第七章 图论
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第七章_图论
非连通图的边连通度为 0
工
平凡图G， (G)=0
程
学
院
第七章 图论
与称为G的相对于完全图的补图，简称为G的补图，记作
工G` 若图G≌G,则称G为
程 自补图
学
院
第七章 图论
信 定义7-1.5
息
简单图G=<V,E>中，若每个结点均与其余结点相连，则称G为完全图。
有n个结点的完全图称为n阶完全图，记作Kn(n≥1) 。
科
学
。
如：
与
。。
。
。
工
。
。
程
。。
学
K3 考虑： Kn的边数为？？？
信 7-2 路与回路
息 定义7-2.1 设图G=<V,E>，G中结点与边的交替序列
科
=vi0ej1vi1ej2 … ejkvik
学 称点v,i0r为=0v,i1k ,到…的路,.k其中. :vviri-01，，vviikr分为别ej是r的的端始点和
与 终点. 中边的条数称为它的长度。
工 若vi0=vik ，则称该路为回路。 程 若中所有边各异，则称 为迹。
K6
院
定理7-1.4 Kn的边数为Cn2=n(n-1)/2。
第七章 图论
信 定义7-1.7
息 设G=<V,E>, G`=<V`,E`>为两个图(同时为无向图或有向图)，若V` V且 E` E，则称G`为G的子图， G为G`的母图，记作G`G。
科 若V` V或E` E，则称G`为G的真子图。
d
d
d
息
e1
科 a e6
e4
c
e4
ca
离散数学-第7章-图论廖学生用
05
图论中的优化问题
最短路径问题
总结词
最短路径问题是图论中一类经典的优化问题，旨在寻找图中 两个节点之间的最短路径。
详细描述
最短路径问题有多种算法，其中最著名的算法是Dijkstra算法 和Bellman-Ford算法。Dijkstra算法适用于带权重的有向图 或无向图，而Bellman-Ford算法适用于带权重的无向图。这 两种算法都能有效地找到最短路径，但时间复杂度和适用范 围有所不同。
03
图的遍历算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
06
图论的应用实例
社交网络分析
社交网络分析
图论在社交网络分析中有着广泛的应用。通过构建社交网络模型，可以研究人际关系、信 息传播、社区结构等方面的问题。例如，通过分析社交网络中的节点和边的关系，可以发 现社区结构、影响力传播路径、信息扩散规律等。
社交网络模型
社交网络模型通常由节点和边构成，节点代表个体或组织，边代表它们之间的关系。根据 实际需求，可以选择不同的社交网络模型，如社交关系网、信息传播网等。
力传播等。
生物信息学
交通运输
图论用于基因调控网络、 蛋白质相互作用网络等 生物信息学领域的研究。
图论用于交通路线的规 划和管理，如最短路径 算法、交通流量优化等。
第7章--图论
图 7 ― 5 图G以及其真子图G 1和生成子图G2
第7章 图论
定义 7.1 ― 13 如果图G中的一个子图是通过删去 图G的结点集V的一个子集V1的所有结点及与其关联的 所有边得到的， 则将该子图记为G－V1。
如图7 ― 5中， G1＝G－｛4｝。 定义 7.1 ― 14 如果图G中的一个子图是通过删去 图G的边集E的一个子集E1的所有边， 而不删去它们的 端点而得到的， 则将该子图记为G－E1。 如图7 ― 5中， G2＝G－｛(2， 4)｝。
第7章 图论
如例1中的图， 结点集V＝｛a， b， c， d｝， 边集 E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中 e1＝（a， b）， e2＝（a， c）， e3＝（a， d）， e4＝（b， c）， e5＝（c， d）。
d与a、 d与c是邻接的， 但d与b不邻接， 边e3与e5是邻 接的。
定义中的结点对可以是有序的， 也可以是无序的。 我们将结点 u、 v 的无序结点对记为（u， v）， 有序 结点的边e与结点u、 v的无序结 点对（u， v）相对应， 则称e为无向边， 记为 e＝（u， v）。 这时称e与两个结点u和v互相关联， u、 v称为该边的两个端点。 这时也称u与v是邻接的， 否则 称为不邻接的。 关联于同一结点的两条边称为邻接边。
第7章 图论
7.1.4 子图 在研究和描述图的性质时， 子图的概念占有重要
地位。 定义 7.1 ― 12 设有图G＝（V， E）和图
G′＝（V′， E′）。 (1) 若V′ V， E′ E， 则称G′是G的子图。 (2) 若G′是G的子图， 且E′≠E， 则称G′是G的真子
图。
第7章 图论
(3) 若V′＝V， E′ E ， 则称G′是G的生成子图。 图 7 ― 5给出了图G以及它的真子图G1和生成子图G2。
第7章 图论
定义 7.1 ― 13 如果图G中的一个子图是通过删去 图G的结点集V的一个子集V1的所有结点及与其关联的 所有边得到的， 则将该子图记为G－V1。
如图7 ― 5中， G1＝G－｛4｝。 定义 7.1 ― 14 如果图G中的一个子图是通过删去 图G的边集E的一个子集E1的所有边， 而不删去它们的 端点而得到的， 则将该子图记为G－E1。 如图7 ― 5中， G2＝G－｛(2， 4)｝。
第7章 图论
如例1中的图， 结点集V＝｛a， b， c， d｝， 边集 E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中 e1＝（a， b）， e2＝（a， c）， e3＝（a， d）， e4＝（b， c）， e5＝（c， d）。
d与a、 d与c是邻接的， 但d与b不邻接， 边e3与e5是邻 接的。
定义中的结点对可以是有序的， 也可以是无序的。 我们将结点 u、 v 的无序结点对记为（u， v）， 有序 结点的边e与结点u、 v的无序结 点对（u， v）相对应， 则称e为无向边， 记为 e＝（u， v）。 这时称e与两个结点u和v互相关联， u、 v称为该边的两个端点。 这时也称u与v是邻接的， 否则 称为不邻接的。 关联于同一结点的两条边称为邻接边。
第7章 图论
7.1.4 子图 在研究和描述图的性质时， 子图的概念占有重要
地位。 定义 7.1 ― 12 设有图G＝（V， E）和图
G′＝（V′， E′）。 (1) 若V′ V， E′ E， 则称G′是G的子图。 (2) 若G′是G的子图， 且E′≠E， 则称G′是G的真子
图。
第7章 图论
(3) 若V′＝V， E′ E ， 则称G′是G的生成子图。 图 7 ― 5给出了图G以及它的真子图G1和生成子图G2。
离散数学-第七章-图论
则称G1与G2是同构的，记作G1 G2
怎样定义有向图的同构？
第 七 章
图
论
2/12/2021
28
离
散 例7、
数 学
a
d
第 七 章
图
论
2/12/2021
a' (b)
b
d ' (d)
c
c' (a)
b' (c)
29
离
散
数
学
1
2
6
10
7
9 8
2
5
3
第
3
4
七 章
彼得松图(petersen)
图
论
2/12/2021
1
5
6
10 7 8
9
4
30
离 散 数 学
第 七 章
图
论
2/12/2021
31
离 散 数 学
两个图同构必有： （1）结点数相同；
但不是充分条件
（满足这三个条件的两图 不一定同构）
第 （2）边数相同；
七
章 （3）度数列相同
图
论
2/12/2021
32
离 例8、 画出K4的所有非同构的生成子图。
散 数
七 章
边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路
的问题。
图
论
2/12/2021
3
离 一、图的基本概念
散 数 学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第 七 章
图
论
2/12/2021
底特律
芝加哥
纽约 华盛顿
4
离
散 设A、B是两个集合，称
离散数学 第七章 图论
10
每一条边都是有向边 的图称有向图。
G′＝<V′，E′>＝<{v1′，v2′，v3′， v4′，v5′}，{<v1′，v2′>，<v2′， v3′>，<v3′，v4′>，<v2′，v4′>}>
如果在图中一些边是有向 边，另一些边是无向边， 则称这个图是混合图。
G″＝<V″，E″>＝<{ v1″，v2″，v3″，
v4″，}，{( v1″，v4″)，(v2″，v4″)，<v1″，
v3″>，<v3″，v4″>}>
11
在一个图中，若两个节点由一条有向 边或一条无向边相关联，则这两个节点 称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节 点，称为孤立节点。仅由孤立节点组成 的图称为零图，仅由一个孤立节点组成 的图称为平凡图。
证明 在Kn中，任意两点间都有边相连， n 个结点 中任取两点的组合数为：
Cn2
1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| ＝ n(n-1)/2 。
21
注意：
如果在Kn中，对每条边任意确定一个方 向，就称该图为 n 个结点的有向完全图。 显然，它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ，总 可以把它补成一个具有同样结点的完全 图，方法是把那些没有联上的边添加上 去。
且E E ，V V ，则称 G 为 G 的子图。
例：如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点，则 称该子图为 G 的生成子图。 如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。
每一条边都是有向边 的图称有向图。
G′＝<V′，E′>＝<{v1′，v2′，v3′， v4′，v5′}，{<v1′，v2′>，<v2′， v3′>，<v3′，v4′>，<v2′，v4′>}>
如果在图中一些边是有向 边，另一些边是无向边， 则称这个图是混合图。
G″＝<V″，E″>＝<{ v1″，v2″，v3″，
v4″，}，{( v1″，v4″)，(v2″，v4″)，<v1″，
v3″>，<v3″，v4″>}>
11
在一个图中，若两个节点由一条有向 边或一条无向边相关联，则这两个节点 称为邻接点。
在一个图中不与任何节点相邻接的节 点，称为孤立节点。仅由孤立节点组成 的图称为零图，仅由一个孤立节点组成 的图称为平凡图。
证明 在Kn中，任意两点间都有边相连， n 个结点 中任取两点的组合数为：
Cn2
1 2
n(n
1)
故Kn的边数为 |E| ＝ n(n-1)/2 。
21
注意：
如果在Kn中，对每条边任意确定一个方 向，就称该图为 n 个结点的有向完全图。 显然，它的边数也为 n(n-1)/2 。
给定任意一个含有 n 个结点的图 G ，总 可以把它补成一个具有同样结点的完全 图，方法是把那些没有联上的边添加上 去。
且E E ，V V ，则称 G 为 G 的子图。
例：如图 7-1.7 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的子图。
24
如果 G 的子图包含 G 的所有结点，则 称该子图为 G 的生成子图。 如图 7-1.8 中 (b) 和 (c) 都是 (a) 的生成子图。
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
第七章 图论
Graphs/图论
三、子图和补图
定义 无向简单图G＝<V,E>中，若每一对结点间都有 边相连，则称该图为完全图。有n个结点的无向完全 图，记作Kn。 图10：
K 4图
Graphs/图论
定理 4 证明：
n个节点的无向完全图Kn的边数为：(1/2)*n*(n-1)。
在Kn中，任意两点间都有边相连，n个结点中任取两 点的组合数为：cn = (1/2)*n*(n-1) 故Kn的边数为： |E| ＝(1/2)*n*(n-1)。 （证毕）
推论：在一个具有n个结点图中，若从结点u到结点v存在 一条路，则必存在一条从u到v而边数小于n的通路。 删去所有结点s到结点s 的那些边，即得通路。
Graphs/图论
二、无向图的连通性
定义 在无向图G中，结点u和结点v之间若存在一条路， 则称结点u和结点v是连通的。
连通性是结点集合上的一种等价关系。
证明： 设：V1 ：图G中度数为奇数的结点集。 V2：图G中度数为偶数的结点集。 由定理1可知
vv 1
deg( v ) deg( v ) deg( v ) 2 | E |
vv 2 vV
因为
vv 2
deg( v) 为偶数。 deg(v) 和2|E|均为偶数，所以 v v1
b
b
Graphs/图论
四、图的同构
定义 设图G=<V,E> 及G’=<V’,E’>，如果存在一一对 应的映射ｇ：V → V’且ｅ=(vi ，vj)(或<vi ，vj>)是Ｇ的一条 边，当且仅当ｅ’=(g(vi ) ，g(vj))(或 <g(vi ) ，g(vj)>是Ｇ’的 一条边,则称Ｇ与G’同构，记作Ｇ ～ －G’ 。
图论课件第七章图的着色
总结词
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
第七章图论
• 现实世界中许多关系是由图形来形象而直观地描绘出来,
人们常用点表示事物, 用点之间是否有连线表示事物之间
是否有某种关系, 于是点以及点之间的若干条连线就构成 了图。 • 当研究的对象能够被抽象为离散的元素集合和集合上的二 元关系时, 用关系图进行表示和处理是很方便。
• 图论研究的图是不同于几何图形、机械图形的另一种数学
图论
实例
a a
7.1 图的基本概念
e1 b e3
e2
f
e6 e5 e e7
f
e6 e5 e7 d (2) e b
e1 e3 c (3)
f
e5 e7 d e
c e4 d (1)
•(1),(2),(3)是(1)的子图, (2),(3)是真子图. •(1),(3)是(1)的生成子图.
第七章
图论
7.1 图的基本概念
图论是近年来发展迅速而又应用广泛的一门新兴 学科。它最早起源于一些数学游戏的难题研究，如 1736 年欧拉(L.Euler) 所解决的哥尼斯堡(Konigsberg) 七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题，如迷 宫问题，匿门博奕问题，棋盘上马的行走路线问题等。 这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意，在这些 问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想，汉密 尔顿(环游世界)数学难题。
第七章
图论
7.1 图的基本概念
7.1.1 图的基本类型
邻接边：关联于同一结点的两条边。 自回路或环：关联于同一结点的一条边。
（vi = vj，方向无意义）
平行边：连接于同一对结点间的多条边（无向图）。 简单图：不含平行边和环（自回路）的图。
同始点、同终点的多条边(有向图)。(<a,b>与<b,a>不同结点对)
第七章图论
以上三个条件并 不是两图同构的 充分条件，如：
a
b
c
d
e
(a)
a'
c'
b'
e'
d'
(b)
第七章 图论
图的基本概念 路与回路 图的矩阵表示 欧拉图与哈密尔顿图
7-2 路与回路
1、路的基本概念：
路： 图G=<V, E>，设 v0, v1, …, vn∊V, e1, e2, …, en∊E, 其中
ei是关联于结点vi-1, vi的边，交替序列设 v0 e1 v1 e2 … en vn称为
若 连 通 图 G中 某 两 个 结 点 都 通 过 v， 则 删 去 v 得 到 子 图 G ， 在 G 中 这 两个结点必定不连通，故v是图G的割点。
7-2 路与回路
deg(v)为偶数 vV1
|V1|为偶数
定理： 有向图中所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和
7-1 图的基本概念
（5）多重图：含有平行边的图
简单图：不含有平行边和环的图
完全图：每一对结点之间都有边关联的简单图
有向完全图：完全图中每条边任意确定一个方向所得的图
a
e
b
d
f
h
c
g
定理： n个结点的无向（有向）完全图Kn的边数为n(n-1)/2
证明： 在完全图中，每个结点的度数应为n－1，则n个结点的
度数之和为n(n-1)，因此|E|＝n(n-1)/2
7-1 图的基本概念
（6）子图：
G V , E ， 有 G ' V ', E ' ， 且 E ' E ， V ' V ，
第7章 图论 -5二部图、平面图
第9章 图论
2）在G中求最大匹配 把边 (a2,b2) 从 M 中去掉，而把 (a1,b2) 和 (a2,b4) 添加到 M 中， 得到新的匹配M′=(a1,b2),(a2,b4),(a3,b3), (a5,b5)，如下图所示。 对于匹配M′= (a1,b2),(a2,b4),(a3,b3), (a5,b5)重复上述过程， 已找不到M′可扩路。所以M′就是最大匹配。
第9章 图论
在子图H中，任一结点至多与M中的一条边关联且与M1中 一条边关联。因而任一结点的度数是1或2。故H的连通分支是 一条路，或者是一个回路。 如果 H的连通分支是一条路 P，则它是 M 交替路，也是 M1 交替路。如果P的两个端点均与M中的边关联，则P是M1可扩路。 由假设知， M1 是最大匹配，所以，不存在 M1 可扩路，得到矛 盾。如果P的两个端点均与M1的边关联，那么P是一条M可扩路 与题设矛盾。故 P 只能是一个端点与 M 中的边关联，另一个端 点与M1中的边关联，这样P中属于M的边数与属于M1的边数相 等。 如果 H的连通分支是一个回路，回路中的边交替地属于 M 和M1，因而属于M的边数与属于M1的边数相等。 从上面可以看到，H中属于M的边与属于M1的边的数目相 等。再加上既属于M又属于M1的边，可以得出：M中的边数与 M1中的边数相等。所以，M是最大匹配。
第9章 图论
由上述讨论可见：利用可扩路可以增加匹配所含的边数。 不断地寻求G的可扩路，直到再也找不到新的可扩路，就可得 到一个最大匹配。将这个结论写成下列的定理。 定理 7.5.2 设 G=V1,V2,E是二部图， M为G的最大匹配的充分 必要条件是G中不存在M可扩路。 证明：设M为G的最大匹配，下证G中不存在M可扩路。 如果G中存在一条M可扩路，则可以得到比M的边数多1的 匹配，所以M 不是最大匹配，矛盾。所以G 中不存在M 可扩路。 设G中不存在M可扩路，下证M为G的最大匹配。 设M1是最大匹配，证明|M|=|M1|。 考察属于M而不属于M1和属于M1而不属于M中的边，由这 些边连同它们的端点一起构成G的子图H。
《图论》第7章-回路矩阵与割集矩阵
1 aj 在si 中且方向一致
sij = -1 aj 在si 中且方向相反 0 其他
若S1、S2、… 、Sk 包含了中所有割集，称S为G的完全割
集矩阵，记为 Se 。
[基本割集矩阵] 由G的所有基本割集构成的割集矩阵成为G的基
本割集矩阵,记为 Sf 。
19
7.3 割集矩阵
[定理7-3-1] 有向连通图 G=(V, A)，n =|V|，m =|A|，则其任意基
故 B11+ B12 C12T=0
即 B11= -B12 C12T 故 Bk =( -B12 C12T , B12) = B12 ( -C12T , I )
而 r(Bk ) = n-1，故 r(B12 ) = n-1，即 | B12 | 0
由[定理3-2-5]知此时B12各列对应的弧构成G的一棵树。 也即 C12各列对应的弧构成G的一棵树。 8
16
7.2 割集
[定理7-2-3] 设T是连通图G的一棵生成树，e 是T的一条弦，C 是由 e 确定的 T+e 中的基本回路。则 e 包含在由C中除 e 外的每条边确定的基本割集中，而不在其他的基本割集中。 [证明] ① 设 bC且 be，S是 b 确定的基本割集。由[定理7-2-2] C和S除了b外应该还有一条公共边。S 除了b以外其它边都 是T的余树边，而C中只有 e 是T的余树边，所以此公共边 只能是e，也即e包含在S中。② 若e被包含在一个由T的树 枝 h 确定的基本割集 S 中，由[定理7-2-2] C和 S 除了e 外 应该还有一条公共边。 C 除了e以外其它边都是T的树枝， 而S中只有 h 是T的树枝，所以此公共边只能是 h，也即 h 理7-2-4] 设T是连通图G的一棵生成树，b 是T的一条树枝，S 是由 b 确定的G的基本割集。则 b 包含在由S中除 b 外的每
第七章 图论
• 对于有向图 G中的任意结点 u,v 和w，结点间的距离有以下 的性质： ① du,v≥0 ② du,u=0 ③ du,v＋dv,w≥du,w • 注：一般来说， du,v不一定等于dv,u • 定义D=max du,v为图的直径 • 关于有向图两个结点间的距离可以很容易的推广到无向图 中
【例】如右图所示是一个图，其中 v1e1v2e3v3e4v2e3v3e7v5是一条从v1到v5的路 v1e1v2e3v3e4v2e5v4e8v5是一条从v1到v5的迹 v1e1v2e3v3e7v5是一条从v1到v5的通路 v3e3v2e5v4e8v5e6v2e4v3是一个回路 v3e3v2e5v4e8v5e7v3是一个圈
• 定义 7-1.9 设图 G=V,E 与图 G′=V′,E′ ，如果存 在一一对应的映射g: vi→vi′且e=(vi,vj)是G的一条 边当且仅当e′=(vi′,vj′)是G′的一条边,则称G与G′同 构,记为G≌G′.
• 通俗的讲两个图同构当且仅当两个图的结点和边存在着一 一对应,且保持关联关系
• 如果一对结点间的边多于一条，则称这些边为平行边
• 定义 7-1.4 含有平行边的任何一个图称为多重图
• 不含平行边和环的图称为简单图
• 定义 7-1.5 简单图G=<V,E>中, 若每一对结点都有 边相连，则称该图为完全图。
• n个结点的无向完全图记为Kn
• 定理7-1.4 • 定义7-1.6 给定一个图G，由G中所有结点和所有 能使G成为完全图的添加边组成的图，称为图G的 相对于完全图的补图，简称为G的补图，记为 G 。
1 n个结点的无向完全图Kn的边数为2 n(n 1)
• 定义7-1.7 设图G=<V,E>, 如果有图G′=<V′,E′>, 且 E′ E, V′ V, 则称G′为G的子图
离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路
第9章 图论
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第9章 图论
第7章 图论
图论是一个重要的数学分支。数学家欧拉1736年发 表了关于图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七 桥问题。克希霍夫对电路网络的研究、凯来在有机化学 的计算中都应用了树和生成树的概念。随着科学技术的 发展，图论在运筹学、网络理论、信息论、控制论和计 算机科学等领域都得到广泛的应用。本章首先给出图、 简单图、完全图、子图、路和图的同构等概念，接着研 究了连通图性质和规律，给出了邻接矩阵、可达性矩阵、 连通矩阵和完全关联矩阵的定义。最后将介绍欧拉图与 哈密尔顿图、二部图、平面图和图的着色、树和根树。
v3
e7
a e6e3
e2
b e5
（本课程仅讨论无向图和有向图）
v4
c
9章 图论
【例7.1.1】无向图G=V(G),E(G),G
其中：V(G)=a,b,c,d
E(G)=e1,e2,e3,e4
G：G(e1)=(a,b) G(e2)=(b,c) G(e3)=(a,c) G(e4)=(a,a)
试画出G的图形。
即，deg(v)=deg－(v)+deg＋(v)，或简记为d(v)=d－(v)+d＋(v)
4）最大出度：+(G) =max deg＋(v) | vV
5）最小出度：+(G) = min deg＋(v) | vV
6）最大入度： (G) =max deg－(v) | vV
7）最小入度： (G) = min deg－(v) | vV
解：G的图形如图7.1.2所示。
图 7.1.2
由于在不引起混乱的情况下，图的边可以用有序对或无序 对直接表示。因此，图可以简单的表示为：
第七章 图论
§7.1 图的基本概念
两图同构的必要条件：
1. 结点数相等。
2. 边数相等 3. 度数相同的结点数相等 不是充分条件。
本讲稿第三十页，共九十一页
§7.2 路与回路
1.路径和循环 [定义]在一个图中，从某一结点出发经过某些结点到达终点
的边的序列称为图的路径，而路径中边的条数称为路
径的长度（路长）。
(4)回路：起始且终结于同一结点的路径。
(5)简单回路：每一条边出现一次且仅一次的回路。 (6)基本回路：通过每个结点一次且仅一次的回路。 例：在上例中，列出下列回路，判断为何种回路
本讲稿第三十三页，共九十一页
§7.2 路与回路
(7)非循环图：没有任何循环的简单有向图。 讨论： ①一定不包含自循环 ②不是基本路径的任何路径都会包含循环，去掉这些
于所有结点的出度之和。
本讲稿第十六页，共九十一页
§7.1 图的基本概念
(12)多重边（平行边）：在有向图中，始点和终点均 相同的边称为平行边，无向图中若两个结点间有两 条（或多条）边，称这些边为平行。
两点间平行边得条数称为边的重数。
例：
本讲稿第十七页，共九十一页
§7.1 图的基本概念
[定义7-1.4]含有平行边的图称为多重图，非多重图称
讨论定义： （1）从一个结点到某一结点的路径，（若有的话）不 一定是唯一的； （2）路径的表示方法：
(a)边的序列表示法： 设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞为一有向图， ，则路径可以表示
成：(<v1,v2>,<v2,v3>,….<vk-1,vk>)vi V
本讲稿第三十一页，共九十一页
§7.2 路与回路
(b)结点序列表示法： (v1,v2vk)
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12
7.1 图及相关概念
7.1.5 子图
Graphs
图论
定义7-1.8 给定图G1=<V1,E1>和G2=<V2,E2> ， (1)若V1V2 ，E1E2 ，则称G1为G2的子图。 (2)若V1=V2 ，E1E2 ，则称G1为G2的生成子图。
上图中G1和G2都是G的子图，
但只有G2是G的生成子图。
chapter7
18
7.1 图及相关概念
7.1.6 图的同构
Graphs
图论
【例4】 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图，则
它们之间至少有几个是同构的？ 解：由下图可知，4阶3条边非同构的无向简单图共有3个， 因此G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
4/16/2014 5:10 PM
4/16/2014 5:10 PM chapter7 10
7.1 图及相关概念
7.1.3 完全图
Graphs
图论
【例2】证明在 n（n≥2 ）个人的团体中，总有两个人在 此团体中恰好有相同个数的朋友。 分析 :以结点代表人，二人若是朋友，则在结点间连上一 证明：用反证法。 条边，这样可得无向简单图G，每个人的朋友数即该结点 设 G 中各顶点的度数均不相同，则度数列为 0 ， 1 ， 2 ， …， 的度数，于是问题转化为： n 阶无向简单图 G中必有两个 n-1 ，说明图中有孤立顶点，与有 n-1 度顶点相矛盾（因 顶点的度数相同。 为是简单图），所以必有两个顶点的度数相同。
vV1
deg(v) deg(v) deg(v) 2 | E |
vV2 vV
由于 deg( v) 是偶数之和，必为偶数，
vV1
而2|E|是偶数，故得 deg( v) 是偶数，即|V2|是偶数。
vV2
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chapter7
7
7.1 图及相关概念
边数的2倍。
证明：∵任何一条边都产生2个度。 ∴
vV
4/16/2014 5:10 PM
deg( v) 2 | E |
chapter7 6
7.1 图及相关概念
7.1.2 图中结点的度数
Graphs
图论
定理7-1.3 在任何图中，度数为奇数的结点个数必为偶数。
证明：设V1和V2分别是G中偶数度数和奇数度数的结点集。
没有相同边的路径称为简单路径，通过各顶点不
超过一次的路径称为基本路径。 结点vi到vj的最短路 径长度叫做vi到vj的距离d(vi,vj) 。
4/16/2014 5:10 PM chapter7 20
7.2 路与回路
7.2.1 路径和回路
Graphs
图论
定理7-2.1 在n阶无向图中，如果存在一条从vi到vj的 通路，则从vi到vj必有一条长度不大于n-1的基本通路。
4/16/2014 5:10 PM
chapter7
3
7.1 图及相关概念
7.1.2 图中结点的度数
Graphs
图论
1、有向图中结点的度数
定义7-1.3 设图G是有向图，v是图G中的结点，以v为始 点的有向边的条数称为v的出度，记个deg+(v)；以v为终 点的有向边的条数称为v的入度，记作deg－(v)；结点v的 度为出度和入度之和，记为deg(v) 。
如果存在一条通过vi的回路，则必有一条长度不大于n
的通过vi 的基本回路。
4/16/2014 5:10 PM
chapter7
21
7.2 路与回路
7.2.1 路径和回路
Graphs
图论
【例1】(渡河问题)一个摆渡人，要把一只狼、一只羊和 一捆干草运过河去，河上有一只木船，每次除了人以外， 只能带一样东西。另外，如果人不在旁时，狼就要吃羊，
chapter7
19
7.2 路与回路
7.2.1 路径和回路
Graphs
图论
定义7-2.1 在图G=<V,E>中，设v0,v1,…,vn∈V，e1，
e2，…，en∈E，其中ei是关联于结点vi-1,vi的边，交 替序列v0e1v1e2…envn称为联结v0到vn的路径。如果路 径中的始点与终点相同，即v0=vn ，则称为回路。路 径中所含边的条数称为路径长度。
有向图。
4/16/2014 5:10 PM chapter7 2
7.1 图及相关概念
7.1.1 图
Graphs
图论
定义7-1.2 如果两个结点之间有多条边（对于有向图，则 有多条同方向的边），则称这些边为平行边，两相结点a， b间平行边的条数称为边的重数。含有平行边或环的图称 为多重图，不含平行边和环的图称为简单图。 平行边 环 非平行边
v4 ’
则称图G和G′同构，记作G≌G′。
4/16/2014 5:10 PM chapter7 14
7.1 图及相关概念
7.1.6 图的同构 例如，下图所示三个图均同构。
Graphs
图论
4/16/2014 5:10 PM
chapter7
15
7.1 图及相关概念
7.1.6 图的同构
v1 v3
Graphs
7.1.3 完全图
Graphs
图论
定义7-1.5 对于简单无向图G，若G的任意两个结点之间
都有边相连，称G为完全图，记为kn，n为结点数。 k3 k4 k5
1 2 kn的边数为： Cn n(n 1) 2
4/16/2014 5:10 PM
chapter7
8
7.1 图及相关概念
7.1.3 完全图
4/16/2014 5:10 PM
chapter7
11
7.1 图及相关概念
7.1.4 补图（无向图）
Graphs
图论
定义7-1.7 设G=<V，E>为任意的n阶无向简单图，则由 G的所有结点及使G成为完全图的添加边所组成的图，称
为G的补图。记为 G 。
G
G
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chapter7
v的入度deg+(v)=2
v
v的出度deg-(v)=3 v的度deg(v)=5
4/16/2014 5:10 PM
chapter7
4
7.1 图及相关概念
7.1.2 图中结点的度数
Graphs
图论
2、无向图中结点的度数
定义 7-1.4 设图 G 是无向图， v 是图 G 中的结点，所有与 v
关联的边的条数，称为点v的度数，记作deg(v)。
4/16/2014 5:10 PM chapter7 13
7.1 图及相关概念
7.1.6 图的同构
v1 v4 v1 v2 v3 v4 v5 v5 v1’
Graphs
图论
例：
v2
v3
与
v4 ’
v3 ’
v5 ’
同构
与
v6
v2 ’ v3 ’
v2 ’ v1’
v6 ’ v5 ’
同构
定义7-1.9 设图G=<V，E > 和G′=<V′，E′>，若存在 双射f：V→V′且f(V)= V′，(vi,vj)∈E当且仅当(f(vi)， f(vj))∈E′(<vi，vj>∈E当且仅当<f(vi)，f(vj)>∈E’)，
(1) 结点数相等; (2) 边数相等; (3) 度数相同的结点数相等。 但不是充分条件。
如下图所示：
4/16/2014 5:10 PM
chapter7
Байду номын сангаас17
7.1 图及相关概念
7.1.6 图的同构
Graphs
图论
【例3】画出K4的所有非同构的生成子图。
解：K4的所有非同构的生成子图如下图所示。
4/16/2014 5:10 PM
Graphs
图论
定义7-1.6 对于有向图G，若看成无向图是完全图，则称 为有向完全图。 例 n个结点 的有向完全图的个数： n个结点
1 n ( n 1) 2 2
1 的有向完全图的边数：2 n(n 1)
4/16/2014 5:10 PM
chapter7
9
7.1 图及相关概念
7.1.3 完全图 【例1】 求解下列各题:
Graphs
图论
(1)无向完全图Kn有28条边，则它的顶点数n为多少？ (2)图G的度数列为2，2，3，5，6，则边数m为多少?
(3)图G有12条边，度数为3的顶点有6个，余者度数均小
于3，问G至少由几个顶点？ (3) 由∑ deg(v)=2m=24 ，度数为 3 的顶点有 6 个占去 18 度， 解：(1)∵无向完全图Kn的边数m=n(n-1)/2=28，∴n=8。 还有6度由其余顶点占有，而由题意，其余顶点的度数可 (2)2 m，当均为 =∑deg(v2 )=2+2+3+5+6=18 ，知m=9。 为0， 1，2 时所用顶点数最少，所以应有 3个顶 点占有此6度，即G中至少有9个顶点。
g
chapter7 27
7.2 路与回路
7.2.2 图的连通性
a b c e
Graphs
图论
d f g
解:用结点代表人，若二人会同一种语言，则在结点间连
边。问题归结为：该图中，任何两个顶点间是否都存在
着通路？由于上图是一个连通图，因此他们中间任何二 人均可对话。
F这６种情况不允许
22
7.2 路与回路
7.2.1 路径和回路
Graphs
图论
Ｆ表示摆渡人，W表示狼，Ｓ表示羊，Ｈ表示干草。