Floyd算法求解最短路径问题(完整程序代码)
最短路径——floyd算法代码（c语言）
最短路径——floyd算法代码（c语⾔）最短路径问题昨天⾃⼰试了试写⼀下dijkstra的算法博客今天来更floyd算法，感觉⾮常简单果然暴⼒才是解决⼀切的王道⼀、总体思想floyd算法就是每⼀次从邻接矩阵选取⼀个顶点k，然后再去矩阵中遍历两个顶点i，j，看看是i→j的路径短，还是i→k→j的路径短，就是完全的暴⼒，算法和代码⾮常简单⼆、代码实现1void Floyd(Graph G)2 {3int arr[G.vexnum][G.vexnum];4for(int i = 0; i < G.vexnum; i++)5for(int j = 0; j < G.vexnum; i++)6 arr[i][j] = G.edge[i][j];78for(int k; k < G.vexnum; k++)9for(int i = 0; i < G.vexnum; i++)10for(int j = 0; j < G.vexnum; j++)11if(arr[i][j] > arr[i][k] + arr[k][j])12 arr[i][j] = arr[i][k] + arr[k][j];13 }三、代码解释其实看上⾯的代码量和代码就知道这个算法很简单 =_=传⼊Floyd算法的参数是Graph G⾸先开辟⼀个⼆维数组arr[][]，并且把图的邻接矩阵G.edge[][]赋值给arr[][]，算法的主要思想就是来修改arr[][]值暴⼒出最短路径1int arr[G.vexnum][G.vexnum];//开辟数组arr[][]接收图G.edge[][]的值2for(int i = 0; i < G.vexnum; i++)3for(int j = 0; j < G.vexnum; i++)4 arr[i][j] = G.edge[i][j];//遍历赋值然后就是每次选择⼀个顶点k，再去找两个顶点i，j，对⽐看看是i→j的路径短，还是i→k→j的路径短也就是arr[i][j] 和 arr[i][k] + arr[k][j]两个的值谁的⽐较⼩，然后修改arr[][]⼀直到遍历完毕1for(int k; k < G.vexnum; k++)//选取k顶点2for(int i = 0; i < G.vexnum; i++)3for(int j = 0; j < G.vexnum; j++)//再选取i，j两个顶点4if(arr[i][j] > arr[i][k] + arr[k][j])//判断i→j的路径和i→k→j的路径谁⽐较短5 arr[i][j] = arr[i][k] + arr[k][j];//如果i→k→j的路径更短，则修改数组arr[][]写完感觉好短。
matlab弗洛伊德算法求出最短距离
最短路径Floyd算法
Floyd算法是一种用于解决最短路径问题的动态规划算法，其时间复杂度为O(n^3 )。
Floyd算法可以求出任意两点之间的最短路径，并且可以处理负权边（但不能处理负权环）。
算法思想
Floyd算法的基本思想是：对于图中的每一对顶点i和j，看看是否存在一个顶点k，使得从i 到k 再到j 比已知的路径更短。
如果是更短的，就修改当前路径为更短的那个路径。
算法步骤
1.初始化：将图中任意两点之间的最短路径长度初始化为它们之间的权值，如果两点之间没有直接的边，则权值为∞。
2.对于每一个中间节点k，依次考察所有的节点对(i,j)，如果从i到j经过节点k比原来的路径更短，则更新最短路径长度。
3.最后得到的矩阵即为任意两点之间的最短路径长度。
Matlab代码
function [D,P] = floyd(W)
% W为邻接矩阵
% D为最短距离矩阵
% P为最短路径矩阵
n = size(W,1);
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if W(i,k)+W(k,j)<W(i,j)
W(i,j)=W(i,k)+W(k,j);
P(i,j)=k;
end
end
end
end。
floyd算法 c语言
floyd算法c语言Floyd算法是一种用于解决图中所有节点对最短路径问题的经典算法。
它通过动态规划的思想，逐步更新节点之间的最短路径长度，最终得到所有节点对之间的最短路径。
Floyd算法的基本思想是，对于图中的每一对节点i和j，如果存在一个节点k，使得从节点i到节点j的路径经过节点k比直接从节点i到节点j的路径更短，那么就更新节点i到节点j的最短路径长度为经过节点k的路径长度。
具体实现Floyd算法的C语言代码如下：```c#include <stdio.h>#define INF 99999#define V 4void floyd(int graph[V][V]) {int dist[V][V];int i, j, k;// 初始化最短路径矩阵for (i = 0; i < V; i++) {for (j = 0; j < V; j++) {dist[i][j] = graph[i][j];}}// 逐步更新最短路径矩阵for (k = 0; k < V; k++) {for (i = 0; i < V; i++) {for (j = 0; j < V; j++) {if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];}}}}// 打印最短路径矩阵printf("最短路径矩阵:\n");for (i = 0; i < V; i++) {for (j = 0; j < V; j++) {if (dist[i][j] == INF) {printf("INF ");} else {printf("%d ", dist[i][j]);}}printf("\n");}}int main() {int graph[V][V] = {{0, 5, INF, 10},{INF, 0, 3, INF},{INF, INF, 0, 1},{INF, INF, INF, 0}};floyd(graph);return 0;}```在上述代码中，我们首先定义了一个4x4的图的邻接矩阵，其中INF表示两个节点之间没有直接连接。
floyd算法伪代码
floyd算法伪代码Floyd算法，又称为弗洛伊德算法，是一种用于求解图中所有节点对最短路径的动态规划算法。
其主要思想是通过三重循环遍历图中的所有节点对，逐步更新节点对之间的最短路径。
伪代码如下：1. 初始化一个二维矩阵distance，用于保存节点对之间的最短路径长度。
矩阵的大小为n x n，n为图中节点的个数。
2. 对distance进行初始化，将矩阵中所有元素的值设置为正无穷。
3. 对于图中的每一条边(i, j)，更新distance矩阵中对应位置的值为边的权重。
若图中不存在边(i, j)，则对应的distance[i][j]的值保持为正无穷。
4. 对于每一个节点k，遍历图中的所有节点i和j，逐步更新distance[i][j]的值。
- 若distance[i][j]的值大于distance[i][k]加上distance[k][j]的值，则将distance[i][j]更新为distance[i][k]加上distance[k][j]。
- 同时，记录下distance[i][j]更新时所经过的节点k，以便最后通过逆向追踪路径。
5. 遍历结束后，distance矩阵中的值即为所有节点对之间的最短路径长度。
6.若要获取最短路径的具体路径信息，需要通过记录的节点k进行逆向追踪：- 定义一个二维矩阵path，用于保存路径信息。
矩阵的大小为n x n。
- 对于i和j，若存在节点k记录在path[i][j]中，则表示从i到j的最短路径经过节点k。
- 可以通过遍历path矩阵的元素，根据节点k的记录结果逆向构造最短路径。
下面是Floyd算法的完整伪代码：```FloydAlgorithm(graph):n = graph.sizedistance = create a n x n matrix and initialize all elements to infinitypath = create a n x n matrixfor each edge (u, v) in graph:distance[u][v] = weight of edge (u, v)for k from 1 to n:for i from 1 to n:for j from 1 to n:if distance[i][j] > distance[i][k] + distance[k][j]:distance[i][j] = distance[i][k] + distance[k][j]path[i][j] = kreturn distance, pathgetShortestPath(u, v, path):if path[u][v] is null:return []else:k = path[u][v]return getShortestPath(u, k, path) + [k] + getShortestPath(k, v, path)main:graph = input the graphdistance, path = FloydAlgorithm(graph)for each pair (u, v) in graph:shortestPath = getShortestPath(u, v, path)print "Shortest path from", u, "to", v, ":", u, "->", shortestPath, "->", v```以上是Floyd算法的伪代码实现，可以通过该算法求解图中所有节点对之间的最短路径。
Floyd最短路算法的MATLAB程序
Floyd最短路算法的MATLAB程序Floyd最短路算法的MATLAB程序2006-08-17 20:14%floyd.m%采用floyd算法计算图a中每对顶点最短路 %d是矩离矩阵%r是路由矩阵function [d,r]=floyd(a)n=size(a,1);d=a;for i=1:nfor j=1:nr(i,j)=j;endendrfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)< p="">d(i,j)=d(i,k)+d(k,j); r(i,j)=r(i,k)endendendkdrendvoid Dijkstral(int v0){int i;bool s[MAX_VEX];for(i=0;i<dim;i++)< p="">{d[v0][i]=map[v0][i];s[i]=false;if((i!=0)&&(d[v0][i]<inf))< p="">p[v0][i]=v0;elsep[v0][i]=-1;}s[v0]=true;d[v0][v0]=0;for(i=0;i<dim;i++)< p="">{double min=INF;int u=v0;for(int j=0;j<dim;j++)< p="">if(!s[j]&&d[v0][j]<min)< p="">{u=j;min=d[v0][j];}s[u]=true;for(int w=0;w<dim;w++)< p="">{if((!s[w])&&(d[v0][w]>d[v0][u]+map[u][w])) {d[v0][w]=d[v0][u]+map[u][w];p[v0][w]=u;}}}}Justin Hou介绍寻找最有价值路径（c语言）描述：从上（入口）往下行走，直到最下节点（出口）结束，将所经节点上的数值相加，要求找到一条最有价值路径（既是路径总数值最大）并输出总数值。
弗洛伊德算法求解最短路径
弗洛伊德算法求解最短路径算法的基本思想是采用动态规划的方式，逐步地计算图中所有顶点对之间的最短路径长度。
算法首先初始化一个二维数组D，其中D[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短路径长度。
初始时，D[i][j]的值为无穷大，表示顶点i到顶点j没有直接路径。
然后，算法通过逐步更新D数组的值，不断地优化顶点对之间的最短路径。
算法的具体步骤如下：1.初始化D数组：对于图中的每一对顶点i和j，如果i等于j，则置D[i][j]=0，表示顶点到自身的距离为0；否则，如果i和j之间有边存在，则置D[i][j]为边的权重，否则置为无穷大。
2.对于图中的每一个顶点k，依次考虑顶点对(i,j)，其中i和j分别表示图中的任意两个顶点。
如果从顶点i先经过顶点k再到达顶点j的路径长度小于当前D[i][j]的值，则更新D[i][j]为新的较短路径长度。
3.对于每一对顶点i和j，以每一个顶点k为中间节点，重复步骤2、这样，在每一次迭代中，D数组会根据当前的顶点k得到更短的路径。
4.根据更新后的D数组，可以得到任意两个顶点之间的最短路径长度。
如果需要获取最短路径上的具体路径，则可以使用一个辅助数组P，其中P[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短路径上，从顶点i到顶点j前一个顶点的编号。
通过回溯P数组，可以得到最短路径上的所有顶点。
弗洛伊德算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n表示图中顶点的个数。
由于要对所有顶点对之间的路径长度进行计算，因此算法的运行时间较长。
然而，该算法适用于复杂图中的最短路径计算，可以得到任意两个顶点之间的最短路径及其长度。
弗洛伊德算法在实际应用中有广泛的应用。
例如，在路由算法中，可以使用弗洛伊德算法来计算网络中所有节点之间的最短路径，并根据计算结果进行路由选择。
此外，弗洛伊德算法也可以应用于交通规划、航空航线优化等领域。
总之，弗洛伊德算法是一种用于求解图中所有顶点对之间最短路径的动态规划算法。
通过逐步更新路径长度的方式，可以得到任意两个顶点之间的最短路径及其长度。
算法12--最短路径--弗洛伊德(Floyd)算法
D(2) [i][j] = min{D(1) [i][j], D(1) [i][2]+D(1) [2][j]}
6
0123
V2 8 V3
8
0 1 1920 43 0
3
4 52
ADA(((-32101)))==
8
11021 0 98 2 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
90 110 6 0 3
12
5.算法实现
• 图用邻接矩阵存储 • edge[ ][ ]存放最短路径长度 • path[i][j]是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号
void floyd ( ){
for ( int i = 0; i < n; i++ ) //矩阵dist与path初始化
for ( int j = 0; j < n; j++ ) { //置A(-1)
例题：
6 A4 3 11
C
初始：
0 6
4 0
11 2
3 0 B
路径： BA CA
AB AC BC
2 0 4 11
加入A： 6 0 2 37 0
AB AC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入B： 6 0 2
37 0
AB ABC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入C： 5 0 2
37 0
AB ABC
8
0092 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
0160 3
1
以D(0)为基础，以V1为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短
最短路径(弗洛伊德算法)
最短路径问题是图论中的经典问题，目的是在图中找到从起点到终点的最短路径。
弗洛伊德算法（Floyd-Warshall algorithm）是一种解决此问题的动态规划算法。
基本思想是，通过逐步考虑中间点来比较从起点到终点的所有可能路径，从而找到最短路径。
算法步骤如下：
1. 初始化距离矩阵。
如果存在从i到j的边，则将距离矩阵的第i行第j列的元素设置为边的权值，否则设置为无穷大。
2. 对于每个中间点k，通过比较包含k和不包含k的路径来更新距离矩阵。
如果通过k从i到j的路径比直接从i到j的路径更短，则更新距离矩阵的第i行第j列的元素。
3. 重复步骤2，直到考虑了所有的中间点。
4. 最终的距离矩阵就包含了从每个点i到每个点j的最短距离。
这个算法的时间复杂度是O(n^3)，其中n是图中顶点的数量。
如果图中存在负权环，那么该算法将无法找到最短路径。
Floyd最短路算法的MATLAB程序
Floyd最短路算法的MATLAB程序Floyd最短路算法的MATLAB程序%floyd.m%采用floyd算法计算图a中每对顶点最短路%d是矩离矩阵%r是路由矩阵function [d,r]=floyd(a)n=size(a,1);d=a;for i=1:nfor j=1:nr(i,j)=j;endendrfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);r(i,j)=r(i,k)endendendkdrend数学算法（2）实例2：三角函数曲线（2）function shili02h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 350],... 'name','实例02');x=-pi:0.05:pi;y=sin(x)+cos(x);plot(x,y,'-*r','linewidth',1); grid onxlabel('自变量X');ylabel('函数值Y');title('三角函数');实例3：图形的叠加function shili03h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 350],... 'name','实例03');x=-pi:0.05:pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,...'-*r',...x,y2,...'--og');grid onxlabel('自变量X');ylabel('函数值Y');title('三角函数');实例4：双y轴图形的绘制function shili04h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例04');x=0:900;a=1000;b=0.005;y1=2*x;y2=cos(b*x);[haxes,hline1,hline2]=plotyy(x,y1,x,y2,'semilogy','plot'); axes(haxes(1))ylabel('semilog plot');axes(haxes(2))ylabel('linear plot');实例6：图形标注function shili06h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 400],...'name','实例06');t=0:pi/10:2*pi;h=plot(t,sin(t));xlabel('t=0到2\pi','fontsize',16);ylabel('sin(t)','fontsize',16);title('\it{从 0to2\pi 的正弦曲线}','fontsize',16)x=get(h,'xdata');y=get(h,'ydata');imin=find(min(y)==y);imax=find(max(y)==y);text(x(imin),y(imin),...['\leftarrow最小值=',num2str(y(imin))],...'fontsize',16)text(x(imax),y(imax),...['\leftarrow最大值=',num2str(y(imax))],...'fontsize',16)实例7：条形图形function shili07h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 350],...'name','实例07');tiao1=[562 548 224 545 41 445 745 512];tiao2=[47 48 57 58 54 52 65 48];t=0:7;bar(t,tiao1)xlabel('X轴');ylabel('TIAO1值');h1=gca;h2=axes('position',get(h1,'position'));plot(t,tiao2,'linewidth',3)set(h2,'yaxislocation','right','color','none','xticklabel',[]) 实例8：区域图形function shili08h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例08');x=91:95;profits1=[88 75 84 93 77];profits2=[51 64 54 56 68];profits3=[42 54 34 25 24];profits4=[26 38 18 15 4];area(x,profits1,'facecolor',[0.5 0.9 0.6],...'edgecolor','b',...'linewidth',3)hold onarea(x,profits2,'facecolor',[0.9 0.85 0.7],... 'edgecolor','y',...'linewidth',3)hold onarea(x,profits3,'facecolor',[0.3 0.6 0.7],... 'edgecolor','r',...'linewidth',3)hold onarea(x,profits4,'facecolor',[0.6 0.5 0.9],... 'edgecolor','m',...'linewidth',3)hold offset(gca,'xtick',[91:95])set(gca,'layer','top')gtext('\leftarrow第一季度销量')gtext('\leftarrow第二季度销量')gtext('\leftarrow第三季度销量')gtext('\leftarrow第四季度销量')xlabel('年','fontsize',16);ylabel('销售量','fontsize',16);实例9：饼图的绘制function shili09h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例09');t=[54 21 35;68 54 35;45 25 12;48 68 45;68 54 69];x=sum(t);h=pie(x);textobjs=findobj(h,'type','text');str1=get(textobjs,{'string'});val1=get(textobjs,{'extent'});oldext=cat(1,val1{:});names={'商品一：';'商品二：';'商品三：'};str2=strcat(names,str1);set(textobjs,{'string'},str2)val2=get(textobjs,{'extent'});newext=cat(1,val2{:});offset=sign(oldext(:,1)).*(newext(:,3)-oldext(:,3))/2; pos=get(textobjs,{'position'});textpos=cat(1,pos{:});textpos(:,1)=textpos(:,1)+offset;set(textobjs,{'position'},num2cell(textpos,[3,2])实例10：阶梯图function shili10h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 400],...'name','实例10');a=0.01;b=0.5;t=0:10;f=exp(-a*t).*sin(b*t);stairs(t,f)hold onplot(t,f,':*')hold offglabel='函数e^{-(\alpha*t)}sin\beta*t的阶梯图';gtext(glabel,'fontsize',16)xlabel('t=0:10','fontsize',16)axis([0 10 -1.2 1.2])实例11：枝干图function shili11h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 350],...'name','实例11');x=0:pi/20:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);h1=stem(x,y1+y2);hold onh2=plot(x,y1,'^r',x,y2,'*g');hold offh3=[h1(1);h2];legend(h3,'y1+y2','y1=sin(x)','y2=cos(x)') xlabel('自变量X');ylabel('函数值Y');title('正弦函数与余弦函数的线性组合');实例12：罗盘图function shili12h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例12');winddirection=[54 24 65 84256 12 235 62125 324 34 254];windpower=[2 5 5 36 8 12 76 14 10 8];rdirection=winddirection*pi/180;[x,y]=pol2cart(rdirection,windpower); compass(x,y);desc={'风向和风力','北京气象台','10月1日0：00到','10月1日12：00'};gtext(desc)实例13：轮廓图function shili13h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例13');[th,r]=meshgrid((0:10:360)*pi/180,0:0.05:1); [x,y]=pol2cart(th,r);z=x+i*y;f=(z.^4-1).^(0.25);contour(x,y,abs(f),20)axis equalxlabel('实部','fontsize',16);ylabel('虚部','fontsize',16);h=polar([0 2*pi],[0 1]);delete(h)hold oncontour(x,y,abs(f),20)实例14：交互式图形function shili14h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例14');axis([0 10 0 10]);hold onx=[];y=[];n=0;disp('单击鼠标左键点取需要的点'); disp('单击鼠标右键点取最后一个点'); but=1;while but==1[xi,yi,but]=ginput(1);plot(xi,yi,'bo')n=n+1;disp('单击鼠标左键点取下一个点'); x(n,1)=xi;y(n,1)=yi;endt=1:n;ts=1:0.1:n;xs=spline(t,x,ts);ys=spline(t,y,ts);plot(xs,ys,'r-');hold off实例15：变换的傅立叶函数曲线function shili15h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例15');axis equalm=moviein(20,gcf);set(gca,'nextplot','replacechildren') h=uicontrol('style','slider','position',... [100 10 500 20],'min',1,'max',20)for j=1:20plot(fft(eye(j+16)))set(h,'value',j)m(:,j)=getframe(gcf);endclf;axes('position',[0 0 1 1]);movie(m,30)实例16：劳伦兹非线形方程的无序活动function shili15h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例15');axis equalm=moviein(20,gcf);set(gca,'nextplot','replacechildren') h=uicontrol('style','slider','position',... [100 10 500 20],'min',1,'max',20)for j=1:20plot(fft(eye(j+16)))set(h,'value',j)m(:,j)=getframe(gcf);endclf;axes('position',[0 0 1 1]);movie(m,30)实例17：填充图function shili17h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 250],... 'name','实例17');t=(1:2:15)*pi/8;x=sin(t);y=cos(t);fill(x,y,'r')axis square offtext(0,0,'STOP',...'color',[1 1 1],...'fontsize',50,...'horizontalalignment','center') 实例18：条形图和阶梯形图function shili18h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 250],... 'name','实例18');subplot(2,2,1)x=-3:0.2:3;y=exp(-x.*x);bar(x,y)title('2-D Bar Chart') subplot(2,2,2)x=-3:0.2:3;y=exp(-x.*x);bar3(x,y,'r')title('3-D Bar Chart') subplot(2,2,3)x=-3:0.2:3;y=exp(-x.*x);stairs(x,y)title('Stair Chart')subplot(2,2,4)x=-3:0.2:3;y=exp(-x.*x);barh(x,y)title('Horizontal Bar Chart') 实例19：三维曲线图function shili19h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 400],... 'name','实例19');subplot(2,1,1)x=linspace(0,2*pi);y1=sin(x);y2=cos(x);y3=sin(x)+cos(x);z1=zeros(size(x));z2=0.5*z1;z3=z1;plot3(x,y1,z1,x,y2,z2,x,y3,z3) grid onxlabel('X轴');ylabel('Y轴');zlabel('Z轴');title('Figure1:3-D Plot') subplot(2,1,2)x=linspace(0,2*pi);y1=sin(x);y3=sin(x)+cos(x);z1=zeros(size(x));z2=0.5*z1;z3=z1;plot3(x,z1,y1,x,z2,y2,x,z3,y3)grid onxlabel('X轴');ylabel('Y轴');zlabel('Z轴');title('Figure2:3-D Plot')实例21：PEAKS函数曲线function shili21h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 100 450 450],...'name','实例21');[x,y,z]=peaks(30);subplot(2,1,1)x=x(1,:);y=y(:,1);i=find(y>0.8&y<1.2);j=find(x>-0.6&x<0.5);z(i,j)=nan*z(i,j);surfc(x,y,z)xlabel('X轴');ylabel('Y轴');zlabel('Z轴');title('Figure1:surfc函数形成的曲面') subplot(2,1,2)x=x(1,:);i=find(y>0.8&y<1.2);j=find(x>-0.6&x<0.5);z(i,j)=nan*z(i,j);surfl(x,y,z)xlabel('X轴');ylabel('Y轴');zlabel('Z轴');title('Figure2:surfl函数形成的曲面')实例22：片状图function shili22h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 550 350],...'name','实例22');subplot(1,2,1)x=rand(1,20);y=rand(1,20);z=peaks(x,y*pi);t=delaunay(x,y);trimesh(t,x,y,z)hidden offtitle('Figure1:Triangular Surface Plot'); subplot(1,2,2)x=rand(1,20);y=rand(1,20);z=peaks(x,y*pi);t=delaunay(x,y);trisurf(t,x,y,z)title('Figure1:Triangular Surface Plot'); 实例23：视角的调整function shili23h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 350],... 'name','实例23');x=-5:0.5:5;[x,y]=meshgrid(x);r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;z=sin(r)./r;subplot(2,2,1)surf(x,y,z)xlabel('X-axis')ylabel('Y-axis')zlabel('Z-axis')title('Figure1')view(-37.5,30)subplot(2,2,2)surf(x,y,z)xlabel('X-axis')ylabel('Y-axis')zlabel('Z-axis')title('Figure2')view(-37.5+90,30)subplot(2,2,3)surf(x,y,z)xlabel('X-axis')ylabel('Y-axis')zlabel('Z-axis')title('Figure3')view(-37.5,60)subplot(2,2,4)surf(x,y,z)xlabel('X-axis')ylabel('Y-axis')zlabel('Z-axis')title('Figure4')view(180,0)实例24：向量场的绘制function shili24h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 350],... 'name','实例24');subplot(2,2,1)z=peaks;ribbon(z)title('Figure1')subplot(2,2,2)[x,y,z]=peaks(15);[dx,dy]=gradient(z,0.5,0.5); contour(x,y,z,10)hold onquiver(x,y,dx,dy)hold offtitle('Figure2')subplot(2,2,3)[x,y,z]=peaks(15);[nx,ny,nz]=surfnorm(x,y,z); surf(x,y,z)hold onquiver3(x,y,z,nx,ny,nz)hold offtitle('Figure3')subplot(2,2,4)x=rand(3,5);y=rand(3,5);z=rand(3,5);c=rand(3,5);fill3(x,y,z,c)grid ontitle('Figure4')实例26：柱状图function shili26h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 50 450 450],... 'name','实例26');subplot(2,1,1)x=[5 2 18 7 39 8 65 5 54 3 2];bar(x)xlabel('X轴');ylabel('Y轴');title('第一子图');subplot(2,1,2)y=[5 2 18 7 39 8 65 5 54 3 2];xlabel('X轴');ylabel('Y轴');title('第二子图');实例28：羽状图function shili28h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 350],... 'name','实例28');subplot(2,1,1)alpha=90:-10:0;r=ones(size(alpha));m=alpha*pi/180;n=r*10;[u,v]=pol2cart(m,n);feather(u,v)title('羽状图')axis([0 20 0 10])subplot(2,1,2)t=0:0.5:10;x=0.05+i;y=exp(-x*t);feather(y)title('复数矩阵的羽状图')实例29：立体透视（1）function shili29h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 250],... 'name','实例29');[x,y,z]=meshgrid(-2:0.1:2,...-2:0.1:2);v=x.*exp(-x.^2-y.^2-z.^2); grid onfor i=-2:0.5:2;h1=surf(linspace(-2,2,20),... linspace(-2,2,20),...zeros(20)+i);rotate(h1,[1 -1 1],30)dx=get(h1,'xdata');dy=get(h1,'ydata');dz=get(h1,'zdata');delete(h1)slice(x,y,z,v,[-2 2],2,-2)hold onslice(x,y,z,v,dx,dy,dz)hold offaxis tightview(-5,10)drawnowend实例30：立体透视（2）function shili30h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 250],... 'name','实例30');[x,y,z]=meshgrid(-2:0.1:2,...-2:0.1:2,...-2:0.1:2);v=x.*exp(-x.^2-y.^2-z.^2);[dx,dy,dz]=cylinder;slice(x,y,z,v,[-2 2],2,-2)for i=-2:0.2:2h=surface(dx+i,dy,dz);rotate(h,[1 0 0],90)xp=get(h,'xdata');yp=get(h,'ydata');zp=get(h,'zdata');delete(h)hold onhs=slice(x,y,z,v,xp,yp,zp);axis tightxlim([-3 3])view(-10,35)drawnowdelete(hs)hold offend实例31：表面图形function shili31h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 550 250],... 'name','实例31');subplot(1,2,1)x=rand(100,1)*16-8;y=rand(100,1)*16-8;r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;z=sin(r)./r;xlin=linspace(min(x),max(x),33); ylin=linspace(min(y),max(y),33);[X,Y]=meshgrid(xlin,ylin);Z=griddata(x,y,z,X,Y,'cubic'); mesh(X,Y,Z)axis tighthold onplot3(x,y,z,'.','Markersize',20) subplot(1,2,2)k=5;n=2^k-1;theta=pi*(-n:2:n)/n;phi=(pi/2)*(-n:2:n)'/n;X=cos(phi)*cos(theta);Y=cos(phi)*sin(theta);Z=sin(phi)*ones(size(theta)); colormap([0 0 0;1 1 1])C=hadamard(2^k);surf(X,Y,Z,C)axis square实例33：曲线转换按钮h0=figure('toolbar','none',... 'position',[200 150 450 250],... 'name','实例33');x=0:0.5:2*pi;y=sin(x);h=plot(x,y);grid onhuidiao=[...'if i==1,',...'i=0;,',...'y=cos(x);,',...'set(hm,''string'',''正弦函数''),',...'h=plot(x,y);,',...'grid on,',...'else if i==0,',...'i=1;,',...'y=sin(x);,',...'set(hm,''string'',''余弦函数''),',...'delete(h),',...'h=plot(x,y);,',...'grid on,',...'end,',...'end'];hm=uicontrol(gcf,'style','pushbutton',... 'string','余弦函数',...'callback',huidiao);i=1;set(hm,'position',[250 20 60 20]);set(gca,'position',[0.2 0.2 0.6 0.6])title('按钮的使用')hold on实例34：栅格控制按钮h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例34');x=0:0.5:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)huidiao1=[...'set(h_toggle2,''value'',0),',...];huidiao2=[...'set(h_toggle1,''value'',0),',...'grid off,',...];h_toggle1=uicontrol(gcf,'style','togglebutton',... 'string','grid on',...'value',0,...'position',[20 45 50 20],...'callback',huidiao1);h_toggle2=uicontrol(gcf,'style','togglebutton',... 'string','grid off',...'value',0,...'position',[20 20 50 20],...'callback',huidiao2);set(gca,'position',[0.2 0.2 0.6 0.6])title('开关按钮的使用')实例35：编辑框的使用h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 350 250],...'name','实例35');f='Please input the letter';huidiao1=[...'g=upper(f);,',...'set(h2_edit,''string'',g),',...];huidiao2=[...'g=lower(f);,',...'set(h2_edit,''string'',g),',...];h1_edit=uicontrol(gcf,'style','edit',...'position',[100 200 100 50],...'HorizontalAlignment','left',...'string','Please input the letter',...'callback','f=get(h1_edit,''string'');',...'background','w',...'max',5,...'min',1);h2_edit=uicontrol(gcf,'style','edit',...'HorizontalAlignment','left',...'position',[100 100 100 50],...'background','w',...'max',5,...'min',1);h1_button=uicontrol(gcf,'style','pushbutton',... 'string','小写变大写',...'position',[100 45 100 20],...'callback',huidiao1);h2_button=uicontrol(gcf,'style','pushbutton',... 'string','大写变小写',...'position',[100 20 100 20],...'callback',huidiao2);实例36：弹出式菜单h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例36');x=0:0.5:2*pi;y=sin(x);h=plot(x,y);grid onhm=uicontrol(gcf,'style','popupmenu',... 'string',...'sin(x)|cos(x)|sin(x)+cos(x)|exp(-sin(x))',... 'position',[250 20 50 20]);set(hm,'value',1)huidiao=[...'v=get(hm,''value'');,',...'switch v,',...'case 1,',...'delete(h),',...'y=sin(x);,',...'h=plot(x,y);,',...'grid on,',...'case 2,',...'delete(h),',...'y=cos(x);,',...'h=plot(x,y);,',...'grid on,',...'case 3,',...'delete(h),',...'y=sin(x)+cos(x);,',...'h=plot(x,y);,',...'grid on,',...'case 4,',...'delete(h),',...'y=exp(-sin(x));,',...'h=plot(x,y);,',...'grid on,',...'end'];set(hm,'callback',huidiao)set(gca,'position',[0.2 0.2 0.6 0.6]) title('弹出式菜单的使用')hold on实例37：滑标的使用h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例37');[x,y]=meshgrid(-8:0.5:8);r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;z=sin(r)./r;h0=mesh(x,y,z);h1=axes('position',...[0.2 0.2 0.5 0.5],...'visible','off');htext=uicontrol(gcf,...'units','points',...'position',[20 30 45 15],...'string','brightness',...'style','text');hslider=uicontrol(gcf,...'units','points',...'position',[10 10 300 15],...'min',-1,...'max',1,...'style','slider',...'callback',...'brighten(get(hslider,''value''))'); 实例38：多选菜单h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例38');[x,y]=meshgrid(-8:0.5:8);r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;z=sin(r)./r;h0=mesh(x,y,z);hlist=uicontrol(gcf,'style','listbox',...'string','default|spring|summer|autumn|winter',... 'max',5,...'min',1,...'position',[20 20 80 100],...'callback',[...'k=get(hlist,''value'');,',...'switch k,',...'case 1,',...'colormap default,',...'case 2,',...'colormap spring,',...'case 3,',...'colormap summer,',...'case 4,',...'colormap autumn,',...'case 5,',...'colormap winter,',...'end']);实例39：菜单控制的使用h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例39');x=0:0.5:2*pi;y=cos(x);h=plot(x,y);grid onset(gcf,'toolbar','none')hm=uimenu('label','example');huidiao1=[...'set(hm_gridon,''checked'',''on''),',...'set(hm_gridoff,''checked'',''off''),',...'grid on'];huidiao2=[...'set(hm_gridoff,''checked'',''on''),',...'set(hm_gridon,''checked'',''off''),',...'grid off'];hm_gridon=uimenu(hm,'label','grid on',... 'checked','on',...'callback',huidiao1);hm_gridoff=uimenu(hm,'label','grid off',... 'checked','off',...'callback',huidiao2);实例40：UIMENU菜单的应用h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例40');h1=uimenu(gcf,'label','函数');h11=uimenu(h1,'label','轮廓图',...'callback',[...'set(h31,''checked'',''on''),',...'set(h32,''checked'',''off''),',...'[x,y,z]=peaks;,',...'contour3(x,y,z,30)']);h12=uimenu(h1,'label','高斯分布',... 'callback',[...'set(h31,''checked'',''on''),',...'set(h32,''checked'',''off''),',...'mesh(peaks);,',...'axis tight']);h13=uimenu(h1,'label','Sinc函数',... 'callback',[...'set(h31,''checked'',''on''),',...'set(h32,''checked'',''off''),',...'[x,y]=meshgrid(-8:0.5:8);,',...'r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;,',...'z=sin(r)./r;,',...'mesh(x,y,z)']);h2=uimenu(gcf,'label','色彩');hl2(1)=uimenu(h2,'label','Default',... 'checked','on',...'callback',...[...'set(hl2,''checked'',''off''),',...'set(hl2(1),''checked'',''on''),',...'colormap(''default'')']);hl2(2)=uimenu(h2,'label','spring',... 'callback',...[...'set(hl2,''checked'',''off''),',...'set(hl2(2),''checked'',''on''),',...'colormap(spring)']);hl2(3)=uimenu(h2,'label','Summer',... 'callback',...[...'set(hl2,''checked'',''off''),',...'set(hl2(3),''checked'',''on''),',...'colormap(summer)']);hl2(4)=uimenu(h2,'label','Autumn',... 'callback',...[...'set(hl2,''checked'',''off''),',...'set(hl2(4),''checked'',''on''),',...'colormap(autumn)']);hl2(5)=uimenu(h2,'label','Winter',... 'callback',...[...'set(hl2,''checked'',''off''),',...'set(hl2(5),''checked'',''on''),',...'colormap(winter)']);h3=uimenu(gcf,'label','坐标选项');h31=uimenu(h3,'label','Axis on',... 'callback',...[...'axis on,',...'set(h31,''checked'',''on''),',...'set(h32,''checked'',''off'')']);h32=uimenu(h3,'label','Axis off',... 'callback',...[...'axis off,',...'set(h32,''checked'',''on''),',...'set(h31,''checked'',''off'')']);实例41：除法计算器h=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例41');h1=uicontrol(gcf,'style','edit',...'position',[80 200 100 20],...'HorizontalAlignment','right',...'callback',['m=get(h1,''string'');,',...'a=str2num(m);']);h2=uicontrol(gcf,'style','edit',...'HorizontalAlignment','right',...'position',[80 150 100 20],...'callback',['n=get(h2,''string'');,',...'b=str2num(n);']);h3=uicontrol(gcf,'style','text',...'string','被除数',...'position',[80 230 100 20]);h4=uicontrol(gcf,'style','edit',...'position',[80 50 100 20]);h5=uicontrol(gcf,'style','pushbutton',...'position',[80 100 100 20],...'string','=',...'callback',[...'if b==0,',...'h7=errordlg(''除数不能为0！'',''error'',''on'');,',... 'else,',...'k=a/b;,',...'c=num2str(k);,',...'set(h4,''string'',c),',...'end']);h8=uicontrol(gcf,'style','text',...'string','除数',...'position',[80 175 100 20]);h9=uicontrol(gcf,'style','text',...'string','商',...'position',[80 75 100 20]);实例42：单选框的使用h0=figure('toolbar','none',...'position',[200 150 450 250],...'name','实例42');x=0:0.5:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)grid onset(gcf,'toolbar','none')g=set(gca,'position',[0.2 0.2 0.6 0.6]); huidiao1=[...'grid on,',...'set(box_on,''value'',1),',...'set(box_off,''value'',0),'];huidiao2=[...'grid off,',...'set(box_off,''value'',1),',...'set(box_on,''value'',0),'];box_on=uicontrol(gcf,'style','radio',... 'position',[5 50 50 20],...'string','grid on',...'value',1,...'callback',huidiao1);box_off=uicontrol(gcf,'style','radio',... 'position',[5 20 50 20],...。
弗洛伊德算法求经过所有结点的最短路径
弗洛伊德算法求经过所有结点的最短路径
弗洛伊德算法（Floyd算法）是一种用于寻找图中所有节点对之间最短路径的算法。
该算法通过动态规划的思想求解，时间复杂度为O(N^3)，其中N为节点数目。
具体步骤如下：
1. 初始化一个二维数组dis，用于存储每对节点之间的最短路径长度，初始值为邻接矩阵中的权值。
2. 依次枚举每个节点k，将其加入到当前的最短路径中，在此基础上更新邻接矩阵中的距离，更新方法为dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j])。
3. 重复第2步，直到枚举完所有节点，此时dis中存储的就是每对节点之间的最短路径长度。
4. 如果要求出最短路径上的具体路径，则需要记录一个二维数组path，path[i][j]表示节点i到节点j的最短路径经过的最后一个节点。
具体记录方法为如果
dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]，则更新path[i][j] = k。
5. 最后通过递归找到每对节点之间的具体路径即可。
示例代码如下（C++实现）：
void Floyd() {
for(int k = 1; k <= N; ++k) {
for(int i = 1; i <= N; ++i) {
for(int j = 1; j <= N; ++j) {
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
if(dis[i][j] == dis[i][k] + dis[k][j]) {
path[i][j] = k;
}
}
}
}
}。
C语言floyd算法求最短路径并输出路线
3 4 15
4 1 15
4 3 5
floyd(dist, path, n);
display_path(dist, path, n);
getchar();
}
//程序测试
Input the path information:
--------------------------------------
}
}
void display_path(int dist[][MAXSIZE], int path[][MAXSIZE], int n)
{
int *chain;
int count;
int i, j, k;
printf("->%d", chain[k]+1);
printf("->%d", j+1);
}
}
}
k = j;
do
{
k = chain[count++] = path[i][k];
Hale Waihona Puke } while (i != k);
0 0 0
对应的输出结果为：
Origin->Dest Dist Path
----------------------------------------------
1->2 5 1->2
{
for (j = 0; j < n; j++)
dist[i][j] = INT_MAX;
dist[i][i] = 0;
}
最短路径算法floyd代码
最短路径算法floyd代码1.引言1.1 概述最短路径算法是图论中一个重要的问题，它的目标是找到两个节点之间最短的路径。
在实际生活中，最短路径算法被广泛应用于交通规划、物流配送、通信网络等领域。
针对不同类型的图，有不同的最短路径算法可供选择，其中Floyd算法是一种被广泛使用的算法之一。
Floyd算法是一种动态规划算法，它通过逐步优化图中各个节点之间的最短路径长度来求解最短路径。
其基本思想是通过计算任意两个节点之间的中间节点，以确定最短路径的中间节点集合。
通过反复迭代更新中间节点集合，最终可以得到节点之间的最短路径长度。
本文将介绍Floyd算法的原理和实现代码。
首先，我们将详细解释Floyd算法的原理，包括其计算最短路径的思路和步骤。
接着，我们将给出Floyd算法的代码实现，通过具体的编程示例来展示算法的具体实现过程和运行结果。
本文的目的是帮助读者了解Floyd算法，并通过实例代码帮助读者理解算法的具体实现步骤。
读者可以通过学习和实践运用Floyd算法，为实际问题寻找最短路径提供一种有效的解决方案。
此外，本文还将总结Floyd 算法的优缺点，以及对该算法在实际应用中的一些考虑和限制。
通过阅读本文并实践代码，读者将能够更好地理解Floyd算法的原理和实现方法，并在实际问题中灵活运用该算法来解决最短路径问题。
无论是对于图论的研究者还是对于应用场景中的实际需求，本文都将提供一些有价值的参考和启示。
在接下来的章节中，我们将逐步介绍Floyd算法的详细原理和代码实现。
让我们一起开始这段有趣的学习之旅吧！文章结构（Article Structure）本篇文章主要围绕最短路径算法Floyd展开讨论，按照以下结构进行阐述。
1. 引言1.1 概述：对最短路径算法的背景和应用进行简要介绍，强调其在网络通信、路线规划和图论等领域的重要性。
1.2 文章结构：本节内容。
1.3 目的：明确本文旨在通过介绍Floyd算法的原理和代码实现，帮助读者理解和应用该算法。
floyd算法代码
floyd算法代码Floyd算法是一种用于求解最短路径的算法，它可以在有向图或者无向图中找到任意两个顶点之间的最短路径。
Floyd算法的时间复杂度为O(n^3)，因此它适用于小规模的图，但是对于大规模的图来说，它的时间复杂度会变得非常高，因此需要使用其他的算法来求解最短路径。
Floyd算法的基本思想是动态规划，它通过不断地更新中间节点来求解最短路径。
具体来说，Floyd算法使用一个二维数组来存储任意两个顶点之间的最短路径，其中数组的每个元素表示从一个顶点到另一个顶点的最短路径长度。
在算法的执行过程中，我们不断地更新这个二维数组，直到求出所有顶点之间的最短路径。
Floyd算法的实现非常简单，我们只需要使用三重循环来遍历所有的顶点，然后在每次循环中更新二维数组即可。
具体来说，我们可以使用以下的伪代码来实现Floyd算法：for k from 1 to nfor i from 1 to nfor j from 1 to nif dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]在上面的伪代码中，dist[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短路径长度，k表示中间节点的编号，n表示图中顶点的数量。
在算法的执行过程中，我们不断地更新dist数组，直到求出所有顶点之间的最短路径。
总的来说，Floyd算法是一种非常实用的算法，它可以用于求解任意两个顶点之间的最短路径。
虽然它的时间复杂度比较高，但是在小规模的图中，它的表现非常出色。
因此，如果你需要求解最短路径问题，那么Floyd算法是一个非常好的选择。
用floyd算法求每对顶点间的最短路,矩阵c语言
用floyd算法求每对顶点间的最短路,矩阵c语言Floyd算法是一种动态规划算法，用于求解每对顶点间的最短路径问题。
以下是一个用C语言实现的Floyd算法示例：```cinclude <>include <>define V 5 // 顶点数int graph[V][V]; // 邻接矩阵表示的图int dist[V][V]; // 最短路径矩阵// 初始化邻接矩阵和最短路径矩阵void init() {for (int i = 0; i < V; i++) {for (int j = 0; j < V; j++) {graph[i][j] = INT_MAX; // 初始化为无穷大dist[i][j] = INT_MAX; // 初始化为无穷大}}}// 计算最短路径void floyd() {init(); // 初始化邻接矩阵和最短路径矩阵for (int k = 0; k < V; k++) {for (int i = 0; i < V; i++) {for (int j = 0; j < V; j++) {if (graph[i][k] + graph[k][j] < graph[i][j]) {dist[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j]; // 更新最短路径矩阵 }}}}}int main() {int i, j, k;init(); // 初始化邻接矩阵和最短路径矩阵// 初始化邻接矩阵graph[0][1] = 2; // 0->1的距离为2graph[0][2] = 3; // 0->2的距离为3graph[1][2] = 1; // 1->2的距离为1graph[1][3] = 4; // 1->3的距离为4graph[2][3] = 2; // 2->3的距离为2graph[2][4] = 5; // 2->4的距离为5graph[3][4] = 1; // 3->4的距离为1floyd(); // 使用Floyd算法计算最短路径矩阵printf("The Floyd algorithm finds the shortest path matrix:\n"); for (i = 0; i < V; i++) {for (j = 0; j < V; j++) {printf("%d ", dist[i][j]); // 输出最短路径矩阵中的元素值}printf("\n");}return 0;}```。
基于Floyd算法的最短路径问题的求解c++1【范本模板】
摘要现实生活中许多实际问题的解决依赖于最短路径的应用,其中比较常用的是floyd算法.通过floyd算法使最短路径问题变得简单化。
采用图的邻接矩阵或邻接表实现最短路径问题中图的存储。
采用Visual C++6.0的控制台工程和MFC工程分别实现基于floyd 算法求最短路径的应用.关键词:最短路径；floyd算法;邻接矩阵；MFC工程目录1需求分析 (1)2算法基本原理 (1)2。
1邻接矩阵 (1)2.2弗洛伊德算法 (2)3类设计 (3)3.1类的概述 (3)3。
2类的接口设计 (3)3.3类的实现 (4)4基于控制台的应用程序 (7)4.1主函数设计 (7)4.2运行结果及分析 (8)5基于MFC的应用程序 (9)5。
1图形界面设计 (9)5。
1程序代码设计 (11)5。
3运行结果及分析 (20)结论 (22)参考文献 (23)1需求分析Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法.该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
假若要在计算机上建立一个交通咨询系统则可以采用图的结构来表示实际的交通网络。
这个资讯系统可以回答游客提出的各种问题.例如，一位旅客要从A城到B城，他希望选择一条途中中转次数最少的路线。
假设图中每一站都需要换车，则这个问题反映到图上就是要找一条从顶点A到B所含边的数目最少的路径。
我们只需从顶点A出发对图作广度优先搜索，一旦遇到顶点B就终止。
由此所得广度优先生成树上，从根顶点A到顶点B的路径就是中转次数最少的路径，路径上A与B之间的顶点就是途径中的中转站数.但是这只是一类最简单的图的最短路径的问题。
有时对于旅客来说,可能更关心的是节省交通费用；对于司机来说里程和速度则是他们感兴趣的信息。
为了在图上标示有关信息可对边赋以权的值，权的值表示两城市间的距离,或图中所需时间，或交通费用等等。
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引言在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里求出任意两个节点之间的最短距离。
当节点之间的权值是正值的时候，我们可以采用Dijkstra算法，用贪心策略加于解决。
但当节点之间的权值有负数的时候，Dijkstra就行不通了，这里介绍另外一种算法—Floyd最短路径算法。
对于任意图，选择存储结构存储图并实现FLOYD算法求解最短路经。
将问题分解，分解为两方面。
一是对于任意图的存储问题，第二个是实现FLOYD算法求解最短路经。
首先对于图的创建选择合适的存储结构进行存储，对于合适的存储结构可以简化程序。
本实验采用邻接矩阵存储。
然后是实现FLOYD算法求解最短路经，在FLOYD算法中路径的长度即是图中两定点间边的权值，FLOYD算法要求输出任意两个顶点间的最短路径，而且经过的顶点也要输出。
考虑到问题的特殊性，采用一个二维数组和一个三维数组进行存储。
二维数组存储最短路径，三维数组存储路径经过的顶点，在进行适当的算法后对这两个数组进行输出即可。
通过问题的分解，逐个解决，事先所要求的程序。
最短路径算法问题是计算机科学、运筹学、地理信息系统和交通诱导、导航系统等领域研究的一个热点。
传统的最短路径算法主要有Floyd算法和Dijkstra算法。
Floyd算法用于计算所有结点之间的最短路径。
Dijkstra算法则用于计算一个结点到其他所有结点的最短路径。
Dijkstra算法是已经证明的能得出最短路径的最优解，但它的效率是一个很大的问题。
对于具有n个结点的一个图，计算一个结点到图中其余结点最短路径的算法时间复杂度为O(n2)。
对于一座大中型城市，地理结点数目可能达到几万个到几十万个，计算最短路径的时间开销将是非常巨大的。
本文根据吴一民老师的建议，分析当前存在的各种求最短路径的算法，提出一种新的基于层次图的最短路径算法，即将一个平面图划分若干子图，子图抽象为一个高层图。
最短路径的计算首先在高层图中进行，缩小了最短路径的查找范围，降低了最短路径计算的时间开销。
由于可以动态计算子图间的阻抗函数，算法可适用于动态交通诱导系统。
设计目的（1）培养学生分析解决问题的能力，掌握java语言的程序设计方法；（2）通过课程设计实践，训练并提高学生在统筹全局、结构设计、查阅设计资料和计算机编程方面的能力；（3）提高学生实践论文撰写能力。
任务与要求： (1) 理论设计部分以课程设计论文的形式提交，格式必须按照课程设计论文标准格式进行书写和装订；(2) 课程设计报告（论文）包括要求的作业。
第一章Floyd算法1.1 最短路的定义最短路径问题是图论研究中的一个经典算法，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。
算法的具体形式包括：确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路经反转的确定起点的问题。
确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点求两结点之间的最短路径。
求距离最短路径问题求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称为最短路径算法。
单源最短路定义：给定一个赋权有向图G =（V,E）,记G中每一条弧a ij=(v i,v j)上的权为W(aij)=Wij,有给定G中的一个起点s和重点t，设p是G中从s到t的一条路，则定义路径p的权是p中有弧的权之和，记为W（p），即:W（p）=(,)Vi Vj p Wij∈∑又若p*是图G中从s到t的一条路径，且满足W（p*）=min{W（p）|p为Vs到Vt的路}试中对G的所有从s到t的路p取最小，则称p*为从s到t的最短路，W（p*）为s到t的最短距离。
在一个图G中，求从s到t的最短路径和最短距离问题就称为最短路径问题。
1.2 Floyd的定义与思想1.2.1 Floyd算法的定义Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。
1.2.2 Floyd 算法的思想利用一个三重循环产生一个存储每个结点最短距离的矩阵.弗洛伊德算法仍然使用图的邻接矩阵arcs[n+1][n+1]来存储带权有向图。
算法的基本思想是:设置一个n x n 的矩阵A(k)，其中除对角线的元素都等于0外，其它元素a(k)[i][j]表示顶点i到顶点j的路径长度，K表示运算步骤。
开始时，以任意两个顶点之间的有向边的权值作为路径长度，没有有向边时，路径长度为∞，当K=0时, A (0)[i][j]=arcs[i][j]，以后逐步尝试在原路径中加入其它顶点作为中间顶点，如果增加中间顶点后，得到的路径比原来的路径长度减少了，则以此新路径代替原路径，修改矩阵元素。
具体做法为：第一步，让所有边上加入中间顶点1，取A[i][j]与A[i][1]+A[1][j]中较小的值作A[i][j]的值，完成后得到A(1)，第二步，让所有边上加入中间顶点2，取A[i][j]与A[i][2]+A[2][j]中较小的值，完成后得到A(2)…，如此进行下去，当第n步完成后，得到A(n)，A(n)即为我们所求结果,A(n)[i][j]表示顶点i到顶点j的最短距离。
因此，弗洛伊德算法可以描述为:A(0)[i][j]=arcs[i][j]; //arcs为图的邻接矩阵A(k)[i][j]=min{A(k-1) [i][j],A(k-1) [i][k]+A(k-1) [k][j]}其中k=1,2,…,n定义一个n阶方阵序列：D(-1), D(0), …, D(n-1).其中 D(-1) [i][j] = G.arcs[i][j]；D(k) [i][j] = min { D(k-1)[i][j]，D(k-1)[i][k] +D(k-1)[k][j] }, k = 0,1,…, n-1D(0) [i][j]是从顶点vi 到vj, 中间顶点是v0的最短路径的长度,D(k) [i][j]是从顶点vi 到vj, 中间顶点的序号不大于k的最短路径长度,D(n-1)[i][j]是从顶点vi 到vj的最短路径长度。
1.3 Floyd算法描述通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
a) 初始化：D[u,v]=A[u,v]b) For k:=1 to nFor i:=1 to nFor j:=1 to nIf D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] ThenD[I,j]:=D[I,k]+D[k,j];c) 算法结束：D即为所有点对的最短路径矩阵从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。
矩阵D(n)的i行j 列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。
所以时间复杂度为O(n^3); 其状态转移方程如下：map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}map[i,j]表示i到j的最短距离K是穷举i,j的断点 map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。
当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理,比如没有map[i,k]这条路1.4 Floyd算法过程在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里，求出任意两个节点之间的最短距离。
我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题，在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题，记不请了... 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法，通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径，然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。
不过在这里想换换口味，采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。
下面让我们先把问题稍微的形式化一下：如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。
若i 与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。
又有d(ii)=0。
编写一个程序，通过这个距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。
我们可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。
如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。
所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。
重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。
所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题for(int i=0; i<n; i++)for(int j=0; j<n; j++)for(int k=0; k<n; k++)问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了，假设一旦找到了i-p-j最短的距离后，i到j就相当处理完了，以后不会在改变了，一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了，所以结果一定是不对的。
所以应当象下面一样来写程序：for(int k=0; k<n; k++)for(int i=0; i<n; i++)for(int j=0; j<n; j++)这样作的意义在于固定了k，把所有i到j而经过k的距离找出来，然后象开头所提到的那样进行比较和重写，因为k是在最外层的，所以会把所有的i到j 都处理完后，才会移动到下一个k，这样就不会有问题了，把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=空值。
定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。
把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。
在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。