高中数学复习提纲

高中数学复习提纲第一章 集合与简易逻辑 集合及其运算一．集合的概念、分类： 二．集合的特征：⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法：⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四．两种关系：从属关系：对象 ∈、∉ 集合；包含关系：集合 ⊆、Ü集合 五．三种运算：交集：{|}A B x x A x B =∈∈且 并集：{|}A B x x A x B =∈∈或 补集：U A {|U }x x x A =∈∉且ð六．运算性质：⑴ A ∅=A ，A ∅=∅．⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． ⑶ 若B A ⊆，则A B =A ，A B =B ．⑷ U A A =（）ð∅，U A A =（）ðU ，U U A =（）痧A ． ⑸ U U A B =（）（）痧U A B （）ð，U U A B =（）（）痧U A B （）ð．⑹ 集合123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅的所有子集的个数为2n ，所有真子集的个数为21n -，所有非空真子集的个数为22n -，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为2n C ．简易逻辑一．逻辑联结词：1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题．2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题． 41．原命题：若p 则q逆命题：若P 则q ，即交换原命题的条件和结论； 否命题：若q 则p ，即同时否定原命题的条件和结论；逆否命题：若┑P 则┑q ，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定． 2．四个命题的关系：⑴ 原命题为真，它的逆命题不一定为真； ⑵ 原命题为真，它的否命题不一定为真； ⑶ 原命题为真，它的逆否命题一定为真． 三．充分条件与必要条件1．“若p 则q ”是真命题，记做p q ⇒， “若p 则q ”为假命题，记做p q ¿，2．若p q ⇒，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 3．若p q ⇒，且p q ¾，则称p 是q 的充分非必要条件； 若p q ¿，且p q ⇐，则称p 是q 的必要非充分条件； 若p q ⇒，且p q ⇐，则称p是q 的充要条件；若p q ¿，且p q ¾，则称p 是q 的既不充分也不必要条件．4．若p 的充分条件是q ，则q p ⇒； 若p 的必要条件是q ，则p q ⇒．第二章 函数 指数与对数运算一．分数指数幂与根式：如果nxa =，则称x 是a 的n 次方根，0的n 次方根为0，若0a ≠，则当n 为奇数时，a 的n次方根有1n 为偶数时，负数没有n 次方根，正数a 的n 次方根有2个，其中正的n n 次方根记做1．负数没有偶次方根；2．两个关系式：n a =；||a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 3、正数的正分数指数幂的意义：m na =正数的负分数指数幂的意义：m na-=．4、分数指数幂的运算性质：⑴ m n m n a a a +⋅=； ⑵ m n m na a a -÷=；⑶ ()m n mn a a =； ⑷ ()m m m a b a b ⋅=⋅； ⑸ 01a =，其中m 、n 均为有理数，a ，b 均为正整数二．对数及其运算1．定义：若ba N =(0a >，且1a ≠，0)N >，则log ab N =． 2．两个对数：⑴ 常用对数：10a =，10log lg b N N ==；⑵ 自然对数： 2.71828a e =≈，log ln e b N N ==． 3．三条性质：⑴ 1的对数是0，即log 10a =； ⑵ 底数的对数是1，即log 1a a =； ⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则：⑴ log ()log log a a a MN M N =+； ⑵ log log log aa a MM NN =-；⑶ log log n a a M n M =； ⑷1log log a a M n =．5．其他运算性质：⑴ 对数恒等式：log a bab =； ⑵ 换底公式：log log log c a c ab b =；⑶ log log log a b a b c c ⋅=；log log 1a b b a ⋅=； ⑷log log m n a a nb b m =．函数的概念一．映射：设A 、B 两个集合，如果按照某中对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射．二．函数：在某种变化过程中的两个变量x 、y ，对于x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应，则称y 是x 的函数，记做()y f x =，其中x 称为自变量，x 变化的范围叫做函数的定义域，和x 对应的y 的值叫做函数值，函数值y 的变化范围叫做函数的值域．三．函数()y f x =是由非空数集A 到非空数集B 的映射． 四．函数的三要素：解析式；定义域；值域． 函数的解析式一．根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式．二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知()f x 是一次函数，且[()]43f f x x =+，函数)(x f 的解析式． 三．由函数)(x f 的图像受制约的条件，进而求)(x f 的解析式． 函数的定义域一．根据给出函数的解析式求定义域： ⑴ 整式：x R ∈⑵ 分式：分母不等于0⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0 ⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0 二．根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知()y f x =定义域为]5,2[，求(32)y f x =+定义域； 已知(32)y f x =+定义域为]5,2[，求()y f x =定义域； 三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域． 函数的值域域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等． 反函数一．反函数：设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到()x y ϕ=．若对于C 中的每一y 值，通过()x y ϕ=，都有唯一的一个x 与之对应，那么，()x y ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=．二．函数()f x 存在反函数的条件是：x 、y 一一对应． 三．求函数()f x 的反函数的方法：⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域⑵ 反解，用y 表示x ，得1()x f y -= ⑶ 交换x 、y ，得1()y f x -= ⑷ 结论，表明定义域四．函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的关系： ⑴ 函数()y f x =与1()y f x -=的定义域与值域互换． ⑵ 若()y f x =图像上存在点(,)a b ，则1()y f x -=的图像上必有点(,)b a ，即若()f a b =，则1()f b a -=． ⑶ 函数()y f x =与1()y f x -=的图像关于直线y x =对称． 函数的奇偶性：一．定义：对于函数()f x 定义域中的任意一个x ，如果满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为奇函数；如果满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为偶函数．二．判断函数()f x 奇偶性的步骤：1．判断函数()f x 的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2．验证()f x 与()f x -的关系，若满足()()f x f x -=-，则为奇函数，若满足()()f x f x -=，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．三．已知()f x 、()g x 分别是定义在区间M 、N ()M N ≠∅上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．五．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．六．一次函数y kx b =+(0)k ≠是奇函数的充要条件是0b =；二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠是偶函数的充要条件是0b =． 函数的周期性：一．定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的一个周期．2．如果函数)(x f 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期．如果函数()f x 的最小正周期为T ，则函数()f ax 的最小正周期为||Ta ．函数的单调性一．定义：一般的，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时满足：⑴ 12()()f x f x <，则称函数()f x 在该区间上是增函数； ⑵ 12()()f x f x >，则称函数()f x 在该区间上是减函数． 二．判断函数单调性的常用方法： 1．定义法：⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论： *2．导数法：⑴ 求函数f(x)的导数'()f x ；⑵ 解不等式'()0f x >，所得x 的范围就是递增区间； ⑶ 解不等式'()0f x <，所得x 的范围就是递减区间．3．复合函数的单调性：对于复合函数[()]y f g x =，设()u g x =，则()y f u =，可根据它们的单调性[()]y f g x =4函数的图像一．基本函数的图像．三．函数图像自身的对称四．两个函数图像的对称第三章 数列 数列的基本概念一．数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项．二．如果数列{}n a 中的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式． 三．数列的分类：按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列 按项数可分为有穷数列和无穷数列四．数列的前n 项和：1231n n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++n S 与n a 的关系：1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩五．如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项)，且任一项n a 与它的前一项1n a -(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．如：在数列{}n a 中，11a =，1112n n a a -=+，其中1112n n a a -=+即为数列{}n a 的递推公式，根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根据数列的前几项推断出数列{}n a 的通项公式，至于猜测的合理性，可利用数学归纳法进行证明．如上述数列{}n a ，根据递推公式可以得到：232a =，374a =，4158a =，53116a =，进一步可猜测1212n n n a --=．等差数列一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．二．通项公式：若已知1a 、d ，则1(1)n a a n d =+-；若已知m a 、d ，则()n m a a n m d =+- 三．前n 项和公式：若已知1a ，n a ，则12nn a a S n+=⨯；若已知1a 、d ，则1(1)2n n n S na d -=+注：⑴ 前n 项和公式n S 的推导使用的是倒序相加法的方法．⑵ 在数列{}n a 中，通项公式n a ，前n 项和公式n S 均是关于项数n 的函数，在等差数列{}n a 通项公式n a 是关于n 的一次函数关系，前n 项和公式n S 是关于n 的没有常数项的二次函数关系．⑶ 在等差数列中包含1a 、d 、n 、n a 、n S 这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量．四．如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 为a 与c 的等差中项，且2a c b +=． 五．证明数列{}n a 是等差数列的方法：1．利用定义证明：1n n a a d --=(2)n ≥ 2．利用等差中项证明：2a c b +=3．利用通项公式证明：n a an b =+4．利用前n 项和公式证明：2nS an bn =+ 六．性质：在等差数列}{n a 中，1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列， 即：若若2m n k +=，则2m n k a a a +=．2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等， 即：若m n k l +=+，则m n k l a a a a +=+． 3．依次相邻每k 项的和仍成等差数列， 即：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列．4．n a ，1-n a ，2-n a ，…，2a ，1a 仍成等差数列，其公差为d -． 三．等比数列一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇母q (0)q ≠表示．二．通项公式：若已知1a 、q ，则n a =11n a q -；若已知m a 、q ，则n a =n mm a q - 三．前n 项和公式：当公比1q =时，1n S na =当公比1q ≠时，若已知1a 、n a 、q ，则n S =11n a a qq --若已知1a 、q 、n ，则1(1)1n n a q S q -=- 注：⑴ 等比数列前n 项和公式n S 的推导使用的是错位相减的方法．⑵ 在等比数列中包含1a 、q 、n 、n a 、n S 这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量． 四．若a 、b 、c 成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 满足关系式b =五．证明数列{}n a 是等比数列的方法：1．利用定义证明：1nn a q a -=(2)n ≥ 2．利用等比中项证明：2b ac =3．利用通项公式证明：nn a aq =六．性质：在等比数列}{n a 中，1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列，即：若2m n k +=，则2m nk a a a ⋅= 2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等，即：若m n k l +=+，则m n k l a a a a ⋅=⋅3．若数列公比1q ≠-，则依次相邻每k 项的和仍成等比数列， 即k S ，2k k S S -，32k k S S -成等比数列。