2003年春季高考数学试题(北京理)及答案-2003年高考数学试题
2003年春季高考.北京卷.理科数学试题及答案
003年普通高等学校春季招生考试数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：三角函数的积化和差公式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若集合( )A ．B ．C ．D ．2．若，则方程的根是( )A ．B ．－C ．2D ．－23．设复数( )A ．B ．C ．D ．－正棱台、圆台的侧面积公式其中、c 分别表示上、下底面周长l 表示斜高或母线长 球体的体积公式其中R 表示球的半径4．函数的最大值是( ) A ．B ．C ．D ．5．在同一坐标系中，方程的曲线大致是( )xyxy xyxyOOOOB CD6．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且，则下列结论中正确的是( )A ．B ．C ．D ．7．椭圆为参数）的焦点坐标为( )A ．（0，0），（0，－8）B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A ．42B ．30C ．20D ．1210．已知直线相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在11．若不等式的解集为（－1，2），则实数a等于( )A．8 B．2 C．－4 D．－812．在直角坐标系xOy中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( ) A．95 B．91 C．88 D．752003年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.题号二三总分17 18 19 20 21 22分数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内rr↑↓（1）（2）年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱毫米）110 115 120 125 130 135 （）145舒张压（水银柱毫米）70 73 75 78 80 83 （）8815．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是16．若存在常数，使得函数的一个正周期为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式：18．（本小题满分12分）已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.AC DEFGB11 D1A 120．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆O n+1与圆O n外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆O n的面积为.（Ⅰ）证明是等比数列；（Ⅱ）求的值.22．（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．14．（140）（85）15．16．注：填的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12 分.解：原不等式变形为.所以，原不等式.故原不等式的解集为.18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由.所以的定义域为因为的定义域关于原点对称，且是偶函数.当，所以的值域为19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）证法一：连结AC.∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1.∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. 又EF⊥D1D∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（Ⅱ）在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H.∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H.解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sin∠D1B1H.∵，∴解法二：∵△D1HB1～△B1BG，∴，∴解法三：连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即，ABCDEFGB11 D1A1B1 DDHB1 DH（Ⅲ）20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得所以，当x=4050时，最大，最大值为，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.（Ⅰ）证明：记r n为圆O n 的半径，则所以故成等比数列.（Ⅱ）解：因为所以22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线BOn-1O nAC)332,31(xy42=l332xyAOP(1,0)-1的抛物线，所以曲线M 的方程为.（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为消y得所以A 点坐标为，B点坐标为（3，），假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即①②由①－②得但不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由，即当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C 三点共线，故.又，，.当，即，即为钝角.当，即，即为钝角.又，即，即. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.解法二：以AB为直径的圆的方程为.圆心到直线的距离为，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G.当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A，B，C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.过点A且与AB垂直的直线方程为.过点B且与AB垂直的直线方程为. 令.又由，所以，当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是本试卷来源于《七彩教育网》。
2003年高考全国卷.理科数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？D E KBCABAFC G东21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：3 569 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k.2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cosr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+ 22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DGk k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）解：用(t,s)表示22ts+，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2) 9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C （0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）.........（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10） (2)7C +422222397()4145.k C C C C =+++++=。
2003年高考.全国卷.理科数学试题及答案
003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54co s =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与BA 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？D E KBCABFC G东21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{t s + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cos r r z +=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞ 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DGk k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s+，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100ts a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C 依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C （0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）.........（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10） (2)7C +422222397()4145.k C C C C =+++++= 本试卷来源于《七彩教育网》。
2003年高考.全国卷.理科数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学(理工农医类)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ,0），54cos =x ,则2tg x = （ ) （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A)2cos -=θρ （B ）2cos =θρ (C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ) （A ）（1-，1） (B)（1-,∞+）（C)（∞-，2-）⋃（0,∞+） (D ）（∞-,1-）⋃（1,∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 ( )（A ）21+ (B ）12- (C ）2 （D)25．已知圆C:4)2()(22=-+-y a x (0>a ）及直线l :03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时,则a （ ） （A ）2 (B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ )(A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m ( ）（A ）1 （B ）43 （C)21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7,0）,直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x (B)13422=-y x (C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f ( ）(A ）x arcsin - 1[-∈x ，1］ （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1］ (C)x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D)x arcsin -π 1[-∈x ，1］10．已知长方形的四个顶点A （0,0），B （2,0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ,0）,若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A)（31，1） （B ）（31，32) （C ）（52，21） （D ）(52，32)11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C)61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类)第Ⅱ卷（非选择题共90分)二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号)① ② ③ ④ ⑤三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60,且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项,求||zD E KBCABAFCG18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中,底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ,侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) （II ）求点1A 到平面AED 的距离19．(本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q:不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．(本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==,P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值?若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由东22．（本小题满分12分,附加题4 分）(I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,｝中所有的数从小到大排列成的数列,即31=a ,52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表:35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II)(本小题为附加题,如果解答正确，加4 分,但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列,已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
2003北京高考数学真题与标准答案
２0０３年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学(理工农医类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共５0分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.(1)设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（Ａ)}1|{>x x （B ）}0|{>x x (C)}1|{-<x x (D ）}11|{>-<x x x 或(2）设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ,则ﻩ ﻩ（A)y ３＞y 1>y 2（Ｂ）y 2>y 1>ｙ3 (C)y １>y 2>ｙ３ （D ）y 1>y ３＞ｙ2 （3）“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的 ﻩ（A ）必要非充分条件 (B ）充分非必要条件(C)充分必要条件ﻩﻩ（D)既非充分又非必要条件（4)已知α,β是平面,m,ｎ是直线.下列命题中不．正确的是 ﻩ(A)若m ∥ｎ,m ⊥α,则ｎ⊥α （Ｂ)若m ∥α，α∩β=n ，则ｍ∥n ﻩ（C ）若ｍ⊥α，m ⊥β,则α∥βﻩ(D ）若m ⊥α，β⊂m ,则α⊥β(5）极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是ﻩ（A)圆ﻩ（B ）椭圆 （C)抛物线 （D ）双曲线 (６）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（A)2 （B)3ﻩ（Ｃ)4ﻩ（D ）5（7）如果圆台的母线与底面成6０°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ﻩ（A)π2 (B)π23ﻩ(C ）π332ﻩ（D)π21 （8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出３种,分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有(Ａ)24种ﻩ(B)18种ﻩ（C ）１2种ﻩ(D ）6种（9)若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于ﻩ（A)2411 （B ）2417 （C ）2419 （D ）2425 （10)某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班ｋ名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为１,2，…，k ,规定：同意按“１”,不同意(含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij ， 其中i =１,２,…,k ,且j =1,２，…，ｋ,则同时同意第１，2号同学当选的人数为ﻩ（A)k k a a a a a a 2222111211+++++++（B)2221212111k k a a a a a a +++++++ﻩ（C ）2122211211k k a a a a a a +++ ﻩ（D)k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题共１0０分)二、填空题:本大题共４小题,每小题４分,共1６分,把答案填在题中横线上.（１1）函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中,是偶函数.（1２)以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是(13）如图,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为ａ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .(14)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 ．三、解答题:本大题共6小题，共8４分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（15)(本小题满分13分)。
2003年高考.北京卷.理科数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 23．“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的（）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是（）A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A ．π2B ．π23C ．π332D ．π218．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种9．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（）A ．2411B ．2417C ．2419D ．242510．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A ．k k a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．kk a a a a a a 2122122111+++ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中，是偶函数.12．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是13．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --=（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值..16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ；（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.18．（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q.求证：|OP|=|OQ|.（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件：（i ）;0)1()1(==-f f （ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．B5．D 6．B7．C8．C9．C10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．)();(x g x f 12．)4(362--=x y 13．)(212b a r +π14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.（Ⅰ）解：因为xx x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x 所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1.所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a 所以.2n a n=（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ①,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ②当1≠x时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n nn n n nx xx x nx x x x S x 所以.12)1()1(212x nx x x x S n n n----=+当1=x 时,)1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n 当1≠x时，.12)1()1(212x nx x x x Sn n n----=+17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1，∴四边形BDB 1C 1是平行四边形，∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D.（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角，∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点，.2321==AC BE 在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。
2003年高考试题——数学理(北京卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. （1）设集合}01|{2>-=x x A ，}0log |{2>=x x B ，则B A 等于（A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{-<x x （D ）1|{-<x x 或}1>x （2）设9.014=y ，48.028=y ，5.13)21(-=y ，则（A ）213y y y >> （B ）312y y y >> （C ）321y y y >> （D ）231y y y >> （3）“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 4．已知βα,是平面，n m ,是直线，下列命题中不正确的是（A ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （B ）若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥n （C ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （D ）若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． 5．极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）双曲线 6．若C z ∈，且1|22|=-+i z ，则|22|i z --的最小值是（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57．如果圆台的母线与底面成︒60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （A ）π2 （B ）23π （C ）332π （D ）π218．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（A ）24种 （B ）18种 （C ）12种 （D ）6种9．若数列}{n a 的通项公式是2)23()1(23n n n n n n a ------++=， ,2,1=n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（A ）2411 （B ）2417 （C ）2419 （D ）242510．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为k ,,2,1 ．规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”．令⎩⎨⎧=号同学当选号同学不同意第第 号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 0 1 其中k i ,,2,1 ＝，且k j ,,2,1 ＝，则同时同意第1、2号同学当选的人数为（A ）k k a a a a a a 2222111211+++++++ （B ）2221212111k k a a a a a a +++++++ （C ）2122211211k k a a a a a a +++ （D ）k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．)1lg()(2x x f +=，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=1 21||012)(x x x x x x g ，x tg x h 2)(=，其中 为偶函数．12．已知双曲线方程为191622=-y x ，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为 ．13．一底面半径为r 的圆柱，被一平面所截剩下部分母线最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积为 ．14．一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正方形和圆的面积之和最小时，正方形的周长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间]2,0[π上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）已知数列}{n a 是等差数列，且21=a ，12321=++a a a （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列nn n x a b ⋅=（R x ∈），求数列}{n b 的前n 项和公式.ba2rxy xOB C AP(-b,0)(b,0)17．（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -底面边长为3，2331=AA ，D 为CB 延长线上一点，且BC BD =． （1）求证：直线1BC ∥面D AB 1； （2）求二面角B AD B --1的大小； （3）求三棱锥11ABB C -的体积．18．（本小题满分15分）如图，已知椭圆的长轴21A A 与x 轴平行，短轴21B B 在y 轴上，中心),0(r M （0>>r b （Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（Ⅱ）设直线x k y 1=与椭圆交于),(11y x C ，,(2y x D ),(44y x H （04>y ）．求证：4343121211x x x x k x x x x k +=+；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在H G D C ,,,，设CH 交x 轴于P 点，GD 交x 轴于Q 点，求证：||||OQ OP =（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形） 19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇分别位于A 、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处（建立坐标系如图）． （Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和最小，则P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，则P 应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件，①0)1()1(==-f f ②对任意的u 、]1,1[-∈v ，都有|||)()(|v u v f u f -≤- （Ⅰ）证明：对任意]1,1[-∈x ，都有x x f x -≤≤-1)(1 （Ⅱ）证明：对任意的]1,1[,-∈v u 都有1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）在区间]1,1[-上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-]1,21[ |||)()(|]21,0[ |||)()(|uv v u v f u f uv v u v f u f若存在请举一例，若不存在，请说明理由．D12003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．C 10．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．)();(x g x f 12．)4(362--=x y 13．)(212b a r +π 14．44+π 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.（Ⅰ）解：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为20π≤≤x ,所以45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)(x f 取最大值为22, 当ππ=+42x 时，)(x f 取最小值为－1 ∴)42cos(2)(π+=x x f 的最大值为1,最小值为－216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n =（Ⅱ）解：由,2nn n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n x n x n x x S ⋅+-+⋅+⋅=- ①.2)22(42132+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n x n x n x x xS ②当x ≠1时，将①式减去②式，得.21)1(22)(2)1(112++⋅---=⋅-++=-n nn n n x n xx x x n x x x S x∴x nx x x x S n n n ----=+12)1()1(212当x=1时，)1(242+=+++=n n n S n综上可知，当x=1时，)1(242+=+++=n n n S n当x ≠1时，x nx x x x S n n n ----=+12)1()1(21217．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.（Ⅰ）证明：∵CD ∥C 1B 1 ，又BD=BC=B 1C 1，∴四边形BDB 1C 1是平行四边形∴BC 1∥DB 1又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ∴直线BC 1∥平面AB 1D（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵ BB 1⊥平面ABD ∴ B 1E ⊥AD∴ ∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角 ∵ BD=BC=AB ∴ E 是AD 的中点，∴ BE=21AC=23在Rt ∆B 1BE 中，tan ∠B 1EB=3233231==BEB B∴ ∠B 1EB=060即二面角B 1—AD —B 的大小为60（Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵ BB 1⊥平面ABC ， ∴ 平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴ AF ⊥平面BB 1C 1C 且AF=323323=⨯ ∴11ABB C V -=11C BB A V -=AF S C BB ⋅∆1131=31233)323321(⨯⨯⨯=827 即三棱锥C 1—ABB 18D1D1D118．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.（Ⅰ）解：椭圆方程为1)(2222=-+b r y a x 焦点坐标为),(221r b a F --，),(222r b a F -离心率ab a e 22-=（Ⅱ）证明：证明：将直线CD 的方程x k y 1=代入椭圆方程1)(2222=-+br y a x ，得 2221222)(b a r x k a x b =-+整理得0)(2)(22222122122=-+-+b a r a rx a k x k a b根据韦达定理，得212221212k a b r a k x x +=+，2122222221k a b b a r a x x +-=，所以rk b r x x x x 12221212-=+ ①将直线GH 的方程x k y 2=代入椭圆方程1)(2222=-+br y a x ，同理可得rk b r x x x x 22243432-=+ ②由 ①、②得 rb r x x x x k 22221211-=+ =43432x x x x k +所以结论成立（Ⅲ）证明：设点P )0,(p ，点Q )0,(q由C 、P 、H 共线，得421141x k x k p x p x =--解得42114121)(x k x k x x k k p --=x由D 、Q 、G 共线，同理可得322132x k x k p x p x =--32213221)(x k x k x x k k q --=由21211x x x x k + = 43432x x x x k +变形得42114121)(x k x k x x k k ---=32213221)(x k x k x x k k --所以 q p = 即OQ OP =19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：由题设条件a>b>0,设P 的坐标为（0，y ），则P 至三镇距离的平方和为22222)()(2)(y b a y b y f --++= =2222223b a y b a y ++--所以，当322b a y -=时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是)3,0(22b a - （Ⅱ）解：记22b a h -=P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|||,||,|,)(222222y h y b y h y h y b y b x g 当当由||22y h y b -≥+解得,222h b h y -≥记,222*hb h y -= 于是⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,|,,)(**22y y y h y y y b x g 当当 当0222*≥-=hb h y ，即b h ≥时， 因为22y b +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-||*∞-在y h 上是减函数.y xOB C AP(-b,0)(b,0)所以*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 点P 的坐标是)2,0(22hb h - 当0222*<-=hb h y ，即b h <时，因为22y b +在[),*+∞y 上当y=0函数)(y g 取得最小值b ，而]y ,(-||*∞-在y h 上是减函数,且 b ||>-y h ，所以0=y 时, 函数)(y g 取得最小值.答：当b h ≥时，点P 的坐标是)2,0(22hb h - 当b h <时，点P 的坐标是)0,0(，其中22b a h -=20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1||)1()(||)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤- （Ⅱ）对任意的]1,1[,-∈v u ，当1|||)()(|,1|u |≤-≤-≤-v u v f u f v 有时当,1|u |时≤-v 0,u <⋅v 不妨设],1,0(),0,1[∈-∈v u 则1>-u v 从而有)1()()1()(|)()(|f v f f u f v f u f -+--≤-1)(2|1||1|<--=-++≤u v v u总上可知，对任意的]1,1[,-∈v u ，都有1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下：假设存在函数)(x f 满足条件，则由.|||)()(|v u v f u f -=- ]1,21[,∈v u 得21|121||)1()21(|=-=-f f又0)1(=f ，所以21|)21(|=f ①又因为)(x f 为奇函数，所以0)0(=f ， 由条件.|||)()(|v u v f u f -<- ]21,0[,∈v u 得21|021||)0()21(||)21(|=-<-=f f f所以 21|)21(|<f ②①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.。
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m （ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ΛΛ（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a sn 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321Λ======a a a a a a将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 35 69 10 12— — — —— — — — — （i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设Z}t s,r,,0|22{2}{r ∈<<≤++且是集合t s r b st n 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos οοr r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，112211,,,,,,.1,1, 3.(4)31262,.2,22,23, 3.3622sin .arcsin .3D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG A B ABD EB ⊥∴∆∴∈=⋅==∴=⨯=====∴===∴∠==⋅=∴Q Q L L Q 分别是的中点又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中分于是与平面所成的角是（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又Θ.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x Θ20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。
2003年春季高考数学试题(北京文)及答案-2003年高考数学试题
2003年普通高等学校春季招生考试 数 学（文史类）（北京卷）第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设d c b a R d c b a >>∈,.,,,且，且下列结论中正确的是( )A ．d b c a +>+B ．d b c a ->-C ．bd ac >D ．cb d a > 2．设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m 等于( )A ．32 B ．32- C ．34- D ．－23．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是 ( )A ．－2B ．2C ．－21 D ．21 4．若集合=-====P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y5．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( )A ．tgC tgA <B ．ctgC ctgA < C ．C A sin sin <D ． C A cos cos <6．在等差数列}{n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 7．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．－π125B ．π125 C ．π127 D ． π1213 8．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是( )A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞9．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径A BCD10．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为()A ．6B ．12C ．15D ．3011．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为 AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．0° 12．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形 ( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数12sin +=x y 的最小正周期为14．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则=rR15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内16．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是三、解答题：本题共6小题，共74分17．（本小题满分12分）解不等式：).22(log )2(log 222->--x x x 18．（本小题满分12分） 已知函数)(,2cos 1cos 5cos 6)(24x f xx x x f 求+-=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.（1）（2）AC1A 119．（本小题满分12分）如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点.（Ⅰ）求三棱锥D 1—DBC 的体积.；（Ⅱ）证明BD 1∥平面C 1DE ；（Ⅲ）求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.20．（本小题满分12分）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.21．（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元. （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 22．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.2003年普通高等学校春季招生考试 数学试题（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.A2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.A 10.D 11.B 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．π 14．332 15．（140）（85） 16．32 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式330,203,01,0)1)(2(22201,02222>⇔⎩⎨⎧><>⇔⎪⎩⎪⎨⎧>->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或.故原不等式的解集是}3|{>x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得. 所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(1)(cos 5)(cos 6)(24x x x x f -+---=-)(),(2cos 1cos 5cos 624x f x f xx x 所以=+-=是偶函数.又当xx x x f Z k k x 2cos 1cos 5cos 6)(,,4224+-=∈+≠时ππ1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或 19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）解：3212221311=⋅⋅⋅⋅=-DBC D V . （Ⅱ）证明：记D 1C 与DC 1的交点为O ，连结OE. ∵O 是CD 1的中点，E 是BC 的中点，∴EO ∥BD 1.∵BD 1⊄平面C 1DE ，EO ⊂平面C 1DE ， ∴BD 1∥平面C 1DE.（Ⅲ）解：过C 作CH ⊥DE 于H ，连结C 1H.在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， C 1C ⊥平面ABCD ，∴∠C 1H ⊥DE ， ∴∠C 1HC 是面C 1DE 与面CDE 所成二面角的平面角. ∵DC=2，CC 1=1，CE=1， ∴52121222=+⨯=⋅=DE CE CD CH ，AC 1A 1∴2552111===∠CH C C HC C tg 即面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值为2520．本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.满分12分.解：设动点P 的坐标为（x ，y ）. 由a yc x y c x a a PB PA =+-++>=2222)()()0(||||，得.化简得.0)1()1()1(2)1(2222222=-+-+++-y a a c x a c x a当01)1(2,122222=++-++≠y c x a a c x a 得时，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x . 当a =1时，化简得x =0.所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，|12|2-a ac 为半径的圆； 当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.21．本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为)200)(503000100()(---=x x x f ， 整理得304200)4100(50132000164501)200)(8000(501)(22+--=-+-=--=x x x x x x f . 所以，当x =4100时，)(x f 最大，最大值为304200)4100(=f ，即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为元.22．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分.（Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒= .2130sin 11=︒=+---n n nn r r r r 所以,12),2(3122111l r a n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列. （Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-AC所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→。
2003年高考全国卷.理科数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项:1。
答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上．3。
考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。
)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式:334R V π=球 ,其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- (C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 ( ) （A ）2cos -=θρ (B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ,则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B)（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃(0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+) 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ )（A)21+ （B)12- （C ）2 (D ）25．已知圆C:4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l :03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B)249R π (C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ )（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0),直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 ( ) （A ）14322=-y x (B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ )（A)x arcsin - 1[-∈x ,1] (B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1］10．已知长方形的四个顶点A(0,0)，B （2，0），C(2,1）和D （0,1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ,0)，若214<<x ,则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B)（31，32) (C ）（52，21） （D)(52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A)3 （B ）31 （C)61(D)6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） (A ）π3 (B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答)16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号)① ② ③ ④ ⑤三、解答题:本大题共6小题，共74分,解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ)方向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ,在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=,O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动,且BE CF DG BC CD DA==,P 为GE 与OF 的交D E KBCABA FCG东点（如图）,问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值;若不存在，请说明理由22．(本小题满分12分，附加题4 分）(I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列,即31=a ，52=a ,63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 6 9 10 12 - — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a(II)（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k 。
2003年高考全国卷.理科数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学(理工农医类)注意事项：1。
答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2。
每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3。
考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式:334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一。
选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ,0），54cos =x ，则2tg x = （ ) （A ）247 (B ）247- （C ）724 （D)724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B)2cos =θρ （C)2sin =θρ （D)2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ,若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 ( ) （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃(0，∞+） （D)（∞-，1-）⋃(1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ )（A ）21+ (B ）12- （C ）2 （D)25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ,当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A)2 （B ）22- （C ）12- (D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m ( ）（A ）1 （B ）43 （C)21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点,MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 ( ） （A ）14322=-y x （B)13422=-y x （C ）12522=-y x (D)15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ,1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] (C)x arcsin +π 1[-∈x ，1］ （D)x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0,0），B （2，0），C(2，1）和D(0，1）,一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ,0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） (D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ( ）(A ）3 (B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ) （A ）π3 (B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学(理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二。
2003年高考.全国卷.理科数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54c o s =x ，则2tg x = （ ）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||zD E KBCABAFCG18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由东22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cosr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+ 22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）解：用(t,s)表示22ts+，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）.........（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10） (2)7C +422222397()4145.k C C C C =+++++=。
2003年高考.全国卷.理科数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学(理工农医类）注意事项：1。
答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2。
每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。
)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式:334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0)，54cos =x ,则2tg x = （ ） （A)247 (B ）247- (C ）724 （D)724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ (B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ (D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ) （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+)（C ）（∞-，2-)⋃（0，∞+) （D ）(∞-,1-）⋃（1,∞+)4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A)21+ （B)12- （C ）2 （D)25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a )及直线l ：03=+-y x ,当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a ( ） （A ）2 （B ）22- (C)12- （D)12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ )(A)22R π （B ）249R π (C ）238R π （D ）223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列,则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）,直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-,则此双曲线的方程是 （ ) （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x (C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）(A)x arcsin - 1[-∈x ，1］ (B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] (C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1］ （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0,0),B(2，0），C （2,1）和D （0，1)，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为(4x ,0），若214<<x ,则tg θ的取值范围是 （ ) （A ）（31，1） (B ）(31，32） （C)(52，21） （D ）(52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）(A)3 （B ）31 （C ）61(D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则些球的表面积为( ） （A ）π3 (B ）π4 (C ）π33 (D)π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类)第Ⅱ卷（非选择题共90分)二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图,一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．(本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60,且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||zD E KBCABAFCG18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离19．(本小题满分12分） 已知0>c ,设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测,当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ)方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ,a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动,且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点(如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由东22．（本小题满分12分，附加题4 分)（I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ,105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 - — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II)(本小题为附加题，如果解答正确，加4 分,但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{,且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ,求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．221-14．（—1,0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cosr r z +=,则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．(Ⅰ）解:连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解:,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+ 22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法,个别使用的图象法） 20．解:如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1)台风中心P （y x ,)的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭。
2003年高考数学试题及答案(全国理)
绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =（ ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则 =-||n m（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y xC ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得 使用同一颜色，现有4种颜色可 供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分）已知.0 c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a sn 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321 ======a a a a a a将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 35 69 10 12— — — —— — — — — （i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设Z}t s,r,,0|22{2}{r ∈<<≤++且是集合t s r b st n 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin .323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED=⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19． 解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。
2003年高考.全国卷.理科数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1。
答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2。
每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3。
考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长。
)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0)，54cos =x ，则2tg x = （ ) (A ）247 （B ）247- (C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B)2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ,若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-,1） （B)（1-，∞+）(C ）(∞-，2-）⋃（0，∞+） (D ）(∞-，1-）⋃（1，∞+)4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ )（A ）21+ (B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x (0>a ）及直线l ：03=+-y x ,当直线l 被C 截得的弦长为32时,则a （ ） （A ）2 (B ）22- (C ）12- (D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是（ ）（A ）22R π (B ）249R π （C)238R π （D)223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列,则=-||n m ( )（A)1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-,则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x (C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f ( ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ,1］ （C)x arcsin +π 1[-∈x ,1］ (D)x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B(2，0），C(2,1）和D(0,1）,一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B)（31，32） （C ）(52，21） （D)(52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B)31 （C ）61（D)6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ) （A ）π3 （B)π4 (C ）π33 (D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷)数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二。
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ )A ．247B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ )A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- ( )A ．（－1，1）B ．（－1,+∞)C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时,则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m ( ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A(0，0),B(2,0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角）,设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是( ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ )A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2003年高考试题——数学理(全国卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π( ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=( ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1)B ．（－1,+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 ( ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( ）A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m （ )A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 ( ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A(0，0），B （2，0),C （2，1）和D(0,1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角）,设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C( ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2,四个项点在同一球面上,则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
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2003年普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合=-====-P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( )A ．21 B ．－21 C ．2D ．－23．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．π1213 B ．π127C ．π125 D ．－π125 4．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( )A ．54 B ．45 C ．43 D ．34 5．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+>+b a by ax y b x a 与的曲线大致是( )D6．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( )A ．C A sin sin <B ．C A cos cos <C ．tgC tgA <D ．ctgC ctgA <正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径ABC7．椭圆ϕϕϕ(sin 3,cos 54⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的焦点坐标为( )A ．（0，0），（0，－8）B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A ．42 B ．30 C ．20 D ．12 10．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在11．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－812．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( ) A ．95 B ．91 C ．88 D ．752003年普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则=rR14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内15．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+bya x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是 16．若存在常数0>p ，使得函数=)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x ppx f 则∈-的一个正周期为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（1）（2）17．（本小题满分12分）解不等式：.1)1(log )2(log 21221-->--x x x18．（本小题满分12分）已知函数)(,2cos 4sin 5cos 6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD=G.（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V.20．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 21．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈.（Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.22．（本小题满分13分）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点.（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.A1A 12003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．332 14．（140）（85） 15．32 16．2p 注：填2p的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式变形为)22(log )2(log 21221->--x x x .所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x .故原不等式的解集为}32|{<<x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得. 所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos 624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos 6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）证法一： 连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又 EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.ABE1A 1（Ⅱ）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H.∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H. 解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H. ∵422221111=⋅==B A B D ，,174144sin sin 2211111=+==∠=∠GB B B GB B H B D∴.17171617441=⋅==H D d解法二：∵△D 1HB 1～△B 1BG ， ∴GB B D B B H D 11111=，∴.1717161442221211=+===GB B B H D d解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半， 即21112121B B H D G B =⋅⋅， .1717161211===∴GB B B H D d（Ⅲ）EF B EF B D EFD B S d V V V 1111131∆--⋅⋅=== .31617221171631=⋅⋅⋅⋅=20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(⨯-----=x x x x f ， 整理得307050)4050(5012100016250)(22+--=-+-=x x x x f 所以，当x =4050时，)(x f 最大，最大值为307050)4050(=f ，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒=.2130sin 11=︒=+---n n n n r r r rACB 1DD B 1DD所以,12),2(3122111l r a n r r n n ππ==≥=-于是 91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列. （Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=.（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得 .3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-）， .3162||21=++=x x AB 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得 但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， 由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得， 即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y .又2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，① ②22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB . 当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角. 当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ， 即CBA y ∠-<时3310为钝角.又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角. 因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x .圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38， 所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令. 过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y . 令33101-=-=y x 得. 又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或。