高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式自我小测新人教A版选修4_5
归纳法证明不等式用归纳法证明不等式
归纳假设
提出归纳假设
根据已知条件和不等式的性质，提出一个归纳假设，即假设在某个条件下不等 式成立。
验证归纳假设
验证在初始条件下，归纳假设成立。
归纳步骤
归纳递推
根据归纳假设，推导出在更广泛的情况下不等式也成立。
完成证明
通过递推和归纳，最终完成对不等式的证明。
CHAPTER 03
归纳法证明不等式的例子
归纳法证明
利用数学归纳法证明平方和公式，首先需要证明基础步骤，即当$n=1$时，公式成立。然后通过假设 当$n=k$时公式成立，推导出当$n=k+1$时公式也成立。最后，根据数学归纳法，可以得出平方和公 式对于所有正整数$n$都成立。
CHAPTER 04
归纳法证明不等式的注意事 项
初始基础要正确
确定初始基础
在开始归纳法之前，确保选择正确的初 始基础，这可以是已知的不等式或数学 定理。
VS
检查基础条件
确保所选择的初始基础是正确的，并且满 足所给定的条件。
归纳假设要合理
要点一
选择归纳假设
选择一个合理的归纳假设，以便在归纳步骤中使用。
Hale Waihona Puke 要点二验证归纳假设
确保所选择的归纳假设是正确的，并且满足所给定的 条件。
归纳法证明
利用数学归纳法证明等比数列求和公式，首先需要证明基础步骤，即当$n=1$时，公式成立。然后通过假设当 $n=k$时公式成立，推导出当$n=k+1$时公式也成立。最后，根据数学归纳法，可以得出公式对于所有正整数 $n$都成立。
利用数学归纳法证明平方和公式
平方和公式
平方和公式是指一个数列中所有数的平方和的极限存在时，该极限等于数列的各项的平方和。
如何通过数学归纳法证明不等式
如何通过数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，其基本思想是利用已知的某些命题推出新的命题。
在数学证明中，常常使用归纳法来证明一些不等式，这种方法既简单又直观，下面我们来探讨如何通过数学归纳法证明不等式。
一、归纳法的基本思想首先，我们来了解一下归纳法的基本思想。
设P(n)是一个依赖于自然数n的命题，则通过归纳法证明P(n)对于所有自然数n成立的一般方法为：1.证明当n=1时P(1)成立；2.假设当n=k时P(k)成立，即前提条件为P(k)成立；3.证明当n=k+1时P(k+1)成立，即由前提条件P(k)可以导出P(k+1)。
这就是数学归纳法的基本思想。
二、通过数学归纳法证明不等式接下来我们探讨如何通过数学归纳法证明不等式。
对于一些不等式，我们可以通过归纳法来证明它们的成立性。
1. 首先，我们需要确定适用于归纳法的不等式类型。
一般来说，递推式、等差数列、等比数列等都是适用于归纳法的不等式类型。
2. 其次，我们需要证明当n=1时不等式成立。
通常情况下，我们可以通过代数化简或数值计算的方法证明不等式在n=1时成立。
3. 第三步是归纳假设。
假设当n=k时不等式成立，即前提条件为不等式在n=k时成立。
4. 第四步是证明当n=k+1时不等式成立。
通过推导得出不等式在n=k+1时成立。
5. 最后需要证明这个不等式在所有自然数下成立。
通常情况下，我们可以通过归纳证明法的反证法来证明，如果该不等式在某个自然数下不成立，那么其前面的所有自然数也不成立，即矛盾。
因此，该不等式在所有自然数下成立。
比如，对于一个递推式an=a(n-1)+n，我们可以通过数学归纳法证明其大于等于n(n+1)/2。
具体证明如下：当n=1时，an=1，n(n+1)/2=1，因此不等式在n=1时成立。
假设当n=k时，an大于等于k(k+1)/2成立。
当n=k+1时，an=a(k+1-1)+(k+1)=ak+k+1。
根据归纳假设，ak 大于等于k(k+1)/2，于是k+ak大于等于k(k+1)/2+k+1=(k+1)(k+2)/2，因此，an大于等于(k+1)(k+2)/2。
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数
学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新 发现的结论的正确性．数学归纳法的应用主要出现在数列
解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通
过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数 学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”
2．(2012· 湖北高考)(1)已知函数 f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x＞0)， 其中 r 为有理数，且 0＜r＜1.求 f(x)的最小值； (2)试用(1)的结果证明如下命题： 设 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数．若 b1＋b2＝1，则 a1b1·2b2≤a1b1＋a2b2； a (3)请将(2)中的命题推广到一般形式， 并用数学归纳法证 明你所推广的命题． 注：当 α 为正有理数时，有求导公式(xα)′＝αxα－1.
b1 b2 2 bk
bk 1
a
… a k a k 1 ≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，
故当 n＝k＋1 时，③成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n，所推广的命题成立． 说明：(3)中如果推广形式中指出③式对 n≥2 成立，则后续证明 中不需讨论 n＝1 的情况．
不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论
a1b1＋a2b2＋…＋akbk bk ak· ＝ ， 1－bk＋1 1－bk＋1
从而 a 1
b1
a
b2 2
…… a k
bk
a1b1＋a2b2＋…＋akbk 1－b bk 1 a k 1 ≤( ) k＋1a k 1 . 1－bk＋1
bk 1
又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得 a1b1＋a2b2＋…＋akbk 1－b a1b1＋a2b2＋…＋akbk bk 1 ( ) k＋1a k 1 ≤ · 1－bk＋1 1－bk＋1 (1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1·k＋1， b 从而 a 1
4.2 用数学归纳法证明不等式 课件(人教A选修4-5)
考查学生推理论证的能力．
[解]
(1)用数学归纳法证明：2≤xn＜xn＋1＜3.
①当 n＝1 时，x1＝2，直线 PQ1 的方程为 f2－5 y－5＝ (x－4)， 2－4 11 令 y＝0，解得 x2＝ ，所以 2≤x1＜x2＜3. 4 ②假设当 n＝k 时，结论成立，即 2≤xk＜xk＋1＜3. 直线 PQk＋1 的方程为 fxk＋1－5 y－5＝ (x－4)， xk＋1－4 3＋4xk＋1 令 y＝0，解得 xk＋2＝ . 2＋xk＋1
则当 n＝k＋1 时，有 1 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ ＋ ＋ k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1 3k＋2 3k＋3 1 3k＋1＋1 1 1 1 1 1 1 ＝( ＋ ＋„＋ )＋( ＋ ＋ － k＋1 k＋2 3k＋1 3k＋2 3k＋3 3k＋4 1 25 1 1 2 )> ＋[ ＋ － ]． k＋1 24 3k＋2 3k＋4 3k＋1 6k＋1 1 1 2 ∵ ＋ ＝ 2 > ， 3k＋2 3k＋4 9k ＋18k＋8 3k＋1
lg3 lg3 ＝k(k＋1)· ＋2(k＋1)· 4 4 1 k＋1 >lg(1· 3· k)＋ lg3 2· „· 2 1 >lg(1· 3· k)＋ lg(k＋1)2 2· „· 2 ＝lg[1· 3· k· 2· …· (k＋1)]．命题成立． 由上可知，对一切正整数 n，命题成立．
本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考 查数学归纳法的应用.2012年全国卷将数列、数学归纳法 与直线方程相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
(1)当n＝1时，由f(x)为增函数，且f(1)<1，得
a1＝f(b1)＝f(1)<1， b2＝f(a1)<f(1)<1， a2＝f(b2)<f(1)＝a1， 即a2<a1，结论成立． (2)假设n＝k时结论成立，即ak＋1<ak. 由f(x)为增函数，得f(ak＋1)<f(ak)即bk＋2<bk＋1，
数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法。
那怎么用归纳法来证明不等式呢? 接下来店铺为你整理了数学归纳法证明不等式，一起来看看吧。
数学归纳法证明不等式的基本知识数学归纳法的基本原理、步骤和使用范围(1)在数学里，常用的推理方法可分为演绎法和归纳法，演绎法一般到特殊，归纳法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法。
在归纳时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么结论是可靠的.这种归纳法叫完全归纳法(通常也叫枚举法)如果考察的只是某件事的部分情况，就得出一般结论，这种归纳法叫完全归纳法.这时得出的结论不一定可靠。
数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题，因为自然数有无限多个，我们不可能就所有的自然数一一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的.然而只就部分自然数进行验证所得到的结论，是不一定可靠的例如一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2容易验证a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出结论——对于任何n∈N+, an=(n2-5n+5)2=1都成立，那是错误的.事实上，a5=25≠1.因此，就需要寻求证明这一类命题的一种切实可行、比较简便而又满足逻辑严谨性要求的新的方法——数学归纳法.(2)数学归纳法是一种重要的数学证明方法，其中递推思想起主要作用。
形象地说，多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型，数学归纳法的基本原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏，其核心是归纳递推.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用一下两个步骤：(1)证明当n=n0(例如n0=1或2等)时命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于不小于n0所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.自然数公理(皮亚诺公理)中的“归纳公理”是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两步证明恰是验证这条公理所说的两个性质.数学归纳法的适用范围仅限于与自然数n有关的命题.这里的n是任意的正整数，它可取无限多个值.附录：下面是自然数的皮亚诺公理，供有兴趣的同学阅读.任何一个象下面所说的非空集合N的元素叫做自然数，在这个集合中的某些元素a与b之间存在着一种基本关系：数b是数a后面的一个“直接后续”数，并且满足下列公理：①1是一个自然数;②在自然数集合中，每个自然数a有一个确定“直接后续”数a’;③a’≠1,即1不是任何自然数的“直接后续”数;④由a’ =b’推出a=b,这就是说，每个自然数只能是另一个自然数的“直接后续”数;⑤设M是自然数的一个集合，如果它具有下列性质：(Ⅰ)自然数1属于M,(Ⅱ)如果自然数a属于M，那么它的一个“直接后续”数a’也属于M，则集合M包含一切自然数.其中第5条公理又叫做归纳公理，它是数学归纳法的依据.(3)数学归纳法可以证明与自然数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.例如用数学归纳法证明(1+1)n(n∈N+)的单调性就难以实现.一般来说，n从k=n到k=n+1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.数学归纳法证明不等式例题。
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
2．(2012· 湖北高考)(1)已知函数 f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x＞0)， 其中 r 为有理数，且 0＜r＜1.求 f(x)的最小值； (2)试用(1)的结果证明如下命题： 设 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数．若 b1＋b2＝1，则 a1b1·2b2≤a1b1＋a2b2； a (3)请将(2)中的命题推广到一般形式， 并用数学归纳法证 明你所推广的命题． 注：当 α 为正有理数时，有求导公式(xα)′＝αxα－1.
反复运用③式，得 c－xn≤(1－ c)n－1( c－x1)＜(1－ c)n－1. xn＜1－ c和 c－xn＜(1－ c)n－1 两式相加， 知 2 c－1＜(1－ c)n－1 对任意 n≥1 成立． 根据指数函数 y＝(1－ c)n 的性质，得 2 c－1≤0， 1 1 c≤ ，故 0＜c≤ . 4 4 1 (ii)若 0＜c≤ ，要证数列{xn}为递增数列， 4 即 xn＋1－xn＝－x2 ＋c＞0. n 即证 xn＜ c对任意 n≥1 成立．
b2 2
b1
bn
③
用数学归纳法证明如下： (1)当 n＝1 时，b1＝1，有 a1≤a1，③成立． (2)假设当 n＝k 时，③成立，即若 a1，a2，…，ak 为非负 实数，b1，b2，…，bk 为正有理数， 且 b1＋b2＋…＋bk＝1，则 a 1 ＋akbk. 当 n＝k＋1 时，已知 a1，a2，…，ak，ak＋1 为非负实数， b1，b2，…，bk，bk＋1 为正有理数， 且 b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1＝1，
考情分析
通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数
学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新 发现的结论的正确性．数学归纳法的应用主要出现在数列
：数学归纳法证明不等式
第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。
数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。
本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。
例题精讲例1、用数学归纳法证明n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明：1︒当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。
2︒假设当n=k 时，等式成立，即k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+-。
那么，当n=k+1时，221121211214131211+-++--++-+-k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )22111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21121213121+++++++++=k k k k k这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n 都成立。
点评：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P （n ）对于从n 0开始的所有自然数n 都正确．要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。
高中数学第四讲数学归纳法证明不等式1数学归纳法素材
4。
1 数学归纳法庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法的定义证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性：(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，（2)假设当n=k(k∈N＊，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
完成这两步,就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法。
从数学归纳法的定义我们可以看出,它强调的就是两个基本步骤.数学归纳法的两个步骤，是问题的两个方面，一个是命题成立的基础,一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可。
缺步骤（2），则证明就是“一叶障目，以一代全”不能保证命题对所有的自然数n 都成立；而缺步骤（1），则证明就成了“空中楼阁"，也难以保证命题对所有自然数n都成立.我们通常称第（1)步为奠基步骤。
记忆要诀总结以上的分析,归纳如下：“奠基步骤不能少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉."如果同学们能正确地理解了数学归纳法证明的要义,才能轻松自如地运用它，而不致误用.误区警示数学归纳法的两个步骤,是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可.疑问：既然第(2）步已经证明了任两个连续自然数对应的命题的递推关系,那么第（1）步是否是多余的？请看如下例子：对于欲证的命题:1+2+3+…+n=21n （n+1）+1。
第二步证明为:若n=k 时命题成立，即1+2+3+…+k=21k(k+1)+1, 则当n=k+1时，1+2+3+…+k+（k+1)=21k （k+1)+1+（k+1）=21(k+1）(k+2）+1,即当n=k+1时命题也成立.但我们会发现：当n=1时，左式=1，右式=2，显然命题不成立。
辨析比较归纳法与数学归纳方法我们在研究问题时，还常常用到如下的一种思维方法，即从特殊到一般的思维方法，举例如下：1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42， …,我们由此发现并得出如下结论： 1+2+3+…+（n-1）+n+（n —1）+…+3+2+1=n 2（n ∈N ）.这就是考察具有1+2+3+…+(n —1)+n+（n —1)+…+3+2+1特征的某几个式子的数值后，发现了蕴含其中的共性之后而得到的一个结论。
人教版高中数学选修四目录
人教版高中数学选修四目录相似三角形的判定及相关性质、直线与圆的位置关系、平面与圆柱面的交线、平面与圆锥面的交线、简单曲线的极坐标方程、简单曲线的极坐标方程是人教版高中数学选修课的四个知识。
人教版高中数学选修目录人教版数学选修4-1第一讲、相似三角形的判定及有关性质一、平行线等分线段定理二、平行线分线段成比例定理三、相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四、直角三角形的射影定理第二讲、直线与圆的位置关系一、圆周角定理二、圆内接四边形的性质与判定定理三、圆的切线的性质及判定定理四、弦切角的性质五、与圆有关的比例线段第三讲、圆锥曲线性质的探讨一、平行射影二、平面与圆柱面的截线三、平面与圆锥面的截线人教版选修4-4目录第一讲、坐标系一、平面直角坐标系二、极坐标系三、简单曲线的极坐标方程四、柱坐标系与球坐标系简介第二讲、参数方程一、曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程三、直线的参数方程四、渐开线与摆线高中数学选修4-5目录第一讲、不等式和绝对值不等式一、不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲、讲明不等式的基本方法一、比较法二、综合法与分析法三、反证法与放缩法第三讲、柯西不等式与排序不等式一、二维形式柯西不等式二、一般形式的柯西不等式三、排序不等式第四讲、数学归纳法证明不等式一、数学归纳法二、用数学归纳法证明不等式必修、选修什么意思人教版必修1、2、3、4、5为所有学生必修，不分文理，将作为学业水平考试的考试内容和高考的必考内容。
1-1，1-2是选修一系列，文科生必学内容，高考的必考内容。
另外还有两个系列的选修课，理科生必修，高考必修。
考三四系列是选修系列，要根据各省情况选择学习。
高考的时候，你选的每一本书都会有一个问题，你可以从中选择一本。
必修系列和选修系列的区别在于，只有学业水平考试是必修的，而高考是全部。
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数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn 思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
数学归纳法证明不等式
01
02
03
例子一：n=5时的情况
假设n=10时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}$。
02
CHAPTER
数学归纳法证明不等式的步骤
验证基础情况
首先验证n=1时，不等式是否成立。
基础情况成立
如果基础情况成立，则可以继续进行归纳步骤。
初始步骤
归纳步骤
归纳假设
假设当n=k时，不等式成立，即$P(k)$成立。
归纳推理
基于归纳假设，推导当n=k+1时，不等式也成立，即$P(k+1)$成立。
应用归纳假设
在归纳推理过程中，需要利用归纳假设$P(k)$来推导$P(k+1)$。
要点一
要点二
完成归纳
当归纳步骤完成后，可以得出结论，对于任意正整数n，不等式都成立。
归纳假设的应用
03
CHAPTER
应用数学归纳法证明不等式的例子
假设n=5时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5$。
确定数列的通项公式
通过数学归纳法，可以证明数列的通项公式，进而研究数列的性质和规律。
人教版高中数学章节目录
第一章集合与函数概念
集合
函数及其表示
函数的基本性质
第二章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数函数
幂函数
第三章函数的应用
函数与方程
函数模型及其应用
人教版高中数学必修二目录
第一章空间几何体
空间几何体的结构
空间几何体的三视图和直观图
空间几何体的表面积与体积
第二章点、直线、平面之间的位置关系
3.3 导数在研究函数中的应用
3.4 生活中的优化问题举例
人教版高中数学选修1-2目录
第一章 统计案例
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.2 直接证明与间接证明
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
2.2 二项分布及其应用
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.4 正态分布
第三章 统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
人教版高中数学选修4-1目录
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
一 平行线等分线段定理
二 平行线分线段成比例定理
三 相似三角形的判定及性质
2.2 直接证明与间接证明
2.3 数学归纳法
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.2 复数代数形式的四则运算
人教版高中数学选修2-3目录
第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.2 排列与组合
1.3 二项式定理
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
bk 1
a
… a k a k 1 ≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，
故当 n＝k＋1 时，③成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n，所推广的命题成立． 说明：(3)中如果推广形式中指出③式对 n≥2 成立，则后续证明 中不需讨论 n＝1 的情况．
不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N＋)． (2)①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立． ②假设n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2.k∈N＋)， 当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋5×2k
反复运用③式，得 c－xn≤(1－ c)n－1( c－x1)＜(1－ c)n－1. xn＜1－ c和 c－xn＜(1－ c)n－1 两式相加， 知 2 c－1＜(1－ c)n－1 对任意 n≥1 成立． 根据指数函数 y＝(1－ c)n 的性质，得 2 c－1≤0， 1 1 c≤ ，故 0＜c≤ . 4 4 1 (ii)若 0＜c≤ ，要证数列{xn}为递增数列， 4 即 xn＋1－xn＝－x2 ＋c＞0. n 即证 xn＜ c对任意 n≥1 成立．
考情分析
通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数
学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新 发现的结论的正确性．数学归纳法的应用主要出现在数列
解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通
过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数 学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”
b1
b2
－
高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式自我小测 新人教A版选修4-5
4.2 用数学归纳法证明不等式自我小测1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是( )A ．已知⇒结论B ．结论⇒已知C ．直接证明比较困难D ．与正整数有关2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N ＋，且n ＞1)时，第一步应证下述哪个不等式成立( )A ．1＜2B ．1＋12＜2 C ．1＋12＋13＜2 D ．1＋13＜2 3．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12k ＋2C ．增加了两项12k ＋1，12k ＋2，但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不正确4．某同学回答“用数学归纳法证明n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N ＋)”的过程如下：证明：(1)当n ＝1时，显然命题是正确的；(2)假设当n ＝k (k ≥1)时有k (k ＋1)＜k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n ∈N ＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设B ．归纳假设的写法不正确C ．从k 到k ＋1的推理不严密D ．当n ＝1时，验证过程不具体5．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，其不等式为__________．6．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝ca 3n ＋1－c ，n ∈N ＋，其中c 为实数．(1)证明a n ∈[0,1]对任意n ∈N ＋成立的充分必要条件是c ∈[0,1]；(2)设0＜c ＜13，证明a n ≥1－(3c )n －1，n ∈N ＋. 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立．参考答案1．D2．C3．解析：当n ＝k 时，不等式为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＜1314；当n ＝k ＋1时，不等式左边＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 比较n ＝k 和n ＝k ＋1，易知选C.答案：C4．解析：证明(k ＋1)2＋(k ＋1)＜(k ＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设k (k ＋1)＜k ＋1.答案：A5．1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π6．证明：(1)必要性：∵a 1＝0，∴a 2＝1－c .又∵a 2∈[0,1]，∴0≤1－c ≤1，即c ∈[0,1]．充分性：设c ∈[0,1]，对n ∈N ＋用数学归纳法证明a n ∈[0,1]．当n ＝1时，a 1＝0∈[0,1]．假设a k ∈[0,1](k ∈N ＋，k ≥1)，则a k ＋1＝ca 3k ＋1－c ≤c ＋1－c ＝1，且a k ＋1＝ca 3k ＋1－c ≥1－c ≥0，∴a k ＋1∈[0,1]． 由数学归纳法，知a n ∈[0,1]对所有的n ∈N ＋成立．综上，可得a n ∈[0,1]对任意n ∈N ＋成立的充分必要条件是c ∈[0,1]．(2)设0＜c ＜13，当n ＝1时，a 1＝0，结论成立． 当n ≥2时，∵a n ＝ca 3n －1＋1－c ，∴1－a n ＝c (1－a 3n －1)＝c (1－a n －1)(1＋a n －1＋a 2n －1)．∵0＜c ＜13，由(1)知a n －1∈[0,1]， ∴1＋a n －1＋a 2n －1≤3且1－a n －1≥0.∴1－a n ≤3c (1－a n －1)．∴1－a n ≤3c (1－a n －1)≤(3c )2(1－a n －2)≤…≤(3c )n －1(1－a 1)＝(3c )n －1.∴a n ≥1－(3c )n －1(n ∈N ＋)．7．答案：(1)解：因为对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上，所以S n ＝b n ＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r .。
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4.2 用数学归纳法证明不等式
自我小测
1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是( )
A ．已知⇒结论
B ．结论⇒已知
C ．直接证明比较困难
D ．与正整数有关
2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1
＜n (n ∈N ＋，且n ＞1)时，第一步应证下述哪个不等式成立( )
A ．1＜2
B ．1＋12
＜2 C ．1＋12＋13＜2 D ．1＋13
＜2 3．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314
(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )
A ．增加了一项12(k ＋1)
B ．增加了两项12k ＋1，12k ＋2
C ．增加了两项12k ＋1，12k ＋2，但减少了一项1k ＋1
D ．以上各种情况均不正确
4．某同学回答“用数学归纳法证明n2＋n ＜n ＋1(n ∈N ＋)”的过程如下：
证明：(1)当n ＝1时，显然命题是正确的；
(2)假设当n ＝k (k ≥1)时有k(k ＋1)＜k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k2＋3k ＋2＜k2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n ∈N ＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )
A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设
B ．归纳假设的写法不正确
C ．从k 到k ＋1的推理不严密
D ．当n ＝1时，验证过程不具体
5．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π
成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π
成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，其不等式为__________．
6．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝ca 3n ＋1－c ，n ∈N ＋，其中c 为实数．
(1)证明a n ∈[0,1]对任意n ∈N ＋成立的充分必要条件是c ∈[0,1]；
(2)设0＜c ＜13
，证明a n ≥1－(3c )n －1，n ∈N ＋. 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．
(1)求r 的值；
(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明对任意的n ∈N ＋，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn ＋1bn ＞n ＋1成立． 参考答案
1．D
2．C
3．解析：当n ＝k 时，不等式为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＜1314
；当n ＝k ＋1时，不等式左边＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2
. 比较n ＝k 和n ＝k ＋1，易知选C.
答案：C
4．解析：证明(k ＋1)2＋(k ＋1)＜(k ＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设k(k ＋1)＜k ＋1.
答案：A
5．1A1＋1A2＋1A3＋…＋1An ≥n2(n －2)π
6．证明：(1)必要性：∵a 1＝0，∴a 2＝1－c .
又∵a 2∈[0,1]，∴0≤1－c ≤1，即c ∈[0,1]．
充分性：设c ∈[0,1]，对n ∈N ＋用数学归纳法证明a n ∈[0,1]．
当n ＝1时，a 1＝0∈[0,1]．
假设a k ∈[0,1](k ∈N ＋，k ≥1)，
则a k ＋1＝ca 3k ＋1－c ≤c ＋1－c ＝1，且a k ＋1＝ca 3k ＋1－c ≥1－c ≥0，∴a k ＋1∈[0,1]． 由数学归纳法，知a n ∈[0,1]对所有的n ∈N ＋成立．
综上，可得a n ∈[0,1]对任意n ∈N ＋成立的充分必要条件是c ∈[0,1]．
(2)设0＜c ＜13
，当n ＝1时，a 1＝0，结论成立． 当n ≥2时，∵a n ＝ca 3n －1＋1－c ，。