2016年高考数学文真题分类汇编2:函数
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(01 集合)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(01集合)一、选择题:1. (2016北京文)已知集合={|24}A x x <<,{|3B x x =<或5}x >,则AB =( )A.{|25}x x <<B.{|4x x <或5}x >C.{|23}x x <<D.{|2x x <或5}x > 【答案】C考点: 集合交集【名师点睛】1. 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),是数集还是点集,如集合)}(|{x f y x =,)}(|{x f y y =,)}(|),{(x f y y x =三者是不同的.2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数时,以及在含参的集合运算中,常因忽视互异性,疏于检验而出错.3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观.对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助Venn 图实施,对连续的数集间的运算,常利用数轴进行,对点集间的运算,则通过坐标平面内的图形求解,这在本质上是数形结合思想的体现和运用.4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能.另外,不可忽视空集是任何元素的子集.2.(2016北京理)已知集合{|||2}A x x =<,{1,0,1,2,3}B =-,则AB =( )A. {0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}- 【答案】C考点:集合交集.【名师点睛】1. 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),是数集还是点集,如集合)}(|{x f y x =,)}(|{x f y y =,)}(|),{(x f y y x =三者是不同的.2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数时,以及在含参的集合运算中,常因忽视互异性,疏于检验而出错.3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观.对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助Venn 图实施,对连续的数集间的运算,常利用数轴进行,对点集间的运算,则通过坐标平面内的图形求解,这在本质上是数形结合思想的体现和运用.4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能.另外,不可忽视空集是任何元素的子集.3. (2016全国Ⅰ文)设集合{}1,3,5,7A =,{}25B x x =,则AB = ( )(A ){1,3} (B ){3,5} (C ){5,7} (D ){1,7} 【答案】B考点:集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.4.(2016全国Ⅰ理)设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = ( )(A )33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (B )33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C )31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D )3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点:集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.5.(2016全国Ⅲ文)设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==,则A B =( ) (A ){48}, (B ){026},,(C ){02610},,,(D ){0246810},,,,,【答案】C【解析】试题分析:由补集的概念,得C {0,2,6,10}A B =,故选C . 考点:集合的补集运算.【技巧点拨】研究集合的关系,处理集合的交、并、补的运算问题,常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题.一般地,对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算,可借助韦恩图,而对连续的集合间的运算及关系,可借助数轴的直观性,进行合理转化.6.(2016全国Ⅲ理)设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ,则S T =( )(A) [2,3] (B)(-∞ ,2][3,+∞) (C) [3,+∞) (D)(0, 2][3,+∞)【答案】D考点:1、不等式的解法;2、集合的交集运算.【技巧点拨】研究集合的关系,处理集合的交、并、补的运算问题,常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题.一般地,对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算,可借助韦恩图,而对连续的集合间的运算及关系,可借助数轴的直观性,进行合理转化.7.(2016全国Ⅱ理)已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则AB =( )(A ){1} (B ){12}, (C ){0123},,, (D ){10123}-,,,, 【答案】C【解析】 试题分析:集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=,而A {1,2,3}=,所以A B {0,1,2,3}=,故选C. 考点: 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简在计算,常常借助数轴或韦恩图处理.8.(2016全国Ⅱ文)已知集合{123}A =,,,2{|9}B x x =<,则A B =( )(A ){210123}--,,,,, (B ){21012}--,,,,(C ){123},,(D ){12},【答案】D考点: 一元二次不等式的解法,集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简在计算,常常借助数轴或韦恩图处理.9.(2016山东文)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===,则()UA B =( )(A ){2,6} (B ){3,6}(C ){1,3,4,5}(D ){1,2,4,6}【答案】A【解析】 试题分析:由已知,{13,5}{3,4,5}{1,3,4,5}A B ⋃=⋃=,,所以(){1,3,4,5}{2,6}U U C A B C ⋃==,选A.考点:集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集,是一道基础题目.从历年高考题目看,集合的基本运算,是必考考点,也是考生必定得分的题目之一.10.(2016山东理)设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =( )(A )(1,1)- (B )(0,1) (C )(1,)-+∞ (D )(0,)+∞【答案】C考点:1.指数函数的性质;2.解不等式;3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集,是一道基础题目.从历年高考题目看,集合的基本运算,是必考考点,也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合,增大了考查的覆盖面.11.(2016四川文) 设集合{|15}A x x =≤≤,Z 为整数集,则集合A ∩Z 中元素的个数是( )(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B考点:集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般是结合不等式,函数的定义域值域考查,解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.12.(2016四川理)集合{|22}A x x =-≤≤,Z 为整数集,则AZ 中元素的个数是( )(A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】C【解析】试题分析:由题意,{2,1,0,1,2}A Z =--,故其中的元素个数为5,选C.考点:集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般 是结合不等式,函数的定义域值域考查,解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.13.(2016天津文)已知集合}3,2,1{=A ,},12|{A x x y y B ∈-==,则AB =( )(A )}3,1{ (B )}2,1{(C )}3,2{(D )}3,2,1{【答案】A【解析】试题分析:{1,3,5},{1,3}B AB ==,选A.考点:集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算,容易出错的地方是审错题意,误求并集,属于基本题,难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯,避免出现粗心错误,二是明确集合交集的考查立足于元素互异性,做到不重不漏.14.(2016天津理)已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈,则AB =( )(A ){1}(B ){4}(C ){1,3}(D ){1,4}【答案】D【解析】试题分析:{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D . 考点:集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算,容易出错的地方是审错题意,误求并集,属于基本题,难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯,避免出现粗心错误,二是明确集合交集的考查立足于元素互异性,做到不重不漏.15.(2016浙江文)已知全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,3,5},Q ={1,2,4},则U P Q ()=( )A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5} 【答案】C考点:补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”,否则很容易出现错误;一定要注意集合中元素的互异性,防止出现错误.16. (2016浙江理)已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ( )A .[2,3]B .( -2,3 ]C .[1,2)D .(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B考点:1、一元二次不等式;2、集合的并集、补集.【易错点睛】解一元二次不等式时,2x 的系数一定要保证为正数,若2x 的系数是负数,一定要化为正数,否则很容易出错.二、填空题:1. (2016江苏)已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________. 【答案】{}1,2- 【解析】试题分析:{1,2,3,6}{|23}{1,2}A B x x =--<<=-考点:集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算,容易出错的地方是审错题意,属于基本题,难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯,避免出现粗心错误,二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法,强调对集合运算有关概念及法则的理解.。
2016理科数学高考真题分类第二单元 函数与导数
第二单元 函数与导数B1 函数及其表示5.B1[2016·江苏卷] 函数y =3-2x -x 2的定义域是________.5.[-3,1] [解析] 令3-2x -x 2≥0可得x 2+2x -3≤0,解得-3≤x ≤1,故所求函数的定义域为[-3,1].11.B1、B4[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +a ,-1≤x <0,25-x ,0≤x <1,其中a ∈R .若f (-52)=f (92),则f (5a )的值是________.11.-25 [解析] 因为f (x )的周期为2,所以f (-52)=f (-12)=-12+a ,f (92)=f(12)=110,即-12+a =110,所以a =35,故f (5a )=f (3)=f (-1)=-25.B2 反函数5.B2[2016·上海卷] 已知点(3,9)在函数f (x )=1+a x 的图像上,则f (x )的反函数f -1(x )=________.5.log 2(x -1),x ∈(1,+∞) [解析] 将点(3,9)的坐标代入函数f (x )的解析式得a =2,所以f (x )=1+2x ,所以f -1(x )=log 2(x -1),x ∈(1,+∞).B3 函数的单调性与最值14.B3,B12[2016·北京卷] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3-3x ,x ≤a ,-2x ,x >a .①若a =0,则f (x )的最大值为________;②若f (x )无最大值,则实数a 的取值范围是________.14.①2 ②(-∞,-1) [解析] 由(x 3-3x )′=3x 2-3=0,得x =±1,作出函数y =x 3-3x 和y =-2x 的图像,如图所示.①当a =0时,由图像可得f (x )的最大值为f (-1)=2.②由图像可知当a ≥-1时,函数f (x )有最大值;当a <-1时,y =-2x 在x >a 时无最大值,且-2a >a 3-3a ,所以a <-1.13.B3、B4[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)>f (-2),则a 的取值范围是________.13.(12,32) [解析] 由f (x )是偶函数,且f (x )在区间(-∞,0)上单调递增,得f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.又f (2|a -1|)>f (-2),f (-2)=f (2),∴2|a -1|<2,即|a -1|<12,∴12<a <32.18.B3,B4[2016·上海卷] 设f (x ),g (x ),h (x )是定义域为R 的三个函数,对于命题:①若f (x )+g (x ),f (x )+h (x ),g (x )+h (x )均是增函数,则f (x ),g (x ),h (x )中至少有一个增函数;②若f (x )+g (x ),f (x )+h (x ),g (x )+h (x )均是以T 为周期的函数,则f (x ),g (x ),h (x )均是以T 为周期的函数.下列判断正确的是( )A .①和②均为真命题B .①和②均为假命题C .①为真命题,②为假命题D .①为假命题,②为真命题18.D [解析] f (x )=[f (x )+g (x )]+[f (x )+h (x )]-[g (x )+h (x )]2.对于①,因为增函数减增函数不一定为增函数,所以f (x )不一定为增函数,同理g (x ),h (x )不一定为增函数,因此①为假命题.对于②,易得f (x )是以T 为周期的函数,同理可得g (x ),h (x )也是以T 为周期的函数,所以②为真命题.B4 函数的奇偶性与周期性 11.B1、B4[2016·江苏卷] 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +a ,-1≤x <0,25-x ,0≤x <1,其中a ∈R .若f (-52)=f (92),则f (5a )的值是________.11.-25 [解析] 因为f (x )的周期为2,所以f (-52)=f (-12)=-12+a ,f (92)=f(12)=110,即-12+a =110,所以a =35,故f (5a )=f (3)=f (-1)=-25.15.B4、B12[2016·全国卷Ⅲ] 已知f (x )为偶函数,当x <0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y =f (x )在点(1,-3)处的切线方程是________.15.y =-2x -1 [解析] 设x >0,则-x <0.∵x <0时,f (x )=ln(-x )+3x ,∴f (-x )=ln x-3x ,又∵f (-x )=f (x ),∴当x >0时,f (x )=ln x -3x ,∴f ′(x )=1x-3,即f ′(1)=-2,∴曲线y =f (x )在点(1,-3)处的切线方程为y +3=-2(x -1),整理得y =-2x -1.14.B4[2016·四川卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )=4x ,则f -52+f (1)=________.14.-2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x +2). 因为f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ), 所以f (1)=f (-1),f (1)=-f (-1),即f (1)=0. 又f ⎝⎛⎭⎫-52=f ⎝⎛⎭⎫-12=-f ⎝⎛⎭⎫12,f 12=412=2, 所以f ⎝⎛⎭⎫-52=-2,从而f ⎝⎛⎭⎫-52+f (1)=-2. 9.B4[2016·山东卷] 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x );当x >12时,fx +12=fx -12.则f (6)=( )A .-2B .-1C .0D .29.D [解析] ∵当x >12时,f (x +12)=f (x -12),∴f (x )的周期为1,则f (6)=f (1).又∵当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x ),∴f (1)=-f (-1).又∵当x <0时,f (x )=x 3-1,∴f (-1)=(-1)3-1=-2,∴f (6)=-f (-1)=2.13.B3、B4[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)>f (-2),则a 的取值范围是________.13.(12,32) [解析] 由f (x )是偶函数,且f (x )在区间(-∞,0)上单调递增,得f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.又f (2|a -1|)>f (-2),f (-2)=f (2),∴2|a -1|<2,即|a -1|<12,∴12<a <32.18.B3,B4[2016·上海卷] 设f (x ),g (x ),h (x )是定义域为R 的三个函数,对于命题:①若f (x )+g (x ),f (x )+h (x ),g (x )+h (x )均是增函数,则f (x ),g (x ),h (x )中至少有一个增函数;②若f (x )+g (x ),f (x )+h (x ),g (x )+h (x )均是以T 为周期的函数,则f (x ),g (x ),h (x )均是以T 为周期的函数.下列判断正确的是( )A .①和②均为真命题B .①和②均为假命题C .①为真命题,②为假命题D .①为假命题,②为真命题18.D [解析] f (x )=[f (x )+g (x )]+[f (x )+h (x )]-[g (x )+h (x )]2.对于①,因为增函数减增函数不一定为增函数,所以f (x )不一定为增函数,同理g (x ),h (x )不一定为增函数,因此①为假命题.对于②,易得f (x )是以T 为周期的函数,同理可得g (x ),h (x )也是以T 为周期的函数,所以②为真命题.B5 二次函数B6 指数与指数函数5.E1,C3,B6,B7[2016·北京卷] 已知x ,y ∈R ,且x >y >0,则( )A.1x -1y>0 B .sin x -sin y >0 C.12x -12y <0 D .ln x +ln y >05.C [解析] 选项A 中,因为x >y >0,所以1x <1y ,即1x -1y <0,故结论不成立;选项B中,当x =5π6,y =π3时,sin x -sin y <0,故结论不成立;选项C 中,函数y =12x 是定义在R 上的减函数,因为x >y >0,所以12x <12y ,所以12x -12y <0;选项D 中,当x =e -1,y =e -2时,结论不成立.19.B6、B9、B12[2016·江苏卷] 已知函数f (x )=a x +b x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1).(1)设a =2,b =12.①求方程f (x )=2的根;②若对于任意x ∈R ,不等式f (2x )≥mf (x )-6恒成立,求实数m 的最大值; (2)若0<a <1,b >1,函数g (x )=f (x )-2有且只有1个零点,求ab 的值.19.解:(1)因为a =2,b =12,所以f (x )=2x +2-x .①方程f (x )=2,即2x+2-x =2,亦即(2x )2-2×2x +1=0, 所以(2x -1)2=0,于是2x =1,解得x =0.②由条件知f (2x )=22x +2-2x =(2x +2-x )2-2=[f (x )]2-2. 因为f (2x )≥mf (x )-6对于x ∈R 恒成立,且f (x )>0,所以m ≤[f (x )]2+4f (x )对于x ∈R 恒成立.而[f (x )]2+4f (x )=f (x )+4f (x )≥2f (x )·4f (x )=4,且[f (0)]2+4f (0)=4,所以m ≤4,故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )=f (x )-2只有1个零点,而g (0)=f (0)-2=a 0+b 0-2=0, 所以0是函数g (x )的唯一零点.因为g ′(x )=a x ln a +b x ln b ,又由0<a <1,b >1知ln a <0,ln b >0,所以g ′(x )=0有唯一解x 0=log b a -ln aln b.令h (x )=g ′(x ),则h ′(x )=(a x ln a +b x ln b )′=a x (ln a )2+b x (ln b )2,从而对任意x ∈R ,h ′(x )>0,所以g ′(x )=h (x )是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x ∈(-∞,x 0)时,g ′(x )<g ′(x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x )>g ′(x 0)=0. 因而函数g (x )在(-∞,x 0)上是单调减函数,在(x 0,+∞)上是单调增函数. 下证x 0=0.若x 0<0,则x 0<x 02<0,于是g x 02<g (0)=0,又g (log a 2)=a log a 2+b log a 2-2>a log a 2-2=0,且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断,所以在区间x 02,log a 2上存在g (x )的零点,记为x 1.因为0<a <1,所以log a 2<0.又x 02<0,所以x 1<0,与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾. 若x 0>0,同理可得,在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点,矛盾.因此,x 0=0.于是-ln a ln b=1,故ln a +ln b =0,所以ab =1.6.B6[2016·全国卷Ⅲ] 已知a =243,b =425,c =2513,则( )A .b <a <cB .a <b <cC .b <c <aD .c <a <b6.A [解析] b =425=245<243=a ,c =523>423=243=a ,故b <a <c .12.B6、B7[2016·浙江卷] 已知a >b >1.若log a b +log b a =52,a b =b a ,则a =________,b=________.12.4 2 [解析] 设t =log a b ,则log b a =1t .∵a >b >1,∴0<t <1.由t +1t =52,化简得t 2-52t +1=0,解得t =12,故b =a ,所以a b =a a ,b a =(a )a =a 12a ,则a =12a ,即a 2-4a =0,得a =4,b =2.B7 对数与对数函数5.E1,C3,B6,B7[2016·北京卷] 已知x ,y ∈R ,且x >y >0,则( )A.1x -1y>0 B .sin x -sin y >0 C.12x -12y <0D .ln x +ln y >05.C [解析] 选项A 中,因为x >y >0,所以1x <1y ,即1x -1y <0,故结论不成立;选项B中,当x =5π6,y =π3时,sin x -sin y <0,故结论不成立;选项C 中,函数y =12x 是定义在R 上的减函数,因为x >y >0,所以12x <12y ,所以12x -12y <0;选项D 中,当x =e -1,y =e -2时,结论不成立.8.B7,B8,E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1,0<c <1,则( ) A .a c <b c B .ab c <ba cC .a log b c <b log a cD .log a c <log b c8.C [解析] 根据幂函数性质,选项A 中的不等式不成立;选项B 中的不等式可化为b c -1<a c -1,此时-1<c -1<0,根据幂函数性质,该不等式不成立;选项C 中的不等式可以化为a b >log a c log b c =log c b log c a =log a b ,此时a b >1,0<log a b <1,故此不等式成立;选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ,进而1lg a >1lg b ,进而lg a <lg b ,即a <b ,故在已知条件下选项D 中的不等式不成立. 21.B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )=αcos 2x +(α-1)(cos x +1),其中α>0,记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x ); (2)求A ;(3)证明:|f ′(x )|≤2A .21.解:(1)f ′(x )=-2αsin 2x -(α-1)sin x .(2)当α≥1时,|f (x )|=|αcos 2x +(α-1)(cos x +1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f (0), 因此A =3α-2.当0<α<1时,将f (x )变形为f (x )=2αcos 2x +(α-1)cos x -1.令g (t )=2αt 2+(α-1)t -1,则A 是|g (t )|在[-1,1]上的最大值,g (-1)=α,g (1)=3α-2,且当t =1-α4α时,g (t )取得极小值,极小值为g (1-α4α)=-(α-1)28α-1=-α2+6α+18α.令-1<1-α4α<1,解得α<-13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时,g (t )在(-1,1)内无极值点,|g (-1)|=α,|g (1)|=2-3α,|g (-1)|<|g (1)|,所以A =2-3α.(ii)当15<α<1时,由g (-1)-g (1)=2(1-α)>0,知g (-1)>g (1)> g (1-α4α).又|g (1-α4α)|-|g (-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0,所以A =|g (1-α4α)|=α2+6α+18α.综上,A =⎩⎨⎧2-3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α-2,α≥1.(3)证明:由(1)得|f ′(x )|=|-2αsin 2x -(α-1)sin x |≤2α+|α-1|.当0<α≤15时,|f ′(x )|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A .当15<α<1时,A =α8+18α+34≥1,所以|f ′(x )|≤1+α<2A . 当α≥1时,|f ′(x )|≤3α-1≤6α-4=2A ,所以|f ′(x )|≤2A .9.B7,E6[2016·四川卷] 设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-ln x ,0<x <1,ln x ,x >1图像上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△P AB 的面积的取值范围是( )A .(0,1)B .(0,2)C .(0,+∞)D .(1,+∞)9.A [解析] 不妨设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0<x 1<1<x 2.由l 1,l 2分别是点P 1,P 2处的切线,且f ′(x )=⎩⎨⎧-1x ,0<x <1,1x ,x >1,得l 1的斜率k 1=-1x 1,l 2的斜率k 2=1x 2.又l 1与l 2垂直,且0<x 1<x 2,所以k 1·k 2=-1x 1·1x 2=-1⇒x 1·x 2=1,l 1:y =-1x 1(x -x 1)-ln x 1①,l 2:y =1x 2(x -x 2)+ln x 2②,则点A 的坐标为(0,1-ln x 1),点B 的坐标为(0,-1+ln x 2), 由此可得|AB |=2-ln x 1-ln x 2=2-ln(x 1·x 2)=2.联立①②两式可解得交点P 的横坐标x P =2-ln (x 1x 2)x 1+x 2=2x 1+x 2,所以S △P AB =12|AB |·|x P |=12×2×2x 1+x 2=2x 1+1x 1≤1,当且仅当x 1=1x 1,即x 1=1时,等号成立.而0<x 1<1,所以0<S △P AB <1,故选A.12.B6、B7[2016·浙江卷] 已知a >b >1.若log a b +log b a =52,a b =b a ,则a =________,b=________.12.4 2 [解析] 设t =log a b ,则log b a =1t .∵a >b >1,∴0<t <1.由t +1t =52,化简得t 2-52t +1=0,解得t =12,故b =a ,所以a b =a a ,b a =(a )a =a 12a ,则a =12a ,即a 2-4a =0,得a =4,b =2.B8 幂函数与函数的图像 7.B8,B12[2016·全国卷Ⅰ] 函数y =2x 2-e |x |在[-2,2]的图像大致为( )图1-27.D [解析] 易知该函数为偶函数,只要考虑当x ≥0时的情况即可,此时y =2x 2-e x .令f (x )=2x 2-e x ,则f ′(x )=4x -e x ,则f ′(0)<0,f ′(1)>0,则f ′(x )在(0,1)上存在零点,即f (x )在(0,1)上存在极值,据此可知,只能为选项B ,D 中的图像.当x =2时,y =8-e 2<1,故选D.8.B7,B8,E1[2016·全国卷Ⅰ] 若a >b >1,0<c <1,则( ) A .a c <b c B .ab c <ba cC .a log b c <b log a cD .log a c <log b c8.C [解析] 根据幂函数性质,选项A 中的不等式不成立;选项B 中的不等式可化为b c -1<a c -1,此时-1<c -1<0,根据幂函数性质,该不等式不成立;选项C 中的不等式可以化为a b >log a c log b c =log c b log c a =log a b ,此时a b >1,0<log a b <1,故此不等式成立;选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ,进而1lg a >1lg b ,进而lg a <lg b ,即a <b ,故在已知条件下选项D 中的不等式不成立.12.B8[2016·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y =x +1x与y=f (x )图像的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则(x i +y i )=( )A .0B .mC .2mD .4m12.B [解析] 由f(-x)=2-f(x)得f(x)的图像关于点(0,1)对称,∵y =x +1x =1+1x的图像也关于点(0,1)对称,∴两函数图像的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(x i ,y i )和(x′i ,y′i )均满足x i +x′i =0,y i +y′i =2,∴=0+2·m2=m.B9 函数与方程19.B6、B9、B12[2016·江苏卷] 已知函数f (x )=a x +b x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1).(1)设a =2,b =12.①求方程f (x )=2的根;②若对于任意x ∈R ,不等式f (2x )≥mf (x )-6恒成立,求实数m 的最大值; (2)若0<a <1,b >1,函数g (x )=f (x )-2有且只有1个零点,求ab 的值.19.解:(1)因为a =2,b =12,所以f (x )=2x +2-x .①方程f (x )=2,即2x +2-x =2,亦即(2x )2-2×2x +1=0, 所以(2x -1)2=0,于是2x =1,解得x =0.②由条件知f (2x )=22x +2-2x =(2x +2-x )2-2=[f (x )]2-2. 因为f (2x )≥mf (x )-6对于x ∈R 恒成立,且f (x )>0,所以m ≤[f (x )]2+4f (x )对于x ∈R 恒成立.而[f (x )]2+4f (x )=f (x )+4f (x )≥2f (x )·4f (x )=4,且[f (0)]2+4f (0)=4,所以m ≤4,故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )=f (x )-2只有1个零点,而g (0)=f (0)-2=a 0+b 0-2=0, 所以0是函数g (x )的唯一零点.因为g ′(x )=a x ln a +b x ln b ,又由0<a <1,b >1知ln a <0,ln b >0,所以g ′(x )=0有唯一解x 0=log b a -ln aln b.令h (x )=g ′(x ),则h ′(x )=(a x ln a +b x ln b )′=a x (ln a )2+b x (ln b )2,从而对任意x ∈R ,h ′(x )>0,所以g ′(x )=h (x )是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x ∈(-∞,x 0)时,g ′(x )<g ′(x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x )>g ′(x 0)=0. 因而函数g (x )在(-∞,x 0)上是单调减函数,在(x 0,+∞)上是单调增函数. 下证x 0=0.若x 0<0,则x 0<x 02<0,于是g x 02<g (0)=0,又g (log a 2)=a log a 2+b log a 2-2>a log a 2-2=0,且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断,所以在区间x 02,log a 2上存在g (x )的零点,记为x 1.因为0<a <1,所以log a 2<0.又x 02<0,所以x 1<0,与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾. 若x 0>0,同理可得,在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点,矛盾.因此,x 0=0.于是-ln a ln b=1,故ln a +ln b =0,所以ab =1.15.B9[2016·山东卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________.15.(3,+∞) [解析] 画出函数f (x )的图像如图所示,根据已知得m >4m -m 2,又m >0,解得m >3,故实数 m 的取值范围是(3,+∞).B10 函数模型及其应用 B11 导数及其运算21.B11,B12,E8[2016·四川卷] 设函数f (x )=ax 2-a -ln x ,其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性;(2)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>1x -e 1-x 在区间(1,+∞)内恒成立(e =2.718…为自然对数的底数).21.解:(1)f ′(x )=2ax -1x =2ax 2-1x(x >0).当a ≤0时,f ′(x )<0,f (x )在(0,+∞)内单调递减.当a >0时,由f ′(x )=0,有x =12a ,此时,当x ∈(0,12a )时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(12a,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.(2)令g (x )=1x -1ex -1,s (x )=e x -1-x ,则s ′(x )=e x -1-1.而当x >1时,s ′(x )>0,所以s (x )在区间(1,+∞)内单调递增. 又s (1)=0,所以当x >1时,s (x )>0, 从而当x >1时,g (x )>0.当a ≤0,x >1时,f (x )=a (x 2-1)-ln x <0,故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a >0.当0<a <12时,12a>1.由(1)有f (12a )<f (1)=0,而g (12a)>0, 所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立.当a ≥12时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).当x >1时,h ′(x )=2ax -1x +1x 2-e 1-x >x -1x +1x 2-1x =x 3-2x +1x 2>x 2-2x +1x 2>0.因此,h (x )在区间(1,+∞)内单调递增.又因为h (1)=0,所以当x >1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立. 综上,a ∈[12,+∞).B12 导数的应用14.B3,B12[2016·北京卷] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3-3x ,x ≤a ,-2x ,x >a .①若a =0,则f (x )的最大值为________;②若f (x )无最大值,则实数a 的取值范围是________.14.①2 ②(-∞,-1) [解析] 由(x 3-3x )′=3x 2-3=0,得x =±1,作出函数y =x 3-3x 和y =-2x 的图像,如图所示.①当a =0时,由图像可得f (x )的最大值为f (-1)=2.②由图像可知当a ≥-1时,函数f (x )有最大值;当a <-1时,y =-2x 在x >a 时无最大值,且-2a >a 3-3a ,所以a <-1.17.G1、G7、B12[2016·江苏卷] 形状是正四棱锥P - A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1(如图1-5所示),并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍.(1)若AB =6 m ,PO 1=2 m ,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m17.解:(1)由PO 1=2知O 1O =4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB =6,所以正四棱锥P - A 1B 1C 1D 1的体积V 锥=13·A 1B 21·PO 1=13×62×2=24(m 3), 正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=AB 2·O 1O =62×8=288(m 3).所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=312(m 3).(2)设A 1B 1=a (m),PO 1=h (m),则0<h <6,O 1O =4h .连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中,O 1B 21+PO 21=PB 21,所以2a 22+h 2=36,即a 2=2(36-h 2).于是仓库的容积V =V 柱+V 锥=a 2·4h +13a 2·h =133a 2h =263(36h -h 3),0<h <6,从而V ′=263(36-3h 2)=26(12-h 2).令V ′=0,得h =23或h =-23(舍). 当0<h <23时,V ′>0,V 是单调增函数; 当23<h <6时,V ′<0,V 是单调减函数. 故h =23时,V 取得极大值,也是最大值.因此,当PO 1=2 3 m19.B6、B9、B12[2016·江苏卷] x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1).(1)设a =2,b =12.①求方程f (x )=2的根;②若对于任意x ∈R ,不等式f (2x )≥mf (x )-6恒成立,求实数m 的最大值; (2)若0<a <1,b >1,函数g (x )=f (x )-2有且只有1个零点,求ab 的值.19.解:(1)因为a =2,b =12,所以f (x )=2x +2-x .①方程f (x )=2,即2x+2-x =2,亦即(2x )2-2×2x +1=0, 所以(2x -1)2=0,于是2x =1,解得x =0.②由条件知f (2x )=22x +2-2x =(2x +2-x )2-2=[f (x )]2-2. 因为f (2x )≥mf (x )-6对于x ∈R 恒成立,且f (x )>0,所以m ≤[f (x )]2+4f (x )对于x ∈R 恒成立.而[f (x )]2+4f (x )=f (x )+4f (x )≥2f (x )·4f (x )=4,且[f (0)]2+4f (0)=4,所以m ≤4,故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )=f (x )-2只有1个零点,而g (0)=f (0)-2=a 0+b 0-2=0, 所以0是函数g (x )的唯一零点.因为g ′(x )=a x ln a +b x ln b ,又由0<a <1,b >1知ln a <0,ln b >0,所以g ′(x )=0有唯一解x 0=log b a -ln aln b.令h (x )=g ′(x ),则h ′(x )=(a x ln a +b x ln b )′=a x (ln a )2+b x (ln b )2,从而对任意x ∈R ,h ′(x )>0,所以g ′(x )=h (x )是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x ∈(-∞,x 0)时,g ′(x )<g ′(x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x )>g ′(x 0)=0. 因而函数g (x )在(-∞,x 0)上是单调减函数,在(x 0,+∞)上是单调增函数. 下证x 0=0.若x 0<0,则x 0<x 02<0,于是g x 02<g (0)=0,又g (log a 2)=a log a 2+b log a 2-2>a log a 2-2=0,且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断,所以在区间x 02,log a 2上存在g (x )的零点,记为x 1.因为0<a <1,所以log a 2<0.又x 02<0,所以x 1<0,与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾. 若x 0>0,同理可得,在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点,矛盾.因此,x 0=0.于是-ln a ln b=1,故ln a +ln b =0,所以ab =1.7.B8,B12[2016·全国卷Ⅰ] 函数y =2x 2-e |x |在[-2,2]的图像大致为( )图1-27.D [解析] 易知该函数为偶函数,只要考虑当x ≥0时的情况即可,此时y =2x 2-e x .令f (x )=2x 2-e x ,则f ′(x )=4x -e x ,则f ′(0)<0,f ′(1)>0,则f ′(x )在(0,1)上存在零点,即f (x )在(0,1)上存在极值,据此可知,只能为选项B ,D 中的图像.当x =2时,y =8-e 2<1,故选D.21.B12[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=(x -2)e x +a (x -1)2有两个零点. (1)求a 的取值范围;(2)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:x 1+x 2<2.21.解:(1)f ′(x )=(x -1)e x +2a (x -1)=(x -1)(e x +2a ). (i)设a =0,则f (x )=(x -2)e x ,f (x )只有一个零点.(ii)设a >0,则当x ∈(-∞,1)时,f ′(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f (1)=-e ,f (2)=a ,取b 满足b <0且b <ln a 2,则f (b )>a 2(b -2)+a (b -1)2=a (b 2-32b )>0,故f (x )存在两个零点.(iii)设a <0,由f ′(x )=0得x =1或x =ln(-2a ).若a ≥-e2,则ln(-2a )≤1,故当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,因此f (x )在(1,+∞)单调递增.又当x ≤1时,f (x )<0,所以f (x )不存在两个零点.若a <-e2,则ln(-2a )>1.故当x ∈(1,ln(-2a ))时,f ′(x )<0;当x ∈(ln(-2a ),+∞) 时,f ′(x )>0.因此f (x )在(1,ln(-2a ))单调递减,在(ln(-2a ),+∞)单调递增.又当x ≤1时,f (x )<0,所以f (x )不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,+∞).(2)证明:不妨设x 1<x 2.由(1)知,x 1∈(-∞,1),x 2∈(1,+∞),2-x 2∈(-∞,1),f (x )在(-∞,1)单调递减,所以x 1+x 2<2等价于f (x 1)>f (2-x 2),即f (2-x 2)<0.由于f (2-x 2)=-x 2e2-x 2+a (x 2-1)2,而f (x 2)=(x 2-2)e x 2+a (x 2-1)2=0, 所以f (2-x 2)=-x 2e2-x 2-(x 2-2)e x 2.设g (x )=-x e 2-x -(x -2)e x ,则g ′(x )=(x -1)(e 2-x -e x ).所以当x >1时,g ′(x )<0,而g (1)=0,故当x >1时,g (x )<0, 从而g (x 2)=f (2-x 2)<0,故x 1+x 2<2. 15.B4、B12[2016·全国卷Ⅲ] 已知f (x )为偶函数,当x <0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y =f (x )在点(1,-3)处的切线方程是________.15.y =-2x -1 [解析] 设x >0,则-x <0.∵x <0时,f (x )=ln(-x )+3x ,∴f (-x )=ln x-3x ,又∵f (-x )=f (x ),∴当x >0时,f (x )=ln x -3x ,∴f ′(x )=1x-3,即f ′(1)=-2,∴曲线y =f (x )在点(1,-3)处的切线方程为y +3=-2(x -1),整理得y =-2x -1.21.B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )=αcos 2x +(α-1)(cos x +1),其中α>0,记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x ); (2)求A ;(3)证明:|f ′(x )|≤2A .21.解:(1)f ′(x )=-2αsin 2x -(α-1)sin x .(2)当α≥1时,|f (x )|=|αcos 2x +(α-1)(cos x +1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f (0), 因此A =3α-2.当0<α<1时,将f (x )变形为f (x )=2αcos 2x +(α-1)cos x -1.令g (t )=2αt 2+(α-1)t -1,则A 是|g (t )|在[-1,1]上的最大值,g (-1)=α,g (1)=3α-2,且当t =1-α4α时,g (t )取得极小值,极小值为g (1-α4α)=-(α-1)28α-1=-α2+6α+18α.令-1<1-α4α<1,解得α<-13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时,g (t )在(-1,1)内无极值点,|g (-1)|=α,|g (1)|=2-3α,|g (-1)|<|g (1)|,所以A =2-3α.(ii)当15<α<1时,由g (-1)-g (1)=2(1-α)>0,知g (-1)>g (1)> g (1-α4α).又|g (1-α4α)|-|g (-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0,所以A =|g (1-α4α)|=α2+6α+18α.综上,A =⎩⎨⎧2-3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α-2,α≥1.(3)证明:由(1)得|f ′(x )|=|-2αsin 2x -(α-1)sin x |≤2α+|α-1|.当0<α≤15时,|f ′(x )|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A .当15<α<1时,A =α8+18α+34≥1,所以|f ′(x )|≤1+α<2A . 当α≥1时,|f ′(x )|≤3α-1≤6α-4=2A ,所以|f ′(x )|≤2A . 21.B11,B12,E8[2016·四川卷] 设函数f (x )=ax 2-a -ln x ,其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性;(2)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>1x -e 1-x 在区间(1,+∞)内恒成立(e =2.718…为自然对数的底数).21.解:(1)f ′(x )=2ax -1x =2ax 2-1x(x >0).当a ≤0时,f ′(x )<0,f (x )在(0,+∞)内单调递减.当a >0时,由f ′(x )=0,有x =12a,此时,当x ∈(0,12a )时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(12a,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.(2)令g (x )=1x -1ex -1,s (x )=e x -1-x ,则s ′(x )=e x -1-1.而当x >1时,s ′(x )>0,所以s (x )在区间(1,+∞)内单调递增. 又s (1)=0,所以当x >1时,s (x )>0, 从而当x >1时,g (x )>0.当a ≤0,x >1时,f (x )=a (x 2-1)-ln x <0,故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a >0.当0<a <12时,12a>1.由(1)有f (12a )<f (1)=0,而g (12a)>0, 所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立.当a ≥12时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).当x >1时,h ′(x )=2ax -1x +1x 2-e 1-x >x -1x +1x 2-1x =x 3-2x +1x 2>x 2-2x +1x 2>0.因此,h (x )在区间(1,+∞)内单调递增.又因为h (1)=0,所以当x >1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立. 综上,a ∈[12,+∞).16.B12[2016·全国卷Ⅱ] 若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线,也是曲线y =ln(x +1)的切线,则b =________.16.1-ln 2 [解析] 曲线y =ln x +2的切线为y =1x 1·x +ln x 1+1(其中x 1为切点横坐标),曲线y =ln(x +1)的切线为y =1x 2+1·x +ln(x 2+1)-x 2x 2+1(其中x 2为切点横坐标).由题可知⎩⎨⎧1x 1=1x 2+1,ln x 1+1=ln (x 2+1)-x2x 2+1,解得⎩⎨⎧x 1=12,x 2=-12,∴b =ln x 1+1=1-ln 2.21.B12[2016·全国卷Ⅱ] (1)讨论函数f (x )=x -2x +2e x的单调性,并证明当x >0时,(x -2)e x+x +2>0.(2)证明:当a ∈[0,1)时,函数g (x )=e x -ax -ax 2(x >0)有最小值.设g (x )的最小值为h (a ),求函数h (a )的值域.21.解:(1)f (x )的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).f ′(x )=x 2e x(x +2)2≥0,当且仅当x =0时,f ′(x )=0,所以f (x )在(-∞,-2),(-2,+∞)上单调递增. 因此当x ∈(0,+∞)时,f (x )>f (0)=-1.所以(x -2)e x >-(x +2),即(x -2)e x +x +2>0.(2)证明:g ′(x )=(x -2)e x +a (x +2)x 3=x +2x3[f (x )+a ].由(1)知,f (x )+a 单调递增,对任意a ∈[0,1),f (0)+a =a -1<0,f (2)+a =a ≥0,因此,存在唯一x a ∈(0,2],使得f (x a )+a =0,即g ′(x a )=0. 当0<x <x a 时,f (x )+a <0,g ′(x )<0,g (x )单调递减; 当x >x a 时,f (x )+a >0,g ′(x )>0,g (x )单调递增. 因此g (x )在x =x a 处取得最小值,最小值为 g (x a )=e x a -a (x a +1)x 2a =e x a +f (x a )(x a +1)x 2a =e x ax a +2, 于是h (a )=e x a x a +2.由e x x +2′=(x +1)e x (x +2)2>0(x >0),可知y =e xx +2(x >0)单调递增,所以,由x a ∈(0,2],得12=e 00+2<h (a )=e x a x a +2≤e 22+2=e 24.因为y =e x x +2单调递增,对任意λ∈(12,e 24],存在唯一的x a ∈(0,2],a =-f (x a )∈[0,1),使得h (a )=λ,所以h (a )的值域是(12,e 24].综上,当a ∈[0,1)时,g (x )有最小值h (a ),h (a )的值域是(12,e 24].10.B12[2016·山东卷] 若函数y =f (x )的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( )A .y =sin xB .y =ln xC .y =e xD .y =x 310.A [解析] 由函数图像上两点处的切线互相垂直,可知函数在这两点处的导数之积为-1,经检验,选项A 符合题意.20.B12,B14[2016·山东卷] 已知f (x )=a (x -ln x )+2x -1x 2,a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性;(2)当a =1时,证明f (x )>f ′(x )+32对于任意的x ∈[1,2]成立.20.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=a -a x -2x 2+2x 3=(ax 2-2)(x -1)x 3.当a ≤0时,若x ∈(0,1),则f ′(x )>0,f (x )单调递增,若x ∈(1,+∞),则f ′(x )<0,f (x )单调递减.当a >0时,f ′(x )=a (x -1)x 3(x -2a )(x +2a). (i)当0<a <2时,2a>1. 当x ∈(0,1)或x ∈(2a,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. 当x ∈(1,2a)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减. (ii)当a =2时,2a =1,在区间(0,+∞)内,f ′(x )≥0,f (x )单调递增. (iii)当a >2时,0<2a<1. 当x ∈(0,2a)或x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增, 当x ∈2a,1时,f ′(x )<0,f (x )单调递减. 综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 当0<a <2时,f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增;当a =2时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >2时,f (x )在(0,2a)上单调递增,在(2a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)证明:由(1)知,当a =1时,f (x )-f ′(x )=x -ln x +2x -1x 2-(1-1x -2x 2+2x 3)=x -ln x +3x +1x 2-2x 3-1,x ∈[1,2].设g (x )=x -ln x ,h (x )=3x +1x 2-2x 3-1,x ∈[1,2],则f (x )-f ′(x )=g (x )+h (x ). 由g ′(x )=x -1x≥0, 可得g (x )≥g (1)=1,当且仅当x =1时取得等号. 又h ′(x )=-3x 2-2x +6x 4.设φ(x )=-3x 2-2x +6,则φ(x )在[1,2]上单调递减. 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x 0∈(1,2),使得当x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0. 所以h (x )在(1,x 0)上单调递增,在(x 0,2)上单调递减. 由h (1)=1,h (2)=12,可得h (x )≥h (2)=12,当且仅当x =2时取得等号.所以f (x )-f ′(x )>g (1)+h (2)=32,即f (x )>f ′(x )+32对于任意的x ∈[1,2]成立.20.B12[2016·天津卷] 设函数f (x )=(x -1)3-ax -b ,x ∈R ,其中a ,b ∈R . (1)求f (x )的单调区间;(2)若f (x )存在极值点x 0,且f (x 1)=f (x 0),其中x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3; (3)设a >0,函数g (x )=|f (x )|,求证:g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于14.20.解:(1)由f (x )=(x -1)3-ax -b ,可得f ′(x )=3(x -1)2-a . 下面分两种情况讨论: (i)当a ≤0时,有f ′(x )=3(x -1)2-a ≥0恒成立,所以f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞). (ii)当a >0时,令f ′(x )=0,解得x =1+3a 3或x =1-3a3. 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )的单调递减区间为(1-3a 3,1+3a 3),单调递增区间为(-∞,1-3a 3),(1+3a3,+∞). (2)证明:因为f (x )存在极值点,所以由(1)知a >0,且x 0≠1.由题意,得f ′(x 0)=3(x 0-1)2-a =0,即(x 0-1)2=a 3,进而f (x 0)=(x 0-1)3-ax 0-b =-2a 3x 0-a3-b .又f (3-2x 0)=(2-2x 0)3-a (3-2x 0)-b =8a 3(1-x 0)+2ax 0-3a -b =-2a 3x 0-a3-b =f (x 0),且3-2x 0≠x 0,由题意及(1)知,存在唯一实数x 1满足f (x 1)=f (x 0),且x 1≠x 0,因此x 1=3-2x 0, 所以x 1+2x 0=3.(3)证明:设g (x )在区间[0,2]上的最大值为M ,max{x ,y }表示x ,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论:(i)当a ≥3时,1-3a 3≤0<2≤1+3a 3,由(1)知,f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (2),f (0)],因此M =max{|f (2)|,|f (0)|}=max{|1-2a -b |,|-1-b |}=max{|a -1+(a +b )|,|a -1-(a +b )|}=⎩⎪⎨⎪⎧a -1+(a +b ),a +b ≥0,a -1-(a +b ),a +b <0, 所以M =a -1+|a +b |≥2.(ii)当34≤a <3时,1-23a 3≤0<1-3a 3<1+3a 3<2≤1+23a 3.由(1)和(2)知f (0)≥f (1-23a 3)=f (1+3a 3),f (2)≤f (1+23a 3)=f (1-3a 3),所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (1+3a 3),f (1-3a3)], 因此M =max{|f(1+3a 3)|,|f (1-3a 3)|=max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫-2a 93a -a -b ,2a 93a -a -b = max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 93a +(a +b ),2a 93a -(a +b )=2a 93a +|a +b |≥29×34×3×34=14. (iii)当0<a <34时,0<1-23a 3<1+23a 3<2,由(1)和(2)知f (0)<f (1-23a 3)=f (1+3a3),f (2)>f (1+23a 3)=f (1-3a3).所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (0),f (2)],因此M =max{|f (0)|,|f (2)|}=max{|-1-b |,|1-2a -b |}=max{|1-a +(a +b )|,|1-a -(a +b )|}=1-a +|a +b |>14.综上所述,当a >0时,g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于14.03[2016·浙江卷]“复数与导数”模块(1)已知i 为虚数单位.若复数z 满足(z +i)2=2i ,求复数z . (2)求曲线y =2x 2-ln x 在点(1,2)处的切线方程. 解:(1)设复数z =a +b i ,a ,b ∈R ,由题意得 a 2-(b +1)2+2a (b +1)i =2i ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-2. 故z =1或z =-1-2i.(2)由于(2x 2-ln x )′=4x -1x,则曲线在点(1,2)处的切线的斜率为3.因此,曲线在点(1,2)处的切线方程为y =3x -1. B13 定积分与微积分基本定理 B14 单元综合18.B14[2016·北京卷] 设函数f (x )=x e a -x +bx ,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y =(e -1)x +4.(1)求a ,b 的值;(2)求f (x )的单调区间.18.解:(1)因为f (x )=x e a -x +bx ,所以f ′(x )=(1-x )e a -x +b .依题设,得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)=2e +2,f ′(2)=e -1,即⎩⎪⎨⎪⎧2e a -2+2b =2e +2,-e a -2+b =e -1,解得a =2,b =e.(2)由(1)知f (x )=x e 2-x +e x .由f ′(x )=e 2-x (1-x +e x -1)及e 2-x >0知,f ′(x )与1-x +e x -1同号.令g (x )=1-x +e x -1,则g ′(x )=-1+e x -1.所以,当x ∈(-∞,1)时,g ′(x )<0,g (x )在区间(-∞,1)上单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )>0,g (x )在区间(1,+∞)上单调递增. 故g (1)=1是g (x )在区间(-∞,+∞)上的最小值, 从而g (x )>0,x ∈(-∞,+∞).综上可知,f ′(x )>0,x ∈(-∞,+∞), 故f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞). 21.B12、B14、B7[2016·全国卷Ⅲ] 设函数f (x )=αcos 2x +(α-1)(cos x +1),其中α>0,记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x ); (2)求A ;(3)证明:|f ′(x )|≤2A .21.解:(1)f ′(x )=-2αsin 2x -(α-1)sin x .(2)当α≥1时,|f (x )|=|αcos 2x +(α-1)(cos x +1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f (0), 因此A =3α-2.当0<α<1时,将f (x )变形为f (x )=2αcos 2x +(α-1)cos x -1.令g (t )=2αt 2+(α-1)t -1,则A 是|g (t )|在[-1,1]上的最大值,g (-1)=α,g (1)=3α-2,且当t =1-α4α时,g (t )取得极小值,极小值为g (1-α4α)=-(α-1)28α-1=-α2+6α+18α.令-1<1-α4α<1,解得α<-13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时,g (t )在(-1,1)内无极值点,|g (-1)|=α,|g (1)|=2-3α,|g (-1)|<|g (1)|,所以A =2-3α.(ii)当15<α<1时,由g (-1)-g (1)=2(1-α)>0,知g (-1)>g (1)> g (1-α4α).又|g (1-α4α)|-|g (-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0,所以A =|g (1-α4α)|=α2+6α+18α.综上,A =⎩⎨⎧2-3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α-2,α≥1.(3)证明:由(1)得|f ′(x )|=|-2αsin 2x -(α-1)sin x |≤2α+|α-1|.当0<α≤15时,|f ′(x )|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A .当15<α<1时,A =α8+18α+34≥1,所以|f ′(x )|≤1+α<2A . 当α≥1时,|f ′(x )|≤3α-1≤6α-4=2A ,所以|f ′(x )|≤2A . 15.B14[2016·四川卷] 在平面直角坐标系中,当P (x ,y )不是原点时,定义P 的“伴随点”为P ′yx 2+y 2,-x x 2+y 2;当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身.平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题:①若点A 的“伴随点”是点A ′,则点A ′的“伴随点”是点A ; ②单位圆的“伴随曲线”是它自身;③若曲线C 关于x 轴对称,则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是________(写出所有真命题的序号).15.②③ [解析] ①设点A 的坐标为(x ,y ),则其“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2+y 2,-x x 2+y 2,故。
2016年全国高考数学试题汇编
2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江文)一、选择题1.已知全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,3,5},Q ={1,2,4},则(∁U P )∩Q = A .{1} B .{3,5} C .{1,2,4,6} D .{1,2,3,4,5} 2.已知互相垂直的平面α,β交于直线l .若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( ) A .m ∥l B .m ∥n C .n ⊥l D .m ⊥n3.函数y =sin x 2的图像是4.若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3≥0,2x -y -3≤0,x -2y +3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是A .355B . 2C .322D . 55.已知a ,b >0且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A .(a -1)(b -1)<0 B .(a -1)(a -b )>0 C .(b -1)(b -a )<0D .(b -1)(b -a )>06.已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 7.已知函数f (x )满足:f (x )≥|x |且f (x )≥2x ,x ∈R ( ) A .若f (a )≤|b |,则a ≤b B .若f (a )≤2b ,则a ≤b C .若f (a )≥|b |,则a ≥b D .若f (a )≥2b ,则a ≥b8.如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n +1|=|A n +1A n +2|,A n ≠A n +2,n ∈N *,|B n B n+1|=|B n +1B n +2|,B n ≠B n +2,n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n +1的面积,则( )A .{S n }是等差数列B .{S 2n }是等差数列C .{d n }是等差数列D .{d 2n}是等差数列 二、填空题9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.10.已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a +2)y 2+4x +8y +5a =0表示圆,则圆心坐标是_____,半径是______. 11.已知2cos 2x +sin2x =A sin(ωx +φ)+b (A >0),则A =________,b =_______.12.设函数f (x )=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f (x )-f (a )=(x -b )(x -a )2,x ∈R ,则实数a =_____,b =______. 13.设双曲线x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2.若点P 在双曲线上,且△F 1PF 2为锐角三角形,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______.14.如图,已知平面四边形ABCD ,AB =BC =3,CD =1,AD =5,∠ADC =90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD',直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______.15.已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,a ·b =1.若e 为平面单位向量,则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______.三、解答题16.(本题满分14分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b +c =2a cos B . (Ⅰ)证明:A =2B ;(Ⅱ)若cos B =23,求cos C 的值.17.(本题满分15分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.18.(本题满分15分)如图,在三棱台ABC -DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC ,∠ACB =90°,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3. (I)求证:BF ⊥平面ACFD ;(II)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.19.(本题满分15分)如图,设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. (I)求p 的值;(II)若直线AF 交抛物线于另一点B ,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ,AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.20.(本题满分15分)设函数f (x )=x 3+1x +1,x ∈[0,1].证明:(I) f (x )≥1-x +x 2; (II) 34<f (x )≤32.数学(文科)一、选择题1.【答案】C2.【答案】C 解析 由已知,α∩β=l ,∴l ⊂β,又∵n ⊥β,∴n ⊥l ,C 正确.故选C . 3.【答案】因y =sin(-x )2=sin x 2,故函数为偶函数,可排除A 和C ;当x =π2时,sin x 2=sin π24≠1,排除B ,只有D 满足.4.【答案】解析:根据约束条件作出可行域如图阴影部分,当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件,联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3=0,x -2y +3=0求得A (1,2),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x -y -3=0,x +y -3=0求得B (2,1),可求得分别过A ,B 两点且斜率为1的两条直线方程为x -y +1=0和x -y -1=0,由两平行线间的距离公式得距离为|1+1|2=2.5.【答案】由a ,b >0且a ≠1,b ≠1,及log a b >1=log a a 可得:当a >1时,b >a >1,当0<a <1时,0<b <a <1,代入验证只有D 满足题意. 6.【答案】A 解析:因为f (x )=x 2+bx =⎝⎛⎭⎫x +b 22-b 24,当x =-b 2时,f (x )min =-b 24,又f (f (x ))=(f (x ))2+bf (x )=⎝⎛⎭⎫f (x )+b 22-b 24,当f (x )=-b 2时,f (f (x ))min =-b 24,当-b 2≥-b24时,f (f (x ))可以取到最小值-b 24,即b 2-2b ≥0,解得b ≤0或b ≥2,故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件.7.【答案】B ∵|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,∴根据题意可取f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧max{x ,2x }=2x,x ≥0,max{-x ,2x},x <0.下面利用特值法验证选项.当a =1,b =-3时可排除选项A ,当a =-5,b =2时可排除选项C ,D .故选B . 8.【答案】由题意,过点A 1,A 2,A 3,…,A n ,A n +1,…分别作直线B 1B n +1的垂线,高分别记为h 1,h 2,h 3,…,h n ,h n +1,…,根据平行线的性质,得h 1,h 2,h 3,…,h n ,h n +1,…成等差数列,又S n =12×|B n B n +1|×h n ,|B n B n +1|为定值,所以{S n }是等差数列,故选A .二、填空题9. 【答案】80;40.10.【答案】由二元二次方程表示圆的条件可得a 2=a +2,解得a =2或-1.当a =2时,方程为4x 2+4y 2+4x +8y +10=0,即x 2+y 2+x +2y +52=0,配方得⎝⎛⎭⎫x +122+(y +1)2=-54<0,不表示圆;当a =-1时,方程为x 2+y 2+4x +8y -5=0,配方得(x +2)2+(y +4)2=25,则圆心坐标为(-2,-4),半径是5.11.【答案】∵2cos 2x +sin 2x =cos 2x +1+sin 2x =2⎝⎛⎭⎫22cos 2x +22sin 2x +1=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+1=A sin(ωx +φ)+b (A >0),∴A =2,b =1.12.【答案】解析:因为f (x )=x 3+3x 2+1,所以f (a )=a 3+3a 2+1,所以f (x )-f (a )=(x -b )(x -a )2=(x -b )(x 2-2ax +a 2)=x 3-(2a +b )x 2+(a 2+2ab )x -a 2b =x 3+3x 2-a 3-3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =-3, ①a 2+2ab =0, ②a 3+3a 2=a 2b . ③因为a ≠0,所以由②得a =-2b ,代入①式得b =1,a =-2.13.【答案】如图,由已知可得a =1,b =3,c =2,从而|F 1F 2|=4,由对称性不妨设P 在右支上,设|PF 2|=m ,则|PF 1|=m +2a =m +2,由于△PF 1F 2为锐角三角形,结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m +2)2<m 2+42,42<(m +2)2+m 2,解得-1+7<m <3,又|PF 1|+|PF 2|=2m +2,∴27<2m +2<8.14.【答案】设直线AC 与BD ′所成角为θ,平面ACD 翻折的角度为α,设O 是AC 中点,由已知得AC =6,如图,以OB 为x 轴,OA 为y 轴,过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则A ⎝⎛⎭⎫0,62,0,B ⎝⎛⎭⎫302,0,0,C ⎝⎛⎭⎫0,-62,0.作DH ⊥AC 于H ,翻折过程中,D ′H 始终与AC 垂直,CH =CD 2CA =16=66,则OH =63,DH =1×56=306,因此可设D ′⎝⎛⎭⎫-306cos α,-63,306sin α,则BD ′→=⎝⎛⎭⎫-306cos α-302,-63,306sin α,与CA →平行的单位向量为n =(0,1,0),所以cos θ=|cos 〈BD ′→,n 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′→·n |BD ′→|·|n |=639+5cos α,所以cos α=-1时,cos θ取最大值66. 15.【答案】7三、解答题16.【解析】(1)由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B+=,故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++,于是,sin sin()B A B =-,又,(0,)A B π∈,故0A B π<-<,所以()B A B π=--或B A B =-,因此,A π=(舍去)或2A B =,所以,2A B =.(2)由2cos 3B =,得5sin 3B =,21cos 22cos 19B B =-=-,故1cos 9A =-,45sin 9A =,22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 17.【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 2=3.又当n ≥2时,由a n +1-a n =(2S n +1)-(2S n -1+1)=2a n ,得a n +1=3a n ,同时a 2=3a 1,∴数列{a n }的通项公式为a n =3n -1,n ∈N *.(2)设b n =|3n -1-n -2|,n ∈N *,则b 1=2,b 2=1.当n ≥3时,由于3n -1>n +2,故b n =3n -1-n -2,n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 1=2,T 2=3,当n ≥3时,T n =3+9(1-3n -2)1-3-(n +7)(n -2)2=3n -n 2-5n +112,此时T 2符合,T 1不符合,∴T n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,3n -n 2-5n +112,n ≥2,n ∈N *.18.【解析】(1)延长,,AD BE CF 相交于一点K ,如图所示,因为平面BCFE ⊥平面ABC ,且AC BC ⊥,所以AC ⊥平面BCK ,因此BF AC ⊥,又因为//EF BC ,1BE EF FC ===,2BC =,所以BCK ∆为等边三角形,且F 为CK 的中点,则BF CK ⊥,所以BF ⊥平面ACFD . (2)因为BF ⊥平面ACK ,所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角,在Rt BFD ∆中,33,2BF DF ==,得21cos 7BDF ∠=,所以直线BD 与平面ACFD 所成的角的余弦值为217.19.【解析】(1)由题意可得,抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x =-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,即p =2.(2)由(1)得,抛物线方程为y 2=4x ,F (1,0),可设A (t 2,2t ),t ≠0,t ≠±1.∵AF 不垂直于y 轴,可设直线AF :x =sy +1(s ≠0),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,x =sy +1消去x 得y 2-4sy -4=0.故y A y B =-4,∴B ⎝⎛⎭⎫1t 2,-2t .又直线AB 的斜率为2tt 2-1,故直线FN 的斜率为-t 2-12t ,从而得直线FN :y =-t 2-12t (x -1),直线BN :y =-2t .∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2+3t 2-1,-2t .设M (m ,0),由A ,M ,N 三点共线得2t t 2-m =2t +2t t 2-t 2+3t 2-1,于是m =2t 2t 2-1=2+2t 2-1,∴m <0或m >2.经检验知,m <0或m >2满足题意. 综上,点M 的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).20.【解析】(Ⅰ)因423111x x x x x--+-=+由于[0,1]x ∈,有411,11x x x -≤++即23111x x x x-≤-++,所以2()1f x x x ≥-+(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤,故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++,所以()32f x ≤.由(Ⅰ)得22133()1()244f x x x x ≥-+=-+≥,又1193()2244f =>,所以3()4f x >,综上,()33.42f x <≤2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江理)一、选择题1.已知集合P ={x | 1≤x ≤3},Q ={x | x 2≥4},则P ∪∁R Q =( )A .[2,3]B .(-2,3]C .[1,2)D .(-∞,-2]∪[1,+∞) 2.已知互相垂直的平面α,β交于直线l ,且直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( ) A .m ∥l B .m ∥n C .n ⊥l D .m ⊥n3.在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域⎩⎪⎨⎪⎧x -2≤0,x +y ≥0,x -3y +4≥0中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ,则|AB |=( ) A .2 2 B .4 C .3 2 D .64.命题“∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式是( )A .∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n <x 2B .∀x ∈R ,∀n ∈N *,使得n <x 2C .∃x ∈R ,∃n ∈N *,使得n <x 2D .∃x ∈R ,∀n ∈N *,使得n <x 2 5.设函数f (x )=sin 2x +b sin x +c ,则f (x )的最小正周期( )A .与b 有关,且与c 有关B .与b 有关,但与c 无关C .与b 无关,且与c 无关D .与b 无关,但与c 有关6.如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n +1|=|A n +1A n +2|,A n ≠A n +2,n ∈N *,|B n B n +1|=|B n +1B n +2|,B n ≠B n +2,n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n +1的面积,则( )A .{S n }是等差数列B .{S 2n }是等差数列C .{d n }是等差数列D .{d 2n}是等差数列 7.已知椭圆C 1:x 2m 2+y 2=1(m >1)与双曲线C 2:x 2n 2-y 2=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则( )A .m >n 且e 1e 2>1B .m >n 且e 1e 2<1C .m <n 且e 1e 2>1D .m <n 且e 1e 2<1 8.已知实数a ,b ,c ( )A .若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1,则a 2+b 2+c 2<100B .若|a 2+b +c |+|a 2+b -c |≤1,则a 2+b 2+c 2<100C .若|a +b +c 2|+|a +b -c 2|≤1,则a 2+b 2+c 2<100D .若|a 2+b +c |+|a +b 2-c |≤1,则a 2+b 2+c 2<100 二、填空题9.若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10,则点M 到y 轴的距离是 . 10.已知2cos 2x +sin 2x =A sin(ωx +φ)+b (A >0),则A =________,b =________. 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ;体积是12.已知a >b >1,若log a b +log b a =52,a b =b a ,则a =________,b =________.13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1=________,S 5= .14.如图,在△ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ,满足PD =DA ,PB =BA ,则四面体PBCD 的体积的最大值是________.15.已知向量a ,b ,|a |=1,|b |=2.若对任意单位向量e ,均有|a ·e |+|b ·e |≤6,则a ·b 的最大值是________. 三、解答题16.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b +c =2a cos B . (1)证明:A =2B ;(2)若△ABC 的面积S =a 24,求角A 的大小.17.如图,在三棱台ABC -DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC ,∠ACB =90°,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.⑴.求证:BF ⊥平面ACFD ; ⑵.求二面角B -AD -F 的余弦值.18.已知a ≥3,函数F (x )=min{2|x -1|,x 2-2ax +4a -2},其中min{p ,q }=⎩⎪⎨⎪⎧p ,p ≤q ,q ,p >q .(1)求使得等式F (x )=x 2-2ax +4a -2成立的x 的取值范围; (2)①求F (x )的最小值m (a );②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a ).19.如图,设椭圆x 2a2+y 2=1(a >1).(1)求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用a ,k 表示);(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.20.设数列{a n }满足|a n -a n +12|≤1,n ∈N *.(1)证明:|a n |≥2n -1(|a 1|-2),n ∈N *;(2)若|a n |≤(32)n ,n ∈N *,证明:|a n |≤2,n ∈N *.参考答案一、选择题1.B 解析:因为Q ={x ∈R|x 2≥4},所以∁R Q ={x ∈R|x 2<4}={x ∈R|-2<x <2}.因为P ={x ∈R|1≤x ≤3},所以P ∪(∁R Q )={x ∈R|-2<x ≤3}=(-2,3]. 2.解析 由已知,α∩β=l ,∴l ⊂β,又∵n ⊥β,∴n ⊥l ,③正确. 3.已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示.因为l 与直线x +y =0平行,故区域内的点在直线x +y -2上的投影构成线段AB ,则|AB |=|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧x -3y +4=0,x +y =0解得P (-1,1),由⎩⎪⎨⎪⎧x =2,x +y =0解得Q (2,-2).∴|AB |=|PQ |=(-1-2)2+(1+2)2=32.4.D 解析:由于存在性命题的否定形式是全称命题,全称命题的否定形式是存在性命题,所以“∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ,∀n ∈N *,使得n <x 2”.5.B 因f (x )=sin 2x +b sin x +c =-cos 2x 2+b sin x +c +12,其中当b =0时,f (x )=-cos 2x 2+c +12,f (x )的周期为π;b ≠0时,f (x )的周期为2π,即f (x )的周期与b 有关但与c 无关,故选B .6.由题意,过点A 1,A 2,A 3,…,A n ,A n +1,…分别作直线B 1B n +1的垂线,高分别记为h 1,h 2,h 3,…,h n ,h n +1,…,根据平行线的性质,得h 1,h 2,h 3,…,h n ,h n +1,…成等差数列,又S n =12×|B n B n +1|×h n ,|B n B n +1|为定值,故{S n }是等差数列,故选A . 7.解析 由题意可得:m 2-1=n 2+1,即m 2=n 2+2,又∵m >0,n >0,故m >n .又∵e 21·e 22=m 2-1m 2·n 2+1n 2=n 2+1n 2+2·n 2+1n 2=n 4+2n 2+1n 4+2n 2=1+1n 4+2n 2>1,∴e 1·e 2>1. 8.解析 由于此题为选择题,可用特值排除法找正确选项.对选项A ,当a =b =10,c =-110时,可排除此选项;对选项B ,当a =10,b =-100,c =0时,可排除此选项;对选项C ,当a =10,b =-10,c =0时,可排除此选项.故选D .二、填空题9.设点M 的横坐标为x 0,易知准线x =-1,∵点M 到焦点的距离为10,根据抛物线定义,x 0+1=10,∴x 0=9,因此点M 到y 轴的距离为9. 10.∵2cos 2x +sin 2x =cos 2x +1+sin 2x =2⎝⎛⎭⎫22cos 2x +22sin 2x +1=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+1=A sin(ωx +φ)+b (A >0),∴A =2,b =1.11.解析 由三视图可知,该几何体为两个相同长方体组合,长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ,其直观图如下:其体积V =2×2×2×4=32(cm 3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,故表面积为S =2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=2×(8+32)-8=72(cm 2).12.解析 设log b a =t ,则t >1,因为t +1t =52,解得t =2,故a =b 2,因此a b =(b 2)b =b 2b =b a ,∴a=2b ,b 2=2b ,又b >1,解得b =2,a =4.13.解析 ∵a n +1=2S n +1,∴S n +1-S n =2S n +1,∴S n +1=3S n +1,∴S n +1+12=3⎝⎛⎭⎫S n +12,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +12是公比为3的等比数列,∴S 2+12S 1+12=3.又S 2=4,∴S 1=1,∴a 1=1,∴S 5+12=⎝⎛⎭⎫S 1+12×34=32×34=2432,∴S 5=121.14.解设PD =DA =x ,在△ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =120°,∴AC =AB 2+BC 2-2·AB ·BC ·cos ∠ABC =4+4-2×2×2×cos 120°=23,∴CD =23-x ,且∠ACB=12(180°-120°)=30°,∴S △BCD =12BC ·DC ×sin ∠ACB =12×2×(23-x )×12=12(23-x ).要使四面体体积最大,当且仅当点P 到平面BCD 的距离最大,而P 到平面BCD 的最大距离为x ,则V 四面体PBCD =13×12(23-x )x =16[-(x -3)2+3],由于0<x <23,故当x =3时,V 四面体PBCD 的最大值为16×3=12. 解析 设直线AC 与BD ′所成角为θ,平面ACD 翻折的角度为α,设O 是AC 中点,由已知得AC =6,如图,以OB 为x 轴,OA 为y 轴,过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则A ⎝⎛⎭⎫0,62,0,B ⎝⎛⎭⎫302,0,0,C ⎝⎛⎭⎫0,-62,0.作DH ⊥AC 于H ,翻折过程中,D ′H 始终与AC 垂直,CH =CD 2CA =16=66,则OH =63,DH =1×56=306,因此可设D ′⎝⎛⎭⎫-306cos α,-63,306sin α,则BD ′→=⎝⎛⎭⎫-306cos α-302,-63,306sin α,与CA →平行的单位向量为n =(0,1,0),所以cos θ=|cos 〈BD ′→,n 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′→·n |BD ′→|·|n |=639+5cos α,所以cos α=-1时,cos θ取最大值66. 15.法一 由已知可得:6≥|a ·e |+|b ·e |≥|a ·e +b ·e |=|(a +b )·e |,由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a +b |成立.∴6≥(a +b )2=a 2+b 2+2a ·b =12+22+2a ·b ,即6≥5+2a ·b ,∴a ·b ≤12.法二 由题意,令e =(1,0),a =(cos α,sin α),b =(2cos β,2sin β),则由|a ·e |+|b ·e |≤6可得|cos α|+2|cos β|≤6①.令sin α+2sin β=m ②,①2+②2得4(|cos α cos β|+sin αsin β)≤1+m 2对一切实数α,β恒成立,故4(|cos αcos β|+sin αsin β)≤1.故a ·b =2(cos αcos β+sin αsin β)≤2(|cos αcos β|+sin αsin β)≤12.解析:由于e 是任意单位向量,可设e =a +b|a +b |,则|a ·e |+|b ·e |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a +b )|a +b |+⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·(a +b )|a +b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a +b )|a +b |+b ·(a +b )|a +b |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a +b )·(a +b )|a +b |=|a +b |.因为|a ·e |+|b ·e |≤6,所以|a +b |≤6,所以(a +b )2≤6,所以|a |2+|b |2+2a ·b ≤6.因为|a |=1,|b |=2,所以1+4+2a ·b ≤6,所以a ·b ≤12,所以a ·b 的最大值为12.三、解答题16.【解】(1)证明 由正弦定理得sin B +sin C =2sin A cos B ,故2sin A cos B =sin B +sin(A +B )=sin B +sin A cos B +cos A sin B ,于是sin B =sin(A -B ).又A ,B ∈(0,π),故0<A -B <π,故B =π-(A -B )或B =A -B ,因此A =π(舍去)或A =2B ,故A =2B .(2)解 由S =a 24得12ab sin C =a 24,故有sin B sin C =12sin 2B =sin B cos B ,因sin B ≠0,得sin C =cosB .又B ,C ∈(0,π),故C =π2±B .当B +C =π2时,A =π2;当C -B =π2时,A =π4.综上,A =π2或A =π4.17.【解】(1)证明 延长AD ,BE ,CF 相交于一点K ,如图所示.因为平面BCFE ⊥平面ABC ,平面BCFE ∩平面ABC =BC ,且AC ⊥BC ,故AC ⊥平面BCK ,因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ,BE =EF =FC =1,BC =2,故△BCK 为等边三角形,且F 为CK 的中点,则BF ⊥CK ,且CK ∩AC =C ,CK ,AC ⊂平面ACFD ,故BF ⊥平面ACFD .(2)解 法一 过点F 作FQ ⊥AK 于Q ,连接BQ .因为BF ⊥平面ACK ,故BF ⊥AK ,则AK ⊥平面BQF ,故BQ ⊥AK .故∠BQF 是二面角B -AD -F 的平面角.在Rt △ACK 中,AC =3,CK =2,得AK =13,FQ =31313.在Rt △BQF 中,FQ =31313,BF =3,得cos ∠BQF =34.故二面角B -AD -F 的平面角的余弦值为34. 法二 如图,延长AD ,BE ,CF 相交于一点K ,则△BCK 为等边三角形.取BC 的中点O ,连接KO ,则KO ⊥BC ,又平面BCFE ⊥平面ABC ,平面BCFE ∩平面ABC =BC ,故KO ⊥平面ABC .以点O 为原点,分别以射线OB ,OK 的方向为x 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O -xyz .由题意得B (1,0,0),C (-1,0,0),K (0,0,3),A (-1,-3,0),E ⎝⎛⎭⎫12,0,32,F ⎝⎛⎭⎫-12,0,32.因此,=(0,3,0),=(1,3,3),=(2,3,0).设平面ACK 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),平面ABK 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2).由得⎩⎨⎧3y 1=0,x 1+3y 1+3z 1=0,取m =(3,0,-1);由得⎩⎨⎧2x 2+3y 2=0,x 2+3y 2+3z 2=0,取n =(3,-2,3).于是,cos 〈m ,n 〉=m ·n |m |·|n |=34.故,二面角B -AD -F 的平面角的余弦值为34. 18.【解】(1)由于a ≥3,故当x ≤1时,(x 2-2ax +4a -2)-2|x -1|=x 2+2(a -1)(2-x )>0,当x >1时,(x 2-2ax +4a -2)-2|x -1|=(x -2)(x -2a ).故使得等式F (x )=x 2-2ax +4a -2成立的x 的取值范围是[2,2a ].(2)①设函数f (x )=2|x -1|,g (x )=x 2-2ax +4a -2,则f (x )min =f (1)=0,g (x )min =g (a )=-a 2+4a -2,故由F (x )的定义知m (a )=min {}f (1),g (a ),即m (a )=⎩⎨⎧0,3≤a ≤2+2,-a 2+4a -2,a >2+ 2.②当0≤x ≤2时,F (x )=f (x )≤max {}f (0),f (2)=2=F (2).当2≤x ≤6时,F (x )=g (x )≤max{}g (2),g (6)=max{}2,34-8a =max{}F (2),F (6).故M (a )=⎩⎪⎨⎪⎧34-8a ,3≤a <4,2,a ≥4. 19.【解】(1)设直线y =kx +1被椭圆截得的线段为AP ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2a 2+y 2=1,得(1+a 2k 2)x 2+2a 2kx =0.故x 1=0,x 2=-2a 2k 1+a 2k 2,因此|AP |=1+k 2|x 1-x 2|=2a 2|k |1+a 2k2·1+k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ,Q ,满足|AP |=|AQ |.记直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,且k 1,k 2>0,k 1≠k 2.由(1)知|AP |=2a 2|k 1|1+k 211+a 2k 21,|AQ |=2a 2|k 2|1+k 221+a 2k 22,故2a 2|k 1|1+k 211+a 2k 21=2a 2|k 2|1+k 221+a 2k 22,故(k 21-k 22)[1+k 21+k 22+a 2(2-a 2)k 21k 22]=0.由于k 1≠k 2,k 1,k 2>0,得1+k 21+k 22+a 2(2-a 2)k 21k 22=0,因此⎝⎛⎭⎫1k 21+1⎝⎛⎭⎫1k 22+1=1+a 2(a 2-2).①因为①式关于k 1,k 2的方程有解的充要条件是1+a 2(a 2-2)>1,故a >2.因此,任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤2.由e =c a =a 2-1a 得,所求离心率的取值范围是(0,22]. 20.【解】(1)由|a n -a n +12|≤1得|a n |-12|a n +1|≤1,故|a n |2n -|a n +1|2n +1≤12n ,n ∈N *,故|a 1|21-|a n |2n =⎝⎛⎭⎫|a 1|21-|a 2|22+⎝⎛⎭⎫|a 2|22-|a 3|23+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n -1|2n -1-|a n |2n ≤121+122+…+12n -1=1-12n -1<1,因此|a n |≥2n -1(|a 1|-2).(2)任取n ∈N *,由(1)知,对于任意m >n ,|a n |2n -|a m |2m =⎝⎛⎭⎪⎫|a n |2n -|a n +1|2n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n +1|2n +1-|a n +2|2n +2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m -1|2m -1-|a m |2m ≤12n +12n +1+…+12m -1=12n -1⎝⎛⎭⎫1-12m -n <12n -1,故|a n |<⎝⎛⎭⎫12n -1+|a m |2m ·2n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n -1+12m ·⎝⎛⎭⎫32m ·2n =2+(34)m ·2n .从而对于任意m >n ,均有|a n |<2+(34)m 2n .①由m 的任意性得|a n |≤2.否则,存在n 0∈N *,有|a n 0|>2,取正整数m 0>log 34|a n 0|-22n 0且m 0>n 0,则2n 0·(34)m 0<2n 0·(34)log 34|an 0|-22n 0=|a n 0|-2,与①式矛盾.综上,对于任意n ∈N *,均有|a n |≤2.2016新课标I 文一. 选择题1.设集合A ={1,3,5,7},B ={x |2≤x ≤5},则A ∩B = A .{1,3} B .{3,5} C .{5,7} D .{1,7} 2.设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a = A .-3 B .-2 C .2 D .33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A .13B .12C .23D .564.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =5,c =2,cos A =23,则b =A . 2B . 3C .2D .35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为A .13B .12C .23D .346.若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为A .y =2sin(2x +π4)B .y =2sin(2x +π3)C .y =2sin(2x -π4)D .y =2sin(2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是A .17πB .18πC .20πD .28π 8.若a >b >0,0<c <1,则A .log a c <log b cB .log c a <log cC .a c <b cD .c a >c b 9.函数y =2x 2-e |x |在[-2,2]的图像大致为10.执行右面的程序框图,如果输入的x =0,y =1,n =1,则输出x ,y 的值满足n=n +1结束输出x,y x 2+y 2≥36?x =x+n-12,y=ny 输入x,y,n 开始A .y =2xB .y =3xC .y =4xD .y =5x11.平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为A .32B .22 C .33D .1312.若函数f (x )=x -13sin 2x +a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是A .[ -1,1]B .[-1,13]C .[-13,13]D .[-1,-13] 二、填空题13.设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a b ,则x =___________. 14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)=___________.15.设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为_________.16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ,乙材料1kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg ,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ,乙材料90kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为_____元.三.解答题17.已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n +1+b n +1=nb n .(I)求{a n }的通项公式; (II)求{b n }的前n 项和.18.如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,P A=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面P AB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.PABD CGE(I)证明:G是AB的中点;(II)在答题卡第(18)题图中作出点E在平面P AC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.19.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(I)若n=19,求y与x的函数解析式;(II)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |;(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点?说明理由.21.已知函数f (x )=a (x -1)2+(x -2)e x . ⑴.讨论f (x )的单调性;⑵.若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.23.选修4—4:[坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos t ,y =1+a sin t (t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题(1)B (2) A (3)C 解析 (1)将4种颜色的花任选2种种在花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种,故概率为23.(4)D 由余弦定理得5=b 2+4-2×b ×2×23,解得b =3或b =-13(舍去).(5)B 【解】解析 法一 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0,b )和左焦点(-c ,0),b >0,c >0,则直线l 的方程为bx -cy +bc =0,由已知得bcb 2+c 2=14×2b ,解得b 2=3c 2,又b 2=a 2-c 2,所以c 2a 2=14,即e 2=14,所以e =12(e =-12舍去). 法二 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0,b )和左焦点(-c ,0),b >0,c >0,则直线l 的方程为bx -cy +bc =0,由已知得bcb 2+c 2=14×2b ,所以bc a =14×2b ,所以e =c a =12. (6)D 解析:函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的周期为π,将函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度,所得图像对应的函数为y =2sin ⎣⎡⎦⎤2 ⎝⎛⎭⎫x -π4 +π6=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3. (7)由题知,该几何体的直观图如图所示,它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体,其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和,易得球的半径为2,则得S =78×4π×22+3×14π×22=17π. (8)B 解析:对于A ,log a c =1log c a ,log b c =1log c b.∵0<c <1,∴对数函数y =log c x 在(0,+∞)上为减函数,∴若0<b <a <1,则0<log c a <log c b ,1log c a >1log c b ,即log a c >log b c ;若0<b <1<a ,则log c a <0,log c b >0,1log c a <1log c b ,即log a c <log b c ;若1<b <a ,则log c a <log c b <0,1log c a>1log c b,即log a c >log b c .故A 不正确;由以上解析可知,B 正确;对于C ,∵0<c <1,∴幂函数y =x c 在(0,+∞)上为增函数.∵a >b >0,∴a c >b c ,故C 不正确;对于D ,∵0<c <1,∴指数函数y =c x 在R 上为减函数.∵a >b >0,∴c a <c b ,故D 不正确.(9)D 【解】令f (x )=2x 2-e |x |(-2≤x ≤2),则f (x )是偶函数,又f (2)=8-e 2∈(0,1),故排除A ,B ;当x >0时,令g (x )=2x 2-e x ,则g ′(x )=4x -e x ,又g ′(0)<0,g ′(2)>0,所以g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点,故f (x )=2x 2-e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C .(10)C (11)A 解析:如图,延长B 1A 1至A 2,使A 2A 1=B 1A 1,延长D 1A 1至A 3,使A 3A 1=D 1A 1,连接AA 2,AA 3,A 2A 3,A 1B ,A 1D .易证AA 2∥A 1B ∥D 1C ,AA 3∥A 1D ∥B 1C . ∴平面AA 2A 3∥平面CB 1D 1,即平面AA 2A 3为平面α.于是m ∥A 2A 3,直线AA 2即为直线n .显然有AA 2=AA 3=A 2A 3,于是m 、n 所成的角为60°,其正弦值为32.选A. (12)根据选项特点验证a =1,a =-1是否符合题意.当a =1时,f (x )=x +sin x -13sin 2x ,则f ′(x )=1+cos x -23cos 2x ,当x =π时,f ′(π)=-23<0,不符合题意,排除选项A .当a =-1时,f (x )=x-sin x -13sin 2x ,则f ′(x )=1-cos x -23cos 2x ,当x =0时,f ′(0)=-23<0,不符合题意,排除选项B ,D .只有选项C 满足.解析:f (x )=x -13sin 2x cos x +a sin x 知,f ′(x )=1-23cos 2x +a cos x =-43cos 2x +a cos x +53.因为f (x )在R 上单调递增,所以f ′(x )=-43cos 2x +a cos x +53≥0在R 上恒成立.解法一:由题意可得,当cos x =1时,f ′(x )≥0,当cos x =-1时,f ′(x )≥0,即⎩⎨⎧-43+a +53≥0,-43-a +53≥0,解得-13≤a ≤13.解法二:令t =cos x ∈[-1,1],当t =0时,53>0恒成立;当0<t ≤1时,a ≥43t -53t .令h (t )=43t-53t ,则h ′(t )=43+53t 2>0,所以h (t )在(0,1]上单调递增,所以h (t )max =h (1)=-13,所以a ≥-13.当-1≤t <0时,a ≤43t -53t .令g (t )=43t -53t ,则g ′(t )=43+53t 2>0,所以g (t )在[-1,0)上单调递增,所以g (t )min =g (-1)=13,所以a ≤13.综上,a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤-13,13. 二、填空题 (13) -23(14) 【解】由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=35,且θ是第四象限角,所以cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4>0,所以cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4=45,又tan ⎝⎛⎭⎫θ-π4=tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ+π4-π2=sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4-π2cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4-π2=-cos ⎝⎛⎭⎫θ+π4sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=-43. (15)【解】圆C 的标准方程为x 2+(y -a )2=a 2+2,圆心为C (0,a ),点C 到直线y =x +2a 的距离为d =|0-a +2a |2=|a |2.又由|AB |=23,得⎝⎛⎭⎫2322+⎝⎛⎭⎫|a |22=a 2+2,解得a 2=2,所以圆C 的面积为π(a 2+2)=4π.(16) 【解】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ∈N ,y ∈N ,即⎩⎪⎨⎪⎧3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ∈N ,y ∈N ,目标函数为z =2 100x +900y .作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.由图可知当直线z =2 100x +900y 经过点M 时,z 取得最大值.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x +3y =900,5x +3y =600,得M 的坐标为(60,100),所以当x =60,y =100时,z max =2 100×60+900×100=216 000(元). 三、解答题(17) (1)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,∴a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,因此{a n }的通项公式a n =2+3(n -1)=3n -1. (2)由(1)和a n b n +1+b n +1=nb n ,得b n +1=nb n 1+a n =b n3≠0,则b n +1b n =13,因此数列{b n }是首项为1,公比为13的等比数列,设数列{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-⎝⎛⎭⎫13n1-13=32-12×3n -1. (18(1)证明 因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以AB ⊥PD .因为D 在平面P AB 内的正投影为E ,所以AB ⊥DE ,且PD ∩DE =D ,所以AB ⊥平面PED ,又PG ⊂平面PED ,故AB ⊥PG .又由已知可得,P A =PB ,从而G 是AB 的中点.(2)解 在平面P AB 内,过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ,F 即为E 在平面P AC 内的正投影.理由如下:由已知可得PB ⊥P A ,PB ⊥PC ,又EF ∥PB ,所以EF ⊥P A ,EF ⊥PC ,又P A ∩PC =P ,因此EF ⊥平面P AC ,即点F 为E 在平面P AC 内的正投影.连接CG ,因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以D 是正三角形ABC 的中心.由(1)知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故CD =23CG .由题设可得PC ⊥平面P AB ,DE ⊥平面P AB ,所以DE ∥PC ,因此PE =23PG ,DE =13PC .由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且P A =6,可得DE =2,PE =2 2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF =PF =2.所以四面体PDEF 的体积V =13×12×2×2×2=43.(19)解析:(1)当x ≤19时,y =3 800;当x >19时,y =3 800+500(x -19)=500x -5 700,所以y与x 的函数解析式为y =⎩⎪⎨⎪⎧3 800,x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100 (4 000×90+4 500×10)=4050.比较两个平均数可知,购买一台机器的同时应购买19个易损零件. (20) 解 (1)如图,由已知得M (0,t ),P ⎝⎛⎭⎫t22p ,t ,又N 为M 关于点P 的对称点,故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ,t ,故直线ON 的方程为y =pt x ,将其代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x =0,解得x 1=0,x 2=2t 2p,因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ,2t .所以N 为OH 的中点,即|OH ||ON |=2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点,理由如下:直线MH 的方程为y -t =p 2t x ,即x =2tp (y-t ).代入y 2=2px 得y 2-4ty +4t 2=0,解得y 1=y 2=2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外,直线MH 与C 没有其它公共点. (21)【解】⑴.f ′(x )=(x -1)(e x +2a ).①.当a ≥0时,则当x >1时,f ′(x )>0;当x <1时,f ′(x )<0,故函数f (x )在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.②.当a <0时,由f ′(x )=0解得,x =1或x =ln(-2a )(i).若ln(-2a )=1,即a =-e2,则∀x ∈R ,f ′(x )=(x -1)(e x +e)≥0,故f (x )在(-∞,+∞)单调递增.(ii).若ln(-2a )<1,即a >-e2,则当x ∈(-∞,ln(-2a ))∪(1,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(ln(-2a ),1)时,f ′(x )<0,故函数在(-∞,ln(-2a )),(1,+∞)上单调递增;在(ln(-2a ),1)上单调递减.(iii).若ln(-2a )>1,即a <-e2,则当x ∈(-∞,1)∪(ln(-2a ),+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(1,ln(-2a ))时,f ′(x )<0;故函数在(-∞,1),(ln(-2a ),+∞)单调递增;在(1,ln(-2a ))单调递减. ⑵.①.当a >0时,由⑴知,函数f (x )在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f (1)=e ,f (2)=a ,取实数b 满足b <0且b <ln a 2,则f (b )>a 2(b -2)+a (b -1)2=a (b 2-32b )>0,故f (x )有两个零点.②.若a =0,则f (x )=(x -2)e x ,故f (x )只有一个零点.③.若a <0,由⑴知,当a ≥-e2,则f (x )在(1,+∞)单调递增,又当x ≤1时,f (x )<0,故f (x )不存在两个零点;当a <-e2,则函数在(ln(-2a ),+∞)单调递增;在(1,ln(-2a ))单调递减.又当x ≤1时,f (x )<0,故不存在两个零点.综上所述,a 的取值范围是(0,+∞).(23)⑴.消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y -1)2=a 2,C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.⑵.曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0,ρ=4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由已知tan θ=2得,16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a =-1(舍去),a =1.a =1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a =1.2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 理)二. 选择题1.设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B =( ) A .(-3,-32) B .(-3,32) C .(1,32) D .(32,3)2.设(1+i)x =1+y i ,其中x ,y 是实数,则|x +y i|=( ) A .1 B . 2 C . 3 D .23.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A .100 B .99 C .98 D .974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A .13B .12C .23D .345.已知方程x 2m 2+n -y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A .(-1,3)B .(-1,3)C .(0,3)D .(0,3)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A .17πB .18πC .20πD .28π 7.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )8.若a >b >1,0<c <1,则A .a c <b cB .ab c <ba cC .a log b c <b log a cD .b log a c <log b c 9.执行右面的程序图,如果输入的x =0,y =1,n =1,则输出x ,y 的值满足 A .y =2x B .y =3x C .y =4x D .y =5x10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的标准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为( )A .2B .4C .6D .811.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为( )A .32 B .22 C .33 D .1312.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2),x =-π4为f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图象的对称轴,且f (x )在(π18,5π36)上单调,则ω的最大值为( )A .11B .9C .7D .5 二、填空题:本题共4小题,每小题5分13.设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 14.(2x +x )5的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案)15.设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ,乙材料1kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg ,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ,乙材料90kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos C (a cos B +b cos A )=c . (I)求C ;(II)若c =7,ΔABC 的面积为332,求ΔABC 的周长.18.(本小题满分为12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,∠AFD =90°,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°. (1)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (2)求二面角E -BC -A 的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元,在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷2)文数
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷2)文数一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.1.(5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3} B.{﹣2,﹣1,0,1,2}C.{1,2,3} D.{1,2}2.(5分)设复数z满足z+i=3﹣i,则=()A.﹣1+2i B.1﹣2i C.3+2i D.3﹣2i3.(5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin(2x﹣) B.y=2sin(2x﹣) C.y=2sin(x+)D.y=2sin(x+)4.(5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()A.12πB.πC.8πD.4π5.(5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A.B.1 C.D.26.(5分)圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1,则a=()A.﹣B.﹣C.D.27.(5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π8.(5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.B.C.D.9.(5分)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=()A.7 B.12 C.17 D.3410.(5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=11.(5分)函数f(x)=cos2x+6cos(﹣x)的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.712.(5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则x i=()A.0 B.m C.2m D.4m二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知向量=(m,4),=(3,﹣2),且∥,则m=.14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为.15.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.16.(5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.18.(12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值.19.(12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(Ⅰ)证明:AC⊥HD′;(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′﹣ABCFE体积.20.(12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.21.(12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E与A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(I)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积(II)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.[选项4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交与A,B两点,|AB|=,求l的斜率.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x﹣|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷2)文数参考答案与试题解析一、1.D【分析】先求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出A∩B的值.【解答】解:∵集合A={1,2,3},B={x|x2<9}={x|﹣3<x<3},∴A∩B={1,2}.故选:D.2.C【分析】根据已知求出复数z,结合共轭复数的定义,可得答案.【解答】解:∵复数z满足z+i=3﹣i,∴z=3﹣2i,∴=3+2i,故选:C3.A【分析】根据已知中的函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求出满足条件的A,ω,φ值,可得答案.【解答】解:由图可得:函数的最大值为2,最小值为﹣2,故A=2,=,故T=π,ω=2,故y=2sin(2x+φ),将(,2)代入可得:2sin(+φ)=2,则φ=﹣满足要求,故y=2sin(2x﹣),故选:A.4.A【分析】先通过正方体的体积,求出正方体的棱长,然后求出球的半径,即可求出球的表面积.【解答】解:正方体体积为8,可知其边长为2,正方体的体对角线为=2,即为球的直径,所以半径为,所以球的表面积为=12π.故选:A.5.D【分析】根据已知,结合抛物线的性质,求出P点坐标,再由反比例函数的性质,可得k 值.【解答】解:抛物线C:y2=4x的焦点F为(1,0),曲线y=(k>0)与C交于点P在第一象限,由PF⊥x轴得:P点横坐标为1,代入C得:P点纵坐标为2,故k=2,故选:D6.A【分析】求出圆心坐标,代入点到直线距离方程,解得答案.【解答】解:圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为:(1,4),故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1,解得:a=,故选:A.7.C【分析】空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2,在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的,写出表面积,下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,做出圆柱的表面积,注意不包括重合的平面.【解答】解:由三视图知,空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2,∴在轴截面中圆锥的母线长是=4,∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π,下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π,故选:C.8.B【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯,即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率.【解答】解:∵红灯持续时间为40秒,至少需要等待15秒才出现绿灯,∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯,∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=.故选:B.9.C【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.【解答】解:∵输入的x=2,n=2,当输入的a为2时,S=2,k=1,不满足退出循环的条件;当再次输入的a为2时,S=6,k=2,不满足退出循环的条件;当输入的a为5时,S=17,k=3,满足退出循环的条件;故输出的S值为17,故选:C10.D【分析】分别求出各个函数的定义域和值域,比较后可得答案.【解答】解:函数y=10lgx的定义域和值域均为(0,+∞),函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=2x的定义域为R,值域为R(0,+∞),不满足要求;函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求;故选:D11.B【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式,可得y=1﹣2sin2x+6sinx,令t=sinx(﹣1≤t≤1),可得函数y=﹣2t2+6t+1,配方,结合二次函数的最值的求法,以及正弦函数的值域即可得到所求最大值.【解答】解:函数f(x)=cos2x+6cos(﹣x)=1﹣2sin2x+6sinx,令t=sinx(﹣1≤t≤1),可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2(t﹣)2+,由∉[﹣1,1],可得函数在[﹣1,1]递增,即有t=1即x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最大值5.故选:B.12.B【分析】根据已知中函数函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),分析函数的对称性,可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f(x)图象的交点关于直线x=1对称,进而得到答案.【解答】解:∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称,故函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f(x)图象的交点也关于直线x=1对称,故x i=×2=m,故选:B二、.13.﹣6.【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可.【解答】解:向量=(m,4),=(3,﹣2),且∥,可得12=﹣2m,解得m=﹣6.故答案为:﹣6.14.﹣5.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(3,4).化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z,由图可知,当直线y=x﹣z过A(3,4)时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为:3﹣2×4=﹣5.故答案为:﹣5.15..【分析】运用同角的平方关系可得sinA,sinC,再由诱导公式和两角和的正弦公式,可得sinB,运用正弦定理可得b=,代入计算即可得到所求值.【解答】解:由cosA=,cosC=,可得sinA===,sinC===,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=,由正弦定理可得b===.故答案为:.16.1和3.【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2,或1和3,分别讨论这两种情况,根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字,这样便可判断出甲卡片上的数字是多少.【解答】解:根据丙的说法知,丙的卡片上写着1和2,或1和3;(1)若丙的卡片上写着1和2,根据乙的说法知,乙的卡片上写着2和3;∴根据甲的说法知,甲的卡片上写着1和3;(2)若丙的卡片上写着1和3,根据乙的说法知,乙的卡片上写着2和3;又甲说,“我与乙的卡片上相同的数字不是2”;∴甲的卡片上写的数字不是1和2,这与已知矛盾;∴甲的卡片上的数字是1和3.故答案为:1和3.三、17.【分析】(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,根据已知构造关于首项和公差方程组,解得答案;(Ⅱ)根据b n=[a n],列出数列{b n}的前10项,相加可得答案.【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,∵a3+a4=4,a5+a7=6.∴,解得:,∴a n=;(Ⅱ)∵b n=[a n],∴b1=b2=b3=1,b4=b5=2,b6=b7=b8=3,b9=b10=4.故数列{b n}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24.18.【分析】(I)求出A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数.总事件人数,即可求P(A)的估计值;(Ⅱ)求出B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数.然后求P(B)的估计值;(Ⅲ)利用人数与保费乘积的和除以总续保人数,可得本年度的平均保费估计值.【解答】解:(I)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.事件A的人数为:60+50=110,该险种的200名续保,P(A)的估计值为:=;(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.事件B的人数为:30+30=60,P(B)的估计值为:=;(Ⅲ)续保人本年度的平均保费估计值为=.=1.1925a.19.【分析】(1)根据直线平行的性质以及线面垂直的判定定理先证明EF⊥平面DD′H即可.(2)根据条件求出底面五边形的面积,结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE 的高,即可得到结论.【解答】(Ⅰ)证明:∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,∴EF∥AC,且EF⊥BD,又D′H⊥EF,D′H∩DH=H,∴EF⊥平面DD′H,∵HD′⊂平面D′HD,∴EF⊥HD′,∵EF∥AC,∴AC⊥HD′;(Ⅱ)若AB=5,AC=6,则AO=3,B0=OD=4,∵AE=,AD=AB=5,∴DE=5﹣=,∵EF∥AC,∴====,∴EH=,EF=2EH=,DH=3,OH=4﹣3=1,∵HD′=DH=3,OD′=2,∴满足HD′2=OD′2+OH2,则△OHD′为直角三角形,且OD′⊥OH,即OD′⊥底面ABCD,即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高.底面五边形的面积S=+=+=12+=,则五棱锥D′﹣ABCFE体积V=S•OD′=××2=.20.【分析】(I)当a=4时,求出曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率,即可求出切线方程;(II)先求出f′(x)>f′(1)=2﹣a,再结合条件,分类讨论,即可求a的取值范围.【解答】解:(I)当a=4时,f(x)=(x+1)lnx﹣4(x﹣1).f(1)=0,即点为(1,0),函数的导数f′(x)=lnx+(x+1)•﹣4,则f′(1)=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2,即函数的切线斜率k=f′(1)=﹣2,则曲线y=f(x)在(1,0)处的切线方程为y=﹣2(x﹣1)=﹣2x+2;(II)∵f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1),∴f′(x)=1++lnx﹣a,∴f″(x)=,∵x>1,∴f″(x)>0,∴f′(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f′(x)>f′(1)=2﹣a.①a≤2,f′(x)>f′(1)≥0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(1)=0,满足题意;②a>2,存在x0∈(1,+∞),f′(x0)=0,函数f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,由f(1)=0,可得存在x0∈(1,+∞),f(x0)<0,不合题意.综上所述,a≤2.21.【分析】(I)依题意知椭圆E的左顶点A(﹣2,0),由|AM|=|AN|,且MA⊥NA,可知△AMN 为等腰直角三角形,设M(a﹣2,a),利用点M在E上,可得3(a﹣2)2+4a2=12,解得:a=,从而可求△AMN的面积;(II)设直线l AM的方程为:y=k(x+2),直线l AN的方程为:y=﹣(x+2),联立消去y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|=|x M﹣(﹣2)|=,|AN|==,结合2|AM|=|AN|,可得=,整理后,构造函数f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8,利用导数法可判断其单调性,再结合零点存在定理即可证得结论成立.【解答】解:(I)由椭圆E的方程:+=1知,其左顶点A(﹣2,0),∵|AM|=|AN|,且MA⊥NA,∴△AMN为等腰直角三角形,∴MN⊥x轴,设M的纵坐标为a,则M(a﹣2,a),∵点M在E上,∴3(a﹣2)2+4a2=12,整理得:7a2﹣12a=0,∴a=或a=0(舍),∴S△AMN=a×2a=a2=;(II)设直线l AM的方程为:y=k(x+2),直线l AN的方程为:y=﹣(x+2),由消去y得:(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,∴x M﹣2=﹣,∴x M=2﹣=,∴|AM|=|x M﹣(﹣2)|=•=∵k>0,∴|AN|==,又∵2|AM|=|AN|,∴=,整理得:4k3﹣6k2+3k﹣8=0,设f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8,则f′(k)=12k2﹣12k+3=3(2k﹣1)2≥0,∴f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8为(0,+∞)的增函数,又f()=4×3﹣6×3+3﹣8=15﹣26=﹣<0,f(2)=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6>0,∴<k<2.22.【分析】(Ⅰ)证明B,C,G,F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补,由已知条件可知∠BCD=90°,因此问题可转化为证明∠GFB=90°;(Ⅱ)在Rt△DFC中,GF=CD=GC,因此可得△GFB≌△GCB,则S四边形BCGF=2S△BCG,据此解答.【解答】(Ⅰ)证明:∵DF⊥CE,∴Rt△DFC∽Rt△EDC,∴=,∵DE=DG,CD=BC,∴=,又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF,∴△GDF∽△BCF,∴∠CFB=∠DFG,∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,∴∠GFB+∠GCB=180°,∴B,C,G,F四点共圆.(Ⅱ)∵E为AD中点,AB=1,∴DG=CG=DE=,∴在Rt△DFC中,GF=CD=GC,连接GB,Rt△BCG≌Rt△BFG,∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=.23.【分析】(Ⅰ)把圆C的标准方程化为一般方程,由此利用ρ2=x2+y2,x=ρcosα,y=ρsinα,能求出圆C的极坐标方程.(Ⅱ)由直线l的参数方程求出直线l的一般方程,再求出圆心到直线距离,由此能求出直线l的斜率.【解答】解:(Ⅰ)∵圆C的方程为(x+6)2+y2=25,∴x2+y2+12x+11=0,∵ρ2=x2+y2,x=ρcosα,y=ρsinα,∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0.(Ⅱ)∵直线l的参数方程是(t为参数),∴直线l的一般方程y=tanα•x,∵l与C交与A,B两点,|AB|=,圆C的圆心C(﹣6,0),半径r=5,∴圆心C(﹣6,0)到直线距离d==,解得tan2α=,∴tanα=±=±.∴l的斜率k=±.24.【分析】(I)分当x<时,当≤x≤时,当x>时三种情况,分别求解不等式,综合可得答案;(Ⅱ)当a,b∈M时,(a2﹣1)(b2﹣1)>0,即a2b2+1>a2+b2,配方后,可证得结论.【解答】解:(I)当x<时,不等式f(x)<2可化为:﹣x﹣x﹣<2,解得:x>﹣1,∴﹣1<x<,当≤x≤时,不等式f(x)<2可化为:﹣x+x+=1<2,此时不等式恒成立,∴≤x≤,当x>时,不等式f(x)<2可化为:﹣+x+x+<2,解得:x<1,∴<x<1,综上可得:M=(﹣1,1);证明:(Ⅱ)当a,b∈M时,(a2﹣1)(b2﹣1)>0,即a2b2+1>a2+b2,即a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab,即(ab+1)2>(a+b)2,即|a+b|<|1+ab|.。
2016年新课标Ⅱ高考数学(文)试题(Word版,含答案)
绝密★启封并使用完毕前试题类型:新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破,不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==,则A B ð= (A ){48},(B ){026},, (C ){02610},,,(D ){0246810},,,,, (2)若43i z =+,则||zz = (A )1 (B )1-(C )43+i 55 (D )43i 55-(3)已知向量BA u u u r =(12,BC uuu r =12),则∠ABC =(A )30° (B )45° (C )60° (D )120°(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在0℃以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均最高气温高于20℃的月份有5个(5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(A)815(B)18(C)115(D)130(6)若tan13θ=,则cos2θ=(A)45-(B)15-(C)15(D)45(7)已知4213332,3,25a b c===,则(A)b<a<c (B) a<b<c (C) b<c<a (D) c<a<b(8)执行右面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=(A )3 (B )4 (C )5 (D )6(9)在ABC △中,π4B =,BC边上的高等于13BC ,则sin A = (A)310 (B)1010 (C)55 (D)31010(10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(A )18365+ (B )545+ (C )90 (D )81(11)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是(A )4π (B )9π2 (C )6π (D )32π3(12)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 (A )13 (B )12 (C )23 (D )34第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)设x ,y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为________.(14)函数sin y x x =的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到. (15)已知直线l:60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点,过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,则||CD =__________ .(16)已知f (x )为偶函数,当0x ≤时,1()x f x ex --=-,则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方程是____________三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =,211(21)20n n n n a a a a ++---=.(I )求23,a a ;(II )求{}n a 的通项公式. (18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据:719.32ii y==∑,7140.17i i i t y ==∑721()0.55ii y y =-=∑,7≈2.646.参考公式:12211()()()(yy)niii n ni ii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑ 回归方程y a bt =+)))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑),$ay bt =-$ (19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点. (I )证明MN ∥平面PAB; (II )求四面体N-BCM 的体积.(20)(本小题满分12分)已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.(21)(本小题满分12分) 设函数()ln 1f x x x =-+. (I )讨论()f x 的单调性;(II )证明当(1,)x ∈+∞时,11ln x x x-<<; (III )设1c >,证明当(0,1)x ∈时,1(1)xc x c +->.请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)
(II)当 a b 4 时, f x x3 4x2 4x c , 所以 f x 3x2 8x 4 .
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令 f x 0 ,得 3x2 8x 4 0 ,解得 x 2 或 x 2 .
3
f x 与 f x 在区间 , 上的情况如下:
x
f x
(I)求曲线 y f x.在点 0, f 0 处的切线方程;
(II)设 a b 4 ,若函数 f x 有三个不同零点,求 c 的取值范围;
(III)求证: a2 3b>0 是 f x.有三个不同零点的必要而不充分条件.
【答案】(Ⅰ)
y
bx
c
;(Ⅱ)
c
0,
32 27
;(III)见解析.
ln x, 0 x 1,
4.(2016 四川文、理)设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= ln x, x 1,
图象上点 P1,P2 处的切线,
l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是( )
(A)(0,1) (B)(0,2) (C)(0,+∞) (D)(1,& BPD 30 .
过 P 作直线 BD 的垂线,垂足为 O .设 PO d
则
SPBD
1 2
BD d
1 2
PD
PB sin
BPD ,
即 1 x2 2 3x 4 d 1 x 2sin 30 ,解得 d
x
.
2
2
x2 2 3x 4
而 BCD 的面积 S 1 CD BC sin BCD 1 (2 3 x) 2 sin 30 1 (2 3 x) .
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(完整word版)2016年山东高考数学(文科)试题及答案(word版),推荐文档
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I 卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===,则()U A B U ð=(A ){2,6} (B ){3,6} (C ){1,3,4,5} (D ){1,2,4,6}(2)若复数21i z =-,其中i 为虚数单位,则z = (A )1+i (B )1−i (C )−1+i (D )−1−i(3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(A )56 (B )60 (C )120 (D )140(4)若变量x ,y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是(A )4(B )9(C )10(D )12(5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为(A )12+π33(B )123 (C )12+π36(D )21+π6(6)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,b 内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件(7)已知圆M :2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N :22(1)1x y +-=(-1)的位置关系是(A )内切(B )相交(C )外切(D )相离(8)ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =(A )3π4(B )π3(C )π4(D )π6 (9)已知函数f(x )的定义域为R.当x <0时,f(x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f(-x )= —f(x );当x >12时,f(x +12)=f(x —12).则f(6)= (A )-2 (B )-1(C )0 (D )2(10)若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是(A )sin y x = (B )ln y x = (C )e x y = (D )3y x =第II 卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
2016高考文科试题分类分类汇编及详解--集合、函数、导数
一、集合与常用逻辑用语一、集合1、(2016年北京高考)(1)已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或,则A B = (A ){|2<<5}x x (B ){|<45}x x x >或 (C ){|2<<3}x x (D ){|<25}x x x >或 【答案】C2、(2016年江苏省高考)已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________. 【答案】{}1,2-3、(2016年山东高考)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===,则()U A B ð= (A ){2,6} (B ){3,6}(C ){1,3,4,5}(D ){1,2,4,6}【答案】A4、(2016年四川高考)学科网设集合A={x |1≤x ≤5},Z 为整数集,则集合A ∩Z 中元素的个数是(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 【答案】B5、(2016年天津高考)已知集合}3,2,1{=A ,},12|{A x x y y B ∈-==,则A B =( )(A )}3,1{ (B )}2,1{(C )}3,2{(D )}3,2,1{【答案】A6、(2016年全国I 卷高考)设集合{1,3,5,7}A =,{|25}B x x =≤≤,则A B = (A ){1,3}(B ){3,5}(C ){5,7}(D ){1,7} 【答案】B7、(2016年全国II 卷高考)已知集合{123}A =,,,2{|9}B x x =<,则A B = ( ) (A ){210123}--,,,,, (B ){21012}--,,,, (C ){123},, (D ){12},【答案】D8、(2016年全国III 卷高考)设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==,则A B ð=(A ){48}, (B ){026},, (C ){02610},,, (D ){0246810},,,,, 【答案】C9、(2016年浙江高考)已知全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,3,5},Q ={1,2,4},则U PQ ()ð=( ) A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}【答案】C二、常用逻辑用语1、(2016年山东高考)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,b 内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】A2、(2016年上海高考)设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”的( )(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件 【答案】A3、(2016年上海高考)设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题:①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数,则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数;②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是( ) A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题,②为假命题D 、①为假命题,②为真命题【答案】D4、(2016年四川高考)设p:实数x ,y 满足x>1且y>1,q: 实数x ,y 满足x+y>2,则p 是q 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】A5、(2016年天津高考)设0>x ,R y ∈,则“y x >”是“||y x >”的( )(A )充要条件(B )充分而不必要条件(C )必要而不充分条件(D )既不充分也不必要条件【答案】C6、(2016年浙江高考)已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A二、函数一、选择题1、(2016年北京高考)下列函数中,在区间(1,1)- 上为减函数的是 (A )11y x=- (B )cos y x = (C )ln(1)y x =+ (D )2x y -= 【答案】D2、(2016年山东高考)已知函数f(x )的定义域为R.当x <0时,f(x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f(-x )= —f(x );当x >12时,f(x +12)=f(x —12).则f(6)= (A )-2 (B )-1 (C )0 (D )2 【答案】D3、(2016年四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
专题02 函数(第02期)-决胜2016年高考全国名校试题文数分项汇编(新课标II特刊)(解析版)
1第二章 函数一.基础题组1. (安徽省示范高中2016届高三第二次联考数学、文、1)函数22()x x f x x-++=的定义域为( )A-(-1,0) (0,2) B .(-1,0)(0,+∞) C .(一∞,-1)(2,+∞) D .(-1,2)【答案】A 【解析】试题分析:()()2201,00,20x x x x ⎧-++>⇒∈-⎨≠⎩.故A 正确.考点:函数的定义域.2.(云南师大附中2016届高考适应性考试、文、5)已知函数1,0()2,0x e x f x x x -⎧-≤=⎨->⎩,若()f a =-1,则实数a 的值为( )A 、2B 、±1 C. 1 D 、一1 【答案】C考点:函数值.3.(云南省玉溪市第一中学2016届高三次月考、文、4)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x+1,x <1,x 2+ax ,x≥1,若f(f(0))=4a ,则实数a 等于( )A. 2B.45 C .12 D .9【答案】A 【解析】试题分析:因为()00212f =+=,所以()()()202224ff f a a ==+=,解得2a =.故A 正确.考点:分段函数.24.(重庆巴蜀中学高2016级高三第二次月考、文、4)已知函数f(x)= 6x−log 2x ,在下列区间中,函数f(x)的零点所在区间为( )A 、(0,1)B 、(1,2)C 、(2,4)D 、(4,+∞) 【答案】C 【解析】试题分析:因为26()log f x x x =-在定义域内是减函数,且26(2)log 2202f =-=>,261(4)log 4042f =-=-<,根据零点存在定理可知,函数()f x 的零点在区间(2,4)上,故选C. 考点:1.函数与方程;2.零点存在定理;3.函数单调性.5.(吉林省实验中学2016届高三上学期第一次模拟、文、3)下列函数中,既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是( )(A )2y x = (B )2xy = (C )21log y x= (D )sin y x = 【答案】C考点:函数奇偶性、函数的单调性.6. (安徽省示范高中2016届高三第二次联考数学、文、4)下列函数中,随x(x>0)的增大,增长速度最快的是( )A. y =1,x ∈ZB. y=xC. y= 2xD. y=xe 【答案】D 【解析】试题分析:指数函数模型增长速度最快,并且e >2,因而y =e x增长速度最快. 考点:函数图像.37.(广东省廉江一中2016届高三月考、文、6)函数)32(log 3++=x y a 的图象必经过定点P 的坐标为( ) A .)3,1(- B .)4,1(- C .)1,0( D .)2,2( 【答案】A 【解析】试题分析:令231x +=,则1x =-,3y =,因此定点为(1,3)P -,故选A. 考点:对数函数的性质.8.(广东省廉江一中2016届高三月考、文、7)已知函数,⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=3)1(3)21()(x x f x x f x 则(l)f 的值是( ) A .121B .81 C .24 D .12【答案】B考点:分段函数.9.(黑龙江省大庆铁人中学2016届高三第一阶段考试、文、5)定义在R 上的偶函数f(x),对任意12,[0,)x x ∈+∞ (12x x ≠),有2121()()0f x f x x x -<-,则( )A .(3)(2)(1)f f f <-<B .(1)(2)(3)f f f <-<C .(2)(1)(3)f f f -<<D .(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A 【解析】试题分析:∵对任意12,[0,)x x ∈+∞ (12x x ≠),有2121()()0f x f x x x -<-,∴函数在[0,)+∞上单调递减,∴(3)(2)(1)f f f <<,∵函数是偶函数,∴(2)(2)f f -=,∴(3)(2)(1)f f f <-<. 考点:函数的奇偶性与单调性.10.(辽宁省五校协作体2016届高三上学期期初考试数学、文、7)设函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()23,x f x x =+-则()f x 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4 【答案】C 【解析】4试题分析:0x >时,()23,xf x x =+-由数形结合知,此时有一个零点。
2016年高考文科数学全国2卷试题与答案(Word版)
2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:一、选择题:本大题共12 小题。
每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
2(1)已知集合 A {1,2,3},B { x | x 9} ,则 A B(A ){ 2,1,0,1,2,3} (B){ 2,1,0,1,2} (C){1 ,2,3} (D){1 ,2}(2)设复数z 满足z i 3 i ,则z =(A ) 1 2i (B)1 2i (C)3 2i (D)3 2i(3) 函数y =Asin( x ) 的部分图像如图所示,则(A )y 2sin(2 x ) (B)y 2sin(2 x)6 3(C)y 2sin(2 x+ ) (D)y 2sin(2 x+ )6 3(4) 体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为(A )12 (B)323(C)(D)(5) 设F 为抛物线C:y2=4x 的焦点,曲线y=2=4x 的焦点,曲线y= kx(k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=(A )12 (B)1 (C)32 (D)222- 2x- 8y+13=0 的圆心到直线ax+ y- 1=0 的距离为1,则a= (6) 圆x +y(A )-43 (B)-34(C) 3 (D)2(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A )20π(B)24π(C)28π(D)32π(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为(A )710 (B)58(C)38(D)310(9) 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的 a 为2,2,5,则输出的s=(A )7 (B)12 (C)17 (D)34lgx 的定义域和值域相同的是(10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10(A )y= x(B)y=lg x(C)y=2x(D)y 1x(11) 函数πf (x) cos2 x 6cos( x) 的最大值为2(A )4(B)5 (C)6 (D)7(12) 已知函数f(x )(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3| 与y= f( x) 图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),⋯,m(x m,y m),则xi=i 1(A)0 (B) m (C) 2m (D) 4m二.填空题:共4小题,每小题5分.(13) 已知向量a=(m,4),b=(3,-2) ,且a∥b,则m=___________.x y 1 0x y 3 0,则z= x-2y 的最小值为__________ (14) 若x,y 满足约束条件x 3 0(15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos4 5A ,cos C,a=1,则b=____________.5 13(16)有三张卡片,分别写有 1 和2,1 和3,2 和3. 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12 分)等差数列{ a n } 中,a3 a 4 4, a5 a 7 6(I )求{ a n }的通项公式;(II)设b n =[ an ],求数列{bn} 的前10 项和,其中[x] 表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2(18)(本小题满分12 分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:计表:随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统(I )记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03 函数的性质及其应用)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03函数的性质及其应用)一、选择题1.(2016北京文)下列函数中,在区间(1,1)- 上为减函数的是( )A.11y x=- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 【答案】D【解析】试题分析:由12()2xx y -==在R 上单调递减可知D 符合题意,故选D. 考点:函数单调性【名师点睛】函数单调性的判断:(1)常用的方法有:定义法、导数法、图象法及复合函数法. (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数; (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2.(2016北京文)已知(2,5)A ,(4,1)B ,若点(,)P x y 在线段AB 上,则2x y -的最大值为( )A.−1B.3C.7D.8【答案】C考点: 函数最值【名师点睛】求函数值域的常用方法:①单调性法,如(5);②配方法,如(2);③分离常数法,如(1);④数形结合法;⑤换元法(包括代数换元与三角换元),如(2),(3);⑥判别式法,如(4);⑦不等式法,如(4),(5);⑧导数法,主要是针对在某区间内连续可导的函数;⑨图象法,求分段函数的值域通常先作出函数的图象,然后由函数的图象写出函数的值域,如(6);对于二元函数的值域问题,如(5),其解法要针对具体题目的条件而定,有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域,有些题目也可用不等式法求值域.求函数的值域是个较复杂的问题,它比求函数的定义域难度要大,而单调性法,即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法,应重点掌握.3. (2016北京理)已知x ,y R ∈,且0x y >>,则()A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +>【答案】C【解析】试题分析:A :由0>>y x ,得y x 11<,即011<-yx ,A 不正确;B :由0>>y x 及正弦函数sin y x =的单调性,可知0sin sin >-y x 不一定成立;C :由1210<<,0>>y x ,得y x )21()21(<,故0)21()21(<-y x ,C 正确; D :由0>>y x ,得0>xy ,不一定大于1,故0ln ln >+y x 不一定成立,故选C. 考点: 函数性质【名师点睛】函数单调性的判断:(1)常用的方法有:定义法、导数法、图象法及复合函数法. (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数; (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.4.(2016全国Ⅰ文)若0a b >>,01c <<,则( )(A )log a c <log b c (B )l og c a <log c b (C )a c <b c (D )c a >c b 【答案】B【解析】试题分析:由01c <<可知log c y x =是减函数,又0a b >>,所以log log c c a b <.故选B.本题也可以用特殊值代入验证. 考点:指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.5.(2016全国Ⅰ理)若101a b c >><<,,则 ( ) (A )c c a b < (B )c cab ba < (C )log log b a a c b c < (D )log log a b c c <【答案】C【解析】试题分析:用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,11223223⨯>⨯,选项B错误,2313log 2log 22<,选项C 正确,3211log log 22>,选项D 错误,故选C .考点:指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.6.(2016全国Ⅰ文、理)函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为( )(A )(B ) (C )(D )【答案】D考点:函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.7.(2016全国Ⅱ文)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )(A )y =x (B )y =lg x (C )y =2x (D )y=【答案】D【解析】试题分析:lg 10xy x ==,定义域与值域均为()0,+∞,只有D 满足,故选D .考点: 函数的定义域、值域,对数的计算.【名师点睛】基本初等函数的定义域、值域问题,应熟记图象,运用数形结合思想求解.8.(2016全国Ⅱ文) 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则1=mi i x =∑( )(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m【答案】B考点: 函数的奇偶性,对称性.【名师点睛】如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x +=-,那么函数的图象有对称轴2a bx +=;如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x -=-+,那么函数的图象有对称中心.9.(2016全国Ⅱ理)已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑( )(A )0 (B )m (C )2m (D )4m 【答案】C考点: 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x +=-,那么函数的图象有对称轴2a bx +=;如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x -=-+,那么函数的图象有对称中心.10.(2016全国Ⅲ文、理)已知4213332,3,25a b c ===,则( ) (A) b a c << (B)a b c << (C) b c a << (D) c a b <<【答案】A【解析】试题分析:因为423324a ==,1233255c ==,又函数23y x =在[0,)+∞上是增函数,所以222333345<<,即b a c <<,故选A .考点:幂函数的单调性.【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断,如果两个数指数相同,底数不同,则考虑幂函数的单调性;如果指数不同,底数相同,则考虑指数函数的单调性;如果涉及到对数,则联系对数的单调性来解决.11.(2016山东文、理)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时,3()1f x x =- ;当11x -≤≤ 时,()()f x f x -=-;当12x >时,11()()22f x f x +=- .则f (6)= ( ) (A )−2 (B )−1 (C )0 (D )2【答案】D【解析】试题分析:当12x >时,11()()22f x f x +=-,所以当12x >时,函数()f x 是周期为1 的周期函数,所以(6)(1)f f =,又函数()f x 是奇函数,所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦,故选D.考点:1.函数的奇偶性与周期性;2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性,是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题,关键在于利用分段函数的概念,发现周期函数特征,进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.12、(2016上海文、理)设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题:①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数,则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数;②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是( )A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题,②为假命题D 、①为假命题,②为真命题【答案】D【解析】试题分析:①不成立,可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差,可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式,可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D.考点:1.抽象函数;2.函数的单调性;3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性,是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题,关键在于灵活选择方法,如结合选项应用“排除法”,通过举反例应用“排除法”等.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.13.(2016四川文) 某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B考点:1.增长率问题;2.常用对数的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用.在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用,解题时要注意把哪个作为数列的首项,然后根据等比数列的通项公式写出通项,列出不等式或方程就可解得结论.14.(2016天津文)已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间)0,(-∞上单调递增,若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ,则a 的取值范围是( )(A ))21,(-∞(B )),23()21,(+∞-∞ (C ))23,21( (D )),23(+∞【答案】C考点:利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题,在解题时既要想形又要以形助数,常见的“以形助数”的方法有:(1)借助数轴,运用数轴的有关概念,解决与绝对值有关的问题,解决数集的交、并、补运算非常有效.(2)借助函数图象性质,利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法,需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化.15.(2016天津理)已知函数f (x )=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩(a >0,且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是( )(A )(0,23] (B )[23,34] (C )[13,23]{34}(D )[13,23){34} 【答案】C【解析】试题分析:由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩,由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解,可知132,12a a ≤-≤,1233a ≤≤,又∵34a =时,抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切,也符合题意,∴实数a 的去范围是123[,]{}334,故选C.考点:函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.16. (2016浙江文)已知a ,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log >1a b ,则( )A.(1)(1)0a b --<B. (1)()0a a b -->C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a --> 【答案】D考点:对数函数的性质.【易错点睛】在解不等式log 1a b >时,一定要注意对a 分为1a >和01a <<两种情况进行讨论,否则很容易出现错误.17. (2016浙江文)已知函数()f x 满足:()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .( ) A.若()f a b ≤,则a b ≤ B.若()2b f a ≤,则a b ≤ C.若()f a b ≥,则a b ≥ D.若()2b f a ≥,则a b ≥ 【答案】B考点:函数的奇偶性.【思路点睛】先由已知条件可得()f x 的解析式,再由()f x 的解析式判断()f x 的奇偶性,进而对选项逐个进行排除.二、填空1. (2016北京文)函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2【解析】试题分析:1()11121f x x =+≤+=-,即最大值为2. 考点:函数最值,数形结合【名师点睛】求函数值域的常用方法:①单调性法,如(5);②配方法,如(2);③分离常数法,如(1);④数形结合法;⑤换元法(包括代数换元与三角换元),如(2),(3);⑥判别式法,如(4);⑦不等式法,如(4),(5);⑧导数法,主要是针对在某区间内连续可导的函数;⑨图象法,求分段函数的值域通常先作出函数的图象,然后由函数的图象写出函数的值域,如(6);对于二元函数的值域问题,如(5),其解法要针对具体题目的条件而定,有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域,有些题目也可用不等式法求值域.求函数的值域是个较复杂的问题,它比求函数的定义域难度要大,而单调性法,即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法,应重点掌握.2. (2016北京理)设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =,则()f x 的最大值为______________; ②若()f x 无最大值,则实数a 的取值范围是________.【答案】2,(,1)-∞-.【解析】试题分析:如图作出函数3()3g x x x =-与 直线2y x =-的图象,它们的交点是(1,2)A -,(0,0)O ,(1,2)B -,由2'()33g x x =-,知1x =是函数()g x 的极大值点,①当0a =时,33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,因此()f x 的最大值是(1)2f -=;②由图象知当1a ≥-时,()f x 有最大值是(1)2f -=; 只有当1a <-时,由332a a a -<-,因此()f x 无最大值, ∴所求a 的范围是(,1)-∞-,故填:2,(,1)-∞-. 考点:1.分段函数求最值;2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时,应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.若自变量值为较大的正整数,一般可考虑先求函数的周期.若给出函数值求自变量值,应根据每一段函数的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围;2.在研究函数的单调性时,常需要先将函数化简,转化为讨论一些熟知的函数的单调性,因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性,将大大缩短我们的判断过程.3. (2016江苏)函数y的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-考点:函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查,一般是多知识点综合考查,先列,后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发,而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.4. (2016江苏) 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[1,1)-上,,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ,则(5)f a 的值是 ▲ . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=, 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=- 考点:分段函数,周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时,要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值,尤其是分段函数结合点处函数值.5.(2016山东文、理)已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >,若存在实数b ,使得关于x的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________________.【答案】()3,+∞【解析】试题分析:画出函数图象如下图所示:由图所示,要()f x b =有三个不同的根,需要红色 部分图像在深蓝色图像的下方,即2224,30m m m m m m m >-⋅+->, 解得3m >考点:1.函数的图象与性质;2.函数与方程;3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题,关键在于能利用数形结合思想,通过对函数图象的分析,转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.6、(2016上海文、理)已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上,则________)()(1=-x f x f 的反函数. 【答案】2log (x 1)-【解析】试题分析:将点39(,)带入函数()x f x 1a =+的解析式得a 2=,所以()xf x 12=+,用y 表示x 得2x log (y 1)=-,所以()12log (fx x 1)-=-.考点:1.反函数的概念;2.指数函数的图象和性质.【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数,求反函数的基本步骤是:一解、二换、三注..本题较为容易.7.(2016四川理)已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,()4x f x =,则5()(1)2f f -+= . 【答案】-2考点:函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,周期性,属于基本题,在求值时,只要把5()2f -和(1)f ,利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可.8. (2016四川文)已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,()4xf x =,则5()(1)2f f -+= . 【答案】-2考点:1.函数的奇偶性;2.函数的周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性.属于基础题,在涉及函数求值问题中,可利用周期性()()f x f x T =+,化函数值的自变量到已知区间或相邻区间,如果是相邻区间再利用奇偶性转化到已知区间上,再由函数式求值即可.9.(2016天津文)已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是_________. 【答案】12[,)33考点:函数综合【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.10.(2016天津理)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足1(2)(a f f ->,则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22考点:利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题,在解题时既要想形又要以形助数,常见的“以形助数”的方法有:(1)借助数轴,运用数轴的有关概念,解决与绝对值有关的问题,解决数集的交、并、补运算非常有效.(2)借助函数图象性质,利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法,需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化.11.(2016浙江文)设函数f (x )=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2,x ∈R ,则实数a =_____,b =______.【答案】-2;1.【解析】试题分析:32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--,23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-,所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩,解得21a b =-⎧⎨=⎩.考点:函数解析式.【思路点睛】先计算()()f x f a -,再将()()2x b x a --展开,进而对照系数可得含有a ,b 的方程组,解方程组可得a 和b 的值.12. (2016浙江理)已知a >b >1.若log a b +log b a =52,a b =b a ,则a = ,b = . 【答案】4 2考点:1、指数运算;2、对数运算. 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时,要注意log 1b a >,若没注意到log 1b a >,方程 5log log 2a b b a +=的根有两个,由于增根导致错误. 三、解答题1. (2016浙江理)已知3a ≥,函数F (x )=min{2|x −1|,x 2−2ax +4a −2},其中min{p ,q }=,>p p q q p q.≤⎧⎨⎩,, (I )求使得等式F (x )=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围;(II )(i )求F (x )的最小值m (a );(ii )求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a ).【答案】(I )[]2,2a ;(II )(i )()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤⎪=⎨-+->⎪⎩(ii )()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩.(II )(i )设函数()21f x x =-,()2242g x x ax a =-+-,则 ()()min 10f x f ==,()()2min 42g x g a a a ==-+-,所以,由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =,即 ()20,3242,2a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩ (ii )当02x ≤≤时,()()()(){}()F max 0,22F 2x f x f f ≤≤==,当26x ≤≤时,()()()(){}{}()(){}F max 2,6max 2,348max F 2,F 6x g x g g a ≤≤=-=.所以,()348,342,4a a a a -≤<⎧M =⎨≥⎩. 考点:1、函数的单调性与最值;2、分段函数;3、不等式.【思路点睛】(I )根据x 的取值范围化简()F x ,即可得使得等式()2F 242x x ax a =-+-成立的x 的取值范围;(II )(i )先求函数()f x 和()g x 的最小值,再根据()F x 的定义可得()m a ;(ii )根据x 的取值范围求出()F x 的最大值,进而可得()a M .2. (2016浙江文)设函数()f x =311x x++,[0,1]x ∈.证明: (I )()f x 21x x ≥-+;(II )34<()f x 32≤. 【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭, 又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,所以()34f x >,综上,()33.42f x <≤ 考点:函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】(I )先用等比数列前n 项和公式计算231x x x -+-,再用放缩法可得23111x x x x -≤-++,进而可证()21f x x x ≥-+;(II )由(I )的结论及放缩法可证()3342f x <≤.。
2016年高考数学文真题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案
2016年高考数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、(2016年山东高考)若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 (A )sin y x =(B )ln y x =(C )e x y =(D )3y x =【答案】A2、(2016年四川高考)已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点,则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D3、(2016年四川高考)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B 则则△PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A4、(2016年全国I 卷高考)若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是(A )[]1,1-(B )11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C )11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(D )11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、(2016年天津高考)已知函数()(2+1),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数,则(0)f '的值为__________. 【答案】32、(2016年全国III 卷高考)已知()f x 为偶函数,当0x ≤ 时,1()x f x ex --=-,则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =三、解答题1、(2016年北京高考)设函数()32.f x x ax bx c =+++(I )求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(II )设4a b ==,若函数()f x 有三个不同零点,求c 的取值范围; (III )求证:230a b ->是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 解:(I )由()32f x x ax bx c =+++,得()232f x x ax b '=++.因为()0f c =,()0f b '=,所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+. (II )当4a b ==时,()3244f x x x x c =+++,所以()2384f x x x '=++.令()0f x '=,得23840x x ++=,解得2x =-或23x =-. ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下:所以,当0c >且32027c -<时,存在()14,2x ∈--,222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭, 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使得()()()1230f x f x f x ===.由()f x 的单调性知,当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点.(III )当24120a b ∆=-<时,()2320f x x ax b '=++>,(),x ∈-∞+∞,此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增,所以()f x 不可能有三个不同零点. 当24120a b ∆=-=时,()232f x x ax b '=++只有一个零点,记作0x .当()0,x x ∈-∞时,()0f x '>,()f x 在区间()0,x -∞上单调递增; 当()0,x x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 在区间()0,x +∞上单调递增. 所以()f x 不可能有三个不同零点.综上所述,若函数()f x 有三个不同零点,则必有24120a b ∆=->.故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件.当4a b ==,0c =时,230a b ->,()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点, 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件. 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.2、(2016年江苏省高考)已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. (1) 设a =2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立,求实数m 的最大值; (2)若01,1a b <<>,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值. 解:(1)因为12,2a b ==,所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =,即222xx-+=,亦即2(2)2210x x -⨯+=,所以2(21)0x-=,于是21x=,解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立,且()0f x >,所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=,且2((0))44(0)f f +=, 所以4m ≤,故实数m 的最大值为4.(2)因为函数()()2g x f x =-只有1个零点,而00(0)(0)220g f a b =-=+-=, 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+,又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>, 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =,则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+,从而对任意x R ∈,'()0h x >,所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数, 于是当0(,)x x ∈-∞,''0()()0g x g x <=;当0(,)x x ∈+∞时,''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数,在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <,则0002x x <<,于是0()(0)02xg g <=, 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=,且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断,所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点,记为1x . 因为01a <<,所以log 20a <,又02x <,所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >,同理可得,在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点,矛盾.因此,00x =. 于是ln 1ln ab-=,故ln ln 0a b +=,所以1ab =.3、(2016年山东高考)设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ,a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间;(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 解析:(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞, 则()112'2ax g x a x x-=-=, 当0a ≤时,()0,x ∈+∞时,()'0g x >,函数()g x 单调递增; 当0a >时, 10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0g x >,函数()g x 单调递增, 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时,()'0g x <,函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时,函数()g x 单调递增区间为()0,+∞; 当0a >时,函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,()'10f =.①当0a ≤时,()'0f x <,()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时,()'0f x <,()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时,()'0f x >,()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值,不合题意. ②当102a <<时,112a >,由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增, 可得当当()0,1x ∈时,()'0f x <,11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f x >, 所以()f x 在(0,1)内单调递减,在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增, 所以()f x 在x=1处取得极小值,不合题意.③当12a =时,即112a=时,()'f x 在(0,1)内单调递增,在 ()1,+∞内单调递减, 所以当()0,x ∈+∞时,()'0f x ≤, ()f x 单调递减,不合题意. ④当12a >时,即1012a << ,当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f x >,()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时,()'0f x <,()f x 单调递减, 所以f(x)在x=1处取得极大值,合题意. 综上可知,实数a 的取值范围为12a >.4、(2016年四川高考)设函数f(x)=a x 2-a -lnx ,g(x)=1x -ee x ,其中a ∈R ,e=2.718…为自然对数的底数。
16年数2真题答案解析
16年数2真题答案解析数学是一门既实用又抽象的学科,它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
为了提高学生的数学素质,高考每年都会出一套数学试题。
本文将对2016年高考数学二卷的试题进行答案解析,帮助读者更好地理解和掌握数学知识。
一、选择题部分1. 设集合A = {1, 2, 3, 4},则A的非空子集个数是()。
A) 4 B) 8 C) 16 D) 24考察的是集合的知识。
非空子集个数是2^n - 1(n为集合中元素个数),故答案为B。
2. 已知x+√(3-x) = √(3x+1),则x的值是()。
A) 2 B) 1 C) -2 D) -1先把根号移到等号的一边:x = 2 - √(3-x)。
将较复杂的根式移至右边:√(3-x) = 2 - x。
两边平方: 3 - x = 4 - 4x + x^2。
整理后得:x^2 - 3x + 1 = 0。
将其解因式分解可以得到:(x-1)(x-2) = 0。
故答案为A或B。
3. 已知平面曲线C的参数方程为:x = t^2 + t + 1y = 2t + 1若直线L与曲线C相切,并且直线L的斜率为-2,则L的方程为()。
A) y = -2x + 5 B) y = -3x + 2 C) y = 2x + 3 D) y = 3x - 2将曲线C的参数方程代入直线L的方程,得到:2t + 1 = -2(t^2 + t + 1) + b整理得:2t + 1 = -2t^2 - 2t - 2 + b化简得:2t^2 + 4t + (b - 3) = 0由于直线L与曲线C相切,所以二次方程的判别式为0:4^2 - 4 * 2 * (b - 3) = 0解得:b = 4将b的值代入直线L的方程,得到:y = -2x + 5二、非选择题部分计算题部分的题目不逐一列举,下面我们来看一道较为有代表性的解析。
四、解析题部分已知函数f(x)在区间[-1,2]上满足f'(x) = x^2 - 3x。
高考文科数学试题分类汇编2:函数
高考文科数学试题分类汇编2:函数一、选择题1 .(2013年高考安徽(文))函数()y f x =的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===,则n 的取值范围为 ( )A .{}2,3B .{}2,3,4C .{}3,4D .{}3,4,5【答案】B2 .(2013年高考重庆卷(文))已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f =( )A .5-B .1-C .3D .4【答案】C3 .(2013年高考重庆卷(文))函数21log (2)yx =-的定义域为( )A .(,2)-∞B .(2,)+∞C .(2,3)(3,)+∞D .(2,4)(4,)+∞【答案】C4 .(2013年高考大纲卷(文))函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 ( )A .()1021x x >- B .()1021xx ≠- C .()21x x R -∈ D .()210xx -> 【答案】A5 .(2013年高考天津卷(文))设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a, b 满足()0,()0f a g b ==,则( )A .()0()g a f b <<B .()0()f b g a <<C .0()()g a f b <<D .()()0f b g a <<【答案】A6 .(2013年高考陕西卷(文))设全集为R,函数()f x =的定义域为M, 则C M R 为( )A .(-∞,1)B .(1, + ∞)C .(,1]-∞D .[1,)+∞【答案】B7 .(2013年上海高考数学试题(文科))函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -,则()12f -的值是( )A B .C .1D .1【答案】A 8 .(2013年高考湖北卷(文))x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数()[]f x x x =-在R 上为( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .周期函数【答案】D9 .(2013年高考四川卷(文))设函数()f x =a R ∈,e 为自然对数的底数).若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立,则a 的取值范围是( )A .[1,]eB .[1,1]e +C .[,1]e e +D .[0,1]【答案】A10.(2013年高考辽宁卷(文))已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=( )A .2216a a --B .2216a a +-C .16-D .16【答案】C11.(2013年高考北京卷(文))下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 ( )A .1y x=B .x y e-=C .21y x =-+D .lg ||y x =【答案】C12.(2013年高考福建卷(文))函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】A13.(2013年高考浙江卷(文))已知a.b.c ∈R,函数f(x)=ax 2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则 ( )A .a>0,4a+b=0B .a<0,4a+b=0C .a>0,2a+b=0D .a<0,2a+b=0【答案】A14.(2013年高考山东卷(文))已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则=-)1(f( )A .2B .1C .0D .-2【答案】D15.(2013年高考广东卷(文))函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是( )A .(1,)-+∞B .[1,)-+∞C .(1,1)(1,)-+∞D .[1,1)(1,)-+∞【答案】C16.(2013年高考陕西卷(文))设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( )A .·log log log a c c b a b =B .·log lo log g a a a b a b =C .()log g o lo g a a a b c bc =D .()log g og o l l a a a b b c c +=+【答案】B17.(2013年高考山东卷(文))函数()f x =+的定义域为 ( )A .(-3,0]B .(-3,1] C.(,3)(3,0]-∞--D .(,3)(3,1]-∞--【答案】A 18.(2013年高考天津卷(文))已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是( )A .[1,2]B .10,2⎛⎤⎥⎝⎦C .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .(0,2]【答案】C19.(2013年高考湖南(文))函数f(x)=㏑x 的图像与函数g(x)=x 2-4x+4的图像的交点个数为______( )A .0B .1C .2D .3【答案】C20.(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是( )A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-【答案】D;21.(2013年高考陕西卷(文))设[x]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x, y, 有( )A .[-x]=-[x]B .[x+12]=[x] C .[2x]=2[x] D .1[][][2]2x x x ++= 【答案】D22.(2013年高考辽宁卷(文))已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则 ( )A .1-B .0C .1D .2【答案】D23.(2013年高考湖北卷(文))小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是【答案】C24.(2013年高考湖南(文))已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于____( )A .4B .3C .2D .1【答案】B 二、填空题25.(2013年高考安徽(文))定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-,则当10x -≤≤时,()f x =________________.【答案】(1)()2x x f x +=-26.(2013年高考大纲卷(文))设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数,且当时,____________.【答案】-127.(2013年高考北京卷(文))函数f(x)=12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________.【答案】(-∞,2)28.(2013年高考安徽(文))函数1ln(1)y x=++的定义域为_____________. 【答案】(]0,129.(2013年高考浙江卷(文))已知函数f(x)=x-1 若f(a)=3,则实数a= ____________.【答案】1030.(2013年高考福建卷(文))已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ,则=))4((πf f ________ 【答案】2- .31.(2013年高考四川卷(文))___________.【答案】132.(2013年上海高考数学试题(文科))方程91331xx+=-的实数解为_______. 【答案】3log 4 三、解答题33.(2013年高考江西卷(文))设函数1,0()1(1),11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩ a 为 常数且a ∈(0,1).(1) 当a=12时,求f(f(13)); (2) 若x 0满足f(f(x 0))= x 0,但f(x 0)≠x 0,则称x 0为f(x)的二阶周期点,证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x 1,x 2;(3) 对于(2)中x 1,x 2,设A(x 1,f(f(x 1))),B(x 2,f(f(x 2))),C(a 2,0),记△ABC 的面积为s(a),求s(a)在区间[13,12]上的最大值和最小值. 【答案】解:(1)当12a=时,121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-==(2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤⎪-⎩当20x a ≤≤时,由21x x a =解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当2a x a<≤时由1()(1)a x xa a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈因222211()1111a a af a a a a a a a a a =∙=≠-++-++-++-++ 故21ax a a =-++是f(x)的二阶周期点; [来源:] 当21a x a a <<-+时,由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+ 因1111()(1)2122f a a a a =∙-=----故12x a=-不是f(x)的二阶周期点; 当211a a x -+≤≤时,1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+ 因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =∙-=≠-++--++-++-++ 故211x a a =-++是f(x)的二阶周期点. 因此,函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,121a x a a =-++,2211x a a =-++. (3)由(2)得222211(,),(,)1111a a A B a a a a a a a a -++-++-++-++则2322221(1)1(222)(),()212(1)a a a a a a s a s a a a a a ---+'=∙=∙-++-++因为a 在[13,12]内,故()0s a '>,则11()[]32s a 在区间,上单调递增, 故111111()[]32333220s a 在区间,上最小值为s()=,最大值为s()= 34.(2013年高考安徽(文))设函数22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间{}|()0I x f x =>.(Ⅰ)求I 的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-;(Ⅱ)给定常数()0,1k ∈,当11k a k -≤≤+时,求I 长度的最小值.【答案】解:(1)令2()-10f x x a a x ⎡⎤=+=⎣⎦()解得 10x = 221ax a=+ 2|01a I x x a ⎧⎫∴=<<⎨⎬+⎩⎭ I ∴的长度212-1a x x a=+ (2) ()0,1k ∈ 则0112k a k <-≤≤+<由 (1)21aI a=+ 2221'0(1)a I a -=>+,则01a << 故I 关于a 在(1,1)k -上单调递增,在(1,1)k +上单调递减.()1221-1-2211-k kI k kk ==+++ 22111kI k +=++()min21-22kI k k =++。
2016年高考数学(文)五年真题 考点分类汇编:考点4 函数及函数的表示方法
考点4 函数及函数的表示方法1.(D ,全国新课标,5分)若函数x kx x f ln )(-=在区间),1(+∞上单调递增,则k 的取值范围是( )]2,.(--∞A .(,1]B -∝- ),2.[+∞C ),1.[+∞D2.(E ,全国新课标,5分)已知函数=)(x f 1222,1,log (1),1,x x x x -⎧-≤⎨-+>⎩且,3)(-=a f 则=-)6(a f ( )47.-A 45.-B 43.-c 41.-D3.(B ,江西,5分)设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=,1,2,1,1)(2x x x x x f 则=))3((f f ( )51.A 3.B 32.C 913.D4.(E ,陕西,5分)设⎩⎨⎧<≥-=,0,2,0,1)(x x x x f x 则=-))2((f f( )1.-A 41..B 21..C 23.D5.(E ,山东,5分)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1,21,1,3)(x T x b x x f x 若,4))65((=f f 则=b ( )1.A 87.B 43.c 21.D6.(B ,福建,5分)设⎪⎩⎪⎨⎧<-==>=,0,1)(,0,0,0,1)(x x g x x x f 1,,0,,xweiyoulishu xweiwulishu ⎧⎨⎩则))((πg f 的值为 ( )1.A 0.B 1.-C π.D7.(D,四川,5分)设)(x f 是定义在R 上的周期为2的函数,当)1,1[-∈x 时,=)(x f⎩⎨⎧<≤<≤-+-,10,,01,242x x x x 则=)23(f _________8.(D ,全国新课标,5分)设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-,1,,1,311x x x e x 则使得2)(≤x f 成立的x 的取值范围是_____9.(C ,福建,4分)已知函数32,0,()tan ,0,2x x f x x x π⎧<⎪=⎨-≤<⎪⎩则=))4((πf f _________ 10. (E ,全国新课标,5分)已知函数x ax x f 2)(3-=的图象过点(-1,4),则=a _______11. (B ,陕西,5分)设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=,0,)21(,0,)(x x x x f x 则=-))4((f f ________ 12.(B,江苏,5分)设)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,⎪⎩⎪⎨⎧⋅++--+=,1,12,01,1)(L x hx ax x f 其中,,R b a ∈若),23()21(f f =则b a 3+的值为_________ 13.(E ,浙江,6分)已知函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤,1,66,1,2x x x x x 则=-))2((f f ______)(x f 的最小值是___ 14.(A,湖南,5分)给定*,N k ∈设函数**:N N f →满足:对于任意大于k 的正整数,().n f n n k =-(1)设,1=k 则其中一个函数f 在1=n 处的函数值为_________(2)设,4=k 且当4≤n 时,,3)(2≤≤n f 则不同的函数f 的个数为________答案。
高考数学文试题分类汇编:函数.docx
2016年高考数学文试题分类汇编函数一、选择题1、(2016年北京高考)下列函数中,在区间(1,1)- 上为减函数的是 (A )11y x=- (B )cos y x = (C )ln(1)y x =+ (D )2x y -= 【答案】D2、(2016年山东高考)已知函数f(x )的定义域为R.当x <0时,f(x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f(-x )= —f(x );当x >12时,f(x +12)=f(x —12).则f(6)= (A )-2 (B )-1 (C )0 (D )2 【答案】D3、(2016年四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B4、(2016年天津高考)已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间)0,(-∞上单调递增,若实数a满足)2()2(|1|->-f f a ,则a 的取值范围是( )(A ))21,(-∞(B )),23()21,(+∞-∞ (C ))23,21( (D )),23(+∞【答案】C5、(2016年全国I 卷高考)若a>b>0,0<c<1,则 (A )log a c <log b c (B )log c a <log c b (C )a c <b c (D )c a >c b 【答案】B6、(2016年全国I 卷高考)函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为(A )(B )(C )(D )【答案】D7、(2016年全国II 卷高考)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )(A )y =x (B )y =lg x (C )y =2x (D )1y x= 【答案】D8、(2016年全国II 卷高考)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则1=mi i x =∑学科网( )(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B9、(2016年全国III 卷高考)已知4213332,3,25a b c ===,则(A) b a c << (B)a b c <<(C) b c a <<(D) c a b <<【答案】A10、(2016年浙江高考)已知函数()f x 满足:()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .( )A.若()f a b ≤,则a b ≤B.若()2bf a ≤,则a b ≤C.若()f a b ≥,则a b ≥D.若()2bf a ≥,则a b ≥【答案】B二、填空题1、(2016年江苏省高考)函数y =232x x --的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-2、(2016年江苏省高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[ −1,1)上,,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ,则(5)f a 的值是 ▲ . 【答案】25-3、(2016年山东高考)已知函数f (x )=2,,24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是_______. 【答案】()3,+∞4、(2016年上海高考)已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上,则________)()(1=-x f x f 的反函数【答案】2log (x 1)-学科网5、(2016年四川高考)若函数f (x )是定义R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f (x )=x 4,则f (25-)+f (2)= 。
2016年高考数学文真题分类汇编:解析几何-Word版(学生版)
2016年高考数学文试题分类汇编解析几何一、选择题1、(2016年北京高考)圆(x +1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为(A )1 (B )2 (C 2 (D )22、(2016年山东高考)已知圆M :2220(0)x y ay a 截直线0x y 所得线段的长度是22则圆M 与圆N :22(1)1x y (-1)的位置关系是(A )内切(B )相交(C )外切(D )相离 3、(2016年四川高考)抛物线y 2=4x 的焦点坐标是 (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)4、(2016年天津高考)已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52,且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直,则双曲线的方程为(A )1422=-y x(B )1422=-y x(C )15320322=-y x (D )12035322=-y x 5、(2016年全国I 卷高考)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率学科网为(A )13(B )12(C )23(D )346、(2016年全国II 卷高考)设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y =kx(k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k =( )(A )12 (B )1 (C )32(D )27、(2016年全国III 卷高考)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为(A )13(B )12(C )23(D )34二、填空题1、(2016年北京高考)已知双曲线22221x y a b-= (a >0,b >0)的一条渐近线为2x +y =0,一个焦点为(5 ,0),则a =_______;b =_____________.2、(2016年江苏省高考)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.3、(2016年山东高考)已知双曲线E :22x a–22y b =1(a >0,b >0).矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是_______.4、(2016年上海高考)已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离_______________5、(2016年天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点(0,5)M 在圆C 上,且圆心到直线20x y -=的距离为455,则圆C 的方程为__________6、(2016年全国I 卷高考)设直线y=x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C 的面积为 .7、(2016年全国III 卷高考)已知直线l :360x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点,过,A B分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,则||CD =_____________.8、(2016年浙江高考)已知a ∈R ,方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆,则圆心坐标是_____,半径是______.三、解答题1、(2016年北京高考)已知椭圆C :22221x y a b+=过点A (2,0),B (0,1)两点.(I )求椭圆C 的方程及离心率;(Ⅱ)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积为定值.2、(2016年江苏省高考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:221214600x y x y +--+=及其上一点A(2,4)(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程; (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T (t,o )满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。
2016年文数高考真题全国Ⅱ卷答案
2016年文数高考真题全国Ⅱ卷答案组题人:李明辉未命名1.已知集合A ={1,2,3}, B ={x|x 2<9},则A ∩B =A .{−2,−1,0,1,2,3}B .{−2,−1,0,1,2}C .{1,2,3}D .{1,2} 【答案】D 【解析】试题分析:由x 2<9得−3<x <3,所以B ={x|−3<x <3},因为A ={1,2,3},所以A ∩B ={1,2},故选D.【考点】 一元二次不等式的解法,集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图处理.2.设复数z 满足3z i i +=-,则z =A .12i -+B .12i -C .32i +D .32i - 【答案】C【解析】试题分析:由i 3i z +=-得32i z =-,所以32i z =+,故选C. 【考点】 复数的运算,共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈,据此先化简再计算即可.视频3.函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示,则A .2sin(2)6y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .2sin(+)6y x π=D .2sin(+)3y x π=【答案】A 【解析】试题分析:由题图知,2A =,最小正周期2[()]36T πππ=--=,所以22πωπ==,所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π,所以22sin(2)3πϕ=⨯+,所以2sin()13πϕ+=,所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈,令0k =,得6πϕ=-,所以2sin(2)6y x π=-,故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是:先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ,h 的值,由函数的周期确定ω的值,再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值.4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为 A .12π B .323π C .8π D .4π【答案】A 【解析】试题分析:因为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为2412ππ⋅=,故选A. 【考点】 正方体的性质,球的表面积【名师点睛】与棱长为a 的正方体相关的球有三个: 外接球、内切球和与各条棱都相切的球,其半径分别为2、2a和2.5.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点,曲线()0ky k x=>与C 交于点P ,PF x ⊥轴,则k =A .12B .1C .32D .2【答案】D 【解析】试题分析:由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=,故选D. 考点:1、直线与抛物线;2、抛物线的几何性质;3、反比例函数.6.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a =( ) A .43-B .34-CD .2【答案】A 【解析】试题分析:由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=,所以圆心为(1,4),因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,所以1=,解得43a =-,故选A.【考点】 圆的方程,点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况:相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时,常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系,以此来确定参数的值或取值范围.7.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .20πB .24πC .28πD .32π【答案】C试题分析:由三视图分析可知,该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和.,,所以几何体的表面积为.考点:三视图与表面积.8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒,若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310【答案】B【解析】试题分析:因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=,故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的,,依次输入的为2,2,5,则输出的()A.7 B.12 C.17 D.34第一次循环:a =2,s =2,k =1 ;第二次循环:a =2,s =6,k =2 ;第三次循环:a =5,s =17,k =3>2 ;结束循环,输出s =17 ,选C.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.10.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A .y =x B .y =lg x C .y =2x D .y【答案】D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D .考点:对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用.11.函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 A .4 B .5C .6D .7【答案】B 【解析】试题分析:因为22311()12sin 6sin 2(sin )22f x x x x =-+=--+,而sin [1,1]x ∈-,所以当sin 1x =时,()f x 取得最大值5,选B. 【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时,函数23112(sin )22y x =--+取得最大值.12.已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2−x ),若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f (x )图像的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则1=mi i x =∑A .0B .mC .2mD .4m试题分析:因为2(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称,所以它们图像的交点也关于1x =对称,当m 为偶数时,其和为22mm ⨯=;当m 为奇数时,其和为1212m m -⨯+=,因此选B. 【考点】 函数图像的对称性【名师点睛】如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x +=-,那么函数的图象有对称轴2a bx +=;如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x -=-+,那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+.13.已知向量a=(m,4),b=(3,−2),且a ∥b ,则m="___________." 【答案】6- 【解析】试题分析:因为a ∥b ,所以2430m --⨯=,解得6m =-. 【考点】平面向量的坐标运算 ,平行向量【名师点睛】如果a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)(b≠0),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.14.若x ,y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.【答案】5- 【解析】 【详解】 试题分析:由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩,记为点()1,2A ;由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩,记为点()3,4Β;由30{30x x y -=+-=得3x y =⎧⎨=⎩,记为点()3,0C .分别将A ,B ,C 的坐标代入2z x y =-,得1223Αz =-⨯=-,3245Βz =-⨯=-,3203C z =-⨯=,所以2z x y =-的最小值为5-.【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.15.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b =___. 【答案】2113【解析】试题分析:因为45cos ,cos 513A C ==,且,A C 为三角形的内角,所以312sin ,sin 513A C ==,63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=,又因为sin sin a b A B =,所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理,两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________. 【答案】1和3. 【解析】根据丙的说法知,丙的卡片上写着1和2,或1和3;(1)若丙的卡片上写着1和2,根据乙的说法知,乙的卡片上写着2和3; 所以甲的说法知,甲的卡片上写着1和3;(2)若丙的卡片上写着1和3,根据乙的说法知,乙的卡片上写着2和3; 又加说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”; 所以甲的卡片上写的数字不是1和2,这与已知矛盾; 所以甲的卡片上的数字是1和3.17.等差数列{n a }中,34574,6a a a a +=+=. (Ⅰ)求{n a }的通项公式;(Ⅱ) 设[]n n b a =,求数列{}n b 的前10项和,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】(Ⅰ)235n n a +=;(Ⅱ)24. 【解析】试题分析:(Ⅰ) 根据等差数列的通项公式及已知条件求1a ,d ,从而求得n a ;(Ⅱ)由(Ⅰ)求n b ,再求数列{}n b 的前10项和.试题解析:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ,由题意有112+54,+53a d a d ==. 解得121,5a d ==. 所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当n=1,2,3时,2312,15n n b +≤<=; 当n=4,5时,2323,25n n b +≤<=; 当n=6,7,8时,2334,35n n b +≤<=; 当n=9,10时,2345,45n n b +≤<=. 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=. 【考点】等差数列的通项公式,数列的求和【名师点睛】求解本题时常出现以下错误:对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错.18.某险种的基本保费为a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:(I )记A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P (A )的估计值;(Ⅱ)记B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P (B )的估计值;(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值. 【答案】(I )1120;(Ⅱ)310;(Ⅲ)1.1925a . 【解析】 【分析】(I )求出A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数.总事件人数,即可求P (A )的估计值;(Ⅱ)求出B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数.然后求P (B )的估计值;(Ⅲ)利用人数与保费乘积的和除以总续保人数,可得本年度的平均保费估计值. 【详解】解:(I )记A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.事件A 的人数为:60+50=110,该险种的200名续保, P (A )的估计值为:1101120020=; (Ⅱ)记B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.事件B 的人数为:30+30=60,P (B )的估计值为:60320010=; (Ⅲ)续保人本年度的平均保费估计值为0.856050 1.2530 1.530 1.7520210200a a a a a a x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==1.1925a .【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用,考查计算能力.19.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E,F 分别在AD,CD 上,AE =CF,EF 交BD 于点H ,将ΔDEF 沿EF 折起到ΔD′EF 的位置.(Ⅰ)证明:AC ⊥HD′;(Ⅱ)若AB =5,AC =6,AE =54,OD′=2√2,求五棱锥D′−ABCFE 的体积.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)23√22.【解析】试题分析:(1)由已知得,AC ⊥BD,AD =CD ,AE =CF ⇒AE AD=CF CD⇒ AC//EF ⇒EF ⊥HD,EF ⊥HD ′ ⇒ AC ⊥HD ′;(2)由EF//AC ⇒ OHDO =AEAD =14,由AB =5,AC =6 ⇒DO =BO =√AB 2−AO 2=4 ⇒ OH =1,D ′H =DH =3 ⇒ OD ′2+OH =(2√2)2+12=9=D ′H 2 ⇒ OD ′⊥OH ,可证OD ′⊥平面ABC .又由EFAC =DHDO 得EF =92 ⇒五边形ABCFE 的面积S =12×6×8−12×92×3=694⇒以五棱锥D ′−ABCEF 体积V =13×694×2√2=23√22. 试题解析: (1)由已知得,AC ⊥BD,AD =CD , 又由AE =CF 得AE AD=CF CD,故AC//EF ,由此得EF ⊥HD,EF ⊥HD ′,所以AC ⊥HD ′. (2)由EF//AC 得OH DO=AE AD=14,由AB =5,AC =6得DO =BO =√AB 2−AO 2=4, 所以OH =1,D ′H =DH =3,于是OD ′2+OH =(2√2)2+12=9=D ′H 2,故OD ′⊥OH , 由(1)知AC ⊥HD ′,又AC ⊥BD,BD ∩HD ′=H , 所以AC ⊥平面BHD ′,于是AC ⊥OD ′,又由OD ′⊥OH,AC ∩OH =O ,所以,OD ′⊥平面ABC . 又由EFAC =DHDO 得EF =92.五边形ABCFE 的面积S =12×6×8−12×92×3=694.所以五棱锥D ′−ABCEF 体积V =13×694×2√2=23√22. 考点:1、线线垂直;2、锥体的体积.20.已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.(I )当4a =时,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程; (Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时,()0f x >,求a 的取值范围.【答案】(1)220.x y +-=(2)(],2.-∞ 【解析】试题分析:(Ⅰ)先求()f x 的定义域,再求()f x ',(1)f ',(1)f ,由直线方程的点斜式可求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=(Ⅱ)构造新函数(1)()ln 1a x g x x x -=-+,对实数a 分类讨论,用导数法求解. 试题解析:(I )()f x 的定义域为(0,)+∞.当4a =时,1()(1)ln 4(1),()ln 3f x x x x f x x x=+--=+-',(1)2,(1)0.f f =-=' 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= (II )当(1,)x ∈+∞时,()0f x >等价于(1)ln 0.1a x x x -->+ 设(1)()ln 1a x g x x x -=-+,则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)a x a x g x g x x x x +-+=++'=-=, (i )当2a ≤,(1,)x ∈+∞时,222(1)1210x a x x x +-+≥-+>,故()0,()g x g x >'在(1,)+∞上单调递增,因此()0g x >; (ii )当2a >时,令()0g x '=得1211x a x a =-=-+由21x >和121=x x 得11x <,故当2(1,)x x ∈时,()0g x '<,()g x 在2(1,)x 单调递减,因此()0g x <.综上,a 的取值范围是(],2.-∞【考点】 导数的几何意义,利用导数判断函数的单调性 【名师点睛】求函数的单调区间的方法: (1)确定函数y =f (x )的定义域; (2)求导数y′=f′(x );(3)解不等式f′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.21.已知A 是椭圆E :22143x y +=的左顶点,斜率为()0k k >的直线交E 于A ,M两点,点N 在E 上,MA NA ⊥.(Ⅰ)当AM AN =时,求AMN V 的面积(Ⅱ) 当2AM AN =2k <<.【答案】(Ⅰ)14449;(Ⅱ)详见解析. 【解析】试题分析:(Ⅰ)先求直线AM 的方程,再求点M 的纵坐标,最后求AMN ∆的面积;(Ⅱ)设()11,M x y ,将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组,消去y ,用k 表示1x ,从而表示AM ,同理用k 表示AN ,再由2AM AN =求k 的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)设11(,)M x y ,则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4. 又(2,0)A -,因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =,所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. (Ⅱ)将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+,故1234AM x k =+=+. 由题设,直线AN 的方程为,故同理可得2121k k AN +=.由2AM AN =得222343+4kk k =+,即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-,则k 是()f t 的零点,22()121233(21)0f t t t t +=-'=-≥,所以()f t 在(0,)+∞单调递增.又260,(2)60f f ==,因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点,且零点k 在(3,2)内,所以32k <<.【考点】椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题,通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解,注意计算的准确性.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD 中,E ,G 分别在边DA ,DC 上(不与端点重合),且DE=DG ,过D 点作DF ⊥CE ,垂足为F.(Ⅰ)证明:B ,C ,G ,F 四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E 为DA 的中点,求四边形BCGF 的面积.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)12.【解析】试题分析:(Ⅰ)证,DGF CBF △∽△再证,,,B C G F 四点共圆;(Ⅱ)证明Rt Rt ,BCG BFG △△≌四边形BCGF 的面积S 是GCB △面积GCB S △的2倍.试题解析:(I )因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF △△∽则有,,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB ∠=∠=∠==所以,DGF CBF △△∽由此可得,DGF CBF ∠=∠ 由此180,CGF CBF ∠+∠=︒所以,,,B C G F 四点共圆. (II )由,,,B C G F 四点共圆,CG CB ⊥知FG FB ⊥.连结GB .由G 为Rt DFC △斜边CD 的中点,知GF GC =,故Rt Rt ,BCG BFG △△≌因此四边形BCGF 的面积S 是GCB △面积GCBS △的2倍,即111221.222GCB S S ==⨯⨯⨯=△【考点】 三角形相似、全等,四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.通过相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等,还可间接证明线段相等.23.在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(6)25x y ++=.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数),l 与C 交于,A B 两点,||10AB =,求l 的斜率.【答案】(Ⅰ)212cos 110ρρθ++=;(Ⅱ)15. 【解析】试题分析:(Ⅰ)利用cos x ρθ=,sin y ρθ=化简即可求解;(Ⅱ)先将直线l 化成极坐标方程,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=,再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析:(Ⅰ)化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=,sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.(Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 设A ,B 所对应的极径分别为1ρ,2ρ,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-,1211ρρ=.()221212124144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-由AB =23cos 8α=,tan α=. 所以l或.24.选修4-5:不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集. (Ⅰ)求M ;(Ⅱ)证明:当a ,b M ∈时,1a b ab +<+. 【答案】(Ⅰ){|11}M x x =-<<;(Ⅱ)详见解析. 【解析】试题分析:(I )先去掉绝对值,再分12x ≤-,1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式,即可得M ;(II )采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当a ,b ∈M 时,1a b ab +<+.试题解析:(I )12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时,由()2f x <得22,x -<解得1x >-; 当1122x -<<时,()2f x <;当12x ≥时,由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当,a b M ∈时,11,11a b -<<-<<,从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<,因此1.a b ab +<+【考点】绝对值不等式,不等式的证明.【名师点睛】形如x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法: (1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应的方程的根,将数轴分为(,]a -∞,(,]a b ,(,)b +∞(此处设a b <)三个部分,在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解,然后取各个不等式解集的并集.(2)图象法:作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象,结合图象求解.。
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2016年高考数学文试题分类汇编函数一、选择题1、(2016年北京高考)下列函数中,在区间(1,1)- 上为减函数的是( ) (A )11y x=- (B )cos y x = (C )ln(1)y x =+ (D )2x y -=2、(2016年山东高考)已知函数f(x )的定义域为R.当x <0时,f(x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f(-x )= —f(x );当x >12时,f(x +12)=f(x —12).则f(6)= ( ) (A )-2 (B )-1 (C )0 (D )23、(2016年四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年4、(2016年天津高考)已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间)0,(-∞上单调递增,若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ,则a 的取值范围是( )(A ))21,(-∞(B )),23()21,(+∞-∞ (C ))23,21((D )),23(+∞5、(2016年全国I 卷高考)若a>b>0,0<c<1,则( )(A )log a c <log b c (B )log c a <log c b (C )a c<b c(D )c a>c b6、(2016年全国I 卷高考)函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )(A ) (B ) (C ) (D ) 7、(2016年全国II 卷高考)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )(A )y =x (B )y =lg x (C )y =2x (D)y =8、(2016年全国II 卷高考)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x ) 图像的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则1=mi i x =∑学科网( )(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 9、(2016年全国III 卷高考)已知4213332,3,25a b c ===,则( )(A) b a c <<(B)a b c << (C) b c a <<(D) c a b <<10、(2016年浙江高考)已知函数()f x 满足:()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .( )A.若()f a b ≤,则a b ≤B.若()2bf a ≤,则a b ≤C.若()f a b ≥,则a b ≥D.若()2b f a ≥,则a b ≥二、填空题1、(2016年江苏省高考)函数y的定义域是 .2、(2016年江苏省高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[ −1,1)上,,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ,则(5)f a 的值是 .3、(2016年山东高考)已知函数f (x )=2,,24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是_______. 4、(2016年上海高考)已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上,则________)()(1=-x f x f 的反函数 5、(2016年四川高考)若函数f (x )是定义R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f (x )=x 4,则f (25-)+f (2)= 。
6、(2016年天津高考)已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R上单调递减,且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是_________.7、(2016年浙江高考)设函数f (x )=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2,x ∈R ,则实数a =_____,b =______.三、解答题1、(2016年上海高考)已知a ∈R ,函数()f x =21log ()a x+.(1)当 1a =时,解不等式()f x >1;(2)若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素,求a 的值;(3)设a >0,若对任意t ∈1[,1]2,函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.2016年高考数学文试题分类汇编函数一、选择题1、(2016年北京高考)下列函数中,在区间(1,1)- 上为减函数的是( ) (A )11y x=- (B )cos y x = (C )ln(1)y x =+ (D )2x y -= 【答案】D2、(2016年山东高考)已知函数f(x )的定义域为R.当x <0时,f(x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f(-x )= —f(x );当x >12时,f(x +12)=f(x —12).则f(6)= ( ) (A )-2 (B )-1 (C )0 (D )2 【答案】D 3、(2016年四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B 4、(2016年天津高考)已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间)0,(-∞上单调递增,若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ,则a 的取值范围是( )(A ))21,(-∞(B )),23()21,(+∞-∞ (C ))23,21((D )),23(+∞ 【答案】C 5、(2016年全国I 卷高考)若a>b>0,0<c<1,则( )(A )log a c <log b c (B )log c a <log c b (C )a c <b c (D )c a >c b 【答案】B 6、(2016年全国I 卷高考)函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )(A ) (B ) (C ) (D ) 【答案】D7、(2016年全国II 卷高考)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )(A )y =x (B )y =lg x (C )y =2x (D)y =【答案】D 8、(2016年全国II 卷高考)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )=f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x ) 图像的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则1=mi i x =∑学科网( )(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B 9、(2016年全国III 卷高考)已知4213332,3,25a b c ===,则( )(A) b a c << (B)a b c << (C) b c a <<(D) c a b << 【答案】A10、(2016年浙江高考)已知函数()f x 满足:()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .( ) A.若()f a b ≤,则a b ≤ B.若()2bf a ≤,则a b ≤C.若()f a b ≥,则a b ≥D.若()2b f a ≥,则a b ≥ 【答案】B二、填空题1、(2016年江苏省高考)函数y的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-2、(2016年江苏省高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[ −1,1)上,,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ,则(5)f a 的值是 ▲ . 【答案】25-3、(2016年山东高考)已知函数f (x )=2,,24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是_______. 【答案】()3,+∞4、(2016年上海高考)已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上,则________)()(1=-x f x f 的反函数 【答案】2log (x 1)-学科网 5、(2016年四川高考)若函数f (x )是定义R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f (x )=x 4,则f (25-)+f (2)= 。
【答案】-26、(2016年天津高考)已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R上单调递减,且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是_________. 【答案】12[,)337、(2016年浙江高考)设函数f (x )=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2,x ∈R ,则实数a =_____,b =______. 【答案】-2;1. 三、解答题1、(2016年上海高考)已知a ∈R ,函数()f x =21log ()a x+. (1)当 1a =时,解不等式()f x >1;(2)若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素,求a 的值;(3)设a >0,若对任意t ∈1[,1]2,函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围. 【解析】 (1)由21log 11x ⎛⎫+>⎪⎝⎭,得112x +>,解得{}|01x x <<.(2)()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解, 等价于211a x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭有且仅有一解,等价于210ax x +-=有且仅有一解. 当0a =时,1x =,符合题意;当0a ≠时,140a ∆=+=,14a =-. 综上,0a =或14-.(3)当120x x <<时,1211a a x x +>+,221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以()f x 在()0,+∞上单调递减.。