立体几何中的向量公式

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高中数学立体几何向量公式

在三维空间中，向量有着相应的公式。第一个公式是向量a加向量b，即a+b=a+b。这表示将两个向量相加，得到一个新的向量。下一个公式是a×b，它表示两个向量的点积，这意味着它们的方向是相反的，但它们的大小是不同的。

还有另一个公式叫平行向量，它表示两个向量具有相同的方向。它可以写成：a∥b，这意味着它们之间的另一个角度被视为0度。另外，向量也有一个公式，它可以用来描述两个向量的向量积，这是一个形状向量，表示另一个向量的方向或大小与其相似。

最后，还有一个叫作法向量的公式，它表示了一个向量和一个平面的关系，这被用来描述法线的方向，它可以写为n=b-a。

总而言之，立体几何中向量的公式涉及加减、点积和叉积等内容，是高中学习数学中十分重要的一部分。了解并掌握这些公式有助于学生更好地理解数学知识，更好的运用到学习中去。

立体几何证明的向量公式和定理证明

立体几何证明的向量公式和定理证明立体几何中的向量公式和定理证明非常多，下面仅列举其中几个常见的向量公式和定理的证明。

1.向量叉乘的模长公式证明：

对于两个三维向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的叉乘

C=A×B定义为C=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)。根据向量的定义，我们有

C，^2=(a2b3-a3b2)^2+(a3b1-a1b3)^2+(a1b2-a2b1)^2

=(a2^2b3^2-2a2a3b2b3+a3^2b2^2)+(a3^2b1^2-

2a1a3b1b3+a1^2b3^2)+(a1^2b2^2-2a1a2b1b2+a2^2b1^2)

=a2^2b3^2+a3^2b1^2+a1^2b2^2-2a2a3b2b3-2a1a3b1b3-

2a1a2b1b2+a3^2b2^2+a1^2b3^2+a2^2b1^2-2a1a2b1b2-

2a2a3b2b3+a1^2b2^2

=a1^2(b2^2+b3^2)+a2^2(b1^2+b3^2)+a3^2(b1^2+b2^2)-

2(a1a2b1b2+a2a3b2b3+a1a3b1b3)

=a1^2，B，^2+a2^2，B，^2+a3^2，B，^2-

2(a1a2b1b2+a2a3b2b3+a1a3b1b3)

=(a1^2+a2^2+a3^2)，B，^2

=，A，^2，B，^2

因此，可以得出，C， = ，A × B， = ，A，B，sinθ，其中θ为A和B的夹角。

2.向量线性组合的余子定理证明：

设有n个非零向量v1, v2, ..., vn，如果它们的线性组合为零向量，即存在一组不全为零的实数c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ...

3.2.1立体几何中的向量方法

1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以： AF1 ( , 0,1), 2
F1
C1
C
B1
D1
A1
1 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1 , BD1 . 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2
n
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向量m 是与平面平行或在平面内，则有 n m 0

A
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n ( x, y, z )
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
四、平行关系：设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv .
0
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
F1
取 BC CA CC1， A1B1、AC1的中点D1、F1， 1

立体几何中的向量方法(平行与垂直)

G F B1
wk.baidu.comC1
A1
E
D A B
C
AD∥GF，AD=GF 平行四边形ADGE AE∥DG 又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF
故得平面AEH∥平面BDGF
例4
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
以DA， DC,DD1 为单位证明：设正方体棱长为1，正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
G(1-
2 2
a , 1-
2 2
a,0),
量为n (0,1,0), 故 HG n,而故 HG∥平面CBE
z
D
H y
A G
F
平面CBE
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的中点. 求证：平面AEH∥平面BDGF
D1 H
E

F(2,2,0),
G(0,4,2),
几何法呢？
AE =(-3, 3, 3), FG =(-2, 2, 2)
3 AE = FG AE // FG 2 AE与FG不共线
E
D
G
C Y
AE//FG
A X
F
B
例2.如图：ABCD与 ABEF是正方形， CB⊥平面ABEF， AH=GF. 求证： HG∥平面CBE. E

立体几何与空间向量知识梳理

立体几何与空间向量是数学中的两个重要分支，它们都涉及到三维空间的计算和处理。下面是它们的知识梳理：

一、立体几何

1. 立体几何基本概念：点、线、面、立体、平行、垂直、角度、投影等。

2. 立体图形的性质：体积、表面积、对称性、切割等。

3. 立体几何基本公式：立方体、长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的体积和表面积公式。

4. 立体几何运用：解决物体体积和表面积的计算问题，如容器的容积、房间的面积等。

二、空间向量

1. 空间向量定义及表示：三维空间中的有向线段，可以用起点坐标和终点坐标表示。

2. 空间向量的运算：加、减、数乘、点乘、叉乘等。

3. 空间向量的性质：模长、模长计算公式、向量方向，空间向量的平行性、垂直性等。

4. 空间向量的应用：用向量来表示物理量，如力、速度、加速

度等。

总结

立体几何和空间向量是数学中两个重要的分支，它们在三维空间中进行计算和处理。在应用方面，立体几何可以解决物体的体积和表面积计算问题，而空间向量则可以用来表示和处理物理量。在学习过程中，要注意掌握基本概念和公式，熟练掌握基本运算和性质，逐渐深入到应用层面。

用向量解立体几何

立体几何中的向量方法

1. 基本概念：

1.1. 向量的数量积和坐标运算

b a

,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数θcos ||||⋅⋅b a 叫做a 与b 的数量积（或

内积），记作b a ⋅，即.cos ||||θ⋅⋅=⋅b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：

若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则

①212121z z y y x x b a ++=⋅

；

②2

1||,||z y x b z y x a ++=++=

；

③212121z z y y x x b a ++=⋅

④2

22222

12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅

++++>=

1.2. 异面直线n m ,所成的角

分别在直线n m ,上取定向量,,b a

则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角

或其补角（如图1所示），则.|

||||

|cos b a b a ⋅⋅=θ

1.3. 异面直线n m 、的距离

分别在直线n m 、上取定向量,,b a

求与向量b a 、都垂直的向量n ，分别在n m 、上各取

一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长，即|

|||n n AB d ⋅=

证明：设CD 为公垂线段，取b DB a CA ==,（如图1所示），

则

||||)(n AB n CD n BD AB CA n CD BD

AB CA CD ⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++= |

立体向量公式大全

以下是一些常用的立体向量公式：

点积公式：a · b = |a| |b| cosθ

叉积公式：c = a × b = |a| |b| sinθ

平行四边形法则：a + b = c + d

菱形法则：a - b = c - d

正弦定理：|a| = |b| sinθ

余弦定理：|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 |a| |b| cosθ

距离公式：d = |a - b| = √(|a|^2 + |b|^2 - 2 |a| |b| cosθ)投影公式：proj_ab = (a · b) / |b|^2 * b

二次曲面公式：x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1

双曲曲面公式：x^2/a^2 - y^2/b^2 = z^2/c^2

旋转公式：R(θ) = [cosθ, -sinθ; sinθ, cosθ]

反旋转公式：R^(-1)(θ) = [cosθ, sinθ; -sinθ, cosθ]

缩放公式：S(k) = [k, 0; 0, k]

反缩放公式：S^(-1)(k) = [1/k, 0; 0, 1/k]

平移公式：T(d) = [1, d; 0, 1]

反平移公式：T^(-1)(d) = [1, -d; 0, 1]

这些公式在立体向量分析中非常常用，可以帮助我们更好地理解和计算立体向量的问题。

立体几何公式大全

一、空间向量的基础公式：向量式

坐标式

数量积

cos a b a b q

×=×

=121212x x y y z z ++a b

^ 0

a b ×= =121212x x y y z z ++=0

//a b （0b ¹ ）

a b l =

（0,l >方向相同；0,l <方向相反）

=111(,,)x y z =l 222(,,)

x y z 即：12x x l =，12y y l =，12

z z l =模a

2a a

= =222

111

x y z ++夹角q （0a ¹

，0b ¹

）cos a

b a b q ×=×

121212

222222

111222x x y y z z x y z x y z ++++++二、求角和距离公式：求异面直线a 与b 所成角q

：

121212

222222111222cos a b

x x y y z z a b x y z x y z q ×++==×++++ KP115/例1 JP60/例3 求直线a 与平面a 所成角q ：sin a n a n

q ×=× （n

表示平面a 的法向量）

KP125/例1

二面角l a b --的大小q :

设1q 为平面a 的法向量1n 与平面b 的法向量2

的夹角：则12

cos n n n n q ×=× ：求二面角q 步骤：一、瞄：瞄一下看二面角q 是锐角还是钝角；二、

求：先求平面a 的法向量1n

与平面b 的法向

量2n ，而后用12

112

cos n n n n q ×=×

求出1n 与2

n 的夹角

；三、定：同锐相等：若

3.2立体几何中的向量方法(平行、垂直、夹角、距离)(高中数学人教版选修2-1)

D! N A! B! C! M C B
平行;三是证明 MN 可以用平面
D A
方法:一是证明 MNห้องสมุดไป่ตู้平面A1BD的法向量垂直;
法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A 直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1 (1, 0, 0), B1 (1,1, 0),
X Z
D
证明 : 如图分别以D1 A1、D1C1、D1D
C
B
D1
C1
B1
C (0, 0,1), D(0, 0,1) 则A1 D (1, 0,1), B1C (1, 0,1) A1 D // B1C.即直线A1 D // B1C，
1 1 又 MN n ( , 0, ) (1, 1, 1) 0,∴ MN ⊥ n 2 2 ∴ MN ∥ 平面A1 BD
取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ n (1, 1, 1)
例2.在正方形ABCD - A 中, 1B 1C1 D 1 求证 : 平面A 1 BD // 平面CB 1D 1
3、空间中平面位置的确定：
（1）通过平面上的一个定点和两个向量来确定： OP xa yb （2）通过平面上的一个定点和一个向量来确定：思考：平面的法向量有多少条？它们的方向相同吗？

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

1．直线的方向向量与平面的法向量确实定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，

则求法向量的方程组为⎩⎨⎧

n ·a ＝0，n ·b ＝0.

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.

(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.

(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .

(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.

3．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.

(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .

(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)

(1)直线的方向向量是唯一确定的．()

(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()

(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()

(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()

立体几何中的向量法(线线、线面、面面)复习

四、平行关系：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行
线面平行
l ∥ m a ∥ b a kb ； l ∥ a u a u 0 ；
面面平行
∥ u ∥ v u kv .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行法向量为u (a2 , b2 , c2 ),则包括线在面内，面面平行包括面面重合 .
如果两个向量a, b不共线，则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
判断：向量共线三点共线
a b
AB AP
OP OA t AB
OP xOA yOB( x+y=1)
向量共面四点共面
p a b
AP AB AC OP OA AB AC OP xOA yOB zOC ( x +y +z =1)
| PA n | |n|
.
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.
3. 异面直线间的距离
如何求A1D和AC 间的距离? ↓ 即求线AC与面 A1C1D的距离 ↓ 即求点A(或C)到面A1C1D的距离

立体几何中的向量方法求夹角

1.确定两个向量

假设有两个向量A和B，它们的坐标分别为(x₁,y₁,z₁)和(x₂,y₂,z₂)。

2.计算向量的点积

向量的点积是两个向量各个对应坐标分量的乘积之和，可以用以下公式表示：

A·B=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

3.计算向量的模

向量的模是向量的长度，可以用以下公式表示：

A，=√(x₁²+y₁²+z₁²)

B，=√(x₂²+y₂²+z₂²)

4.计算夹角的余弦值

夹角的余弦值可以通过点积和模的关系计算得到，用以下公式表示：cosθ = (A·B) / (，A，，B，)

5.计算夹角

夹角的弧度可以通过余弦值计算得到，用以下公式表示：

θ = arccos(cosθ)

6.将弧度转换为度数

为了方便阅读和理解，可以将弧度转换为角度，用以下公式表示：

α=θ*180°/π

以上就是利用向量方法求解立体几何中夹角的具体步骤。

下面通过一个例子来说明向量方法求解立体几何中夹角的应用。例题：

给定两个向量A(2,3,-1)和B(1,-2,4)，求它们之间的夹角。

解答：

首先计算向量A和向量B的点积：

A·B=2*1+3*(-2)+(-1)*4=2-6-4=-8

然后计算向量A和向量B的模：

A，=√(2²+3²+(-1)²)=√(4+9+1)=√14

B，=√(1²+(-2)²+4²)=√(1+4+16)=√21

接下来计算夹角的余弦值：

cosθ = (A·B) / (，A，，B，) = -8 / (√14 * √21)

然后计算夹角：

θ = arccos(cosθ)

最后将弧度转换为角度：

α=θ*180°/π

空间向量与立体几何公式大全

以下是部分空间向量与立体几何的公式：

1. 向量的模：向量的长，可参考点点距离求模。

2. 向量的加法：三角形法则或平行四边形法则。

3. 向量的减法：三角形法则。

4. 向量的数乘：m*(x,y,z)=(mx,my,mz)。

5. 向量的积：向量m*向量n=m模*n模*cos<m,n>。

6. 向量的数乘：a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2) a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2) λa=(λx1，λy1，λz1) a·b=x1x2+y1y2+z1z2 a∥b：x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2 a⊥b：x1x2+y1y2+z1z2=0。

7. 法向量与方向向量解答如下关系：线线平行：线L1方向向量为m，线L2方向向量为n，m=y*n；线面平行：法向量与方向向量垂直；面面平行：法向量平行；线线垂直：线L1方向向量为m，线L2方向向量为n，m*n=0；线面垂直：法向量与方向向量平行；面面垂直：法向量垂直；线线夹角：方向向量乘积公式求角；线面夹角：方向向量与法向量乘积公式求角；面面夹角：法向量乘积求角。

8. 点点距离：向量模长公式；点面距离：设点为o，取平面内点p，向量op*法向量n；线线距离：直线a，b，E、F为线a，b上点；直线ab距离d为=向量EF*公垂线方向向量n/向量n模；直线方向向量求法：(1)直线l:ax+by+c=0，则直线l的方向向量为=(-b,a)或(b,-a)。(2)若直线l的斜率为k，则l的一个方向向量为=(1,k)。(3)若A(x1,y1)，

立体几何中的向量公式演示教学

向量法解立体几何

用传统的方法解立体几何需要烦琐的分析、复杂的计算。而用向量法解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果。

一. 证明两直线平行

已知两直线a 和b , b D C a B A ∈∈,,,,则⇔b a //存在唯一的实数λ使CD AB λ=

二. 证明直线和平面平行

1.已知直线αα∈∈⊄E D C a B A a ,,,,,且三点不共线，则a ∥⇔α存在有序实数对μλ,使μλ+=

2.已知直线,,,a B A a ∈⊄α和平面 α的法向量,则a ∥⊥⇔α

三.证明两个平面平行

已知两个不重合平面βα,,法向量分别为,,则α∥n m //⇔β

四．证明两直线垂直已知直线b a ,。b D C a B A ∈∈,,,，则0=•⇔⊥b a

五.证明直线和平面垂直

已知直线α和平面a ，且A 、B a ∈,面α的法向量为,则a //⇔⊥α

六.证明两个平面垂直

已知两个平面βα,,两个平面的法向量分别为n m ,,则⊥⇔⊥βα

七．求两异面直线所成的角

已知两异面直线b a ,，b D C a B A ∈∈,,,，则异面直线所成的角θ

为：CD

AB •=θcos

八．求直线和平面所成的角

已知A,B 为直线a 上任意两点，为平面α的法向量，则a 和平面α所成的角θ为:

1．

⎪⎭

⎫ ⎝⎛•2,0π

时-=2πθ 2．

⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,2

时2πθ-= 九．求二面角

1．已知二面角βα--l ，且l CD l AB D C B A ⊥⊥∈∈,,,,且βα，则二面角的平面角θ

的大小为：=θ

立体几何中的向量方法1——法向量

完全确定的.
平面的法向量：
l 注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
n

设直线 l 的方向向量分别为 a ，平面的法向量分别为 u ，线面平行： l ∥ a u a u 0 ；
a
u
l

设平面 , 的法向量分别为 u, v ，面面平行： ∥ u ∥ v u kv .
1.已知直三棱柱ABC A1B1C1中BCA 900，CB CA CC1， E, F 分别是A1B1，A1C1的中点，求BE和AF所成角的余弦值。
C1 B1 C B E A F
A1
2.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中,O为AC,BD的 D1 交点,E为CC1中点,求证:A1O⊥平面BDE
u

v
设直线 l 的方向向量分别为 a ，平面的法向量分别为 u ，线面垂直： l ⊥ a ∥ u a ku ； l
a

u
设平面 , 的法向量分别为 u, v ，
面面垂直： ⊥ u ⊥ v u v 0.
A1 D B1
C1
E
C B
A
O
立体几何中的向量方法(法向量)
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那么向量 n

立体几何中的向量方法__平行、垂直

A1
r 设平面OA1D1的法向量为u=（x,y,z） B1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0（1，1，0），A（1 0，0，2），
D（1 0，2，2）
uuuur
uuuur
A
由OA1 （-1，-1，2），OD1 （-1，1，2）得
x x
y y
2z 2z
0 0
解得
x 2z y0
，
O xB
取z 1 得平面OA1D1的法向量的坐标为u=(2,0,1)
（1）a=(2,3, 1),b (6, 9,3) 平行
uur
r
(2)a=(2, 0, 4), b (6,3,3) 垂直
(2)直线与平面的位置关系
r
r
设直线L的r方向向r 量为ra,平r面的法向量为u，且L
l // a u a • u 0；
rr r r
l a // u a ku, k R
uur
r
(2)u=(2, 4,5), v (3,1, 2) 平行
巩固提高
解答
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
A1
D1
通过做此题，总结出用空间 B1
C1
向量解决立体几何的“三部
曲”
A O
B
D C
解：以A为原点，建立空间直角坐标系