高考一轮课时训练理同角三角函数的基本关系及诱导
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时作业21同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理新人教A版
12．已知11＋ －ttaannxx＝3＋2 2，则 sinx(sinx－3cosx)的值为________。
解析 由11＋ －ttaannxx＝3＋2 2得 tanx＝ 22，所以 sinx(sinx－3cosx)＝sin2x －3sinxcosx＝sins2ixn－2x＋3sicnoxsc2oxsx＝tanta2xn－2x＋3ta1nx＝13－ 2。
C．35
D．45
解析 sinα＝45，cosα＝35，sinα－2 0217π＝－cosα＝－35。故选 B。 答案 B
4．若 cosπ2－α＝ 32，则 cos(π－2α)＝(
)
A．29
B．59
C．－29
D．－59
解析 由 cosπ2－α＝ 32，得 sinα＝ 32。所以 cos(π－2α)＝－cos2α＝ －(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×29－1＝－59。故选 D。
解析 原式＝cosα sin2αco＋s2cαos2α＋sinα· sin2αsi＋n2cαos2α＝cosα|co1sα|＋ sinα|si1nα|，因为 α 是第二象限角，所以 sinα>0，cosα<0，所以 cosα|co1sα|＋ sinα|si1nα|＝－1＋1＝0，即原式等于 0。
答案 0
答案 A
7．已知
α∈23π，2π，且满足
cosα＋2
0217π＝35，则
sinα＋cosα＝(
)
A．－75
B．－15
C．15
D．75
解析 因为 cosα＋2 0217π＝cosα＋1 008π＋π2＝－sinα＝35，且 α∈ 23π，2π，所以 sinα＝－35，cosα＝ 1－sin2α＝45，则 sinα＋cosα＝－35＋45＝ 15。故选 C。
高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
高考数学一轮复习专题4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点讲解理科版含解析
的值为________．
11π
9π
cos（ －α）·sin（ ＋α）
2
2
3 【答案】－
4
（－sin α）sin α
【解析】原式＝
＝tan α，
（－sin α）cos α
3 根据三角函数的定义得 tan α＝－ 。
4
高频考点二 同角三角函数的基本关系及应用
【例 2】（2020·新课标Ⅰ）已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （ ）
5 ，
5
故选 B。
【方法技巧】同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用
sin2α＋cos2α＝1
sinα 可实现α的正弦、余弦的互化，利用 ＝tanα可以实现角α的弦切互
cosα
化．
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需
求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
α＋3cos
α ＝5，则
cos2α＋1sin
2α的值
3cos α－sin α
2
是( )
3
3
A.
B．－
5
5
C．－3
D．3
【答案】A
sin 【解析】由
α＋3cos
α
tan
＝5 得
α＋3 ＝5，可得
tan
α＝2，则
cos2α＋1sin
2α＝cos2α＋sin
3cos α－sin α
3－tan α
2
cos2α＋sin αcos α 1＋tan α 3
sin α α≠kπ＋π，k∈Z
高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二 三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二 走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三 走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一 同角三角函数的基本关系式——师生共研 例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 －5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 －3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二 诱导公式及其应用——多维探究 角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝ －1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝ －1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ －74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 因为α为钝角， 所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。
同角三角函数的基本关系和诱导公式5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测
专题17同角三角函数的基本关系和诱导公式5题型分类一、同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：22sin cos 1αα+=．（2）商数关系：sin tan ()cos 2k απααπα=≠+；【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．注：1、利用22sin cos 1αα+=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化．2、“sin cos sin cos sin cos αααααα+-，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=（一）同角求值（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．（二）诱导求值与变形（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化（三）同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式(π（四）三角恒等式的证明三角恒等式的证明中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二角公式，辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键原式得证【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题.5-4．（2024高三·全国·专题练习）（1）求证：tan 2αsin 2α=tan 2α-sin 2α；（2）已知tan 2α=2tan 2β+1，求证：2sin 2α=sin 2β+1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）将22sin 1cos αα=-代入左式，化简即可得到右式.（2）将sin tan cos ααα=，sin tan cos βββ=代入条件，通分化简得到2212cos cos αβ=，即2cos 2α=cos 2β，然后由22sin cos 1αα+=，将余弦化成正弦即可证得结论.【详解】解析：（1）tan 2αsin 2α=tan 2α（1-cos 2α）=tan 2α-tan 2αcos 2α=tan 2α-sin 2α，则原等式得证.（2）因为tan 2α=2tan 2β+1，所以22sin cos αα+1=222sin 1cos ββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即2212cos cos αβ=，从而2cos 2α=cos 2β，于是2-2sin 2α=1-sin 2β，也即2sin 2α=sin 2β+1，则原等式得证.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知2cos tan sin 5xx x =+，则cos2x =（）A ．13B ．79C ．23D ．59【答案】B【分析】利用三角函数的基本关系式得到关于sin x 的方程，再利用倍角公式即可得解.【详解】因为2cos tan sin 5x x x =+，又sin tan cos xx x=，所以sin 2cos cos sin 5x xx x =+，则222cos sin 5sin x x x =+，即2222sin sin 5sin x x x -=+，则23sin 5sin 20x x +-=，即()()3sin 1sin 20x x -+=，所以1sin 3x =或sin 2x =-（舍去），所以217cos212sin 1299x x =-=-⨯=.故选：B.2．（2024·四川巴中·模拟预测）勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案（如图所示），若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为917，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为（）A ．217B C ．217D 【答案】D【分析】设正方形的边长1，较小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos sin θθ-，由题意可得29(cos sin )17θθ-=，显然可得π04θ<<，即可得到cos sin 0θθ>>，从而求出sin θ.【详解】设正方形的边长1，较小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos sin θθ-，由题意可得29(cos sin )17θθ-=，显然π04θ<<，所以cos sin 0θθ>>，所以cos sin 17θθ-=，又229cos sin 2cos sin 17θθθθ+-=，所以2cos si 8n 17θθ=，所以22225(cos sin )cos sin 2cos sin 17θθθθθθ+==++，所以cos sin 17θθ+=，所以sin 17θ=.故选：D3．（2024·全国·模拟预测）已知2π2cos 53θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则19π13π2sin cos 105θθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．23-D ．23【答案】A【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.【详解】令25m πθ=-，则22,cos 53m m πθ=+=，从而19π13π19π2π2π13π2sin cos 2sin cos 10510555m m θθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦3π2sin cos(3π)3cos 22m m m ⎛⎫=-++=-=- ⎪⎝⎭.故选：A.4．（2024·山西·模拟预测）已知α为锐角，且cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．2B．CD．2【答案】D【分析】注意到πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用同角三角函数的关系求角π6α+的正弦，再利用诱导公式求角π3α-的正弦、余弦，从而得到π3α-的正切.【详解】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭且πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 06ππsin cos 166ααα⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩得πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭由诱导公式得ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππcos sin 363αα⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以πsin π33tan π32cos 3ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选:D5．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知角α为钝角，且角(02π)θθ<<终边上有一点()sin ,cos P αα-，则角θ=（）A ．πα+B ．π2α+C ．2πα-D ．3π2α-【答案】B【分析】利用三角函数的诱导公式及三角函数的定义即可求解.【详解】点()sin ,cos P αα-，由诱导公式可化为ππcos ,sin 22P αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由三角函数的定义知，π2π2k θα=++，又因为α为钝角，02πθ<<，所以π2θα=+.故选:B.6．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，在()1,3P 在角α终边上，则()()()3333sin πcos ππsin cos 2αααα++-⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值为（）A ．1327B ．1427C ．1427-D ．1413【答案】B【分析】根据三角函数的定义求角α的三角函数值，再利用诱导公式化简求值.【详解】因为点()1,3P 在角α终边上，则1x =，3y =，所以tan 3yxα==,()()()333333333sin πcos πsin cos 1114π227sin sin 2tan sin cos 2ααααααααα++---==+⎛⎫----- ⎪⎝⎭.故选：B7．（2024高三上·四川成都·期中）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角α的终边与23π角的终边相同，则sin()cos(2)3sin()2παπαπα+--=+()A1B1C．1D．1-【答案】C【分析】利用三角函数定义求得tan α=，再利用诱导公式化简即可.【详解】由题意得2tan tanπ3α==sin(π)cos(2π)sin cos sin cos sin cos tan 113ππcos cos sin()sin 22ααααααααααααα+------+====+=+-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，故选：C.8．（2024·全国·模拟预测）已知直线:2310l x y +-=的倾斜角为θ，则()πsin πsin 2θθ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭（）A ．613B ．613-C ．25D ．25-【答案】A【分析】根据直线一般方程可求得2tan 3θ=-，再利用诱导公式及同角三角函数之间的基本关系可得其结果.【详解】由直线l 的方程为2310x y +-=，得斜率2tan 3k θ==-，则()πsin cos sin πsin sin cos 21θθθθθθ-⋅⎛⎫-⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭22222sin cos tan 63sin cos tan 113213θθθθθθ-⋅-====++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；故选：A ．9．（2024·陕西宝鸡·一模）已知4ππsin 2sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．34-B ．34C ．45-D ．45【答案】C【分析】先利用诱导公式对已知条件化简得ππcos 2sin 66αα⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再利用同角三角函数基本关系求出2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭；最后利用二倍角公式即可求解.【详解】4π3πππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由4ππsin 2sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得：ππcos 2sin 66αα⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为22ππsin cos 166αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以2ππππ4sin 22sin cos 4sin 36665αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.10．（2024·全国·模拟预测）已知(ππtan cos 3cos 44ααα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）AB．2C ．12-D ．1-【答案】B 【分析】由诱导公式和同角三角函数关系得到(πtan 3tan 4αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用正切和角公式得到方程，求出tan 1α=，利用余弦二倍角，齐次化求出答案.【详解】因为ππππcos sin sin 4244ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以(ππtan cos 3sin 44ααα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故(πtan 3tan 4αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为πtan tanπtan 14tan π41tan 1tan tan 4ααααα++⎛⎫+== ⎪-⎝⎭-，所以(tan 1tan 31tan ααα+=--，故)(2tan 21tan 30αα-+-=，解得tan 1α=，所以)()2222222211cos sin 1tan cos2cos sin 1tan 11ααααααα---=====+++-故选：B ．11．（2024·全国·模拟预测）已知圆22:(1)(1)1C x y -+-=，过点()3,2P ，作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，则tan ACB ∠=（）A ．43-B ．43C ．12-D ．34【答案】A【分析】设切线的方程为2(3)y k x -=-，求得圆心C到切线的距离1d ==，求得k 的值，得到4tan 3APB ∠=，结合180APB ACB ∠+∠=︒，即可求解.【详解】由题意知，圆22:(1)(1)1C x y -+-=的圆心为(1,1)C ，半径1r =，且切线PA ，PB 的斜率都存在，设切线的方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，因为直线与圆相切，所以圆心C到切线的距离1d =，解得10k =或2k =43，所以4tan 3APB ∠=，在四边形APBC 中，因为90APC ABC ∠=∠= ，可得180APB ACB ∠+∠=︒，所以4tan tan(180)tan 3ACB APB APB ∠=-∠=-∠=-.故选：A ．12．（2024·河南郑州·模拟预测）已知tan 2θ=，则3πsin sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．12C ．12-D ．25-【答案】D【分析】利用诱导公式，平方关系和商关系即可求解.【详解】3πsin sin sin cos 2θθθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭222sin cos tan 2sin cos tan 15θθθθθθ=-=-=-++.故选：D13．（2024·陕西西安·二模）已知π5cos 513α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．513-B ．513C ．-1213D ．1213【答案】A 【分析】因为7πππ1052αα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由诱导公式可得选项.【详解】7ππππ5sin sin cos 1052513ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.14．（2024·广东深圳·模拟预测）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】C 【分析】根据5πππ623αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，借助于诱导公式，即可求得结果．【详解】5πππcos cos 623αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin 3πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭45=-，5πcos 6α⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的值为45-，故选：C15．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若1sin 3A =，则()sin 6A π-的值为（）A ．13B ．13-C．3-D．3【答案】B【分析】本题考查诱导公式的基础运用，套用公式即可.【详解】利用诱导公式可得()()1sin 6sin sin 3A A A π-=-=-=-，故选：B.16．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若()1sin 2πα+=-，则cos α的值为（）A ．12±B ．12CD．【答案】D【分析】先化简已知得1sin =2α，再求cos α的值.【详解】由()1sin 2πα+=-得1sin =2α，所以α在第一、二象限，所以cos =2α=±.故选：D.17．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知πsin sin 2θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A．B ．1-C ．1D【答案】B【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于sin θ、cos θ的方程组，求出这两个量的值，即可求得tan θ的值.【详解】因为πsin sin sin cos 2θθθθ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，由题意可得22sin cos sin cos 1θθθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩sin 2cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此，sin tan 1cos θθθ==-.故选：B.18．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）已知1sin cos 5αα+=，且()0,πα∈，sin cos αα-=（）A ．75±B ．75-C ．75D ．4925【答案】C【分析】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得2sin cos αα的值，结合α的范围确定sin α与cos α的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值.【详解】因为1sin cos 5αα+=，两边平方得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，故242sin cos 025αα=-<，所以sin α与cos α导号，又因为0πα<<，所以sin 0α>，cos 0α<，所以7sin cos 5αα-====.故选：C.19．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知θ是三角形的一个内角，且满足sin cos 5θθ-=，则tan θ=（）A ．2B ．1C ．3D ．12【答案】A【分析】利用平方关系可求得42sin cos 5θθ=，可解得29(sin cos )5θθ+=，再结合θ是三角形的一个内角即可得sin ,cos θθ==tan 2θ=.【详解】将sin cos θθ-=两边同时平方可得112sin cos 5θθ-=，即42sin cos 5θθ=；所以29(sin cos )12sin cos 5θθθθ+=+=若sin +cos θθ=，解得sin θθ==，这与θ是三角形的一个内角矛盾，所以sin +cos θθ=，解得sin θθ==，此时求得tan 2θ=.故选：A.20．（2024高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称，若4sin 5α=，则cos β=（）A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】B【分析】根据题意利用任意角的三角函数的定义，结合诱导公式可求得结果.【详解】因为平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称，所以ππ,Z 24k k αβ+=+∈，即π2π,Z 2k k αβ+=+∈，所以π2π,Z 2k k βα=-+∈，因为4sin 5α=，所以π4cos cos 2πsin (Z)25k k βαα⎛⎫=-+==∈ ⎪⎝⎭，故选：B21．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知(),0,a βπ∈，则“tan tan 1αβ=”是“2a πβ+=”的（）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【答案】D【分析】根据诱导公式的逆运用以及由三角函数的概念即可判断其充分性，由2a πβ+=代入tan α化简计算即可判断其必要性，从而得出结论.【详解】若tan tan 1αβ=，则1tan ta 2n tan παββ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故()2k k παπβ=+-∈Z ，即()2k k παβπ+=+∈Z ．又()0,2αβπ+∈，故0k =或1k =，充分性不成立；若2παβ+=，即2παβ=-，所以1tan tan 2tan παββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以tan tan 1αβ=，所以必要性成立．故选：D ．22．（2024·陕西榆林·二模）已知π7π1cos cos 12125αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πc 23os +α⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．2325-B ．2325C ．2425-D ．2425【答案】C【分析】利用诱导公式和倍角公式化简求值.【详解】7ππππcos cos sin 1212212ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由π7π1cos cos 12125αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有ππ1cos sin 12125αα⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边平方得π11sin 2625α⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则π24sin 2625α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故2ππππ24cos 2+=cos 2+=sin 2=225366ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.23．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）已知α为第二象限的角，且3cos 5α=-，则()sin πα-的值为（）A ．45B ．45-C ．35-D ．35【答案】A【分析】先根据平方关系求出sin α，再利用诱导公式即可得解.【详解】因为α为第二象限的角，且3cos 5α=-，所以4sin 5α=，所以()4sin πsin 5αα-==.故选：A.24．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知π02α<<，且π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．4B ．14-C ．4D ．14【答案】C【分析】根据角的范围及正弦值求出余弦值，进而利用诱导求出答案.【详解】因为π02α<<，所以ππ36π3α-<-<，又π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πcos 3α⎛⎫-== ⎪⎝⎭45πππππs 62in c 3sin cos os 33αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C25．（2024·全国·模拟预测）已知π1tan 22θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()33sin 2cos sin πθθθ+=+（）A ．35B ．56C ．56-D ．35-【答案】D【分析】结合诱导公式与同角三角函数的基本关系运算即可得.【详解】由题意得πsin cos 12πsin 2cos 2θθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=-，故()()33333322sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin πsin sin sin cos θθθθθθθθθθθ+++==-+-+333323sin 2cos tan 2823sin sin cos tan tan 825θθθθθθθθ++-+=-=-=-=-++--.故选：D.26．（2024高三上·云南昆明·阶段练习）若π2αβ+=sin αβ+=tan α=（）A．2BC ．1D【答案】B【分析】由诱导公式可得出sin cos βα=，根据已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出这两个量的值，结合同角三角函数的商数关系可求得tan α的值.【详解】因为π2αβ+=，则π2βα=-，πsin sin cos 2αβαααα⎛⎫+=+-=+= ⎪⎝⎭联立22cos sin cos 1αααα+=+=⎪⎩sin cos αα⎧=⎨⎪=⎪⎩因此，sin tan cos 3ααα==故选：B.27．（2024高三上·四川成都·阶段练习）已知角α的终边过点()1,3，则πcos(π)cos()2αα-++的值是（）A．B．C．D【答案】A【分析】利用三角函数定义，结合诱导公式计算得解.【详解】由角α的终边过点()1,3，得r =，31sin r r αα====，所以πcos(π)cos()cos sin 210105αααα-++=--=--=-.故选：A28．（2024高三上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点()4,3P -，则()3πsin 2cos π22αα⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A ．1425-B ．1425C ．1725-D ．1725【答案】A【分析】根据任意角的三角函数的定义可得sin α，再利用诱导公式、二倍角公式运算求解.【详解】由题意得，5OP ==，则3sin 5α=-，则()3πsin 2cos π2cos 2cos 22cos 22ααααα⎛⎫++-=--=- ⎪⎝⎭()22314212sin 212525α⎡⎤⎛⎫=--=-⨯-⨯-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．故选：A ．29．（2024高三上·安徽·期中）已知()sin ,cos P θθ是角π3-的终边上一点，则tan θ=（）A ．B ．C D 【答案】B【分析】由三角函数的定义可得sin ,cos θθ，进而由商数关系可求tan θ.【详解】因为()sin ,cos P θθ是角π3-的终边上一点，所以π1πcos sin ,sin cos 3232θθ⎛⎫⎛⎫-==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin tan cos 3θθθ==，故选：B.30．（2024高三上·安徽·期中）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,4P -，则()cos 2cos 2πθπθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭（）A ．5-B ．5-C ．0D ．5【答案】C【分析】根据终边上的点可求得：sinθ=cos θ=，再结合三角函数诱导公式从而求解.【详解】因为：r OP ==（O 为坐标原点），所以:由三角函数的定义，得sin θ==cos θ==所以：()cos 2cos sin 2cos 02πθπθθθ⎛⎫--+=+= ⎪⎝⎭.故C 项正确.故选：C.31．（2024高一上·江苏常州·阶段练习）若π1cos()63α+=，则5π5πcos()sin()63αα--+=（）A ．0B ．23C．13+D．13-【答案】A【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.【详解】依题，令π6t α+=，则15ππsin ,ππ366t t αα⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭，5π3ππ3π3262t αα+=++=+，所以5π5πcos()sin()63αα--+3π=cos(π)sin()2t t --+cos cos 0t t =-+=.故选：A32．（2024高三上·重庆永川·期中）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos cos 22π4θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．35-C ．3D ．53【答案】B【分析】由条件π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭化简求得tan 3θ=，将所求式子利用三角恒等变换化简再根据同角三角函数关系式转化为正切求得结果.【详解】由π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=--，又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3θ=，()()22πcos cos2sin cos sin2sin cos sinπsin cos4θθθθθθθθθθθ⎛⎫-⎪-⎝⎭∴==-+⎛⎫+⎪⎝⎭2222222sin cos sin tan tan333sin cos tan1315θθθθθθθθ---====-+++.故选：B.33．（2024高一下·山东潍坊·阶段练习）下列化简正确的是（）A．()tanπ1tan1+=-B．()()sincostan360ααα-=-C．()()sinπtancosπααα-=+D．()()()cosπtanπ1sin2πααα---=-【答案】B【分析】应用诱导公式以及同角三角函数的基本关系对四个选项验证即可.【详解】对于A，由诱导公式得，()tanπ1tan1+=，故A错误；对于B，()()sin sin sincossintantan360cos aααααααα--===-- ，故B正确；对于C，()()sinπsintancosπcosααααα-==-+-，故C错误；对于D，()()()()()sincoscosπtanπcos tan cos1sin2πsin sinαααααααααα⋅----==-=---，故D错误.故选：B.二、多选题34．（2024·辽宁·模拟预测）设α为第一象限角,π1cos83α⎛⎫-=⎪⎝⎭,则（）A．5π1sin83α⎛⎫-=-⎪⎝⎭B．7π1cos83α⎛⎫+=-⎪⎝⎭C．13πsin83α⎛⎫-=-⎪⎝⎭D．πtan8α⎛⎫-=-⎪⎝⎭【答案】BD【分析】首先由题意得π8α-是第一象限角,所以πsin 83α⎛⎫-=⎪⎝⎭,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案.【详解】由题意得π2π2π,Z 2k k k α<<+∈,则ππ3π2π2π,Z 888k k k α-<-<+∈,若π8α-在第四象限,则ππ1cos cos 8423α⎛⎫->=⎪⎝⎭,所以π8α-也是第一象限角,即πsin 8α⎛⎫-=⎪⎝⎭5πππππ1sin sin cos cos 828883αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A 项错误;7πππ1cos cos πcos 8883ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,B 项正确;13π3ππππ1sin sin cos cos 828883αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,C 项错误;πsin ππ8tan tan 2π88cos 8αααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--=-=- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭项正确.故选:BD.35．（江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学2023-2024学年高一上学期12月联合质量检测数学试卷）质点P 和Q 在以坐标原点O 1的圆O 上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P 的角速度大小为2rad /s ，起点为圆O 与x 轴正半轴的交点，Q 的角速度大小为5rad /s ，起点为角π3-的终边与圆O 的交点，则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为（）A ．2π2πcos ,sin 99⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5π5πcos ,sin 99⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】由题意列出重合时刻t 的表达式，进而可得Q 点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.【详解】点Q 的初始位置1Q ，锐角1π3Q OP ∠=，设t 时刻两点重合，则π522π(N)3t t k k -∈=+，即π2π(N)93k t k +∈=，此时点ππcos 5,sin 533Q t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2π10π2π10πcos ,sin 9393k k Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(N)k ∈，当0k =时，2π2πcos ,sin 99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确；当1k =时，32π32πcos ,sin 99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即5π5πcos ,sin 99Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当2k =时，9,62π62πcos sin 9Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即ππcos ,sin 99Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 正确；由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B 错误，故选：ACD.36．（2024高一下·河南焦作·阶段练习）已知角,A B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（）A ．()sin sinBC A +=B ．sin cos 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()cos cos A B C +<D ．sin cos A B<【答案】ABC【分析】根据三角形内角和及诱导公式，三角函数单调性一一判定选项即可.【详解】由题易知()()πsin sin πsin 2A B C A B C B C A A π⎛⎫++=<⇒+=-= ⎪⎝⎭、、，πsin sin cos 222A B C C +-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()cos cos πcos 0cos A B C C C +=-=-<<，即A 、B 、C 结论成立.对于D ，由锐角三角形知，2A B π+>，得ππ022B A <-<<，因此πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以错误.故选：ABC37．（2024高一下·河北沧州·阶段练习）在△ABC 中，下列关系式恒成立的有（）A ．()sin sin ABC +=B ．cos sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()sin 22sin20A B C ++=D ．()cos 22cos20A B C ++=【答案】ABC【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】对于A 中，由()()sin sin sin A B C C π+=-=，所以A 正确；对于B 中由cos cos sin 2222A B C C π+⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，由()()()sin 22sin2sin 2sin2sin 2sin2A B C A B C C Cπ⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()sin 22sin2sin2sin20C C C C π=-+=-+=，所以C 正确；对于D 中，()cos(22)cos2cos 2cos2cos[2()]cos2A B C A B C C Cπ⎡⎤++=++=-+⎣⎦()cos 22cos2cos2cos22cos2C C C C C π=-+=+=，所以D 错误．故选：ABC.38．（2024高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论正确的有（）A ．sin cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．52cos sin 063ππθθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()22sin 15cos 751αα-++=D ．()()22sin 15sin 751αα-++=【答案】ABD【解析】本题可通过诱导公式将sin 6απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 正确，然后通过诱导公式将5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭转化为2sin 3πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B 正确，最后根据()()sin 15cos 75 αα-=+以及同角三角函数关系判断出C 错误以及D 正确.【详解】A 项：sin sin cos cos 63332πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 正确；B 项：因为522cos sin sin sin 6333ππππθθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以52cos sin 063ππθθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；C 项：因为()()()sin 15sin 75cos 752πααα⎡⎤-=-+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()()222sin 15cos 752cos 751ααα-++=+≠，C 错误；D 项：()()()()2222sin 15sin 75cos 75sin 751αααα-++=+++=，D 正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭、()cos cos αα=-、sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22cos sin 1αα+=等，考查化归与转化思想，是中档题.39．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（）A ．cos 1sin 1sin cos x xx x-=+B ．221sin 12tan sin cos tan x x x x x++=C ．()()sin 53cos 37x x -=+D ．()()sin 60cos 480x x -=+【答案】ABC【分析】对于A 、B ，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C 、D ，由诱导公式进行化简证明即可.【详解】对于A ，()()()()()22cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin cos cos x x x x x x x x x x x x x x----====++--，故A 正确；对于B ，()2222222sin cos sin 1sin cos 2sin 12tan sin cos sin cos sin cos tan x x x x x x x x x x x x x x+++++===，故B 正确；对于C ，()()()sin 53sin 9037=cos 37x x x ⎡⎤-=-++⎣⎦，故C 正确；对于D ，()()()()cos 480=cos 0=cos 18060=cos 0126x x x x -⎡⎤++---⎣⎦，故D 错误.故选：ABC.三、填空题40．（2024·全国）若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=．【答案】5-【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得sin θ=或sin θ=（舍去），所以sin cos sin 2sin sin -=-=-=-θθθθθ故答案为：5-.41．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知tan α=-2απ<<π，那么sin cos 1αα=+.【分析】由同角三角函数关系及已知条件求得1sin 33αα==-，代入目标式求值即可.【详解】由tan α=-2απ<<π，则1sin 33αα==-，所以sin cos 1αα=+.42．（2024高三·全国·对口高考）若sin cos 2sin cos x xx x-=+，求sin cos x x 的值为.【答案】310-/0.3-【分析】由已知求出tan 3x =-，再将sin cos x x 化为22sin cos sin cos x xx x+，利用齐次式法求值，即得答案.【详解】由sin cos 2sin cos x xx x-=+可得sin cos 2(sin cos ),sin 3cos x x x x x x -=+∴=-，因为cos 0x =不适合sin cos 2sin cos x xx x-=+，故cos 0x ≠，所以tan 3x =-，故222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110x x x x x x x x -====-+++，故答案为：310-43．（2024高三上·江西南昌·阶段练习）若4tan 3θ=，则sin cos sin cos θθθθ-=+.【答案】17【分析】分式上下同除以cos θ，化弦为切，代入4tan 3θ=求值即可.【详解】4tan 3θ= ，sin 411sin cos tan 11cos 3sin 4sin cos tan 1711cos 3θθθθθθθθθθ----∴====++++.故答案为：17.44．（2024·上海浦东新·模拟预测）已知sin cos αα､是关于x 的方程2320x x a -+=的两根，则=a .【答案】56-【分析】先通过根与系数的关系得到sin ,cos αα的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.【详解】由题意：Δ41202sin cos 3sin cos 3a a αααα⎧⎪=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以13a ≤，所以()224sin cos 12sin cos 139a αααα+=+=+=，即650a +=，解得56a =-.故答案为：56-.45．（2024高三·全国·专题练习）已知1sin cos 4αα-=，则33sin cos αα-=．【答案】47128【分析】由立方差公式，得()()3322sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-=-++.将1sin cos 4αα-=两边平方，解得15sin cos 32αα=，代入即可得解.【详解】由题知()()3322sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-=-++，因为1sin cos 4αα-=，两边平方有112sin cos 16αα-=，所以15sin cos 32αα=，所以()3311547sin cos 1432128αα-=⨯+=.故答案为：47128.46．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知23sin 2m m α-=+，1cos 2m m α+=-+，且α为第二象限角，则()()sin 2024πcos 2023π2021πcos 2ααα+++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】73-/123-【分析】由已知可求出m 的取值范围，由同角三角函数的平方关系求出m 的值，可求出tan α的值，再利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为23sin 2m m α-=+，1cos 2m m α+=-+，且α为第二象限角，则2302102m m m m -⎧>⎪⎪+⎨+⎪-<⎪+⎩，解得2m <-或32m >，因为22222223151010sin cos 12244m m m m m m m m αα-+-+⎛⎫⎛⎫+=+-== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，整理可得22730m m -+=，即()()2130m m --=，解得12m =（舍）或3m =，所以，233sin 25m m α-==+，14cos 25m m α+=-=-+，所以，sin 353tan cos 544ααα⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭，因此，()()sin 2024πcos 2023πsin cos 147112021πsin tan 33cos 2ααααααα+++-==-+=--=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：73-.47．（2024·全国·模拟预测）若()223ππ1cos cos 714f x x x ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎦，则()f x 的最大值为，()f x 的最小值为．【答案】91【分析】借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值.【详解】因为πππ3π3πcos sin sin sin 1421477x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=，此式可看作点(到点3π3πcos ,sin 77x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的距离．而点3π3πcos ,sin 77x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的轨迹是圆221+=m n ．又点(到圆心()0,0的距离为2，所以()f x 的最大值()()2max 219f x =+=，()f x 的最小值()()2min 211f x =-=．故答案为：9；1【点睛】将所给函数式展开必将陷入命题人的圈套，此时要整体把握目标，借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值，既简单又节省时间．本题不仅要求学生具备扎实的基本功，具有整体把握目标的能力，还对学生分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力、运算求解能力等要求较高．48．（2024·四川绵阳·三模）已知π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin π3θ+=-，则tan θ=.【答案】【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.【详解】由()sin π3θ+=-得sin 3θ=，由π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos θ=-，故sin tan cos θθθ==故答案为：2-49．（2024·山西阳泉·三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-=⎪⎝⎭．【分析】整体法诱导公式结合同角三角函数关系求出答案.【详解】因为ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ5π,61212α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故πcos 06α⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦50．（2024·浙江温州·二模）已知tan x =，则23sin 2sin cos x x x -=.【分析】利用同角三角函数的关系化简23sin 2sin cos x x x -为齐次式，再代入tan x =.【详解】因为tan x =，所以2222223sin 2sin cos 3tan 2tan 3sin 2sin cos sin cos 1tan x x x x xx x x x x x---==++、()2231⨯-==+51．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知tan 2θ=，则1sin 2cos 2θθ+的值是．【答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将tan 2θ=代入即可.【详解】因为tan 2θ=，所以2211sin 2cos 22sin cos cos sin θθθθθθ=++-2222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ+=+-221tan 2tan 1tan θθθ+=+-221252212+==⨯+-，故答案为：5.52．（2024高三·全国·专题练习）已知()7sin cos 0π13ααα+=<<，则tan α=．【答案】125-【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解.【详解】解：已知7sin cos 13αα+=①，则()2sin cos 12sin cos 69491αααα+=+=，60sin cos 0169αα=-<，0πα<< ，sin 0α∴>，则cos 0α<，sin cos 0αα->，17sin cos13αα∴-===②，联立①②，得12sin 13α=，5cos 13α=-12tan 5α∴=-，故答案为：125-.53．（2024高三上·湖南衡阳·期中）已知sin cos 3αα-=-，则sin 2α=．【答案】79【分析】sin cos 3αα-=-平方，结合同角三角函数平方关系即正弦二倍角公式求解.【详解】sin cos αα-=两边平方得：()22sin cos 12sin cos 1sin 29ααααα-=-=-=，解得：7sin 29α=.故答案为：7954．（2024·全国·模拟预测）已知π1sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 6α5π⎛⎫-=⎪⎝⎭.【答案】15/0.2【分析】由三角函数的诱导公式化简可得.【详解】由题可得5π5ππππ1cos cos cos sin 663235αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：1555．（2024高三上·内蒙古包头·阶段练习）若πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πtan 4θ⎛⎫-=⎪⎝⎭.【答案】【分析】以π4θ+为整体，根据诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：πππ1tan tanπ442tan 4θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭故答案为：56．（2024高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知()1sin 535α︒-=，且27090α-︒<<-︒，则()sin 37α︒+=．【答案】【分析】设53βα︒=-,37γα︒=+,则90βγ︒+=,90γβ︒=-，从而将所求式子转化成求cos β的值，利用α的范围确定cos β的符号.【详解】设53βα︒=-,37γα︒=+,那么90βγ︒+=,从而90γβ︒=-.于是()sin sin 90cos γββ︒=-=.因为27090α︒︒-<<-,所以143323β︒︒<<.由1sin 05β=>,得143180β︒︒<<.所以cos β===所以()sin 37sin 5αγ︒+==-.故答案为：57．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【答案】12-/-0.5【分析】根据任意角三角比的定义和诱导公式求解.【详解】因为角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，所以||1r OP ==13π12sin cos 212x r αα⎛⎫-=-=-=-=- ⎪⎝⎭，故答案为：12-.58．（2024高一·全国·课后作业）若角α的终边落在直线y x =上，则co 3si 22n s παπα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-．【分析】化简得到3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎫⎪⎪-++=--⎝⎭⎝⎭，考虑角α为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.【详解】因为角α的终边落在直线y x =上，所以角α为第一或第三象限角，3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-++=--⎝⎭⎝⎭，当角α为第一象限角时，cos sin αα==，cos sin αα--==当角α为第三象限角时，cos sin αα==cos sin 22αα--=+=或.四、解答题59．（2024高三·全国·专题练习）已知角α的终边落在直线2y x =上．求(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+的值；(2)25sin 3sin cos 2ααα+-的值．【答案】(1)613(2)165【分析】由角α的终边落在直线2y x =上可得tan 2α=，再根据同角函数的关系求解即可.【详解】（1）由角α的终边落在直线2y x =上可得tan 2α=则原式=4tan 28265tan 310313αα--==++；（2）原式222225sin 3sin cos 5tan 3tan 20616222sin cos tan 155αααααααα+++=-=-=-=++.60．（2024高一下·安徽·期中）已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P (),x y ，若点P 位于x 轴上方且12x y +=.(1)求sin cos θθ-的值；(2)求44sin cos θθ+的值.【答案】(2)2332【分析】（1）根据cos sin θθ+，cos sin θθ-，cos sin θθ三个直接的关系，可得sin cos θθ-.（2）由4422sin cos 12sin cos θθθθ+=-可得.【详解】（1）由三角函数的定义，1cos sin 2θθ+=，sin 0θ>，两边平方，得221cos sin 2sin cos 4θθθθ++=则32sin cos 04θθ=-<，sin 0θ>，cos 0θ<，所以sin cos 0θθ->，sin cos2θθ-=.（2）由（1）知，3sin cos 8θθ=-，4422222923sin cos (sin cos )2sin cos 126432θθθθθθ+=+-=-⨯=.。
高考数学一轮复习专题5.2同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点讲解含解析
在使用开平方关系 sinα＝± 1－cos2α和 cosα＝± 1－sin2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负
号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负
号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
高频考点二 sinα cosα与 sinαcosα的关系及应用
【典例 3】（2019·山东高三期末（理））已知
，
，则
（）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】B 【解析】 由题意知，
，①
，即
，
， 为钝角，， ，
，
，②
由①②解得
，
，故选 B.
专题 5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【考纲解读与核心素养】 1. 理解同角三角函数的基本关系. 2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.
3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测： （1）公式的应用.
（2）高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主． 5.备考重点： （1）掌握诱导公式，注意灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系；
解得： sin
6 3
故选 ：B
2.（2020·山西平城�
大同一中高一月考）已知 tan
3 ，则
3sin cos 5cos sin
（
）
A． 2
B． 4
C． 6
D． 8
【答案】B
【解析】
3sin cos
由已知
5cos sin
3tan 1 5 tan
33 5
2022高考数学(文)一轮通用版讲义：4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1理解同角三角函数的基本关系式：sin2＋cos2＝1，＝tan．±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．突破点一同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系1平方关系：sin2α＋cos2α＝1α∈R．2商数关系：tanα＝2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“11＝sin2θ＋cos2θ＝表达式中需要利用一、判断题对的打“√”，错的打“×”1若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝12若α∈R，则tanα＝恒成立．答案：1×2×二、填空题1．已知α∈，sinα＝，则tanα＝________解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－，于是tanα＝－答案：－2．已知tanα＝2，则的值为________．解析：原式＝＝＝3答案：3考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] 12022·成都龙泉中学月考设cos－80°＝，那么tan100°等于B．－D．－22022·甘肃诊断已知tan＝，且角的终边落在第三象限，则cos＝B．－D．－[解析] 1∵cos－80°＝cos80°＝，∴sin80°＝＝，∴tan100°＝－tan80°＝－故选B2因为角的终边落在第三象限，所以cos<0，因为tan＝，所以解得cos＝－，故选D[答案] 1B 2D[易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．考法二知切求f sinα、cosα的值[例2] 2022·保定三校联考已知tan3π＋α＝3，则＝D．2[解析] ∵tan3π＋α＝3，∴tanα＝3，∴＝＝＝故选B [答案] B[方法技巧]利用“切弦互化”的技巧1弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sinα，cosα的二次齐次式如a sin2α＋b sinαcosα＋c cos2α的问题常采用“切”代换法求解；②sinα，cosα的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．2切化弦：利用公式tanα＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．考法三sinα±cosα与sinαcosα关系的应用[例3] 1已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为B．±C．－D．－2已知－<α<0，sinα＋cosα＝，则＝[解析] 1因为sinαcosα＝，所以cosα－sinα2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，因为<α<，所以cosα<sinα，即cosα－sinα<0，所以cosα－sinα＝－2∵sinα＋cosα＝，∴1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，cosα－sinα2＝1＋＝又∵－<α<0，∴cosα>0>sinα，∴cosα－sinα＝，∴＝＝＝[答案] 1D 2B[方法技巧]正弦、余弦“sinα±cosα，sinα·cosα”的应用sinα±cosα与sinα·cosα通过平方关系联系到一起，即sinα±cosα2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝因此在解题中已知1个可求另外2个．已知α∈0，π，cosα＝－，则tanα＝B．－D．－解析：选D ∵cosα＝－且α∈0，π，∴sinα＝＝，∴tanα＝＝－故选D已知sinα＋cosα＝，则sinαcosα的值为________．解析：∵sinα＋cosα＝，∴sinα＋cosα2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2sinαcosα＝，解得sinαcosα＝－答案：－已知tanα＝－，求：1的值；2的值；3sin2α＋2sinαcosα的值．解：1＝＝＝2＝＝＝＝＝－3sin2α＋2sinαcosα＝＝＝＝－突破点二三角函数的诱导公式组一二三四五六一、判断题对的打“√”，错的打“×”1sinπ＋α＝－sinα成立的条件是α为锐角．2诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．答案：1×2√二、填空题1．已知cosπ＋α＝－，则sin等于________．解析：cosπ＋α＝－cosα＝－，则cosα＝，sin＝－sin ＝－cosα＝－答案：－2．已知sin＝，则sin等于________．解析：sin＝sin＝－sin＝－答案：－3．已知tan＝，则tan＝________解析：tan＝tan＝tanπ－－α＝－tan＝－答案：－1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求1化简过程是恒等变形；2结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．2022·武威六中第一次阶段性检测已知fα＝1化简fα；2若－<α<，且fα<，求α的取值范围．解：1fα＝＝＝＝－sinα2由已知得－sinα<，∴sinα>－，∴2π－<α<2π＋，∈Z∵－<α<，∴－<α<故α的取值范围为应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项1已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．2对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．1．2022·玉林陆川中学期中sin570°的值是A．－D．－解析：选A sin570°＝sin720°－150°＝－sin150°＝－故选A2．2022·湖北八校联考已知sinπ＋α＝－，则tan＝A．2 B．－2D．±2解析：选D ∵sinπ＋α＝－，∴sinα＝，∴tan＝＝±2，故选D3．2022·南充模拟设f＝a sinπ＋α＋b cosπ＋β，其中a，b，α，β都是非零实数．若f2022＝－1，则f2022＝A．1 B．2C．0 D．－1解析：选A ∵f2022＝a sin2022π＋α＋b cos2022π＋β＝－a sinα－b cosβ＝－1，∴a sinα＋b cosβ＝1，∴f2022＝a sin2022π＋α＋b cos2022π＋β＝a sinα＋b cosβ＝4．化简：＝________解析：原式＝＝＝1答案：1[课时跟踪检测][A级基础题——基稳才能楼高]1．2022·新疆普通高中学业水平考试已知∈，cos＝，则tan的值为B．－D．－解析：选B 因为∈，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－故选B2．2022·淮南十校联考已知sin＝，则cos的值是A．－D．－解析：选A ∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－，故选A3．2022·重庆一模log2的值为A．－1 B．－解析：选B log2＝log2＝log2＝－故选B4．2022·遵义模拟若sin＝－，且α∈，π，则sinπ－2α＝A．－B．－解析：选A ∵sin＝cosα＝－，α∈，∴sinα＝，∴sinπ－2α＝sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－故选A5．2022·沈阳模拟若＝2，则cosα－3sinα＝A．－3 B．3C．－解析：选C ∵＝2，∴cosα＝2sinα－1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋2sinα－12＝1,5sin2α－4sinα＝0，解得sinα＝或sinα＝0舍去，∴cosα－3sinα＝－sinα－1＝－故选C 6．2022·庄河高中期中已知sin＝，则cos等于C．－D．－解析：选A cos＝cos＝sin＝故选A[B级保分题——准做快做达标]1．2022·宝鸡金台区质检已知sin2α＝，则tanα＋＝C．3 D．2解析：选C tanα＋＝＋＝＝＝＝2．2022·常德一中月考已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝C．－D．－解析：选C 因为sinα＋2cosα＝，sin2α＋cos2α＝1，解得或所以tanα＝3或－所以tan2α＝＝＝－或tan2α＝＝＝－故选C3．2022·株洲醴陵二中、四中期中联考已知2sinα－cosα＝0，则sin2α－2sinαcosα的值为A．－B．－解析：选A 由已知2sinα－cosα＝0得tanα＝，所以sin2α－2sinαcosα＝＝＝－故选A4．2022·大庆四地六校调研若α是三角形的一个内角，且sin＋cos＝，则tanα的值是A．－B．－C．－或－D．不存在解析：选A 由sin＋cos＝，得cosα＋sinα＝，∴2sinαcosα＝－<0∵α∈0，π，∴α∈，∴sinα－cosα＝＝，∴sinα＝，cosα＝－，∴tanα＝－，故选A5．2022·平顶山、许昌联考已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是B．－C．－3 D．3解析：选A 由＝5，得＝5，解得tanα＝2，∴cos2α＋sin2α＝＝＝＝6．2022·河南中原名校联考已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于的方程22＋－1＋m＝0m∈R的两根，则sinθ－cosθ＝D．－解析：选B ∵sinθ，cosθ是方程22＋－1＋m＝0m∈R的两根，∴sinθ＋cosθ＝，sinθ·cosθ＝，可得sinθ＋cosθ2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝，解得m＝－∵θ为第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，∵sinθ－cosθ2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋，∴sinθ－cosθ＝＝，故选B 7．2022·全国卷Ⅰ已知角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点A1，a，B2，b，且cos2α＝，则|a－b|＝D．1解析：选B 由cos2α＝，得cos2α－sin2α＝，∴＝，即＝，∴tanα＝±，即＝±，∴|a－b|＝故选B8．2022·武邑中学调研已知sinα＝，0<α<π，则sin＋cos＝________解析：2＝1＋sinα＝，又0<α<π，∴sin＋cos>0，∴sin ＋cos＝答案：9．2022·广西桂林等五市联考已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则tanθ＝________解析：∵sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＋cosθ2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＝1＋2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝－，又<θ<π，∴sinθ－cosθ>0，∴sinθ－cosθ2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθ＝，∴sinθ－cosθ＝，由，解得∴tanθ＝＝－答案：－10．2022·浙江名校协作体检测已知sin·cos＝，且0<α<，则sinα＝________，cosα＝________解析：sincos＝－cosα－sinα＝sinαcosα＝又∵0<α<，∴0<sinα<得sinα＝，cosα＝答案：11．2022·惠安惠南中学月考已知cosα－sinα＝，α∈1求sinαcosα的值；2求的值．解：1∵cosα－sinα＝，α∈，平方可得1－2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝2sinα＋cosα＝＝＝，∴原式＝＝＝cosα＋sinα＝12．在△ABC中，1求证：cos2＋cos2＝1；2若cossintan C－π＜0，求证：△ABC为钝角三角形．证明：1在△ABC中，A＋B＝π－C，所以＝－，所以cos＝cos＝sin，所以cos2＋cos2＝12因为cossintan C－π＜0，所以－sin A－cos B tan C＜0，即sin A cos B tan C＜0因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A ＞0，所以或所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形。
高考数学一轮复习第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02sinαcosα＝tan α.2．六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋ α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－απ2＋α正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α≠π2＋kπ，k∈Z ；sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.1．若cosα＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，则tanα等于()A．－24B．24C．－22D．22答案 C解析由已知得sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22，选C.2．(2021·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是() A．－43B．±43C.3D．43答案 A解析∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a＝－43.故选A.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C ．π6D ．π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a2aB ．1－a2C.a2－1aD ．－1－a2答案 B解析 sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.5．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)的结果为________.答案 －sin 2α 解析 原式＝sinαcosα(－sin α)cos α＝－sin 2α.6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 因为α是第二象限的角，所以sin α>0，cos α<0，由tan α＝－12，得sin α＝－12cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，得54cos 2α＝1，所以cos α＝－255.考向一 诱导公式的应用 例1 (1)化简：错误!＝________. 答案 －1 解析 原式＝错误!＝tanαcosαsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________.答案 －1713解析 因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－错误!＝－错误!.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.(3)(2020·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q 的坐标是________.答案 (－1，3)解析 ∵OP→＝(3，1)＝(2cos θ，2sin θ)，cos θ＝32，sin θ＝12，∴将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2＝(－2sin θ，2cos θ)＝(－1，3)，∴点Q 的坐标是(－1，3)．1.诱导公式的两个应用方向与原则(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.1.(2020·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3的值为( )A.223B ．23 C ．26D ．526答案 A解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝1－cos2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223.故选A.2．计算：sin(－1200°)cos1290°＝________. 答案34解析 原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin60°cos30°＝32×32＝34.3．化简：错误!. 解 原式＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!. 多角度探究突破考向二 同角三角函数的基本关系 角度1 切弦互化例2 (1)(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B ．－12C ．32D ．－32答案 A解析 由三角函数定义，得tan α＝32sinα，所以sinαcosα＝32sinα，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2020·济宁三模)已知tan(π－α)＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＝________.答案13解析 因为tan(π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝－2＋1－2－1＝13. 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tan α＝sinαcosα和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α.4.已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α等于( )A.13B ．31010C ．377 D ．355答案 B解析 因为tan(π－α)＋3＝0，所以tan α＝3，sin α＝3cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝910. 又因为α为锐角，故sin α＝31010.故选B.5．已知α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，则tan α＝________.答案 －43解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，∴sin α＝45，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－35，∴tan α＝sinαcosα＝－43.角度2 “1”的变换例3 (2021·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P (1,2)，则sin2α1－3sinαcosα＝________.答案 －4解析 因为角α的终边上有一点P (1,2)，所以tan α＝2. 所以sin2α1－3sinαcosα＝sin2αsin2α＋cos2α－3sinαcosα＝tan2αtan2α＋1－3tanα＝2222＋1－3×2＝－4. 对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．6.已知tan α＝2，则(1)3sinα－2cosαsinα＋cosα＝________；(2)23sin 2α＋14cos 2α＝________. 答案 (1)43 (2)712解析 因为tan α＝2，所以， (1)原式＝3tanα－2tanα＋1＝3×2－22＋1＝43.(2)原式＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2αsin2α＋cos2α ＝23·tan2αtan2α＋1＋14·1tan2α＋1 ＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712. 角度3 sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例4 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34答案 B解析 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则 错误!等于( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 A 解析 因为错误! ＝1－2sinθcosθ＝错误!＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为 (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， (sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ， (sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．7.若1sin α＋1cosα＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1答案 A 解析 由1sinα＋1cosα＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1.故选A.8．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝( )A ．－7B ．7 C.3D ．－3答案 A解析 因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tanα1＋tanα＝cosα－sinαcosα＋sinα＝－7212＝－7.故选A.一、单项选择题1．sin210°cos120°的值为( ) A.14B ．－34C ．－32D ．34答案 A解析 sin210°cos120°＝sin(180°＋30°)cos(180°－60°)＝－sin30°·(－cos60°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝14.故选A. 2．(2020·潍坊模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33 C ．3 D ．－3答案 D解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，得到－π2<φ<π2，∴cos φ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＝12，则tan φ＝－3212＝－3.故选D.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 B解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sinαcosα＝－34，sin2α＋cos2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35.故选B. 4．已知A ＝错误!＋错误!(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 C解析 当k 为偶数时，A ＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k 为奇数时，A ＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.故A 的值构成的集合是{2，－2}．5．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tanα＝( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵sin α＋cos α＝－2，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12.tan α＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112＝2.故选A.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12的值为( ) A.13B ．223 C ．－13D ．－223答案 A解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13. 7．(2020·济宁模拟)直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，则sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值为( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案 D解析 ∵直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，∴tan α＝2，∴sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝sin αcos α＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝21＋22＝25.故选D.8．化简1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析 原式＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝错误! ＝错误!＝sin α＋cos α.故选C.9．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．5－12答案 B解析 由sin θ＋sin 2θ＝1，得sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，∴cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2θ)＝sin θ＋sin 2θ＝1.10．(2020·海口模拟)若对任意x ∈R ，都有cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝sin(ωx ＋φ)(ω∈R ，|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω，φ)的对数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由条件知ω＝±2.若ω＝2，由φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π，得φ＝－π3；若ω＝－2，sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋π－φ)，则π－φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－2k π＋4π3(k ∈Z )，又|φ|<π，则φ＝－2π3，故满足条件的有序数对(ω，φ)的对数为2.二、多项选择题11．在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sin B ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ；sin B ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－A 2＝cos A 2；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C .12．(2020·湖北宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案 AC解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题13．sin 4π3cos 5π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4π3的值是________.答案 －334解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×(－3)＝－334.14．已知sin θ＝13，则错误!＝________.答案98解析 原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.15．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝________.答案 －43解析 因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4sin π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－43.16．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan2α＋sin α·1＋1tan2α＝________.答案 0解析 原式＝cos αsin2α＋cos2αcos2α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.四、解答题17．已知α为第三象限角，f (α)＝错误!.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝错误! ＝错误!＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－1－sin2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.18．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解 由已知得tan α＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋1＋2＝135.19．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值．解 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15.∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2.∴2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝45－55＋11－2＝55－95. 20．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 存在．由sin ()3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β得sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴cosα＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sinβ＝12，由②知cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sinβ＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．21 / 21。
2023版高考数学一轮总复习4-1三角函数的概念同角三角函数的基本关系和诱导公式习题
4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式基础篇 固本夯基考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1.(2022届河南重点中学模拟,1)已知sin37°=35,则cos593°=( ) A.35 B.-35 C.45 D.-45 答案 B2.(2022届江西十七校期中,3)当θ∈(0,π2)时,若cos (5π6-θ)=-12,则sin (θ+π6)的值为( )A.12 B.√32 C.-√32D.-12答案 B3.(2020课标Ⅱ,2,5分)若α为第四象限角,则 ( ) A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0 答案 D4.(2021陕西榆林一模,3)如图,角α,β的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆O 分别交于A,B 两点,则θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.cos(α-β)B.cos(α+β)C.sin(α-β)D.sin(α+β) 答案 A5.(2021四川宜宾二诊,3)若点sin5π6,cos5π6在角α的终边上,则sinα=( )A.√32 B.12 C.-√32 D.-12 答案 C6.(2021河南中原名校联盟4月联考,4)已知cos 20212π+α=-12,α∈(π2,π),则cosα=( )A.12 B.-12 C.√32 D.-√32 答案 D7.(2020成都七中模拟,2)记cos(-80°)=k,那么tan100°=( ) A.√1-θ2θ B.-√1-θ2θ C.√ D.-√答案 B8.(2021云南顶级名校期末联考,6)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2020)=1,则f(2021)=( ) A.1 B.2 C.0 D.-1 答案 D9.(2020皖北名校3月联考,13)sin613°+cos1063°+tan30°的值为 . 答案√3310.(2021安徽黄山二模,13)若一扇形的圆心角为144°,半径为10cm,则扇形的面积为 cm 2. 答案 40π11.(2021山西三市五校3月联考,14)已知cos (π2-α)+sin (π2+β)=1,则cos 2(32π+θ)+cosβ-1的取值范围为 .答案 [-14,0]12.(2022届湖南名校10月联考,14)如图所示的时钟显示的时刻为3:30,此时时针与分针的夹角为α(0<θ≤π2).若一个半径为12的扇形的圆心角为α,则该扇形的弧长为 .答案 5π13.(2022届黑龙江八校期中,14)化简:tan(π-θ)cos(2π-θ)sin (-θ+3π2)cos(-θ-π)sin(-π-θ)的值为 .答案 -1综合篇 知能转换考法一 三角函数定义的应用1.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,8)已知角θ的终边过点A(6,a),且sin(θ-3π)=45,则tan (2θ-π4)=( )A.1731B.-3117C.317D.-731答案 A2.(2022届安徽六安一中月考三,9)在平面直角坐标系xOy 中,α为第四象限角,角α的终边与单位圆O 交于点P(x 0,y 0),若cos α+π6=45,则x 0=( ) A.4√3-310B.4√3+310C.4√3-410D.4√3±310答案 A3.(2021黑龙江牡丹江二模,6)角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),则2sinα-cosα=( ) A.√55B.-√55C.√55或-√55D.3√55或-3√55答案 D4.(2021河南洛阳重点中学模拟,6)现有如下结论:①若点P(a,2a)(a≠0)为角α的终边上一点,则sinα=2√55;②同时满足sinα=12,cosα=√32的角有无数个;③设tanα=12且π<α<32π,则sinα=-√55;④设cos(sinθ)·tan(cosθ)>0(θ为象限角),则θ是第一象限角,其中正确结论的序号为( )A.①②B.②③C.①③D.②④ 答案 B5.(2020太原名校联盟4月模拟,7)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(-3,4),则cosα=( )A.3√3+410B.-3√3+410C.3√3-410D.4-3√310答案 B6.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.解析 (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cosα=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.考法二 同角三角函数的基本关系的应用1.(2022届江西十七校期中,5)已知tanθ=2,则(sinθ-3cosθ)2-1的值为( ) A.-45 B.45 C.-15 D.15 答案 A2.(2021江西萍乡二模,5)已知tanα=-2,则sin2α+cos 2α的值为( ) A.45B.-45C.35D.-35答案 D3.(2021湘豫名校联盟4月联考,8)若tanα=2sin(α-π),则cos2α=( ) A.-14B.1C.-12或0 D.-12或1答案 D4.(2020河南禹州高级中学月考,4)α∈(π4,π2),12sin θ+12cos θ=35,则tan2α=( ) A.247B.-247C.±247D.-724答案 B5.(2020辽宁丹东二模,8)在△ABC 中,cosA+sinA=15,则tan (θ-π4)=( ) A.7 B.-17 C.±7 D.±17答案 A6.(2020浙江,13,6分)已知tanθ=2,则cos2θ= ,tan (θ-π4)= . 答案 -35;137.(2022届新疆克拉玛依模拟三,15)在△ABC 中,已知sinA+cosA=15,则sinA-cosA= . 答案 758.(2022届宁夏长庆高级中学月考一,17)已知函数y=sinθ+cosθ+2sinθcosθ. (1)设变量t=sinθ+cosθ,试用t 表示y=f(t),并写出t 的取值范围; (2)求函数y=f(t)的值域.解析 (1)因为t=sinθ+cosθ(θ∈R),sin 2θ+cos 2θ=1,所以2sinθcosθ=t 2-1,故f(t)=t 2+t-1,t=sinθ+cosθ=√2sin (θ+π4)∈[-√2,√2],故t 的取值范围为[-√2,√2]. (2)由(1)知y=f(t)=t 2+t-1=(θ+12)2-54(t∈[-√2,√2]),由二次函数的性质可知,y=f(t)的最小值为f (-12)=-54,又f(-√2)=1-√2,f(√2)=1+√2,所以y=f(t)的值域为[-54,1+√2].。
高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析 原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析 由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152， 即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一 诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析 由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析 由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案 －33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二 同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2， 故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析 由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23， 则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1， 整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0， 解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级 基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析 由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析 原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案 －43解析 由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5， 又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级 能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析 因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案 －74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59， 所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23， 即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。
2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第2练 同角三角函数的基本关系及诱导公式(解析版)
参考答案：
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母
(1 sin2 cos2 )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 tan 2 即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：
sin 1 sin 2 sin sin2 cos2 2sin cos sin sin cos
上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P 的角速度大小为 2rad/s ，起点为 e O 与 x 轴正半轴
的交点；Q 的角速度大小为 5rad/s ，起点为射线 y 3x x 0 与 e O 的交点．则当 Q 与
P 重合时，Q 的坐标可以为（ ）
A．
cos
2 9
, sin
2 9
C．
cos
9
20．（2023·全国·高三专题练习）已知 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
b
3
，
a
c
，且
sin
π 3
A
cos
π 6
A
1 4
．
(1)求 A 的大小；
(2)若 a sin A c sin C 4 3 sin B ，求 VABC 的面积．
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1．C
B．
cos
7π 8
1 3
C．
sin
13π 8
2
2 3
D．
tan
π 8
2
2
10．（2023·全国·高一假期作业）已知 sin cos 1 ， 0, π ，则（ ）
5
A． sin cos 12 25
B． sin cos 12 25
C． sin cos 7 5
D． tan 4 3
高三数学第一轮复习课时作业(17)同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课时作业(十七) 第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式时间：35分钟 分值：80分基础热身1．2011·衡水质检 cos ⎝⎛⎭⎫－20π3＝( ) A.12 B.32C ．－12D ．－322．已知△ABC 中，1tan A ＝－125，则cos A 等于( ) A.1213 B.513C ．－513D ．－12133．2011·山西四校联考 已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( ) A ．－1 B ．－2 C.12D ．2 4．2011·烟台调研 若sin(π＋α)＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α＝________. 能力提升5．已知A 是△ABC 的内角，则“cos A ＝12”是“sin A ＝32”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6的值为( ) A.13 B ．－13C.233 D ．－2337．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)cos(－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12 D.138．2011·全国卷 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 9．2011·焦作联考 已知cos α＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2cos π3x (x ≤2000)，x －100(x >2000)，则ff (2012)＝________. 11．若tan α＝2，则11－sin α＋11＋sin α＝________. 12．(13分)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．难点突破13．(12分)已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z )．求值： (1)f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)；(2)f (1)·f (3)·f (5)·…·f (101)．课时作业(十七)【基础热身】1．C 解析 cos ⎝⎛⎭⎫－20π3＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C. 2．D 解析 由1tan A ＝－125，得tan A ＝－512<0，则A 为钝角， 由sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A ＝cos A tan A ，得cos 2A ＝11＋tan 2A ＝11＋⎝⎛⎭⎫－5122＝144169， 因为A 为钝角，则cos A ＝－1213，故选D. 3．D 解析 由sin α＋cos α＝2，得1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，∴tan α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α＝2，故选D. 4．－33 解析 由sin(π＋α)＝12，得sin α＝－12， ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝32，tan α＝sin αcos α＝－33. 或由sin α＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得α＝－π6，tan α＝－tan π6＝－33.【能力提升】5．A 解析 ∵A 是△ABC 的内角，cos A ＝12， ∴0<A <π2，sin A ＝1－cos 2A ＝32， 若sin A ＝32，则cos A ＝±1－sin 2A ＝±12，故选A. 6．A 解析 ∵π3＋α＝π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，故选A. 7．C 解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12，故选C. 8．－55 【解析】 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 9.125 解析 由α是第二象限的角，得sin α＝1－cos 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125，则 tan(2π－α)＝－tan α＝125.10．－1 解析 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2cos π3x (x ≤2000)，x －100(x >2000)得f (2012)＝2012－100＝1912，f (1912)＝2cos ⎝⎛⎭⎫1912×π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫636π＋43π＝2cos 43π＝－1，故ff (2012)＝－1. 11．10 解析 原式＝2(1－sin α)(1＋sin α)＝21－sin 2α＝2cos 2α＝2(sin 2α＋cos 2α)cos 2α＝2(tan 2α＋1)＝2×(4＋1)＝10.12．解答 ∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角． 当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α ＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52. 当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.【难点突破】13．解答 (1)∵sin (n ＋12)π6＝sin ⎝⎛⎭⎫n 6π＋2π＝sin n 6π，∴f (n ＋12)＝f (n )， 且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0，又102＝8×12＋6，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (102)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3. (2)∵f (2n －1)＝sin (2n －1)π6，其周期为6， f (1)·f (3)·…·f (11)＝12×1×12×⎝⎛⎭⎫－12×(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－⎝⎛⎭⎫124. 从1到101有51个奇数，而51＝6×8＋3，∴原式＝⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫1248·f (1)·f (3)·f (5)＝⎝⎛⎭⎫1234.。
2025高考数学一轮复习-4.2-同角三角函数的基本关系式与诱导公式【课件】
(3)常见的互余和互补的角
互余 的角
π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－ α等
互补 的角
π3＋θ 与23π－θ；4π＋θ 与34π－θ 等
考点二 同角三角函数基本关系式的应用
角度 1：“知一求二”问题 【例 1】 (1)已知 sinα＝13，且 α 为第二象限角，求 tanα. (2)已知 sinα＝13，求 tanα. (3)已知 sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求 tanα.
易错易混 5．已知 θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝ 32－1，则 tanθ 的值为__－___3___．
【解析】 解法一：将 sinθ＋cosθ＝ 32－1两边平方，得 1＋2sinθcosθ＝1－ 23，即
sinθcosθ＝－ 43，易知 θ≠π2.
故 sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝－ 43，解得 tanθ＝－
cosα
－cosα □10 sinα □11 －sinα
□14 －tanα □15 －tanα
提醒：(1)诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指 函数名称的变化． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( × ) (2)若 α∈R，则 tanα＝csoinsαα恒成立．( × ) (3)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．( × ) (4)若 sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sinα＝13.( × )
新高考数学一轮复习教师用书：第4章 2 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．[基本关系式变形]sin 2α＝1－cos 2α,cos 2α＝1－sin 2α,sin α＝tan αcos α, cos α＝sin αtan α,(sin α±cos α)2＝1±2 sin αcos α.2．六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k∈Z) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin α sin α cos__α cos α 余弦 cos α －cos α cos__α －cos α sin α －sin__α正切 tan αtan α－tan α－tan__α口诀函数名不变 符号看象限函数名改变 符号看象限简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k∈Z)的形式,奇变偶不变,符号看象限．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对任意的角α,β,都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ,则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n∈Z),则cos θ＝13.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× [教材衍化]1．(必修4P19例6改编)若sin α＝55,π2<α<π,则tan α＝________． 解析：因为π2<α<π,所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55,所以tan α＝sin αcos α＝－12.答案：－122．(必修4P22B 组T3改编)已知tan α＝2,则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：33．(必修4P28练习T7改编)化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin (α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.答案：－sin 2α [易错纠偏](1)不会运用消元的思想；(2)π±α的形式没有把k 按奇数和偶数进行分类讨论导致出错． 1．已知tan x ＝2,则1＋sin 2x 的值为________． 解析：1＋sin 2x ＝cos 2x ＋2sin 2x ＝cos 2x ＋2sin 2x sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2tan 2x 1＋tan 2x ＝95. 答案：952．已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α(k∈Z),则A 的值构成的集合是________．解析：k ＝2n(n∈Z)时,A ＝sin （2n π＋α）sin α＋cos （2n π＋α）cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.当k ＝2n ＋1(n∈Z)时,A ＝sin （π＋α）sin α＋cos （π＋α）cos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－1＋(－1)＝－2. 答案：{2,－2}同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛,也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦． 角度一 知弦求弦(2020·丽水模拟)已知sin θ＋cos θ＝43,θ∈(0,π4),则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23 D ．－13【解析】 (sin θ＋cos θ)2＝169,所以1＋2sin θcos θ＝169,所以2sin θcos θ＝79,由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29,可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0,π4),sin θ<cosθ,所以sin θ－cos θ＝－23. 【答案】 C 角度二 知弦求切已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2,则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34 【解析】 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35,所以sin α＝－35,显然α在第三象限,所以cos α＝－45,故tan α＝34.【答案】 B 角度三 知切求弦若tan α＝34,则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1 D.1625【解析】 法一：由tan α＝sin αcos α＝34,cos 2α＋sin 2α＝1,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425,则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425.法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 【答案】 A同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解．(2)知弦求切：常通过平方关系sin 2α＋cos 2α＝1及商数关系tan α＝sin αcos α结合诱导公式进行求解．(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式,然后用平方关系求解．若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值,则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值就可以求出这个分式的值,如asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；asin 2α＋bcos 2α＋csin αcos α＝asin 2α＋bcos 2α＋csin αcos αsin 2α＋cos 2α＝atan 2α＋b ＋ctan αtan 2α＋1.1．已知sin α＋cos α＝15,那么角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第二或第四象限解析：选D.因为sin α＋cos α＝15,所以两边平方得1＋2sin αcos α＝125,即2sin αcos α＝－2425,所以sin αcos α<0,验证可知,角α是第二或第四象限角,故选D. 2．已知α是第二象限的角,tan α＝－12,则cos α＝________．解析：因为α是第二象限的角,所以sin α＞0,cos α＜0,由tan α＝－12,得cos α＝－2sin α,代入sin 2α＋cos 2α＝1中, 得5sin 2α＝1,所以sin α＝55,cos α＝－255. 答案：－255诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________． (2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根,且α是第三象限角,则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23,则sin (α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1,x 2＝－23,由题知cos α＝－23,所以sin α＝－53,tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2,所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时,用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦,统一名． ②用诱导公式,统一角．③用因式分解将式子变形,化为最简．1．若sin(π2＋α)＝－35,且α∈(π2,π),则sin(π－2α)＝( )A.2425B.1225C ．－1225D ．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cos α＝－35,且α∈(π2,π),得sin α＝45,所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425,选项D 正确．2．已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线3x －y ＝0上,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）＝________．解析：由题意可知tan θ＝3,原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.答案：323．(2020·宁波高三模拟)已知cos(π＋α)＝－12,求sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）(n∈Z)．解：因为cos(π＋α)＝－12,所以－cos α＝－12,cos α＝12.sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.[基础题组练]1．计算：sin 116π＋cos 103π＝( )A ．－1B ．1C ．0D.12－32解析：选A.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3 ＝－sin π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－12－cos π3 ＝－12－12＝－1.2．已知tan (α－π)＝34,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B.由tan (α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2,所以cos α＝－45,所以α为第三象限的角,sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ),|θ|<π2,则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ), 所以－sin θ＝－3cos θ,所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2,所以θ＝π3.4．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α),则sin αcos α等于( )A ．－25B.25 C.25或－25D ．－15解析：选A.因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α),所以sin α＝－2cos α,所以tanα＝－2,当α在第二象限时,⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55,所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时,⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55,所以sin αcos α＝－25,综上,sin αcos α＝－25,故选A.5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5,则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25解析：选D.依题意得tan α＋33－tan α＝5,所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 6．已知sin α＋3cos α＋1＝0,则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：选D.由sin α＝－3cos α－1,可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1,即5cos 2α＋3cos α＝0,解得cos α＝－35或cos α＝0,当cos α＝0时,tan α的值不存在,当cos α＝－35时,sin α＝－3cos α－1＝45,tan α＝sin αcos α＝－43,故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________．解析：原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：0 8．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α,而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23, 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. 答案：－239．已知θ为第四象限角,sin θ＋3cos θ＝1,则tan θ＝________．解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ,得6sin θcos θ＝－8cos 2θ,又因为θ为第四象限角,所以cos θ≠0,所以6sin θ＝－8cos θ,所以tan θ＝－43.答案：－4310．(2020·杭州市富阳二中高三质检)若3sin α＋cos α＝10,则tan α的值为________；1cos 2α＋sin 2α的值为________．解析：由3sin α＋cos α＝10,得到cos α＝10－3sin α,代入sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＋(10－3sin α)2＝1,得10sin 2α－610sin α＋9＝0,即(10sin α－3)2＝0, 解得sin α＝31010,cos α＝1010,则tan α＝sin αcos α＝3；1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α ＝tan 2α＋11＋2tan α＝9＋11＋6＝107. 答案：310711．已知π＜α＜2π,cos (α－7π)＝－35,求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值． 解：因为cos (α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35,所以cos α＝35.所以sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角,f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）. (1)化简f(α)；(2)若cos (α－3π2)＝15,求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α. (2)因为cos (α－3π2)＝15, 所以－sin α＝15, 从而sin α＝－15. 又α为第三象限角,所以cos α＝－1－sin 2α＝－265, 所以f(α)＝－cos α＝265. [综合题组练]1．(2020·台州市高三期末评估)已知cos α＝1,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝( ) A.12B.32 C ．－12 D ．－32 解析：选C.因为cos α＝1⇒α＝2k π,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin π6＝－12,故选C. 2．(2020·金华十校联考)已知sin αcos α＝18,且5π4<α<3π2,则cos α－sin α的值为( ) A ．－32 B.32C ．－34D.34解析：选B.因为5π4<α<3π2, 所以cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|,所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34, 所以cos α－sin α＝32. 3．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________． 解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 答案：－3344．若sin α＝2sin β,tan α＝3tan β,则cos α＝________． 解析：因为sin α＝2sin β,①tan α＝3tan β,tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4.又sin 2α＋cos 2α＝1,所以cos 2α＝38, 所以cos α＝±64. 答案：±645．已知f(x)＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x](n∈Z)． (1)化简f(x)的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π的值．解：(1)当n 为偶数,即n ＝2k(k∈Z)时,f(x)＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k＋1）π－x]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x(n ＝2k,k ∈Z)；当n 为奇数,即n ＝2k ＋1(k∈Z)时,f(x)＝cos 2[（2k ＋1）π＋x]·sin 2[（2k ＋1）π－x]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x}＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x(n ＝2k ＋1,k ∈Z)．综上得f(x)＝sin 2x.(2)由(1)得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＝sin 2π12＋sin 25π12 ＝sin2π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12 ＝sin2π12＋cos 2π12＝1.。