选修2-1空间向量及其加减运算(理科)
高二数学选修2-1《空间向量的运算》
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 ．
例１已知平行六面体 ABCD A' B'C' D（' 如图），化简下列
向量表达式，并标出化简结果的向量
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
⑶AB AD 1 CC' 2
数学：《空间向量的运算》 （北师大版选修2-1）
空间向量及其运算
一、复习 1、平面向量的概念 2、平面向量的加减和数乘运算
1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注意：⑴空间的平移就是一个向量。平移实际就是点 到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向 量是共面的
⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段 表示同一或相等的向量。
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段 来表示
2．空间向量的运算 结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面
向量的运算一样
OB OA AB =a+b，
AB OB OA （指向被减向量）
OP λa ( R)
运算律：⑴加法交换律：a b b a
⑵加法结合律：(a b) c a (b c)
⑵平面EG∥平面AC。
O
D
C
A
B
H
G
E
F
小结：1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3 、共线向量（平行向量）的概念及空 间向量共线的充要条件 4、共面向量的概念及向量共面的充要 条件
作业
1.如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，求证： 这四个点共面。
重.心2.如。图求设证AA：G是△1 (BACB D A所C在 A平D)面外的一点，G是△BCD的 3
高中数学 第三章第1节空间向量及其运算知识精讲 理 新人教版A版选修2-1
高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版（理）一、学习目标：1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．2. 理解共线向量的定理及其推论．3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．二、重点、难点：重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．三、考点分析：本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．一、空间向量的概念：模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．方向相同且模相等的向量称为相等向量．二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．2. 向量共面定理：平行与同一平面的向量是共面向量．四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．2. 对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．3. 已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++． 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---． 3. ()111,,a x y z λλλλ=． 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++．5. 若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．6. 若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．7. 222111a a a x y z =⋅=++．8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++．9. ()111,,x y z A ，()222,,x y z B ，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一 空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）思路分析：1）题意分析：本题主要考查共线向量的概念的运用．2）解题思路：利用共线向量的概念，如果b a b a b λ=⇔≠//,0，那么说向量→→b a ,共线．也可观察坐标的系数是不是成比例．解答过程：解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式． 即b a b a b λ=⇔≠//,0，因为(1,3,2)a =-＝－2（－21，23，－1），故答案为C ． 解题后的思考：对于空间共线向量的判定，要么利用坐标对应成比例，要么利用向量的线性关系来判定．例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A ＝a ，11D A ＝b ，A A 1＝c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ）A ．++-2121B ．++2121 C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121思路分析：1）题意分析：本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查学生的空间想象能力． 2）解题思路：把未知向量表示为已知向量，可利用三角形或平行四边形法则解决．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．解答过程：解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+=＝＋21（－+）＝－21＋21＋．故选A ． 解题后的思考：对于空间向量的线性表示，我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则，再结合向量的加法得到．例3、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OM --=2B ．213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 0 思路分析：1）题意分析：本题主要考查共面向量的概念的运用．2）解题思路：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，或者AC y AB x AP +=．解答过程：由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，首先判定A ，B ，D 项都不符合题意，由排除法可知只有选C ．利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ，)(31++=，显然满足题意． 解题后的思考：对空间向量的共面问题，我们只需利用课本中的两个结论判定即可．,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ，A ，B ，C 共面．例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底． 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 思路分析：1）题意分析：本题考查空间向量的基底．2）解题思路：结合空间向量基底的概念，我们逐一的判定．解答过程：命题①中，由于,a b 与任何向量都共面，说明,a b 是共线向量．因此①是错误的．命题②中，由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底，说明了这四点是共面的，因此②是正确的．命题③中，要判定三个向量是否可构成基底，关键是看这三个向量是不是不共面，共面与是共面的，，→→→→→→-+b a b a b a ，因此③是正确的．选C ．解题后的思考：理解空间向量的基底是由不共面的四点，或者说不共面的三个向量构成的．知识点二 空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中，已知)0,4,2(=AB ，)0,3,1(-=BC ，则∠ABC ＝＿＿＿．思路分析：1）题意分析：本题考查用向量数量积求夹角．2）解题思路：首先要注意夹角的概念，是共起点，因此在求角的时候，要注意向量的方向，否则容易出错．解答过程：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC ＝145°解题后的思考：向量夹角的求解是高考中的常考题型，因此，同学们要注意准确运用．例6、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）． ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标思路分析：1）题意分析：本题综合运用向量的数量积来判定垂直，求解夹角．2）解题思路：首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍，于是可转化为求三角形的面积，需先结合数量积求出夹角的余弦值，然后得到夹角的正弦值，再求面积；求向量的坐标，一般是先设出其坐标，然后结合已知条件，列出关系式，进而求解．解答过程：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB ． ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ． ⑵设a ＝（x ，y ，z ），则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）．解题后的思考：向量的数量积是高考中的一个热点话题，出题形式较灵活，只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可．例7、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．（1）求的长；（2）求cos<11,CB BA ＞的值； （3）求证：M C B A 11⊥思路分析：1）题意分析：本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识．考查空间两向量垂直的充要条件．2）解题思路：先建立空间直角坐标系，然后写出坐标，利用坐标的运算进行求解． 解答过程：如图，建立空间直角坐标系O －xyz ．（1）解：依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |＝3)01()10()01(222=-+-+-．（2）解：依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ＝{1，－1，2}，1CB ＝{0，1，2}，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5∴cos<1BA ，1CB >＝30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA ．（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1＝{－1，1，－2}，MC 1＝{21,21，0}．∴B A 1·M C 1＝－2121+＋0＝0，∴B A 1⊥M C 1．解题后的思考：对于空间中的角和垂直的判定，如果不能直接利用定义，我们可以运用代数的方法，结合坐标运算进行．例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'A C '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．思路分析：1）题意分析：本题考查向量的概念及向量的坐标运算，求解有关距离的问题．2）解题思路：对于空间向量的距离的求解，可借助于向量的数量积的性质来解，也可利用坐标运算进行求解．解答过程： 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 的中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分点，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点间的距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．解题后的思考：本题是求解空间几何体中距离的问题，我们一般利用坐标的运算进行求解．解题关键是能把坐标准确地表示出来．小结：通过以上的典型例题，同学们应熟练掌握以下基本概念：共线向量与共面向量，空间向量的基底，以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题．注意处理以上问题的两个方法：向量法与坐标法．空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具，同学们要理解基本概念，并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用．数量积问题是向量问题中经常考查的知识点，要能灵活解决有关的夹角和距离问题，从而为后面的学习打下坚实的基础．一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算，那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢？二、预习点拨探究与反思：探究任务一：用空间向量解决立体几何中有关角的问题 【反思】（1）如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角 （2）具体的求角的公式应如何怎么表示？探究任务二：用空间向量解决立体几何中有关距离的问题 【反思】（1）如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离？（2）求解距离的具体的计算公式是什么？（答题时间：50分钟）一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=2． 已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6），O 为坐标原点，则向量OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 3． 已知空间四边形ABCO 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝（ ）A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+4． 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ，AD AC ，AC AB ，则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5． 空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos BC ，OA ＝（ ） A ．21B ．22C ．-21D ．06． 已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则△ABC 的面积为（ ） A ．3B ．32C ．6D ．267． 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511二、填空题8．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 9．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG ＝x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．10．已知点A （1，-2，11）、B （4，2，3），C （6，-1，4），则△ABC 的形状是 ． 11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成120°的角，则k ＝ ．三、解答题12．如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值13．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP ＝（－1，2，－1）． （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P －ABCD 的体积；（3）对于向量a ＝（x 1，y 1，z 1），b ＝（x 2，y 2，z 2），c ＝（x 3，y 3，z 3），定义一种运算：（a ×b ）·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义．14．若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．1．C ；解析：由于选项A 中当b ＝→0时，就不符合题意，因此A 错误．选项B ，向量共面，但向量所在的直线不一定共面，可以是平行．选项D ，应说明b ≠→0． 2．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．3．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 4．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 5．D ；解析：先建立一组基向量OC OB OA ,,，再处理⋅的值． 6．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 7．C ；解析：利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值，然后再开方即可得到． 8．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<b a ，从而可得结果．9．313161、、； 解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10．直角三角形；解析：利用空间两点间的距离公式得：222||||||AC BC AB +=．11．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 12．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin30°＝23． OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos60°＝1－2121=． ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量的坐标为（0，－23,21）． （2）依题意：）（）（）（0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==， 所以）（）（0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD ．设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=． 13．（1）证明：∵AB AP ⋅＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ． 又∵AD AP ⋅＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ．∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴PA ⊥底面ABCD ． （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -＝31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）． 14．证明：如图，设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EF ＝GH ＝MN 得： 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠，23r r -≠， ∴1r ⊥（23r r -），即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．。
选修2-1(3.1空间向量及其加减运算》说课稿
这 节课 的教 学 目标 。 二、 教学 目标 １ ． 理解 空 间 向量 的概 念 ， 会 用 图 形 说 明 空 间 向量 的线
性运算及其运算律 ， 初步应用空间向量的线性运算解决简 单 的立体 几何 问题 。 ２ ． 学生通过类 比平面向量 的学 习过程 了解 空间向量的 研究内容和方法 ， 经历向量及其运算 由平面 向空间的推广 ， 体验数学概念的形成过程。 ３ ． 培养学生的空间观念和系统学习概念的意识 。 三、 教 学重 点与 教学 难点 这节课 的教学重点是空间向量的概念及线性运算 。在 由平面 向量向空间向量 的推广过程中 ， 学生对于其相 同点
（ 河 北衡 水 中学 ， 河北 衡水 ０ ５ ３ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 本 节课的 内容是《 空间向量及其加减运算》 ， 选 自普通高 中课程标准实验教科 书人教Ａ版选修２ — １ 第三章 。本文 就从教 学内容和学生情况分析 ， 教 学 目标设定 ， 重难点设置 ， 教 学方式 ， 教学过程 以及教 学反 思等 方面对这节课 进行说
论 坛
ＥＤ Ｕ ＣＡ ＴＩ ＯＮ ＴＥ Ａ ＣＨＩ Ｎ Ｇ ＦＯ ＲＵ Ｍ
Ａｐ ｒ ． ２ ０１ ４ Ｎ Ｏ． １ ７
【 教学设计】
选修２ － １ （ （ ３ ． １ 空间向量及其加减运算》 说课稿
陈丽敏
６ ． 教育 学生 正 确处 理青 春 期 问题 。让 学 生正 确 处 理好 青春期问题 ， 对教师提出了更高的要求 ， 要求我们的教师既 是教书者 ， 又是能处理好学生青春期 问题的心理咨询师 ， 同
时教师又要善于发现学生生活中的蛛丝马迹 ，发现青春期 问题 ， “ 早 发现 ， 早诊断， 早治疗” ， 让 青 春期 问题 得 到 及 时 、
空间向量及其加减数乘运算(北师大版选修2-1)
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
解：) AB BC AC; (1 ＝
(2) AB AD AA AC AA AC CC1 AC1 1 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
C
A
Aห้องสมุดไป่ตู้
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法 数乘 运算 运 算 律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
C
B
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列
各式中的x,y.
E
A
D
C
(1) AC x( AB BC CC )
' '
B
(2) AE AA x AB y AD
选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点
空间向量及其运算知识点1.空间向量的有关概念⑴空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)单位向量：模为1的向量称为单位向量(3)相等向量：方向相同且模相等的向量.(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.(5)共面向量：平行于同一个平面的向量.2•空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量uuu uuu uuuu uuuu uuuuuOAn=OA+A| A2+ A2A g+ + An—i A n•运算律：①加法交换律： a + b= b + a ②加法结合律：(a+ b) + c= a + (b + c)③数乘分配律：入(+ b)=入a入b.3.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量 a, b(b丰0) a II b的充要条件是存在实数人使得a =^b推论：|点P在直线 AB上的充要条件是：uuu um存在实数人使得AP AB ①uuu uir uur或对空间任意一点O,有OP OA AB ②um uur urn或对空间任意一点O, 有OP xOA yOB其中x+ y= 1 ③urn uur um uir uuu uur uur uur【推论③推导过程: OP OA AB OA (AO OB) (1 )OA OB】(2)共面向量定理如果两个向量a, b不共线，那么p与a, b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使p = xa+ yb推论：|空间一点P位于平面 ABC内的充要条件|是uur uur uur存在唯一有序实数对(x,y)使AP xAB yAC ,uin uir uur uuu或对空间任意一点O, 有OP OA xAB yACurn uur uur uuu或对空间任意一点O, 有OP xOA yOB zOC，其中x+ y+ z= 1uur uur uuu uuu uur uur uuu【推论③推导过程呈：OP OA xAB yAC (1 x y)OA xOB yOC】(3)空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组｛x, y, z｝,使得p = xa+ yb+ zc基底：把｛a, b, c｝叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.4.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量 a , b，在空间任取一点 0,作OA= a, Ofe= b，则/ AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a, b >,其范围是0w〈 a, b >三爭若〈a, b〉=寸，则称a与b互相垂直，记作a丄b.②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a, b,向量a, b的数量积记作a b,且a b= | a||b |cos〈 a, b >.(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(扫)b=?(ab);②交换律：a b = b a;③分配律：a ( b+ c)= a b + a c.5.空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算：a(2) 共线与垂直的坐标表示：b = a 1b 1 + a 2b 2+ a 3b 3.a / b? a= ?b? a 1 =入 b, a 2=入 2, a 3=入 3 (入€ R),a 丄b? a b= 0? a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3= 0(a, b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式： | a| = .'a a = 'a ! + a 2 + a 3,a b a 1b 1 + a 2b 2+ a 3b 3C0S a,b |a||b|.'a 2+ a 2+ a 3 • b 1 + b 2 +.设 A(a 1, b 1, C 1), B(a 2, b 2,⑵，贝U d AB = | AB| = ： a 2 — a 1 2+b 2— b 1 2+Q —C 1 26. 用空间向量解决几何问题的一般步骤:(1) 适当的选取基底{a, b, c}; (2) 用a ，b ，c 表示相关向量； (3) 通过运算完成证明或计算问题.题型一 空间向量的线性运算 用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量 的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系.例1:三棱锥 O —ABC 中，M, N 分别是OA, BC 的中点，G 是厶ABC 的重心，用基向量 OA, OB, OC 表示MG , OG解析：M G = M A + AG= 2O A+ 3AN= ^OA+ |(O N —O A)=苏+f[2(OB+ OC)—OA]= — |O A+ 3<5B + ^OCC )G = O M + M G = ?OA- 6<5A +|<5B +1(5C = £O A+ |OB + 扌OC〉1 T T —urn uu n uuu uuu例 2:如图所示，ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，ABCD 是平行四边形.若 AE= |EC A*= 2FD,且 EF =x AB+y AD+zAA ,题型二共线定理应用 向量共线问题： 充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与b 共线.点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明 例3:如图所示，四边形 ABCD, ABEF 都是平行四边形且不共面,1 1•/ E A = — 3心-3( AB+ AD) 1 1 2 uuu A F = AD+ DF= AD — F D= A D — A 1D= A D —； (A 1A+ AD)= — AD 3331 uuu 1 uuu AA EF= EA+ AF= AD3 3 1 uuu AA 31 uuu AB 3a 与b ，化简得出a = b ，从而得出a// b,即A 、B 、C 三点共线，即证明 AB 与AC 共线.M , N 分别是AC, BF 的中点，判断CE 与 MN 是否连接 AF, EF= EA+ A F.ABCD- A 1B 1C 1D 1 中，E 在 A 1D 1 上，且 A 1E= 2EDi,AA 1= c.2 2 2 2 2 2 2 A 1 F= §FC= 5A 1 C=5(AC — AA 1) = 5(AB + AD — AA 1) =5a + £b — £c42 2 2 TTTT2 215b — §c= 5 a — 3b — c , EB= EA + A 1A+ AB= — 3b — c+ a= a — 3b — c,T T2•- EF= 5EB •所以E, F, B 三点共线.题型三共面定理应用yPC,或对空间任一点 O,有 OP= OA+ xPB+ yPC 或 OP= xOA+ yOB+ zOC(x+ y+ z= 1)即可uur CE uir CBuur BE uuu MNuuu MC uir CB uuu BN 1 uuu — AC 2TMN , uir i uu uur 1 uuu uu CB (BA BE) (AC BA)uir CB 1 uur 1 uir2BE"CB1 uur BE 2••• CE= 2MN ,••• CE// 即CE 与MN 共线.例5 :已知A 、B 、2C 三点不共线，对于平面 ABC 外一点O,若OP= 5ITT1 2OA+ 5OB+ 5OC,则点P 是否与A 、B 、C定共面试说明理由. 2 UUU 解析：••• OP 5 1TULT OA 2T1 uu u — OB 52 uuu -OC3 2 uuu uir -(OP + PA) 5 1 uuu uir —(OP + PB) 5 2 uu u uuu uiu 2 uir 1 uir 2 uu —(OP + PC)=OP + —PA+— PB + — PC 3 5 5 3• AP=；AB+；AC,故 A 、B 、C P 四点共面•F 在对角线A 1C 上，且心託点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P 、A 、B 、C 四点共面，只要能证明 PA= xPB+例4:如图所示，在正方体2 T例6:如图所示，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， 连结PA 、PB PC PD,点E 、F 、G 、H 分别为△ PAB△ PBC △ PCD △ PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面.证明：分别延长PE 、 ••• E、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，•f f f例7:正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E, F 分别是BBi 和A 1D 1的中点，求证向量 A 1B, BQ, EF 是共面向量.Dy Ci157i1 11 1证明：如图所示，EF= EB+ BA i + A 1F = 2B i B-A i B+ 尹1。
高中数学选修2-1精品教案4-3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计
3.1.1 空间向量及其加减运算一、课题：空间向量及其加减运算二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；2．练习：课本28页第2题．（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a r 平行于b r ，记作：//a b r r ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r ①，其中向量a r 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面α和向量a r ，作OA a =u u u r r ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a r 平行于平面α，记作：//a αr ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．4．共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r ．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r ①上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r （其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？例2．已知ABCD Y ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，（1）求证：四点,,,E F G H 共面；（2）平面AC //平面EG ．五、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．六、作业：1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的12条棱对应的向量中，与向量AD →相等的向量共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列命题中，正确的有( )①若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 是平行四边形”的充要条件②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c③“|a |＝|b |”是“a ＝b ”的必要不充分条件④“AB →＝CD →”的充要条件是“A 与C 重合，B 与D 重合”A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →＝( )A.DB →B.AC →C.AB →D. BA →6. 化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝____________7．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →＝________.9．如图，在四棱柱A ′B ′C ′D ′ABCD 中，求证：AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.10．如图所示，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.答 案例题分析：例1．【答案】解：由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，所以，点P 与,,A B C 共面．【说明】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【答案】解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r ，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵EG k AC =⋅u u u r u u u r ，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．作业：1．【解析】与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个．故选C.【答案】C2．【解析】①正确．因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →.又因为A 、B 、C 、D 不共线，所以四边形ABCD 是平行四边形．反之，在平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →.②正确．因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同．因为b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c .③正确．a ＝b ，|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .④不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|且AB →与CD →同向．故选C.【答案】C3．【解析】DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.故选D.【答案】D6. 解析方法一 因为AB →－CD →＝ AB →＋DC →，所以(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →＋DC →－AC →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝AD →＋DA →＝0.方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.【答案】07．【解析】如图，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BO →＝－b ，OC →＝－a ，所以BC →＝BO →＋OC →＝－b －a .【答案】－b －a9．【证明】如图，作向量AA ′→，AC →，则AB →＋BC →＝AC →，AC →＋CA ′→＝AA ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝AC →＋CA ′→＝AA ′→，在四棱柱A ′B ′C ′D ′ABCD 中，AA ′→＝DD ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.10．【答案】(1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→、AC ′→如图所示．。
高二数学选修2-1 空间向量的运算及空间向量的基本定理(精品)知识精讲
高二数学选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理 北师大版（理） 【本讲教育信息】 一、教学内容：选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标：1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。
2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。
3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。
4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。
三、知识要点分析：（一）平面向量与空间向量的相同点：1. 向量夹角：过空间一点O 作AOB ,OB b ,OA a ∠==则是向量a 与向量b 的夹角。
X 围：[0，]π2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则） 运算律：结合律：)()(c b a c b a ++=++，交换律：a b b a +=+3. 数乘运算法则：向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作：a λ，满足（i ）||||λλ=a ||a ，（ii ）当0>λ时，a λ与a 方向相同，反之，相反。
0a 0=λ=λ时，。
运算律：（i ）).(,R a a ∈=λλλ（ii ）)R ,(,a a a )(,b a )b a (∈μλμ+λ=μ+λλ+λ=+λ.（iii ）),(),()(R a a ∈=μλμλλμ4. 空间向量的数量积：θ⋅=⋅cos |b ||a |b a 。
θ>=<b a ,。
运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅分配律：c a b a )c b (a ⋅+⋅=+⋅，(λ)b a ⋅=b )a (⋅λ)b (a λ⋅=性质：（1）a a |a |⋅，（2）0b a b a =⋅⇔⊥，（3）|b ||a ||b a |⋅≤⋅注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。
3.1.1空间向量及其加减运算(高中数学人版选修2-1)
B(x2,y2)
(x2 － x1 , y2 － y1)
2、平面向量的加法、减法运算
复 习 回 顾
首尾连，指终点b a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
b
共起点，指被减
a
向量减法的三角形法则
3、平面向量的加法、减法运算律
复 习 回 顾
加法交换律：
ab ba
加法结合律： (a b) c a (b c)
A
(1) AC ' AB AD AA '
E C
D
x 1
AB BC CC '
'
B A
B
(2) AE AA AE
1 , AA ( AB AD ) 2
D C
1 x y 2
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
4、平面向量的推广:
复 习 回 顾
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.
(1)AB BC .
A'
D' B'
C'
(2)AB AD AA' .
数学选修2-1 第三章 3.1.1空间向量及其加减运算
牛刀小试 → → → → → → → 4． 化简下列各式： (1)AB＋BC＋CA； (2)AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → (3)OA－OD＋AD； (4)NQ＋QP＋MN－MP.结果为零向量的个数 是( ) A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个
[答案] D
→ → → → → [解析] 对于(1)，AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0； → → → → → → → → → 对于(2)， AB－AC＋BD－CD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD → －AD＝0； → → → → → → → 对于(3)，OA－OD＋AD＝DA＋AD＝0；对于(4)，NQ＋QP → → → → → → → → ＋MN－MP＝(NQ＋QP)＋(MN－MP)＝NP＋PN＝0.
→ → → ＝BA＋BC＋BB1 → → → → → ＝BD＋BB1＝BD＋DD1＝BD1.
新知导学 2．空间向量加法适用平行四边形法则和三角形法则 (多边
首指向尾 ”． 形法则)，多边形法则的规则是“首尾相接，__________
即有限多个空间向量 a1，a2，„„an 相加，也可以象平面 → → 向量那样，从某点 O 出发，逐一引向量OA1＝a1，A1A2＝a2，„， An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2„的起点 O 为起点，终点 → An 为终点的向量OAn，就是 a1，a2，„，an 的和，即 → → → a1＋a2＋…＋an OAn＝OA1＋A1A2＋„＋An－1An＝__________________. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 零向量 ． 上，这时的和向量等于__________
空间向量的概念与表示 温故知新 1．回顾复习平面向量的概念(定义、模、单位向量、相等
高中数学选修2-1优质学案4：3.1.1空间向量及其加减运算
3.1.1空间向量及其加减运算学习目标1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的加法、减法运算．学习重点：空间向量的加减法运算．学习难点：空间向量的基本概念和性质．学习过程知识梳理1．空间向量的概念的图形？2．空间向量的加减法与运算律想一想：已知空间四边形ABCD，则AB＋BC＋CD＋DA＝0还成立吗？名师点睛1．空间向量的理解空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性．形的特征：方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行运算等．空间向量的数形双重性，使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决．空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法． 2．几类特殊向量(1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0| ＝0， 单位向量e 的模|e |＝1.(2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式．(4)两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关．3．向量的加减法法则空间任意两个向量都是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法，如图所示．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b BA →＝OA →－OB →＝a －b注意：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；②若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.题型一 空间向量的概念辨析 例1 给出以下命题：①若空间向量a 、b 满足|a|＝|b|，则a ＝b ； ②在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)． 变式1 判断下列命题的真假．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量BA →与向量AB →的长度相等． 题型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.变式2 化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)题型三 空间向量加减运算的应用例3在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)AB →＋CC 1→－DD 1→.变式3 已知平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′. 求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.——★ 参 考 答 案 ★——学习过程 知识梳理1．空间向量的概念想一想： 成立．∵AB →＋BC →＝AC →，AC →＋CD →＝AD →，AD →＋DA →＝0，∴结论成立． 题型一 空间向量的概念辨析 例1 ②③[解析] 命题①，据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，故①错；命题②符合两个向量相等的条件，②正确；命题③正确；命题④，任意两个单位向量只是模相等，方向不一定相同，故④错． [答案]变式1 解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可． (3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，BA →与AB →仅是方向相反，它们的长度是相等的． 题型二 空间向量的加减运算例2 解 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→.(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→、AC ′→如图所示． 变式2解 法一 (统一成加法)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二 (利用OA →－OB →＝BA →)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD →＝ CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0. 法三 (利用AB →＝OB →－OA →) 设O 是空间内任意一点，则原式＝[(OB →－OA →)－(OD →－OC →)]－[(OC →－OA →)－(OD →－OB →)] ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0. 题型三 空间向量加减运算的应用 例3解：如图．(1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→. (2)AB →＋CC 1→－DD 1→＝AB →＋BB 1→－AA 1→＝AB 1→－AA 1→＝A 1B 1→. 图中AC 1→，A 1B 1→为所求.变式3 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→， AD ′→＝AD →＋AA ′→，∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)． 又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.。
空间向量及其加减运算说课稿
空间向量及其加减运算（说课稿）各位专家评委大家好！我是来自福海县第一高级中学的任燕，今天我说课的课题是《空间向量及其加减运算》，它选自人民教育出版社A版高中数学选修2-1“第三章空间向量与立体几何”的第一节内容。
我将从说教材、说学生、说教法、说学法、说教学过程、说板书设计，六个方面陈述我对本节课的设计方案。
恳请各位专家评委批评指正。
一、说教材：1、地位和作用：向量可以表示物体的位置，其本身也是一种几何图形（既有方向又有长度的线段），因而它成为几何学基本的研究对象；又因向量可以进行加减、数乘、数量积等运算，从而它又成为代数学的研究对象，因此可以说向量是最重要的数学模型，是链接代数与几何的桥梁。
用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。
在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而降低许多立体几何的解题难度，而且由于近几年高考命题倾向于新教材的改革，因此善于运用空间向量来解决立体几何的问题成为高考命题的热点之一,也是应考复习中不可忽视的一个重要问题。
本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。
2、教学的重点和难点：根据教学大纲的要求我确定教学重难点如下：教学重点：（1）空间向量的有关概念；（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义；（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
二、说学生1、学情分析由于学生已经有了一定的平面向量知识和立体几何的空间观念作为基础，在教学中可运用类比和归纳的方法让学生体验数学结构上的层次感和完整性。
虽然空间向量是在平面向量的基础上的进行的推广，涉及的内容与平面中的类似，学生比较容易接受，但是在实际教学中应注意增加了维数所带给学生不利的影响。
选修2-1教案 3.1空间向量及其运算
§3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0 . 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+ =a +b ， AB OB OA =- （指向被减向量）， OP = λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) +c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++= ； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；⑶空间平行四边形法则．5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵；1(3)'2AB AD CC ++ ； 1(')3AB AD AA ++ ⑷． 师生共练 → 变式训练6. 练习：课本P 927. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）三、巩固练习： 作业：P106 A 组 1、2题.教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
2019年高二数学选修2-1 《空间向量及其加减运算》参考学案2
3.1.1空间向量及其加减运算【学习目标】1.知识与技能：理解空间向量的有关概念，掌握其表示方法；掌握空间向量的加法、减法运算及它们的运算律；能借助图形理解空间向量的加减运算及其运算律的意义；2.过程与方法：通过平面向量的有关概念到空间向量的转化，培养学生类比、归纳、数形结合的思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。
学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物。
【重点难点】重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律。
难点：应用向量解决立体几何问题。
【学习过程】一、小组内相互交流讨论“自主学习”内容，并展示讨论1.请同学们利用课堂5分钟时间，小组交流讨论预习内容，互相解疑答惑，补充问题答案，详细列出小组内不能解决的问题。
二、小组合作讨论：1.空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：+==a +b ，OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ空间向量加法与数乘向量有如下运算律：(1)法交换律：a + b = b + a ；(2)法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；(3)乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．2.空间向量加法的运算律要注意以下几点：(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．三、例题探究例1已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： (1)AB+BC (2)AB+AD四、学习总结1.如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？2.由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？3.空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律。
人教A版高中数学选修2-1课件11.11高二理科《3.1.1空间向量及加减运算(1)》.pptx
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D1 A1
D A
C1 B1
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C B
例题讲解D A来自C B例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
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复习引入
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B b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它
b a
A
们可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向
量中有关结论仍适用于它们.
空间向量的加法、减法运算 平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 运算 减法:三角形法则
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 算 律
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
C
a b
O
+
A
b
Байду номын сангаас
B
OB OA AB
a
CA OA OC
空间向量的加减法
类似于平面向量,为了研究的 方便起见, 起点 A 我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念。 （你认为应该怎样规定?）
复习
2.平面向量的加减法与数乘运算
（1）向量的加法：
ab
a
b
ab
a
平行四边形法则
三角形法则
复习
（2）向量的减法
三角形法则
ab b a
3. 平面向量的加法运算律
空间向量及其运算(一)
一、空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.a
c b
常用 a 、 b、 c ……等小写字母来表示.
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
加法交换律： a b b a 加法结合律： （a b） c a (b c)
空间向量的加法、减法运算 平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 运算 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
空间向量
A1
A2
An1
An A3
A4
例题
例 已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下
列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
D’ C’
⑴ AB BC ； ⑵ AB AD AA'；
A’
B’
D
C
A
B
例题
例 已知平行六面体 ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
加法交换律 a b b a 加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 算 律
加法交换律 a b b a
加法结合律 成立吗？
(a b) c a (b c)
说明
对空间向量的加法、减法的说明
⒈ 空间向量的运算就是平面向量运算的推广． ⒉ 两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立． ⒊ 空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加．
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'； 解：⑴AB BC AC ⑵AB AD AA' AC AA' AC CC' AC'
A’
D’
B’
C’
D
A B
C
练习
空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD 边的中点,化简：
A
D G B
1 (1) AB ( BC BD ) 2 1 ( 2) AG ( AB AC ) 2
M
C
练习参考答案
A
(1)原式＝ AB BM MG AG
(2)原式
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) D 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2 G
B
M
BM MG MB
C
MG
人教课标A版选修2-1
Learning English 专业辅导，专业品质
空间向量 及其加减运算
中学生学习报 数学周刊
国家级优秀教辅读物 ISO9001国际质量管理体系认证
复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母 a、 b 等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB表示． 相等的向量：长度相等且方向相同的向量． B D A C
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
A2
An1
An A3
A4
推广
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，
则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0