安徽省芜湖市2018届高三数学上学期期末考试一模试题理2_含答案 师生通用

安徽省芜湖市2018届高三数学上学期期末考试（一模）试题 理一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集2{|560}U x Z x x =∈--<，{|12}A x Z x =∈-<≤，{2,3,5}B =，则()U C A B =（ ）A ．{2,3,5}B ．{3,5}C ．{2,3,4,5}D ．{3,4,5} 2.已知复数z 满足(1)3i z i -=-+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下图是一个算法的程序框图，当输入值x 为10时，则其输出的结果是（ ）A ．12B ．2C ．14D ．44.某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）A ．96种B ．84种 C.78种 D ．16种5.已知0.92a =，233b =，12lo g 3c =，则,,a b c 的大小为（ ）A ．b c a >>B ．a c b >> C. b a c >> D ．a b c >>6.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A4B24．12-7.“0m >”是“函数()|(2)|f x x m x =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.已知实数,x y 满足条件1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，令ln ln z x y =-，则z 的最小值为（ ）A ．3ln2B ．2ln3C. ln 15 D ．ln 15-9.若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则sin 2θ=（ ）A ．13B ．23C. 23-D ．13-10.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（ ）A．3B ．23C.43D11.已知直线3x =与双曲线22:19xC y-=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若O P a O A b O B =+（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A ．221a b +≥ B ．||1a b ≥ C. ||1a b +≥ D ．||1a b -≥12.已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若方程()f x a x =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则12x x -的取值范围是（ ）A ．1(,)12e e ee-- B ．223(,)122ee-- C. 11(,)221e e e ---D ．11(,1)2e e--二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,)a m=，(3,2)b =-，且222||||||a b a b +=+，则m = ．14.已知抛物线22(0)y p x p =>的弦A B 过焦点F ，若||8A B =，且A B 中点的横坐标为3，则抛物线的方程为 ．15.将函数s in y x =图像上所有点向左平移4π个单位，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)ω>，纵坐标不变，得到函数()y f x =图像．若()()63f f ππ=-，且()f x 在(,)42ππ上单调递减，则ω= ．16.四棱锥S A B C D -中，底面A B C D 是边长为2的正方形，侧面S A D 是以S D 为斜边的等腰直角三角形，若S C =S A B C D -的外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的首项11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足2(1)(3)n n S n a +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足11n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：3n T <.18.某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布2(70,7.5)N ，数学成绩的频数分布直方图如下：（1）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）；（2）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？（3）如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从（2）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.（附参考公式）若2(,)X N μσ~，则()0.68P X μσμσ-<<+≈，(22)0.96P X μσμσ-<<+≈19.在边长为4的菱形A B C D 中，60D A B ∠=︒，点,E F 分别是边,C D C B 的中点，0A CE F =，沿E F 将C E F ∆翻折到P E F ∆，连接,,P A P B P D ，得到如图所示的五棱锥，且P B =（1）求证：平面P E F ⊥平面P O A ；（2）求平面P E F 与平面P A B 所成二面角的余弦值.20.在A B C ∆中，2,3A B C π==，且3A B C S ∆=，若以,A B 为左右焦点的椭圆M 经过点C .（1）求M 的标准方程；（2）设过M 右焦点且斜率为k 的动直线与M 相交于E F 、两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得D E D F⋅为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数()ln f x x x m =--（2,m m <-为常数）. （1）求函数()f x 在1[,]e e 的最小值；（2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，证明：121x x ⋅<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22c o s 1c o s p θθ=-.（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线'l 过点(2,0)M ，且与曲线C 交于,A B 两点，试求||A B . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|32|f x x =+. （1）解不等式()4|1|f x x <--； （2）已知1(,0)m n m n +=>，若111||()(0)3x a f x a mn--≤+>恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BBDBC 6-10:DAACC 11、12：CB 二、填空题 13.3214. 24y x = 15.3 16.283π三、解答题17.解：（1）2(1)(3)n n S n a +=+，① 当2n ≥时，112(1)(2)n n S n a --+=+，② ①-②得，1(1)(2)n n n a n a -+=+， 所以1(2)21n n a a n n n -=≥++. 故{}2n a n +是首项为13的常数列，所以1(2)3n a n =+.119119()(2)(3)23n n n b a a n n n n +===-++++，∴1199()33333n T n n =-=-<++.18.解：（1）数学成绩的平均分为0.012450.02550.025650.035750.006850.002951065.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些. （2）语文成绩优秀的概率为11(85)10.960.022p P X =≥=-⨯=，数学成绩优秀的概率为21(0.0060.002)100.052p =⨯+⨯=，语文成绩优秀人数为2000.024⨯=人，数学成绩优秀人数为2000.0510⨯=人（3）语文数学两科都优秀的4人，单科优秀的有6人，X 所有可能的取值为0，1，2，3，363101()06C P X C ===，12463101()12C C P X C ===21463103()210C C P X C ===，343101()330C P X C ===X 的分布列为数学期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）因为点,E F 分别是边,C D C B 的中点，所有//B D E F ， 因为菱形A B C D 的对角线互相垂直，所以B D A C ⊥，故E F A C ⊥. 翻折后即有,E F A O E F P O ⊥⊥因为A O ⊂平面P A O ， P O ⊂平面P A O ，A OP O O =，所以E F ⊥平面P A O ，又因为E F ⊂平面P E F ，所以平面P E F ⊥平面P O A . （2）分别延长E F 和A B 相交于点G ，连P G ，设A OB D K =，连接B O ，∵60D A B ∠=︒∴A B D ∆为等边三角形.∴4B D =，2B K =，K A =，K O P O ==R t B K O∆中，B O ==，在P B O ∆中，22210B O P OP B +==，∴P O B O ⊥，∵P O E F ⊥，E F B O O =∴P O ⊥平面B F E D ，又E F A O ⊥，∴A O ⊥平面P F E ，过点O 做O H P G ⊥，连A H ，则A H O ∠为平面P E F 与平面P A B 所成二面角的平面角.在P O G ∆中，O P =3O G =，P G =32O P O G O H P G⋅==，∴ta n O A A H O O H =∠==，∴c o s 13A H O ∠=.20.解：（1）在A B C ∆中，由余弦定理2222c o s A B C A C B C A C B C =+-⋅⋅234C A C B C A C B =+-⋅=.又1s in 243A B C S C A C B C A C B ∆=⋅⋅=⋅=，∴43C A C B ⋅=，代入上式得C A C B +=，即椭圆长轴2a =，焦距22c A B ==，所以椭圆M 的标准方程为2212xy+=.（2）设直线方程(1)y k x =-，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(12)4220k x k x k +-+-=，2880k ∆=+>，设交点11(,)E x y ，22(,)F x y ，∴2122412kx x k+=+，21222212kx x k-=+.假设x 轴上存在定点0(,0)D x ，使得D E D F⋅为定值，∴101202(,)(,)D E D F x x y x x y ⋅=-⋅-212012012()x x x x x x y y =-+++2212012012()(1)(1)x x x x x x k x x =-+++-- 2222120120(1)()()k x x x k x x x k =+-++++2220002(241)(2)12x x kx k-++-=+要使D E D F⋅为定值，则D E D F⋅的值与k 无关，∴220002412(2)x x x -+=-，解得054x =，此时716D E D F ⋅=-为定值，定点为5(,0)4.21.解：（1）()ln f x x x m =--，2m <-的定义域为1[,]e e，且1'()0x f x x-==，∴1x =当(0,1)x ∈时，'()0f x >，所以()y f x =在(0,1)递增； 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，所以()y f x =在(1,)+∞递减， 且11()1f m e e =---，()1f e e m =--，因11()()20f f e e e e-=--+>， 函数()f x 在1[,]e e的最小值为1e m --.由（1）知12,x x 满足ln 0x x m --=，且101x <<，21x >，1122ln ln 0x x m x x m --=--=，由题意可知22ln 2ln 22x x m -=<-<-又由（1）可知()ln f x x x =-在(1,)+∞递减，故22x >，所以10x <，211x <，则111222111()()ln (ln)f x f x x x x x -=---222211ln (ln)x x x x =---22212ln x x x =-++令1()2ln ()2g x x x x x =-++>，则212'()1g x xx=--+=22222110x x x xx-+---=≤，当2x >时，()g x 是减函数，所以()()32ln 42g x g <=-+因33322223 2.56 1.6ln 4lnlnln2444e -=>=31.6 4.096lnlnln 1044==>=，即()0g x <，所以当2x >时，121()()0f x f x -<，即121()()f x f x <因为10x <，211x <，()fx 在(0,1)上单调递增，所以121x x <，故121x x ⋅<.22.解：（1）将co s x ρθ=，s in y θ=c o s s in 10θρθ--+=，由22c o s 1c o s θρθ=-可得22(1c o s )2c o s ρθρθ-=，曲线C 的直角坐标方程为22y x =. （2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线'l 的倾斜角也为3π，又直线'l 过点(2,0)M ，∴直线'l的参数方程为12'2'2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（'t 为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程可得23'4'160t t --=，设点,A B 对应的参数分别为''12,t t .由一元二次方程的根与系数的关系知''12163t t =-，''1243t t +=，∴''12||||A B t t =-=3==23.解：（1）不等式()4|1|f x x <--可化为：|32||1|4x x ++-<① 当23x <-时，①式为3214x x ---+<，解得5243x -<<-； 当213x -≤≤时，①式为3214x x +-+<，解得2132x -≤<；当1x >时，①式为3214x x ++-<，无解. 综上所述，不等式()4|1|f x x <--的解集为51(,)42-. （2）解：1111()()m n m n m n+=++24n m m n=++≥令1()||()3g x x a f x =--=2||||3x a x --+≤22|()()|||33x a x a --+=+∴m a x 2()3g x a =+，要使不等式恒成立，只需m a x 2()43g x a =+≤，即1003a <≤∴实数a 取值范围是10(0,]3.。