2008年温州市农村初中教师专业知识竞赛数学试卷及答案
2008全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案题 号 一 二 三 总 分1～5 6～10 11 1213 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x-=+=，，则444y x +的值为（ ）．（A ）7 （B ） 1132+ （C ） 7132+ （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212444311384x ++⨯⨯+==， 2114311322y -++⨯-+==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（第3题）FEDCOA B（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A ）52a （B ）1 （C ）32（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 为半径 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=（第4题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ②（第8题）（第9题答案）NEFMD BCA 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF 交 AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以 a r a h a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．（第8题答案）另解： ()()()ABC S rp p p a p b p c ∆==--- ＝12435125⨯⨯⨯=（这里2a b cp ++=） 所以125512r==， 22125358ABC a S h a ⨯===△ 由△ADE ∽△ABC ，得 3552335a a h r DE BC h --===， 即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6； 当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
2008年温州市小中高试题卷
2008年中小学教师履职、晋升、流动考核1. 本卷满分100分，考试时间120分钟。
2. 答题前，请在试题卷、答题卷的密封区内填写市县名、校名、姓名、准考证号、学科、考核类别（履职、晋升中级或高级、流动考核）。
3. 所有答题均要写在答题卷上，做到书写端正，字迹清晰。
答案写在试题卷上无效。
一、抄写题（10分）在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。
——陶行知要求：①书写端正；②符合规范；③落笔不改。
二、单项选择题（每题2分，共30分）1．得天下英才而教育之，三乐也。
”这句话出自（）A.老子B.孔子C.孟子D.韩非子2．教师的工作目的和使命是（）A.热爱教育事业B.热爱学生C.教书育人D.创新开拓。
3.人们在解决问题的过程中，经常出现“一题多解”的现象，这种思维类型属于（）A.发散思维B.集中思维C.形象思维D.形式逻辑思维4．“入芝兰之室，久而不闻其香；入鲍鱼之肆，久而不闻其臭”，这是感觉的（）A．适应B．对比C．补偿D．相互作用。
5.机械学习与有意义学习划分的主要依据是（）A．学生是否理解学习材料B．学生是否主动学习C．要学习的主要内容是呈现或由学生发现D．学习目的是解决问题或是获得知识6．思想品德教育的实质是（）A．将学生的道德认识转化为道德行为B．培养学生的道德情感C．将一定社会的思想道德转化为受教育者个体的思想品德D．提高学生对客观世界的认识7．维果茨基提出“教学应走在发展前面”的含义是（）A．提前讲授下一阶段才能掌握的内容B．教学可以不考虑儿童现有的发展水平C．教学的重要任务是创造最近发展区D．根据学生现有的水平进行教学8.“通过教学培养学生热爱劳动人民的精神。
”这样陈述的目标是（）A．行为目标B．认知行动结合目标C．含糊的目标D．情感与行为结合的目标9．当某教师在课堂时，学生不声不响，而当离校或离开课堂以后，学生纪律立即松懈。
与这种课堂纪律有关的教师领导类型最可能是（）A．专断型B．民主型C．放任型D．无法确定。
温州市教育教学研究院关于公布2008年农村初中教师专业知识竞赛结果的通知
摘自温州教科研网网址：/edu/readnews.asp?newsid=3682温州市教育教学研究院关于公布2008年农村初中教师专业知识竞赛结果的通知各县（市、区）教育局教研室：2008年温州市农村初中教师专业知识竞赛工作业已结束。
参加本次竞赛的学科为初中语文、数学、英语、科学、历史与社会、思想品德、音乐、美术、体育、信息技术。
经各专家认真评改，共评出一等奖66名，二等奖132名，三等奖213名。
现予以公布：语文：一等奖（10名）二等奖（19名）三等奖（29名）数学：一等奖（10名）瑞安市场桥中学王良光乐清市虹桥镇第一中学吴财华瓯海区茶山中学李胜国瑞安市广场中学倪继革瑞安市场桥中学管鸿达龙湾区永兴中学季昌隆苍南县沿浦中学朱巧燕瑞安市汀田镇第三中学陈金虎瑞安市罗凤镇中学余福兴瓯海区仙岩镇第一中学苏良启二等奖（16名）三等奖（35名）苍南县龙港镇第十一中学黄振民鹿城区仰义中学吴四文永嘉县实验中学涂望星龙湾区沙城中学项彩萍龙湾区永兴中学黄若望洞头县实验中学王振军文成县第二中学赵丽峰永嘉县花坦中学廖丹洞头县大门镇中学吕子鹏苍南县霞关中学陈意望平阳县闹村中学陈尔海瑞安市罗凤中学厉敏洞头县实验中学赵志胜苍南县龙港镇第十二中学付化兴平阳县山门镇中学杨守树瑞安市阁巷中学缪小明瑞安市莘塍民公学校邵晓群文成县第二中学林绍隆平阳县梅溪中学李仰笋永嘉县桥头镇中学王爱平乐清市虹桥实验中学侯旭芬文成县第二中学赵小芬永嘉县黄田中学王晓燕龙湾区天河中学涂圣德洞头县霓北中学宋继夏洞头县鹿西义校李栋苍南县灵溪镇第六中学蔡万忠平阳县钱仓中心校姚必秀苍南县龙港镇第十一中学陈传尊苍南县龙港镇第七中学缪立夏乐清市茗屿中学陈敏静乐清市虹桥镇第二中学赵辉乐清市虹桥实验中学潘丽萍鹿城区双屿中学柯俏逸瓯海区梧田第一中学黄小小英语：一等奖（8名）二等奖（19名）三等奖（31名）科学：一等奖（9名）二等奖（19名）三等奖（29名）历史与社会：一等奖（5名）二等奖（10名）三等奖（15名）思想品德：一等奖（5名）二等奖（10名）三等奖（15名）音乐一等奖（5名）二等奖（10名）三等奖（16名）美术：一等奖（5名）二等奖（10名）三等奖（15名）体育：一等奖（5名）二等奖（10名）三等奖（15名）信息技术：一等奖（4名）苍南县赤溪中学林德优文成县玉壶中学周绮文文成县黄坦中学胡海涛洞头县霓南义校杨细珠二等奖（9名）苍南县大渔学校邵孔敬平阳县水头镇第一中学陈雄文成县第二中学吴向荣温州育英学校曹荣亮苍南县灵溪镇第六中学肖若韩鹿城区双屿中学陈欢隆鹿城区七都中学程记铭平阳县宋埠中学陈明平阳县梅溪中学余玲丹三等奖（13名）二○○九年一月九日主题词：获奖名单知识竞赛农村初中通知抄送：市教育局。
温州市教育教学研究院关于公布2008年农村初中教师专业知识竞赛结果的通知
摘自温州教科研网网址：/edu/readnews.asp?newsid=3682温州市教育教学研究院关于公布2008年农村初中教师专业知识竞赛结果的通知各县（市、区）教育局教研室：2008年温州市农村初中教师专业知识竞赛工作业已结束。
参加本次竞赛的学科为初中语文、数学、英语、科学、历史与社会、思想品德、音乐、美术、体育、信息技术。
经各专家认真评改，共评出一等奖66名，二等奖132名，三等奖213名。
现予以公布：语文：一等奖（10名）二等奖（19名）三等奖（29名）数学：一等奖（10名）瑞安市场桥中学王良光乐清市虹桥镇第一中学吴财华瓯海区茶山中学李胜国瑞安市广场中学倪继革瑞安市场桥中学管鸿达龙湾区永兴中学季昌隆苍南县沿浦中学朱巧燕瑞安市汀田镇第三中学陈金虎瑞安市罗凤镇中学余福兴瓯海区仙岩镇第一中学苏良启二等奖（16名）三等奖（35名）苍南县龙港镇第十一中学黄振民鹿城区仰义中学吴四文永嘉县实验中学涂望星龙湾区沙城中学项彩萍龙湾区永兴中学黄若望洞头县实验中学王振军文成县第二中学赵丽峰永嘉县花坦中学廖丹洞头县大门镇中学吕子鹏苍南县霞关中学陈意望平阳县闹村中学陈尔海瑞安市罗凤中学厉敏洞头县实验中学赵志胜苍南县龙港镇第十二中学付化兴平阳县山门镇中学杨守树瑞安市阁巷中学缪小明瑞安市莘塍民公学校邵晓群文成县第二中学林绍隆平阳县梅溪中学李仰笋永嘉县桥头镇中学王爱平乐清市虹桥实验中学侯旭芬文成县第二中学赵小芬永嘉县黄田中学王晓燕龙湾区天河中学涂圣德洞头县霓北中学宋继夏洞头县鹿西义校李栋苍南县灵溪镇第六中学蔡万忠平阳县钱仓中心校姚必秀苍南县龙港镇第十一中学陈传尊苍南县龙港镇第七中学缪立夏乐清市茗屿中学陈敏静乐清市虹桥镇第二中学赵辉乐清市虹桥实验中学潘丽萍鹿城区双屿中学柯俏逸瓯海区梧田第一中学黄小小英语：一等奖（8名）二等奖（19名）三等奖（31名）科学：一等奖（9名）二等奖（19名）三等奖（29名）历史与社会：一等奖（5名）二等奖（10名）三等奖（15名）思想品德：一等奖（5名）二等奖（10名）三等奖（15名）音乐一等奖（5名）二等奖（10名）三等奖（16名）美术：一等奖（5名）二等奖（10名）三等奖（15名）体育：一等奖（5名）二等奖（10名）三等奖（15名）信息技术：一等奖（4名）苍南县赤溪中学林德优文成县玉壶中学周绮文文成县黄坦中学胡海涛洞头县霓南义校杨细珠二等奖（9名）苍南县大渔学校邵孔敬平阳县水头镇第一中学陈雄文成县第二中学吴向荣温州育英学校曹荣亮苍南县灵溪镇第六中学肖若韩鹿城区双屿中学陈欢隆鹿城区七都中学程记铭平阳县宋埠中学陈明平阳县梅溪中学余玲丹三等奖（13名）二○○九年一月九日主题词：获奖名单知识竞赛农村初中通知抄送：市教育局。
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为 （ ） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6． 已知实数,x y满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为 （ ）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵(2008x y =，∴x y -==y x -==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设12a -=，则5432322a a a a a a a+---+=-2-.解 ∵221a a ===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为52解 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，2AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=︒， 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，所以△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△. 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=12解 根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1.第二试 （A ）一．（本题满分20分） 已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解 整理不等式（1）并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以224a -=或224a +=. 又因为0a ≥，所以a =a =， 于是方程组（3）的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为a b ==a b ==二．（本题满分25分） 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解 （1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即2r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ （1）求a ，b 的值.解 （1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式 220ay xy bx -+≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a =2a =0a ≥，所以a =或4a =. 于是方程组（3）的解为,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为44a b ==44a b == 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解 （1）式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=， 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n a b c ---== （3） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以 2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。
初中数学教师基本能力竞赛(含答案)
第5题图第6题初中数学教师基本能力竞赛全卷共四大题28小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1、雄风商城春节期间，开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，用科学记数法表示为（ ）A 、2×10-5B 、5×10-6C 、5×10-5D 、2×10-62、图(1)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10厘米。
如图(2)，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16厘米，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为（ ）？A 、（22－3 3）厘米B 、（16＋π）厘米C 、18厘米D 、19厘米3、已知一组正数12345,,,,x x x x x 的方差为：222222123451(20)5S x x x x x =++++-，则关于数据123452,2,2,2,2x x x x x + + + + +的说法：①方差为S 2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S 2。
其中正确的说法是（ ）A 、 ①②B 、①③C 、②④D 、③④4．如图，ABC ∆的角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，点是O ABC ∆的外心，，于，于E AC OE D BC OD ⊥⊥，于F AB OF ⊥ 则OD OE OF =∶∶（ ） ．A 、a b c ∶∶B 、cb a 1:1:1 C 、C B A cos :cos :cos D 、C B A sin :sin :sin5、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正AB CEFO第8题图AB Q Oxy第10题多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为（ ） A 、1 B 、32 C 、21 D 、31 6、如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于( ) A 、12 B 、16 C 、43 D 、827、已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、38、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，)2,(n Q 是图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为（ ）． A 、13- B 、12-C 、－1D 、－2 9、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为ａ，第二次掷出的点数为ｂ，则使关于y x ,的方程组223=+=+y x by ax 只有正数解的概率为（ ）A 、121 B 、92 C 、185 D 、3613 10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，-1），C （-2，-1），D （-1，1）。
初中数学教师解题比赛试题及答案
青年教师基本功大赛试题一、选择题（10×2=20分,单选或多选）1.现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（）（A）人本化（B）生活化（C）科学化（D）社会化2. 导入新课应遵循（）（A）导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用（B）要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念（C）导入时间应掌握得当，安排紧凑（D）要尽快呈现新的教学内容3.下列关于课堂教学的改进，理念正确的是（）（A）把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主（B）促进学生的自主学习，激发学生的学习动机（C）教学方法的选用改为完全由教学目标来决定（D）尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律4．为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）（A ）7000名学生是总体（B）每个学生是个体（C ）500名学生是所抽取的一个样本（D）样本容量是5005. 一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体是（）主视图左视图俯视图图2 （A）（B）（C）（D）6．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，那么三角形ABO 的面积Ｓ关于m 的函数关系的图象大致为（ ）7．有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。
若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（ ） (A)21 (B) 31 (C) 61 (D) 918．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形。
甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )（A ）甲 （B ）乙 （C ）甲乙相等 （D ） 无法判断9．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
2008年浙江省初中毕业生学业考试(温州市卷)
2008年浙江省初中毕业生学业考试(温州市卷)科学试题卷亲爱的同学：欢迎参加考试!请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平。
答题时，请注意以下几点：1．全卷共8页，有四大题，35小题。
全卷满分200分。
考试时间120分钟。
2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效。
3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
4．本卷可能用到的相对原子质量有：H一1 C一12 O一16 Cl一35.5 祝你成功!卷I一、选择题(本题有20小题．每小题4分，共80分．每小题只有一个选项是正确的．不选、多选、错选均不给分)1．下列物体．属于非生物的是2．5月17日．奥运火炬在温州传递。
下列情景中蕴含着化学变化的是A．彩旗飘扬 B.气球升空C．火炬燃烧D．声音远扬3．下列哪幅图中的箭头能正确表示球受到的重力的方向4．目前．人类已能从三维视角观测太阳活动。
下列关于太阳的说法正确的是A．太阳表面温度很高B．太阳活动对地球没有影响C．太阳体积比地球小D．太阳是地球的一颗行星5．人们常用模型来表示分子。
如果用。
O一表示氧原子．用“●一表示碳原子．则下图中能表示二氧化碳分子模型的是6．科学家研制出一种纯度极高的碳化硅晶体．该晶体制成的半导体将大大提高电子设备的效率．右图是该晶体的熔化图像．a b C d四点中，表示该晶体正处于固液共存状态的是A．a B．b C．c D．d7．右图是空气组成(体积分数)示意图。
其中甲表示的气体是A．氮气B．氧气C．二氧化碳D．稀有气体8．三氯化硼(BCl3)常用作医药生产中的催化剂．三氯化硼中．氯元素的化合价为-l。
则硼元素的化合价为A．一3 B一2 C．0 D．-39．小明要研究串联电路的电流特点．连接了如图电路．闭合开关后．测出甲、乙、丙三处的电流．则这三处的电流大小关系是A．甲处最大B．乙处最大C．丙处最大D．一样大10．白鳍豚是我国珍稀哺乳动物。
白鳍豚的生殖方式是A．有性生殖B无性生殖C．分裂生殖D．出芽生殖11．下列实验是研究液体内部压强特点的是12．交通管理部门规定．汽车驾驶员和乘客要系安全带。
中小学教师专业素质考试初中数学试题及答案
中小学教师专业素质考试注意事项：1.本试卷答题时间120分钟，满分100分。
2.本试卷包括课程标准、课改理论和学科专业知识三部分内容，请把学科专业知识部分的选择题答案填在答题栏内。
得 分 栏课程标准部分（5分）填空题（每空1分，共3分）1.数学是研究和 的科学。
2.《数学课程标准（2011版）》中所提出的“四基”是指：基础知识、基本技能、基本思想、 。
选择题（每小题1分，共2分）3.对于教学中应当注意的几个关系，下列说法中错误的是（ ） A 、面向全体学生与关注学生个体差异的关系。
B 、“预设”与“生成”的关系。
C 、合情推理与演绎推理的关系。
D 、使用现代信息技术与教学思想多样化的关系。
4.（ ）是对教材编写的基本要求。
A 、直观性B 、科学性C 、教育性D 、合理性课改理论部分（10分）填空题（每题1分，共4分）5.新课改倡导的自主、 、探究三种学习方式，能够最大限度地调动学生学习的积极性和主动性。
6.新课程“新”在观念创新、 和评价创新。
7.新课程的三维目标是知识与技能目标、 、情感态度与价值观目标。
8.新课程要求我们要树立 、交往与互动的教学观、开放与生成的教学观。
单项选择题（每题2分，共6分）9.新课程背景下的教学模式应尽可能尊重（ ） A.教学内容 B.教师 C.每个学生 D.每个人 10.创新教育的核心是培养（ ）A.创新态度B.创新方法C.创新思维D.创新精神 11.新课程所倡导的评价理念是（ ）A.发展性评价观B.过程性评价观C.结果性评价观D.激励性评价观（一）单项选择题（每小题2分，共10分） 12．下列运算正确的是（ ）A ．3x 2+4x 2=7x 4B ．2x 3·3x 3=6x 3C ．x 6x 3==x 2D ．(x 2)4=x 813. 不等式组的解集在数轴上表示为 （ ）A.B.C.D.14.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，点E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，连结AD ．下列结论不正确的是 （ ）A ．∠BAC ＝70°B ．∠DOC ＝90°C ．∠BDC ＝35°D ．∠DCE ＝60° 15. 如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（ ）16.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，且关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，有下列结论： ①b 2﹣4ac ＞0；②abc＜0；③m＞2． ÷10840x x -⎧⎨-⎩＞≤AB DE O（第14题图）17. 计算：= .18.若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 .20. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器. 21. 设点和是反比例函数图象上的两个点，当＜＜时，＜，则一次函数的图象不经过的象限是第 象限.22.如图，AD 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠BAD ＝___________°． 23. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△，连接,则长度的最小值是___________.24. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C 的坐标分别为(1,0),(0,1),(-1,0).一个电动玩具从坐标原点O 出发, 第一次跳跃到点P 1,使得点P 1与点O 关于点A 成中心对称; 第二次跳跃到点P 2,使得点P 2与点P 1关于点B 成中心对称; 第三次跳跃到点P 3,使得点P 3与点P 2关于点C 成中心对称; 第四次跳跃到点P 4,使得点P 4与点P 3关于点A 成中心对称; 第五次跳跃到点P 5,使得点P 5与点P 4关于点B 成中心对称;.…照此规律重复下去，则点P 2015的坐标为____________.2016sin30(2)22-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭°x 31-()11,y x A ()22,y x B xky =1x 2x 01y 2y k x y +-=2MN A 'C A 'C A '（第16题图）（第24题图） （第23题图）（第22题图）（三）解答题（共22分）25.（5分）先化简，再求值：，其中，满足26.（5分） 如图，在边长为9的正三角形中，，，求的长．22226951222a ab b b a b a aba b a ⎛⎫-+÷--- ⎪--⎝⎭a b 42.a b a b +=⎧⎨-=⎩，ABC 3BD =60ADE ∠=°AE27.（6分）如图，小山顶上有一信号塔，山坡的倾角为，现为了测量塔高，测量人员选择山脚处为一测量点，测得塔顶仰角为，然后顺山坡向上行走100米到达处，再测得塔顶仰角为，求塔高．（结果保留整数，）28.（6分）某镇统计了该镇今年1～5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：（1）某镇今年1～5月新注册小型企业一共有________家，请将折线图补充完整；（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业．现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率．AB BC 30°AB C 45°E 60°AB 1.73 1.41今年1～5月各月新注册小型企业数量占今年前五月新注册小型企业总量的百分比扇形统计图今年1～5月各月新注册小型企业数量折线统计图（四）解答题（共16分）29.（8分）某景区的三个景点A ，B ，C 在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A 出发，甲步行到景点C ，乙乘景区观光车先到景点B ，在B 处停留一段时间后，再步行到景点C ． 甲、乙两人离开景点A 后的路程S （米）关于时间t （分钟）的函数图象如图所示．根据以上信息回答下列问题： （1）乙出发后多长时间与甲第一次相遇？（2）要使甲到达景点C 时，乙与C 的路程不超过400米，则乙从景点B 步行到景点C 的速度至少为多少？（结果精确到0.1米/分钟）第29题图甲30.（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径。
浙江省2008年初中数学联赛(初二组)初赛试卷及答案
2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题（本卷满分120分，考试时间120分钟，允许使用科学计算器。
）一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分。
每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个正确，请将它前面的代号填入题后的括号内，多选、少选、不选皆不得分。
）1．关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax 2－bx －c=0的根为（ ） A . －2，－3 B. －6，1 C.2，－3 D. －1，6 2．已知动点P 在边长为2的正方形ABCD 的边上沿着A －B －C －D 匀速运动，x 表示点P 由A 点出发所经过的路程，y 表示△APD 的面积，则y 和x 之间函数关系的图像大致为 （ ）A B C D3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
那么，所有的三位数中，“奇和数”有多少个？ （ ） A.200 B.120 C.160 D.100 4．设a 、b 、c 均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是 （ ）A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a5．三角形的三内角A 、B 、C 的对边长分别是a 、 b 、 c(a 、 b 、 c 都是素数)，且满足a ＋b ＋c ＝16，又设∠A 是最小内角。
则cosA 的值是（ ） A .71 B .72 C.4947D.条件不足，无法计算 6．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.60m ，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为 （ ） Ａ．2.5cm Ｂ．5.1cm Ｃ．7.5cm Ｄ．8.2cm 7．如图2，一个边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是（ ）。
浙江省温州地区初中数学竞赛选拔试卷含答案
G FE'C'E A DB C浙江省温州地区初中数学竞赛选拔试卷（检测范围：初中数学竞赛大纲要求所有内容）一、单项选择题（本大题分4小题，每题5分，共20分）1、设二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1,0)，若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点，则( ). A ．a (x 1-x 2)=d B ．a (x 2-x 1)=d C ．a (x 1-x 2)2=d D ．a (x 1+x 2)2=d2、如图，ΔABC 、ΔEFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当ΔEFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是( ). A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13-3、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°)，被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为( ). A ．72° B ．108° C ．144° D ．以上选项均不正确4、方程()y x y xy x +=++322的整数解有( ).A 、3组B 、4组C 、5组D 、6组 二、填空题（本大题分16小题，每题5分，共80分）5、如图，在矩形ABCD 中，AB =64，AD =10，连接BD ，DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE ∆绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE ∆为''E BC ∆，当射线'BE 和射线'BC 都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ，若BFD ∆为等腰三角形，则线段DG 长为 .6、如图，在平面直角坐标系中，点M 是第一象限内一点，过M 的直线分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，且M 是AB 的中点.以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴，y 轴于C 、D 两点，交直线AB 于点E (位于点M 右下方)，连结DE 交OM 于点K .设x OBA =∠tan (0<x <1)，y MKOK=，则y 关于x 的函数解析式为 .7、如图，梯形ABCD 的面积为34cm 2，AE=BF ，CE 与DF 相交于O ，OCD ∆的面积为11cm 2，则阴影部分的面积为______cm 2．8、如图，四边形ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点第5题 第2题 第6题 第7题A 和对角线的交点P ，分别交AB 、AD 于点F 、E ．若⊙O 的半径为23，AB =2+1，则EDAE的值为 ． 9、已知一个正三角形的三个顶点在一个正方形的边上移动.如果这个内接三角形的最大面积是3.则该正方形的边长为 . 10、在四边形ABCD 中，边AB=x ，BC=CD =4，DA =5，它的对角线AC=y ，其中x ，y 都是整数，∠BAC =∠DAC ，那么x = ．11、如果满足 ||x 2-6x -16|-10| = a 的实数x 恰有6个，那么实数a 的值等于 ．12到三百多千米以外的乙站，已知每列货车的平均速度都相等，且记为v千米/小时．两列货车实在运行中的间隔不小于225v ⎛⎫⎪⎝⎭千米，这这批救灾物资全部运到目的地最快需要6小时，那么每隔 分钟从甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到.13、已知0≤a-b ≤1，1≤a+b ≤4，那么当a -2b 达到最大值时，8a +2015b 的值等于 .14、在边长为l 的正方形ABCD 中，点M 、N 、O 、P 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上．如果AM=BM ，DP =3AP ，则MN+NO+OP 的最小值是 .15、如图，在四边形纸片ABCD 中，AB=BC ，AD=CD ，∠A =∠C =90°，∠B =150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD =______________. 16、从1,2,…,中选出总和为1009000的1004个数，并且这1004个数中的任意两数之和都不等于．则这1004个数的平方和为 ． 17、已知直角三角形ABC 中，斜边AB 长为2，∠ACB =90°，三角形内一个动点到三个顶点的距离之和的最小值为7，则这个直角三角形的两个锐角大小分别为 ， ． 18、若实数x 、y 满足：=+-13x x y y -+23，则若设p=x+y ，则p max = ，p min = ． 19、已知平面上有4个圆叠在一起形成10个区域，其中在外区域的三个圆每个圆有5个区域，在内区域的圆有7个区域．现将数字0,1,…,9分别放入10个区域，且使每个圆都有相同的数字和，则数字和S 的取值范围为 ．第8题 第10题第15题 第19题x 1x 2 x 3x 4 x 5 x 6x 7x 8 x 9x 1020、已知∠BAC =90°，四边形ADEF 是正方形且边长为1，则CABC AB 111++ 的最大值为 ，简述理由(可列式)： .三、分析解答题（本大题分5小题，分值依次为8分、10分、8分、14分、10分，共50分）21、(8分)牛顿和莱布尼茨于17世纪分别地创立了积分学.其中有一个重要的概念：定积分.我们规定把函数()x f 中区间[]b a ，(包括a ,b )与x 轴围成的面积记作：()⎰ba x x f d .(1).试证：()()x x f k x x kf babad d ⎰⎰=；(2)．对于任意实数c b a ，，其中(a ＜c ＜b ),是否都有：()()()⎰⎰⎰+=bccabax x f x x f x x f d d d .如没有请举出反例；如有，请证明之.22、(10分)在正方形ABCD 的AB 、AD 边各取点K 、N ，使得AK ·AN =2BK ·DN ，线段CK 、CN 交对角线BD 于点L 、M ，试证：∠BLK =∠DNC =∠BAM .第20题 ABD E C23、(8分)设AB ，CD 为圆O 的两直径，过B 作PB 垂直AB ，并与CD 延长线相交于点P ，过P 作直线PE ，与圆分别交于E ，F 两点，连AE ，AF 分别与CD 交于G ，H 两点(如图)，求证：OG=OH .24、(14分)如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ，以AQ 为边作Rt ABQ ∆，使∠BAQ =90°，AQ ：AB =3：4，作ABQ ∆的外接圆O ．点C 在点P 右侧，PC =4，过点C 作直线m ⊥l ，过点O 作OD⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使DF =23CD ，以DE ，DF 为邻边作矩形DEGF ．设AQ =3x ． (1)用关于x 的代数式表示BQ ，DF ．(2)当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． (3)在点P 的整个运动过程中，①当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形？②作直线BG 交⊙O 于点N ，若BN 的弦心距为1，求AP 的长．第23题25、(10分)有A、B、C三个村庄，各村分别有适龄儿童a、b、c人.今要建立一所小学，使各村学生到校总里程最短.试问：若三村人数不一定相等时学校应建在哪里？初 中 数 学 竞 赛 选 拔 试 卷参 考 答 案一、单项选择题()题目 1 2 3 4 答案BDDD二、填空题(本大题分5、1798 6、212xy -= 7、12 8、222或 9、332+ 10、4或5 11、10 12、12 13、8 14、 48515、 432+或32+16、1351373940 17、30°,60° 18、2213921539++或 19、21≤S ≤25 20、221+；理由：求式=1+BC1，又EFC BDE ∆∆∽⇒BD ·CF =1，BC 2≥2+2BD ·CF +CF BD •4=8∴计算可得为221+三、分析解答题(本大题分5小题，分值依次为8分、10分、14分、10分，共50分)21、(8分)【解】(暂无解答，征求答案) 22、(10分)【解】连结KN 、KM ，将NDC ∆绕点C 顺时针旋转90°得EBC ∆.AB=AD ⇒AK+BK=AN+DN ⇒(AK-AN )2=(DN-BK )2⇒AK 2+AN 2-2AK ·AN =DN 2+BK 2-2ND ·BK (两边同加2AK ·AN )⇒AK 2+AN 2=(DN +BK )2(由AK ·AN =2BK ·DN 可知),结合图可知NK 2=KE 2 ∴EKC NKC ∆∆∽(SSS )∴∠DNC =∠KEC =∠KNC ，且∠KCN =45° ∴B 、C 、M 、K 四点共圆(∠KBN =45°) ∴KM ⊥CN ，∴A 、K 、M 、N 四点共圆 ∴∠KAM =∠KNM =∠DNC ，又∠MDN =45°=∠KCN ∴N 、L 、C 、D 四点共圆，∴∠DNC =∠DLC =∠KLB ∴∠DNC =∠KAM =∠KLB (即∠BLK =∠DNC =∠BAM )23、(8分)【解】23、第23题解24、(14分)【解】25、(10分)【解】(I)当三村人数相等时，分以下两种情形(如图)：(1)ABC∆中最大角大于120°，不妨令∠A≥120°，则学校应建在A村；(2)ABC∆中最大角小于120°，则学校应建在X点(此点到三边的张角相等，亦称ABC∆的费马点) (II)当三村人数不一定相等时，则学校所在地X，可通过物理学的模拟方法求出：在平面上，用三点A、B、C模拟三村，用重物a、b、c模拟相应各村人数，并用细线通过滑轮连接于X点.当出现平衡时，平衡点X就是学校该建的地方.由静力学势能原理可知：AX·a+BX·b+CX·c达最小值，即各村分别有适龄儿童到校总里程最短.当a=b=c时，AX、BX、CX三方向拉力ABC (1)XABC(2)相等且平衡.由对称关系，立得：∠AXB=∠BXC=∠CXA=90°.。
2008浙江数学竞赛及答案
bECDB2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )（A ）7.5秒 （B ）6秒（C ）5秒 （D ）4秒 解：答案：【D 】设高速列车和普通列车的车速分别为x 米/秒和y 米/秒，则100520(/)x y m s -=÷=，所以坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是：80÷20=4(秒)2．将一张边长分别为a ，b )(b a >的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长为( )（A （B（C （D 解：答案：【A 】CPE CBA ∆∆2PE CP CP PE AB AB BC BC a⇒=⇒==2EF PE ⇒==3．如图，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白 两个甲壳虫同时从A 点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB →BB 1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n n 与第2+条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：答案：【C 】 黑甲壳虫爬行的路径为：111111111......AA A D D C C C CB BA AA A D →→→→→→→→ 白甲壳虫爬行的路径为：111111111......AB BB B C C D D A A A AB BB →→→→→→→→(第3题)ABCD A 1B 1C 1D 1黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因2008=334×6+4，所以当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C ，白甲壳虫停在点D 1，因此1CD =4．设m ，n 是正整数，满足m ＋n ＞mn ，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1； ② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④ m ，n 至少有一个等于1．其中正确的结论是（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④ 解：答案：【D 】 由m n mn +>，得(1)(1)1m n --<，因m ，n 是正整数，所以(1)(1)0m n --=， 即11m n ==或5．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高 点到水平线的距离为（ ） （A ）11024 （B ）17041024（C ）17051024（D ）2 解：答案：【C 】设第n 层的最高点到水平线的距离记为：(1,2,,10)n a n =由题意，得224412132435411111;();();();();2222a a a a a a a a a ==+=+=+=+66106576109111();();;();222a a a a a a =+=+=+把这10条式子左右相加，得2468101010111111170512[()()()()()]()2222221024a =+⨯++++-=6．有10条不同的直线n n b x k y +=（n = 1，2，3，…，10），其中369k k k ==，47100b b b ===，则这10条直线的交点个数最多有（ ）（A ）45个 （B ）40个 （C ）39个 （D ）31个 解：答案：【B 】如图，满足已知条件的6条直线至多有10这6条直线最多有6个交点，再增加一条直线与前7交点，……一直增加到第10条直线与前9条直线最多有9个 交点，所以这10条直线的交点个数最多有：10+6+7+8+9=40(个二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ， 使13AE AB =，14AF AD =，连结EF 交对角线AC 于G ，则AC的值是 ． 水平线第一层 第二层 第三层 第四层（第5题）x ，y ，zz y x ++11，x z y ++11,yx z ++11 （第10题）M解：答案：17如图，1//33AE AF AB CD DM AE DM FD ⇒==⇒=113367AG AE AE AE AG GC CM CD DM AEAE AC ∴====⇒=++ 8的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 解：答案：2连结OO 1， AB ，则有OO 1⊥AB 于点P ，在1Rt APO Rt APO ∆∆和中，222222222111112)AP AO OP O A O P O P O P O P =-=-⇒-=-⇒即点O 1在AB 上与点P 重合，易知AB 是圆O 1的直径，三角形ABO 是直角三角形. 所以222111=(22)2242S ππ⨯⨯-⨯⨯-⨯=阴影 9．已知y =26x mx +-，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，那么实数x 的取值范围是． 解：答案：332x -<<由26<0x mx +-，22mmx +-<<=解得-当1≤m ≤3时，1=3 22m +-则 -的最大值为-； 所以，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，即260x mx +-<恒成立时， x 的取值范围是3x -<<. 10．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x ，y ，z 时，对应输出的新数依次为z y x ++11，x z y ++11，yx z ++11．例如，输入 1，2，3，则输出56，34，23. 那么当输出的新数为31，41，51时，输入的3个数依次为 ．（第8题）解：答案：1111 1132，， 2221112=333()1113=4()3(0)425()26111=5x y z kx k x y z xy xz x y z xy k xy yz x y z yz k y k k y z x yz xz x y z xz k z k z x y ++=⎧⎧+=⎪⎪+⎪+=++=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪+⇒+=++−−−−→=⇒=>⎨⎨⎨⎨+⎪⎪⎪⎪+=++=⎩⎩⎪⎪=+⎪⎪⎩+⎩令1111,,1132k x y z x y z ⇒=++=++=++⇒=== 11．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列． 解：答案：45记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则232431091;2;3;............9.a a a a a a a ==+=+=+ 所以10123.....945a =++++=12．设整数a 使得关于x 的一元二次方程255261430x ax a -+-=的两个根都是整数，则a 的值是 ．解：答案：18. 由题意，得222255202860(552)156()a a a k k N ∆=-+=-+=∈即22(552)156[(552)][(552)]782262ka k a k a --=⇒+-⨯--=⨯=⨯因为[(552)][(552)]ka k a +---和具有相同的奇偶性且[(552)][(552)]2k a k a k +---=≥+0故(552)=78(552)=26(552)=2(552)=6(552)=2(552)=6(552)=78(552)=26k a k a k a k a k a k a k a k a +-+-+-+-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--------⎩⎩⎩⎩或或或 解得，只有=40=18k a ，符合题意。
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试1、【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2、【答】D .解 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3．【答】C .解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C . 4．【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒， ∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数.所以r的最小值为44498()()91010()988()()1010i n ii n iaa+---⋅⋅=⋅⋅. 故选B.6．【答】D.解∵(2008 x y-=，∴x y==y x==+由以上两式可得x y=.所以2(2008x=，解得22008x=，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x-+--=-+--=-=. 故选D.1．解∵2213()122a a===-，∴21a a+=，∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a aa a a a a+---++--++=-⋅-33332221211(1)(11)2(1)1a a a aa aa a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．解设正方形ABCD的中心为O，连AO，则A O B D⊥，AO OB==2MO===,∴MB MO OB=-又135ABM NDA∠=∠=︒，13590NAD MAN DAB MAB MAB∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB∠=∠，所以△ADN∽△MBA，故AD DNMB BA=，从而12ADDN BAMB=⋅==.根据对称性可知，四边形AMCN的面积115222(22222MANS S MN AO==⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=△.3．解 根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=. 4．解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1. 第二试 （A ）一．（本题满分20分）解 整理不等式（1）并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以224a =或224a +=. 又因为0a ≥，所以4a =或4a =， 于是方程组（3）的解为4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为44a b ==和a b == 二．（本题满分25分）解 （1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△O B C ，从而O B A O B C ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC，所以BD BO AB AC =，即2r a l y=，故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 的最小值为2 三．（本题满分25分）解 （1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 （B ）一．（本题满分20分解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以224a =或224a +=，又因为0a ≥，所以4a =或a =. 于是方程组（3）的解为4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为44a b ==44a b == 第二试 （C ）三．（本题满分25分）解 （1）式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=， 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n a b c ---== （3） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以 2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。
2008年温州中学自主招生模拟试卷(数学)
∴ AO ∥ FG 。
15、证明：连结 OA，OD，并延长 OD 交△ABC 的外接圆于 M ︿ ︿ 则 OD⊥BC，BM＝MC
A
∴A、E、M 三点共线
G E O B H
F
∵AE、AF 分别是△ABC 的∠A 及其外角平分线， ∴AE⊥AF 又∵HE⊥AE，HF⊥AF ∴四边形 AEHF 为矩形. 因此 AH 与 EF 互相平分，设其交点为 G 1 1 于是：AG＝ AH＝ EF＝EG 2 2 而 OA＝OM，且 OD∥AH 故 EG∥OA (1) ∴OD＝
14、 （本题满分 15 分）如图， BD, CE 是△ ABC 的两条高， F 和 G 分别是 DE 和 BC 的 中点， O 是△ ABC 的外心。求证： AO ∥ FG 。
D F E A
B
G
C
O
15、 （本题满分 15 分）如图，O、H 分别是锐角△ABC 的外心和垂心，D 是 BC 边的中点， 由 H 向∠A 及其外角平分线作垂线，垂足分别是 E 是 F.证明：D、E、F 三点共线.
2004 34 9 17043 4
由 | AB | 5 分别以 A，B 为圆心， 2 ， 5 2 为半径作两个圆， 则两圆外切，有三条共切线。正确答案为 C。
4、C
9 5 2 3 1 6 5
5、D 解：设 S x1 x2 x100 ，则 x k ( S x k ) k ，即 k 2 x x S ，对 k 求和得
8、4168 11、3953
9、
5 5
10、11∶60
前 n 次总共取了 1 2 3 n
n(n 1) n(n 1) 项，满足不等式 2008 的最大整 2 2
温州市第三届初中数学学科知识竞赛试卷
温州市第三届初中数学学科知识竞赛试卷一 选择题（每小题5分，共30分）1．平面上，在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）个. A .4 B .3 C .2 D .1 2.如图，A 、C 是函数xy 1=的图象上的点，且A 、C 关于原点对称. AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B 、D ，如果四边形ABCD 的面积为S ，那么（ ）A .S =1B .1＜S ＜2C ..S=2D .S ＞23．如图，直角梯形ABCD 中，A D ∥BC ，A B ⊥BC ，AB =7，AD =2，BC=3，如果在AB 边上取一点P ，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 能取到（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直角梯形ABCD 中，A D ∥BC,A B ⊥BC ，AD=3，BC=5，将腰DC 绕点D 的逆时针方向旋转90°至DE ，连结AE ，则△ADE 的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图,甲、乙两人在斜坡AB 上作往返跑训练．已知：甲上坡的速度是a 米/分，下坡的速度是b 米/分，（a ＜)b ；乙上坡的速度是12a 米/分，下坡的速度是2b 米/分．如果甲、乙二人同时从点A 出发，时间为t （分），离开点A 的路程为S （米）．那么下面图象中，能大致表示甲、乙两人从点A 出发后的时间t （分）与离开点A 的路程S （米）之间的函数关系的是（ ） A CBD OBAAt （分）S （米）Bt （分） S （米）Ct （分）S （米）Dt （分）S （米）ABCD（第2题）（第3题）（第4题）（第5题）市（县） 学 校 姓名 准考证号码 ………………………………………………………………… 密 …………………… 封 ……………………… 线 ……………………………………………6．甲、乙两个茶杯中各装有200克盐水和糖水，盐水的含盐量与糖水的含糖量相等。
温州市第三届初中数学学科知识竞赛试卷
温州市第三届初中数学学科知识竞赛试卷一 选择题〔每题5分，共30分〕1．平面上，在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是〔 〕个. A .4 B .3 C .2 D .12.如图，A 、C 是函数的图象上的点，且A 、C 关于原点对称. AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B 、D ，如果四边形ABCD 的面积为S ，那么〔 〕A .S =1B .1＜S ＜2C ..S=2D .S ＞23．如图，直角梯形ABCD 中，A D ∥BC ，A B ⊥BC ，AB =7，AD =2，BC=3，如果在AB 边上取一点P ，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 能取到〔 〕个.A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直角梯形ABCD 中，A D ∥BC,A B ⊥BC ，AD=3，BC=5，将腰DC 绕点D 的逆时针方向旋转90°至DE ，连结AE ，那么△ADE 的面积是〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．45．如图,甲、乙两人在斜坡AB 上作往返跑训练．：甲上坡的速度是a 米/分，下坡的速度是b 米/分，〔a ＜ b ；乙上坡的速度是12a 米/分，下坡的速度是2b 米/分．如果甲、乙二人同时从点A 出发，时间为t 〔分〕，离开点A 的路程为S 〔米〕．那么下面图象中，能大致表示甲、乙两人从点A 出发后的时间t 〔分〕及离开点A 的路程S 〔米〕之间的函数关系的是〔 〕 6．甲、乙两个茶杯中各装有200克盐水和糖水，盐水的含盐量及糖水的含糖量相等。
现将A CBD OBAAt 〔分〕S 〔米〕OBt 〔分〕 S 〔米〕Ct 〔分〕S 〔米〕Dt 〔分〕S 〔米〕ABCD〔第2题〕〔第3题〕〔第4题〕〔第5题〕市〔县〕 学 校 姓名 准考证号码 ………………………………………………………………… 密 …………………… 封 ……………………… 线 ……………………………………………甲杯中的盐水倒一局部到乙杯中，调匀后再倒回同量的混合液体那么〔 〕 A ．甲杯中液体的含盐量大于乙杯中液体的含糖量. B ．甲杯中液体的含盐量等于乙杯中液体的含糖量. C ．甲杯中液体的含盐量小于乙杯中液体的含糖量.D ．甲杯中液体的含盐量及乙杯中液体的含糖量谁多谁少不能确定.二 填空题〔每题6分，共30分〕7．如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，并都及直线y ＝33x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3， 那么当r 1＝1时，r 3＝ _____. 8. 如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 及AC 成60°的角，在直线l 上取一点P ，使∠APB=30°，那么符合条件的点P 共有 个9．记1231515,,253322y x y x y x =-+=+=-+，对每一个实数x ，都有唯一的一个值 y 1，y 2，y 3及之对应，取y 为三数之中的最小值，当x 取遍所有实数时，所有y 值中 的最大值为_________.222y x mx n =+-,假设图像经过点(1,1)，且记m ，n+4两数中的较大者为p ，那么p 的最小值为.11．△ABC 中，∠C=300，BM 是AC 边上的中线，AC=2a ，假设沿直线BM 将三角形对折起来，发现两个小三角形ABM 和BCM 重叠局部的面积恰好等于△ABC 面积的四分之一.那么△ABC 的面积是 .三、解答题〔五大题，共60分〕12.〔此题8分〕正数a,b 满足a 3b+ab 3-2a 2b+2ab 2=7ab-8，求a 2-b 213．〔此题10分〕一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟．翻开烟盒的顶盖后，lAB C〔第7题〕〔第8题〕二十支香烟排列成三行，如下图．经测量，一支香烟的直径约为0.75 cm ，长约为8.4 cm ． (732.13≈，以下计算结果均保存4个有效数字) （1）求矩形ABCD 的面积；（2）制作这样一个封闭的长方体烟盒至少需要纸张面积是多少cm 2〔不考虑接缝〕？14.〔此题14分〕如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动〔不及点B 重合〕，点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停顿运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． 〔1〕求证：△DHQ ∽△ABC ；〔2〕当点D 在线段EQ 上时，求y 关于x 的函数解 析式，并求y 的最大值；〔3〕当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？15.〔此题14分〕设整数,,a b c 〔a b c ≥≥〕为三角形的三条边长，且满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过20的三角形的个数.〔第14题〕H………………16.〔此题14分〕如图，用水平线及竖直线将平面分成假设干个边长为1的小正方形格子,点O、A、B均在正方形格子的顶点〔称格点〕处，其中点O及点A在位于同一水平线上相距a 格，点O及点B位于同一竖直线上相距ｂ格.〔1〕假设a=5，b=4，那么△OAB中〔不包括三条边〕，共有多少个格点？〔2〕假设a、ｂ互质，那么在线段AB上〔不包括A、B两点〕是否有格点？证明你的结论.〔3〕假设a、ｂ互质，且a＞ｂ＞8，△OAB的值.温州市第三届初中数学学科知识竞赛参考答案及评分标准二、填空题〔每题6分，共30分〕7. 9 8. 2 9. 2 10. 2 11.或22a (第11题视情况给分)三、解答题〔五大题，共60分〕12.(此题8分)正数a,b 满足a 3b+ab 3-2a 2b+2ab 2=7ab-8，求a 2-b 2的值.[]()()).........(. (3)2112)( (020)1,)4(....................221)3(....................8821)(2)(872)(2)()2(....................872)(2)2()1(.....................87)(2)(872222222222222222222233８分（舍去）或者６分都是正数分分分分=-∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-=--∴--=--∴-+-=+---∴-+-=---∴-+-=--+-∴-=--+∴-=+-+b a b a b a ab b a b a ab b a ab ab b a b a b a ab ab b a b a ab b a ab ab b a b a ab b ab a ab ab b a ab b a ab ab ab b a ab b a13.〔此题10分〕〔1〕解：如图，作321O O E O ⊥． ∵ 4375.0133221====O O O O O O ， ∴ ．∴ ，………………………(2分)〔cm 〕． ………………………(2分) ∴ 四边形ABCD 的面积是：)cm (76.1075725.10166336343334212≈=+=+⨯ ………………………(5分) 〔2〕制作一个烟盒至少需要纸张： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯+++4.84214.8433316633632)cm (1.144096.1442≈=．…………(10分)∴ 制作一个烟盒至少需要的纸张是144.1)cm (214.〔此题14分〕〔1〕∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ， ∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ， ∴A HDQ ∠=∠，∴△DHQ ∽△ABC ．………………………(3分)〔2〕如图1 x x x x y 4152343)410(212+-=⨯-=． 当时，最大值．………………(6分) 〔3〕①如图1，当5.20≤<x 时，假设DE =DH ，∵DH =AH =， DE =x 410-，∴x 410-=x 45，． 显然ED =EH ，HD =HE 不可能；………………(10分) ②如图2，当55.2≤<x 时，假设DE =DH ，104-x =x 45，；假设HD =HE ，此时点D ，E 分别及点B ，A 重合，5=x ； 假设ED =EH ，那么△EDH ∽△HDA ， ∴，，．∴当x 的值为时，△HDE 是等腰三角形. ………………(14分)15. (此题14分) 设整数,,a b c 〔a b c ≥≥〕为三角形的三条边长，且满足 22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过20的三角形的个数. 解 由等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ① ………… ………………(2分)令,a b m b c n -=-=，那么a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ② ………… ………………(4分)由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组： 和 …………………………………… ………………(6分)〔图1〕C〔图2〕〔1〕当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长， 所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >. ……… ………………(8分) 又因为三角形的周长不超过20，即20)1()4(≤++++=++c c c c b a ，解得5≤c .因此53≤<c ，所以c 可以取值4，5对应可得到2个符合条件的三角形. ………………(10分) 〔2〕当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长， 所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >. ………………(12分) 又因为三角形的周长不超过20，即20)3()4(≤++++=++c c c c b a ，解得.因此， 所以c 可以取值2，3，4对应可得到3个符合条件的三角形.综上所述，满足条件的三角形共有5个. …………………… ………………(14分)16.〔此题14分〕解：〔1〕根据题意，在△OAB 内〔不包括 三边上的点〕的格点数n 应满足， 当ａ=5、ｂ=4时，，〔这里n可认为是关于ａ、ｂ的二元函数。
【精品】2008年温州市中考数学试题及答案解析
．由图可知，最喜欢篮球的频率
是（
）
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1
A． 0.16
B． 0.24
糖果工作室 原创 欢迎下载！
C ． 0.3
D． 0.4
九年级（ 1）班学生最喜欢体育项目的频数分布直方图
C
B
频数（人）
D
24
20
20
16 12
12
8 4
4
6
8
O
E
I
A
H FG
（第 10 题图）
O 羽毛球 乒乓球 跳绳 篮球 其它 体育项目
点 D 为 A B 中点， B D
AB 3 ．
2
10 ．
DHB
A 90 ， B
B．
△ BHD ∽ △ BAC ，
DH BD ， DH
AC BC
BD AC
BC
3 8
10
12 ．
5
（ 2） QR ∥ AB ， Q RC
A 90 ．
C
C ， △ RQC ∽ △ ABC ，
RQ QC
y 10 x
，
，
AB BC
①
2
x
3x
1
0 ；② ( x
2
1)
3 ；③
2
x
3x
0 ；④
2
x
2x
4．
18．（本题 8 分） 如图， 在直角坐标系中， R t△ AO B 的两条直角边 O A， O B 分别在 x 轴的负半轴， y 轴的
负半轴上，且 O A 2， O B 1 ．将 R t△ AO B 绕点 O 按顺时针方向旋转 90 ，再把所得
根据题意，得
x y 60 (1 40 %) x (1 64 %) y
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(第2题)
F E
B
C
A
D
温 州 市 农 村 初 中 教 师 专 业
知 识 竞 赛
(数学试卷) 2008.12.13
(本卷满分120分，考试时间：120分钟)
一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分) 1、已知22()8,()12,a b a b +=-=则22a b +的值为( ) A ．20 B. 10 C. 8 D. 4
2、如图，在ABC ∆中，AB=AC ，D 点在AB 上，DE AC ⊥于E ，
EF BC ⊥于F 。
若140,BDF ∠=︒那么DEF ∠等于( )
A. 55︒
B. 60︒
C. 65︒
D. 70︒
3、等腰三角形周长是24，一腰中线将周长分成5：3的两部分，那么这个三角形的底边长是( )
A. 4
B. 7.5
C. 12
D. 12或4
4、不论a 为任何实数，二次函数22y x ax a =-+-的图象( )
A. 在x 轴上方
B. 在x 轴下方
C. 与x 轴有一个交点
D. 与x 轴有两个交点
5、直角三角形斜边c 与一直角边a 是连结自然数，那么另一直角边的平方是( )
A. c+a
B. c －a
C. ca
D. c a
6、5个连续整数(从小到大排列)前三个的平方和等于后两个的平方和，这样的
(第12题)
E D
B
C
A
整数组共有( )
A. 0组
B. 1组
C. 2组
D. 多于X 组
7、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是( )
1231. . . . 55102
A B C D
8、方程1117
x y +=的正整数解的组数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分)
9、已知ABC ∆是O 的内接三角形，且45,8AB AC BC ===，则O 的直径等于______________.
10、写出方程1232007200812320072008x x x x x x x x x x +++++=⋅⋅⋅⋅⋅ 的一组正整数解 _____________________________________________________________________.
11、若一直角梯形的两对角线长分别为9和11，上、下两底长都是整数，
则该梯形的高为____________.
12、如图，ABC ∆中，AC=BC ，2,30AB C =∠=︒,D 在AC 上，BD=DE ，
且90EDB ∠=︒，则CE 的长为_________，AD 的长为___________.
13、已知x 、y 、z 是三个非负整数，满足325,2,2x y z x y z s x y z ++=+-==+-若，
则s 的最大值与最小值的和为___________.
14、在直角坐标系中，已知两点A(－8，3)，B(－4，5)以及动点C(0,n),D(m,0)，
则当四边形ABCD 的
周长最小时，比值m
为_____________.
n
三、解答题(共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分)
15、(本题满分12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称
这个正整数为“神秘数”，如222222
=-=-=-因此4、12、20都
420,1242,2064.
是“神秘数”。
(1)28这个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构
成的“神秘数”是4的倍数吗?为什么？
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗？为什么？
x
y
O
A
B P
E
F
O A B
C
16、(本题满分12分)如图，已知一条抛物线1C ：2
3316
y x =-
+交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点P ，另一条抛物线2C ：2()y ax bx c =++过点B ，顶点Q(m,n)，对
称轴与x 轴相交于点D,且以Q 、D 、B 为顶点的三角形与P 、O 、B 为顶点的
三角形全等。
求抛物线2C 的解析式。
17、(本题满分12分)如图，已知点O 是锐角三角形ABC 的外心， 过A 、B 、O 三点的圆交AC 、BC 于E 、F ，且EF=OC, (1)求证：;OC EF ⊥
(2)求：ACB ∠的度数。
18、(本题满分14分)已知二次函数2
=++的图象与x轴交于不同的两点A、
y x qx p
B,顶点为C，且ABC
S≤。
∆的面积1
(1)求24
-的取值范围；
q p
(2)若,p q分别为一个两位数的十位与个位数字，求出所有这样的两位数pq.
一、选择题(40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D A C B D
二、填空题(30分)
9、10 ；10、(2008，2，1，1，...，1)(答案不唯一)；11、62 12、31- .31-;13、5 ；14、3
-.
2
三、解答题（50分）
15、解：(1)22
，∴28是“神秘数”.
2886
=-
8
76
5432
1E F
O A B
C
(2)22(22)(2)4(21)k k k +-=+ ，∴ “神秘数”4(21)k +是4的倍数. (3) 两个连续奇数的平方差不是“神秘数”。
理由：
设两个连续奇数为：21,23k k ++，则22(23)(21)8(1)k k k +-+=+是8的倍数，而由(2)知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数。
16、解：2C 的解析式23316y x =
-或23(8)316y x =±- 或24
(7)49
y x =±- 或24
(1)49
y x =±-
17、解：(1)如图，连结OA ，OB ，AF ，BE ，
由 EF OC OA EOF
AEO OF AE ==⇒=⇒=. 同理可得： BF OE = ∴1375∠=∠=∠=∠，2846∠=∠=∠=∠
而12345678ACB BAC CBA ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=4(12)180∠+∠=︒ 所以1245∠+∠=︒.
又678122CEF ABC ∠=∠=∠+∠+∠=∠+∠ 即12(12)90CEF ∠+∠=∠+∠=︒ 所以;OC EF ⊥ (2)2(12)24590ACB ∠=∠+∠=⨯︒=︒.
18、解(1)2044q p <-≤ (2)由221p q p <≤+得
p 221p q p <≤+
整数
q
p
221p q p <≤+
整数
q
1 222q <≤
不存
在
6 2627q <≤ 5
2 2223q <≤
3 7 2742q <≤
不存
在
3 234q <≤
4 8 426q <≤ 6 4 425q <≤
不存
9
6210q <≤
不存
在在
不存
所求两位数pq为：23，34，65，86 5 2526
<≤
q
在。