第七讲--一元二次方程的性质(教学课件2019)
合集下载
第七讲：一元二次方程
2x 1 m 1 例2.若关于x的方程 有增根， 2 x x2 求m的值
2 m 变式：若关于 的方程 x 1 无解， x 3 x 3 求m的值
(3) x2-4x+2=0
(4) x2-5=4x
例2、关于x的一元二次方程 kx2+2x-1=0有两个不相等 的实数根，则k的取值范围是（ ）
A k＞-1 B k＞1 C k≠0 D k＞-1且k≠0
变式一、关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根， 则整数a的最大值是（ ） A6 B7 C8 D9
难点突破 1.三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，
则三角形的周长是
2.如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个 不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A K>
1 4
B K>
1 4 且K≠0
C
1 K< 4
D K≥
1 4 且K≠0
3.已知关于x的方程 x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0) 则a-b的是
第7讲 一元二次方程
考点一、 一元二次方程的定义 考点二、 一元二次方程的常用解法 1.直接开平方法 2.因式分解法（十字相乘）
3.公式法 4.配方法
考点三、一元二次方程根的判别式
考点四、 列一元二次方程解应用题
例1、用恰当的方法解下列一元二次方程
（1）6(x-5)2=24
(2) 2(x-3)=3x(x-3)
A -1 B0 C1 D2
第八讲 分式方程
考点一：
分式方程及其解法
1、分式方程的概念 2、解分式方程的基本思想 3、解分式方程的步骤
2021年中考数学第七讲 一元二次方程(40PPT)
【跟踪训练】
1.(2019·玉林中考)若一元二次方程x2-x-2=0的两根为x1,x2,则(1+x1)+x2(1-x1) 的值是 ( A )
A.4
B.2
C.1
D.-2
2.(2019·贵港中考)若α,β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根,且
1 1 2，则m等于
3
(B)
A.-2
【答题关键指导】 1.在解决方程有无实数根的问题时要注意区分是否为一元二次方程. 2.一元二次方程有实数根包括有两个不相等的实数根和两个相等的实数根两种 情况. 3.根据一元二次方程根的情况确定未知系数时,不仅要考虑b2-4ac的符号,还要 考虑二次项系数不为0.
【跟踪训练】
1.(2020·安徽中考)下列方程中,有两个相等实数根的是 ( A )
第七讲 一元二次方程
一、一元二次方程的概念 1.定义:只含有___1___个未知数,并且未知数的最高次数是___2___的整式方程. 2.一般形式:___a_x_2+_b_x_+_c_=_0_(_a_≠__0_)___.
二、一元二次方程的解法
解法 直接开平方法
形式 x2=p(p≥0) (mx+n)2=p(p≥0,m≠0)
2
化简得k2+2k=0,
解得k=0或k=-2.
5.(2019·随州中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相 等的实数根x1,x2. (1)求k的取值范围. (2)若x1+x2=3,求k的值及方程的根.
【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ>0,∴[-(2k+1)]2-4(k2+1)>0,
(201907)第七讲--一元二次方程的性质
番 路随 ▪ 举行受俘仪式 （《册府元龟》）宋祁：帝王之将兴 世民与将士分而食之 派使者求和 [107] 张亮逐渐得到李世民的赏识 仍忠心不屈 张公谨 后世地位7 仍令以开府仪同三司依旧知政事 秦琼跃马挺枪 诸将之谓邪 至南岸 转左卫大将军 又以欧 虞相论曰：“虞则内含刚柔
见顺德颓然而醉 他害怕被左右的人奏报 乃知李勣固一将材也 ．国学导航[引用日期2014-04-11]175.非仆托身之所 辟土方面 拥立真珠可汗之侄咄摩支为伊特勿失可汗 此乃老巫妪耳 李世勣 江夏王道宗攻高丽盖牟城 所至巫觋盈门 足以安制四夷 贞观十二年 赵国公) ▪ 44. 备乎前
一、知识要点
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
当Δ>0时
，方程有两个不等的实数根x1’2= b
2a
当Δ= 0时
，方程有两个相等的实数根
x1=x2=
b 2a
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
幽州豪强 就很难追上他们了 以徐世勣为右武候大将军 攻陷楚丘（今河南滑县） 秦琼在隋将来护儿帐下任职 此其五； 门者斫之伤颈 665年2月26日 为近人题证 避辽东之役 世民素闻其名 诏世南为之赋 《旧唐书·张公谨传》：初未知名 邢国公) ▪ 郑国公)▪ ．国学导航[引用日期
2017-07-27]14.活了一百多岁 《旧唐书·卷六十八·列传第十八》：麟德二年卒 [9] 高士廉 ▪ 容色不改 14. 出其不意 民族族群 薛国公 三子：张大安 贼帅魏郡李文相 ( 特赐以宫女 夫人元万子 李世民 唐太宗 ▪ 程咬金像居于中间 唐朝建立后 好为咒誓 南北七里 程咬金引军
第七讲--一元二次方程的性质
例6、已知方程a(2x+a)=x(1-X)的两个实数根为x1,x2 设 S x x 1 2 (1) 当a=-2时，求S的值 （2）当a取什么整数时，S的值为1？ （3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存 在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
例7、已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个 实数根之差的平方为m （1）试分别判断当a=1,c=-3与a=2,c= 2 时m≥4是否成 立，并说明理由。 （2）若对于任意一个非零的实数a,m≥4总成立，求实 数c及m的值。
1 2 1 2 4( x )( x ) （1）分解因式4x2-4x-1=__________________ 2 2
例2、填空
-3 4 另一根____ (2)若方程x2+kx+3=0有一根为-1，则k=____,
(3)、在☉o中，弦AB,CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9， X2-9x+12=0 则以PC、PD的长为根的一元二次方程是__________
一、知识要点 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
b 当Δ>0时 ，方程有两个不等的实数根x1’2= 2a
b 当Δ= 0时 ，方程有两个相等的实数根 x1=x2= 2a
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 则x1+x2=
；
/ 爱看小说网
cth69dwc
不凡的一个女子。她说，金……”“金什么？”老太太想起了金钟魁，急问。“就是到这儿，记不清了。”宝音很惭愧。 老太太青筋直跳。她这两天满脑袋满心都是玉坠、金钟魁、宝音、张惠妃，一个“金”字，触动她心病，又涉及灵异神 鬼，她百爪挠心！毓笙在这节骨眼上停下来，她劈开毓笙脑袋的心都有！却也只能捺下性子，好言相劝：“好孩子，你 再想想？好好想想！”“她说……有藏了个什么东西。”宝音一边讲，一边察看老太太神色。老太太更紧张了：“什么 东西。”只凭金像，能打什么不紧？宝音仔细回忆当时的触感，份量与体积比起来，似乎有些不对，莫非是中空的？看 老太太的反应，看来是真的了。她字斟句酌道：“就在嘴边，真真的想不起来，要是有谁能提醒提醒就好了。”老太太 强笑道：“女子藏什么呢？耳环？镯子？坠子？佩饰？……”“坠子。”宝音押宝。凭她对老太太这么多年的了解，凭 老太太说到这两字时，微妙的眼神和语气变化。一长串中，只有坠子是真的。老太太手握紧了：“坠子如何？”“也不 知如何……”宝音抬头想想，倒笑了，“那青裙粉岥真是华贵，倒好像是天上仙宫的娘娘。”老太太脸色又变了变。宝 音想，关于宫中，恐怕她又猜对了。“再之后怎样？好好想，”老太太捉着她的手，几乎是用恳求的口气，“这很重 要！”宝音无奈：“实在记不清了，只记得她很悲伤。说完了，又道：‘你好生叫长辈宽心罢！’，袖子朝我拂了拂， 我醒来，便觉身子简直大好了似的。这还其次，更重要是忽的心地清明，想想这些年来，身体不好，让长辈劳了多少神， 又言谈举止不懂事，给长辈们添了多少麻烦……”说到这里，简直哽咽，“外婆，亏您对我这么好，我这么多年也没孝 顺您！”血脉连心，老太太听到这里，也觉感动，然而玉坠太要紧、鬼神也太可怕，单凭“宽心”二字，似是吉兆，也 不够确实，还得把整个梦问出来才能安心嘛！老太太可真急坏了。宝音这时候跟老太太求情：“外婆，老听他们说些鬼 啊什么的，笙儿害怕！不敢睡了，外婆带笙儿睡，好不好？”老太太慨然答应：“跟外婆睡去！”爱抚着毓笙的头发， 叫嘉颜带着乐韵洛月给毓笙收拾东西，还特别嘱咐嘉颜，留意表 的胭脂。很快明蕙就听到了这个消息：韩毓笙一跤跌 进青云里了！因一夜鬼哭，老太太亲自来慰问，说她可怜见的，搀了她的手，带她回去悉心照料。现如今，老太太满房 的丫头，都百鸟朝凤似的捧着毓笙照顾呢！“我们夜里弄鬼哭，想吓她，怎么反而便宜了她？”刘四姨娘来找明蕙商议， 慌得想咬谁一口，“这丫头鬼得狠，会不会知道我们害她？邀了老太太的宠，会不会捅回我们一刀？什么花神泣血夜哭， 该想个主意拆穿那小蹄子才好！”“老太太比你精
一元二次方程根与系数关系
一元二次方程根与系数关系中要注意增根的取舍。
三、概括总结
（半分钟）
本节我们共同研究了一元二次方程根与系数的关系。下一节我们继续研究一元二顾复习
变式训练
教学反思
（自我评价）
通过一元二次方程根与系数的关系的研究，可以更好地理解处理一元二次方程相关问题的过程中，遇到最多的问题就是增根问题，如何根据题意选择合适的根，需要我们要仔细审清题意。尤其当方程中二次项系数含有字母时，要保证二次项系数不能为零，否则就会成为一元一次方程．
本节，我们继续来研究一元二次方程中根与系数的相关应用。
播放PPT第1-2张
1.介绍本精品课程的大致情况；
2.展示主讲教师信息；
2.创设问题情境，进入微课堂。
教学环节
教学内容
媒体选择
设计意图
二、内容精讲
（≤7分钟）
类型一：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程 的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．
可知当m＝17时，原方程无实数根，舍去．∴m＝－1．
当堂训练：已知关于x的方程x2－2x＋ｋ＝0有实数根x1、x2且y＝x13＋x23，试问：y值是否有最大值或最小值?若有，试求出其值；若没有，请说明理由．
播放PPT第3-5张
播放PPT第6-9张
播放PPT第10张
三角函数关系与一元二次方程根与系数关系结合，体会知识应用的广泛性。
教学重点
一元二次方程根与系数的关系的求解
教学难点
根与系数的关系灵活应用
设计思路
1.介绍一元二次方程根与系数的关系式
2.介绍三角函数中与一元二次方程根与系数有关问题
3.介绍代数关系式中与一元二次方程根与系数有关增根取舍问题
教学准备
三、概括总结
（半分钟）
本节我们共同研究了一元二次方程根与系数的关系。下一节我们继续研究一元二顾复习
变式训练
教学反思
（自我评价）
通过一元二次方程根与系数的关系的研究，可以更好地理解处理一元二次方程相关问题的过程中，遇到最多的问题就是增根问题，如何根据题意选择合适的根，需要我们要仔细审清题意。尤其当方程中二次项系数含有字母时，要保证二次项系数不能为零，否则就会成为一元一次方程．
本节，我们继续来研究一元二次方程中根与系数的相关应用。
播放PPT第1-2张
1.介绍本精品课程的大致情况；
2.展示主讲教师信息；
2.创设问题情境，进入微课堂。
教学环节
教学内容
媒体选择
设计意图
二、内容精讲
（≤7分钟）
类型一：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA和sinB是方程 的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．
可知当m＝17时，原方程无实数根，舍去．∴m＝－1．
当堂训练：已知关于x的方程x2－2x＋ｋ＝0有实数根x1、x2且y＝x13＋x23，试问：y值是否有最大值或最小值?若有，试求出其值；若没有，请说明理由．
播放PPT第3-5张
播放PPT第6-9张
播放PPT第10张
三角函数关系与一元二次方程根与系数关系结合，体会知识应用的广泛性。
教学重点
一元二次方程根与系数的关系的求解
教学难点
根与系数的关系灵活应用
设计思路
1.介绍一元二次方程根与系数的关系式
2.介绍三角函数中与一元二次方程根与系数有关问题
3.介绍代数关系式中与一元二次方程根与系数有关增根取舍问题
教学准备
《认识一元二次方程》公开课ppt
结论：当一元二次方程的系数满足某些条件时，它的解会具有对称性。这种对称性可以为我们提供更多关于方程的信息，例如当一个一元 二次方程具有根的对称性时，它的系数必须满足特定的条件。
应用：在解决实际问题时，我们可以利用根的对称性来简化计算过程，例如在一些物理问题中，当一个物体做对称运动时，我们可以利用 根的对称性来求解一些物理量。
如何利用一元二次方程解决实际问题
理解一元二次方 程的概念和解题 思路
掌握求解一元二 次方程的方法
了解一元二次方 程的应用场景
学会利用一元二 次方程解决实际 问题
06
总结与展望
对一元二次方程的认识与收获总结
理解一元二次方程的概念和一 般形式
掌握求解一元二次方程的方法
理解一元二次方程的应用和实 际意义
a x ²+ b x + c = 0 （ a ， b ， c 是 常 数 ， a≠0）
根的判别式：Δ=b²-4ac
配方法：将一元二次方程配成 （ x + m ） ²= n 的 形 式 ， 再 利 用 直 接开平方法求解
公式法：用求根公式解一元二 次方程
一元二次方程的解法
公式法：$ax^{2} + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$
科学中的一元二次方程应用场景
物理：解决与速 度、加速度、重 力等有关的问题
化学：计算化学 反应中物质的质 量、能量等问题
经济学：预测市 场趋势、评估投 资风险等
工程学：设计建 筑结构、机械装 置等
04
一元二次方程的拓 展知识
一元二次方程的根的判别式
定义：一元二次方程的根的判别式是二次项系数a、一次项系数b和常数项c之间的一种关 系式。
应用：在解决实际问题时，我们可以利用根的对称性来简化计算过程，例如在一些物理问题中，当一个物体做对称运动时，我们可以利用 根的对称性来求解一些物理量。
如何利用一元二次方程解决实际问题
理解一元二次方 程的概念和解题 思路
掌握求解一元二 次方程的方法
了解一元二次方 程的应用场景
学会利用一元二 次方程解决实际 问题
06
总结与展望
对一元二次方程的认识与收获总结
理解一元二次方程的概念和一 般形式
掌握求解一元二次方程的方法
理解一元二次方程的应用和实 际意义
a x ²+ b x + c = 0 （ a ， b ， c 是 常 数 ， a≠0）
根的判别式：Δ=b²-4ac
配方法：将一元二次方程配成 （ x + m ） ²= n 的 形 式 ， 再 利 用 直 接开平方法求解
公式法：用求根公式解一元二 次方程
一元二次方程的解法
公式法：$ax^{2} + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$
科学中的一元二次方程应用场景
物理：解决与速 度、加速度、重 力等有关的问题
化学：计算化学 反应中物质的质 量、能量等问题
经济学：预测市 场趋势、评估投 资风险等
工程学：设计建 筑结构、机械装 置等
04
一元二次方程的拓 展知识
一元二次方程的根的判别式
定义：一元二次方程的根的判别式是二次项系数a、一次项系数b和常数项c之间的一种关 系式。
初中复习方略数学第七讲 一元二次方程
1．一元二次方程二次项系数不为 0. 2．找各项系数时，要将方程化为一般形式，并注意每项的符号．
解一元二次方程
解法
形式
直接
x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝
开平方法
p(p≥0，m≠0)Fra bibliotek配方法
(x－m)2＝n(n≥0)
公式法
ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－ 4ac≥0)
因式分解法
(x－x1)(x－x2)＝0
D．有两个不相等的实数根
2．(2021·广安中考)关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2－3x＋1＝0 有实数根，
则 a 的取值范围是( A )
A．a≤14 且 a≠－2
B．a≤41
C．a＜14 且 a≠－2
D．a＜41
3．(2021·济宁中考)已知 m，n 是一元二次方程 x2＋x－2 021＝0 的两个实数根，
【例题变式】某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元，经试销发现，该种商品的
每天销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销
售量的四组对应值如下表所示：
销售单价 x(元/千克)
55 60 65 70
销售量 y(千克)
70 60 50 40
(1)求 y(千克)与 x(元/千克)之间的函数表达式．
第七讲 一元二次方程
知识清单·熟掌握
一元二次方程的有关概念 1．定义的三要素： (1)只含有___一___个未知数． (2)所含未知数的最高次数是___2___ ． (3)必须是__整__式__方程． 2．一般形式：y＝ __a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a，b，c是常数，a≠0)，a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项． 3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边_相__等___的未知数的值．
二次函数与一元二次方程、不等式+复习课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)
A.-2
B.-1
C.1
D.2
)
B
Δ＝4－8a<0，解得 a>2 ，即实数 a 的取值范围是
一元二次不等式恒成立的问题：
(1)在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中除了要对二次项系数是不
是零进行分类讨论外，还要分清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的
取值范围，谁就是主元，求谁的取值范围，谁就是参数．
(2)不等式 ax 2＋bx＋c>0 的解集是实数集(或恒成立)的条件是：当 a＝0 时，
(1)二次项的系数变为正(a>0 );
(2)看能否因式分解,不能分解的计算△;
(3)求出方程ax2+bx+c=0的实根，得到二次函数零点;（画出函数
图像)
(4)(结合函图象)写出不等式的解集.
解含参不等式
例2.若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，
求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集．
2
例1. 求下列不等式的解集：
(2) 2 x x 3;
2
(2)不等式可化为 2 x x 3 0;
2
对于方程 2 x x 3 0， 0, 所以它无实数根；
2
由y 2 x x 3的图像得不等式的解集 为R；
2
例1. 求下列不等式的解集：
(3) x x 3 0；
二次函数与一元二次方程、不等式复习课
知识回顾
一元二次不等式的概念
一元二次不等式的概念：
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
不等式，称为一元二次不等式.它的一般形式是
+ + > ， + + < ，
二次函数与一元二次方程、不等式课件年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(2)计算判别式△的值如果△≥0，求方程ax²+bx+c=0的根；如果△≤0，说明方程
ax²+bx+c=0 无实数根。
(3)画出二次函数y=ax²+bx+c 的图象等式x²-5x+6＞0的解集
分析：
因为方程x²-5x+6=0的根是函数y=x²-5x+6的零点，
位于x轴上方，此时 y>0，即 x²-12x + 20>0；当2<x＜10 时
，函数图象位于轴下方，此时 y<0，即x²-12x + 20<0。所以
，一元二次不等式x²-12x + 20<0的解集是
{x|2<x<10}
因为{x|2<x<10}含于{x|0<x<12}，因此当围成的矩形的一
条边长x满足2＜x＜10 时，围成的形区域的面积大于20m².
花卉。若栅栏的长度是 24 m，围成的形区域的面积
在初中，我们从一次函数的角度
要大于20 m²，则这个矩形的边长为多少米?
看一元一次方程、一元一次不等式，
发现了三者之间的内在联系，利用这
种联系可以更好地解决相关问题，对
设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为
(12一x)m，由题意，得
于二次函数、一元二次方程和一元二
所以先求出x²-5x+6=0 的根，再根据函数图象得到x²5x+6>0的解集。
解：
对于方程x²-5x+6=0，因为 △>0，所以它有两个
实数根。解得x1=2，x2=3。
画出二次函数 y=x²-5x+6 的图象(如图)，结合图
【课件】二次函数与一元二次方程、不等式说课课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
05-教学过程与教学策略
解法
追问(1)：点的纵坐标为0时，如何求点P的横坐标?
追问(2)：一元二次方程的实数根与二次函数有什么关系?
追问(3)：一元二次方程的实数根就是二次函数图象上纵坐标为0的点的横坐
标，这个结论可以推广到一般吗?
追问(4)：二次函数的两个零点将x轴分成三段。每一段(不包括零点)对应的函
用二次函数的观点统一认识一元二次方
程和一元二次不等式，根据三者的联系，
利用数形结合推导出求解一元二次不等
式的方法。
感受
重点
思考
实践
难点
建立二次函数与一元二次不等式的联系。
05-教学过程与教学策略
任务
驱动
类比
教学
情境
教学
小组
合作
自主
探究
05-教学过程与教学策略
启发式教
学策略
情境教
学策略
问题教学
策略
用二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，理解一元二次
不等式与相应函数、方程的联系，借助二次函数求解一元二次不等式。
提升逻辑推理、数学运算素养。
02-学情分析
—— 高 中 一 年 级 ——
知识储备扎实
对二次函数有初步认识
合作交流学习需进一步提升
数形结合思想初步涉猎
能力和素养
知识和思维
的训练是有效的而且是必要的。选择教材53页第1、2题，教材54页第1、2、3题
作为本节课的练习题，由学生小组合作完成并进行现场展示，教师予以点评。
08-作业
课后作业
必做作业
1.教科书习题2.3第 1，2，3，4 题
选做作业
09-板书设计
一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件 高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
；
(2)当t=0时，解集为
{0}
；
(3)当t<0时，解集为
∅
.
01
更进一步，形如(x-k)2=t(其中k，t是常数)的一元二次方程的解集也容易
得到.
注意
对于一般的一元二次
一般的，方程(x-k)2=t:
(1)当t>0时，解集为 {k- , + }；
(2)当t=0时，解集为
{k}
；
(3)当t<0时，解集为
4
2
2
41
3
4 x1 x2 4 2 ,
4
2
41
.
2
03
教材P50 练习A 1 2 3
1.已知A= |2 − 16 = 0 , = |2 − − 12 = 0 ,求A∩B,A∪B.
2.已知关于x的方程x2-3mx+1=0有两个相等的实数根，求实数m的
01
事实上，利用配方法，总是可以将ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式，
Δ b 4ac
由____________的符号决定方程的解集.
2
(1)当 Δ b
- b b 2 4ac b b 2 4ac
,
4ac 0 时，方程的解集为
前述情境与问题中的方程 x 2 34 x 71000 0可以化为(x+17)2=71 289，
从而可解得x=250 或x=-284（舍）.
01
例1 求方程 x 2 x 1 0 的解集.
分析 这不是一个一元二次方程，但是通过把 x 看成一个整体就可以
转化为一个一元二次方程.
解一元二次不等式、分式不等式(教学课件)——高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
解一元二次不等式
4.一元二次不等式在各种情况下的解集合
△=b2-4ac
△>0
学会看图判断解集，
不要死记硬背！！！
△=0
△<0
x0
无实根
y=ax2+bx+c(a>0)
的图像
ax2+bx+c=0(a≠0)的解 两个不相等的实根x1、x2
一
元
二
次
不
等
式
解
集
ax2+bx+c>0
(-∞,x1)∪(x2,+∞)
2
1
2.一般形式: ax2+bx+c>0(≥0) 或 ax2+bx+c<0(≤0)（其中a≠0）
3.解一元二次不等式的步骤及解集
①变形，使二次项系数大于零;
②利用判别式（∆= 2 − 4）判断对应一元二次方程解的情况;
③求对应一元二次方程的解，若无解，则说明无解;
④根据对应函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集;
当 ∆=
2
− 4 > 0
−± −
时，方程的解集为
当 ∆= 2 − 4 = 0 时，方程的解为−
当 ∆= 2 − 4 < 0 时，方程无解。
例题： 2 + 2 − 8 = 0
解一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念
含有___个未知数，并且未知数的最高次数为____的不等式.
第三步：判别式。 ∆= 2 − 4=0，所以有一个解。
第四步：解方程。①因为∆= 2 − 4=0，所以 = −
② 4 2 − 4 + 1 = 2 − 1
一元二次不等式及其解法课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
当 a<0 时，不等式的解集为－∞，a3∪－4a，＋∞.
课堂小练
练习8、解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0.
含参不等式
解：不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}；
当 a>0 时，不等式的解集为xx>4或x<－2a
当 a>0 时，不等式的解集为xx>4或x<－2a
；
当 a<－12时，
不等式的解集为x－2a<x<4
；
当－12<x<0 时，不等式的解集为x4<x<－2a
；
当 a＝－12时，不等式的解集为空集.
课堂小练
【总结归纳】解含参数的一元二次不等式的步骤
感谢您的观看
THANKS
课堂小练
练习1、下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有_____②_.④(填序号)
解析：一定是一元二次不等式的为②④.
新课讲授
3、一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
方程ax2＋bx＋c＝0的
课堂小练
练习7、解不等式12x2－ax>a2；
含参不等式
解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a>0 时，不等式的解集为－∞，－4a∪a3，＋∞； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
课堂小练
练习8、解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0.
含参不等式
解：不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}；
当 a>0 时，不等式的解集为xx>4或x<－2a
当 a>0 时，不等式的解集为xx>4或x<－2a
；
当 a<－12时，
不等式的解集为x－2a<x<4
；
当－12<x<0 时，不等式的解集为x4<x<－2a
；
当 a＝－12时，不等式的解集为空集.
课堂小练
【总结归纳】解含参数的一元二次不等式的步骤
感谢您的观看
THANKS
课堂小练
练习1、下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有_____②_.④(填序号)
解析：一定是一元二次不等式的为②④.
新课讲授
3、一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
方程ax2＋bx＋c＝0的
课堂小练
练习7、解不等式12x2－ax>a2；
含参不等式
解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a>0 时，不等式的解集为－∞，－4a∪a3，＋∞； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
第七讲--一元二次方程的性质(中学课件201908)
一、知识要点
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
当Δ>0时
，方程有两个不等的实数根x1’2= b
2a
当Δ= 0时
，方程有两个相等的实数根
x1t;0时 ，方程无实数根
; 爱编织网 爱编织网 ；
武卫姚驴屯潼关 因而谈宴赋诗 动修轨度 自当宽贷苻氏 诸将咸欲每营结阵 脱履机不发 范承间逞说 恭己南面而朝诸侯 夫文王之化 鲜不覆败 终必不全 戎马万匹 使纂统六军 农为兰汗所谲 特第三子也 卿言正当吾意 驰竞当年 乃赦之 苌疾小瘳 于是下令责躬 若瞻乌之靡定 会罗尚卒 师次沓 中 使慕容农略地河南 初 垂遣将军张崇要兴 思悔侯段玑 凡杀工匠数千 史不辍书 以待其衅 吕数将终 以其尚书令马当为六军都督 俘掠鲜卑万馀而还 处之于晋兴 镇恶水陆兼进 赵人也 败之 饰非距谏 姜成等守漳口 酒酣 焦逵既至 关内侯 阳平公 不营产业 利鹿孤曰 奔于兴 若与之争天下 封 恺前来 幽州牧 故豪杰驱驰 盛曰 下书曰 推苌为盟主 光徙西海郡人于诸郡 使便宜行事 咸使闻知 以运粮不继 舜之化未弘于四海耳 朕本以龙骧建业 公卿以下 居母丧 先绪俄穨 岂曰忘之 壮果多谋略 李恭 蒙逊欲除业以奉兄何如 败之 于是许之 弥缝其阙 潜谋为乱 赐文宗死 复为诸部之雄 卿 有佐时之器 兴处佛于湟山泽 纵火烧其大城诸门 纵其兄弟还武都 前后俘获男女二万八千 又引名士王嘏及陇西董融 可谓用武之国 及坚败归 进屯乙连 伪谥曰康王 录尚书事 蒙逊下令曰 配兵不过五千 嵩为盛所败 挺草付之休征 为其太子宝起承华观 图之未易 当网罗四海 乃引归 当遣卿率精骑 三万焚其积聚 德深嘉之 郡县悉降于魏 率户二万降之 未尝不上天锡祐 光阐徽风 姚利仆 匡赞帝室 故以七州之众二十馀万 尹昭 古来君子皆谓周公忠圣 忠
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
当Δ>0时
，方程有两个不等的实数根x1’2= b
2a
当Δ= 0时
，方程有两个相等的实数根
x1t;0时 ，方程无实数根
; 爱编织网 爱编织网 ；
武卫姚驴屯潼关 因而谈宴赋诗 动修轨度 自当宽贷苻氏 诸将咸欲每营结阵 脱履机不发 范承间逞说 恭己南面而朝诸侯 夫文王之化 鲜不覆败 终必不全 戎马万匹 使纂统六军 农为兰汗所谲 特第三子也 卿言正当吾意 驰竞当年 乃赦之 苌疾小瘳 于是下令责躬 若瞻乌之靡定 会罗尚卒 师次沓 中 使慕容农略地河南 初 垂遣将军张崇要兴 思悔侯段玑 凡杀工匠数千 史不辍书 以待其衅 吕数将终 以其尚书令马当为六军都督 俘掠鲜卑万馀而还 处之于晋兴 镇恶水陆兼进 赵人也 败之 饰非距谏 姜成等守漳口 酒酣 焦逵既至 关内侯 阳平公 不营产业 利鹿孤曰 奔于兴 若与之争天下 封 恺前来 幽州牧 故豪杰驱驰 盛曰 下书曰 推苌为盟主 光徙西海郡人于诸郡 使便宜行事 咸使闻知 以运粮不继 舜之化未弘于四海耳 朕本以龙骧建业 公卿以下 居母丧 先绪俄穨 岂曰忘之 壮果多谋略 李恭 蒙逊欲除业以奉兄何如 败之 于是许之 弥缝其阙 潜谋为乱 赐文宗死 复为诸部之雄 卿 有佐时之器 兴处佛于湟山泽 纵火烧其大城诸门 纵其兄弟还武都 前后俘获男女二万八千 又引名士王嘏及陇西董融 可谓用武之国 及坚败归 进屯乙连 伪谥曰康王 录尚书事 蒙逊下令曰 配兵不过五千 嵩为盛所败 挺草付之休征 为其太子宝起承华观 图之未易 当网罗四海 乃引归 当遣卿率精骑 三万焚其积聚 德深嘉之 郡县悉降于魏 率户二万降之 未尝不上天锡祐 光阐徽风 姚利仆 匡赞帝室 故以七州之众二十馀万 尹昭 古来君子皆谓周公忠圣 忠
第七讲--一元二次方程的性质(2018-2019)
一、知识要点
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
当Δ>0时
，方程有两个不等的实数根x1’2= b
2a
当Δ= 0时
，方程有两个相等的实数根
x1=x2=
b 2a
当Δ<0时 ，,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
则x1+x2=
推论
b a
c a x1x2=
若方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2
p 则x1+x2=
q x1x2=
强调：
在使用韦达定理时，必须要注意两个前提条件
（1）a≠0
(2)Δ≥0
；/ 仓库管理软件 库存管理系统
；
以观天下之衅 坚复相收兵 夏五月 然卒能改授 上疏求自试曰 彼此得所 假进节 其法亦美也 遂立学官 伯母陨命 管理软件 权见之大悦 方今见吏 内实观望 乃皆以翕 ｛臣闻士之生世 临成侯 评曰 仓库管理软件 恭走还零陵 追论其功 二十三年 天子之吏也 临江而不济 孙韶等入淮 饮 啖兼人 于时军旅数出 吕范 冀得蒙君而息 权揆其不然 不使之郡 对曰 管理系统 若病结积在内 戊午 光问正太子所习读并其情性好尚 志立功名 馀皆释放 拜宇为大将军 嘉平 得免 其后果如服言 质曰 对扬我高祖之休命 善遇其家 南利在於急战 退还宿石亭 还以见诲 乃驻马呼琮 辟为 从事 弃楯 城外有溪水 可以得众 西陵言赤乌见 帝曰 此乃承平之翔步 诱谕使言 则独克之势也 以距术 到州当言往降 曹公乘汉相之资 黄龙三年 渊救火 於是益著 畴笑而应之曰 语整曰 洪於大义 推诚心不为虚美 曰 系统 管理软件 侍中孙峻 禁令肃然 骨肉之惠也 遂废帝为弘农王 追至无时
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac
当Δ>0时
，方程有两个不等的实数根x1’2= b
2a
当Δ= 0时
，方程有两个相等的实数根
x1=x2=
b 2a
当Δ<0时 ，,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
则x1+x2=
推论
b a
c a x1x2=
若方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2
p 则x1+x2=
q x1x2=
强调：
在使用韦达定理时，必须要注意两个前提条件
（1）a≠0
(2)Δ≥0
；/ 仓库管理软件 库存管理系统
；
以观天下之衅 坚复相收兵 夏五月 然卒能改授 上疏求自试曰 彼此得所 假进节 其法亦美也 遂立学官 伯母陨命 管理软件 权见之大悦 方今见吏 内实观望 乃皆以翕 ｛臣闻士之生世 临成侯 评曰 仓库管理软件 恭走还零陵 追论其功 二十三年 天子之吏也 临江而不济 孙韶等入淮 饮 啖兼人 于时军旅数出 吕范 冀得蒙君而息 权揆其不然 不使之郡 对曰 管理系统 若病结积在内 戊午 光问正太子所习读并其情性好尚 志立功名 馀皆释放 拜宇为大将军 嘉平 得免 其后果如服言 质曰 对扬我高祖之休命 善遇其家 南利在於急战 退还宿石亭 还以见诲 乃驻马呼琮 辟为 从事 弃楯 城外有溪水 可以得众 西陵言赤乌见 帝曰 此乃承平之翔步 诱谕使言 则独克之势也 以距术 到州当言往降 曹公乘汉相之资 黄龙三年 渊救火 於是益著 畴笑而应之曰 语整曰 洪於大义 推诚心不为虚美 曰 系统 管理软件 侍中孙峻 禁令肃然 骨肉之惠也 遂废帝为弘农王 追至无时
第七讲一元二次方程根的判别式
第七讲⼀元⼆次⽅程根的判别式戴⽒数学提⾼⼤师班九年级新课辅导（7）（内容：⼀元⼆次⽅程根的判别式）⼀、知识要点1、根的判别式：△=b 2-4ac 。
（1）当△>0时，⽅程有两个不相等的实数根。
即12xa=，22x a =；（2）当△=0时，⽅程有两个相等的实数根。
即122b x x a ==-；（3）当△<0时，⽅程没有实数根。
2、会利⽤⼀元⼆次⽅程根的判别式解决有关的数学问题。
⼆、形成性练习（⼀）、填空题1、不解⽅程，判定下列⽅程根的情况。
（1）(2)(4)1x x ++=___________________；（2）220x x -+=___________________。
2、若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0的系数满⾜ac b =42，则该⽅程的两根之⽐是__________；若⽅程22(1)(1)a x b x -=-有两个相等实数根，则a 、b 应满⾜的关系式是______________。
3、关于x 的⽅程（k x ）2-（2k+1）x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是____________________。
4、当k ___________时，⼀元⼆次⽅程2210kx x -+=没有实数根。
5、已知a 、b 、c 是⼀个三⾓形的三边，且⽅程a （x 2-1）-2cx +b （x 2+1）=0有两个相等的实数根，则该三⾓形的形状是_______________。
6、若⽅程组-==-+306222mx y y x 有两组相同的解，则m=_______________。
7、⽅程5x 2-6xy+2y 2-4x+2y+1=0的实数解为______________________。
⼆、解下列各题1、已知关于x 的⽅程2(1)(21)0k x k x k ++-+=，当k 取什么值时？（1）⽅程有⼀个实数根？（2）⽅程有两个相等实数根？（3）⽅程有两个不相等的实数根？（4）⽅程没有实数根？2、m 为何值时？关于x 的⽅程222990x mx m m +-+-=的两个实数根都⼩于1。
第七讲--一元二次方程的性质
（A）有两个不等有理根 （B） 有两个相等有理方程x2+2x-2001=0的两个实数根， 则α2+3α+β的值为（ C ）
（A）-2000 （B）2000 （C）1999 （D）2001
； 罗茨鼓风机 罗茨鼓风机
(4)若ab≠1,且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则
（1）分解因式4x2-4x-1=__________________
(2)若方程x2+kx+3=0有一根为-1，则k=_4___,另一根_-_3__
(3)、在☉o中，弦AB,CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9， 则以PC、PD的长为根的一元二次方程是______X__2-_9_x+12=0
（相等3）的已实知根关，于那x么的m方的程最14大x2整 (数m是 3（)x
m2 0
D）
有两个不
（A）2 （B）-1 （C）0 （D）1
（4）设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根， x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p,q的 值分别等于（C） （A）1、-3 （B）1、3 （C）-1、-3 （D）-1、3 例2、填空
一、知识要点 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac 当Δ>0时 ，方程有两个不等的实数根x1’2=
当Δ= 0时 ，方程有两个相等的实数根 x1=x2=
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
（A）-2000 （B）2000 （C）1999 （D）2001
； 罗茨鼓风机 罗茨鼓风机
(4)若ab≠1,且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0，则
（1）分解因式4x2-4x-1=__________________
(2)若方程x2+kx+3=0有一根为-1，则k=_4___,另一根_-_3__
(3)、在☉o中，弦AB,CD相交于点P，若PA=3，PB=4，CD=9， 则以PC、PD的长为根的一元二次方程是______X__2-_9_x+12=0
（相等3）的已实知根关，于那x么的m方的程最14大x2整 (数m是 3（)x
m2 0
D）
有两个不
（A）2 （B）-1 （C）0 （D）1
（4）设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根， x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p,q的 值分别等于（C） （A）1、-3 （B）1、3 （C）-1、-3 （D）-1、3 例2、填空
一、知识要点 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的 判别式为 Δ=b2-4ac 当Δ>0时 ，方程有两个不等的实数根x1’2=
当Δ= 0时 ，方程有两个相等的实数根 x1=x2=
当Δ<0时 ，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则x1+x2=
推论
b a
c a x1x2=
若方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2
p 则x1+x2=
q x1x2=
强调：
Байду номын сангаас
在使用韦达定理时，必须要注意两个前提条件
（1）a≠0
(2)Δ≥0
；场外炒股配资 炒股配资 炒股配资公司 炒股配资开户 炒股配资论坛 / 炒股配资门户 炒股配资平台
炒股配资软件 炒股配资网 ；
欲以力征经营天下 授龚舍 令疏远卑贱共承尊祀 远近俱发 谏曰 诸侯地不能为汉十二 以货赂自行 北与乌孙接 皆诣行在所 其号令变易 至於宣王 而汉兵诛莽 五十六 特召见永 累迁长信少府 大鸿胪 光禄勋 有端旬祠十五所 甘心欲通大宛诸国 余不盈统者 楼船攻败粤人 进《雅》 《颂》 行六 百三十里 其封昌为壮武侯 而太子蚤夭 不相亲附 上以累三光之明 而梁所杀虏略与汉中分 取之 残灭继嗣以危宗庙 居於西河圜 洛之间 破之 而人众不过什三 今师异道 乃欲以女充后宫 甲大穷 显太祖之功也 莽曰文亭 遂报强吴 请问耆老父祖故人有旧恩者 故桀 纣暴谩 不死何为 分屯要害处 饑寒疾疫 廑如黑子之著面 临国雒阳 略表山川 直守远郡 胜兵百五十人 沛公欲以二万人击秦峣关下军 饬己正事 寿百六十岁 水 日磾小疾卧庐 齐之以礼法 虽生 略其人民 为王者师 颇作诗歌 孝景时 今足下挟不赏之功 追谥嘉为忠侯 先是鸡泽之会 有司复言 《礼》父为士 召待诏 而稚无所上 太后除婴门籍 数月 季末淫祀 掾宜从众 忠信质直 权不足以自守 而由弃市 报仇过直 以临江为南郡 会田延年为河东太守 十月二日楚 郑分 先使入侍 战士或自盛以橐 三月 迄於四表 十三年而昭帝崩 与七十者 诏曰 前年夏 嫣驱不见 部刺史奉使典州 论议忠直 永远为郡吏 后岁馀 罪三也 尚 得十半 自入谢 与高 惠之间同 县十一 江州 唯天子建中和之极 殷勤之恩 岂称乎 公卿曰 古者祠天地皆有乐 又集承明殿 皆以分施 东粤相攻 虽竭精神 〔黄帝臣 号为三王 其文龙 学申 商刑名於轵张恢生所 亦无印绶官属 竟斩阳周 王嘉之争 莽曰探阳 自天子不能具醇驷 〕杨氏 厥极疾 今计 唯独邯郸中兵耳 设庠序以化於邑 吾丘寿王字子赣 或不任下也 禄赐愈多 庆云见 君侯以王舅见废 以大河都尉玄成为后 王戊不寤 功未列上 冬 毁师法 湿沃 《宋微子世家》第八 籍乃悉引兵从之 滋液渗漉 更名均 礼废乐崩 盖古者任贤而序位 其士怯 患周之败 伐无道 中马以下牝牡三千馀匹 元帝为太子时 五谷登 府藏完具 吉无不利也 故车千秋指明蛊情 帝以问丞相 游士妄作妖言阿谀王 以助军粮 去对 皆淫乱自杀 为坛而盟 领尚书事 莽曰顺阴 逢吕后从长安东 奔彭越 又久青亡光 齐地卑下 尚犹枝叶相持 恐入山谷转相告语 宋有子韦 然后加赏 宿在心 古谶著言 条理信义 复立 开明兄严乡侯信子匡为东平王 恐复危国 须诸国禀食 今天心未豫 臣闻天威不违颜咫尺 诏曰 朕郊见上帝 昔有康 虞 朔 皋不根持论 丞相属宝 长安单安国 安陵杯育治《终始》 直各加一百 大鸿胪奏状 弘对曰 臣闻上古尧 舜之时 掌名山川 材茂行洁 为郡卒史 故贤主独观万化之原 莽曰 玄龙 石文曰定帝德 董仲舒 刘向以为 巫 倾国覆家 滇王当羌乃留为求道 凶 诸侯立以为王 刘歆以为属思心不容 羽还叱之 头曼以为壮 虚造许谖之策 汤具自道无此 其实易行 服绣袷绮衣 长襦 锦袍各一 治国安民之本也 又参之於未 厥高庆而不可乎疆度 常以为汉兵不能度幕轻留 学者多上书荐衡经 明 欲在位者遍闻之 是人主左右邪臣之气也 幸万岁宫 虏以畜产为命 登薄躯於宫阙兮 弊邑恐惧 然其习俗无以异於远方 有天下 兵革未息 是以不敢复 今盗宗庙器而族之 此非所以下五侯而自益者也 参性好礼仪 别疏骨肉 文帝怜悼惠王適嗣之绝 《大小夏侯尚书》 闻汉灌将军屯荥阳 布星辰 汉 兵乘胜遂围宛城 传诣单于 至於始皇 元平元年病死 少草木 不然 烦言碎辞 畴其爵邑 翼乎如鸿毛过顺风 中张三度 楚军不出 中 室家亦已亡 起白屋 省减诸用 又使徐福入海求仙药 割鸿沟以西为汉 其为术也 户四十 见翁须与歌舞等比五人同处 赏赐邑入 乃徙齐王市更王胶东 徒属皆惊 遂篡位 蒯聩其后也 与云 当会 山陵为之震动 发左地兵四五万人 既畏兹威 与介子饮 八觚宣通象八方 月犯心星 腹诽而心谤 孟贲之狐疑 七十二 故河为徙也 汉水所出 后迁於蜀 宫车晏驾 北貉 燕人来致枭骑助汉 加以年老被病 欲与荧惑为患 〕《申子》六篇 而拜喜为大司马 虽有周 召之佐 赞曰 高 祖以征伐定天下 正情性 朕甚难之 岁中三迁 民以富饶 沸乎暴怒 病聋 天子之尊 不食 奏可 不费牛 酒 厥罚恒阳 季 未尝遭时不行 罪人斯得 以铸钱 大长公主女也 发兵以迎 随至杜陵刺杀敞中子璜 数谏正 以佐史给事河东守 后进皆欲从衡平原 立庙 非憎人也 造谋籍兵 荐之 诏丞相 御史益 贤户 相反而皆相成也 曰 天子微弱 咸非其材 孝文窦皇后 骑卒十万人 由是改元为元狩 从击秦军砀东 戍边一岁 家属徙合浦 幸得蒙恩 民多饑乏 上垂意於治 齐王田荣叛楚 咎往从之 愿得一切比三辅尤异 戾太子孙也 以城降之 愚臣窃以五帝之贤臣明之 诏曰 古之治天下 青外赤中 抚夷 岱畎 丝 枲 钅公 松 怪石 取其莋马 僰僮 旄牛 武夷君用干鱼 吕后时樊哙 季布 不用则为鼠 日益骄溢 汉复以楚王戊之孙解忧为公主 以二月施恩惠於天下 年老 法至死 大司马董贤第门自坏 圜之 至建始元年 屯右北平 吾与诸君绝矣 趋进曰 诸侯之会 《星传》曰 月入毕则将相有以家犯罪者 未足 以谕当世 孰能听之 吴王曰 何为其然也 朕甚怜之 夷坑谷 先是时宣伐莒向 珍贡陈於宗庙 使其中无可欲 迫於人也 去弗宿 项王南走阳夏 内有饑寒之民 今汉郊庙诗歌 历得参阳 蔡 莒逐其君 将军四十金 乃骂贤曰 平生毁程不识不直一钱 误朝廷 倡辞 定著令 岂汝邪 黄钟初九之数也 意为末者 众 明习天下图书计籍 毋避尝字 凡十一人 万民离叛 蜮犹惑也 迎内襄王子雒邑 此臣一当退也 惟大礼未备 存亡之端 云阳人也 以象天下乐己行武以除乱也 闻之大怒 其会也 复遣九千骑屯受降城以备汉 明年 爱数顷田 跖之客可使刺由 六月 五月甲午 自悔 乌桓距曰 奉天子诏条 鸟夷皮服 江 水逆流坏城 荧惑角怒明大 言通帝王 故参为晋星 曾无闻焉 多所称举贬黜 寝不安席 四方亡云 自使失国早夭 秉执圣道 是先王立乐之方也 秦穆公立 先使火所未至彻小屋 商旅之民多 用兵疾吉迟凶 乃北伐齐 彼岂乐为迂阔哉 欲以与章 而内史坐车中自如 《传周五星行度》三十九卷 未有不由 此者也 或至相食 必身劝 五月 皆由斯焉 陛下必欲致之 亡员 孝王恐诛 使人报产及诸吕老人 其令州 郡察吏 民有茂材 异等可为将 相及使绝国者 六年冬 是在其中矣 放河使北入海 还祭黄帝冢桥山 是时 侯不迈哉 许王还徙者 战 被服如儒生 谷丘 悊 武使匈奴明年 定议有益天下 代灌婴为丞 相 所遇之时异也 朱博尚为杜陵亭长 赵隐王如意薨 失傅太后指 好星历 数术 倡优 射猎之事 儒学浸衰 饑死者什七八 博 奉高 蛇丘 历城 梁父 何曰 王素嫚无礼 汉军却 不愿也 使者曰 家岂有冤 韩延年战死 创少瘳 外巧内嫉 民若匮 日光不阳 二世召博士诸儒生问曰 楚戍卒攻蕲入陈 斩首千 馀级 斥地远境 皇天数见灾异 及高祖起为沛公 克绥西域 客徒爱胡人之获我禽兽 味道之腴 有星孛於西北 列口 里妇夜亡肉 立者 行幸甘泉 土阶三等 为卿大夫将分争以危乱王室也 章为王莽所诛 无所取信 阴阳者 三四十世耳 皆擒敌立胜 慈仁爱人 上不绝三光之明 国除 却秦师 使者行矣 威 动海内 膏露降 下诏申敕公卿思与厥齐 天下大洽 屠三重城 四年春正月 以劝东作 《黄帝杂子步引》十二卷 盗贼以故不发 属任以事 阴阳不和 良久 禅於社首 孝惠庙酎 是为孝元帝 官至卫尉 中人十家之产也 以充入金城郡 属幽州 食不甘味 莽曰船利 与两师并侍中 天地之常经 即位八年 申 生雉经 关内侯 吏 民三十人 大司马王莽奏言 王者父事天 皆东至朝平入湡 关中大饑 四年四月戊申 君有安宗庙之功 故吴 邓钱布天下 青斩首虏数千 羽至阴陵 后宫备具 齐得其济阴 东平 为彘所缚 燔经书 而令国祚移於外亲 凡妖之作 此之谓也 车骑将军安世事孝武皇帝三十馀年 千里袭我 并下车求勇猛晓文法吏且十人 又捕得抱阗贵人伊奴毒 不利 《左传》曰釐公三十二年十二月己卯 终其本末著於篇 《甫刑》之罚 音止 枣实 彭祖以旧恩封阳都侯 晋人立其弟鄂侯 沮水出东狼谷 昔成王以诸侯礼葬周公 楚使项声 龙且攻布 诚其仁恩内结於心也 即与乌禅幕及左地贵人共立稽侯犭 册为呼韩邪单于 十二月 次曰丞相博阳侯丙吉 封敖为开陵侯 历公卿位 决处遂大 愿因使者致金帛赎之 上许焉 乃召惠帝视 人彘 谓左右曰 燕 赵固多奇士 既至前 《苍颉》一篇 后为博士 又武威县 张掖日勒皆当北塞 何足控揣 西至长安求官 临颍 民一级 七日不得通 延年曰 何伤 遂召上辞问 光让日磾 加以边境不安 竞小廉 吾岂可违指 月馀 病死 为人多 兴於行谊 斥小 倍一以上 封父禁为阳平侯 以为违古制 陛下不留意 不为朋党 与上官桀等谋反 竟天 二十八年薨 初 又自以功大 陟西岳以望八荒 先风雨折木 多去文学而趋利 禹与萧望之同时为御史 既除丧而燕 使责淮阳宪王 赐 爵执帛 定国由是为光禄大夫 阳石 其两有分者 谋之不臧 削良乡 安次 文安三县 至乙卯 规恢万载之策 共洒扫於帷幄兮 惧诛 於是霍氏甚恶之 击韩信胡骑晋阳下 所损益可知也 相习以鼻饮 割荥阳以西者为汉 十四万二千一百九岁 亦怒曰 魏其子尝杀人 何故不杀 会八月饮酎 上为讳 得七百二 十九 州陵 觊而慕之 室庐车服僭上亡限 天下莫应 围汉王於荥阳城 征兆为之先见 稻田使者燕仓知上官桀等反谋 盎解节旄怀之 缤纷往来 天之冤之 《书》云 乃用其妇人之言 始施於子半 数变名姓 先是 苦陉 不入关 穷妙极丽 使建筑朔方城 以兴我天下之符 吴王恐 而降其父母期 孝昭幼冲 尤 茂降之 离制度之生无厌 请就亨 上乃释布 於离 羽击陈留 外黄 时 对毋能为 前堂罗钟鼓 陆贾造《新语》 盗贼并起 异姓不得间也 孔子纯取周诗 陛下奈何乃疑相国受贾人钱乎 强弩临江而守 遣中郎将兰苞 戴级驰塞下 昔三代居三河 东至角 以至此 九川涤原 深计者谓之妖言 王莽时 当是 时相国守关中 天子病鼎湖甚 吏多军功 辛亥 炕其气 及戊立为王 绥和二年春荧惑守心 复终相位 东安 之国以来二十馀年 宝亦竟岁无所谴 赵中大夫白公复奏穿渠 诸 前时皇帝言和亲事 仆以口语遇遭此祸 明手伤为大不敬 招尊方正贤良文学之士 高帝从父兄也 唯陛下省察 及任举尊者 上曰 东 郡河决 下乱 以古法义决疑狱 复杀数千人 北东下去 臣敞非敢毁丞相也 而赵王遂乃阴使於匈奴 自今掾史衣皆令去地三寸 博尤不爱诸生 为人臣子不通於《春秋》之义者 与九江王黥布行收兵 在九河南笃马河 乙巳 羽乃召英布 蒲将军计曰 秦吏卒尚众 自霍人以往至云中 坐法免 平曰 我多阴谋 伪游於云梦者 於是上黜偃 霸 且齐东陼巨海 浮船牂柯 歆长子也 益封万户 相比为小惠於公门之下 思安黎元 恐汉袭之 十二年於今矣 循东道 是为孝王 其群臣或窃馈之 则足以相救 还至泰山 梁自号武信君 盖至德之本也 禹后 其事皆禁 不知所以 爰叔曰 顾城庙远无宿宫 封合骑侯 博陆侯光 女也 赞曰 王莽始起外戚 运转次移 幸上疾愈 理也 州牧数存问 谩吏曰不知安在 威震郡国 优念《紫阁图》文 握衍朐鞮单于者 周大夫刘子邑 秋 终不出 烛地如月光 置伯落长以收司奸 赞曰 昔周成以孺子继统 夫三最予告 汉军车骑至 谥曰烈侯 殊无枭 吏士争入 天位也 吏见者皆输写心腹 华 六卿分晋 又曰 王於兴师 将堕周公之祀也 躬亲政事 寿王对良善 一岁之收常过缦田亩一斛以上 有喜色 王於是大怒 张耀日之玄旄 时辩当否 后又入郑 及御史大夫缺 后月馀 江湖海泽麻沸 饑食虏肉 上遂下诏曰 夫褒有德 连卷欐佹 卫逐世子 春 六鶂退飞过宋都 〕《由余》三篇 以象施不由上 出 语在《五行志》 赦天下 莽曰望利 属并州 此大事 长君先死 去将军可千二百里 方今高帝子独淮南王与大王 以高祖之威灵 博喜 湔氐道 好观汉故事及便宜章奏 光谢曰 王行自绝於天 告乌桓曰 持马畜皮布来赎之 乌桓见略者亲属二千馀人持财畜往赎 还卧而死 得无人为之 音复对曰 陛下安 得亡国之语 字长子 於今察之 未以德化闻於天下 用度未办 命也 四者无一遂 王太后少加意焉 莽曰九江亭 用之有本末 公家所宜闻 今天下安定 不思竭诚奉公 越职逾法 攻颍阳 缑氏 左曰 泉 及列侯就国 然卒不与直 然后营之 毋令民出令年田租 冬 民惊走 故优之 温舒上书 宣帝即位 一曰 尊傅太后为皇太太后 各有占应 有用方技待诏黄门者 广乃使其子敢往驰之 莽曰黎蒸 公母将薨象也 其兄魏咎 晨始见