2015高考排列组合与二项式定理试题
排列组合+二项式定理(含答案)
高二数学：排列组合二项式定理一、选择题（本大题共16小题，共80.0分）1.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案( )A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种【答案】D【解析】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，故最多有A55+2A54+A53=420种栽种方案，故选D．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，相加即得所求．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．2.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有( )种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 360【答案】B【解析】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得A66=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23∴不同的排法种数共有23×720=480种．故选：B．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，即可得出结论．本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．3.从1，3，5中选2个不同数字，从2，4，6，8中选3个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为( )A. 5040B. 1440C. 864D. 720【答案】C【解析】解；先任选一个偶数排在末尾，共有4种选法，其它2个奇数的选法共有3种，剩余2个偶数的选法共有3种，这4个数全排列，共有4×3×2×1=24种方法，共有则这些五位数中偶数的个数为4×3×3×24= 864，故选：C．先按要求排末尾，再排其它，根据分步计数原理可得．本题考查加法原理和乘法原理综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A. 48B. 72C. 90D. 96【答案】D【解析】解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：①、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有A44=24种情况，②、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有A43=24种选法，则此时共有3×24=72种选法，则有24+72=96种不同的参赛方案；故选：D．根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，①、选出的4人没有甲，②、选出的4人有甲，分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意优先考虑特殊元素．5.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为( )A. 60B. 72C. 84D. 96【答案】C【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故选：C．根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，关键是根据题意，进行不重不漏的分类讨论．6.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A. 24种B. 60种C. 90种D. 120种【答案】B【解析】解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，×A55=60，则B站在A的右边的情况数目为12故选B．根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B 站在A 的左边与B 站在A 的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．7. C 74+C 75+C 86等于( ) A. C 95B. C 96C. C 87D. C 97【答案】B【解析】解：根据组合数公式C n+1m =C n m−1+C n m得，C 74+C 75+C 86=(C 74+C 75)+C 86 =C 85+C 86 =C 96． 故选：B ．利用组合数公式C n+1m =C n m−1+C n m，进行化简即可．本题考查了组合数公式C n+1m =C n m−1+C n m的逆用问题，是基础题目．8. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的抽取方法是( )A. C 42⋅C 52B. C 42+C 43+C 44C. C 42+C 52D. C 42⋅C 52+C 43⋅C 51+C 44⋅C 50【答案】D【解析】解：一共有4件一等品，至少两件一等品分为2件，3件，4件，第一类，一等品2件，从4件任取2件，再从3件二等品或2件三等品共5件产品中任取2件，有C 42⋅C 52， 第二类，一等品3件，从4件任取3，再从3件二等品或2件三等品共5件产品中任取1，有C 43⋅C 51，第二类，一等品4件，从4件中全取，有C 44⋅C 50， 根据分类计数原理得，至少有两件一等品的抽取方法是C 42⋅C 52+C 43⋅C 51+C 44⋅C 50． 故选：D ．利用分类计数原理，一共有4件一等品，至少两件一等品分为2件，3件，4件，然后再按其它要求抽取． 本题主要考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．9. 4名同学争夺三项冠军，冠军获得者的可能种数是( )A. 43B. A 43C. C 43D. 4 【答案】A【解析】解：每一项冠军的情况都有4种，故四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是43， 故选：A ．每个冠军的情况都有4种，共计3个冠军，故分3步完成，根据分步计数原理，运算求得结果． 本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．10. 某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( ) A. 720种 B. 520种 C. 600种 D. 360种 【答案】C【解析】解：分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有C 21C 53A 44种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有C 22C 52A 22A 32种.共有：C 21C 53A 44+C 22C 52A 22A 32=600(种)． 故选：C ．分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，第二类：甲、乙同时参加，利用加法原理即可得出结论． 本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．11. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( ) A. 144种 B. 72种 C. 64种 D. 84种 【答案】D【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 需要先给最上面金着色，有4种结果， 再给榜着色，有3种结果，给题着色，与榜同色，给名着色，有3种结果；与榜不同色，有2种结果，给名着色，有2种结果 根据分步计数原理知共有4×3×(3+2×2)=84种结果， 故选D ．需要先给最上面金着色，有4种结果，再给榜着色，有3种结果，给题着色，与榜同色，给名着色，有3种结果；与榜不同色，有2种结果，给名着色，有2种结果，根据分步计数原理得到结果．本题考查计数原理的应用，解题的关键是理解“公共边的两块区域不能使用同一种颜色，”根据情况对C 处涂色进行分类，这是正确计数，不重不漏的保证．12. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种 【答案】B【解析】解：最左端排甲，共有A 55=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有C 41A 44=96种， 根据加法原理可得，共有120+96=216种． 故选：B ．分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论． 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．13. 有黑、白、红三种颜色的小球各5个，都分别标有数字1，2，3，4，5，现取出5个，要求这5个球数字不相同但三种颜色齐备，则不同的取法种数有( ) A. 120种 B. 150种 C. 240种 D. 260种 【答案】B【解析】解：根据题意，取出的5个球有三种颜色且数字不同， 分2步进行分析：①，先把取出的5个球分成3组，可以是3，1，1，也可以是1，2，2； 若分成3，1，1的三组，有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法； 若分成1，2，2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法；则共有10+15=25种分组方法，②，让三组选择三种不同颜色，共有A 33=6种不同方法 则共有25×6=150种不同的取法； 故选：B ．因为要求取出的5个球分别标有数字1，2，3，4，5且三种颜色齐备，所以肯定是数字1，2，3，4，5各取一个，分2步分析：先把5个球分成三组，再每组选择一种颜色，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查分步计数原理的应用，注意题目中“5个球数字不相同但三种颜色齐备”的要求．14. 从4双不同鞋中任取4只，结果都不成双的取法有____种.( )A. 24B. 16C. 44D. 384 【答案】B【解析】解：取出的四只鞋不成双，可分四步完成，依次从四双鞋子中取一只，取四次，故总的取法有2×2×2×2=16种， 故选B ．取出的四只鞋不成双，可分四步完成，依次从四双鞋子中取一只，取四次，利用乘法原理可得结论．本题考查排列、组合及简单计数问题，考查乘法原理的运用，比较基础．15.某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( )种．A. 510B. 105C. 50D. A105【答案】A【解析】解：根据题意，公共汽车沿途5个车站，则每个乘客有5种下车的方式，则10位乘客共有510种下车的可能方式；故选：A．根据题意，分析可得每个乘客有5种下车的方式，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，16.从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中奇数有( )A. 18个B. 27个C. 36个D. 60个【答案】A【解析】解：先从1，3中选一个为个位数字，再剩下的3个(不包含0)取1个为百位，再从剩下3个(包含0)取一个为十位，故有2×3×3=18个，故答案为：18．先从1，3中选一个为个位数字，再剩下的3个(不包含0)取1个为百位，再从剩下3个(包含0)取一个为十位，根据分步计数原理可得．本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）17.(1+2x)5的展开式中含x2项的系数是______ .(用数字作答)【答案】40【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n−r b r可设含x2项的项是T r+1=C5r15−r(2x)r=2r C5r x r，可知r=2，所以系数为22C52=40所以答案应填40本题是求系数问题，故可以利用通项公式T r+1=C n r a n−r b r来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数为40本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9.一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．18.(x−1x )(2x+1x)5的展开式中，常数项为______．【答案】−40【解析】解：(x−1x )(2x+1x)5展开式中常数项是(2x+1x )5展开式中的1x项与x的乘积，加上含x项与−1x的乘积；由(2x+1x)5展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)5−r⋅(1x)r=25−r⋅C5r⋅x5−2r，令5−2r=−1，解得r=3，∴T4=22⋅C53⋅1x =40x；令5−2r=1，解得r=2，∴T3=23⋅C52⋅x=80x；所求展开式的常数项为40 x ⋅x+80x⋅(−1x)=40−80=−40．故答案为：−40．根据(x−1x )(2x+1x)5展开式中常数项是(2x+1x)5展开式中的1x项与x的乘积，加上x项与−1x的乘积；利用(2x+1x)5展开式的通项公式求出对应的项即可．本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．19.小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有______ 种.【答案】36【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①、小刚与小红不相邻，将除小明、小刚、小红之外的2人全排列，有A22种安排方法，排好后有3个空位，将小明与小刚看成一个整体，考虑其顺序，有A22种情况，在3个空位中，任选2个，安排这个整体与小红，有A32种安排方法，有A22×A32×A22=24种安排方法；②、小刚与小红相邻，则三人中小刚在中间，小明、小红在两边，有A22种安排方法，将三人看成一个整体，将整个整体与其余2人进行全排列，有A33种安排方法，此时有A33×A22=12种排法，则共有24+12=36种安排方法；故答案为：36．根据题意，分2种情况讨论：①、小刚与小红不相邻，②、小刚与小红相邻，由排列、组合公式分别求出每一种情况的排法数目，由分类加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，注意特殊元素优先考虑，不同的问题利用不同的方法解决如相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空等方法．20.(1−3x)7的展开式中x2的系数为______ ．【答案】7【解析】解：由于(1−3x)7的展开式的通项公式为T r+1=C7r⋅(−1)r⋅x r3，令r3=2，求得r=6，可得展开式中x2的系数为C76=7，故答案为：7．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题21.已知C203x=C20x+4，则x=______ ．【答案】2或4【解析】解：∵C203x=C20x+4，则3x=x+4，或3x+x+4=20，解得x=2或4．故答案为：2或4．由C203x=C20x+4，可得3x=x+4，或3x+x+4=20，解出即可得出．本题考查了组合数的计算公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有______ 种.【答案】70【解析】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C42C51=30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C41C52=40种；共有30+40=70种．故答案为：70任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，是基础题．23.一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是______ ．【答案】49【解析】解：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，P(ξ=0)=C31C31+C31C31+C31C31C61C61=34，P(ξ=1)=C21C21C61C61=19，P(ξ=2)=C21C11+C11C21C61C61=19，P(ξ=4)=C11C11C61C61=136，∴Eξ=19+29+436=49．故答案为：49．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个骰子掷两次得到结果有三种情况，使得它们两两相乘，得到变量可能的取值，结合事件做出概率和期望．数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示．24.把5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分发种数为______.(用数字作答)【答案】240【解析】解：由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素共有C52，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A44，∴分法种数为C52⋅A44=240．故答案为：240．由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘得到结果．排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．25.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是______(用数字作答)【答案】96【解析】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120−4−20=96种；故答案为：96．根据题意，用间接法分析：首先计算在10名学生中任取3人的选法数目，再分析其中只有男生和只有女生的选法数目，分析即可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意利用间接法分析，可以避免分类讨论．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）26.已知(2x√x)n展开式前两项的二项式系数的和为10．(1)求n的值．(2)求出这个展开式中的常数项．【答案】解：(1)∵(2x√x)n展开式前两项的二项式系数的和为10∴C n0+C n1=10，解得n=9；(2)∵(2x√x )n展开式的通项T r+1=C n r(2x)n−r(√x)r=2n−r C n r x n−3r2----8分∴令n−3r2=0且n=9得r=6，∴(2x+√x)n展开式中的常数项为第7项，即T7=29−6⋅C96=672．【解析】(1)根据二项式展开式得到前两项的系数，根据系数和解的n的值，(2)利用展开式的通项，求常数项，只要使x的次数为0即可．本题主要考查了二项式定理，利用好通项，属于基础题．27.已知n为正整数，在二项式(12+2x)n的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79．(1)求n的值；(2)判断展开式中第几项的系数最大？【答案】解：(1)根据题意，C n0+C n1+C n2=79，即1+n+n(n−1)2=79，整理得n2+n−156=0，解得n=12或n=−13(不合题意，舍去)所以n=12；…(5分)(2)设二项式(12+2x)12=(12)12⋅(1+4x)12的展开式中第k+1项的系数最大，则有{C12k⋅4k≥C12k−1⋅4k−1 C12k⋅4k≥C12k+1⋅4k+1，解得9.4≤k≤10.4，所以k=10，所以展开式中第11项的系数最大.…(10分)【解析】(1)根据题意列出方程C n0+C n1+C n2=79，解方程即可；(2)设该二项式的展开式中第k+1项的系数最大，由此列出不等式组，解不等式组即可求出k的值．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了转化思想与不等式组的解法问题，是综合性题目．28.已知二项式(1+√2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n(x∈R，n∈N)(1)若展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的3倍，求n的值；(2)若n为正偶数时，求证：a0+a2+a4+a6+⋯+a n为奇数．(3)证明：C n1+2C n2⋅2+3C n3⋅22+⋯+nC n n⋅2n−1=n⋅3n−1(n∈N+)【答案】解：(1)由题意可得C n 4=3⋅C n 2(√2)2，∴n =11．(2)证明：当n 为正偶数时，则a 0+a 2+a 4+a 6+⋯+a n =1+2C n 2+22⋅C n 4+⋯+2n2⋅C n n ， 除第一项为奇数外，其余的各项都是偶数，故1+2C n 2+22⋅C n 4+⋯+2n2⋅C nn 为奇数， 即a 0+a 2+a 4+a 6+⋯+a n 为奇数．(3)∵kC n k =n ⋅C n−1k−1， ∴C n 1+2C n 2⋅2+3C n 3⋅22+⋯+nC n n ⋅2n−1=n(C n−10+C n−11×2+C n−12×22+⋯+C n−1n−1×2n−1) =n ⋅(1+2)n−1=n ⋅3n−1．【解析】(1)直接利用条件可得C n 4=3⋅C n 2(√2)2，由此求得n 的值．(2)当n 为正偶数时，则a 0+a 2+a 4+a 6+⋯+a n =1+2C n 2+22⋅C n 4+⋯+2n2⋅C nn ，除第一项为奇数外，其余的各项都是偶数，从而证得结论．(3)由kC n k =n ⋅C n−1k−1，可得C n 1+2C n 2⋅2+3C n 3⋅22+⋯+nC n n ⋅2n−1=n(C n−10+C n−11×2+C n−12×22+⋯+C n−1n−1×2n−1)，再利用二项式定理证得所给的等式成立．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．29. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(Ⅰ)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(Ⅱ)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (Ⅲ)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【答案】解：(Ⅰ)根据题意，从5名男生中选出2人，有C 52=10种选法，从4名女生中选出2人，有C 42=6种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有10×6=60种；(Ⅱ)先在9人中任选4人，有C 94=126种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有C 74=35种， 则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有126−35=91种；(Ⅲ)先在9人中任选4人，有C 94=126种选法，其中只有男生的选法有C 51=5种，只有女生的选法有C 41=1种， 则4人中必须既有男生又有女生的选法有126−5−1=120种．【解析】(Ⅰ)根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；(Ⅱ)用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；(Ⅲ)用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，(Ⅱ)(Ⅲ)中可以选用间接法分析．30. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台； (2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．【答案】解：(1)先排歌曲节目有A 22种排法，再排其他节目有A 66种排法，所以共有A 22A 66=1440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有A 66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排歌曲节目，有A 72种插入方法，所以共有A 66A 72=30240种排法．(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有A 44A 53A 22=2880种． 【解析】(1)先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论； (2)先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论．本题考查排列组合知识，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．。
排列组合和二项式定理测试卷及答案(4套)(已上传)
排列组合与二项式定理（1）【基本知识】1.甲班有四个小组，每组10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选1人担任校团委部，不同的选法种数为 852．6人站成一排，甲、乙 、丙三人必须站在一起的排列种数为 1444．用二项式定理计算59.98，精确到1的近似值为（ 99004 ）5．若2)nx 的项是第8项，则展开式中含1x的项是第 9项6．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 34种7．已知8()a x x-展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 1或288．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 38A 种9．设34550500150(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x ++++++++=+++L L ，则3a 的值是 451C10．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有____24______．11．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为____179______．（用数字作答）若1531-++++n n n n n C C C C ΛΛ=32，则n = 612．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第____10_____个数。
13、体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有___10___种。
三、解答题15、已知n 展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求x 的 系数．【解】由二项式系数的性质：二项展开式中偶数项的二项式系数之和为2n －1，得n =9，由通项92923199C (C (2)r rrrrr r r T x---+==-g g g ，令92123r r --=，得r =3，所以x 的二项式为39C =84， 而x 的系数为339C (2)84(8)672-=⨯-=-g．16、有5名男生，4名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？ （3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？ （4）若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？【解】（1）39504A = （2）287280 （3）17280 （4）211217．从7个不同的红球，3 个不同的白球中取出4个球，问：（1）有多少种不同的取法？（2）其中恰有一个白球的取法有多少种？ （3）其中至少有现两个白球的取法有多少种？ 【解】（1）210 （2）105 （3）7018、 已知n展开式中偶数项二项式系数和比()2na b +展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）n展开式中第三项的系数;（2）()2na b +展开式的中间项。
2015年高考数学专题11：排列组合与二项式定理(理)
试卷第1页，总2页2015年高考数学专题11：排列组合与二项式定理（理）1．【2015高考陕西，理415（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．【2015高考新课标1，理10）（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）603．【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个4．【2015高考湖北，理34项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A5．【2015高考湖南，理6】30，（ ）A．6 D-66．【2015高考广东，理12毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）7．【2015高考重庆，理12________（用数字作答）．8．【2015高考广东，理9的系数为．9．【2015高考四川，理11的项的系数是 （用数字作答）． 10．【2015高考天津，理12的系数为 ． 11．【2015高考安徽，理11的系数是 ．（用数字填写答案）12．【2015高考福建，理11的系数等于 ．（用数字作答）13．【2015高考北京，理9的系数为．（用数字作答）14．【2015高考新课标2，理15x的奇数次幂项的系数之和为32．15．【2015高考上海，理11】项的系数为（结果用数值表示）．16．【2015高考上海，理8献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．。
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题7_第1讲_排列、组合与二项式定理(含答案)
第1讲 排列、组合与二项式定理考情解读 1．高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2．排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等．1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2．排列与组合（1）排列：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数公式是A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或写成A m n ＝n ！(n －m )！.（2）组合：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数公式是 C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或写成C mn ＝n ！m ！(n －m )！.（3）组合数的性质①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 3．二项式定理（1）二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n b 0＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n an －r b r ＋…＋C n n a 0b n(r ＝0,1,2，…，n )． （2）二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r ，r ＝0,1,2，…，n ，其中C r n 叫做二项式系数．（3）二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C k n ＝C n －kn ，….②最大值：当n 为偶数时，中间的一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项的二项式系数12n nC-，12n nC+相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和a ．C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n；b ．C 0n ＋C 2n ＋…＋C 2r n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＋C 2r ＋1n＋…＝12·2n ＝2n －1.热点一 两个计数原理例1 （1）将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为()A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种（2）如果一个三位正整数“a 1a 2a 3”满足a 1<a 2且a 3<a 2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为( )A ．240B ．204C ．729D ．920思维启迪 (1)先确定数字1,2,9的位置，再分步填写空格；(2)按中间数进行分类．思维升华 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．（1）(2014·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种（2）已知函数f (x )＝ln(x 2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为( ) A ．8 B ．9 C ．26 D ．27热点二 排列与组合例2 （1）(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A ．72 B ．120 C ．144 D ．168（2）数列{a n }共有12项，其中a 1＝0，a 5＝2，a 12＝5，且|a k ＋1－a k |＝1，k ＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不同数列的个数为( )A ．84B ．168C ．76D ．152思维启迪 (1)将不能相邻的节目插空安排；(2)考虑数列中项的增减变化次数． 思维升华 解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．（1）在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( ) A ．24种 B ．48种 C ．96种 D ．144种（2）从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是________(用数字作答)．热点三 二项式定理例3 （1）(3x －2x )8二项展开式中的常数项为( )A ．56B ．－56C ．112D ．－112（2）如果(1＋x ＋x 2)(x －a )5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x 4项的系数为________． 思维启迪 (1)利用通项公式求常数项；(2)可用赋值法求二项展开式所有项的系数和． 思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a －b )n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．（1）(2014·湖北)若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a 等于( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24（2）(2014·浙江)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．2101．排列、组合应用题的解题策略（1）在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．（2）区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．（3）排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法． 2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值．这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解．另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：（1）C r n an －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项． （2）运用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r 解题，一般都需先转化为方程(组)求出n 、r ，然后代入通项公式求解． （3）求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求出所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n和r 的取值范围及它们之间的大小关系.真题感悟1．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．2．(2014·山东)若(ax 2＋b x )6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．押题精练1．给一个正方体的六个面涂上4种不同的颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻2个面涂不同的颜色，则所有涂色方法的种数为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．482．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A ．8种 B ．16种 C ．18种 D ．24种 3．(x ＋13x)2n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则其常数项为( )A ．120B ．252C ．210D ．454．若(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 014x 2 014，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01422 014的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对 2．在(x －2x)5的二项展开式中，x 2的系数为( ) A ．40 B ．－40 C ．80 D ．－803．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．284．若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 3＋a 5的值为( ) A ．122 B ．123 C ．243 D ．2445．(2014·四川)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．106．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )A ．A 44A 55B ．A 33A 44A 35C ．C 13A 44A 55D ．A 22A 44A 557．二项式(x －13x)n 的展开式中第4项为常数项，则常数项为( )8．有A 、B 、C 、D 、E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A 、B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )A ．6B ．18C ．20D ．249．在二项式(x 2－1x )n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．110．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为( ) A ．60 B ．80 C ．120 D ．260二、填空题11．“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为2013年社会关注的五个焦点．小王想利用2014“五一”假期的时间调查一下社会对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为________．12．(x －1)(4x 2＋1x2－4)3的展开式中的常数项为________．13．(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．14．(2014·课标全国Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)15．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为________．16．已知(x ＋a x)6(a >0)的展开式中常数项为240，则(x ＋a )(x －2a )2的展开式中x 2项的系数为________．例1 (1)A (2)A 变式训练1 (1)C (2)B 例2 (1)B (2)A 变式训练2 (1)C (2)60 例3 (1)C (2)－5 变式训练3 (1)C (2)C1．60 2．2 1．A 2．A 3．C 4．C1 215．36 16．－6CABBC DBBCD 11．72 12．160 13．36 14．。
2007-2015山东高考数学排列、组合、二项式定理及概率汇编试题及答案
2007-2015山东高考数学排列、组合、二项式定理及概率汇编试题1.07N 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为（ ）（A ）51()2（B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235551()2C C2.08N 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手。
若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( ) （A ）511（B ）681（C ）3061（D ）40813.08N （X -31x）12展开式中的常数项为（ ）（A ）-1320 （B ）1320 （C ）-220 (D)2204.09N 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为( ). （A ）31 （B ）π2（C ）21 （D ）325.10N 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目 乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（ ）（A ）36种 （B ）42种 （C ）48种 （D ）54种6.10N 已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP ( )（A ）0.477（B ）0.628（C ）0.954（D ）0.9777.11N 若62()a x x-展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .8.12N 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） （A ）232 (B)252 (C)472 (D)4849.13N 在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得121++-≥x x 成立的概率为______.10.13N 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911.14N 若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 。
2015高考数学排列组合与二项式定理训练题
2015高考数学排列组合与二项式定理训练题1、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.2、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种 【解析】B ：本题考查了排列组合的知识∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有246C =，余下放入最后一个信封，∴共有24318C =3、 (82展开式中不含．．4x 项的系数的和为（ ）A.-1B.0C.1D.2 【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。
采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4x 项系数80882(1)1C -=即为所求，答案为0.4、某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法即2212116454432C C C C C C -⨯+=42法二：分两类甲、乙同组，则只能排在15日，有24C =6种排法甲、乙不同组，有112432(1)C C A +=36种排法，故共有42种方法5、4(1)x +的展开式中2x 的系数为（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）20解析：由通项公式得2234T C 6x x ==6、某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法7、（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C答案：A8、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C9、 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种 【答案】D【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。
排列组合二项式定理综合测试（含详细解答）
排列、组合和二项式定理单元综合测试一、选择题(每小题5分，共60分)1．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）A ．18B ．24C ．30D ．362．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 （ ）A ．300B ．216C ．180D ．1623．五个人排成一排，甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为 ( )A ．60B ．48C ．36D ．244．某小组共有8名同学，其中男生6人，女生2人，现从中按性别分层随机抽取4人参加一项公益活动，则不同的抽取方法有 ( )A ．40种B ．70种C ．80种D ．240种5．若能被整除，则的值可能为（122n nn n n C x C x C x +++ 7,x n ）A ．B ．4,3x n ==4,4x n ==C ． D ．5,4x n ==6,5x n ==6．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有( )A ．AB ．A ·A 412212212C ．C ·CD ．C 2122124127．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 ( )A ．288个B ．240个C ．144个D ．126个8．有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是( )A ．384B ．396C ．432D ．4809．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块广告牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 ( )A ．55种B ．56种C ．46种D ．45种10．有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻(一前一后也视为不相邻)，那么不同坐法的种数是 ( )A ．18B ．26C ．29D ．5811．若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)均不产生进位现象，则称n 为“可连数”．例如：32是“可连数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23＋24＋25产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为 ( )A ．27B ．36C ．39D ．4812．为支持地震灾区的灾后重建工作，四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到A 、B 、C 、D 、E 五个受灾地点．由于A 地距离该公司较近，安排在第一天或最后一天送达；B 、C 两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达(B 在上午、C 在下午与B 在下午、C 在上午为不同运送顺序)，且运往这两地的物资算作一批；D 、E 两地可随意安排在其余两天送达．则安排这四天送达五个受灾地点的不同运送顺序的种数为 ( )A ．72B ．18C ．36D ．24二、填空题(每小题4分，共16分)13．沿海某市区对口支援贫困山区教育，需从本区3所重点中学抽调5名教师分别到山区5所学校任教，每校1人；每所重点中学至少抽调1人，则共有__________种不同的支教方案．14．一个五位数由数字0,1,1,2,3构成，这样的五位数的个数为__________．15．(4x 2－4x ＋1)5的展开式中，x 2的系数为__________．(用数字作答)16．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为__．三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)(1)求值：C ＋C ；5－n n 9－n n ＋1(2)解不等式：－<.18．(12分)有5张卡片的正反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7、8与9，将其中任三张并排组成三位数，可组成多少个数字不重复的三位数？19．(12分)若(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99.20．(12分)已知(－)n 的展开式的各项系数之和等于(4－)5的展开式中的3a 3b 常数项，求：(1)(－)n 展开式的二项式系数和；3a (2)(－)n 的展开式中a －1项的二项式系数．3a 21．(12分)(1)求证：kC ＝nC ；k nk －1n (2)等比数列{a n }中，a n >0，化简：A ＝lg a 1－C lg a 2＋C lg a 3－…＋(－1)n C lg a n ＋1.1n 2n n详细解答：1．答案解析：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序C 24C 有 种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是．33A 33A 23343330C A A -=2．答案 解析：分类讨论思想：第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，C 组成没有重复数字的四位数的个数为；第二类：取0，此时2和4只能取243472C A =一个，0还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为．共有180个数．21433243[]108C C A A -=3．解析：五个人排成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙也不相邻的排法可分为两类：一类是甲、乙、丙互不相邻，此类方法有A ·A ＝12种(先把除甲、乙、丙外的两个人排好，有A 种232方法，再把甲、乙、丙插入其中，有A 种方法，因此此类方法有A ·A ＝12种)；另一类是乙、323丙相邻但不与甲相邻，此类方法有A ·A ·A ＝24种方法(先把除甲、乙、丙外的两人排好，2322有A 种方法，再从这两人所形成的三个空位中任选2个，作为甲和乙、丙的位置，此类方法2有A ·A ·A ＝24种)．综上所述，满足题意的方法种数共有12＋24＝36，选C.2322答案：C4．解析：依题意得，所选出的4人必是3名男生、1名女生，因此满足题意的抽取方法共有C C ＝40种，选A.3612答案：A 5．答案解析：,当时,C 122(1)1nnnn n n C x C x C x x +++=+- 5,4x n ==能被7整除．4(1)1613537n x +-=-=⨯6答案：D解析：圆周上任意四个点连线的交点都在圆内，此四点的选法有C ，则由这四点确定412的圆内的交点个数为1，所以这12个点所确定的弦在圆内交点的个数最多为C .故选D.4127．解析：个位是0的有C ·A ＝96个；1434个位是2的有C ·A ＝72个；1334个位是4的有C ·A ＝72个；1334所以共有96＋72＋72＝240个．答案：B 8答案：C解析：若取出的球的标号为1,2,3,4，则共有C C C C A ＝384种不同的排法；若取出121212124的球的标号为1,1,4,4，则共有A ＝24种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,3，则共有A 4＝24种不同的排法；由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是4384＋24＋24＝432，故应选C.9解析：C ＋C ＋C ＋C ＋C ＝55.0818273645答案：A10．解析：若把两人都安排在前排，则有A ＝6种方法，若把两人都安排在后排，则有23A ＝12种方法，若两人前排一个，后排一个，则有4×5×2＝40种方法，因此共有58种方法，24故正确答案是D.答案：D11解析：根据题意，要构造小于1000的“可连数”，个位上的数字的最大值只能为2，即个位数字只能在0,1,2中取．十位数字只能在0,1,2,3中取；百位数字只能在1,2,3中取．当“可连数”为一位数时：有C ＝3个；13当“可连数”为两位数时：个位上的数字有0,1,2三种取法，十位上的数字有1,2,3三种取法，即有C C ＝9个；1313当“可连数”为三位数时：有C C C ＝36个；131413故共有：3＋9＋36＝48个，故选D.答案：D12解析：可分三步完成：第一类是安排送达物资到受灾地点A ，有A 种方法；第二步是12在余下的3天中任选1天，安排送达物资到受灾地点B 、C ，有A A 种方法；第三步是在余132下的2天中安排送达物资到受灾地点D 、E ，有A 种方法．由分步计数原理得不同的运送顺2序共有A ·(A A )·A ＝24种，故选D.121322答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)13．解析：5名重点中学教师到山区5所学校有A 种，而3所重点中学的抽调方法种5数可由列举法一一列出为6种．故共有6A ＝720种不同的支教方案．5答案：72014．解析：分两类：(1)万位取1，其余不同的四个数放在不同的四个位置上时有A 个：4(2)万位取2或3，在余下的四个不同的位置中选两个位置放数字0与3或2时有2A 个，故24总共有A ＋2A ＝48.424答案：4815．答案：18016．解析：令x ＝1，(1＋m )6＝a 0＋a 1＋…＋a 6 ①，令x ＝0,1＝a 0 ②，①－②，得：a 1＋…＋a 6＝(1＋m )6－1∴(1＋m )6－1＝63 ∴(1＋m )6＝64∴1＋m ＝±2 ∴m ＝1或m ＝－3.答案：1或－3三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．解：利用组合数定义与公式求解．(1)由组合数定义知：解得4≤n ≤5.∵n ∈N *，∴n ＝4或5.当n ＝4时，原式＝C ＋C ＝5；145当n ＝5时，原式＝C ＋C ＝16.0546(2)由组合数公式，原不等式可化为－<，3！(n －3)！n ！4！(n －4)！n ！2×5！(n －5)！n ！不等式两边约去，得(n －3)(n －4)－4(n －4)<2×5×4，即n 2－11n －12<0，解3！(n －5)！n ！得－1<n <12.又∵n ∈N *，且n ≥5，∴n ＝5,6,7,8,9,10,11.18．解：解法1：(直接法)由于三位数的百位数字不能为0，所以分两种情况：当百位数字为1时，不同的三位数有A ·A ＝48个；当百位数为2、3、4、5、6、7、8、9中的任意一个时，1816不同的三位数有A A A ＝8×8×6＝384个．综上，共可组成不重复的三位数48＋384＝432181816个．解法2：(间接法)任取3张卡片共有C ·C ·C ·C ·A 种排法，其中0在百位不能构成三351212123位数，这样的排法有C ·C ·C ·A 种，故符合条件的三位数共有C ·C ·C ·C ·A －C ·C ·C 24121223512121232412·A ＝432个．12219．解：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，于是已知恒等式可变为(2t ＋3)100＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 100t100，又令f (t )＝(2t ＋3)100，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝[f (1)－f (－1)]12＝[(2＋3)100－(－2＋3)100]＝(5100－1)．121220．解：依题意，令a ＝1，得(－)n 展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n ，(4－3a 3b )5展开式中的通项为T r ＋1＝C (4)5－r (－)r ＝(－1)r C 45－r 5－b .r 53b r 5r 210－5r6若T r ＋1为常数项，则＝0，即r ＝2，10－5r6故常数项为T 3＝(－1)2C ·43·5－1＝27，25于是有2n ＝27，得n ＝7.(1)(－)n 展开式的二项式系数和为3a 2n ＝27＝128.(2)(－)7的通项为3a T ′r ＋1＝C ()7－r ·(－)r ＝C (－1)r ·37－r ·a ，r 73a r 75r －216令＝－1，得r ＝3，5r －216∴所求a －1项的二项式系数为C ＝35.3721．解：(1)∵左式＝k ·＝n ！k ！(n －k )！n ·(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n ·＝nC ＝右式，(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！k －1n∴kC ＝nC .k nk －1n (2)由已知：a n ＝a 1q n －1，∴A ＝lg a 1－C (lg a 1＋lg q )＋C (lg a 1＋2lg q )－C (lg a 1＋3lg q )＋…＋(－1)n C (lg a 1＋n lg q )1n 2n 3n n ＝lg a 1[1－C ＋C －…＋(－1)n C ]－lg q [C －2C ＋3C －…＋(－1)n －1C ·n ]1n 2n n 1n 2n 3n n ＝lg a 1·(1－1)n －lg q [nC －nC ＋nC －…＋(－1)n －1·nC ]0n －11n －12n －1n －1＝0－n lg q [C －C ＋C －…＋(－1)n －1·C ]0n －11n －12n －1n －1＝－n lg q (1－1)n －1＝0.22．解：（1）如图1，先对a 1部分种植，有3种不同的种法，再对a 2、a 3种植，因为a 2、a 3与a 1不同颜色，a 2、a 3也不同．所以S （3）=3×2=6（种）……………3分如图2，S （4）=3×2×2×2－S （3）=18（种） ……………………………6分 （2）如图3，圆环分为n 等份，对a 1有3种不同的种法，对a 2、a 3、…、a n 都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a 1与a i （i=2、3、……、n －1）不同颜色，但不能保证a 1与a n 不同颜色． ………………………………8分于是一类是a n 与a 1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种．另一类是a n 与a 1同色的种法，这时可以把a n 与a 1看成一部分，这样)3)((≥n n S 的种法相当于对n －1部分符合要求的种法，记为．)1(-n S 共有3×2n －1种种法． ………………………………10分这样就有．即，123)1()(-⨯=-+n n S n S ]2)1([2)(1----=-n nn S n S 则数列是首项为公比为－1的等比数列．)3}(2)({≥-n n S n32)3(-S 则).3()1](2)3([2)(33≥--=--n S n S n n由⑴知：，∴．6)3(=S 3()2(68)(1)nn S n --=--∴．………………………………13分3()22(1)nn S n -=-⋅-答：符合要求的不同种法有…………………14分).3()1(223≥-⋅--n n n种。
高考数学专题54 排列组合以及二项式定理(解析版)
专题54 排列组合以及二项式定理一、题型选讲题型一 、排列组合问题例1、某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？以下结论正确的有〔 〕 A ．18 B ．11113213C C C CC ．122342C C AD ．2343C A【答案】CD【解析】根据捆绑法得到共有234336C A ⋅=，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有122342C C A 36=.11113213C C C C 1836=≠.应选：CD .例2、A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，以下说法正确的选项是〔 〕 A ．如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法有24种 B ．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有42种 C ．甲乙不相邻的排法种数为72种D ．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ACD【解析】A.如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，可将AB 捆绑看成一个元素，那么不同的排法有4424A =种，故A 正确.B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有1311333323+=54A A A A A 种，故B 不正确. C.甲乙不相邻的排法种数为3234=72A A 种，故C 正确.D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有5533=20A A 种,故D 正确.应选：ACD.例3、在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，那么( ) A ．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有12298A C 种 B ．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有1229821298+C C C C 种C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种【答案】ACD【解析】由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品, 那么包括一件不合格品和两件合格品,共有12298A C 种结果，那么选项A 正确，B 不正确；根据题意,"至少有1件不合格品"可分为"有1件不合格品"与"有2件不合格品"两种情况,"有1件不合格品"的抽取方法有28129C C 种, "有2不合格次品"的抽取方法有21298C C 种, 那么共有2212988129C C C C +种不同的抽取方法,选项C 正确； "至少有1件不合格品"的对立事件是"三件都是合格品"，"三件都是合格品"的抽取方法有398C 种,抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -，选项D 正确； 应选：ACD .题型二、二项式定理问题例4、对于二项式521nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()*n N ∈，以下判断正确的有〔 〕A ．对任意*n N ∈，展开式中有常数项B ．存在*n N ∈，展开式中有常数项C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项 【答案】BD【解析】521n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：()572121n rrr rr n r n n T C xC x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，取720r n -=，得到27nr =，故当n 是7的倍数时，有常数项，故A 错误B 正确； 取721r n -=，取1r =，3n =时成立，故C 错误D 正确； 应选：BD .例5、对于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，以下说法正确的选项是〔 〕A ．展开式共有6项B ．展开式中的常数项是-240C ．展开式中各项系数之和为1D ．展开式中的二项式系数之和为64【答案】CD【解析】6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式共有7项，故A 错误； 6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为666316621(2)(1)2rr r r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令630,2r r，展开式中的常数项为2426(1)2240C -=，故B 错误；令1x =，那么展开式中各项系数之和为()62111⨯-=，故C 正确；6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的二项式系数之和为6264=，故D 正确. 应选：CD .例6、6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，那么以下结论正确的有〔 〕A ．1a =B ．展开式中常数项为160C ．展开式系数的绝对值的和1458D ．假设r 为偶数，那么展开式中r x 和1r x -的系数相等 【答案】ACD【解析】对于A ， 6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +，12a ∴+= 1a，故A 正确；对于B ，661111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6611122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621(1)2r r r rr T C x --+=-， 当612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式是中常数项为：令620r -=,得3r = 可得展开式中常数项为：33346(1)2160T C =-=-，当6112x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式是中常数项为： 662665261(1)2(1)2r r r r r r r rC xC x x ----=⋅-- 令520r -=,得52r =(舍去) 故6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为160-.故B 错误； 661111212a x xx x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C ，求其展开式系数的绝对值的和与61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数的绝对值的和相等61112xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令1x =，可得：66111112231458⎛⎫⎛⎫++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝==⎭ ∴61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数的绝对值的和为：1458.故C 正确；对于D ，66611111222a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621(1)2r r r r r T C x --+=-， 当r 为偶数，保证展开式中r x 和1r x -的系数相等 ①2x 和1x 的系数相等，61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中2x 系数为：622226(1)2C x -- 展开式系数中1x 系数为：622226(1)2C x --此时2x 和1x 的系数相等， ②4x 和3x 的系数相等，61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中4x 系数为：15146(1)2C x - 展开式系数中3x 系数为：15146(1)2C x -此时4x 和3x 的系数相等， ③6x 和5x 的系数相等，61112x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式系数中6x 系数为：66600(1)2C x - 展开式系数中5x 系数为：66600(1)2C x -此时6x 和5x 的系数相等， 故D 正确；综上所在，正确的选项是：ACD 应选：ACD.例7、对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有〔 〕 A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项； B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项； C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项； D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项. 【答案】AD【解析】设二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为1r T +， 那么3411=()()r n r r r r nr n n T C x C x x--+=，不妨令4n =，那么1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误； 令3n =，那么1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确。
排列组合、二项式定理典型题(含答案)
排列、组合、二项式定理典型题一、选择题（共24题）1．（北京卷）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个（D ）6个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有33A 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333C A ，故共有33A ＋1333C A ＝24种方法，故选B2．（福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有3374A A -=186种，选B.3．（湖北卷）在24(x -的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项解：72424312424rr rr rr T C x C x －－r ＋＝（＝(-1)，当r ＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x 的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C4．（湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有123436C A ⋅=种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有3424A =种方案，共计有60种方案，选D.5．（湖南卷）若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 A ．-2 B . 22 C. 34 D . 2解析：5)1-ax （的展开式中3x 的系数332335()(1)10C ax a x ⋅-=80x 3， 则实数a 的值是2，选D 6．（湖南卷）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A ．6B . 12 C. 18 D . 24解析：先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，选B.7．（江苏卷）10)31(x x -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6 【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.【正确解答】1031⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x的展开式通项为31010102121011()()33r r r r r r C C x x ---=，因此含x 的正整数次幂的项共有2项.选B【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别. 8．（江西卷）在（x）2006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x时，S 等于（ ）A.23008B.-23008C.23009D.-23009 解：设（x）2006＝a 0x 2006＋a 1x 2005＋…＋a 2005x ＋a 2006则当x时，有a 0）2006＋a 1）2005＋…＋a 2005）＋a 2006＝0 （1） 当x时，有a 0）2006－a 1）2005＋…－a 2005）＋a 2006＝23009 （2） （1）－（2）有a 1）2005＋…＋a 200523009÷2＝－23008，故选B9．（江西卷）在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3Ｂ．6Ｃ．9Ｄ．12解：n 3rrn rr r r 2r 1nn r rn 2T C 2C x x n 3r 02C 60⨯⎧⎨⎩－－＋＝（）＝－＝＝，由r r n n 3r 02C 60⎧⎨⎩－＝＝解得n ＝6故选B10．（辽宁卷）1234566666C C C C C ++++的值为（ ）Ａ．61 Ｂ．62Ｃ．63 Ｄ．64解：原式＝62262-=，选B11．（全国卷I ）设集合{}1,2,3,4,5I =。
排列组合二项式定理练习1(含答案)
一、选择题1.由太原去北京如果一天之内火车有4个班次，汽车有17个班次，飞机有6个班次，那么，每天由太原去北京有（ ）种不同的方法.A 4B 17C 27D 4082. 某班有男生26人，女生20人，若要选男、女生各1人作为学生代表参加学校伙食管理委员会，共有（ ）种选法.A 520B 26C 20D 46 3. 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手（ ）次. A 30 B 20 C 15 D 64. 从5名学生中，选出2名学生, 担任两项不同的工作，有（ ）种不同的选法 A 40 B 20 C 7 D 25. 如果7名学生排成一列照集体照，有两名学生必须要相邻，那么共有（ ）种不同的排法. A 360 B 720 C 1440 D 28806. (1－x )9的二项式展开式中第4项的系数是( ) A －84B －126C 84D 1267. 二项式(x －3y )5的展开式中，第4项的二项式系数为( ) A ．－3240 B ．3240 C ．－10 D ．10 8. 二项式(3x －2y )6的展开式中，各项的系数之和为( ) A ．－1B ．1C ．－64D ．649. 满足等式65181717C C C m =+的m 的值为( )A ．6B ．12C ．5D ．6或1210. 平面内有12个点，其中任意3点都不在同一条直线上，以任意3点为顶点画三角形，则可画出的三角形 ( ) 个A ．36B ．219C ．220D ．1320 二、判断题：1.计算05C的值为0.（）2.用数字1,2,3可以组成27个三位数. （）3. 6个朋友每两人互通一次电话，一共需要通15次电话.（）4.从5名学生中，选出2名学生去参加一个调查会，有20种不同的选法. ( ) .5. 5个人争夺3项比赛冠军，每项比赛无并列冠军，冠军得主共有35种情况.（）6.抛掷一枚硬币，会出现正面向上或反面向上两种结果，现将一枚硬币抛3次可能出现的结果共有6种.（）7. 5支球队进行单循环足球比赛的分组情况，属于组合.（）8. 平面上有7个不同的点，其中任何3点不在同一直线上．如果任取3点作为三角形顶点，那么一共可作37C个三角形. （）9.二项式(x－3y)5的展开式中，第4项的二项式系数为-10.（）10.将3个球放入2个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，共有12种放法. （）三、填空题1.有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有______种不同的报名方法.2.某商场有4个门，一人从一门进，从另一门出，则不同的进出走法有______种.3.2Pn＝30，则n=_____.4.5名男生和3名女生站成一排，女生不相邻且不站在排头的站法有_______种.5.二项式52xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中第5项的系数为_______.三、解答1. 10件产品中有2件次品，从中任意抽取2件产品进行检查．问（1）一共有多少种不同的抽取方法？（2）抽取的2件产品中，恰有一件是次品的不同抽取方法有多少种？（3）抽取的2件产品中，至少有一件是次品的不同抽取方法有多少种？2. 求10+的二项展开式的常数项． 一、选择题1. C 【解析】由太原去北京共有三类方案．第一类是乘火车，有4种方法；第二类是乘汽车，有17种方法；第三类是乘飞机，有6种方法．并且，每一种方法都能够完成这件事（从太原去北京）．所以每天从太原去北京的方法共有417627++=（种）．故选C2. A 【解析】这件事可以分成两个步骤完成： 第一步：从26名男生中选出1人，有126k =种选法； 第二步：从20名女生中选出1人，有220k =种选法． 由分步计数原理有2620520N =⨯=（种）． 即共有520种选法．故选A3. C 【解析】握手无先后，所以是组合问题, 一共握手2665C 1521⨯==⨯.次. 故选C 4. B 【解析】不同的选法共有25P 5420=⨯=（种）．故选B5. C 【解析】分成两步来排队．第一步，将这两个人的顺序排好；第二步，将这两个人作为一个总体，与剩下的5名学生一起排队．2626P P 216543211440⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（种）．故选C6. A 【解析】∵T 4＝T 3＋1＝39C (－x )3＝－84x 3， ∴系数为－84，故选A .7.D 【解析】第4项的二项式系数为35C ＝10，故选D .8. B 【解析】 二项式(3x －2y )6中令x ＝y ＝1，可得各项的系数之和为1，故选B .9. D 【解析 】 由组合数的性质公式，得656171718C C C +=，所以61818C C m =故，m ＝6或m ＝12. 故选D .10.C 【解析】因任意3点都不在同一条直线上，故从12个点中任取3点可组成一个三角形，所以可画出的三角形的个数为312C ＝220，故选C . 二、判断题：1.【解析】规定0C n =1.故本题×.2.【解析】个位、十位、百位，每一个数位都有3种选择，故共可以组成3×3×3=27个三位数. . 故本题√.3.【解析】每两人互通一次电话是有先后顺序的，所以是排列问题, 一共通26P 6530=⨯=次电话. 故本题×.4. 解析】从5名学生中，选出2名学生去参加一个调查会，选出2名学生后完成的任务是一样的.所以这是一个组合问题.共有2554C 1021⨯==⨯种不同的选法. 故本题×. 5.【解析】每一项比赛冠军得主都有5种可能，故冠军得主共有35种情况. 故本题√.6. 【解析】现将一枚硬币抛3次，每一次都有两种情况.故共有2×2×2=8种情况. 故本题×.7.【解析】本题√.8.【解析】任取三点画三角形，是无顺序的，属于组合问题.本题√. 9.【解析】第4项的二项式系数为35C ＝10. 故本题×.10.【解析】将3个球放入2个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，所以一定有一个盒子放2个球.故先将球分成两组，再把球放入盒子中，故共有2232C P 6=种不同的放法. 故本题×.三、填空题1.【解析】34＝81(种).2.【解析】 由分步计数原理可知，不同的走法有N ＝4×3＝12(种).3.【解析】∵2P n ＝30∴n (n －1)＝30，即n 2－n －30＝0， ∴(n －6)(n ＋5)＝0，由此可得n ＝6或n ＝－5(舍去)，∴n ＝6.4.【解析】用插空法，先排男生有55P 种排法，再从男生之间的4个空中排入3名女生有34P 种排法．∴共有5354P P ＝2880(种)排法．5.【解析】T 5＝T 4＋1＝444433552C =(2)C =80x x x x --⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴第5项的系数为80 三、解答1.【解析】（1）不同的抽取方法的总数为从10件产品中取出件的组合数210109C 4521⨯==⨯．（2）分成两步来完成．第一本从2件次品中抽出1件，第二步从8件正品中抽出的1件.由分步计数原理知，恰有1件次品的不同抽取方法的种数为1128C C 2816⋅=⨯=．（3）从任意抽取不同的2件产品的抽取方法总数中，减去2件全是正品的抽取方法种数，就是至少有一件是次品的不同抽取方法种数．即22108C C 452817-=-=． 2.【解析】 由于101022110101C ()C m mmmm m m T x x x---+==（），故1002m m--=2．解得m =5． 所以二项式展开式中第6项是常数项，为51010987625254321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯．。
2015年三年高考数学(理)真题精编——专题11排列组合、二项式定理
一、选择题3. 【2014天津，理6】如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??．则所有正确结论的序号是 （ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③（D ）①②④【答案】D ． 【解析】考点：1．弦切角定理；2．切线长定理；3．相交弦定理．4. 【2015高考天津，理5】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为( ) （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52【答案】A【解析】由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.【考点定位】相交弦定理.6. 【2014高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130 【答案】D【考点定位】本题考查分类计数原理，属于拔高题7. 【 2014湖南4】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（ ） A.20- B.5- C.5 D.20 【答案】A【解析】根据二项式定理可得第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时,()()2532351121022022n n n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以23x y 的系数为20-,故选A.【考点定位】二项式定理8. 【2013山东，理10】用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()．A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】：B【解析】：构成所有的三位数的个数为11191010C C C ＝900，而无重复数字的三位数的个数为111998C C C ＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B.11. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n=，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．13. 【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝()．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 【答案】：D17. 【2014四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：623456(1)(161520156)x x x x x x x x x +=++++++，所以含3x 项的系数为15.选C 【考点定位】二项式定理.18. 【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 【答案】B【考点定位】排列组合.19. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.24. 【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.25. 【2013课标全国Ⅰ，理9】设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】：B【解析】：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 26. 【2014年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 210 答案：C解析：由题意可得()()()()3211236646443,02,11,20,32060364120f f f f C C C C C C ++=+++=+++=，故选C考点：二项式系数.30. 【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168 【答案】B 【解析】试题分析：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有32132262224A A A =⨯⨯=(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有31113224622496A A A A =⨯⨯⨯=(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.考点：1、分类加法计数原理；2、排列.34. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D. 42 【答案】C 【解析】试题分析：因为r r r r r r r x a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ， 所以84227227=⋅⋅-a C ，解得1=a ，故选C.考点：二项式定理的通项公式，容易题.35. 【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D【考点定位】二项式系数，二项式系数和.二、填空题5. 【2013天津，理10】6x⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为__________．【答案】156. 【2013天津，理11】已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为π4,3⎛⎫⎪⎝⎭，则|CP |＝__________.【答案】【解析】由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,)，所以|CP|＝7. 【2013天津，理13】如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为__________．【答案】83【解析】∵AE 为圆的切线， ∴由切割线定理，得AE2＝EB·ED. 又AE ＝6，BD ＝5，可解得EB ＝4. ∵∠EAB 为弦切角，且AB ＝AC ， ∴∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC.∴EA ∥BC.又BD ∥AC ， ∴四边形EBCA 为平行四边形． ∴BC ＝AE ＝6，AC ＝EB ＝4. 由BD ∥AC ，得△ACF ∽△DBF ， ∴45CF AC BF BD ==. 又CF ＋BF ＝BC ＝6，∴CF ＝83.8. 【2014天津，理13】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点．若AOB D 是等边三角形，则a 的值为___________．【答案】3．考点：直线和圆的极坐标方程．9. 【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以 222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.11. 【2013高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________． 【答案】96 【解析】试题分析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．考点：排列组合.12. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C不相邻，则不同的摆法有 种. 【答案】36考点：排列组合，容易题.13. 【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.16. 【2014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .【答案】16.【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算，属于能力题.17. 【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrr r r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．18. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．【考点定位】排列问题．20. 【2014山东.理14】 若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .【答案】2【解析】26()bax x +展开式的通项为266123166()()r r r r r r r r b T C ax a b C x x---+==，令1233,r -=得3r =，所 以，由6333620a b C -=得1ab =，从而2222a b ab +≥=，当且仅当a b =时，22a b +的最小值为2.22. 【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)【答案】12【解析】因为10110r r r r T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得12a =. 24. 【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．25. 【2013四川，理11】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答）【答案】10【解析】由二项展开式的通项公式知，含23x y 的项是32345T C x y =，所以系数为3510C =，故填10.【考点定位】本题考查求二项展开式的指定项系数，属于基础题.26. 【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.27. 【2014课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 【答案】A28. 【2014课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】20-【解析】由题意，8()x y +展开式通项为8k k18C y k k T x -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278(y)2820x xy x y x y ⋅+-⋅=-，系数为20-．29. 【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）. 答案：60解析：不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有223436C A =，二是有三人各获得一张，共有3424A =，因此不同的获奖情况有60种考点：排列组合.30.【2013年.浙江卷.理11】设二项式5的展开式中常数项为A ，则A ＝__________.【答案】：－1031. 【2013年.浙江卷.理14】将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)． 【答案】：480 【解析】：如图六个位置.若C 放在第一个位置，则满足条件的排法共有55A 种情况；若C 放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A ，B ，再在余下的3个位置排D ，E ，F ，共24A ·33A 种排法；若C 放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A ，B ，其余位置排D ，E ，F ，则共有22A ·33A 种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A ，B ，再在其余3个位置排D ，E ，F ，共有23A ·33A 种排法；若C在第4个位置，则有22A 33A ＋23A 33A 种排法；若C 在第5个位置，则有24A 33A 种排法；若C 在第6个位置，则有55A 种排法．综上，共有2(55A ＋24A 33A ＋23A 33A ＋22A 33A )＝480(种)排法．34. 【2013高考重庆理第13题】从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)． 【答案】59035. 【2015高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理36. 【2014，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．【答案】3考点：1．二项展开式的应用．37. 【2013，安徽理11】若8x ⎛⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______．【答案】21． 【解析】二项式8x ⎛ ⎝展开式的第1r +项：88333188841843,732rrr rrr r r T C xC a x r r C a a-=-+==?=?=?．【命题立意】考查二项式定理．【易错警示】注意二项展开式的第1r +项的二项式系数为rn C ，上标是r ，不是r +1．39. 【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.42. 【2013上海,理5】设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______.【答案】－2【解析】T r ＋1＝255C ()()rr r ax x-,2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故15C a ＝－10⇒a ＝－2.45. 【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答）【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．。
高考(2013-2015)数学(理)试题分项：专题11 排列组合、二项式定理
高考（2013-2015）数学（理）试题分项：专题11 排列组合、二项式定理一、选择题1.【2014天津，理6】如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF ．则所有正确结论的序号是 （ ）EFDABC（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④2. 【2015高考天津，理5】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为( ) （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）523. 【2014高考广东卷.理.8】设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .1304. 【 2014湖南4】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（ ）A.20-B.5-C.5D.205. 【2013山东，理10】用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()．A ．243B ．252C ．261D ．2796. 【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77.【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝()．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－18. 【2014四川，理2】在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A ．30B ．20C ．15D ．109. 【2014四川，理6】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，学科网最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种10. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）6012. 【2013课标全国Ⅰ，理9】设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．813. 【2014年.浙江卷.理5】在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 21014.【2014高考重庆理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.16815. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D.4216. 【2015高考湖北，理3】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102D ．9218. (2013辽宁，理7)使3nx⎛+ ⎝(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )．A ．4B ．5C ．6D ．719. 【2014辽宁理6】把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．2420.【2015湖南理2】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-621. 【2013四川理8】从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b-的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20二、填空题1.【2013天津，理10】6x⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为__________．2. 【2013天津，理11】已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为π4,3⎛⎫⎪⎝⎭，则|CP |＝__________.3. 【2013天津，理13】如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为__________．4. 【2014天津，理13】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B 两点．若AOB 是等边三角形，则a 的值为___________．5. 【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .6. 【2013高考北京理第12题】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．7. 【2014高考北京理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C不相邻，则不同的摆法有 种.8. 【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）9. 【2014高考广东卷.理.11】从0.1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .10. 【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .11. 【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）12.【2014山东.理14】 若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 . 13.【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．15. 【2013四川，理11】二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答） 16. 【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.17. 【2014课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________18. 【2014课标Ⅰ，理13】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 19. 【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.20. 【2013年.浙江卷.理11】设二项式53x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A ，则A ＝__________. 21. 【2013年.浙江卷.理14】将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．22.【2013高考重庆理第13题】从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．23. 【2015高考重庆，理12】532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 24. 【2014，安徽理13】设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．25. 【2013，安徽理11】若83x x ⎛ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______． 26.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）27.【2013上海,理5】设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______. 28.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答）。
高考数学排列组合与二项式定理选择题
高考数学排列组合与二项式定理选择题1. 某班级有40名学生，其中有15名女生，25名男生，现随机选取4名学生参加比赛，求选取的4名学生中恰好有2名女生的概率。
2. 一个密码锁有5个轮盘，每个轮盘上有数字1到6，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。
求解开锁的总方法数。
3. 一个图书馆有30本书，其中15本小说，15本非小说。
随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。
4. 一个班级有20名学生，其中有10名男生，10名女生。
现随机选取3名学生参加竞赛，求选取的3名学生中恰好有1名男生的概率。
5. 一个密码锁有4个轮盘，每个轮盘上有数字1到4，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。
求解开锁的总方法数。
6. 一个图书馆有20本书，其中10本小说，10本非小说。
随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。
7. 一个班级有30名学生，其中有15名男生，15名女生。
现随机选取4名学生参加比赛，求选取的4名学生中恰好有2名女生的概率。
8. 一个密码锁有5个轮盘，每个轮盘上有数字1到5，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。
求解开锁的总方法数。
9. 一个图书馆有15本书，其中8本小说，7本非小说。
随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。
10. 一个班级有40名学生，其中有20名男生，20名女生。
现随机选取5名学生参加比赛，求选取的5名学生中恰好有3名男生的概率。
11. 一个密码锁有4个轮盘，每个轮盘上有数字1到4，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。
求解开锁的总方法数。
12. 一个图书馆有30本书，其中15本小说，15本非小说。
随机选取5本书，求选取的5本书中恰好有3本小说的概率。
13. 一个班级有20名学生，其中有10名男生，10名女生。
现随机选取3名学生参加竞赛，求选取的3名学生中恰好有1名男生的概率。
14. 一个密码锁有5个轮盘，每个轮盘上有数字1到5，需要按顺序转动轮盘才能打开锁。
求解开锁的总方法数。
高三数学排列组合与二项式定理试题
高三数学排列组合与二项式定理试题1.一个五位自然数，当且仅当时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（）A．110B．137C．145D．146【答案】D【解析】若，则有种排法；若，则有种排法；若，则有种排法；若，则有种排法.由加法原理得，共有146个“凹数”.【考点】计数原理与组合计算.2.从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有（）A．种B．C．种D．种【答案】B【解析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有种选派方案．②、甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有种选派方案，综上可得，共有36+36=72中不同的选派方案，故选．【考点】排列组合应用3.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依次类推，则（1）按网络运作顺序第n行第一个数字（如第2行第一个数字为2，第3行第一个数字为4，…）是；（2）第63行从左至右的第4个数应是．【答案】（1）。
【解析】（1）由题意，前（n-1）行一共已出现了1+2+3+…+（n-1）=个数字，∴按网络运作顺序第n行第一个数字是+1=（2）第63行的数字从左至右是由大到小出现的，64行的数字从左至右是由小到大出现的，且第一个数字为2017，∴第63行的数字从左至右依次为2016，2015，2014，2013， (1954)∴第63行从左至右的第4个数应是2013，故答案为（1）。
【考点】合情推理等差数列求和公式。
点评：中档题，观察发现“数阵”的构成规律，是解题的关键之一。
2015届高考数学(文)一轮复习质量检测7《排列组合、二项式定理、统计、概率》(北师大版)Word版含解析
质量检测(七)测试内容：排列组合、二项式定理、统计、概率(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为( )A ．70户B ．17户C ．56户D ．25户解析：总体容量为125＋280＋95＝500，样本容量为100，则中等收入家庭中应抽选出的户数为280×100500＝56户．故选C.答案：C2．(2013年青岛质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中x 2的系数为( )A ．－240B ．240C ．－60D ．60解析：由二项式定理通项公式，得T r ＋1＝C r 6(－1)r 26－r ·x 6－2r，所以r ＝2，系数为C 2624×(－1)2＝240.答案：B3．(2012年西安模拟)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：甲、乙参加兴趣小组各有3种选择，故共有C 13·C 13＝9种，而参加同一兴趣小组有3种选择，故概率为39＝13，选A.答案：A4．(2012年武汉调研)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为()A．0.35 B．0.25C．0.20 D．0.15解析：三天中恰有两天下雨的情况有：191,271,932,812,393等5种，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为P＝520＝0.25.故选B.答案：B5．(2012年南昌模拟)某项测试成绩满分为10分，先随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m e，平均值为x，众数为m0，则A．m e＝m0＝x B．m e＝m0<xC．m e<m0<x D．m0<m e<x解析：依图形可知，m e＝5＋62＝112，x＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝179 30，m0＝5，所以m0<m e<x，选D.答案：D6．(2013年武汉调研测试)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17解析：依题意，正方形的面积为S ＝1×1＝1， 阴影部分的面积，∴点P 恰好取自阴影部分的概率P ＝S 1S ＝161＝16，选C. 答案：C7．(2013年黄冈质检)将5名支教志愿者分配到3所学校，每所学校至少分1人，至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方法共有( )A ．78种B ．36种C ．60种D ．72种解析：C 15C 24C 22A 22·A 33－C 22C 23A 33＝72.答案：D8．(2013年沈阳期末)袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为A.59B.49C.29D.23解析：事件A 表示第1次摸出红球，事件B 表示第2次也摸出红球，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1335＝59，即在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为59.答案：A9．(2013年广州质检)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x ，y ，z )，若x ＋y ＋z 是3的倍数，则满足条件的点的个数为( )C ．72D ．42解析：先按从小到大的顺序选择3个不同的数字，再进行全排列A 33，所以四个选择答案可以变化为42,36,12,7.(1)首数选0，则后续两个数为(1,2)，(1,5)，(1,8)，(2,4)，(2,7)，(3,6)，(3,9)，(4,5)，(4,8)，(5,7)，(6,9)，(7,8)，有12种；(2)首数选1，则后续两个数为(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,5)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，(5,9)，(6,8)，(8,9)，有10种；(3)首数选2，则后续两个数为(3,4)，(3,7)，(4,6)，(4,9)，(5,8)，(6,7)，(7,9)，有7种；(4)首数选3，则后续两个数为(4,5)，(4,8)，(5,7)，(6,9)，(7,8)，有5种； (5)首数选4，则后续两个数为(5,6)，(5,9)，(6,8)，(8,9)，有4种； (6)首数选5，则后续两个数为(6,7)，(7,9)，有2种； (7)首数选6，则后续两个数为(7,8)，有1种； (8)首数选7，则后续两个数为(8,9)，有1种． 综上可知，共有42种． 答案：A10．(2012年合肥质检)建立从集合A ＝{1,2,3,4}到集合B ＝{5,6,7}的所有函数，从中随机抽取一个函数，则其值域是B 的概率为( )A.916B.316C.49D.89解析：从A 到B 的函数一共有34＝81个，其中值域是B 的有C 24A 33＝36个，所以概率是49.答案：C11．(2012年长沙联考)某校在模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )C ．400D ．600解析：由ξ～N (90，a 2)，得正态曲线关于直线x ＝90对称，所以P (ξ≥110)＝P (ξ≤70)＝12[1－P (70<ξ<110)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝15.所以此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为1 000×15＝200.答案：A12．(2012年武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2，故由几何概型得，点M 取自E 内的概率为.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2012年武汉调研)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 2－1x n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是________．解析：由题意，2n＝256，解得n ＝8.故⎝⎛⎭⎪⎫33x 2－1x n即⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 2－1x 8展开式中第7项为C 68⎝⎛⎭⎫33x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝9(－1)6C 68 ＝252 ，故展开式中第7项的系数是252.答案：25214．某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如下图)．若规定长度在[97,103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格率是________．解析：依题意，可估计这批产品的合格率是1－(0.027 5×4＋0.045 0×2)＝0.8＝80%.答案：80%15．(2012年东北四校质检)在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．解析：该题属于几何概型．根据题意，到正方体中心的距离小于或等于1的点构成了以半径R ＝1的实心球，如图所示，其体积V 球＝43πR 3＝43π，则正方体内到正方体中心的距离大于1的点所构成图形的体积为V ′＝V正方体－V 球＝8－43π，则随机取的点到正方体中心的距离大于1的概率为P (d >1)＝V ′V 正方体＝8－43π8＝1－π6.答案：1－π616．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业某段时间内的产品销量x (千箱)与单位成本y (元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16xi y i ＝1 481，b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本约下降________元．解析：依据题意可得回归直线方程为y ^＝－1.818 2x ＋ 77．36，故销量每增加1千箱，单位成本约下降1.818 2元． 答案：1.818 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年浙江金华十校联考)某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：由此分析两组技工的技术水平；(2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．解：(1)依题中的数据可得x甲＝15(4＋5＋7＋9＋10)＝7，x乙＝15(5＋6＋7＋8＋9)＝7，s2甲＝15[(4－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝265＝5.2，s2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2]＝2.因为x甲＝x乙，s2甲>s2乙，所以两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大．(2)设事件A表示该车间“质量合格”，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(7,5)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共25种．事件A包含的基本事件为(4,9)，(5,8)，(5,9)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共17种．所以P(A)＝17 25.18．下图是某校从参加高三体育考试的学生中抽出的60名学生体育成绩(均为整数)的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70,80)内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：(1)求成绩在区间[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(3)假设成绩在[80,90)内的学生中有23的成绩在85分以下(不含85分)，从成绩在[80,90)内的学生中选两人，求恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率．解：(1)因为各组的频率和等于1，故成绩在[70,80)内的频率为f4＝1－(0.01×2＋0.015＋0.020＋0.005)×10＝0.4.频率分布直方图如右图．(2)依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，故其频率和为(0.02＋0.04＋0.01＋0.005)×10＝0.75，所以抽样学生成绩的及格率是75%.45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.1＋95×0．05＝69.所以估计这次考试的平均分是69分．(3)因为成绩在[80,90)内的人数＝0.01×10×60＝6，所以成绩在[80,85)和[85,90)内的人数分别为4人和2人．假设[80,85)段的学生的编号为1,2,3,4；[85,90)段的学生编号为5,6.记第一次抽到的学生编号为x，第二次抽到的学生编号为y，用数对(x，y)表示基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其基本事件总数n＝15.解法一：记恰有1人成绩在[85,90)内的事件为A .事件A 包含基本事件：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，事件A 包含的基本事件数m ＝8.故所求概率为P (A )＝m n ＝815，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是815.解法二：记恰有1人成绩在[85,90)内的事件为A ，则事件A －包含的基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(5,6)，事件A －包含的基本事件数m ＝7，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－715＝815，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是815.19．(2012年石家庄质检)某工科院校对A ，B 两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：(1)“专业”有关系呢？(2)从专业A 中随机抽取2名学生，记其中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．注：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)χ2＝100×(12×46－4×38)216×84×50×50≈4.762，由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．(2)专业A 中女生12人，男生38人，P(X＝0)＝C238C250＝7031 225，P(X＝1)＝C138C112C250＝4561 225，P(X＝2)＝C212C250＝661 225.所以X的分布列为所以E(X)＝1×4561 225＋2×661 225＝5881 225＝1225.20．(2012年昆明模拟)从某学校高三年级的甲、乙两个班各抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)分别计算甲、乙两班样本的平均数和方差，估计甲、乙两班同学的身高情况，并说明理由；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取3名同学，设身高在(160,170)之间的同学被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)x甲＝170，x乙＝170，s2甲＝53，s2乙＝37.4，估计甲、乙两班的平均身高相同，且乙班同学的身高相对整齐些，而甲班同学的身高差距大些．(2)X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C310＝1120.所以X的分布列为所以E(X)＝0×427＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.21．“天宫一号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善．据悉，担任“天宫一号”发射任务的是长征二号FT1火箭．为了确保发射万无一失，科学家对长征二号FT1运载火箭进行了170余项技术状态更改，增加了某项新技术．该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为23，23，12，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(2)记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．解：(1)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A，B，C，则事件“得分不低于8分”表示为ABC＋A B C.因为ABC与A B C为互斥事件，且A，B，C为彼此独立，所以P(ABC＋A BC)＝P(ABC)＋P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝23×23×12＋23×13×12＝13.(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数ξ的取值为0,1,2,3.因为P(ξ＝0)＝P(A B C)＝13×13×12＝118，P(ξ＝1)＝P(A B C＋A B C＋A B C)＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝5 18，P(ξ＝2)＝P(AB C＋A B C＋A BC)＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＝818，P(ξ＝3)＝P(ABC)＝23×23×12＝418，所以随机变量ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×118＋1×518＋2×818＋3×418＝518＋1618＋1218＝116.22．某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销．(1)试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；(2)该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m 元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是12，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ，请写出X 的分布列，并求X 的数学期望；(3)在(2)的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？解：(1)从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有C 37种选法．选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C 34种， 所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为 P ＝1－C 34C 37＝3135.(2)X 的所有可能的取值为0，m,2m,3m . X ＝0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖， 所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， 同理可得P (X ＝m )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38， P (X ＝2m )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝38， P (X ＝3m )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝18， 所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为E (X )＝0×18＋m ×38＋2m ×38＋3m ×18＝1.5m .(3)要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5m<150，所以m<100.故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．。