离散数学 代数系统的一般性质-1

如果参与运算的是同一个元素，则可以用幂的
形式表示。
5.1
x*x*... *x =xn
二 幂运算的性质(m,n都为正整数，＋是正整数上
元 的普通加法，乘是普通乘法)：
运 算
xm*xn=xm+n
及
(xm)n=xmn
其 （3）若x∈A，x*x=x,则称“*”运算满足幂等
性 律 。同时称S中的全体元素都是幂等元。
性 的加法：
质
f(〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5
通常将f(〈2,3〉)写成f(2,3)或2+3.
运算表表示运算
∘
a1
a2 …
an
a1 a1∘a1 a1∘a2 … a1∘an
a2 a2∘a1 a2∘a2 … a2∘an
.
...
.
...
.
...
an an∘a1 an∘a2 … an∘an
∘ai
特征,就是其运算结果都在原来的集合中且运算结果是唯一
5.1 的,它们都是函数。 二 元 运 算 把这种 数集 中的代数运算,抽象概括推广到一 及 般集合上，就得到代数运算的概念。集合中的代 其 数运算实质上是集合中的一类函数。 性 质
二元运算的定义及其实例
▪ 定义 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的 二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭.
a1 ∘a1 a2 ∘a2 .. .. .. an ∘an
运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运
算（{a,b}为全集）
的运算表
∼ 的运算表
{a} {b} {a,b}
{a} {b} {a,b}
{a} {b} {a,b} {a} {a,b} {b} {b} {a,b} {a} {a,b} {b} {a}
X
{a} {b} {a,b}
∼X
{a,b} {a} {b}
运算表的实例（续）
例5 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法 与乘法
的运算表
的运算表
01234
0 01234 1 12340 2 23401 3 34012 4 40123
01234
0 00000 1 01234 2 02413 3 03142 4 04321
为 S 上二元运算.
二元运算的实例（续）
(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 合，即
Mn
(R)
a11 a21 an1
a12 a22
an 2
a1n
a2n
ann
aij R, i, j 1, 2,..., n
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, .
▪ 特点： - 变量和函数值的取值限定在同一个集合上。
▪ 例1 - (1) N 上的二元运算：加法、乘法. - (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. - (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除 法.
- (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘
第5章 代数系统的一般 性质
代数结构
▪【引例】
▪（1）在Z集合上，x∈Z, 则f(x)=-x是将x映为它的相反
数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运
5.1 算的结果。这个运算可表示为函数：
二 ▪ f ：Z→Z
元
运 （2）在R+集合上，x∈R+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒
算 数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒
例：设N3={0, 1, 2}, 则N3 上的模3 加法+3 可以 使用运算表来表示, 如表4.1 所示。注意到，运
算表是对称的，这表明运算+3 满足交换律。
+3
0
0
0
1
1
2
2
1
2
1
2
2
0
0
1
▪ 定义5.2 设S是集合，n为正整数，函数
- f : SS...S→S
5.1 二 元 运
称为集合S上的n元运算，整数n称为运算 的阶。
及 数运算的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ → R+。
其 性 质
（3）设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b，a×b)是将两个数a， b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加 （减，乘）法运算的结果。这个运算可以表示为函数f :
R2 → R。
上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,它们有一个共同
(7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算∘.
一元运算的定义与实例
定义 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算，
简称为一元运算.
例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数 (2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的一元
运算: 求倒数
(3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~ (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS: 求反
质
幂集上的满足幂等律；不满足幂等律，但运算
有一个幂等元。
（4）若x, y, z∈S：
x*(y z)=(x*y) (x* z),
5.1 则称“*”运算对“”运算满足左分配律；
二
(yz)*x=(y*x)(z*x)，则称“*”运算对“ ”
元 运算满足右分配律。
- 从n元代数运算的定义可知它有三点涵义:
算
▪ A中任意n个元素都有运算结果;
及
▪ 运算是封闭的,即运算结果仍在A中;
其
▪ 结果是唯一的。
性
质
二元运算的性质
定义5.3-5.11 设“*”，“”均为集合S上的二元运算。
5.1 （1）若 x,y∈S:
二
x*y=y*x，
元 则称运算“*” 在S上满足交换律。
运 实数集合上的加法运算；幂集上的交运算。
算 （2）若x,y,z∈S:
及
x*(y*z)=(x*y)*z，
其 则称运算“*”在S上满足结合律。
性 实数集合上的加法运算；幂集上的交运算。
质 如果一个表达式中只有一种运算，该运算满足结合律，
则可去掉标记运算顺序的括号：
（x+y）＋（z+w）＝x+y+z+w
函数
(6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵
运算符
5.1
为了简化n元运算的表示， 引入运算符来代替函数。
二 如符号“。”、“*”、“·”、“Δ”、“◇”等。
元 ①前缀表示法
ห้องสมุดไป่ตู้
运
*(a)=b
算
*(a1,a2)=b
及
*(a1,a2,a3)=b
其 ②非前缀表示，将运算符写于n个元素之间，如Z×Z→Z