ch04随机过程及其描述随机对象的矩描述
随机过程的定义
例1． (随机徘徊) 无限制地抛掷一枚硬币，并按照每次抛掷结果是正面或反面，让一个粒子从初始位置0点出发，在直线上分别向右或向左走一步。
问：抛掷了n 次后，粒子恰走到m 的概率。
事实上，由于粒子是从初始位置0点出发的，因此，当n ＜|m|时，粒子是不可能走到m 的，而“抛掷了n 次后，粒子恰走到m ”意味着：在n 次走动中，恰好向左走了2mn -步；而向右走了2m n +步．此即n 次抛掷中恰有2m n +次掷得正面；有2mn -次掷得反面．因此，这就需要m 与n 同为奇偶数。
所求概率为n mn nC212+ (当n ≥|m|且m 与n 同为奇偶数时)，否则概率为0。
综上所述，研究一个随机试验，就是要有一个三元组：(Ω，F ，P)，它称为概率空间，其中Ω是全体可能结果组成的集合；F 是全体可观测事件(可以合理地给出概率的事件)组成的事件族；而P 应该看成一个整体，而不是单个概率值，即P 是F 上定义的一个取值于[0，1]区间的函数。
同时，加法公理应该满足，而且必然事件的概率应该为1。
随机过程的定义：研究对象是随时间演变的随机现象。
例1．随机相位正弦波X (t )=Acos(ωt +Θ)，t ∈(－∞，+∞)；Θ～U (0，2π)图1例2．以X (t )表示电话交换台在时间间隔[0，t]内接到的呼叫的次数，{}0≥=t t X X ),(是一随机过程。
例3．独立地连续掷一骰子，设n X 为第n 次独立地掷一骰子所出现的点数，则｛1≥n X n ,｝为一相互独立同分布的随机序列(过程)，其指标集为T ＝｛1，2，3，…｝；状态空间为S ＝｛1，2，3，4，5，6｝；如果把序列｛3，2，3，4，6，5，l ，3，…｝称为n X 的一条轨道，它表示第1，3，8次掷得“3”点，第2次掷得“2”点，第4次掷得“4”点，第5次掷得“6”点，…．且此时n X 有均值为E n X ＝3.5，方差为D(n X )＝17.5，n ＝1，2，…，协方差为Cov(i X ，j X )＝0，i ≠j ．定义1设(Ω，F ，P)是一个概率空间，一族随机变量{}T t t X X ∈=),(称为一个随机过程，其中T 称为指标集，对T 中的每个t ，X (t )是一个随机变量X (t ，ω)，对每个固定的ω，{}T t t X ∈:),(ω是一个定义在T 上，和X (t )有同样取值范围的实值函数，称之为随机过程X 的一条(样本)轨道．对所有固定的t ，X (t )的全体可能的取值，称为X 的状态空间，对离散随机变量的随机过程，状态空间都可认为是正整数集，因为任何可数集与一正整数集是一一对应的．把全体状态编号，以其编号代表状态就行了。
随机过程
矩描述
概率分布函数
(cdf: cumulative distribution function)
注：概率分布函数probability distribution function
随机变量的分类
每一个随机变量都有分布函数。它是取值在[0，1]的单调、 右连续实函数。反过来，数学家证明这种函数可以分解为
n
随机变量
把概率论的关注对象从“事件”变成 “随机变量” 不仅符合人们的习惯思维，而且也是概率论发展史上的 一次突破。引进“随机变量”后更容易对随机现象做数 学处理，更容易结合其他数学分支的知识，更容易看出 概率的本质。
数学定义(超)
[定义] 设 ( , B , P ) 是一概率空间，X ( ) 是定义 在上的 实函数，如果对 a R ，有 | X ( ) a B ， 则称 X ( ) 为随机变量 ( random var iable ).
x x
lim FX ( x ) FX ( ) 1， lim FX ( x ) FX ( ) 0
lim f ( xk ) f ( x0)
k
x x0
函数极限存在的 Heine 定理 : lim f ( x) f ( x0) 对趋向于x0的任意序列 xk } { ，
直观理解
简单地说，“随机变量”就是用一个数（变量） 来表示试验后的结果（样本点）。因为每次试验结果的 不确定，随机变量既有取值问题，又有取此值的可能性 的问题，所以叫“随机变量”。引进它，就是为了把具 体问题数学化。在“掷色子”中，我们很容易把六个样 本点对应到{1，2，3，4，5，6}上。而即使象“抛硬 币”这样的问题，我们也可以把“正面朝上”和“反面 朝上”对应于“X=0”和 “X=1”。 一般情况下，随机变量往往是有实际意义的，例 如上面的“掷出的点数”，还有“进球数”、“赢的奖 金”、“明年人口数”、“身高、体重”等。
(完整word版)随机过程笔记
随机过程笔记2015-05-10 许铁混沌巡洋第一部分：为什么要研究随机过程？人类认识世界的历史，就是一认识和描绘各种运动的历史，从宏观的天体运动到分子的运动，到人心理的运动-我们通称为变化，就是一个东西随时间的改变。
人们最成功的描绘运动的模型是牛顿的天体运动，确定性是牛顿体系最大的特征。
给定位置和速度，运动轨迹即确定。
但是20实际后的科学却失去了牛顿美丽的确定性光环。
因为当人们试图描绘一些真实世界，充满复杂而未知因素的运动时候，人们发现不确定的因素（通常称之为噪音）对事物的变化至关重要，而牛顿的方法几乎难以应用。
而我们所能够给出的最好的对事物变化的东西，是一套叫概率论的东西。
而与之相应的产生的一个全新的研究运动的方法-随机过程, 对不确定性下的运动进行精细的数学描述。
我们周边充满了各种各样的数据，所谓大数据时代，这些数据最基本的特点就是含有巨量的噪音，而随机过程就是从这些噪音里提取信息的武器。
* 其实我们生活中也处处充满“噪音”。
比如说我们每天发邮件，经常有一些人时回时不回。
那些不回的人到底是忘了还是真的不想回，我们却不知道。
一个书呆子统计学家会告诉你，你无法从一次的行为评判他，而要看他一贯的表现。
第一个随机过程方法的伟大胜利是爱因斯坦的布朗运动。
一些小花粉在水里，受到水分子不停碰撞，而呈现随机的运动（花粉颗粒由于很小比较容易受到水分子热扰动的影响）。
研究这些花粉的微小运动似乎有点天然呆，我们却从中找到了分子世界重要的信息。
而花粉那无序与多变的轨道，也为我们提供了随机运动的范式（随机游走）。
计算机生成的十个粒子的布朗运动轨迹如果给随机过程打个比方，它就像是一个充满交叉小径的花园。
你站在现在的点上，看未来的变化，未来有千万种变化的方式，每一种可能又不断分叉变化出其它可能。
第二部分：描述随机过程的武器随机过程怎么研究？几样神器是不可缺少的。
1. 概率空间：面对不可确定的未来，无非有两件事需要关心，一个是有哪些可以实现的可能，一个是每种可能的大小，前者定义一个事件空间（态空间），后者定义一个数-概率。
随机过程及其统计描述
{v1 (t ), v2 (t ),
, vk (t ), }
在给定的时刻 t j观测热噪声电压 V, 它是一个随机变量，其取值是
{v1 (t j ), v2 (t j ),
中的任意一个。
, vk (t j ), }
对热噪声电压的重复观测
3
12.1 随机过程的概念
热噪声电压现象的特点
(1)在某一时刻tj，电压V是一个随机变量，有其样本空间：
12.3 泊松过程及维纳过程
2
12.1 随机过程的概念
一个实例：热噪声电压
在一段时间内对热噪声电压进行观测 是随机试验。观测结果将得到某种形 式的v-t函数图象，可能是
v1 (t ), v2 (t ),
中的任意一个。
, vk (t ),
在相同条件下，独立、重复的观 测，所有可能的结果构成一个函 数族：
, tn ), ti T} 称为n维分布函数族
, X (tn ) xn }
,n
xi R, i 1, 2,
12
12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
均值函数
X (t ) 是一个随机变量， 给定随机过程 { X (t ), t T } ，固定 t T ， t 时刻的均值(数学期望)，记为
mn维分布函数可分离变量两随机过程相互独立的概念互相关函数12extytrt互协方差函数12不相关的判据若对任意恒有二维随机过程的分布函数和数字特征122随机过程的统计描述仍指的是线性不相关24三个随机过程的和wtxtytzt均值函数自相关函数12rttewtwtxxxyxzyxyyyzzxzyzzxtytztxtytzt二维随机过程的分布函数和数字特征122随机过程的统计描述25123泊松过程及维纳过程增量的概念给定二阶矩过程我们称随机变量为随机过程在区间上的增量
2016年Ch04-2风荷载
w(z)= gz s z(z) w0
表 8.6.1
规范P62；；教材57
《荷载与结构设计方法》
土木工程学院
《荷载与结构设计方法》
土木工程学院
5 横风向风振
5.1 涡激共振
横风向风振
由不稳定的空气动力特性形成的， （对细柔性结构应考虑）
5 横风向风振
——雷诺数Re
惯性力=单位面积上的压力 v2/2 · 面积 A
《荷载与结构设计方法》
土木工程学院
《荷载与结构设计方法》
土木工程学院
4 顺风向风振
一、结构的风力和风效应
4 顺风向风振
二、平均风与脉动风 顺风向风速时程曲线
平均风速
v —长周期成分，周期一般在 10min 以上
vf
t
脉动风速vf —短周期成分，周期一般只有几秒钟
v(t)
v
结构上的风力 顺风向力→PD 、 横风向力→ PL 、扭力矩→ PM 结构的风效应 由风力产生的结构位移、速度、加速度响应、扭转响应
4 顺风向风振
P57【例 4-1】：某钢筋混凝土框架剪力墙建筑，质量和外形沿高度 均匀分布，平面为矩形截面，房屋总高度 H=100m ，迎风面宽度 B=45m，建于C类地区，基本风压值 0.55kN/m2。求垂直于建筑物表 面上风荷载标准值及建筑物基底弯矩。 1.沿建筑高度分区段-10段，每段计算风荷载 标准值； 2.风荷载体型系数（附录二37或47） 3.风压高度变化系数（P49表4.5） 4.风振系数 （1）共振分量因子R（结构基本周期） （2）背景分量因子Bz（振型和相关系数） 5.据各区段中点风压值求弯矩
wz= s z(z) w0
脉动风压：？
应按随机理论计算或简化
第1章随机过程简介
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第1章 随机过程简介
对于(duìyú)马尔可夫链，如果n时刻的k步转移概率满 足
即从i状态转到j状态的概率和时刻n无关，就称这类MC为时 齐马尔可夫链，或齐次马尔可夫链，有时也说它是具有平 稳转移概率的马尔可夫链。通常考虑状态空间是有限的齐 次马尔可夫链。
32
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第1章 随机过程简介
6
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第1章 随机过程简介
图1.3 电话交换站呼叫(hū jiào)计数
7
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第1章 随机过程简介
例1.4 纺纱机纺出长度为l的细纱(xìshā) 若对一个纺 纱机进行n次长时间测量，同时记录每一次纺纱机纺出细纱 (xìshā)长度的曲线，并以{X(u)， u∈［0，∞)}表示纺纱机 纺出细纱(xìshā)的长度，则X(u)是一个随机变量，如图1.4 所示。
k步转移(zhuǎnyí)概率矩阵记为P(k)。
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第1章 随机过程简介
本课程研究时间齐次马尔可夫过程(guòchéng)，简称时 齐马尔 可夫过程(guòchéng)。它满足
P{X(t)≤x|X(tn)=xn}=P{X(t－tn)≤x|X(0)=xn} 其中假定系统的行为不依赖于观测的时间，即马尔可夫过 程(guòchéng)中的条件分布函数不随观察起始时刻的变化而 变化，我们可以任选时间轴的起点。
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第1章 随机过程简介
设Xn=X(nΔt)表示时刻 nΔt时，系统(xìtǒng)内的顾客数， 即系统(xìtǒng)的状态。{Xn，n=0，1，2，…}是一随机过 程，状态空间I＝{0，1，2，3}，而且仿照例1.6、例1.7的分 析，可知它是一个齐次马尔可夫链。下面来计算此马尔可 夫链的一步转移概率。
（完整word版）随机过程知识点汇总（word文档良心出品）.docx
（完整word版）随机过程知识点汇总（word文档良心出品）.docx第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量X，分布函数F ( x)P(X x)离散型随机变量X 的概率分布用分布列p k P( X x k )分布函数 F ( x)pkX 的概率分布用概率密度 f (x)xf (t )dt连续型随机变量分布函数 F ( x)2． n 维随机变量X( X1 , X 2 ,, X n )其联合分布函数 F (x) F (x1 , x2 , , x n )P( X1x1 , X 2x2 ,, X n x n , )离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X EX x k p k连续型随机变量X EX xf ( x) dx 方差： DX E( X EX ) 2EX 2( EX ) 2反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量X , Y ）： B XY E[( X EX )(Y EY )]E( XY )EX EY相关系数（两个随机变量X, Y ）：XYBXY若0，则称 X ,Y 不相关。
DX DY独立不相关0４．特征函数 g(t ) E (e itX )离散g(t )e itx k p k连续g (t)e itx f ( x) dx 重要性质： g(0)1， g(t)1， g ( t )g (t) ， g k (0)i k EX k ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布P( X 1) p, P( X 0) q EX p DX p q二项分布P( X k) C n k p k q n k EX np DX npqk泊松分布P( X k) e EX DX均匀分布略k!1( x a)2正态分布 N (a,2 ) f (x) e 222 EX a DX2f ( x)e x , x0EX11指数分布x0DX20,６．Ｎ正随机量X( X 1 , X 2 ,, X n ) 的合概率密度 X ~ N ( a, B)f ( x1 , x2 ,, x n )1exp{1TB1( x a)} n1( x a)( 2) 2| B |22a (a1 , a2 ,, a n ) ， x(x1 , x2 , , x n ) ， B(b ij) n n正定方差二．随机程的基本概念１．随机程的一般定( ,P) 是概率空，T是定的参数集，若每个t T，都有一个随机量X 与之，称随机量族X (t, e), t T 是 ( ,P) 上的随机程。
随机过程与排队理论基础
随机过程与排队理论基础随机过程和排队理论是概率论中重要的研究领域，它们在现代科学和工程领域中有着广泛的应用。
随机过程是一种随机变量随时间变化的数学模型，而排队理论则是研究在服务系统中顾客到达、服务和离开的规律和性能的理论。
一、随机过程的基本概念在随机过程中，随机变量是定义在一个概率空间上的函数，通常用来描述系统在不同时间点的状态。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间随机过程可以理解为在离散时间点上取值的随机变量序列，而连续时间随机过程则是一个在连续时间上取值的随机变量的集合。
随机过程的一个重要性质是马尔可夫性质，即未来的状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
这种性质在很多实际问题中都有应用，如信道传输、股票价格模型等。
二、排队理论的基本原理排队理论是描述一定规则下队列中顾客到达、服务和离开的数学理论。
其中，排队系统由顾客到达过程、服务过程和排队规则三部分组成。
排队理论的研究重点在于通过建立数学模型，分析系统性能指标如平均等待时间、队列长度等，以优化系统效率。
排队理论中最常用的模型是M/M/1模型，其中M表示到达的随机过程服从泊松分布，服务时间的随机过程也服从指数分布，1表示只有一个服务通道。
这个模型简单而有效，可以推广到更复杂的多通道模型。
三、随机过程与排队理论的应用随机过程和排队理论广泛应用于信息技术、通信网络、交通系统、生产制造等领域。
在信息技术中，网络数据包的到达和处理就可以通过排队模型来分析和优化。
在交通系统中，排队理论可以用来研究车辆的拥堵情况和道路的负载能力。
总的来说，随机过程和排队理论为我们理解和优化复杂系统提供了重要的工具和方法，它们的研究将会继续对科学技术的发展产生深远影响。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
随机过程一般描述
|B|jk为行列式|B|中元素bjk旳代数余因子，
bjk为归一化协方差函数：
b jk
E [ (t j ) a j ][ (tk ) ak ] jk
高斯过程旳特点：
高斯过程旳n维分布完全由n个随机变量 旳数学期望、 方差和两两之间旳归一化 协方差函数所决定。所以，对于高斯过 程，只要研究它旳数字特征就能够了。
E[sin(0t1 ) sin(0t2 )]
令t1=t, t2=t+τ,
E[sin(0t ) sin(0t 0 )]
经过推导得：
1 2
cos 0
仅与τ有关。由此看出， ξ(t)是宽平稳随机 过程。它旳功率谱密度为：
P
( )
R(
)e
j
d
因为cosωcτ π[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)]
第 2 章 随机信号分析
2.2 随机过程一般描述 2.3 平稳随机过程 2.4平稳随机过程旳有关函数与功率谱 2.5高斯过程 2.6窄带随机过程 2.7正弦波加窄带高斯噪声 2. 8随机过程经过线性系统
§ 2.2 随机过程一般描述
拟定性信号是时间确实定函数，随机信 号是时间旳不拟定函数。
通信中干扰是随机信号，通信中旳有用 信号也是随机信号。
=R(t1, t1+τ)=R(τ)
广义平稳随机过程
平稳随机过程旳定义对于一切n都需成立， 这在实际应用上很复杂。由平稳随机过 程旳均值是常数， 自有关函数是τ旳函数 还能够引入另一种平稳随机过程旳定义： 若随机过程ξ(t)旳均值为常数，自有关函 数仅是τ旳函数， 则称它为宽平稳随机过 程或广义平稳随机过程。
0
互补误差函数
erfc(x) 1 erf (x)
随机过程全分析
第２章预备知识本章教学基本要求：掌握：1. 随机过程的描述方法2. 平稳过程（广义）的定义3. 随机过程通过线性系统4. 信道模型5. 随参信道传输媒质的特点6. 信道容量计算理解：1. 信道的分类本章核心内容：一、平稳随机过程的定义及其统计特性二、高斯白噪声三、随参信道的特性及对信号传输的影响四、随机信号及几种噪声五、信道容量及香农公式重点：平稳随机过程的定义及数字特征；平稳随机过程的功率谱密度；高斯过程的概率分布窄带随机过程的数字特征；高斯白噪声难点：平稳随机过程的功率谱密度；窄带随机过程的数字特征；学时安排：6学时2.1确定信号的分析一、信号的分类1、信号分类2、信号的分析方法二、离散谱和连续谱1、周期信号的傅立叶级数2、非周期的傅立叶变换三、能量谱和功率谱1、能量谱2、功率谱密度四、自相关函数1、相关2、定义3、特征2.2随机信号的分析•确定性过程。
–其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律。
–用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
•随机过程。
–没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
–用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
–随机信号和噪声统称为随机过程。
2.2.1随机过程和它的统计特性1、随机过程● 随机过程定义：设Sk (k =1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi (t )，所有可能出现的结果的总体{x 1(t ), x 2(t )， …, xn (t )， …}就构成一随机过程，记作X (t )。
● 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
2、随机过程的统计特性1、数学期望:表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心。
即均值 ⎰∞∞-==11);()]([)(dx t x xp t X E t a2、方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。
应用随机过程讲义汇总
应用随机过程讲义汇总随机过程是概率论中非常重要的一个分支，也是应用广泛的一个数学工具。
随机过程可以理解为随机变量在一些时间区间内的演化过程，它描述了随机现象随时间的变化规律。
随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程又可以分为离散参数随机过程和连续参数随机过程。
离散参数随机过程中，时间是离散的，状态空间也是离散的，比如投掷硬币的结果可以看作一个离散参数随机过程。
连续参数随机过程中，时间是连续的，状态空间可以是离散的或者连续的，比如一个时刻的温度可以看作一个连续参数随机过程。
随机过程有多种模型，其中最简单的是马尔可夫过程。
马尔可夫过程是指随机过程中，下一时刻的状态只依赖于当前的状态，与过去的状态无关。
马尔可夫过程的一个典型应用是随机游走模型，比如一维随机游走。
在一维随机游走中，每一步都向左或者向右移动一个单位，每一步的概率是相同的。
可以证明在一维随机游走中，如果步长的期望是0，那么在趋于无穷的步数中，游走的位置将趋于正态分布。
在实际应用中，随机过程可以用于建立模型并进行预测。
例如，在金融领域中，布朗运动是一种用于预测股票价格变化的随机过程模型。
布朗运动具有随机性和连续性的特点，可以描述价格在时间上的波动。
通过对历史价格数据进行分析，可以拟合出布朗运动的参数，并用于未来价格的预测。
随机过程也可以用于优化问题的建模。
例如，在生产线上，由于各种因素的随机变化，生产速度可能会有一定的波动。
如果想要最大化生产线的效率，可以将生产速度建模为一个随机过程，并使用最优化方法找到最佳的生产策略。
除了上述的应用，随机过程还被广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统、生物学、物理学等领域。
随机过程不仅可以用于描述随机现象，还可以进行建模和预测，为实际问题的解决提供了有效的数学工具。
综上所述，随机过程作为概率论的一个重要分支，在实际应用中具有广泛的应用前景。
通过对不同类型的随机过程及其模型的学习和理解，可以更好地应用随机过程解决实际问题。
4_随机过程
X 1 (t )
1
2
3
4
t
例2：考虑 X (t ) cos ( t ), t , , 式中 和 是 正常数,是在(0, 2 )上服从均匀分布的随机变量, 这是一个随机过程。 对每一固定的时刻t , X (t ) cos ( t )是随机变量的函数, 从而也是随机变量。它的状态空间是[- , ]. 在(0, 2 )内随机取一数 , 相应的就得到一个样本函数 x (t ) cos ( t ), 这族样本函数的差异在于它们相位 的不同, 故这一过程称为随机相位正弦波。
随机过程的分类
按过程的概率特征分类 • 正态过程 • 独立随机过程 • 独立增量过程(齐次) • Markov过程 • 平稳随机过程 • Poisson过程 • Wiener过程 •…
2维 1维 2维(1维) 2维 n维 1维 1维
随机过程的描述
完全描述
• 概率函数族（五种：分布、密度、质量、特征、
e ( X (e), Y (e)), 即( X , Y )——二维随机变量
1 2 n
e X (e), 即X —— 一维随机变量
1
2
n
e ( X1 (e), X 2 (e),), 即( X 1 , X 2 ,) ——随机序列
e ( X (e, t ) t (, )),
即( X (t ), t (, ))——随机过程
例3：设X (t ) Vcos t t , 其中是常数； V 在[0,1]上服从均匀分布,则X (t )是一个随机过程。 对每一固定的t，X (t ) Vcos t是随机变量V 乘以常 数cos t，故也是随机变量,对[0,1]上随机变量取一v值, 就得到相应的一个样本函数x(t ) vcos t.
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第4讲 随机过程及其描述/ 随机对象的矩描述
4.1概率空间和随机对象
样本空间
概率空间
随机变量
随机向量
随机过程
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2
4.2随机对象所描述的客观对象的差别
随机变量、随机向量是状态观察的结果 随机过程是过程观察的结果 对随机过程采样得到随机变量和随机向量
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4.5随机过程的数字特征总结(随机对象的矩描述)
概率函数是完全描述 矩描述是对随机对象的部分描述，或者称 为“数字特征”描述
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常见的矩
随机变量
•
均值、均方、方差、中心矩、原点矩 均值、均方、方差、中心矩、原点矩 相关矩、协相关矩、相关系数、联合原点矩、联合中心 矩、相关矩阵 均值函数、均方函数、自协相关函数、方差函数
3
4.3随机过程的两种观点和定义
观点一：随机过程是样本空间为函数的概率空间
•
缺点：概率特性描述上不方便。概率集函数描述了样本函 数组成的事件的概率，不直观
观点二：随机过程是随时间参变量变化的一族随 机变量
•
直观，便于用概率函数描述
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4.3随机过程的两种观点和定义
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4.5随机过程的数字特征
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4.5随机过程的数字特征
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4.5随机过程的数字特征
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4.5随机过程的数字特征
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pmf族 cdf族 pdf族
在时间上取样，构成一个多维随机向量，用这 个随机向量的pmf、cdf、pdf描述该随机过程 不仅揭示了随机过程在时间变化过程中的概率 分布的变化，而且可以揭示前后随机变量之间 的关联
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4.4随机过程的有限维分布函数族-总结
一个随机过程只有通过概率函数族才能得到完 全描述 概率函数族中，从高维概率函数可以得到低维 概率函数 从低维概率函数族不能得到高维概率函数族 特殊的随机过程才能用有限阶的概率密度函数 表示（如Markov过程、独立同分布过程等）
复随机变量的矩
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随机向量的矩
随机过程的矩函数
复随机过程的矩函数
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4.4随机过程的有限维分布函数族
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概率函数族的概念
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