变力做功的八种解题方法
变力做功的计算
变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。
一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。
但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。
求此过程中摩擦力所做的功。
图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。
图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。
误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。
必须注意本题中的F是变力。
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。
如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。
［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。
则转动半圆，这个力F做功多少图3答案：。
二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。
如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。
再谈变力做功几种办法
再谈变力做功的几种办法功的计算在中学物理教学过程中占有相当重要的位置，w=fs只能用于计算恒力的功，而变力做功无固定的公式却又较常见，下面对变力做功的问题做个归纳：一、转化法1.把变力的功转化为恒力的功。
如：如图的定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为f（恒定），滑块沿水平面前进s至b点，滑块在初末位置时细绳与水平方向的夹角分别为α和β，求滑块在由a点运动到b点的过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
解析：绳的拉力t，大小与外力f相等，但物体运动过程中，拉力与水平面的夹角由α变为β为变力。
在不计滑轮的质量及一切摩擦的情况下，人对绳所做的功就等于绳对物体所做的功，这样转化的结果就把变力的问题转化为恒力的问题了。
设物体在位置a时，滑轮左侧绳长为l1，当物体被绳拉至位置b时，绳长变为l2，因此物体由a到b，绳长的变化量δl=l1-l2=-，则绳的拉力t对物体做的功wt=wf=fh（-）。
2.利用平均力代替变力的作用，在力的方向不变大小随位移按线性规律变化时，用力的算术平均值（恒力）代替变力。
如：一汽车质量为105 kg从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍，其牵引力的大小与车前进的距离x的变化关系为f=103x+f0，f0是车所受的阻力。
当车前进100 m时，牵引力所做的功是多少？（g=10m/s2）解析：牵引力方向总是与运动的方向一致，大小与位移x为线性关系，故其在100 m的平均牵引力为，则其w=x。
牵引力为变力但与位移成正比。
当x=0时，牵引力f1=f0=kmg=0．05×105×10＝5×104 n，当x=100 m时，f2=100×103＋f0=105＋5×104＝1．5×105n，平均力==1.0×105 n，因此牵引力做的功w=l=1.0×107 j。
再如用锤击钉，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板深度成正比，每次击锤时，锤子对钉子做的功相同，已知第一次时，钉子进入板内的深度为d，则第二次又将进入木板多少深度？解析：如上图所示，由于该变力随进入深度增加而增加，且成正比关系，可用一段过程中的平均作用力乘以进入的深度来求功。
变力做功
变力做功
【典型例题】
一辆汽车质量为800千克，从静进的距离变化关系为： F=100x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进20米时，牵引力 做的功是多少？（g=10m/s2 ）
分析：由于车的牵引力和位移的关系为：F=100x+ f0，成 线性关系，故前进20米过程中的牵引力做的功可看作是平 均牵引力所做的功。
【答案】2cm
变力做功
【变式训练】
用锤子把钉子钉入木块中，设每次打击时锤子对铁钉做的 功都相等，铁钉进入木块受的阻力跟钉入的深度成正比。 如果钉子第一次被钉入的深度为4cm，则第二次打击后可 再进入几cm？
变力做功
【解析】
力F与深度s成正比，而在本例中位移就是深度，力F与位移 s满足正比关系，故每次锤子打击铁钉时所做的功可以用公 式W=FScosα来计算。W2=F(S2-S1) 第一次打击时锤子对钉子做的功W1=FS1，第二 次做的功 W2=F(S2-S1)，设F=ks,有： 根据题意W2=W1，解得：S2=2S1，Δs= S2-S1=(2-1) S1=2( 2 1)cm。
变力做功
【等值法】
等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可 以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力 做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。 也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒 力做功。
【能量转化法】
功是能量转化的量度，已知外力做功情况就可计算能 量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的 多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关 系可从能量改变的角度来求功。
变力做功
【解析】
由题意可知： 开始时的牵引力：F1=f0＝0.05×（800×10）＝400(N) 20米时的牵引力:F2=100×20+400=2400（N） 前进20米过程中的平均牵引力：F平 =1400（N） 所以车的牵引力做功：W＝F平S＝1400×20＝28000（J）
求变力做功的8种思路
求变力做功的8种思路张家港市塘桥高级中学施 坚功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程．物体受到力的作用，并且在力的方向上发生一段位移，就叫做力对物体做了功． αcos Fs W =，式中F 应是恒力．但实际问题中经常遇到变力，那变力做功如何求解呢？下面结合典型问题，指明求变力做功的八种思路．思路1、微元法：若参与做功的变力，其仅力的大小不变，而方向改变，且力与位移的夹角确定不变，则可通过微分累积W N W ∆⋅=求解．【例1】 在一粗糙的水平面上，动摩擦因素为μ，一小滑块质量为m 在某小孩手的水平拉力的作用下做匀速圆周运动，则一小滑块转动一周的过程中，水平拉力、摩擦力分别做功多少？[解析]：手的水平拉力始终在圆周的切线方向上，故可以把圆周均匀分割成N 段（N 足够大），每段位移为s ∆，则每一小段s ∆上都可以认为水平拉力（滑动摩擦力）方向不变且与位移s ∆方向一致（相反），且mg f F μ==．每一小段上拉力做功s F W∆⋅=∆，所以，Rmg R F s N F W N W W f F πμπ22⋅=⋅=∆⋅⋅=∆⋅==，即：水平拉力、摩擦力分别做功：R mg πμ2，R mg πμ2－．点评：手的拉力和摩擦力是变力，但经微分后将变力转化为恒力，再用公式求解．思路2、均值法：若参与做功的变力，其仅力的大小改变，而方向不变，且大小随位移线性变化，则可通过求出变力的平均值等效代入公式θscos F W =求解．【例2】 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ．问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）[解析]：此题可根据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代．铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，kx f F =-=，可用平均阻力来代替． 如图1-1，第一次击入深度为1x ，平均阻力1121kx F =，做功为2111121kx x F W ==．第二次击入深度为1x 到2x ，平均阻力)(21212x x k F +=，位移为12x x -，做功为)(21)(21221222x x k x x F W -=-=．两次做功相等：21W W =．得：cm x x 41.1212==，即：cm x x x 41.012=-=∆．点评：对于线形变化的变力，可以取其平均值，将变力转化为恒力，进而求该力的功． 思路3、图象法（示功图求解）：若参与做功的变力，方向与位移方向始终一致而大小随时变化，我们可作出该力随位移变化的图象．如图1-2，那么所示的阴影面积，即为变力做的功．【例3】图所示，做直线运动的物体所受的合外力与物体运动距离的对应关系．已知物体的质量为kg 4.10．开始处于静止状态，求s 12末物体的速度多大？[解析]：物体所受的合外力是变力．根据s F -图中曲线下所围的“面积”表示力的功的物理意义，可求得）（）（）（总J W 52612426622=-⨯+-⨯+⨯=，再由动能定理求得102==mW v 总)/(s m点评：根据示功图中曲线所围的“面积”表示功的物理意义，直接求变力的功．例2也可以利用图象法，类似匀变速直线运动的t v -图象而作出x F -图象．[解析]：因为阻力kx F =，以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出x F -图象（图1-4），曲线上面积的值等于F 对铁钉做的功．由于两次做功相等，故有：21S S =（面积），即：))((2121121221x x x x k kx -+=，即：cm x x x 41.012=-=∆．思路4、t P Pt W==公式法：已知恒定功率或平均功率的条件下，机车等的变力做功转化为功率求解，化难为易．【例4】 质量为M 的汽车，沿平直的公路加速行驶，当汽车的速度为1v 时，立即以不变的功率行驶，经过距离s ，速度达到最大值2v ．设汽车行驶过程中受到的阻力f 始终不变．求汽车的速度由1v 增至2v 的过程中所经历的时间及牵引力做的功．[解析]：汽车以恒定功率运动，此过程中的牵引力是变力．当加速度减小到0时，即牵引力等于阻力时，速度达到最大值．由于汽车的功率恒定，故变力（牵引力）的功可用Pt W=计算．对汽车加速过程中由动能定理有22122Mv Mv fs Pt -=-又2P f = 联立得：221222)(v s P v v M t +-=22122)(v Ps v v M Pt W +-==点评：运用Pt W =，将恒定功率作用下的机械做功转化为易确定的因素，另辟蹊径． 思路5、动能定理法：若参与做功的变力，方向与大小都变化，导致无法直接由αcos Fs W =求变力F 做的功．这时可利用动能定理：αscos F W 合总合=∆==k E W ；但此法只能求合力做的功．【例5】 如图所示，质量为m 的物体被细绳牵引着在光滑水平面上做匀速圆周运动，O 为一光滑孔，当拉力为F 时，转动半径为R ；当拉力为8F 时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为2R ，在此过程中，外力对物体做的功为： A ．27FRB 、47FR C 、23FR D 、FR 4 解析：该题显然是一个变力问题，但通常有学生利用平均力法求解，即θscos F W =．此题中绳上拉力需提供向心力，方向时刻改变，不能利用平均力法求解．则可以从功能关系入手，而且绳上拉力是合外力，则动能定理：20212121mv mv W -=合，又圆周运动：Rv mF 02=；2821R v m F =，结合以上三式，得：FR FR FR mv mv W 2321221212021=-=-=合．故选C ．点评：对于物体的始末状态的动能是已知的，则在这种情境下的变力做功用动能定理显得方便简捷．思路6、功能关系法：能是物体做功的本领，功是能量转化的量度．因此，对于大小、方向都随时变化的变力F 所做的功，可以通过对物理过程的分析，从能量转化多少的角度来求解．【例6】 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点，如图所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ，则拉力F 所做的功为：A ．θcos mgLB ．()θcos 1-mgLC ．θsin FLD ．[解析]：解物理题必须注意把握题中的关键词，比如此题中“很缓慢”三字，表明拉力F 所做的功并未增加物体的动能，根据题意恰恰是提高了势能，即：)cos 1(θ-=∆=mgl E W P F （或理解成据功能原理：F 的功增加了小球的机械能），B 正确．C 选项则是利用了恒力做功公式W=Fscos θ，但事实上F 不是恒力．如图，三球受T mg F 、、，且θmgtg F =，则在上拉过程中，↑↑F ,θ．C 选项不正确．故选B ．点评：如果系统所受的外力和内力（除重力、弹力外）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，且这些力中有变力做功，机械能的增量易求，用功能关系（或功能原理）求解简便． 思路7、等效替代法：等效思想是物理教学中一种重要思维方法．当恒力与变力大小相等且在做功数值上相等情况下，可以用恒力替代变力求功．【例7】 如图所示，某人用大小不变的力F 拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角为α，经一段时间后，绳与水平面间的夹角为β，已知图中的高度为h ，求绳的拉力T 对物体做的功．（绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计）[解析]：物体由初态运动到终点，所受的绳子拉力是变力（变方向），但在题设条件下，人的拉力F 对绳的端点做的功就等于绳的拉力T 对物体做的功．故可用恒力F 的功替代变力T 的功．绳端的位移大小为)sin 1sin 1(21βα-=-=∆h s s s 则：)sin 1sin 1(βα-=∆⋅==Fh s F W W F T点评：当恒力与变力大小相等且在做功数值上相等情况下，可以用恒力替代变力求功． 思路8、借助守恒定律求解：能量守恒定律、机械能守恒定律是物理学中极为重要的规律，为求功提供了另一条重要思路，尤其是变力做功问题．【例8】 如图所示，一根轻的刚性杆长为l 2，中点和右端各固定一个质量为m 的小球，左端O 为水平转轴．开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动，求从开始释放到摆到竖直位置的过程中，杆对B 球做了多少功？[解析]：如果没有A 球，杆上只有B 球，摆到最低点B 球的速度为1v ，根据机械能守恒定律有.21212mv l mg =所以gl v 21= 现在杆上有A 、B 两球，设摆到最低点时B 球速度为2v ，则A 球速度为22v ，系统仍满足机械能守恒的条件，有22.22)2(21212v m mv mgl l mg +=+ 解出gl v 5242=B 球两次末动能之差就是轻杆对B 球做的功，即mgl mv mv W B 5221212122=-=杆对 点评：系统内只有重力和弹力做功，当弹力是变力时，求这个变力功可借助能量守恒定律（尤其是机械能守恒定律）．小结：变力做功的求解对学生的思维鉴别力、跳跃性提出了较高的要求，采用平均力法、图象法、动能定理还是功能关系，必须对物理情景分析透彻，而后决定取舍．当然．有时方法不是单一的，如例2，而且适当地一题多解可以提高学生的思维深度和开阔性．图8。
变力做功的多种求解方法
变力做功的多种求解方法作者：华峰来源：《中学生理科应试》2014年第11期大家对于恒力做功问题都能灵活地利用公式顺利求解，然而对于变力做功问题求解常常会感到较困难.下面介绍几种典型的常用的求解方法，以利于对此类问题正确处理.一、微元法此法适用于力的大小恒定，方向始终与速度同向或反向的力做功的求解.例1力F=10 N作用于半径r=1 m的转盘边缘上，其大小保持不变、方向始终保持在作用点处与圆盘边缘切线方向一致，则刚转动一周这个力F做的总功是多少？解析因为力F的大小保持不变，方向始终与圆盘边缘的速度方向相同，因而可将转动一周的过程分为很多很短的一段一段，在每一段上都可以认为是恒力做功，再将各段的功相加，即用力F的大小乘以一周的路程，故可得：W=Fs=F·2πr=10×2π×1 J=20π J.二、平均值法此法适用于力的方向不变，大小随位移匀速改变的力做功的求解.例2用竖直向下压力将放置在水平面上的一弹簧（k=2×104N/m）缓慢匀速压缩了10cm，则外加压力对弹簧做功J.解析因为弹簧的弹力F=kx，F的方向不变，而大小与x成正比，即F随着x均匀增大，所以此过程中力F的平均值为：F=12kx=12kL.故力F做的功为：W=FL=12kL2=12×2×104×0.12J=100J.例3用锤击钉，木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击钉子时，锤子对钉子做的功相同.已知第一次击钉时，钉子进入木板1 cm，求第二次击钉时，钉子进入木板的深度.解析由于木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，因此可用平均值法求木板对钉子的阻力做的功.设f=kx，第二次击钉时，钉子进入木板的深度为x2，则有：0+kx12·x1=kx1+k（x1+x2）2·x2，其中x1=1 cm，∴x22+2x2-1=0，解之得：x2=2-1=0.414（cm）[注：另一根不合题意，舍去].三、转化法当变力做功不易求解时，可通过转化为恒力做功顺利求解.图1例4如图1所示，一人用绳子提升质量为m的物体，从A点缓慢地移到B点，∠AOB=45°，sAB=3m，求拉力做的功.。
(完整)求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（ ）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。
那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。
解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。
小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。
二。
微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。
解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
变力做功的求法
变力做功的求法：
1.微元法。
当物体在变力作用下做曲线运动 时，我们无法直接使用功的计算公式 W=FLcosa来求解，但是可以将曲线 分成无限个微小段，每一小段可认为 恒力做功，总功即为各个小段做功的 代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半 径为R的水平圆轨道运动一周， 如图所示，已知物块的质量为m， 物块与轨道间的动摩擦因数 为 μ 。求此过程中摩擦力所做 的功。
W mgh Wf 从A到B到C ： F
WF 2m gh
00
4.应用公式W=Pt法
机车以恒定功率启动时，牵 引力为变力，但机车的功率为牵 引力的功率，所以牵引力做的功 可用公式W=Pt计算
例4： 一列货车的质量为5.0×105kg, 在平直轨道以额定功率3000kw加速行 驶,当速度由10m/s加速到所能达到的 最大速度30m/s时,共用了2min,则这 段时间内列车前进的距离是多少?
mg ( s1 s2 s3 ... sn ) 2m gR
2. F—x图象法。
F —x图像，图线与坐标轴围成的面积,在数 值上表示力F在相应的位移上对物体做的功。
例2.如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧， 一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴 线施一水平力将弹簧拉长，求：在弹簧由 原长开始到伸长量为 x1过程中拉力所做的 功。如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由 x1 增大到x2 的过程中，拉力又做了多少功？
解析：在拉弹簧的过程中， F kx 作出 F x 关系图象，如图，由图可知 AOx 的面积在数值上等于把弹簧拉伸了 x1过程中 拉力所做的功。
1
即:
1 1 2 W1 kx 1 x1 kx 1 2 2
x1
梯形 Ax1 x2 B 的面积在数值上等于弹簧伸 长量由 增大到 x2 过程中拉力所做的功。
变力做功的八种解题方法
变力做功的八种解题方法变力做功是物理学中的一个重要概念，它涉及到动力学、机械能等多个方面。
在解题的过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧，才能较好地理解和运用这个概念。
本文将分享八种解决变力做功题目的方法，希望能对读者有所帮助。
1. 确定物体受力情况在解决变力做功的题目时，首先需要明确物体所受的所有力，包括内力和外力。
内力指物体内部各部分之间的相互作用力，外力则来自外部物体对其施加的力。
只有明确物体所受的力，才能准确地计算力的大小和方向，从而得到正确的结果。
2. 确定物体所受的力的性质与确定物体所受的力相对应的是，需要明确物体所受的力的性质，包括弹性、摩擦、重力等。
其中，弹性力可以通过胡克定律进行计算；摩擦力可以通过静摩擦和动摩擦进行分析；重力则是必须考虑的一个因素。
明确物体所受的力的性质有助于我们理解变力做功的本质。
3. 计算变力对物体的功对于变力做功的问题，我们需要计算变力对物体所做的功。
这个计算过程需要确定力的大小和运动路径，通常会用到积分法进行计算。
计算这一步骤是变力做功问题的核心，也是最复杂的部分。
4. 利用能量守恒原理在某些情况下，使用能量守恒原理可以更简洁地解决变力做功的问题。
能量守恒原理的基本思想是系统能量的总和在过程中保持不变。
因此，我们只需要计算物体在开始和结束时的能量，通过守恒原理求出变化的能量，即可得到变力所做的功。
5. 利用动量守恒原理和能量守恒原理类似，动量守恒原理也可以用来解决变力做功问题。
动量守恒原理的基本思想是，在系统内部各物体间的相互作用力作用下，系统内各物体的动量之和在过程中保持不变。
通过利用动量守恒原理，我们可以求出物体在变力作用下的速度变化，从而计算出变力所做的功。
6. 利用万有引力定律在涉及到天体运动的变力做功问题中，我们需要利用万有引力定律。
万有引力定律指出，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
因此，我们可以利用万有引力定律计算行星的速度变化，进而计算出行星所受的变力所做的功。
变力做功的计算
一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。
但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。
例1、用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。
求此过程中摩擦力所做的功。
分析：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。
解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。
对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。
必须注意本题中的F是变力。
对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。
如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。
二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。
如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图所示。
经过一段时间物体发生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的功W＝Fs，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图（a）所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图（b）所示）。
如果F－s图象是一条曲线（如图所示），表示力的大小随位移不断变化，在曲线下方作阶梯形折线，则折线下方每个小矩形面积分别表示相应恒力做的功。
求变力做功的十种方法
变力做功的十种方法河南省信阳高级中学 陈庆威功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式θcos FS W =直接求解，但变力做功就不能直接用公式了，这里总结了一些求变力做功的方法，希望能对读者有帮助。
一. 动能定理法例1. 如图所示，质量为m 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B 点时的速度变为，求物体从A 运动到B 的过程中，摩擦力所做的功是多少？【解析】物体由A 滑到B 的过程中，受重力G 、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v 为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。
分析上式可知，物体由A 运动到B 的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A 运动到B 的过程中，弹力不做功；重力在物体由A 运动到C 的过程中对物体所做的正功与物体从C 运动到B 的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。
因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A 运动到B 的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即 可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。
【点评】利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。
这也是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。
二. 微元法对于变力做功，不能直接用θcos FS W =进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用θcos FS W =求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，具有普遍的适用性。
例2. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求解变力做功的八种方法
求解变力做功的八种方法在物理学中，做功是指力对物体施加作用力并使其产生位移的过程中所做的功。
而当作用力是变化的时候，求解变力做功就变得相对复杂。
本文将介绍八种常用的方法来求解变力做功问题，帮助读者更好地理解这一物理概念。
一、分割法分割法是将变力分割成多个小的力，然后分别计算每个小力在相应的位移上所做的功，再将它们累加起来。
通过将变力离散化，我们可以近似所需求解的变力做功。
二、辅助函数法辅助函数法是将变力关于位移进行积分，得到一个辅助函数，再通过求导的方法求解变力做功。
这个方法需要对变力进行积分和求导，适用于一些特殊的变力情况。
三、力的分解法力的分解法是将变力分解成两个简化的力，一般是平行和垂直于位移的力，然后分别计算每个简化力在相应的位移上所做的功，再将它们相加。
通过将变力进行分解，我们可以将复杂的问题简化为分别求解两个力的功的问题。
四、动能定理法动能定理法利用了动能的变化与外力做功的关系，即外力做功等于物体动能的变化。
通过对物体的动能变化进行分析，我们可以求解变力做功的问题。
五、引入势函数法引入势函数法是将变力与势函数建立联系，通过势函数的导函数来求解变力做功。
这个方法需要找到一个合适的势函数，适用于一些具有简单势函数形式的变力情况。
六、平均值法平均值法是将变力近似为一个平均力，然后计算该平均力在整体位移上所做的功。
虽然这种方法只是对变力做功的近似，但在一些情况下可以提供一个比较准确的结果。
七、图形法图形法是通过绘制力与位移之间的图形来求解变力做功。
通过图形分析，我们可以计算图形下的面积或曲线的积分，进而得到变力做功的值。
八、牛顿第二定律法牛顿第二定律法利用了牛顿第二定律与功的关系，即力乘以位移等于质量乘以加速度乘以位移。
通过将力进行分解，我们可以将变力做功的问题转化为求解加速度和位移的问题。
综上所述，以上八种方法是常用的求解变力做功的方法。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法求解变力做功问题，可以帮助我们更好地理解力学中的变力概念，并解决具体的物理问题综合上述八种方法，我们可以看出，求解变力做功问题的方法有多种多样，每种方法在不同情况下都有其适用性和限制性。
求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法变力做功是指力的大小和方向在作功过程中发生变化的情况。
下面将介绍十种常见的变力做功的方法。
1.拉力做功：当一个物体被施加拉力时，拉力在作功过程中的大小和方向都是持续变化的。
通常情况下，拉力的大小会逐渐增加，直到物体被拉到目标位置。
这个过程中拉力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
2.推力做功：推力做功与拉力做功类似，只不过是力的方向相反。
当一个物体被施加推力时，推力也会在作功过程中发生变化，直到物体被推到目标位置。
推力所做的功也等于力的大小乘以物体的位移。
3.弹力做功：当一个物体被施加弹性势能时，弹力会在作功过程中发生变化。
例如，当拉伸弹簧时，弹簧的劲度系数会导致拉力的大小随着弹簧的伸长而增加。
弹力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
4.阻力做功：当一个物体受到空气阻力或其他形式的阻力时，阻力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，阻力的大小与物体的速度成正比。
因此，在物体运动时，阻力所做的功等于力的大小乘以物体的速度与位移之积。
5.重力做功：当一个物体被抬高或下落时，重力会在作功过程中发生变化。
抬高物体时，重力的大小会减小，而下落时则会增大。
重力所做的功等于力的大小乘以物体的高度。
6.磨擦力做功：当一个物体受到摩擦力时，摩擦力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，摩擦力的大小与物体的接触面积和物体间的粗糙程度有关。
磨擦力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
7.引力做功：当一个物体受到另一个物体的引力作用时，引力会在作功过程中发生变化。
例如，当地球绕太阳运动时，引力的大小会随着地球到太阳的距离的变化而变化。
引力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
8.中心力做功：中心力是指作用在物体上的力总是指向物体的中心。
例如，当一个物体沿着圆形轨道运动时，中心力会在作功过程中发生变化，因为物体距离中心的距离在变化。
中心力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
9.引力做功：引力做功是指一个物体由于受到其他物体的引力而发生位移时，引力所做的功。
变力做功问题求解方法论文
谈谈变力做功问题的求解方法功体现了力对物体的作用在空间上的累积过程。
对于变力做功一般不能依定义式w=fscosθ直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。
1、平均力法：如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力等效代入公式w= scosθ求解。
2、图象法：如果参与做功的变力，方向与位移方向始终一致而大小随时变化，我们可作出该力随位移变化的图象，如图1 ，那么图线下方所围成的面积，即为变力做的功。
例1.用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm。
问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）解析：解法一：（平均力法）铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，f=-f=kx,可用平均阻力来代替。
如图2所示，第一次击入深度为x1,平均阻力 = kx1,做功为w1= x1= kx12第二次击入深度为x1到x2,平均阻力 = k（x2+x1）,位移为x2-x1,做功为w2= （x2-x1）=k（x22-x12）两次做功相等：w1=w2，解后有：x2= x1=1.41 cmδx=x2-x1=0.41 cm.解法二：（图象法）因为阻力f=kx,以f为纵坐标，f方向上的位移x为横坐标，作出f-x图象（如图3所示）。
曲线上面积的值等于f对铁钉做的功。
由于两次做功相等，故有：s1=s2（面积），即：kx12= k（x2+x1）（x2-x1），所以δx=x2-x1=0.41 cm3、动能定理法：在某些问题中，由于力f大小或方向的变化，导致无法直接由w=fscosθ求变力f做功的值。
但用动能的变化可间接求变力f的功。
例2．一辆车通过一根跨过定滑轮的绳pq提升井中质量为m的物体，如图4所示.绳的p端拴在车后的挂钩上。
设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计。
变力做功求解“八法”
知道 了某 个 力 在 某 段 时 间 内 的 平 均 功
率 ，就可 以求 出这个力在这 段时 间内做 的
功 ．如汽 车 以额 定 功率起动 的过 程 中 ，发 动 机 的牵 引 力 是 一个 变力 ，不 能用 公 式 Ｗ ＝ Ｆ ＣＳ 求 此 力 的 功 ，此 时 可 以 用 Ｗ ＝Ｐ ＳＯＯ ￣ ｔ 求牵 引力 的功 ． 例 ４ 质 量 为 肘 的机 车 在 恒 定 的额 定 功率 下 由静 止 出发 ，运 动 中受 到一 个恒 定 的 阻力 ，经过 时间 ｔ ，行驶 了路程 ． ，达到 Ｓ后 最大速度 ，则机 车在 运 动 过 程 中受 到 的
当某个力 Ｆ的方向不变 ， 且大小随位移 Ｊ线性 变 化 时， 用 力 Ｆ 的平 均值 ＝ ｓ 可 代替公式中的 Ｆ， 从而计算出这种
变 力所做 的功 ．
例 １如 图 １ ： 所
运动 ， 设物体所受 的滑动磨擦力大小为 厂求 ，
在物 体转 动一周 的过 程 中滑 动摩擦力 所做 的
＾
一
与相应 的△ Ｊ的差 异 就越 小 ， △ Ｊ ０时 ， ｓ 当 ｓ 一
△Ｊ ｓ 一△Ｊ 故可用△ Ｊ ｓ ， ｓ 代替△Ｊ 则 ： Ｗ ＝ ｓ ， △
一
一
：
＾
ｋ 一 ＾ ，Ｗ ： ■ｊ 。 ８ｙ 一 一 ｃ （。： Ⅲ １ ， ，
ａ
： ，
厂△ Ｊ， 将 每一 小 段上 摩 擦 力 厂做 的 功 ・ ｓ再
功．
示， 求弹 簧振 子从 平衡位 置 ０移 动
到 位 置 的 过 程 中 ， 簧 的 弹 力 所 弹
、
解 析 ： 物 体 运 动 的 轨 迹—— 圆 周分 割 将 成 无穷 多个 小 段 ， 每一 小 段 为△ Ｊ（ 图 ２ 设 ｓ如 所示 ）在 每 一小 段 上 ， 以认 为 滑 动 摩擦 力 ． 可 厂的方 向不 变 ， 在 每－ｄ， △ Ｊ ， 做 的 则 － ＇ 段 ｓ上 厂 图１
变力做功问题的求法集锦
变力的功求法集锦第一.平均力法1.基本依据：如果一个过程，若F 是位移l 的线性函数时，即F=k l +b 时，可以用F 的平均值 =F (F 1 +F 2)/2来代替F 的作用效果来计算。
2.基本方法：先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F ，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由αcos l F W =求其功。
【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。
在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等） 解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。
， 可用平均阻力来代替。
如图所示，第一次击入深度为，平均阻力为， 做功为：第二次击入深度为到，平均阻力为：位移为做功为：两次做功相等：解后有：练习1：要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力 与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。
问此钉子全部进入木板需要打击几次？分析：钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F k l k l =+=022钉子克服阻力做的功为：W F l k l F ==122设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E n E k l 总==0212所以n k l E =202【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上。
弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。
现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做了多少功？解析：可用平均力 kx F 1=求功，故21kx x F W =⋅=。
思考：1.若是恒力F 向右拉动木块，拉力的功是否仍为上述的解？2.若是物块轻轻放置于如右图所示的竖直轻弹簧上并最终静止在平衡位置。
弹簧压缩了x ，则重力做的功是否完全转化成了弹簧的弹性势能（mgx=1/2kx 2）？【例3】如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h ，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。
高中物理变力做功的解法总结
变力做功的解法一、化变力为恒力求变力功变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Fl cos α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．1.如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β.已知图中的高度是h，求绳的拉力F T对物体所做的功．假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计．二、用平均力求变力功在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝F1＋F22的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝F l cos α求此力所做的功．2.把长为l的铁钉钉入木板中,每打击一次给予的能量为E0,已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比,比例系数为k.问此钉子全部进入木板需要打击几次？三、用F-x图象求变力功在F-x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况．[典例3] 放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态．现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m的位移，其F-x图象如图所示，求上述过程中拉力所做的功．四、用动能定理求变力功动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动,既适用于求恒力功也适用于求变力功.因使用动能定理可由动能的变化来求功,所以动能定理是求变力功的首选.4.如图甲所示,一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点,从t＝0时刻开始物块受到如图乙所示规律变化的水平力F的作用并向右运动,第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0,第5 s末物块刚好回到A点,已知物块与粗糙水平面间的动摩擦因数μ＝0.2,求:(g＝10 m/s2)(1)A与B间的距离;(2)水平力F在前5 s内对物块做的五、利用微元法求变力功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题．5.如图所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为F f，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功．变力做功的解法的答案1.W T ＝W F ＝F Δl ＝Fh ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α－1sin β 2.在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功．钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F ＝0＋kl 2＝kl 2钉子克服阻力做的功为：W F ＝Fl ＝12kl 2 设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E 总＝nE 0＝12kl 2，所以n ＝kl 22E 03. 由F -x 图象可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，即W ＝12×(0.6＋0.4)×40 J ＝20 J. 4. (1) A 与B 间的距离为x ＝12at 2＝4 m. (2) W ＝2μmgx ＋max ＝24 J.5.将小球运动的轨迹分割成无数个小段,设每一小段的长度为Δx ,它们可以近似看成直线,且与摩擦力方向共线反向,如图所示,元功W ′＝F f Δx ,而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和,即W ＝∑W ′＝F f ∑Δx ＝2πRF f .Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。