以ℎ(xx )单调递增，当e x >时，ℎ′(xx )<0，所以ℎ(xx )单调递减，所以()()max 1e eh x h ==， 当x →+∞时，()0h x →，又当1x =时，ln101=，ℎ(xx )的大致图象如图：若1ln ea ≥即1e e a ≥，则ff ′(xx )≥0恒成立，()f x 单调递增，()f x 无极值点； 若1ln e a <即1e 1e a <<，存121x e x <<<，使得1212ln ln ln x x a x x ==， 当11x x <<时，ln ln xa x>，ff ′(xx )>0，()f x 单调递增， 当12x x x <<时，ln ln xa x<，ff ′(xx )<0，()f x 单调递减， 所以()1f x 是()f x 的极大值.在综上，当1e 1e a <<时，()f x 有极大值；当1ee a ≥时，()f x无极值；当01a <<，当0x >且0x →时，()f x ∞′→+， 当x →+∞时，()f x ∞′→−，ff ′(xx )必存在一个零点，且这个零点附近的左侧ff ′(xx )>0，右侧ff ′(xx )<0，该零点即为极大值点，综上所述，()f x 有极大值的充要条件为01a <<或1e 1e a <<，故CD 错误. 故选：ACD【点睛】方法点睛：判断函数()f x 的极值点个数：可通过函数的单调性也就是ff ′(xx )的取值正负来判断，若ff ′(xx )的取值正负不易直接判断，可先通过判断ff ″(xx )的正负来确定ff ′(xx )的单调性，由此来确定ff ′(xx )的取值正负三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知幂函数()2bf x ax c =+−的图象经过点(2,8)，则a b c ++=__________. 【答案】6 【解析】【分析】根据幂函数定义可得1,2a c ==，代入点(2,8)，即可得3b =，即可得结果. 【详解】因为()2bf x ax c =+−为幂函数， 则120a c =−=，可得12a c = = ，即()bf x x =， 又因为()f x 的图象经过点(2,8)，则28b =，可得3b =， 所以1326a b c ++=++=. 故答案为：6.13. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()(),,0,x y f xy f x f y f x ∀∈+=R 在[)0,+∞上单调递减，()11f −=，则满足()1f x <的x 的取值范围为__________. 【答案】()1,1− 【解析】【分析】令1y =−，可得()()f x f x =−−，可知函数()f x 为奇函数，由奇函数性质分析可知()f x 在定义域R 内单调递减，根据函数单调性和奇偶性分析求解.【详解】因为()()(),,0x y f xy f x f y ∀∈+=R ，且()11f −=， 令1y =−，可得()()()10f x f x f −+−=， 则()()0f x f x −+=，即()()f x f x =−−， 可知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递减，可知()f x 在(],0−∞上单调递减， 所以()f x 在定义域R 内单调递减， 又因为()1f x <，即()11f x −<<， 由奇函数性质可得：()()()11f f x f <<-，由单调性可得11x −<<，所以满足()1f x <的x 的取值范围为()1,1−. 故答案为：()1,1−.14. 已知定义域均为D 的函数()(),f x g x ，若()(),x D f x ax b g x ∀∈≥+≥，则称直线y ax b =+为曲线()y f x =和()y g x =的隔离直线.若()()()()22ln 31,441f x x x x x x g x x x x =+−−≥=−+−≥，则曲线()y f x =和()y g x =的隔离直线的方程为__________.【答案】23y x =− 【解析】【分析】由题意可确定两曲线有公共点()1,1−，即可得设该隔离直线的方程为()11y k x =−−，则有[)1,x ∞∀∈+，()()()11f x k x g x ≥−−≥，借助[)()()1,,11x k x g x ∞∀∈+−−≥参变分离计算可得2k ≥，再借助[)1,x ∞∀∈+，()()11f x k x ≥−−，可得()2ln 10k x x k x−−++−≥在[)1,+∞上恒成立，构造相应函数后借助导数对其单调性分类讨论即可得解.【详解】由()111031f =+−−=−，()11441g =−+−=−， 故曲线yy =ff (xx )和yy =gg (xx )的隔离直线过点()1,1−， 设该隔离直线的方程为()11y k x =−−，则有()21144k x x x −−≥−+−，显然xx =1不等式恒成立，当xx >1时，2143k x x x ≥−+−−在(1,+∞)上恒成立，即()()21343311x x x x k x x x −−−−+−≥==−−−，即2k ≥，亦有()211ln 3k x x x x x −−≤+−−，即()2ln 10k x x k x−−++−≥在[)1,+∞上恒成立， 令()()2ln 1k h x x x k x −=−++−，[)1,x ∞∈+，则()()2222121x x k k h x x x x−−−−=−−=′，令()220x x k −−−=，则x由2k ≥，故0x≤，舍去，1>，即2k >时，当x ∈ 时，ℎ′(xx )<0，当x ∞∈+时，ℎ′(xx )>0，则ℎ(xx )在 上单调递减，在∞ + 上单调递增， 即()min 10h x h h =<=，不符合要求，故舍去；1=，即2k =时，有()0h x ′≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，则ℎ(xx )在[)1,+∞上单调递增，故()()10h x h ≥=，符合要求. 综上所述，2k =，即()21123y x x =−−=−.故答案为：23y x =−. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由先确定隔离直线过点()1,1−，从而设出该隔离直线的方程()11y k x =−−，结合题意得到[)1,x ∞∀∈+，()()()11f x k x g x ≥−−≥，计算即可得解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知1a >，函数()()13,log 2x a f x a x g x x x −=+−=+−.（1）若()()001f x g x ==−，求0x 的值；（2）若12,x x 分别为ff (xx ),gg (xx )的零点，求12x x +的值. 【答案】（1）01x =（2）123x x +=【解析】【分析】（1）根据两函数值相等利用对数与指数运算的互化解方程即可得01x =； （2）由零点定义代入函数表达式，再由对数函数单调性可知112x a x −=，即可得123x x +=. 【小问1详解】由()01g x =−可得()000log 21a g x x x =+−=−，即00log 1a x x =−， 所以010x ax −=，又()01f x =−，所以01031x a x −+−=−，因此0012x a x −=−； 因为001011x x a a a −−==，即()0021x x −=， 解得01x =； 【小问2详解】因为12,x x 分别为()(),f x g x 的零点，所以11130x a x −+−=， 即1111l 20og x x a aa −−+−=，也即()110x g a −=， 又因为1a >，所以()log 2a g x x x =+−在()0,∞+上单调递增， 由()20g x =可得112x a x −=，与11130x ax −+−=联立可得2130x x +−=。
2024北京交大附中高三9月月考数学(教师版)
2024北京交大附中高三9月月考数学一、选择题（四个选项中只有一个答案正确）4×10=401.设复数3i z =-,则复数i z ⋅在复平面内对应的点的坐标是（）A.()1,3 B.()1,3- C.()3,1 D.()3,1-2.已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，2{|0}3xB x N x +=∈≤-，则A B = A.{0,1,2}B.(1,3)- C.{2,3}D.{1,2}3.已知定义域为I 的奇函数()0,f x x I ∃∈，使()00f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A.()32f x x= B.()2log f x x= C.()21log 1x f x x+=- D.()1sin f x x=+4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若6724a a =＋，848S =，则{}n a 的公差为（）A.1B.3C.4D.85.若直线2y x =是曲线()()=-2e xf x x a 的切线，则a =（）A.e- B.1- C.1D.e6.设0a >，0b >则“221a b +≥”是“1a b ab +≥+”的条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要7.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递减，若a +∈R ，且满足()()313log log 22f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A.1,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[)10,9,9⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦8.()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x +是奇函数，当[]0,1x ∈时，()22f x x m =-，则112f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A.32B.32-C.12D.12-9.已知函数(),0ln ,0x xe x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()g x f x ax =-有四个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[)1,eD.[),e +∞10.集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前n 次操作中共去掉的线段长度之和不小于2930，则n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=）A.9B.8C.7D.6二、填空题（5×5=25）11.在6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为12，则a 的值为______．12.在ABC V 中，M 是BC 的中点，4AM =，点P 在AM 上，且满足3AP PM →→=，则PA PB PC →→→⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭的值为___________.13.已知函数21()cos sin 2f x x x x =-+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为___________.14.设函数()21,=3+3,<x x af x x a a x a-≥--⎧⎪⎨⎪⎩，若函数()f x 存在最小值，则a 的一个取值为___________；a 最大值为___________.15.已知数列{}n a 的各项均为正数，{}12,n a a =的前n 项和n S 满足211(1,2,3,)++=+⋅= n n n n n a S a a S n ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于1；②{}n n a S ⋅为常数列；③{}n a 为递增数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题16.设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =．（1）求角A 的大小；（2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC V 的面积．第①组条件：a =，5c =；第②组条件：AB 边上的高h =，3a =；第③组条件：1cos 3C =，c =．17.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，M 是线段PC 的中点.已知2PD CD ==，1AD =.（1）求证：//PA 平面BDM ；（2）求二面角M BD C --的余弦值；（3）直线BD 上是否存在点N ，使得MN 与PA 垂直？若存在，求MN 的长；若不存在，请说明理由.18.某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：汽车型号ⅠⅡⅢⅣⅤ回访客户(人数)250100200700350满意率0.50.50.60.30.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.（1）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；（2）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）用“11η=”，“21η=”，“31η=”，“41η=”，“51η=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“10η=”，“20η=”，“30η=”，“40η=”，“50η=”分别表示不满意.写出方差1D η，2D η，3D η，4D η，5D η的大小关系.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为，12,F F ，若2F 到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A B 、，过点()1,0M 的直线l 与椭圆C 相交于P Q 、两点，证明：直线AP BQ 、的交点在垂直于x 轴的定直线上．20.已知函数1()ln (1)2f x x a x =--（R a ∈）．（1）若2a =-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立．（i）求实数a 的取值范围；（ii ）试比较2e a -与e 2a -的大小，并给出证明（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈）．21.已知无穷数列{}{}{},,n n n x y z 满足：*111,,,n n n n n n n n n x y z y z x z x y n +++=-=-=-∈N .记{}max ,,n n n n u x y z =(max{,,}x y z ，表示3个实数x ，y ，z 中的最大值).（1）若1112,3,4x y z ===，求123,,u u u ；（2）若11232,3,x y u u ===，求1z ；（3）设111,,x y z 是有理数，数列{}{}{},,n n n x y z 中是否一定存在无穷个0？请说明理由.参考答案一、选择题（四个选项中只有一个答案正确）4×10=401.【答案】A【分析】根据复数的乘法运算法则,将i z ⋅求出,即可得该复数在复平面内对应的点的坐标.【详解】解:由题知3i z =-,()i i 3i 13i z ∴⋅=⋅-=+,i z ∴⋅在复平面内对应的点的坐标是()1,3.故选:A 2.【答案】A【分析】求出A 中x 的范围确定出A，求出B 中不等式的解集确定出B，求出两集合的交集即可．【详解】由A 中y=log 2（x+1），得到x +1＞0，即x＞-1，∴A=（-1，+∞），由B 中不等式变形得：（x﹣3）（x +2）≤0且x 3≠解得：﹣2≤x<3，又x N ∈，{}B 21012∴=--，，，，则A ∩B={}012，，，故选A ．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.【答案】C【分析】利用奇偶性的定义逐项判断即可.【详解】对于A ，()32f x x ==A 错误；对于B ，()()2log f x x f x -=-=，为偶函数，故B 错误；对于C ，()21log 1xf x x +=-，故10,111x x x +>-<<-，且()()2211log log 11x x f x f x x x-+-==-=-+-，故()f x 为奇函数，且211log 023f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，满足条件，故C 正确；对于D ，()010f =≠，故()f x 不是奇函数，故D 错误.故选：C 4.【答案】B【分析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题设条件易得出关于1a 和d 的方程组，解方程组求得公差d 即可.【详解】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得：1121124878482a d a d =⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩＋，解之得：3d =.故选：B .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算问题，考查对基础知识的理解和掌握，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5.【答案】B【分析】利用导数，根据切点及切线的斜率求得正确答案.【详解】()()=-2e xf x x a ，()()212exf x x a '=+-，依题意，直线2y x =是曲线()()=-2e xf x x a 的切线，设切点为(),2t t ，则()()22e 212e 2t tt a t t a ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，()()22e 212e 2t t t a t t a ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩，通过对比系数可得()212,20,0t t t t t +===，则1a =-.故选：B 6.【答案】B【分析】由于原命题与逆否命题是等价命题，所以问题可以转化为：设>0，0b >则“1a b ab +<+”是“221a b +<”的()条件，这样可以先判断这个命题题设与【详解】由于原命题与逆否命题是等价命题，所以问题可以转化为：设>0，0b >则“1a b ab +<+”是“221a b +<”的()条件，题设：1a b ab +<+10(1)(1)0a b ab a b ⇔+--<⇔-->（>0，0b ）>，结论：221a b +<1010a b -<⎧⇔⎨-<⎩（>0，0b ）>，显然由题设不一定能推出结论，但是从结论一定能推出题设，故本题选B．【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断．通过原命题与逆否命题是等价问题，使不等式的问题变得简单．7.【答案】D【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 是偶函数，且在区间[)0,+∞单调递减，由()()313log log 22f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭得()()()()333log log 2log 22f a f a f a f +-=≤，所以()()3log 2f a f ≤，所以3log 2a ≤-或3log 2a ≥，所以109a <≤或9a ≥，所以a 的取值范围是[)10,9,9⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8.【答案】A【分析】分析可得()10f =，可得出m 的值，求出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，利用函数()f x 的周期性和对称性可求得112f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，则()()11f f =-，所以，()120f m =-=，解得2m =，所以，211322222f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 是偶函数，所以()()11f x f x -+=-，故()()()113f x f x f x +=--=-，则()f x 是以4为周期的周期函数，因此，11313.2222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.9.【答案】A【分析】讨论0x ≤、0x >，应用导数研究单调性，要使()0g x =有四个不同的解，即当两个区间均存在两个零点时，求a 的范围即可.【详解】由题意知：()()g x f x ax =-有四个不同的零点，∴,0()ln ,0x xe ax x g x x ax x ⎧-≤=⎨->⎩，则()0g x =有四个不同的解，当0x ≤时，()()0x g x x e a =-=，其零点情况如下：1）当0a ≤或1a =时，有0x =；2）当01a <<或1a >时，0x =或ln x a =；当0x >时，1()g x ax'=-，则有如下情况：1）当0a ≤时()0g x '>，即()g x 单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；2）当0a >时，在10x a <<上()0g x '>，()g x 单调递增，在1x a>上()0g x '<，()g x 单调递减，而0x +→有()g x →-∞，x →+∞有()g x →+∞，所以只需1(ln 10g a a =-->，得1a e<时，()g x 必有两个零点.∴综上，有10a e<<时，()g x 在0x ≤、0x >上各有两个零点，即共有四个不同的零点.故选：A.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围.10.【答案】A【分析】通过归纳法归纳出每次舍弃的线段的长度，然后由等比数列的前n 项和公式求得前n 次舍弃的线段的和，然后列不等式求解．【详解】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度和为221333⨯⨯，…，第n 操作去掉的线段长度和为121()33n -⋅，由此得121()12121123()1()2333333313nn n --+⨯++⨯==-- ，所以2291(330n-≥，21()330n ≤，2lglg 303n ≤-，lg 301lg 310.47718.4lg 3lg 2lg 3lg 20.47710.3010n ++≥==≈---，所以n 的最小值是9.故选：A ．二、填空题（5×5=25）11.【答案】2-【分析】先写出通项公式，即可求出a 的值.【详解】解：因为6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为：616C (1)r r r r r r T x a x --+=-626(1)C r r r ra x-=-，又因为4x 的系数为12，所以当624r -=时，1r =，所以166(1)C (1)C 612rrra a a -=-⋅⋅=-=，解得2a =-故答案为：2-12.【答案】6-【分析】根据向量的加法及线性运算可得23PB PC AP →→→+=，再利用向量数量积的运算性质求解即可.【详解】如图，4AM =Q ，又由点P 在AM 上且满足3APPM →→=，3,1AP PM →→∴==，M 是BC 的中点，223PB PC PM AP →→→→∴+==，2229633PA PB PC AP →→→⎛⎫∴⋅+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭ 故答案为：6-.13.【答案】12π【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值.【详解】2131()cos sin 2cos 2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭Q ，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则函数为奇函数，()26k k Z πϕπ∴-=∈，()122k k Z ππϕ∴=-∈，由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.故答案为：12π.【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.14.【答案】①.0（答案不唯一）②.4【分析】化简()21,=3+3,<x x af x x a a x a-≥--⎧⎪⎨⎪⎩，分类讨论去掉绝对值符号，继而分类讨论a 的取值范围，确定每类中每段函数的取值范围，根据题意列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意得()21,=3+3,<x x af x x a a x a -≥--⎧⎪⎨⎪⎩21,=+3+4,<x x a x a x a -≥-⎧⎨⎩，当=0a 时，21,0()=+3,<0x x f x x x -≥-⎧⎨⎩，则0x ≥时，()[)1f x ∈-+∞，，0x <时，()(3)f x ∈+∞，，此时()f x 存在最小值1-，故a 的一个取值为0；②当0a >时，则x a ≥时，()f x 在[)a +∞，上单调递增，2()[1,)f x a ∈-+∞，x a <时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，()(33)f x a ∈++∞，，要使()f x 存在最小值，2331a a +≥-，解得14a -≤≤，故04a <≤；③当0a <时，则x a ≥时，2()1f x x =-在[)a +∞，上的最小值为1-，x a <时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，()(33)f x a ∈++∞，，要使()f x 存在最小值，33a +≥，即43a ≥-，则403a -≤<；综上所述，a 的取值范围为[44]3-，则a 的一个取值为0；a 最大值为4,故答案为︰0;4.15.【答案】②④【分析】依题意可得11n n n n a S a S ++=，即可得到4n n a S =，从而判断②，再令2n =，求出2a ，即可判断①，证明111n n n na S a S ++=>，即可说明③，利用反证法说明④.【详解】解：因为211(1,2,3,)++=+⋅= n n n n n a S a a S n ，所以()2111111n n n n n n n n n n a S a a S a a S a S ++++++=+⋅+==，又12a =，所以114a S =，则4n n a S =，即{}n n a S ⋅为常数列，故②正确；因为{}n a 的各项均为正数，当2n =时()222124a S a a a =+=，即()2224a a +=，解得211a =->，故①错误；由于4(1,2,3,)n n a S n == ，所以11n n n n a S a S ++=⋅，又数列{}n a 的各项均为正数，所以10n n S S +>>，所以111n n n na S a S ++=>，所以1n n a a +>，故{}n a 为递减数列，故③错误；假设{}n a 中每一项均大于或等于1100，当n 取值变大时，n S 也逐渐增大，当40000n >时，400n S >，又1100n a ≥，所以14004100n n a S ⋅>⨯=，与4n n a S =矛盾，故④正确；故答案为：②④三、解答题16.【答案】（1）π3A =（2）选①不符合题意；选②3322S =；选③S =【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解；（2）选①利用余弦定理可求出边b ，可判断不满足题意；选②先利用高h 和角A 列式可求出b ，然后利用余弦定理可求出边c ，进而求出面积；选③先求sin C ，然后利用正弦定理求出边a ，再结合两角和的正弦公式求sin B ，进而可求出面积.【小问1详解】因为sin cos a B A =，所以由正弦定理得sin sin cos A B B A =,又因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >，所以sin A A =，显然cos 0A ≠，则tan A =，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】若选①，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即219255b b =+-，即2560b b -+=，解得2b =或3，不符合题意；若选②，因为AB边上的高h =，所以πsin 3b =，则232b ==，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2942c c =+-，即2250c c --=，解得11c c =+=-，故ABC V 唯一，符合题意，此时ABC V的面积113332sin 2(12222S bc A ==创+�；若选③，因为知道角A ，cos C ，边c ，所以ABC V 唯一，符合题意，因为(0,π)C ∈，1cos 3C =，所以22sin 3C =，由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 223c Aa C ===则11sin sin()sin cos cos sin 23236B AC A C A C =+=+=⨯⨯，此时ABC V的面积11223sin 226S ac B ==创.17.【答案】（1）证明见解析；（2）66；（3）存在，MN【分析】（1）连接AC 交BD 于N ，连接MN ，利用线面平行的判定定理即可证得结论.（2）利用线面垂直的性质定理可知PD AD ⊥，PD CD ⊥，以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面BDM 的法向量为n，利用空间向量求二面角的余弦值即可.（3）设(),2,0N λλ，其中R λ∈，通过20MN AP λ⋅=--=uuu r uu u r，求解N 的坐标，再求解MN 的长度即可.【详解】（1）连接AC 交BD 于N ，连接MN .因为底面ABCD 是矩形，所以N 是线段AC 的中点.M 是线段PC 的中点，//PA MN ∴.又PA ⊄平面BDM ，MN ⊂平面BDM ，//PA ∴平面BDM .（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥.因为底面ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.如图,以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，1,0,0，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()1,2,0B .因为M 是线段PC 的中点，故()0,1,1M ，()1,2,0DB ∴= ，()0,1,1DM =.设平面BDM 的法向量为(),,n x y z =，则00n DB n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则2x =-，1z =-，于是()2,1,1n =--.因为PD ⊥底面ABCD ，所以DP为平面BDC 的法向量.又()0,0,2DP =，所以cos ,6DP nDP n DP n ⋅===- .由题知二面角M BD C --是锐角，所以其余弦值为6.（3）因为N 为直线BD 上一点，(),2,0N λλ∴，其中R λ∈，(),21,1MN λλ∴=--.又()1,0,2AP =-，且MN 与PA 垂直20MN AP λ∴⋅=--=uuu r uu u r，解得2λ=-.所以存在点()2,4,0N --，使得MN 与PA 垂直，此时2λ=-，()2,5,1MN =---，MN=.【点睛】方法点睛：本题考查线面平行垂直，线面垂直及面面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线l m ,的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v，则①两直线l m ,所成的角为θ(02πθ<≤),cos a b a b θ⋅= ；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a u θ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u vu vθ⋅= 18.【答案】（1）2364；（2）分布列答案见解析，数学期望：0.7；（3）12345D D D D D ηηηηη=>>>.【分析】（1）设“从所有的回访客户中随机抽1人，这个客户满意”为事件M .求得回访客户的总数，及满意的客户人数，从而求得概率；（2）由题知，0,1,2ξ=，设“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件A ，“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件B .根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2，A 与B 相互独立.从而求得()0P ξ=、(1)P ξ=、(2)P ξ=，列出分布列，求得期望；（3）分别求得12345,,,,D D D D D ηηηηη，比较大小即可.【详解】（1）设“从所有的回访客户中随机抽1人，这个客户满意”为事件M .由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=，满意的客户人数是2500.51000.52000.67000.33500.2575⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故所求概率为()57523160064P M ==.（2）0,1,2ξ=.设“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件A ，“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件B .根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2，A 与B 相互独立.所以(0)()(1())(1())0.50.80.4P P AB P A P B ξ===--=⨯=；(1)()()()(1())(1())()P P AB P AB P A P B P A P B ξ==+=-+-0.50.80.50.20.5=⨯+⨯=；(2)()()()0.50.20.1P P AB P A P B ξ====⨯=.所以ξ的分布列为所以的期望.（3）由题知：10.5(10.5)0.25D η=⨯-=；20.5(10.5)0.25D η=⨯-=；30.6(10.6)0.24D η=⨯-=；40.3(10.3)0.21D η=⨯-=；50.2(10.2)0.16D η=⨯-=故12345D D D D D ηηηηη=>>>19.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出,,a b c ，即可得出椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，求出直线AP 、BQ 的方程，联立即可求出交点的坐标，从而可知其在定直线上．【小问1详解】的直线倾斜角为60o ，2F3，故1232,sin 60F F c ===连接椭圆的四个顶点得到的四边形为对角线互相垂直的四边形，故面积12242S a b =⨯⨯=，则2ab =，结合c ==解得2,1a b ==，故椭圆C 的方程为：2214xy +=.【小问2详解】由题意知，直线l 的斜率不为0，故设过点()1,0M 的直线l 的方程为：1x my =+，()()1122,,P x y Q x y 、，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()224230m y my ++-=，故()22Δ41240m m=++>，1221223424y y m m y y m ⎧=-⎪⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩，易知()()2,02,0A B -、，故112AP k y x +=，所以直线AP 的方程为：=2，同理可得，直线BQ 的方程为：()2222y y x x --，联立()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得：()()12122222y y x x x x +=-+-，即()()12122231y y x x my my +=-+-，化简得：1211224132my y y my y y x -=-++，因为()121223342m my y y y m =-=++，故()()12112234213232y y y x y y y +-=-+++，即14132x =-+，故4x =，所以直线AP BQ 、的交点在垂直于x 轴的定直线4x =上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,x y x y 、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.20.【答案】（1）22y x =-（2）（i ）[)2,+∞；（ii ）答案见解析.【分析】(1）2a =-时()ln 1f x x x =+-求导，得到在切点(1,0)处切线斜率，代入点斜式即可；（2）（i ）求导()22axf x x-'=对a 分情况讨论，讨论函数的单调性，结合题目要求()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立即可得到实数a 的取值范围；（ii ）比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解.【小问1详解】因为2a =-时，()()1ln 11f x x x f x x'=+-⇒=+，所以切点为(1,0),(1)2k f '==，所以2a =-时，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程22y x =-.【小问2详解】因为()()112ln (1)222a ax f x x a x f x x x-'=--⇒=-=，①当0a ≤时，()(),1,0f x x ∈'∞>+，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，()()10f x f >=，所以0a ≤不合题意.②当2a ≥时，即201a<≤时，()2()2022a x ax a f x x x--'==<在(1,)+∞恒成立，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，有()()10f x f <=，所以2a ≥满足题意.③当02a <<时，即21>a 时，由()0f x '>，可得21x a <<，由()0f x '<，可得2x a>，所以()f x 在2(1,a上单调递增，()f x 在2(,)a+∞上单调递减，所以()2(10f f a>=所以02a <<不合题意，综上所述，实数a 的取值范围是[)2,+∞.（ii ）2a ≥时，“比较2e a -与e 2a -的大小”等价于“比较2a -与e 2ln a -的大小”，设()()2e 2ln g x x x =---，（2x ≥），则()()2ee 210x g x x x+--'=-=>，∴()g x 在[)2,+∞上单调递增，因为()e 0g =，当[)2,e x ∈时，()0g x <，即()2e 2ln x x -<-，所以2e 2e x x --<，当()e,x ∈+∞时，()0g x >，即()2e 2ln x x ->-，∴2e 2e x x -->，综上所述，当[)2,e a ∈时，2e 2e a a --<；当e a =时，2e 2e a a --=；当()e,a ∈+∞时，2e 2e a a -->.21.【答案】（1）12342,1,u u u ===；（2）13,2,2z =--或3；（3）证明见解析.【分析】（1）利用已知关系代入特殊值即可求解；（2）利用已知分析出{}{}111max ,,max ,,n n n n n n a b c a b c +++≤，即1n n u u +≤(当且仅当中,,n n n a b c 至少有一项为0时等号成立)，再根据已知条件即可求解；（3）利用反证法证明即可.【详解】（1）因为1112,3,4x y z ===，所以2221,2,1x y z =-==-，3331,0,1x y z ===-，所以12342,1,u u u ===；（2）设n n a x =，n n b y =，n n c z =，*n N ∈，0n a ≥，0n b ≥，0n c ≥，由题意知，{}max ,,n n n nu x y z =，1n n na b c +=-，1n n n b c a +=-，1n n n c a b +=-，所以1n a +，r1，{}1max ,,n n n n c a b c +≤，所以{}{}111max ,,max ,,n n n n n n a b c a b c +++≤，即1n n u u +≤(当且仅当中,,n n n a b c 中至少有一项为0时等号成立)，因为23u u =，所以222,,a b c 中至少有一项为0，因为112,3x y ==，所以112,3a b ==，所以212123,2,231a c b c c =-=-=-=，所以12c =或3，所以13,2,2z =--或3.（3）数列{}{}{},,n n n x y z 中一定存在无穷个0.设111,,x y z 的最小公分母为p ，将,,n n n x y z 均改为原来的p 倍，则111,,x y z 均为整数，题目的其他条件仍然成立，且问题不变.于是对任意的*n N ∈，,,n n n x y z 均为整数，n a ，n b ，n c ，n u 均为自然数，反证法：假设{}{}{},,n n n x y z 中没有0，或者有有限个0，则存在m N ∈，对任意的k m >，均有k a ，k b ，k c ，1k u ≥，设1n n n d u u +=-(*n N ∈)，则1112m n m m m m n u u d d ++++++=+++…+d ，由（2）知，1n n u u +≤，故10n n n d u u +=-≤，假设对任意的k m >，k d 均不为0，则1k d ≤-，11m n m u u n +++≤-，令1m n u +=，则10m n u ++≤与11m n u ++≥矛盾.所以存在0n m >，使得00n d =，即001n n u u +=，由（2）知，000,,n n n a b c 中至少有一项为0，与000,,1n n n a b c ≥矛盾，所以假设不成立，数列{}{}{},,n n n x y z 中一定存在无穷个0.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用新定义，对n 合理赋值，结合反证法、特殊与一般、或然与必然的联系，即可得解.。
江苏省南通市如皋市2023-2024学年高三上学期9月诊断测试数学试题
人有 1 的概率提升为一等奖；分数在[85,90) 内的学生评为三等奖，且通过附加赛每人 11
有 1 的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖学生均不降低获奖等级，且附加赛获 7
奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.设参加附加赛的学生获奖提升情
况互相独立.在所有最初参赛学生中随机选择一名学生 A.
，b2
1 4
，
n
N
，都有
b2 n1
bnbn2
．
(1)求数列 an 、 bn 的通项公式；
n
(2)设Tn aibi ， n N ， nTn 2bnSn 2n 3bn 恒成立，求实数 的取值范围． i 1
19．已知底面 ABCD 是正方形，PA 平面 ABCD ，PA / /DQ ，PA AD 3DQ 3，点 E 、
（如图）.给出下列三个结论：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； ③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是
试卷第 1 页，共 5 页
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
7．已知数列an 满足 a1 2a2 2n1an n 2n ，记数列an tn 的前 n 项和为 Sn ，若
（2）函数 f (x) 1 x3 x2 2 是[0,2] 上的“对望函数”； 3
（3）函数
f
(x)
x
sin
x
是
6
, 11 6
上的“对望函数”；
（4） f (x) 为[a,b] 上的“对望函数”，则 f (x) 在[a,b] 上不单调；
试卷第 3 页，共 5 页
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⊥ ， ．同理, ⊥ ， ．
又 , , ． ⊥ ．
⊥ , ⊥ , , ⊥平面 ． 平面
平面 ⊥平面 ．----------10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知 垂直平面 为三棱锥 的高，且
．----------14分
21．解：（1）由题意得 ，解得 ，…………2分
………4分
（2）由（1）得 ， ①
16、（本小题满分12分）已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若 ，且 ，求 的值.
3、（本小题满分12分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数
分布)如下表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
20
（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率；
②①-②得
. ，…………7分
设 ，则由
得 随 的增大而减小， 随 的增大而增大。又 恒成立， …10分
（3）由题意得 恒成立记 ，则
……12分 是随 的增大而增大
的最小值为 ， ，
即 .…………14分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11、12、_______
13选作（）．________
三、解答题：
16、
17、
18、
19、
高三文科数学九月第四周限时训练（参考答案）（9月27日使用）
1-5 C D C B A 6-10 B A D C B
11、2 12、 , 13、 14、 15、
(S2, B2), (S2, B3), (S1, S2).
∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为 .…… 6分
(2)解: 依题意得： ，解得 .…… 8分
∴ 35～50岁中被抽取的人数为 .
∴ .…… 10分解得 .∴ .… 12分
18（Ⅰ） 分别为 的中点， ∥
又 平面 ， 平面 ∥平面 ．----------5分
从中任取2人的所有基本事件共10个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1),(S2, B2), (S2, B3), (S1, S2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3).
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1),
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上
的概率为 ，求 、 的值.
18、（本小题满分14分）在三棱锥 中， 和 是边长为 的等边三角形，
， 分别是 的中点．
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
高三文科数学九月第四周周五限时训练
一：选择题
1.已知函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知复数 ， ， ，若z = 在复平面上对应的点在虚轴上，则 的值是（ ）
A．- B． C．2D．-2
3、下列各式中错误的是（）
A． B．
C． D．
4、函数 零点的个数为（）
A.0 B.1 C.2 D.3
（Ⅱ）求证：平面 ⊥平面 ；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积．
19、（本小题满分14分）已知函数 的图象经过点 和 ，
记
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若 ，求 的最小值；
（3）求使不等式 对一切 均成立的最大实数 .
高三文科数学九月第四周限时训练（9月27日）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
注意：14、15题是选做题，只需选做其中一个，两题全答只计前一题得分）
14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线 的方程为 ，
则点 到直线 的距离为.
15.（几何证明选讲选做题）如图， 为圆 外一点，由 引圆 的切
线 与圆 切于 点，引圆 的割线 与圆 交于 点.已知
， ，则圆 的面积为.
三、解答题:本大题共4小题,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（1）解：∵ ,… 4分
∴函数 的最小正周期为 . …………… 6分
（2）解：由（1）得 . ∵ ，
∴ . ∵ ，
∴ ，
. ……………10分
∴
……12分
17、(1)解:用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为 ， ∴ , 解得 .…… 2分
∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3.
⑤ ⑥ 其中在区间 上递增的函数有（ ）个
A．6B．5C．4 D．3
9、函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
10、设函数 与 的图象的交点为 ，则 所在的区间是（）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题5分，共20分)
11.设 。
12、曲线 在的导数是，在点（1,2）处的切线方程为
13.已知量 ， ，其中 .若 ，则 的最小值为
5．已知函数 ， ，则（）
A． 为偶函数． 为奇函数B． 与 均为奇函数
C． 为奇函数， 为偶函数D． 与 均为偶函数
6、已知 对任意实数 都满足 ，当 时 （ 为常数），则函数 的大致图象为（）
7、若对于任意实数 ，都有 ，且函数 在 上是减函数，则下列关系式中成立的是（）
A． B．
C． D．
8.给出下列三个函数：① ，② ，③ ，④