2.2区间的_概念
区间课件应用
开区间
集合{x|x>4}
(4,+∞)
集合{x|x≤4}
左半闭区间
[4 ,+∞)
左半开区间
(−∞, 4]
开区间
实数集R
(−∞,+ ∞)
“ ”与“ ”都是符号，而不是一个确切的数．
继续探索 活动探究
！
活动
小组互考
作
业
书写
P38 练习1.2.3
思考
搜索莫比乌斯带故事
继续探索 活动探究
不 等 式
不等式
不等式 不等式
不 等 式
不等式
不等式 不等式
2.2 区间的概念
创设情景
兴趣导入
奥运会举重比赛，以运动员体重的最高限度作为级别名称。
男子举重项目共设8个级别，怎样利用数学语言对这些级别做 简练严格的表述。
创设情景
兴趣导入
69公斤级:指运动员体重 大于62公斤并且不超过69公斤 如何表示该级别 运动员的体重范围？
运用知识 服务生活
例2 一种药品的说明书上写着：每日用量60～120mg, 分3～4次服用；问：一次服用这种药的剂量在什么范围？ 解：若分3次服用，一次服用的剂量在 ［20mg，40mg］ 若分4次服用，一次服用的剂量在 ［15mg，30mg］
归纳小结
自我反思
学习了哪些内容？ 重点和难点各是什么？
集合： 数轴：
还有其他简单方式吗？
新知识∮区间
由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间 . 注1：区间即 其中，这两个点叫做区间端点.
特定数集 注2: 数字顺 序 注3：符号选 取
闭区间
a
b
开区间
2.2.1 区间的概念2.2.2 一元一次不等式(组)的解法
2.2.1区间的概念2.2.2一元一次不等式(组)的解法21. 理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来．2. 培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质，让学生从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．3.了解一元一次不等式（组）概念，掌握一元一次不等式（组）的解法．4. 通过教学，体会数形结合、类比等数学思想方法．【教学重点】用区间表示数集．一元一次不等式（组）的解法．【教学难点】对无穷区间的理解．用数轴确定不等式（组）的解集．讲授填制表格：解一元一次不等式组的步骤．必做题：教材P39，练习A组．选做题：教材P40，练习B组第1题．必做题：P43，练习A组；选做题：P44，练习B组．第一课时一、导入教师提问：(1) 用不等式表示数轴上的实数范围；(2) 把不等式1≤x ≤5在数轴上表示出来．二、 新课讲解设 a ，b 是实数，且 a ＜b ．满足 a ≤x ≤b 的实数 x 的全体，叫做闭区间，记作 [a ，b ]，如图．a ，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．例1 用区间记法表示下列不等式的解集： (1) 9≤x ≤10； (2) x ≤0.4． 解 (1) [9，10]； (2) (－∞，0.4]．练习1 用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间： (1) －2≤x ≤3； (2) －3＜x ≤4；x1 －1(3) －2≤x＜3；(4) －3＜x＜4；(5) x＞3；(6) x≤4．例2用集合的性质描述法表示下列区间：(1) (－4，0)；(2) (－8，7]．解(1) {x | －4＜x＜0}；(2) {x | －8＜x≤7}．练习2用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示这些区间：(1) [－1，2)；(2) [3，1]．例3在数轴上表示集合{x|x＜－2或x≥1}．解如图所示．01练习3已知数轴上的三个区间：(－∞，－3)，(－3，4)，(4，＋∞)．当x 在每个区间上取值时，试确定代数式x＋3的值的符号．三．课堂小结填制表格：第二课时一、导入展示本章的章前语关于全球通和神州行的服务资费问题．问题1如果只考虑本地通话的费用，则通话时间为多少时，神州行方式的费用小于全球通方式的费用？解设本地通话时间为x min，由题意得0.6 x＜50＋0.4 x．解这个不等式的步骤依次为0.6x－0.4x＜50，(移项)0.2x＜50，(合并同类项)x＜250．(两边同除以0.2，不等号的方向不变) 所以，在本地通话时间小于250 min时，神州行方式的费用小于全球通方式的费用．二、新课讲解1．一元一次不等式．未知数的个数是1，且它的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．例1解不等式2(x＋1)＋x 23＞7x2－1．解由原不等式可得12(x＋1)＋2(x－2)＞21 x－6，(原式两边乘6)12 x＋12＋2 x－4＞21 x－6，(分配律)12 x＋2 x－21 x＞－12＋4－6，(移项)－7 x ＞－14， (合并同类项)x ＜2． (不等式性质)所以，原不等式的解集是{x | x ＜2}，即(－∞，2)． 解一元一次不等式的步骤： S1 去分母； S2 去括号； S3 移项；S4 合并同类项，化成不等式(ax ＞b )(a ≠0)的形式；S5 不等式两边都除以未知数的系数，得出不等式的解集为{x |x ＞b a }（或{x |x ＜ba }）．练习1 求下列不等式的解集：(1) x ＋5＞2； (2)y ＋13－y －12≥y －16． 2．一元一次不等式组．一般地，由几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．问题2 某塑料制品加工厂为了制定某产品第四季度的生产计划，收集到该产品的信息如下：(1) 此产品第四季度已有订货数4 000袋； (2) 每袋需要原料0.1吨，可供原料410吨；(3) 第四季度生产此产品的工人至多有5人，每人的工时至多504工时，每人每工时生产2袋． 请你根据以上的数据，决定第四季度可能的产量． 解：设该产品第四季度产量为 x 袋： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4 000x ≤4 100x ≤5 040解得 4 000≤x ≤4 100．所以，第四季度该产品的产量应不少于4 000袋且不多于4 100袋． 例2 解下列不等式组：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧－3 x ＋2 x ≥5x ＋13x ≤－1 (2)⎪⎩⎪⎨⎧+---≤-0231212475＞x x x x x解：（1）由原不等式组可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥543x ≤－1 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－5x ≤－34 所以x ≤－5．即原不等式的解集为{x |x ≤－5}． （2）由原不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤－216x ＞－2 即⎩⎨⎧x ≤－1 x ＞－12所以 －12＜x ≤－1．即原不等式组的解集为{x |－12＜x ≤－1}．解一元一次不等式组的步骤：S1 求这个不等式组中各个不等式的解集；S2 求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集． 练习2 解不等式组：⎩⎨⎧4 x ＞2 x －6 10＋3 x ＞7 x －30三．课堂小结解一元一次不等式的步骤； 解一元一次不等式组的步骤．。
区间的 概念
不 等 式
不等式
不等式 不等式
2.2.1 区间的概念 2.2.1 区间的概念
1. 用不等式表示数轴上的实数范围： 用不等式表示数轴上的实数范围：
－4
－3
－2
－1
0
1
x
用不等式表示为 －4≤x≤0 2. 把不等式 1≤x≤5 在数轴上表示出来． 在数轴上表示出来．
0 1 2 3 4 5 x
设 a＜x＜b ＜ ＜ b x b x b x b x
用区间记法表示下列不等式的解集： 用区间记法表示下列不等式的解集： （2） x≤0.4 ． ） （2）(－∞，0.4 ] ． ）－ ，
（1）9≤x≤10 ； ）
解：（1）[9，10] ； ：（ ） ，
用区间记法表示下列不等式的解集， 用区间记法表示下列不等式的解集， 并在数轴上表示这些区间： 并在数轴上表示这些区间： ）－2≤x≤3； （1）－ ）－ ； ）－2≤x＜3； （3）－ ）－ ＜ ； （5） x＞3； ） ＞ ； （2） －3＜x≤4； ） ＜ ； ）－3＜ ＜ ； （4）－ ＜x＜4； ）－ （6） x≤4． ） ．
x ≤ b}
集合 {x| x > a } {x| x < a } {x| x ≥ a } {x| x ≤ a } x∈R
区间 （a，＋∞） （-∞，a） [a，+∞） （-∞，a] （-∞，+∞）
必做题： 必做题： 教材P39，练习 A 组； 教材 ， 选做题： 选做题： 教材P40，练习 B 组第 1 题． ， 教材
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 x
） ＜ ， 解： 当 x 在（－∞ ，－3）时，即 x＜－3， 所以 x＋3＜0，即 x＋3 为负； ＋ ＜ ， ＋ 为负； ，＋∞） 当 x 在（4，＋ ）时，即 x＞4， ，＋ ＞ ， 所以 x＋3＞7，即 x＋3 为正； ＋ ＞ ， ＋ 为正； 当 x 在（－3，4）时，即－3＜x＜4， ， ） ＜ ＜ ， 所以 0＜x＋3＜7，即 x＋3 为正． ＜ ＋ ＜ ， ＋ 为正．
《数学 基础模块》上册 2.2.区间的概念
2.2区间的概念教学目标知识目标：理解区间的表示法.能力目标：能够应用区间表示数集.情感目标：感受数形结合的巧妙，提升观察能力与数学思维能力. 教学重点区间表示数集．教学难点区间表示数集．教学备品教学课件．课时安排1课时．教学过程由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点.1.开区间：满足不等式a x b <<的所有实数的集合，叫做开区间，记作（a ,b ）.在数轴上，可以表示为：开区间也可以表示为{}x a x b <<.2.闭区间：满足不等式a x b ≤≤的所有实数的集合，叫做开区间，记作[]a ,b .在数轴上，可以表示为：闭区间也可以表示为{}x a x b ≤≤.3.半开半闭区间：满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的所有实数的集合，叫做半开半闭区间，记作[)(]a ,b 或a ,b .在数轴上，可以分别表示为：半开半闭区间也可以表示为{}{},x a x b x a x b ≤<<≤.4.实数集R ：()-+∞∞，，∞读作无穷大.5.半无界区间: 满足不等式,,x a x a x a x a ≥≤><和的所有实数的集合，叫做半无界区间，分别记作[)(],,∞∞,+-,a a()(),∞-∞,+a ,a .在数轴上，可以分别表示为：半无界区间也可以表示为:{}{}{}{},,,.x x a x x a x x a x x a ≥≤><例题讲解{}{}{}{}1.30313131x x x xx x x x-<≤-<<-≤≤-≤<例用区间表示下列集合：（1）;（2）（3）; （4）(]()[][)-3,0-3,-3,13,1-解（1），是半开半闭区间；（2）1，是开区间；（3），是闭区间；（4），是半开半闭区间.{}{}{}{}0;0;;.x x x xx x x xππ>≤≥<-例2把下列集合用区间表示出来:（1）（2）(3)(4)()(][)()0+-0+-ππ∞∞∞∞解（1），；（2），；（3），；（4），.{}{}=14,=05,.x xx xA B-<<≤≤例3 设R为全集，集合AB用区间表示并在数轴上表示出来解由图可知：{}{}()[][)140514050,4，，=-<<≤≤=-=A B x x x x强化练习教材练习P38 1，2，3及时练习，巩固新知.难点突破本节课重难点：对比各类区间表示之间的区别，掌握区间表示法的应用。
(完整版)区间的概念
解x＋3＜0，即 x＋3 为负； 当 x 在（4，＋∞）时，即 x＞4， 所以 x＋3＞7，即 x＋3 为正； 当 x 在（－3，4）时，即－3＜x＜4， 所以 0＜x＋3＜7，即 x＋3 为正．
2020/4/13
归纳小结
集合
{x| a x b} {x| a x b} {x| a x b }
思考2：满足不等式的实数X的集合也可 以看成区间，那么这些集合如何用区间 符号表示？
2020/4/13
新授
a
x
x≥ a
{x| x≥ a}
[a ，＋∞)
ax x≤ a {x| x≤ a} (－∞ ，a]
a
x
x＞a
{x| x ＞ a}
(a，＋∞)
ax x＜a {x| x ＜ a} (－∞，a)
对于实数集 R，也可用区间(－ ∞ ，＋∞) 表示 ．
2020/4/13
例题
例2 用集合的性质描述法表示下列区间： （1）（－4，0）； （2）（－8 ，7].
解：（1）{ x | －4＜x＜0}； （2）{ x | －8＜x≤7}．
你能在数轴 上表示出来
吗？
用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示之 ．
（1）[－1，2）；
（2）[－ 3，1 ]．
2.2.1 区间的概念
2020/4/13
复习
1. 用不等式表示数轴上的实数范围：
－4 －3 －2 －1 0
用不等式表示为 －4≤x≤0
1x
2. 把不等式 1≤x≤5 在数轴上表示出来．
0
1 2 3 4 5x
2020/4/13
知识探究（一）
思考1：设a，b是两个实数，且a<b，介 于这两个数之间的实数x用不等式表示有 哪几种可能情况？
2.2 区间的概念
2.2.1有限区间ຫໍສະໝຸດ 2.2.2无限区间
；
2.2.1 有限区间
引例
实数与数轴上的点之间是一一对应的关系，如集合x | 3 x 2可以用
数轴上位于 3 与 2 之间的一条线段（不包括端点）来表示，如下图所示．
由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间端点． 不含端点的区间称为开区间，如上图中，集合x | 3 x 2表示的就是开区间，记作
实数集R能不能写成 ( ∞，∞)或[ ∞，∞] ， 为什么？
注
”∞“与“ ∞”都只是符号，
意 代表了实数在正、负两个方向上的
变化趋势，切不可认为它们代表某个
很大或很小的数．
；
2.2.2 无限区间
例题解析
例8 已知集合 A [ 1，∞) ，B (3，∞) ，
求 A B ，A B ．
解
将集合 A，B 在数轴上表示出来，
如下图所示，由图可知
A B (3，∞) B ，
A B [ 1，∞) A．?
例9
设全集为R，集合 A ( ∞，4) ，集合
B ( 2，6]，求
（1） A， B ； （? 2）B A ．
解 将集合A，B在数轴上表示出来，如下图
所示，由图可知 （1） A [ 4，∞) ， B ( ∞，2] (6，∞) ； （2）B A [ 4，6] ．
（1） 数集x | x a 区间 ( a，∞) ； （2） 数集x | x b 区间 ( ∞，b) ； （3） 数集x | x ≥ a 区间 [ a，∞) ； （4） 数集x | x b 区间 ( ∞，b] ； （5） 实数集R如果用区间来表示，可以记作( ∞，∞) ．
以上介绍的开以上这5种区间统称为无限区间．
《数学 基础模块》上册 2.2.区间的概念
不等式：200＜v＜350 集 合：{v|200＜v＜350}
数 轴：位于200与350之间的一段不包括端点的线段 还有其他简便方法吗？
新知探究
区间的概念 ▶由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间. ▶其中，这两个点叫做区间端点.
典型例题
例2 设R为全集,集合A={x|-1＜x＜4}, B={x|0≤x≤5}, 用区间表示A∩B,并在数轴上表示出来.
解: A∩B={x|-1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5} =(-1,4)∩[0.5] =[0,4).
巩固练习
一、填空：(1){x|-π ≤ x≤ π}用区间表示为________； (2){x|-π ＜ x＜π}用区间表示为_______； (3){x|-π ＜ x≤ π}用区间表示为_______； (4){x|-π ≤ x＜π}用区间表示为________.
4.已知区间A=[1,2],B=(3,4), 问：实数π属于哪个区间？ 5.用区间表示不等式3x＞2+4x 的解集，并在数轴上表示出来. 解：4.π＝3.1415…∈(3,4)；
5.3x＞2+4x⟹ x＜-2,区间表示为(-∞,-2).
归纳小结
学习了哪些内容？ 重点和难点各是什么？
采用了怎样的学习方法？ 你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？
{x|a≤x≤b}
其中a,b叫做区间的端点
典型例题
例1 用区间表示下列集合，并指出它们之间是什么区间：
(1){x|-3＜x≤0}；
(2){x|-3＜x＜1}；
(3){x|-3≤x≤1}；
(4){x|-3≤x＜1}.
解：(1)(-3,0],是半开半闭区间; (2)(-3,1),是开区间; (3)[-3,1],是闭区间; (4)[-3,1),是半开半闭区间.
9不等式的解法—不等式的解集、区间
课题：2.2不等式的解法—不等式的解集、区间教学目的：1．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；2．能正确地运用区间表示不等式的解集.教学重点：“区间”、“无穷大”的概念教学难点：正确地运用区间表示不等式的解集授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：为了简便起见,在表示不等式的解集时,常常要用到区间.下面我们来学习区间的概念和记号二、讲解新课：1．区间的概念和记号在表示不等式的解集时,常常要用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；③满足不等式a≤x<b 或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].这里的实数a和b叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.端点间的距离称为区间的长.实数集R可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.满足x≥a的所有实数x的集合表示为[a，+∞);满足x>a的所有实数x的集合表示为（a，+∞）;满足x≤b的所有实数x的集合表示为(- ∞,b];满足x<b的所有实数x的集合表示为(- ∞,b).注意：书写区间记号时：，x>a，，①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；②有两个区间端点，且左端点小于右端点；③两个端点之间用“，”隔开. 三、讲解范例：例1:用区间记法表示下列不等式的解集:(1)50x ->;(2)2160≥-x ;(3)630x ->;(4)390≤+x ;(5)22x >-;(6)9≤x ≤10. 例2:用集合的性质描述法表示下列区间,并在数轴上出来:(1)[-4,0]; (2)[3,2)-; (3) (,1]-∞-. 例3:用区间记法表示下列集合运算的结果:(1) 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝,求A B.(2) 设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x ≤3｝,求A ∪B.(3) 已知A={x |-2≤x ≤2}, B={x |x>a },若A ∩B=Ф,求实数a 的取值范围. (4) 已知集合A={y |y=x 2-4x+5},B={x |y=x -5}.求A ∩B,A ∪B. 五、小结:本节课学习了区间的概念和记号. 六、课后作业：1.用集合的性质描述法和区间记法分别表示下列不等式的解集:(1)23-<<x ;(2)42≤≤x ;(3)25≤<x ;(4)10≤<x ;(5)4≥x ;(6)8<x . 2.已知(,2)∈-∞x ,试确定下列各代数式值的范围: (1)2+x 的取值范围是 ;(2)2-x 的取值范围是 ; 七、板书设计:八、课后记：。
《数学》教案：区间的概念
课题2.2 区间的概念【教学目标】1．理解有限区间和无限区间的相关概念。
2．掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上进行表示。
【教学重点】用区间表示数集。
【教学难点】对无穷区间的理解。
【教学方法】通过不等式介绍闭区间的相关概念，并在数轴上表示两种不同的区间，以类比出其他区间的记法。
在此基础上引导学生用区间表示不等式的解集，为后面学习用区间法求不等式组解集打下基础。
【教学工具】电脑、投影仪、课件。
【教学时间】2课时（90min）。
【教学过程】探索新知1．有限区间由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间端点。
不含端点的区间称为开区间，如{}|32x x-<<表示的区间就是开区间，记作(32)-，；含有两个端点的区间称为闭区间，如{}|32x x-表示的区间就是闭区间，记作[32]-，；只含左端点的区间称为右半开区间，如{}|32x x-<表示的区间就是右半开区间，记作[32)-，；只含左端点的区间称为左半开区间，如集合{}|32x x-<表示的区间就是左半开区间，记作(32]-，。
➢例题解析例1 已知集合[24]A=-，，(15)B=，，求A B，A B。
☞分析：先将集合A，B在数轴上表示出来，再根据图形写出A B，A B代表的区间。
2．无限区间☞教师提出问题：如何在数轴上表示集合{}|3x x>？☞解决：，{}|3x x>所表示的区间的左端点为3，没有右端点，可记作(3)+，∞，符号“+∞”读作“正无穷大”。
☞推广：设a，b为任意实数，且a b<，则有（1）{}|()x x a a>⇔+，数集区间∞；（2）{}|()x x b b<⇔-，数集区间∞；（3）{}|[)x x a a⇔+≥，数集区间∞；（4）{}|(]x x b b⇔-，数集区间∞。
☞说明：“+∞”与“-∞”都只是符号，代表实数在正、负两个方向上的变化趋势，并不是代表某个很大或很小的数。
最新中职数学基础模块上册教案：区间的概念数学
中职数学基础模块上册（人教版）教案：区间的概念2.2.1 区间的概念【教学目标】1. 理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来．2. 通过教学，渗透数形结合的思想和由一般到特殊的辩证唯物主义观点．3. 培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质，让学生从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．【教学重点】用区间表示数集．【教学难点】对无穷区间的理解．【教学方法】本节课主要采用数形结合法与讲练结合法．通过不等式介绍闭区间的有关概念，并与学生一起在数轴上表示两种不同的区间，学生类比得出其它区间的记法．在此基础上引导学生用区间表示不等式的解集，为学习用区间法求不等式组的解集打下坚实的基础．【教学过程】新课新课满足a≤x≤b 的实数x 的全体，叫做闭区间，记作[a，b]，如图．a，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．例1用区间记法表示下列不等式的解集：(1) 9≤x≤10；(2) x≤0.4．解(1) [9，10]；(2) (－∞，0.4]．练习1用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：(1) －2≤x≤3；(2) －3＜x≤4；(3) －2≤x＜3；(4) －3＜x＜4；(5) x＞3；(6) x≤4．例2用集合的性质描述法表示下列区间：(1) (－4，0)；(2) (－8，7]．解(1) {x | －4＜x＜0}；(2) {x | －8＜间，开区间的概念，记法和图示，学生类比得出半开半闭区间的概念，记法和图示．用表格呈现相应的区间，便于学生对比记忆．教师强调“∞”只是一种符号，不是具体的数，不能进行运算．学生在教师的指导下，得出结论，师生共同总结规律．学生抢答，巩固区间知识．讲两种区间，给学生提供了类比、想象的空间，为后续学习做好了铺垫．学生理解无穷区间有些难度，教师要强调“∞”只是一种符号，并结合数轴多加练习。
数字区间的表示方法
数字区间的表示方法一、数字区间的基本概念。
1.1 数字区间啊，就像是给数字们划分的一个个小地盘。
比如说，从1到10，这就是一个简单的数字区间。
它就像一个小盒子，把1、2、3这些数字都装在里面。
这是咱们日常生活和数学里非常常见的一种表示方法。
1.2 这个概念其实很直观，就像我们说一个人的年龄在20到30岁之间，这就是一个数字区间的实际应用。
大家一听就明白，这个人的年龄大概就在这个范围里晃悠，不会跑到10岁那边去，也不会一下子蹦到40岁。
二、数字区间的表示形式。
2.1 一种常见的表示形式就是用小括号和中括号。
小括号表示不包含端点，就像(1, 5)，意思是这个区间里的数字比1大，比5小，1和5都不在这个区间里，这就有点像“挑三拣四”，只选中间的数。
2.2 中括号呢，像[2, 8]，就是包含2和8这两个端点的，2和8都在这个区间里，这就好比“一网打尽”，把边界的数字也都算进去了。
2.3 还有一种是混合的表示，像(3, 7]，这就是左边不包含3，右边包含7的区间。
这就有点像“半推半就”，一边把3拒之门外，一边又把7紧紧抱住。
三、数字区间在生活中的应用。
3.1 在购物的时候，我们经常能看到数字区间的应用。
比如说，商品的价格在9.9元到19.9元之间，商家这么标出来，就给消费者一个很明确的价格范围概念。
消费者一看就知道，这个东西大概要花多少钱，心里就有底了。
这就像给消费者吃了一颗“定心丸”。
3.2 在统计数据方面，数字区间也大有用处。
比如说，统计一个城市的气温在某个季节的范围，可能是10℃到25℃之间。
这样的区间表示能让我们很清楚地了解这个城市在这个季节的气温变化情况。
要是没有这个区间表示，只给一个单独的数字，那可就像“盲人摸象”，只能了解到局部，而不是整体的气温情况了。
数字区间能让我们更全面、更准确地把握各种数据的范围，在很多领域都发挥着不可或缺的作用，就像一个默默奉献的小助手，虽然不起眼，但却非常重要。
中职数学不等式备课教案
数学备课单第 2 学月 1 课时课题2.1不等式的基本性质2.1.1比较实数大小的方法知识目标：了解比较两个实数大小的方法；技能目标：培养学生的数学思维能力和计算技能情感目标：感受数学在生活中的应用，理论联系实际重点比较两个实数大小的方法难点比较两个实数大小的方法的应用用具教学课件教学内容一、新课导入：2006年7月12日，在国际田联超级大奖赛洛桑站男子110米栏比赛中，我国百米跨栏运动员刘翔以12秒88的成绩夺冠，并打破了尘封13年的世界记录12秒91，为我国争得了荣誉．如何体现两个记录的差距？通常利用观察两个数的差的符号，来比较它们的大小．因为12.88−12.91=−0.03＜0，所以得到结论：刘翔的成绩比世界记录快了0.03秒．总结归纳：可以通过作差，来比较两个实数的大小.二、教学过程：*动脑思考探索新知概念：对于两个任意的实数a和b，有：；；．因此，比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可*巩固知识典型例题例1 比较与的大小．解，因此，．例2当时，比较与的大小．教学目标解 因为，所以，，故，因此．*运用知识 强化练习 教材练习2.1.1比较下列各对实数的大小：（1）与； （2）与．三、达标练习 练习2.1.1 四、课后小结回顾本节学习内容 五、作业布置练习2.1 A 组第一题教 学 板 书2.1.1比较实数大小的方法教 学 反 思数 学 备 课 单 第 2 学月 2 课时课题2.1不等式的基本性质 2.1.2不等式的基本性质知识目标：⑴ 理解不等式的基本性质；⑵ 了解不等式基本性质的应用． 技能目标：培养学生的数学思维能力和计算技能 情感目标：感受数学在生活中的应用，理论联系实际重点 不等式的基本性质教学目标难点不等式的基本性质的应用用具教学课件教学内容一、教学过程：*动脑思考探索新知不等式的基本性质性质1如果，且，那么．（不等式的传递性）证明，，于是，因此．性质2如果，那么．性质3如果，，那么；如果，，那么．*汇报展示交流巩固学生小组讨论活动——举例验证上述不等式的性质.*巩固知识典型例题例3 用符号“”或“”填空，并说出应用了不等式的哪条性质．（1）设，；（2）设，；（3）设，；（4）设，．解（1），应用不等式性质2；（2），应用不等式性质3；（3），应用不等式性质3；（4），应用不等式性质2与性质3．例4 已知，，求证．证明因为，由不等式的性质3知，，同理由于，故．因此，由不等式的性质1知．*运用知识强化练习教材练习2.1.21．填空：（1）设，则；（2）设，则 ．2. 已知，，求证．二、达标练习 练习2.1.2 三、课后小结*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？ 你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？四、作业布置练习2.1 A 组第三题教 学 板 书2.1.2不等式的基本性质教 学 反 思数 学 备 课 单 第 2 学月 3 课时课题2.2区间 2.2.1有限区间知识目标：⑴ 掌握区间的概念；⑵ 用区间表示相关的集合．技能目标：通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力 情感目标：通过区间的学习，体会数学的简洁美重点 区间的概念及其表示教学目标难点区间端点的取舍用具教学课件教学内容*揭示课题2.2 区间*创设情景兴趣导入问题资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的，设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．如何表示列车的运行速度的范围？解决不等式：200<v<350；集合：；数轴：位于2与4之间的一段不包括端点的线段；还有其他简便方法吗？二、教学过程：*动脑思考明确新知概念一般地，由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点.不含端点的区间叫做开区间.如集合表示的区间是开区间，用记号表示.其中2叫做区间的左端点，4叫做区间的右端点.含有两个端点的区间叫做闭区间.如集合表示的区间是闭区间，用记号表示.只含左端点的区间叫做右半开区间，如集合表示的区间是右半开区间，用记号表示；只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合表示的区间是左半开区间，用记号表示.引入问题中，新时速旅客列车的运行速度值（单位：公里/小时）区间为．典型例题例1 已知集合，集合，求：，．解两个集合的数轴表示如下图所示,，．*运用知识强化练习教材练习2.2.11.已知集合，集合，求，．2.已知集合，集合，求，．3. 已知集合，集合，求，．三、课后小结回顾本节学习内容四、作业布置练习2.2A组第一题、第三题教学板书2.2.1有限区间教学反思数学备课单第 2 学月 4 课时课题2.2区间2.2.2无限区间知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．技能目标：通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力情感目标：通过区间的学习，体会数学的简洁美教学目标重点区间的概念及其表示难点区间端点的取舍用具教学课件教学内容一、教学过程：*动脑思考明确新知问题集合可以用数轴上位于2右边的一段不包括端点的射线表示，如何用区间表示？解决集合表示的区间的左端点为2，不存在右端点，为开区间，用记号表示．其中符号“+”（读作“正无穷大”），表示右端点可以任意大，但是写不出具体的数．类似地，集合表示的区间为开区间，用符号表示（“”读作“负无穷大”）．集合表示的区间为右半开区间，用记号表示；集合表示的区间为左半开区间，用记号表示；实数集R可以表示为开区间，用记号表示．注意“”与“”都是符号，而不是一个确切的数．*巩固知识典型例题例2 已知集合，集合，求，．解观察如下图所示的集合A、B的数轴表示，得（1）；（2）．例3 设全集为R，集合，集合，（1）求，；（2）求．解观察如下图所示的集合A、B的数轴表示，得(1) ,；(2) ．*理论升华整体建构下面将各种区间表示的集合列表如下（表中a、b为任意实数，且）．区间集合区间集合区间集合R*运用知识强化练习教材练习2.2.2１. 已知集合，集合，求，.２．设全集为R，集合，集合，求，，．三、课后小结回顾本节学习内容四、作业布置练习2.2A组第二题、B组题教2.2.2无限区间学板书教学反思数学备课单第 2 学月 5 课时课题 2.3一元二次不等式（一）知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．技能目标：通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．情感目标：通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力重点⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．难点一元二次不等式的解法用具教学课件教学内容一、教学过程*揭示课题2.3 一元二次不等式*回顾思考复习导入问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？解决观察函数的图像：方程的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式的解集；在x轴下方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式的解集．归纳一般地，如果方程的解是，那么函数图像与x轴的交点坐标为，并且（1）不等式的解集是函数的图像在x轴上方部分所对应的自变量x的取值范围，即；教学目标（2）不等式的解集是函数在x轴下方部分所对应的自变量x的取值范围，即．总结由此看到，通过对函数的图像的研究，可以求出不等式与的解集．*动脑思考明确新知概念含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式，叫做一元二次不等式．一般形式或*动手探索感受新知思考二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存在着哪些联系？问题已知二次函数y=x2-x-6，问：1.怎样画这个二次函数的草图？2.根据二次函数的图像，能求出抛物线y=x2-x-6与x轴的交点吗？其交点将x轴分成几段？3.观察抛物线找出纵坐标y=0、y>0、y<0的点.4.观察图像上纵坐标y=0、y>0、y<0的那些点所对应的横坐标x的取值范围？解决解方程得．观察图像可以看到，方程的解，恰好分别为函数图像与x轴交点的横坐标；在x轴上方的函数图像，所对应的自变量x的取值范围，即内的值，使得；在x轴下方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，即内的值，使得．*动脑思考探索新知解法利用一元二次函数的图像可以解不等式或．（1）当时，方程有两个不相等的实数解和，一元二次函数的图像与轴有两个交点，(如图（1）所示)．此时，不等式的解集是，不等式的解集是；（1）（2）（3）（2）当时，方程有两个相等的实数解，一元二次函数的图像与轴只有一个交点（如图（2）所示）．此时，不等式的解集是；不等式的解集是．（3）当时，方程没有实数解，一元二次函数的图像与轴没有交点（如图（3）所示）．此时，不等式的解集是；不等式的解集是．三、课后小结回顾本节学习内容教学板书2.3一元二次不等式（一）教学反思数学备课单第 2 学月 6 课时课题2.3一元二次不等式（一）知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．技能目标：通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．情感目标：通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力重点⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．难点一元二次不等式的解法用具教学课件教学内容一、教学过程总结、归纳当时，一元二次不等式的解集如下表所示：方程或不等式解集*巩固知识典型例题例1解下列各一元二次不等式：（1）；（2）；（3）；（4）．分析首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．解（1）因为二次项系数为，且方程的解集为，故不等式的解集为．（2）可化为，因为二次项系数为，且方程的解集为，故的解集为．（3）中，二次项系数为，将不等式两边同乘，得教学目标．由于方程的解集为．故不等式的解集为，即的解集为．（4）因为二次项系数为，将不等式两边同乘，得．由于判别式，故方程没有实数解．所以不等式的解集为，即的解集为．例2是什么实数时，有意义．解根据题意需要解不等式．解方程得．由于二次项系数为，所以不等式的解集为．表中．即当时，有意义．*运用知识强化练习教材练习2.3解下列各一元二次不等式：（1）；（2）．三、课后小结回顾本节学习内容四、作业布置2.3A组题1题（3）（5）教2.3一元二次不等式（二）学板书教学反思数学备课单第 2 学月7 课时课题2.4含绝对值的不等式2.4.1含绝对值不等式或知识目标：（1）理解含绝对值不等式或的解法；技能目标：通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力；情感目标：通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力重点不等式或的解法难点不等式或的解法用具教学课件教学内容一、教学过程*回顾思考复习导入问题任意实数的绝对值是如何定义的？其几何意义是什么？解决对任意实数，有其几何意义是：数轴上表示实数的点到原点的距离．拓展不等式和的解集在数轴上如何表示？根据绝对值的意义可知，方程的解是或，不等式的解集是（如图（1）所示）；不等式的解集是（如图（2）所示）．教学目标（2）（1）*动脑思考明确新知一般地，不等式（）的解集是；不等式（）的解集是．试一试：写出不等式与（）的解集．*巩固知识典型例题例１解下列各不等式：（1）；（2）．分析：将不等式化成或的形式后求解．解（1）由不等式，得，所以原不等式的解集为；（2）由不等式，得，所以原不等式的解集为．*运用知识强化练习教材练习2.4.1解下列各不等式：（1）；（2）；（3）．二、课后小结回顾本节学习内容四、作业布置练习2.2A组第一题1、2小题教2.4.1含绝对值不等式或学板书教学反思数学备课单第 2 学月8 课时课题2.4含绝对值的不等式2.4.1或的解法知识目标：（1）理解或的解法技能目标：通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力情感目标：通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力重点或的解法难点或的解法用具教学课件教学内容一、教学过程*实际操作探索新知问题如何通过（）求解不等式？解决在不等式中，设，则不等式化为，其解集为，即．利用不等式的性质，可以求出解集．总结可以通过“变量替换”的方法求解不等式或（）．*动脑思考感悟新知不等式或（）可以通过“变量替换”的方法求解．实际运算中，可以省略变量替换的书写过程．即*巩固知识典型例题例2解不等式．解由原不等式可得，教学目标于是，即，所以原不等式的解集为．例3解不等式．解由原不等式得或，整理，得或，所以原不等式的解集为．*运用知识强化练习教材练习2.4.2解下列各不等式：（1）；（2）；（3）；（4）．二、课后小结回顾本节学习内容三、作业布置练习2.2A组第一题3、4小题教2.4.2或的解法学板书教学反思。
2、2.区间的概念
2.2
区
间
课题: 区间的概念
授课者: 苟志军
实例导入
资料显示： 随着科学技术的发展，列车运行速度不断 提高，国际公认，运行时速达200km以上的旅 客列车称为新时速旅客列车。京广高铁设计运 行时速达350km，呈现出超越世界的“中国速 度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定 在200km/h与 350km/h之间。
{x|a<x≤b} 左半开区 ( a, b ] 间
b
这里的足不等式 x a , x a , x a , x a 的实数x的集合也可以看成区间，那么这些集合 如何用区间符号表示？ [a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a). 思考2： 将实数集R看成一个大区间，怎样用区间 表示实数集R？ （-∞，+∞）
一般地，由数轴上两点 间的一切实数所组成的集 合，叫做区间。 其中，这两个点叫做端 点。
闭区间： 含有两个端点的区间叫做闭区间， 如{x∣2≤x≤4}表示的区间是闭区间， 记作[2，4]。
开区间： 不含端点的区间叫做开区间，如 {x∣2<x<4}表示的是开区间，记作 （2，4）。
右半开区间：
只含左端点的区间叫做右半开区间，如集 合{x∣2≤x<4}表示的区间是右半开区间，记作 [2，4）。
理论迁移
例1 将下列集合用区间表示 出来：
(1){ x | 2 x 1 0}; (2){ x | x 4, 或 1 x 2}
例2 已知集合A（1，4），集合B[0， 5].求：
（1）A ∩ B （2）AᵁB
作业：
P43习题：2，3，4，6.
左半开区间：
只含右端点的区间叫做左半开区间，如集 合{x∣2<x≤4}表示的区间是左半开区间，记作 （2，4]。
2.2《区间》ppt课件(1).pptx
思考？
那么，对于以任意两个, ሺ < ሻ端点区间怎
样表示？
新知学习Leabharlann 理论升华整体建构定义
名称
符号
数轴表示
备注
{x 丨 a＜x＜b}
开区间
(a，b)
不包含线段的两个端点
{x 丨 a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
包含线段的两个端点
{x 丨 a＜x≤b}
左开右闭区间
(a，b]
包含右端点，不包含左端点
问题：集合 ȁ > 2 可以用数轴上位于2右边的
一段不包括端点的射线表示，如何用区间表示？
问题解决：集合 ȁ > 2 表示的区间的左端点
为2，不存在右端点，为开区间，用记号 2, +∞
表示。其中符号“ + ∞”（读作“正无穷大”），
表示右端点可以任意大，但是写不出具体的数。
类似地，集合 ȁ < 2 表示的区间为开区
数学（基础模块）上册
2.2
区间
共二课时
（第一课时）
【学习目标】
知识与技能
1、 掌握区间的概念； 2、 用区间表示相关的集合。
过程与方法
经历从实际情境中抽象出区间的概念的过程和通过数轴探究
区间与数集的关系，获得区间的概念和用区间表示数集的方法。
情感态度与价值观
通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思
两个实数的大小，只需要考察它们的差即可。
新知应用
巩固知识典型例题
例1：已知集合＝ −1，4 ，集合＝ 0，5 ，
求： ∪ ， ∩ 。
解：两个集合的数轴表示如下图所示,
所以， ∪ ＝ሺ−1，5ሿ；
【中职专用】(高教版2021十四五基础模块上册)数学2.2区间 教案
授课题目2.2 区间选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长1 课时授课类型新授课教学提示本课由实际问题入手，引出数集的其他表示方式——区间，通过数形结合的学习过程，让学生理解区间的概念，并能在数轴上表示区间，直观认识数轴上实数绝对值的几何意义．能结合实例体会用区间表示数集的简洁性，会用不等式、数轴、区间表教学示数集，逐步提高观想象和数学抽象等核心素养；能结合数轴分析区间目标之间的包含关系，能对用区间表示的数集进行交、并、补运算，逐步提高直观想象和了逻辑推理等核心素养．教学重点用不等式、数轴、区间表示数集教学难点区间的表示，区间端点的处理教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图如图所示是高速公路上的限速标志，它表示机动车在该车道上的行驶速度x(km/h)不能低于100 km/h，且不能高于120 km/h．在数学上，我们可以用集合{x|100 ≤ x≤ 120}表示，也可以在数轴上表示，如图所示．因此，不等式3x— 2 Σ 1的解集可以表示为集合{x|3x—2 Σ 1}，化简得集合{x|xΣ 1}，在数轴上表示出来，如图所示．体会从具体的问题引导学生发现说明观察并理解情境区间与思考集合、数情境导入引导问题轴之间学生的关系，观察培养学分析数形生直观结合想象、数讲解学抽象的核心提问分析素养．一般地，由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间，这两个点称为区间端点.设a ， b ∈R ，且a <b ，那么：（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x的集合表示为[a,b]，称为闭区间；（2）满足不等式a <x <b 的实数x的集合表示为(a,b) ，称为开区间；（3）满足不等式a ≤x <b 的实数x的集合表示为[a,b) ，称为左闭右开区间；（4）满足不等式a <x ≤b 的实数x的集合表示为(a,b] ，称为左开右闭区间．其中（3）（4）两类区间统称为半开半闭区间．实数a 与b称为相应区间的端点．这些区间表示的集合及其数轴表示归纳如表所示．按照区间的概念，图中所示限速标志所要求的车速范围可用区间表示为[100，120]．特别的是，实数集R 可以用区间表示为(—∞, +∞)．其中符号“∞”读作“无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，“—∞”读作“负无穷大”.由此，集合{x | x ≥a} 和{x | x ≤b} ，以及{x | x >a} 和{x | x <b} 就可以用区间表示为[a, +∞) 、(-∞, b] 、(a, +∞) 和(-∞, b) .(-∞, +∞) ，[a, +∞) ，(a, +∞) ，(-∞, b] ，(-∞, b) 都称为无穷区间．我们把这些内容归纳整理下：例 1 已知集合 A = (-4, 2) ，集合 B = (-1, 3] ，求A B ，A B ．解集合A 与集合B 的数轴表示如图（1）所示：由图（2）（3），得A B = (-1，2) ，A B = (-4, 3] ．例 2 设全集为R ，已知集合 A = [-2, +∞) ，B = (-∞, 3) ，求 A B ， B ， A B .解集合 A 、 B 的数轴表示如图所示，因此A B = R ； B = [3, +∞) ；A B = [3, +∞) ．练习 2.21．完成下表．2 ．设集合A = (-2, 3] ，集合 B = (0, 4] ，求A B ，A B ．3．设集合A = (-2, +∞），集合B = (-∞, 4] ，求A B ，A B ．4．设全集为R，已知集合A=（-∞,-1)，集合B = (0, 5) ，求 A 、 B 、B A ．。
2.2区间的概念
xR
区间 （a，＋） （-，a） [a，+） （-，a] （-，+）
a x
x
a x
区间 （a，b）
数轴表示
a a a a b x
a x b} {x1a x b}
[a，b]
[a，b） （a，b] 数轴表示
a a x
b x b b x x
{x| a
x b}
{x| a x } b 集合 {x| x a } {x| x a } {x| x a } {x| x a }
x a b
• 闭区间 满足不等式a≤x≤b的所有实数的 集合，叫做闭区间，记做[a，b]，用数 轴表示为：
a
b
x
半开半闭区间 不等式满足a＜x≤b 分别记做 (a，b] 用数轴表示为：
x a b
或 a≤x＜b 或 [a，b)
x a b
一、含有两个端点的数轴区域设 设 a＜ x ＜ b
a a≤x≤b {x| a≤x≤b} [a，b] b x
区 间 的 概 念
新课导入
引例:课本34页奥运举重比赛，其中就 蕴含着我们所要学习的区间概念 • 在初中，我们学习过一元一次不等式 （组）的解法，并且知道能使不等式成 的未知数值的全体组成的集合，叫做不 等式的解集。例如，不等式2x-1>0 的解 集可以表示成{x∣2x-1>0}
例1. 用不等式表示数轴上的实数范围：
－4 －3 －2 －1 0 1 x
－3≤x≤1 用集合表示为 {x| -3≤x≤1 }
用不等式表示为 例2. 把不等式 1≤x＜5 在数轴上表示出来．
0 1 2 3 4 5 x
用不等式表示为 用集合表示为
常微分方程最大存在区间
常微分方程最大存在区间1. 引言在我们的学习旅程中，常微分方程（ODE）就像是一位神秘的向导，它带领我们深入未知的数学世界。
说到常微分方程，很多人可能会想：“这玩意儿到底有什么用呢？”其实，它不仅能帮助我们理解许多自然现象，还能解答一些生活中的小疑问，比如为什么我们的咖啡在热的时候喝得特别快，而冷了却放得很久。
好啦，咱们先不扯远了，今天咱们要聊的是“最大存在区间”，这个听起来高大上的概念其实挺简单的，让我们一起来剖析一下。
2. 常微分方程的基本概念2.1 什么是常微分方程？常微分方程其实就是一种方程，里面有一个或多个未知函数以及它们的导数，听起来复杂，但其实就像你在做一份菜谱，只不过这份菜谱里有些小细节需要我们去研究。
比如，如果你想知道一个小球在空中飞的轨迹，常微分方程就是帮助你算出这条轨迹的那位神秘助理。
2.2 最大存在区间的概念那么，什么是最大存在区间呢？简单来说，就是在某个特定的条件下，常微分方程的解能存在的最大范围。
想象一下，如果你在游泳池里，水位是你的解，而水池的边界就是最大存在区间。
如果水位超过边界，那就麻烦了，可能会溢出来。
所以，找出最大存在区间就像是在确保你的小船不会翻一样重要。
3. 最大存在区间的求解方法3.1 理论基础为了求解最大存在区间，我们首先需要知道常微分方程的解是否唯一。
这就好比在一个大聚会上，找到一个合适的伴侣。
你需要先了解一下自己的需求，再决定去哪个方向找。
数学上，通常用存在性和唯一性定理来帮助我们确认这个解的“好”坏。
3.2 实际操作接下来，咱们来谈谈具体怎么操作。
通常情况下，我们会对常微分方程进行分析，比如考察它的初始条件和边界条件。
就像给你的咖啡加糖，要知道你喜欢多甜的味道，才能调到最佳口感。
如果初始条件太极端，那么解可能就无法在某个区间内存在。
4. 例子解析4.1 简单示例让我们来个简单的例子吧。
假设有一个方程是 dy/dx = y，初始条件是 y(0) = 1。
2.2-区间的概念
a
b
包含a，b
第三页，共10页。
区间表示法
③左开右闭区间（a，b] ：表示数集{x a＜x≤b}
a
b 不包含a
④右开左闭区间 [a，b）：表示数集{x a≤x＜b}
a
b 不包含b
第四页，共10页。
区间表示法
⑤左开右无界区间（a，+∞）表示数集{x x＞a}
a
不包含a
⑥左闭右无界区间 [a，+∞）表示数集{x x≥a}
⑵ {x -3≤x≤1}
⑶ {x -3＜x≤1}
⑷ {x -3≤x＜1}
⑸ {x x＞1}
⑹ {x x≤1}
第七页，共10页。
练习
第八页，共10页。
例题及训练
例2、用区间表示不等式 3x＞2+4x 的解集，并在 数轴上表示出来。
例3、设R为全集，集合A={x -5＜x＜6}, B={x x≥3，或x≤-3} ,用区间表示A∩B.
包含a
第五页，共10页。
区间表示法
⑦左无界右开区间（-∞，a）表示数集合{x x＜a}
a
不包含a
⑧左无界右闭区间（-∞，a]表示数集{x x≤a}
a
包含a
实数集R可以用区间（-∞，+∞）表示
第六页，共10页。
例题及训练
例1、把下列集合用区间表示出来，指出它是什 么区间。
⑴ {x -3＜x＜1}
第九页，共10页。
练习
第十页，共10页。
2.区间的概念
第一页，共10页。
复习
我们知道： 用描述法表示一个数集时可以用不等式表示
如：{x -3<x<5} 也可以在数轴上表示出来：
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（1）－2≤x≤3； （3）－2≤x＜3； （5） x＞3；
（2） －3＜x≤4； （4）－3＜x＜4； （6） x≤4．
例2
用集合的性质描述法表示下列区间： （1）（－4，0）； （2）（－8 ，7].
解：（1）{ x | －4＜x＜0}； （2）{ x | －8＜x≤7}．
你能在数轴 上表示出来 吗？
a
a
a
a＜x＜b {x| a＜x＜b} (a，b) 开区间
a＜x≤b {x| a＜x≤b} (a，b]
a≤x＜b {x| a≤x＜b} [a，b)
半开半闭区间
半开半闭区间
其中 a，b 叫做区间的端点．
a x≥ a {x| x≥ a}
x
x≤ a
a x
a x＞a
x
a x x＜a {x| x ＜ a} (－∞，a)
区间 （a，＋） （-，a） [a，+） （-，a] （-，+）
数轴表示
a a x a x x a x
{x| x≤ a} (－∞ ，a]
{x| x ＞ a} (a，＋∞)
[a ，＋∞)
对于实数集 R，也可用区间(－ ∞ ，＋∞) 表示 ．
例1
用区间记法表示下列不等式的解集： （2） x≤0.4 ． （2）(－∞，0.4 ] ．
（1）9≤x≤10 ；
解：（1）[9，10] ；
用区间记法表示下列不等式的解集， 并在数轴上表示这些区间：
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 x
解： 当 x 在（－∞ ，－3）时，即 x＜－3，
所以 x＋3＜0，即 x＋3 为负； 当 x 在（4，＋∞）时，即 x＞4，
所以 x＋3＞7，即 x＋3 为正；
当 x 在（－3，4）时，即－3＜x＜4， 所以 0＜x＋3＜7，即 x＋3 为正．
集合
用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示之 ． （1）[－1，2）； （2）[－ 3，1 ]．
例3
在数轴上表示集合 { x | x＜－2 或 x≥1 }.
解：
－2 0 1
x
已知数轴上的三个区间：（－∞，－3）， （－3，4），（4，＋∞）．当 x 在每个区间上取值时， 试分别确定代数式 x＋3 的值的符号．
名称
开区间
闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间
区间
数轴表示
a a a a b x
{x| a x b} {x| a x b}
{x| a x b } {x| a x b}
（a，b）
[a，b] [a，b） （a，b]
b x b b x x
集合 {x| x a } {x| x a } {x| x a } {x| x a } xR
பைடு நூலகம்不 等
不等式
不等式 不等式
2.2.1 2.2.1 区间的概念 区间的概念
式
1. 用不等式表示数轴上的实数范围：
－4
－3
－2
－1
0
1
x
用不等式表示为
－4≤x≤0
2. 把不等式 1≤x≤5 在数轴上表示出来．
0 1 2 3 4 5 x
设实数 x a
a≤x≤b {x| a≤x≤b} [ a ， b] 闭区间 b x b x b x b x