概率论 第1章 随机事件与概率

若B=A, 则 B=A， 且A与B互斥， 有
AB=Φ ，A+B=Ω ， A及A B B 例如：A={出现偶数点}， B={出现奇数点}；
A与B互为对立事件。
二、事件的运算
1、事件的和（并）
事件A与事件B的和是指事件A和事件B中至少有 一个发生，记为A∪B。
即 A∪B={A或B发生}
={A、B中至少有一个发生}
E AA A
3
3 3 1 1
1
2 2
2
3 3
3
于是有 C=B∪E1∪E2∪E3=A1A2A3+ A1A 2 A 3 A1 A 2 A 3 A1A 2 A 3
由上式可看出，B、E1、E2、E3是互不相容事件。
也可将C表为 C= A1A 2 A1A3 A 2 A3 (3)事件D可表述为
C A1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3
n r
r Pnr r! Cn
Pnr n(n 1) (n r 1) n! r Cn r! r! r!(n r)! Crn Cn r n

第一章
随机事件与概率
概率论的研究对象 随机事件 事件的关系和运算 频率与概率 古典概型 几何概型 概率的公理化定义
§1.1
记为
一列事件A1„An„全都发生的事件，记为A i
i 1 i 1
A
n
i

例4 设A、B、C为任意三个事件，写出下列事件的表
达式： 1)恰有二个事件发生。 2)三个事件同时发生。 3)至少有一个事件发生。 4)有不多于一个事件发生 5) A,B都发生,但C不发生
1) 解：、ABC ABC ABC 2)、ABC 3)、A B C 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 4) AB AC BC 或 5) ABC ABC ABC ABC
重复进行试验时，它的结果总是确定并且不变的。
发生随机性现象的试验
试验１：在相同的条件下，投掷一枚匀质的硬币。观察哪一面 向上。
试验２：在相同条件下，投掷一颗匀质正六面体的骰子，观察
所出现的点数。 试验３：从一批灯泡中任取一只，测定灯泡的使用寿命。 这些试验具有如下特点： 1）试验可以在相同的条件下重复进行。 2）试验可能出现的所有结果种类已知。 3）在未试验之前，不知道这次试验出现的结果，但试验结果 必是所有可能结果中的某一个。 具有这些特点的试验称为随机试验。
E A A A E A A A E 其中： E1是第1次未命中目标，而第2、3次命中， A A A E A AA E A A A E2是第2次未命中目标，而第1、3次命中， A A A E
1 1 2
1 1 1 1 2 2 3 3
3
2
1
2
3
2 2
1 1
2 2
3 3
E A A A E3是第3次未命中目标，而第1、2次命中， A A A E
C=“取到黑牌”=｛黑桃A，黑桃2，„，黑桃K，
梅花A，梅花2，„，梅花K,小王｝
D=“取到黑桃K”=｛黑桃K｝ E=“取到红心”=｛红心A，红心2，„，红心K}
例3，在一批含有20件正品，5件次品的产品中随机地抽取2
件，可能结果如下：
A＝{2件全是正品} B＝{只有1件是正品} C＝{2件全是次品} 1)、在不计次序的假定下，A、B、C是基本事件
2、事件的相等
如果事件A与事件B互相包含，即A⊂B且B⊂A，则称事
件A等于事件B。记为：A=B 两事件A，B相等，意即它们应是样本空间的同一个 子集，是同一事件的不同说法而已。 如摸球试验: A={摸出球的号码不超过3} B={摸出1号或2号或3号球} 则 A=B
3、事件的互斥
如事件A与事件B不能在同一次试验中都发生 (但可以都不发生)，则称事件A与事件B是互斥或互 不相容的。 互不相容事件作为样本空间的子集看，其交集 是空集，即：A∩B=Φ 如事件A1，A2,„，An任意两个都互斥，则称这
但上述三事件不能再分解为更简单的事件，因而是基
本事件。
2) 、从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命，
{灯泡寿命大于100小时}的事件。 解：{灯泡寿命大于100小时}=｛Ｔ∣Ｔ＞100｝
3)随机试验：从一副扑克牌中任取一张牌。
A=“取到黑桃”=｛黑桃A，黑桃2，„，黑桃K｝
B=“取到K”=｛黑桃K，红心K，梅花K，方块K｝
ABC
例 一射击选手连续向目标射击3次，若令 Ai={第i次射击命中目标} （i=1,2,3)
试用这3个事件A1、A2、A3表示下面的事件。
(1)B={3次射击都命中目标}；
(2)C={3次射击至少有2次命中目标}；
(3)D={至少有1次未命中目标}。 解：(1)当且仅当A1、A2、A3都发生时，事件B发生，固有 B=A1A2A3 (2)当且仅当“恰有2次命中目标(E)”或 “3次射击皆命中目标(B)”发生时，事件C发生， 即C=B+E
有n1种方法，第二步有n2种方法，„，第k步有nk种方法。 各步骤连续进行时，这一工作才可以完成，则完成这一工 作共有
N=n1×n2 ׄ×nk种不同的方法。
如果一件工作分几种方法独立完成， 用加法原理计算所用方法总数。 若一件工作分几步连续完成， 用乘法原理计算完成这件工作的方法总数。
2.排列
事件。常用A、B、C等表示。 在一次试验中，当试验结果ω ∈事件A时，称这次 试验中事件A发生。 否则，当试验结果ω 事件A时，称这次试验中事 件A不发生。
两种特殊的随机事件：
必然事件：将样本空间Ω 也作为事件。在每次试
验中Ω 均会发生，故称为必然事件。
不可能事件：不含任一样本点的空集Φ 在每次试 验中均不会发生，故称为不可能事件。
有国徽图案的是正面。
Ω 1＝{正面，反面}
试验２：投掷一颗匀质正六面体的骰子，观察所出现的
点数。
Ω 2={1，2，3，4，5，6} 试验3：袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从中任 取出一球。(先对球予以编号: 1、2、3号球是白球, 4、5号球是黑球，则ω i={取得第i号球}(i=1,2,3,4,5))
说明：
1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。
2)随机试验今后简称为试验。
3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，
称为统计规律性。
概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性。
§1.2
随机事件
样本空间：随机试验所有可能结果的集合，称为样本空
间。常用Ω (或S)表示。
样本点： 例1： 试验１：投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上。规定带 样本空间中的元素称为样本点，常用ω 表示。
复习 1.加法原理与乘法原理 加法原理 ：若完成某一工作有k种方式，第一种方式
中有n1个方法，第二种方式中有n2个方法，„，第k种方式 中有nk个方法。这些方法都不相同，无论通过其中哪一个 方法都可以完成这一工作，则完成这一工作共有
N=n1+n2 +„+nk 个不同的方法。 乘法原理：若完成某一工作可分成k个步骤，第一步
={A发生或B发生或A和B都发生}
例如：A={出现２点或４点}，Ｂ={出现２点或６点}，
则A∪B={出现偶数点} 若 A B，则必有A∪B=B，称之为并的“吸收律”。 当A、B互斥时，A∪B可记为A+B。 如果事件A1，A2，„，An两两互斥,则 Ai Ai
i 1 i 1 n n
一系列事件A1„An„中至少有一个事件发生，记
为
Ai i 1

2、事件的积
事件A与事件B的积是指事件A和事件B同时发生。记 为AB或A∩B。
例如：A={出现2点或4点}，B={出现2点或6点}；则
AB={出现2点} 当A、B互为对立事件时，有：A+B＝Ω ，AB＝Φ 。
可列多个事件的积事件是指A1„An同时发生的事件，
Pn Pnn n(n 1)(n 2)3 2 1 n!
允许重复选取的排列
从n个不同元素里每次有放回地任取1个元素，共取r 次，按先后选取顺序排成一列，称为从n个不同元素中允 许重复地取出r个元素的排列，其排列总数为nr.
3.组合
从n个不同元素中，每次取出r个元素，不管它们之 间的顺序，合为一组，叫做从n个元素中每次取出r个元 素的组合，组合总数记作 Cr 或(n )(1 r n)
基本事件：只含单个样本点的集合称为基本事件
或简单事件。
也可这样定义：
不能再分解的事件称为简单事件或称为基本 事件。 由基本事件组合而成的事件称为复合事件。 注意：基本事件是相对的，不是绝对的。
例2：试用样本空间的子集表示下列试验中的事件。
1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子，出现偶数点的事件。
解 {出现偶数点}={2，4，6} {出现偶数点}是一个复合事件。它可分解为更简单的事件： {出现偶数点} ={出现２点}∪{出现４点}∪{出现６点}
选排列与全排列
从n个不同的元素里，任意取出r个不同的
元素（1≤r≤n），按一定的顺序排成一列，称
为从n个不同元素中取出r个不同元素的一种排列，
r 表示。 P 或A n r≤n的排列总数为：
用
r n
Pnr n(n 1)(n 2) (n r 1)
当r＜n时，称这样的排列为从n个不同元素中取出r个 不同元素的选排列。 当r=n时，n个元素全部取出进行排列，叫做全排列， 记作Pn。
2)、如果考虑次序，B不再是基本事件，它可分解为B1 和B2
两个基本事件。 B1＝{第1次抽到正品，第2次是次品} B2＝{第1次抽到次品，第2次是正品}
§1.3 事件的关系和运算
1.3.1 事件的关系