第(6)次作业答案—— 分块矩阵
《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
分块矩阵及其运算
F
0
I
D
CF F
C
I
=
1.4 分块矩阵及其运算
然后分别计算kI,kC,I+D,D+CF,代入上面三式，得
线
k 0 k 3k
2 2 1 3
kA 0 k
2k
4k
,
A
B
2
1
2 4 性
0 0 k 0
0 0
0
k
=
WC+YB I2 , 将W 0代入 Y B1,
所以
D1
A1
0
A1CB1
B1
=
返回
线
性
谢谢观赏
代
数
=
=
矩阵X
0 C
A
0
也可逆, 且X
1
0
A1
C1
0
线
解：设X
1
B1
B3
B2 B4
,
XX
1
AB3
CB1
AB4 CB2
I1
0
0
I
2
性 代
其中I1是与A同阶的单位阵, I2为与C同阶的单位阵,
则 AB3 I1 B3 A1, AB4 0 B4 0,
B1s
B2
s
代
Bts
数
=
, Btj的行数
分块矩阵的概念及运算
19
2.3.3 分块初等阵
分块单位阵 一次初等变换 分块初等阵
Em
En
(1)
0 Em
En 0
或
0 En
Em 0
换法:
倍法:
(2)
P 0
0 En
或
Em 0
0 P
消法:
(3)
Em K
0 En
或
Em 0
K En
20
对分块矩阵进行一次初等行(列)变换, 相当于给它左(右)乘以一个相应的分 块初等矩阵：
30
例5
1 x1 y1
计算 x2 y1
x1 y2 1 x2 y2
x1 yn x2 yn
解
1 x1 y1 x1 y2 x2 y1 1 x2 y2
xn y1 xn y2
xn y1
xn y2
x1 yn
x1 y1
x2 yn
En
x2
y1
1 xn yn
xn
y1
1 xn yn
x1 y2
x1 yn
1.
3A AB
0 5B
3A 5B
33 A (5)3 B 234 53
2.
0 AB
3A 5B
(1)33
3A 5B
0 AB
(1)33
3A
AB
33 A (1)3 A B 235
14
尤其要注意 AmpBpn 0 时的特殊情况:
*例4
AB A(B1, B2 , , Bn ) A为一子块
(AB1, AB2, , ABn)
A21
A12
A22
a31 a32 a33 a34
特殊 A ——视为一个子块
线性代数分块矩阵
A B A1 0 B1 0 0 A2 0 B2
A1 B1
0 ,
0
A2 B2
A1
B1
a 0
1 a a 1
0 2a a 1
1 , 2a
A2
B2
b 1
1 b b 1
1 0 1 0
B
1
2
0
1
1 0 4 1
1
1
2
0
例设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
例
a
A
0 1
0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 1 b
B1 B2 B3
,
即
a
A
0 00
1 a
1 1
0 0
1 1
0 0
bb
B1 BB32
2b2 1 b3 2b
,
ABA A1 0 B1 0 A1 0 0 A2 0 B2 0 A2
A1B1A1
0
0 A2B2 A2
a3 a
a2 0 0
2a2 1 a3 a
分块矩阵例题详解
分块矩阵是指将一个矩阵按照一定的规则分成若干个小块，每个小块都是一个矩阵。
分块矩阵在矩阵运算中具有重要的作用，可以简化计算过程。
下面通过例题来详解分块矩阵的运算方法。
例题1：设A = ⌈⌉，B = ⌉⌋，其中a、b、c、d均为常数，求AB和BA。
解：根据分块矩阵的定义，有A = ⎡⎡ a b c d ⎡⎡⎡⎡ e f g h ⎡⎡B = ⎡⎡ i j k l ⎡⎡⎡⎡ m n o p ⎡⎡则AB = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡BA = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡可以看出，AB和BA的每个元素都是原矩阵对应位置元素的乘积之和，因此可以直接计算得到结果。
例题2：设A = ⌈⌉，B = ⌉⌋，其中a、b、c、d均为常数，求A^2和(AB)^2。
解：根据分块矩阵的定义，有A = ⎡⎡ a b c d ⎡⎡⎡⎡ e f g h ⎡⎡B = ⎡⎡ i j k l ⎡⎡⎡⎡ m n o p ⎡⎡则A^2 = AB * BA = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡×⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡＝ (ai*mi + ai*ni + bi*mi + bi*ni + ...) * (mi*ai + mi*ai + ni*bi + ni*bi + ...)＝ (a^2 + b^2) * (a^2 + b^2) = a^4 + b^4 + 2a^2b^2.同理可得，(AB)^2 = (a^2 + b^2)(m^2 + n^2) = a^4 + b^4 + a^2m^2 + b^2n^2.。
分块矩阵的知识点
分块矩阵的知识点分块矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和矩阵分析中扮演着关键角色。
分块矩阵将一个大的矩阵划分为若干个小的子矩阵，从而简化了复杂的矩阵运算和计算过程。
本文将介绍分块矩阵的基本概念、构造方式以及在矩阵运算中的应用。
1.分块矩阵的定义分块矩阵是由若干个小的子矩阵组成的大矩阵。
这些子矩阵可以是任意大小和形状，而且它们可以是实数矩阵或复数矩阵。
分块矩阵可以表示为如下形式：A=[A11A12A21A22]其中A ij表示分块矩阵A的第i行第j列的子矩阵。
2.分块矩阵的构造方式分块矩阵的构造方式有多种，常见的有水平分块和垂直分块两种方式。
–水平分块：将大矩阵按行划分为若干个子矩阵。
例如，将一个m×n的矩阵划分为两个子矩阵A1和A2，则可以表示为：A=[A1A2]–垂直分块：将大矩阵按列划分为若干个子矩阵。
例如，将一个m×n的矩阵划分为两个子矩阵A1和A2，则可以表示为：A=[A1A2]分块矩阵的构造方式可以根据实际问题的需求选择，不同的构造方式对于矩阵运算的简化程度有所差异。
3.分块矩阵的运算分块矩阵的运算可以通过对子矩阵进行逐个操作来完成。
常见的分块矩阵运算包括矩阵的加法、乘法和转置。
–矩阵的加法：对应位置的子矩阵进行相加。
例如，对于两个分块矩阵A和B，其加法运算可以表示为：A+B=[A11+B11A12+B12A21+B21A22+B22]–矩阵的乘法：通过子矩阵的乘法和求和得到结果。
例如，对于两个分块矩阵A和B，其乘法运算可以表示为：AB=[A11B11+A12B21A11B12+A12B22 A21B11+A22B21A21B12+A22B22]–矩阵的转置：将子矩阵沿主对角线进行交换。
例如，对于一个分块矩阵A，其转置运算可以表示为：A T=[A11T A21TA12T A22T]通过分块矩阵的运算，可以简化矩阵运算的复杂度，提高计算效率。
4.分块矩阵的应用分块矩阵在各个领域中都有广泛的应用，特别是在数值计算和矩阵分析中。
分块矩阵讲解
D O = F I
C D O D + CF C I AB = = − I − F O − I F I
其中
3 − 3 1 3 6 6 CF = = 2 4 0 − 2 12 − 2
1 0 练习： 练习： 设 A = −1 1 求 AB 。
利用矩阵分块可重新理解矩阵： 利用矩阵分块可重新理解矩阵： a 12 ... a 1 n α 1 a 11 a 21 a 22 ... a 2 n α 2 则 A= M M M M a a m 2 ... a mn α m m1
L A1 s L A2 s O M Ass O L Ass
P.77
性质
同结构的三角形分块矩阵的和、 同结构的三角形分块矩阵的和、积， 仍是同结构的三角形分块矩阵。 仍是同结构的三角形分块矩阵。
接逆矩阵
0 0 1 0 −1 2 ，B = 1 0 0 − 1 − 1 1 B1 I O B1 = 解 如上分块 AB = A1 I B2 A1 B1 + B2 0 − 2 4 − 1 2 1 0 1 + = 其中 A1 B1 + B2 = 1 1 − 1 2 − 1 − 1 − 1 1 1 0 − 1 2 AB = 则 − 2 4 − 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0
A pq 是“小矩阵” 小矩阵”
例
1 0 A= 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0 1 − 3 1 −1 0 0 4 1
分块矩阵
1、矩阵分块的方法
在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 0
例如
A
0 1
a 0
0 b
0 1
0 1 1 b
B1 B2 ,
B3
1 2 1
4 4 1
0 3 3
1 13
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程
更简单，计算量更少。
例1的计算量比较： 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
4 4 (4 3) 112 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运算：2 2 (2 1) 12 子块运算：2 2 (2 1) 2 2 2 20
称为组合系数。
说明(1). 对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块 方式，可以得到线性方程组的向量形式
x11 x22 xnn b
说明(2). 如果记 ei 是第i个分量为1，其余分量为0 的列向量，则
Aei i (i 1,2,, n) 同样记εi 是第i个分量为1，其余分量为0的行向量， 则εi A表示A的第i个行向量。
B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r
B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
r
Cuw Auv Bvw v1
(u 1,, s; w 1,,t)
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
A11
A
分 块 矩 阵
Ar1
Ar2
A1s
A2
s
Ars
2. 分块矩阵的加法
将m×n 矩阵A 与B 按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1
Ar 2
A1s
B11 B12
A2 s
,
B
B21B22
Ars
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
则
A11 B11 A12 B12
3 1
4
0
0
1
在利用分块矩阵的乘法讨论AB 时，下面的特殊情形值得注意。 设A 为m ×l 矩阵，B 为l×n 矩阵，将右矩阵B 按列分块:
B= b11 b12 bn
则
AB= Ab11 Ab12 Abn
若AB=O，则 Ab11 Ab12 Abn O (OO O) ，从而
线性代数
分块矩阵
1
2
3
分块矩阵 的概念
分块矩阵 的运算
分块对角矩阵
1.1 分块矩阵的概念
定义1
用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块 称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a b 0 0
例如
A
c
d
0
0
0 0 p q
0
0
r
s
按下述分法分块
a b 0 0
A
Abj O( j 1,2, n)
即 bj ( j 1, 2, n) 是矩阵方程 Aml Xl1 Om1 的解，也就是说 B 的列是 Aml Xl1 Om1 的解。
4. 分块矩阵的转置
将m×n 矩阵A 分成r×s的分块矩阵
分块矩阵
a 1 0 0
即
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
C1 C3
C2 C4
4 上一页 下一页 返 回
a 1 0 0
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
A E
O B
,
其中OBEA
ab01 10
01 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
的行数 , 则
AB
C 11
C1r
其中 C ij
t
C s1 C sr
Aik B kj i 1, , s; j 1, , r .
k 1
9
上一页 下一页 返 回
4 设
A
A11
As1
A1r
,
Asr
则
AT
A1T1
A1Tr
AsT1
.
AsTr
(5) 设方阵A可分块为以下形式
AB
B11 A1B11
B21
A1
E B22
.
又
A1B11
B21
1 1
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
3 0
4 1 2 1
0 1
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
于是
1 0 1 0
AB B11 A1B11 B21
0 3 2
0 1 1
A1 O
O , A2
A1 5,
分块矩阵
(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
其中 Ai 1 , Ai 2 , L , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Bij 的行数 , 那末
1 3 4 2 1 3 , 0 2 1 0 0 2
三、小结
在矩阵理论的研究中, 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法. 基本,最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 同型矩阵 , 采用相同的分块法 (2) 数乘 (3) 乘法
数k乘矩阵 A, 需k乘A的每个子块
若A与B相乘, 需A的列的划分与 B的划分相一致
λ A11 L λ A1 r M . λA = M λA L λ Asr s1
1 0 1 −1 2 2 3 0 A= 3 1 2 2 2 0 2 −2 4 4 6 0 2A = 6 2 4 4
−1
0 ( E是n阶单位阵 ) E
A X 11 = E , A X 12 = O , 有 C X 11 + B X 21 = O , C X + B X = −1 , X 11 X 12 = O , = − B −1 C A−1 , X 21 = B −1 , X 22
A n×n
C
Bm×m
= A⋅B
C
Bm×m
A n×n ( −1)mn A ⋅ B = 0
5 2 例2 设A= 0 0
5--矩阵--分块矩阵
3 2
6 12
3 2 1 2
1 D CF 2
3 7 2 14
D CF 代入得 AB F
7 14 6 0
C E
1 2 3 2 1 2 1 0 3 4 0 1
例
a 11 x 1 a 12 x 2 a 21 x 1 a 22 x 2 .......... .......... .......... a x a x
m1 1 m 2 2
a 1 n x n b1 a 2 n x n b2 .......... ......... a mn x n b m
C E
D F
O ED CF E 0 D EF
E 0 CE 00 EE
D CF F
C E
其中
1 CF 2
3 6 4 0 2 6 0 12
1
则
E A O
A1 A2
一般的分块原则为：分块后出现特殊矩阵： 单位阵、零矩阵、对角矩阵、三角形矩阵。
又如
1 0 A 0 0
1 0 A 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 1 4
记矩阵 B 的第 j 列为
j
b1 j b2 j . b lj
则矩阵
B 可按照列向量的方式分 b1 j b2 j b lj b1 n b2n b ln
矩阵分块法 矩阵运算习题
数乘
A11 设 A A s1 A1r ,λ为数,那么 Asr
A11 A1r A . A A s1 sr
第 6页
乘法
设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A1t B11 B1r A , B , A B A B s1 t1 st tr 其中Ai1, Ai2, …,Ait的列数分别等于B1j, B2j, …,Btj行数, 那么 C11 C1r AB C C s1 sr
第23页
1 1 A 0 0 0 2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 2
1 4 1 2 A 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 2
第11页
分块对角矩阵的性质
性质 1
A A1 A2
3 4 A1 B11 0 2
1 2 A1 1 1 1 0 B21 1 1 1 0 B11 1 2 4 1 B22 2 0
第 9页
转置
A11 A1r 4 设 A , As1 A sr
例如
a 0 A 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 B1 0 B2 1 B3 b
a 0 A 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 A O E B 1 b
a 0 A 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 a 0 0 A 1 按行分块 1 0 b
分块矩阵
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：， 其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。
对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B=111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算 设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭， 其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且1nij ij iji C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。
2、分块矩阵的一些简单基本性质命题 阶准对角矩阵有如下性质：（1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵）， A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B=12S B B B ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有； AB=1122S S A B A B A B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）、；（3）、A 可逆等价于(1,2,)i A i n =可逆，且111121r A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
第3节 分块矩阵(全)
A12 A22
这是2阶 方阵吗？
a11 a12 A11 a21 a22
为A的子块
A21 a31 a32
A22 a33 a34
矩阵形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵。
将一个矩阵分成分块矩阵的方法很多，分块时要注意矩阵的 特点。
例
1 0 A 0 0 0 0 0 1 2 1 0 2 3 E3 0 1 3 4 O 23 0 0 2 0 0 0 0 2
对于分块对角矩阵，可求得
A A1 A2 As
由此可知 A 0 的充分必要条件是 Ai 0 ( i=1，2，…， s)。从而可知分块对角矩阵A可逆的充分必要条件是 Ai(i=1， 2，…，s)均可逆。并且，当A可逆时，有 A11 1 A2 1 A 1 As
T A11 T T A12 A T A 1t
A12 A22 As 2
A1t A2 t Ast
T A21 T A22
则
T A2 t
AsT1 AsT2 T Ast
分块矩阵A的转置，不仅要把分块矩阵A的每一行变为同序 号的列，还要把A的每一个子块 Aij 取转置。
1 0 4 2
0 0 E 0 A1 1
0 1 B11 1 B21 0
O E
1 0 1 2 B 1 0 1 1
E B22
则
E AB A1 O B11 E B21 E B11 B22 A1 B11 B21
例2
设5阶方阵
4分块矩阵
其中
βj ( j = 1, 2, … ,n ).
是 A 的第 j 列.
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
设 A 和 B 均为 m×n矩阵,分法下:
A11 A1r B11 B1r A B A A B B sr sr s1 s1
其中Aij与Bij的行数相同, 列数 相同, 那末
A11 B11 A B A B s1 s1
4.分ห้องสมุดไป่ตู้矩阵的转置
设分块矩阵
则
A11 A1r A A A sr s1
AT11 AT s1 AT . T T A 1r A sr
5.分块对角矩阵（准 对角矩阵）.
设
A1 A
反证法
作业
1.利用逆矩阵解线性方程组:
x1 2 x 2 3 x3 1 2 x1 2 x 2 5 x3 2 3x 5x x 3 1 2 3
2.设
3 4 4 3 A 0 0 0 0
0 0 0 0 8 4 求 A 及A . 2 0 2 2
其运算律与数乘矩阵相同.
3.分块矩阵的乘法. 设A为 m×l 矩阵，B为 l×n矩阵，分块成
A11 A A i1 A s1
A12 Ai2 As2
A1t B11 Ait B Bi1 Ast Bt1
线性代数分块矩阵
A1
O
A2
A
,
O
As
其中 Ai i 1, 2,
s 都是方阵, 那末称 A为分块对角矩阵.
6
1
0
⋯
0
0
2
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
⋯
0
A1 B1
0 A2 B2
0
0
1
0
⋯
0
0
2
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
.
1 2 4 1 3 3
A1 B22
,
1 1 2 0 3 1
于是
B11
AB
A1 B11 B21
1
E 1
2
A1 B22
1
0 1 0
2 0 1
.
4 3 3
1 3 1
转
设
1
0
A
1
1
解
0 0 0
1 0 0
,
2 1 0
1 0 1
0
1
1 2
B
1
0
1 1
1 0
0 1
,
4 1
2 0
求 AB .
把A, B分块成