辅助函数法在微分中值定理中的应用
微分中值定理的证明及其应用
微分中值定理的证明及其应用[摘要摘要] ] ] 微分中值定理是微分学的基本理论微分中值定理是微分学的基本理论微分中值定理是微分学的基本理论,,也是微分学的理论基础。
数学分析中基础。
数学分析中,,介绍了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理。
本文主要探讨微分中值定理的几何意义及证明过程中辅助函数的构造辅助函数的构造,,结合教学过程中出现的问题结合教学过程中出现的问题,,通过具体实例探讨微分中值定理在函数性态各方面的应用。
微分中值定理在函数性态各方面的应用。
[关键词关键词] ] ] 中值定理中值定理中值定理 辅助函数辅助函数 根的存在性根的存在性 待定系数法待定系数法 数学分析中数学分析中,,一般在证明罗尔定理的基础上一般在证明罗尔定理的基础上,,通过构造辅助函数通过构造辅助函数,,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明。
其关键是如何构造辅助函数结论得出拉格朗日定理的证明。
其关键是如何构造辅助函数,,一旦辅助函数构造出来辅助函数构造出来,,余下的问题便容易解决了。
余下的问题便容易解决了。
首先介绍微分中值定理的几何意义和辅助函数的构造及定理的证明。
证明。
一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨若函数在闭区间上连续若函数在闭区间上连续,,其图形是一段连续的曲线弧。
当在区间两个端点的函数值相等两个端点的函数值相等((即)时,线段ab 平行于轴平行于轴,,其斜率为零。
若函数在内每一点都可导函数在内每一点都可导,,对应曲线弧上每一点都有切线对应曲线弧上每一点都有切线,,此时此时,,从图可以看出可以看出,,在曲线弧上在曲线弧上,,至少可以找到一点m,m,弧在此点的切线与线弧在此点的切线与线段ab 平行平行,,即切线的斜率为零。
若记m,m,则切线则切线mt 的斜率为的斜率为,,且。
且。
上述的几何直观进行归纳上述的几何直观进行归纳,,得到如下定理得到如下定理: :定理1:(1:(罗尔定理罗尔定理罗尔定理) )若函数满足下列三个条件若函数满足下列三个条件: :(1)(1)在闭区间上连续在闭区间上连续在闭区间上连续;(2);(2);(2)在开区间内可导在开区间内可导在开区间内可导;(3);(3);(3)。
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理是微积分中重要的定理之一，它是用来描述凸函数的性质的。
在构造辅助函数时，我们可以使用中值定理来简化问题或某些证明。
具体方法如下：
1. 构造辅助函数：根据问题的特点，构造一个合适的辅助函数。
辅助函数的选择要根据具体问题来决定，可以是原函数的导数，原函数的积分等。
2. 应用中值定理：利用构造的辅助函数应用中值定理来得到有关函数的性质。
中值定理通常有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
具体选择哪个中值定理要根据辅助函数的性质和问题的要求来决定。
3. 利用中值定理的结论解决问题：根据中值定理的结论，进一步推导出问题的解决方法或者证明某些性质。
需要注意的是，构造辅助函数和应用中值定理需要根据具体的问题进行判断和分析。
不同的问题可能需要不同的辅助函数和中值定理形式来求解或证明。
因此，在使用中值定理构造辅助函数的时候，需要根据问题的特点灵活运用。
构造辅助函数证明微分中值定理及应用
构造辅助函数证明微分中值定理及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一、它指出，如果函数在一些区间内连续，并且在该区间内可导的话，那么在该区间内至少存在一个点，对应的函数的导数等于函数在该区间的两个端点的函数值之差除以它们的自变量的差值。
为了证明微分中值定理，我们需要构造一个辅助函数来分析。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且可导。
我们构造一个辅助函数g(x) = f(x) - kx，其中k是待定的常数。
辅助函数g(x)在区间[a,b]上也是连续可导的。
现在我们来分析这个辅助函数g(x)。
首先，考虑端点a和b处的函数值。
根据辅助函数的定义，g(a) = f(a) - ka，g(b) = f(b) - kb。
如果我们选择k = (f(b) - f(a))/(b - a)，那么g(a) = 0，g(b) = 0。
也就是说，我们可以通过选择适当的k，使得辅助函数在区间[a,b]的两个端点处函数值为0。
接下来，我们考虑辅助函数的导数。
根据辅助函数的定义，g'(x)=f'(x)-k。
由于f(x)在区间[a,b]上可导，所以f'(x)也在该区间上连续。
因此，辅助函数g'(x)是一个连续函数。
同时，根据导数的定义，我们有g'(a)=f'(a)-k，g'(b)=f'(b)-k。
根据连续函数的介值性质，如果函数g'(x)在区间[a,b]内取到了正值和负值，那么一定存在一些点c，使得g'(c)=0。
根据导数的定义，这意味着f'(c)-k=0，即f'(c)=k。
现在我们回顾一下辅助函数的定义，g(x) = f(x) - kx。
如果f'(c) = k，那么g(x)在点x = c处的导数为0，也就是说g(x)在点x = c处取到了极值。
由于g(a) = 0，g(b) = 0，根据罗尔定理，我们知道在两个端点处对应的两个函数值相等，因此至少存在一个点d，使得g'(d) = 0。
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析一、微分中值定理的证明和应用1.拉格朗日中值定理的证明：拉格朗日中值定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理是根据泰勒展开式推导而来。
设函数f(x)在区间[a,b]上满足条件，则对于任意的x∈(a,b)，都可以将f(x)展开成泰勒级数，即：f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)其中c∈(a,b)。
因此，当x在(a,b)范围内变化时，根据泰勒展开式可知，存在至少一个c使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2.拉格朗日中值定理的应用：拉格朗日中值定理常用于证明函数的性质以及求解函数的近似值，如用于证明介值定理、判定函数单调性、证明零点存在等。
它也可以用于求解极值问题，通过求解函数的导数等于零的方程，找到函数的极值点。
此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明柯西中值定理。
3.柯西中值定理的证明：柯西中值定理是微分中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则存在至少一点c∈(a,b)使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的证明可以通过构造辅助函数来实现。
设辅助函数h(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]，然后根据辅助函数的性质，利用拉格朗日中值定理证明存在一些c，使得h'(c)=0。
进而，可以得到[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
4.柯西中值定理的应用：柯西中值定理常用于证明函数之间的关系以及求解函数的极值问题。
例如，可以用柯西中值定理来证明洛必达法则，即如果两个函数f(x)和g(x)在x->a时都趋于零，且g'(x)≠0，则f'(x)/g'(x)在x->a时也趋于零。
用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数
用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数
1. 基本说明
一般来说，中值定理类问题就是求一个函数在一定区间上极值的问题，而且这个函数往往比较复杂，我们要利用解微分方程的方法解决，就
要使用辅助函数。
辅助函数指的就是：在求解复杂函数极值的中值定
理类问题时，引入的简单函数。
2. 生成规则
首先，我们要建立一个初始函数，记为 $f(x)$，它是最基本的函数形式，其中包括一系列的常数项和x 的n次幂项；然后再引入更复杂的函数，记为 $g(x)$，由前人研究已知，它会根据给定的 f(x) 的函数形式满足
一定的性质；最后，将 g(x)和 f(x) 结合起来，形成辅助函数的形式。
具体的辅助函数表达式如下所示:
$$ h(x) = f(x) + g(x) $$
3. 具体应用
在实际应用中，我们可以使用辅助函数得到有关中值定理的重要属性，例如获得函数的凹凸性，并求出拐点及其对应的值。
此外，辅助函数
在求解凸优化问题时也大有用处，如果有一定的规模，我们可以采用
凸优化方法将辅助函数最小化，从而得到最优解。
辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用
辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用以辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它建立了函数在某个区间内的导数与函数在该区间内的平均变化率之间的关系。
本文将介绍微分中值定理的证明方法以及其应用。
我们将利用辅助函数构造法来证明微分中值定理。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，并且f(a)≠f(b)，我们定义辅助函数g(x) = f(x) - [f(b) - f(a)]/(b-a)*(x-a)，其中[f(b) - f(a)]/(b-a)表示函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率。
辅助函数g(x)满足以下条件：1. g(x)在区间[a,b]上连续；2. g(a) = f(a) - [f(b) - f(a)] = f(b)；3. g(b) = f(b) - [f(b) - f(a)] = f(a)；根据介值定理，对于任意的y∈[f(a), f(b)]，存在c∈[a,b]，使得g(c) = y。
由于g(a) = f(b) > y，g(b) = f(a) < y，所以根据连续函数的介值定理，必然存在c∈(a,b)，使得g(c) = y。
由于g(x)是连续函数且可导，根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得g'(ξ) = 0。
由于g'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a)]/(b-a)，所以f'(ξ) = [f(b) - f(a)]/(b-a)。
这样，我们就证明了微分中值定理：对于函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ) = [f(b) - f(a)]/(b-a)。
微分中值定理的证明通过构造辅助函数g(x)并利用介值定理和罗尔定理，建立了函数的导数与平均变化率之间的关系。
接下来，我们将介绍微分中值定理的应用。
微分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面我们将介绍其中的两个应用场景。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。
1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。
通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。
具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。
2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。
通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。
具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。
3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。
通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。
具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。
4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。
通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。
具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。
总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。
不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。
在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
辅助函数的几种特殊用法在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。
因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。
为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。
(1)若题目中出现等式“'()()f kf ζζ-”时，一般可以考虑作辅助函数)()(x f e x F kx -=.例:设函数f 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ==证明：k R ∀∈，(,)a b ζ∃∈，使得'()()f kf ζζ=分析:要证'()()f kf ζζ=，即证'()()0f kf ζζ-=，也就是证ζ函数)()(x kf x f -'的零点.注意到[()]'['()()]kx kx f x e f x kf x e --=-，因此，只要检验函数()()kx F x f x e -=是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.证明:构造辅助函数()()kx F x f x e -=，(,)x a b ∈，则()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故(,)a b ζ∃∈，使得0)(='ζF ， 而[])()()()()(ζζζζζkf f e e x kf e x f F k x kxkx -'=-'='-=--，则['()()]0k e f kf ζζζ--=，即'()()f kf ζζ=.(2)若题目结论中出现等式“1'()n A f ζζ-=)0(≠A ”时，可考虑作副主函数()()F x f x =，()n G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈，使得：222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.证明: i ）若0(,)a b ∉作辅助函数()()F x f x =，2()G x x =，()F x ，()G x 均满足柯西中值定理条件 所以(,)a b ζ∃∈使得22()()'()2f b f a f b a ζζ-=-，即222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.ii ）若0(,)a b ∈，'(0)0,0f a b ≠+≠由i ）可类似得证. iii ）若0(,)a b ∈，'(0)0f ≠，取0ζ=，即证.(3)若题目结论中出现“()'()f f ζζζ-”时，可以考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=. 例:设函数f 在[,]a b 上连续)0(>a ，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈使得1()'()()()a b f f f a f b a b ζζζ=--,证明:因为2)()()(x x f x f x x x f -'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡, 考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=，显然F 与G 在[,]a b 上满足柯西中值 定理条件，所以必(,)a b ζ∃∈， 使得)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--即221)()(11)()(ζζζζζ--'=--f f a b a a f b b f [])()()()(1ζζζf f a bf b af b a '-=--⇒证毕.(4)若命题结论中出现式“()'()f f ζζζ+”时，可考虑作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：必有(,)a b ζ∈，使得()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-.分析:我们熟悉[])()()(x f x x f x xf '+='，因此作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =，且知()F x ，()G x 在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--，即()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-得证.(5)若题目中出现式“'()f ζζ”时，可考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =.例:设函数f 在[,]a b (0)a >上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ζ∈使得()()'()lnbf b f a f aζζ-= 证明:由我们熟悉的xx 1)(ln ='，考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =且)(),(x G x F 在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，于是),(b a ∈∃ζ，使得()()'()1ln ln f b f a f b aζζ-=-，即()()'()lnbf b f a f aζζ-=，证毕.(6)若命题结论中出现等式“()()f kf ζζζ'-”的关系时，可考虑的辅助函数为).()(x f x x F k -=例:设)(x f 在[]b a ,上连续，)0(b a <<，在),(b a 内可导，且)()(a bf b af =，证明：),(b a ∈∃ζ使得)()(ζζζf f '=.证明:设)()(1x f x x -=ϕ，显然ϕ在[]b a ,上连续， 而2)()()(xx f x f x x -'='ϕ在在),(b a 内存在， 且)()()(11b f b a f a a --==ϕ，故ϕ在[]b a ,上满足罗尔中值定理条件， 于是必),(b a ∈∃ζ使得0)()(2=-'='ζζζζζϕf f ）（， 所以0)()(=-'ζζζf f ，而0>ζ，所以)()(ζζζf f '=.证毕.（7)若题目中出现等式“2f ff '''+”，的关系时，则往往考虑构造辅助函数)()(2x f x F =，因为)(x F 经过一次求导为)()(2)(x f x f x F '='，再次求导后，即[])()()(2)(x f x f x f x F ''+'=''.例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导，且0)()(==b f a f ，证明：),(b a ∈∃ζ，使得.0)()()(2=''+'ζζζf f f证明:设辅助函数),()(2x f x F =则)()(2)(x f x f x F '='， 因为)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导， 且0)()(2)()()(2)(='='='='b f b f b F a f a f a F ，所以由罗尔中值定理知：必),(b a ∈∃ζ使0)(=''ζF ，而[]0)()()(2)(2=''+'=''ζζζζf f f F ，即0)()()(2=''+'ζζζf f f .证毕.(8)若题目中出现等式“2ff f '''-的关系时，则需构造辅助函数)(ln )(x f x F =，因为)(x F 经过一次求导后为)()()(x f x f x F '='，再次求导后得到.)()()()()(2x f x f x f x f x F '-''='' 例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且[]b a x x f ,,0)(∈>，)()()()(b f a f a f b f '⋅='⋅，试证：必),(b a ∈∃ζ使得.0)()()(2='-''ζζζf f f证明：设)(ln )(x f x F =，得)()()(x f x f x F '='， 显然)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则)()()()()()(b F b f b f a f a f a F '='='='， 故满足罗尔中值定理条件，因此必),(b a ∈∃ζ使得0)(=''ζF ，而0)()()()()(22='-''=''=ζζx x f x f x f x f F ，即.0)()()(2='-''ζζζf f f证毕.(9)若题目结论中出现等式“0)()(0=+⎰ζζf dx x f ”，的关系时，则可考虑构造辅助函数.)()(0⎰=xx dt t f ex ϕ例：设f 在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且⎰=a dx x f 0.0)(证明：),0(a ∈∃ζ使得0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证明：作辅助函数⎰=xxdt t f e x 0)()(ϕ，显然)(x ϕ在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且)0(0)()(0ϕϕ===⎰aa dt t f e a ，故满足罗尔中值定理条件，因此，必),0(a ∈∃ζ使得0)(='ζϕ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+='⎰⎰)()()()()(00x f dt t f e x f e dt t f e x xx x x x ϕ，由于0≠ζe ， 故0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证毕.(10)若题目出现等式“()()f f ζζ''-”的关系时，则需两次构造辅助函数，第一次构造)()(x f e x g x =，第二次构造[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ.例:设设)(x f 在[]b a ,上可导，在),(b a 内二阶可导，0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，试证：),(b a ∈∃ζ，使得).()(ζζf f =''证明：因为0)()(>'⋅'b f a f ，所以)(a f '与)(b f '同号，设0)(>'a f ，即0)(lim _)()(lim >-=-++→→ax x f a x a f x f a x ax ，所以),,(,01δδ+∈∃>∃a a x 使得0)(1>x f ， 0)(lim )()(lim >-=----→→bx x f b x b f x f b x bx ，所以),(,02b b x δδ-∈∃>∃，使得.0)(2<x f 又因为f 在[]b a ,上可导，故f 在[]b a ,上连续，即f 在),(21x x 上连续, 而0)(,0)(21<>x f x f ，所以由介值定理（或零点定理），),(21x x ∈∃η使得.0)(=ηf再看，由题目结论，构造辅助函数),()(x f e x g x = 因为)()()(ηf b f a f ==，所以0)()()(===b g g a g η，故),(1ηηa ∈∃，使得,0)(1='ηg ),(2b ηη∈∃，使得.0)(2='ηg因为[])()()()()(x f x f e x f e x f e x g x x x '+='+='，由0)()(21='='ηηg g ，可得.0)()(,0)()(2211='+='+ηηηηf f f f令[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ， 所以有[]0)()()(1111='+=-ηηηϕηf f e ，[],0)()()(2222='+=-ηηηϕηf f e即0)()(21==ηϕηϕ，又因为)(x ϕ在[]21,ηη上连续可导， 所以),()(2,1b a ⊂∈∃ηηζ，使得0)(='ζϕ，即[]0)()()(=-''='=-ζζϕx x x f x f e ，而0≠-ζe ，故0)()(=-''ζζf f .证毕.涉及罗尔定理证明中值等式的命题罗尔定理:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且在区间端点的函数值相等，即()()f a f b =.那么在区间(,)a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零，0)('=ξf .题型一：设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明对任何实数k ，至少存在一点),(b a ∈ξ使)()(ξξkf f ='成立.分析：首先从结论看起，欲证)()(ξξkf f ='，即证0)()(=-'k f f ξξ，即0)()(=-'=ξx k x f x f .而要0)()(=-'=ξx k x f x f 就促使我们想到去构造辅助函数的思路，即构造的函数)(x F 应该满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b F a F =，k x f x f x F -'=')()()(，如果这样的话kx x f x F -=)(ln )(，但是)(x F 在点a 和点b 处都没有定义，所以不满足)()(b F a F =,从而kx x f x F -=)(ln )(不是我们所需要的辅助函数，但是注意到指数函数)(x F e 的特点，当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩大，从而)(x F e 可能成为我们找的辅助函数.若令)()()(x f e e x G kx x F -==，则)(x G 满足)(0)(b G a G ==以及罗尔定理的其他条件，所以，由罗尔定理得知：至少),(b a ∈∃ξ使得0)(='ξG ，而[])()()(x kf x f G -'='ξ，所以[]0)()()(=-'='-ξξξξkf f e G k ，而0>-kx e ，所以只能0)()(=-'ξξkf f ，即)()(ξξkf f ='成立，由此)(x G 就是我们所需构造的辅助函数.注意：在分析题目时，如果我们从不同的角度看它就可能会构造不同的辅助函数，也就是说，对于解决同一个题目，所构造的辅助函数可能是不唯一的.例:设)(x ϕ为[]c c ,-上的连续奇函数，且在()c c ,-内可导，又0)(=c ϕ，证明：对任何实数λ，都存在()c c ,-∈ζ使得0)()(=+'ζλϕζϕ.证法一:由题型一的结论可作辅助函数)()(x e x G x ϕλ=，则)(x G 在[]c c ,-上连续，又因为[])()()()()(x x e x e x e x G x x x ϕλϕϕϕλλλλ'+='+='在()c c ,-内存在，且0)()(==-c G c G ，（0)()(=--=c c ϕϕ），所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)(='ζG ，即0)()(=+'ζλϕζϕ.证毕.证法二:若设dt t x x G xc⎰-+=)()()(ϕλϕ，则)(x G 在[]c c ,-上连续，且)()()(x x x G λϕϕ+'='在()c c ,-内存在，又因为0)()()(=+=⎰-dt t c c G ccϕλϕ，0)()()()()(=-=-=+-=-⎰--c c dt t c c G ccϕϕϕλϕ，所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)()()(=+'='ζλϕζϕζG .证毕.题型二:证明),(b a ∈∃ζ，使得0)()()(='+'ζζζf g f .分析:仍然从结论入手，把0)()()(='+'ζζζf g f 变形，且将ζ变为x ，则有0)()()(='+'=ζx x g x f x f ，而)()()(x g x f x f '+'有一个原函数)()(ln )(x g x f x F +=，由题型一，最好将辅助函数)(x T 作为)()()(x f e x T x g =.例:取函数()f x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k f k f =-，试证明在),(k k -内至少存在η，使得)(2)(ηηηf f ='.分析:由该题型的辅助函数为可知，待证等式中的)(2ηηg '=-，从而得到2)(ηη-='g ，将ηζ改为x 即2()g x x =-，因此辅助函数2()()x F x e f x -=.证明:取辅助函数2()()x F x e f x -=.则()F x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k F k F =-，满足罗尔定理， 故必),(k k -∈∃η使得)(ηF '0=， 由于[])(2)()(2x xf x f e x F x -'='-，将η=x 带入上式，并去掉非零因子2η-e ，即得证原式成立.附注:读者可将题型二的()g x 取为x λ或2x λ带入'()'()()0f x g x f x +=将得到一系列的命题.题型三：证明存在(,)a b ξ∈使得1()'()0k k k f f ζζζζ-+=构造的辅助函数()()k F x x f x =例:设函数()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，1(1)2f =，(2)2f =，证明：存在(1,2)ζ∈，使得'()2()f f ζζζ=.分析:待证等式可变形为2()'()0f f ζζζ-=，即0)()(22='+-ζζζζf f .与题型二的一般形式进行比较可知k 为-2的情况，因此可作辅助函数()()x f x x F 2-=.证明:取辅助函数2()()F x x f x -=，则易知()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且(1)(2)0.5F F ==，由罗尔定理，至少存在一点(1,2)ζ∈使得'()0F ζ=， 由于12'()['()2()]F x x x f x xf x -=-，将x ζ=带入上式，即有 2()'()0f f ζζζ-=，故'()2()f f ζζζ=.证毕.附注:由题型三可以演变出一系列的题型.如：证明存在(,)a b ξ∈使'()''()()0kf f ζζζλ+-=，k R ∈，R λ∈ 构造的辅助函数()()'()k F x x f x λ=-例:设函数()f x 在[0,1]二阶可导，(0)(1)f f =，求证：存在(0,1)ζ∈，使得2'()''()(1)0f f ζζζ+-=.证明:取辅助函数2()(1)'()F x x f x =-.由于(0)(1)f f =，()f x 在[0,1]上二阶可导，对()f x 在[0,1]上应用罗尔定理， 则必存在(0,1)η∈使得'()0f η=，于是有()0F η=，因为(1)0F =且()F x 在[0,1]上可导，对()F x 在[,1]η上应用罗尔定理，必存在(,1)(0,1)ζη∈⊂使得'()0F ζ=， 由于2'()2(1)'()(1)''()F x x f x x f x =-+-，将x ζ=带入上式，并去掉非零因子1ζ-，即证得原式成立，证毕.题型四:证明存在)(b a ,∈η使得)()(2ηληf f =''，λ为常数.（注意:此题型需要构造两次辅助函数，第一次构造()()x F x e f x λ=；第二次构造2()'()x G x e F x λ-=）.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在(,)a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，'()'()0f a f b >，求证：存在(,)a b ζ∈，使得''()4()f f ζζ=证明:由()()0>'⋅'b f a f ，不妨设'()0f a >，'()0f b >， 由导数的几何意义，在x a =的右领域中存在1B ,使得()()01=>a f B f ， 在x b =的左领域中存在2B ，使得()()02=<b f B f ，且令21B B <，则由应用零点定理可知存在()21B B B ，∈，使得 ()0=B f ，取2()()x F x e f x =，则()F x 在(,)a b 上可导，且()()()0===B F b F a F ，所以分别在][B a ,和][b B ,上应用罗尔定理，存在)(B a ,1∈∃η使得()01='ηF ；)(b B ,2∈∃η，使得()02='ηF . 因此11'()2()0f f ηη+=，12'()2()0f f ηη+=，令4()x G x e -=2'()['()2()]x F x e f x f x -=+， 则()G x 在(,)a b 内可导，由于12()()0G G ηη==在12[,]ηη上应用罗尔定理，存在12(,)(,)a b ζηη∈⊂， 使得'()0G ζ=，由于()2'()''()2'()2'()4()x G x e f x f x f x f x -=+-+⎡⎤⎣⎦，故有''()4()f f ζζ=，证毕.提示:其实在涉及一些利用罗尔中值定理证明一些等式的时候，一般都是先从题目的结论入手，把结论中的等式经过变形后，观察该式，看看什么样的函数经过求导后（一次或两次等）含有如结论中的式子作为因子，则我们一般就取这样的函数为我们需要找的辅助函数.但是需要强调一点，就是我们选取的辅助函数在题目给定区间要有意义，且满足罗尔定理的条件，这种就是前面所讲的原函数法.涉及拉格朗日中值定理证明中值等式的命题拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式))((')()(a b f a f b f -=-ξ成立.亦即)(')()(ξf ab a f b f =--成立.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导0a >，()()1f a f b ==，证明：存在ζ使得1(,)()'()n a b f f ηηηζζζζ-⎡⎤∈∍=+⎢⎥⎣⎦. 分析:先将等式变形，即有11()'()(*)n n n n n f f ηζζζζ--=+，通过观察，我们会发现等式(*)的右边是（1()()0k k k f f ζζζζ-+=，[()]'0k x f x =，()k x f x ）形式，因此构造的辅助函数()()n F x x f x =，再观察等式(*)左边可知1()'n n n ηη-=，从而得到辅助函数()n g x x =，通过拉格朗日中值定理寻找'()F x 与'()G x 的相同部分，得出待证结论.证明:取辅助函数()()n F x x f x =，易知()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件.则存在),(b a ∈ξ使得⇒--='ab a F b F F )()()(ξ1()()()'()n n n nb f b a f a n f f b a ζζζζ--+=- 又()()1f a f b ==， 所以1()'()n nn nb a n f f b aζζζζ--+=- （1）取 ()n g x x =，易知()g x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件， 则()()(,)'()n ng b g a b a a b g b a b aηη--∈∍==-- （2）比较（1）（2）可得11()()n n n n n f f ηζζζζ--=+， 即1()'()n f f ηζζζζη-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 证毕.。
微分中值定理中辅助函数的构造法与应用
定 ，将其归结 为厂（ ） ＝
（ ），
即 ２ ，’（ ）＝ （ｂ＋０）厂（ ）． 在 （口，６）中 ，有 解 ＝ 对 方 程 两边 与 相 关 积 分 ，即
Ｉ一 厂（ ）２ｘｄｘ＝（ｂ＋ｏ）一Ｉ厂 （ ）
，
厂（ ）（ｂ 一ｏ ）＝ （ｂ＋ｏ）（－厂（ｂ）－ｆ（ｏ））．
堑学 学 习 与研 究 ２０１８．３
然 有 ｏ’１
＝
．
证明 令 删 有
＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
等式两边同时关于 积分 ，得
／ ｄｘ＝／ ｄｘ＝一／
ｄｘ，
叫 ＝一』 ，
ｎｌｎ Ｉ，（ ）ｌ＝一Ｉｎ Ｉ，（１一 ）Ｉ＋ｃ， 因此 ，１ｎ ｌ，（ ）Ｉ“＋ｌｎ ｌ厂（１一 ）Ｉ：ｃ， Ｉ，（ ） ｌ·Ｉ，（１一 ）Ｉ＝ ｅ ＝ｃ， ［，（ ）］ １一 ）＝±ｃ＝Ｃ． 此时 ，令 ｒ（ｘ）＝ ［，（ ）］ （１一 ），由于在 闭区间［０，１］ 上 ）连续 ，在 开 区间 （０，１）上 ，（ ）可导 ，并且 ｒ（ｏ）＝ ［ ０）］ １—０）＝Ｉｆ（１）］ １—１）＝Ｏ，根据罗尔定 理 ，则 有一个 属于 （０，１），使 Ｆ （ ）＝ ）］ 一 （ ），（１一 ）＝ ）］ （１一 ）：０， 而 属 于 （０，１） ）≠ ０ ）≠ ０，根 据上 式 ，可 以同
一 、 原 函 数 法 在 求解 极值问题时 ，微分 中值定理 的应用非 常有效 ，通 常情 况 下 ，某 个 函数 的 导 函数 的 零 点 为需 要 验 证 的 结 论 ，此 时 构 造 辅 助 函数 就 可 以 选 择 不 定 积 分 ，将 原 函数 反 求 出来 ， 具体步 骤如下所述 ： （１）用 来 替 换 需 要 证 明 的 结 论 中 的 或 Ｘ０； （２）利用恒等变换 ，将结论 向易积分 的形式进行转化 ； （３）基 于对观察法或凑微分法 的运用 ，将原函数求解出 来 ，如果题 目需要 ，等式 的两 端还可 以乘 非零 的积分 因子 ， 通常情况下 ，为 了求解方便 ，积分常数可以取为零 ； （４）移项 ，让等式一边变 为零 ，如此一来 ，非零 一边的式 子 就 成 为 辅 助 函数 ．
微分中值定理证明中的辅助函数
产 沂 (劫
。
产
=
0
一
了 (石) 一 f ( a )
b一
a
_ 一
移项 便得 证 裸讨 ①
一
由式
一
2
给 出 的 辅 助 函 数 小( x ) (
二
,
它 概 括 了 现 行 教 材 中 所 用 的 两种 辅 助 函 数 F ( 劝 , ( )一
x
=
厂 (x )
f (a )
卫丝卫业三
口
一
。
); F ( )
夕
,
)
0
,
: 〕 乙 上 找 出一
,
个隐 函数 ( x
:
,
)
,
这是无 法证 明的
而 罗尔定 理要 用于 函 数的 明显表 达式
不 能 用 于 F
万:
)
O
,
所 以 只 好 求助 于 辅 助 函 数
2
柯 西 中值 定理 证 明 的探 索
定理
a 若 函 数f (x )和 g (x )在 〔
, ,
西 〕 上连续
’
①
,
证 明 拉格朗 日 中值定理 的 辅助 函数 为
/
:
一 ` (` ’
一
严
:
工 鱼上趣 2
一。 石
l
+ `
;
证明柯 西 中值定 理 的 勃 “ 助 函数 为
,
.
’ (`
,
。
二 C:
g (b ) 一 g ( a )〕 (万 ) 一 〔 ( b ) 一 ( a )〕 g (劣 ) }+ C {〔 f f f
, ,
微分中值定理(怎样构造辅助函数)
微分中值定理中用积分因子(微分方程)来构造辅助函数的方法相信同学们在微分中值定理这一块内容不是很懂，特别是构造辅助函数这一部分相当困难。
本人今天有幸在书上看到一个方法叫做用积分因子(微分方程)来构造函数的方法，个人感觉这方法特别有用。
于是我百度找到了下面内容：先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε)证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y,所以 y dxdy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即⎰⎰=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x ey ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -⋅，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。
再给大家举几个例子。
二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证：在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0证：一样的，xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。
三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.证：02=+y x dx dy ，移项就是dx x dy y 121-=，所以x y ln 2ln -=，所以就是21xy =，移项就是12=⋅x y ，所以构造的函数就是2)(x x f ⋅，再用罗尔定理就可以了。
浅谈微分中值定理证明中的辅助函数
其［（＋（ ≠ 中・） 。 ｇ ） ］
足罗尔 定理的 （） ｉ 但不满 足（ｉ ｉ （ｉ ） ｉ） ｉ
（） （ 只需 ｊ ｆ ｂ） ｆ ） ｝ ＝一 － ａ
６ （ ｇ （ ｇ （ ）一 （ ） ２ ｂ ０
由 Ｆ ｎ Ｆ ｂ得 （ ）＝ （ ）
， ｎ ＋ （ ＝ （ ）＋： ０ ２ ６—１ ０ ０—１ ７
作者 简介 ： 张慧芬（９４一 ， ， １７ ）女 山西应县人 ， 山西大 同大 学数理 系助教 ， 高等数 学研 究。 从事
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浅谈微 分中值定理证 明 中的辅助 函数
张 慧芬
（ 山西大 同大学 ， 山西 大同 ０ ７０ ） ３０ ８
摘
要： 三大微分 中 值定理 的证明是 高等数 学教学 中的重要 内容 ， 文章利用函数叠加的方
法 给 出 了一 种 新 的 证 明 方 法 。
关键 词 ： 分 中值 定理 ； 助 函数 ； 微 辅 叠加 中图分 类 号 ：Ｏ１４ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：６ １—１９ ２０ ０ ７ １７ ４ １（０７） ２—０ ３ ０ ５—０ ２
在高等数学 中， 有非常重要的三大微分 中值定 理 ， 分别是 罗尔定理 、 拉格 朗 日定理 、 西定 理 。一般 在教学 中， 柯 涉及 到三 大微 分中值定理 的证 明， 都是 先证 明罗尔定理 ， 其次在此基础上 ， 引入辅助 函数证明后两个 定理。学生在学 习过程中常反 映，
辅助 函数 的出现有点突然 ， 文从 一个 简单 的且容易接受 的设想 出发作辅助 函数 。 本 众所周知 ， 罗尔定理 的内容为 ：
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第２ ３卷 第 ２期 ２０ ０ ７年 ４月
忻 州 师 范 学 院 学 报
微分中值定理应用中的辅助函数的构造方法
微分中值定理应用中的辅助函数的构造方法
1.微分中值定理介绍：
微分中值定理（Differential Mean Value Theorem）是求取极限内函数导数的一种数学定理。
它是物理学和工程学中常用的，用于推导和求解常微分方程的一种有用工具。
它描述的是随着函数值的变化，函数的导数值也可以发生改变，但在某一点上，函数的导数必定是一个确定的、固定的、线性变化的值。
2.辅助函数的构造方法：
（1）首先，我们要找到一个可以表达某一函数的函数的导数的函数，这个函数就是我们要构建的辅助函数，它可以帮助我们求取微分中值定理中函数的导数。
（2）然后，应用微分中值定理求取函数的导数，需要在该函数的极限点处计算微分，而极限点则是指函数的两侧，其函数值接近零的一对点。
（3）接下来，根据辅助函数的性质，在每个极限点处，构造出一个可以将函数的值表达出来的函数，并让它与辅助函数极限点处作差，计算出该函数的绝对值。
（4）最后，比较绝对值大小，将小于或等于微分中值定理规定的阈值的绝对值画出来，即可求得函数对应的导数值。
中值定理有关的证明题辅助函数法
与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍一．积分法例 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，满足：22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-⋅=-⋅分析 将求证等式改写为22[()()]2[]()0f b f a b a f ξξ'-⋅--⋅=左端看成一个函数()F x （辅助函数）在ξ处的导数，即令22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-⋅--⋅积分得222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-⋅--⋅证明：作辅助函数222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-⋅--⋅22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-⋅--⋅则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且22()()()()F a a f b b f a F b =-= 由罗尔定理知：存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即得22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-⋅=-⋅说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取2222()[()()]()[](()())F x f b f a x a b a f x f a =----- 由此可得()()0F a F b ==，不但计算更方便，而且对证明更有信心（2）本题若取2()g x x =，所以()2g x x '= 由柯西中值定理得：存在(,)a b ξ∈，使得 22()()()2f b f a f b a ξξ'-=- 移项得22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-⋅=-⋅ 但是为了应用柯西中值定理，必须假定00a b a b ≤<<≤或，以确保()0g x '≠ 而对0a b <<情况，不能应用柯西中值定理二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等式，称为微分方程，课本第6章） 例 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证：在(0,1)内至少存在 一点ξ，满足：2()()0f f ξξξ'+=分析 本题求证式中不仅含有()f ξ'，而且含有()f ξ，对()f ξ是难以直接积分法，像上例的求出一个()F x ，使得它的导数满足()2()()F x f x x f x ''=+常常不可能由于[()()]()()()()u x f x u x f x u x f x '''=+中既含有含有()f x 又含有()f x ' 与求证式构造已是相同的了，但要使()2()u x u x x '==和同时成立也是不可能的， 解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子因为任给一个()0x ϕ≠，有2()()0()[2()()]0f f f f ξξξϕξξξξ''+=⇔+=从而求证式等价于2()()()()0f f ϕξξϕξξξ'+=上式左端看成一个函数()()()F x u x f x =（辅助函数）在ξ处的导数，即令 ()()()()()2()()()()F x u x f x u x f x x f x x x f x ϕϕ'''=+'=+令 ()()()2()()()()2u x u x u x x u x x x x xϕϕϕ''==⇒== （说明()f x 与()f x '的系数对应成比例） 所以 ()()222u x u x du u dudx x dx x u x '=⇒==分离变量得 22ln ln du dx u x c u x =⇒=+⎰⎰ 得 2u cx = 取1c = 得2u x = 作辅助函数2()()F x x f x =证明：作辅助函数2()()F x x f x =, 2()2()()F x xf x x f x ''=+22(0)0(0)0(1)1(1)0F f F f =⋅==⋅=从而()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)F F = 由罗尔定理知：存在(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，得22()()0f f ξξξξ'+=又01ξ<<，上式两边同除ξ得 2()()0f f ξξξ'+= 说明：（1）微分方程是一阶微分方程()()2u x u x x '=，通过分离变量法求解的 本题也可避开微分方程 上式化为()2(ln ())(2ln )()u x u x x u x x'''=⇒= 两个函数的导数相等，二者至多相差一个常数，即ln ()2ln ln u x x c =+ 2()u x cx = 右端加上ln c 只是为了去对数方便，没有什么特殊含义 （2）为了作辅助函数更加快捷，由求证式2()()0f f ξξξ'+= 将ξ替换成x ，考虑方程2()()0f x xf x '+= 得()2(ln ())(2ln )ln ()2ln ln ()f x f x x f x x c f x x'''=-⇒=-⇒=-+ 去对数得，2()x f x c = (一定要让右端化为常数) 令左端为()F x ，即2()()F x x f x =例：设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，求证：在(0,1)内至少存在 一点ξ，满足：()()0f f ξξξ'+=分析：（1）令()()()F x u x f x =，()()()()()()1()F x u x f x u x f x x f x f x '''=+'=⋅+⋅ ()f x 与()f x '的系数对应成比例2()()()[ln ()][]1()2u x u x u x x x u x xu x ''''=⇒=⇒= 2l n ()l n 2xu x c =+ 取1c =，得22()x u x e = 辅助函数为22()()x F x e f x = （2）较为快捷的方式，将求证式中的ξ换成x ，考虑方程()()0xf x f x '+=2()[ln ()][]()2f x x x f x f x '''=-⇒=- 2l n ()l n 4x f x c ⇒=-+ 得 22()x e f x c = 左端为()F x ，即22()()x F x ef x =证明：辅助函数22()()x F x e f x =， 2222()()()x x F x xef x e f x ''=+ 12(0)(0)0(1)(1)0F f F e f ==== 从而()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)F F = 由罗尔定理知：存在(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，得2222()()0e f e f ξξξξξ'+=化简得()()0f f ξξξ'+=。
构造辅助函数在Lagrange和Cauchy中值定理中的应用
国内许多教材和文献给出了微分中值定理的许
多证 明方法 ， 其 价值 不 言 而喻 。Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ定理 是 最基 本 的定 理 ， 笔者 从该 基本 定 理 出发 ， 利 用 构造 辅助 函数
ｌ ｉ ｍ
州
＋
ｌ ｉ ａ ｒ
州
一
巩
法给出 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 中值定理 和 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ中值定理一种
Байду номын сангаас应用 ：
例 １已知 函数 ）在 ［ ０ ， 口 ］ 上 连续 ， 在 （ ０ ， ａ ）
Ｇ （ ６ ）一Ｃ （ ａ ）＝ ６ ）一 ６一 ｆ （ ａ ）＋
内可 导 ， 且 口 ）＝０． 证 明在 （ ０， 口 ）内存 在一 点 ，
二 ２ 口
６ ）一 。 ）一 （ ６一位 ） ：０。
６ ）一 口 ） ＝厂（ ） （ ６一口 ）成立 。 分析 ： 将结 论 变形 为厂（ ）一 ＝ｏ，
如果 函数 ）满 足 （ １ ） 在 闭区间 ［ 口 ， ｂ ］上 连 续； （ ２ ） 在 开 区间 （ 口 ， ６ ）内 可导 ； （ ３ ） 在 区间 端 点 处
的函数值相等 ， 即 ａ ）＝ ｂ ）， 那 么在 （ ａ ， ６ ）内至 少有一点 （ ａ＜ ＜ｂ ）， 使得厂（ ）＝０ ． 证 明： 由于 ） 在闭区间 ［ 口 ， ｂ ］ 上连续 ， 根据
证 明： 构造辅 助 函数
ｃ （ ）＝ ）一 鱼
，
’
・
显然 Ｇ （ ） 在闭 区间 ［ ａ ， ｂ ］ 上连续 ， 在开 区间
（ 口 ， ６ ）内可导 ， 且
Ｇ （ 口 ）＝ 口 ）一 口， ｃ （ ６ ）＝ ６ ）一
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， （ ） ： 掣 二 ＋ Ｃ ， （ ｃ 为 积 分 常 数） ．
一 一
般方法．
注 意 到 （ 』 ｔ ） ） ） ， 于 是 令 ） ＝ ｆ 二 ， （ ｔ ） 以 则 等 式 变 形 为 ）
） ， 分离变量再两边积分得到 ） ＝ ｃ （ ） ． 整理后得到 ＝ ｃ ， 于是
为了讨 论方便 ， 先将三个 中值定理叙述如下 ： Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ 中值定理 设 函数 ） 满足下列三个条件 ： （ ｉ ） 在闭区间［ ａ ， ｂ ｉ ｌ Ｌ － 连续 ； （ ｉ ｉ ） ３ ｑ ｚ Ｉ Ｘ间 ａ ， ｂ ） 内可导 ； （ ｉ ｉ ｉ ） ｌａ ｆ ） ６ ） ， 则在 开区间（ ｎ ， ６ ） 内至少存在一点 ￡使得 （ ｆ ） ＝ ０ ． Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 中值定理 设 函数 触１ 满 足下列条件 ： （ ｉ ） 在 闭区间［ 】 上连续 ； （ ｉ ｉ ） 在开 区间 ６ ） 内可导， 则在 ６ ） 内至 少存在一点 使得 ： ，（ ） ＝ ｆ ￣ ｂ ） ｆ （ ａ ） 一
： Ａ ．
ｇ ５ ，
ａ ， ６ ） 满足 （ ） ＝ ０ ， 这就是
１ 原 函数 法
这种方法将所证结论 中的唯一 微分中值换成确定常数 Ａ ． 故可 以 称 为待定 系数法 ． 其步骤可以总结如下 ： （ １ ） 将所证结论 中的唯一微分 中值， 用常数 Ａ表示． ， ， ） ： ｆ — （ ｂ ）ｆ （ ａ ） 扫一０ （ ２ ） 代 入所证 结论， 移项 （ 积分） 得 辅助函数 （ 有 时需 将代表 区间端 为了借助 Ｒ ｏ １ ｌ ｅ 中值定理， 需构造一个辅助函数 Ｆ （ ｘ ） ． 使其导数为 点 的常数替换为 ） ． 将Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 中值定理 中所证结论 （ １ ） 中 换成 ， 成为 ：
得： ２ ２ ｇ （ 孝 ） ｇ （ ６ ） — ｇ （ Ⅱ ）
： ．
存在 ∈（ 。 ， ６ ） ， 使成立
ｌ 亡Ｊ
． 积分后可得的辅助函数 ） 弓 ） ｇ ） ．
（ ２ ）
从 Ａ的定义可得
有
＝ ６ ） ． 在［ ａ ， ｂ 】 上对 Ｆ 用Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ 中值定 理， 知道
科技・ 探索・ 争Ｉ 乌
Ｓ ｃ 科 ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆ 技 Ｔ ｅ ｃ ｈ 视 ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ 界 Ｖ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ
辅助函数法在微分中值定理中的应用
吴吟 吟 （ 无锡职 业 技术 学院 基础 部 ， 江苏 无锡 ２ １ ４ １ ２ １ ）
【 摘 要】 微分 中值定理的证明可借 助辅助 函数 法， 本文总结 了两种构造辅助函数的方法， 并将其 用于一 些证 明题， 取得 了较好的效果 【 关键词】 微分 中值定理； 原函数 法； 待 定系数 法 ０ 引 言
整理后 得到 ｅ ） ＝ ｃ ， 于是可 以构造辅 助函数 Ｆ （ ） ： ｅ 足Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ 中值定理， 由 （ ） 一 （ ） 一 ３ ｅ — ） 可得结论成立 ． ） ， 满
微分中值定理在 内容上通常包括 Ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ 中值定理 、 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 中值定 理和 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｖ中值定 理， 后两个 定理都是通 过构造 辅助 函数， 再借 助 例２ 已 知 ＿ 厂 （ ） 在 ６ 】 上 连 续 （ 。 ＞ ０ ） ， 且ｆ ） ： ｏ ． 证明 ： 存 在 Ｒ ｏ １ ｌ ｅ 中值定理来证明的． 微分 中值定理在分析学 中极为重要， 一方面， 它揭示了函数与导数之间的内在联 系， 奠定 了导数应用的理论基础 ： 另 ∈ （ 。 ， ６ ） ， 使 得Ｊ ， （ ） ： ） ． 方 面， 它可 以用来证 明众 多如下命 题的成立 ： 设ｒ （ ） 在ｆ ｎ ， ６ 】 上连续， （ ｎ ， ｂ ） 内可导， 则在 ａ ， ｂ ） 内至少存在一点 ￡使某个含有 ， （ ） （ ） （ ） 分 析将 所 证 结 论 中 的 撒成 ｘ ， 可 得Ｊ ， （ ￡ ） 出 ＝ ） ． 表 达 式 中 的等式成立． 在应用微分中值定理的过程中。 大量使用辅助 函数法， 其 无导数． 不可直接积分． 构造技 巧既是 重点 ， 又 是难 点． 本 文拟通 过对 Ｌ ａ ｇ ＇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 中值定 理 和 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｖ 中值定理证 明中辅助函数做法 的分析． 提炼 出可以普遍使用 的
．
Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ中值定理 设函数， （ ） ） 满足下列条件 ： （ ｉ ） 在 闭Ｉ Ｘｌ ＇ ３［ ￣ ａ ， ｂ 】 上连续 ； （ ｉ ｉ ） 在开 区间（ ａ ， ｂ ） 内可导 ， 且ｇ （ ｂ ） － ｇ （ ａ ） ≠０ ， 和， （ ） ＋ ｇ ， （ ） ≠Ｏ ， Ｖ ∈ （ 。 ， ６ ） ， 则在 （ ａ ＇ ｂ ） 内至少 存在一点 使
－
可 以 构 造 辅 助 函 数Ｆ （ ） ： 』
，
：
，
满足 Ｒ 。 ｌ ｌ 。中值 定理 ， 由
）
二 』 １
２
＝ ０ 可得结论成立．
６
一
。
（ １ ） ２ 待 定 系数 法
Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ 中值定理所证结论（ ２ ） 中， 令Ａ ＝ ｆ （ ｂ ） － ｆ （ ａ ） 于是只要证 明