中南大学结构力学课件 2平面体系的机动分析
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第2章平面体系的机动分析
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
例2-2 试分析图示体系的几何构造。
解 （1）分析图(a)中的体系 以刚片ⅠⅡⅢ为对象，由于三个瞬铰不共线，因此体系内部 为几何不变，且无多余约束。作为一个整体，体系对地面有三个 自由度。 （2）分析图(b)中的体系 同样方法进行分析，由于三个瞬铰共线，因此体系内部也是 瞬变的。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
1. 一个点与一个刚片 之间的连接方式 2. 两个刚片之间的连 接方式
规律1 一个刚片与一个点 用两根链杆相连，且三个铰不在 一直线上，则组成几何不变的整 体，且没有多余约束。
规律2 两个刚片用一个 铰和一根链杆相连，且三 个铰不在一直线上，则组 成几何不变的整体，且没 有多余约束。
试分析图示体系的几何构造
D
E
0 23
Ⅱ
013 基础 Ⅲ
Ⅰ
023
Ⅱ
B
Ⅰ
A
012
012
C
基础 Ⅲ
013
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线的三 铰相连，所以体系为无多余约 束的几何不变体。
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由共线的三铰 相连，所以体系为无多余约束 的几何不变体。
分析图示铰结体系
以铰结三角形123为基础，增加一个二元体得结点4， 1234为几何不变体系；如此依次增加二元体，最后的体系 为几何不变体系，没有多余联系。 或：从结点10开始拆除二元体，依次拆除结点9，8， 7…，最后剩下铰结三角形123，它是几何不变的，故原体 系为几何不变体系，没有多余联系。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
装配过程有两种：
（1）从基础出发进行装配：取基础作为基本刚片，将周围某
个部件按基本装配格式固定在基本刚片上，形成一个扩
第二章 平面体系的机动分析
3、平面体系的计算自由度（略）
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三刚片规则 （基本规则）
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成的 体系是几何不变的，而且没有多余联系。 2、二元体规则 二元体：两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。 3、两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联（或用三根不 全平行也不交于同一点的链杆相联），则为几何不变体系，而 且没有多余联系。
7
8
1 2 3
4 7 8
5
6
1 2 3 4
（教材题2-15）
5
6
常变
例4（教材例2-1）：
1 2 3 4 5
解：
1、结点编号 2、列表分析
地基 杆件1-2
刚片一 杆件2-3
刚片二 杆件3-4
刚片三 杆件4-5
刚片四
3、结论 该体系为几何不变，且无多余联系。
14 13 15 16 8 9 6 4 1 2 10 11 12 7 5 13 8
14 15 16 9 6 4 1 2 10 11 12
1
2
8
9
刚片5-9
刚片二
刚片三
3、结论
地基
该体系为几何不变，且无多余联系。
Байду номын сангаас
4
3
例7：
解： 1、结点编号 2、列表分析
1 2 3
刚片1-2
地基
刚片一 +1-4-2 +1-3-2
刚片二
4
3、结论
该体系为几何不变，且有两个多 余联系。
1
2
4
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三刚片规则 （基本规则）
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成的 体系是几何不变的，而且没有多余联系。 2、二元体规则 二元体：两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。 3、两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联（或用三根不 全平行也不交于同一点的链杆相联），则为几何不变体系，而 且没有多余联系。
7
8
1 2 3
4 7 8
5
6
1 2 3 4
（教材题2-15）
5
6
常变
例4（教材例2-1）：
1 2 3 4 5
解：
1、结点编号 2、列表分析
地基 杆件1-2
刚片一 杆件2-3
刚片二 杆件3-4
刚片三 杆件4-5
刚片四
3、结论 该体系为几何不变，且无多余联系。
14 13 15 16 8 9 6 4 1 2 10 11 12 7 5 13 8
14 15 16 9 6 4 1 2 10 11 12
1
2
8
9
刚片5-9
刚片二
刚片三
3、结论
地基
该体系为几何不变，且无多余联系。
Байду номын сангаас
4
3
例7：
解： 1、结点编号 2、列表分析
1 2 3
刚片1-2
地基
刚片一 +1-4-2 +1-3-2
刚片二
4
3、结论
该体系为几何不变，且有两个多 余联系。
1
2
4
《结构力学》平面体系的机动分析
《结构力学教程》（I）
第2章 平面体系的机动分析
主要内容
§2-1 几何构造分析的几个概念 §2-2 几何不变体系的组成规律 §2-3 几何构造分析方法 §2-4 瞬变体系 §2-5 分析几何构造举例
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
变形的，因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆
甚至体系中已被确定为几何 Y
不变的部分看作是一个刚片。
x
刚片在平面内的 自由度为：3
A
y X
§2-1 几何构造分析的几个概念
3）约束
结构是由各种构件通过某些装置组合成不变体系
的，它的自由度应该等于或小于零。那种能减少刚片
自由度的装置就称为约束。
约束装置的类型有：
（1）链杆
还有2个自由度
还有5个自由度
链杆可减少一个 自由度，相当于 一个约束。
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）单铰
还有4个自由度
（3）复铰
还有1个自由度
一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
复铰——连接两个以上刚片的铰。
还有5个自由度
连接n个刚片的复铰， 相当于n-1个单铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1
地基作为刚片2
例2：
二元体
1
2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
第2章 平面体系的机动分析
主要内容
§2-1 几何构造分析的几个概念 §2-2 几何不变体系的组成规律 §2-3 几何构造分析方法 §2-4 瞬变体系 §2-5 分析几何构造举例
§2-1 几何构造分析的几个概念
结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座 联接组成的。结构是用来承受荷载的，因此必须保证 结构的几何构造是不可变的。例如：
变形的，因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆
甚至体系中已被确定为几何 Y
不变的部分看作是一个刚片。
x
刚片在平面内的 自由度为：3
A
y X
§2-1 几何构造分析的几个概念
3）约束
结构是由各种构件通过某些装置组合成不变体系
的，它的自由度应该等于或小于零。那种能减少刚片
自由度的装置就称为约束。
约束装置的类型有：
（1）链杆
还有2个自由度
还有5个自由度
链杆可减少一个 自由度，相当于 一个约束。
§2-1 几何构造分析的几个概念
（2）单铰
还有4个自由度
（3）复铰
还有1个自由度
一个单铰可以 减少两个自由 度，相当于两 个约束。
复铰——连接两个以上刚片的铰。
还有5个自由度
连接n个刚片的复铰， 相当于n-1个单铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
§2-3 几何构造分析方法
2）分析已组成的体系 例1：
上部作为 刚片1
地基作为刚片2
例2：
二元体
1
2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
§2-3 几何构造分析方法
例3：
o
结构力学第2章体系的几何组成分析(f)
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
两刚片用三根链杆相联
如图所示，刚片I和刚片II可 以绕O点转动；O点成为刚片I和 II的相对转动瞬心。
虚铰：连接两个刚片的两根连杆的作用相当于其交点 处的一个单铰，而这个铰的位置随着链杆的转 动而改变，称其为虚铰。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
分析图示体系： 把链杆AB、CD看作是其交点O 处的一个铰，刚片I和II相当于用 铰O和链杆EF相连，故为几何不 变体系，没有多余联系。
几何不变体系， 且无多余联系(三刚片规则) 刚片I和II用铰C相连， 刚片I和III相当于用虚铰O相连，
刚片II和III相当于用虚铰O’相连，
§2-5 机动分析示例
例2-4 试对图（a）所示体系进行机动分析。
解：地基作为刚片III， 三角形ABD和BCE作为 刚片I、II（图b）。
刚片I和II用铰B相连， 刚片I和III用铰A相连， 刚片II和III？
§2-4 瞬变体系
分析图示体系： 三根链杆平行不等长时，交于无穷 远处的同一点，两刚片可相对平动， 发生微小相对移动后，三杆不再全 平行。体系为瞬变体系。
分析图示体系： 三根链杆平行且等长从异侧 连出时。体系为瞬变体系。
§2-4 瞬变体系
二、常变体系 经微小位移后仍能继续发生刚体运动的几何可变体系称为 常变体系。 几何可变体系包括常变和瞬变两种。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
三铰拱，左右两半拱视为刚片1,2，地基视为 刚片3，该体系由三个刚片用不在同一直线上 的三个单铰A、B、C两两相连，为几何不变 体系，而且没有多余联系。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
2.二元体规则
二元体：两根不在一直线上的链杆连接成一个新结点的构
结构力学 平面体系的机动分析
(1)h
m6 (3)g
3
m7
(3)h
m7
m8
r
m9 r
m8
(3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
【例】试求图示体系的计算自由度。
m1
(1)g (1)h m2 (2)g m3 (3)r m5 m7 (3)r m4 (1)h (1)g m6 (2)g (1)h m8 m9 (3)r (1)h
（2）两铰无穷远
（a）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互不平行， 则体系为几何不变 （b）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互平行， 则体系为几何瞬变
（c）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互平行且 相等，则体系为几何常变
（3）三铰无穷远
平面上所有无穷远点均在同 一条直线上，这条直线称为 无穷远直线。
2.二元体规则
在钢片上增加一个二元体，仍为几何不变体系，而 且没有多余联系。
3.两钢片规则
两个钢片用一个铰和一根不通过此铰的链杆的链杆相 联，为几何不变体系体系而且没有多余联系； 或者两个钢片用三根不全平行也不交于同一点的链杆 相联，为几何不变体系，而且没有多余联系。
例题
2－4 瞬变体系 为什么在三钢片规则中，要规定三个铰不在 同一直线上？
2.要布置得当
平面体系有钢片、铰、链杆组成 设钢片数为m 单铰数为h 支座链杆数r 自由度数为3m 约束为2h 约束为r
体系最后的自由度为：
W＝3M－3R-2H-S
W——计算自由度
【例】试求图示体系的计算自由度W。
h m3 h
第2章 平面体系的机动分析
几何组成分析---练习
14.计算图示体系的计算自由度并作几何组成分析
W 4 3 2 3 2 2 3 1
或 W 2 3 2 2 3 1
有一个多余约束的几何不变体系
练习1 试分析图示体系的几何组成
无多余约束几何不变体系
有两个多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
几何不变无多余约束
几何组成分析---练习
13.计算图示体系的计算自由度并作几何组成分析 W 1 3 3 0 W 4 3 4 3 3 3 或 W 1 3 3 3 3
自由度=3+3-3=3
一个刚结点等于三个约束
有三个多余约束的几何不变体系
P
2 sin
瞬变体系的主要特性为: P X2 1.可发生微量位移,但不能继续运动 2.在变形位置上会产生很大内力 3.在原位置上,一般外力不能平衡 4.在特定荷载下,可以平衡,会产生静不定力 5.可产生初内力.
X1
四. 常变体系是机构
几何组成思考题
几何组成分析的假定和 目的是什么？ 何谓自由度？系统自由 度与几何可变性有何联 系？ 不变体系有多余联系时， 使其变成无多余联系几 何不变体系是否唯一？ 瞬变体系有何特点？可 变体系时如何区分瞬变 还是常变？ 瞬铰和实际铰有何异同？ 无多余联系几何不变体系 组成规则各有什么限制条 件？不满足条件时可变性 如何？ 按组成规则建立结构有哪 些组装格式？组装格式和 受力分析有无联系？ 如何确定计算自由度？ 对体系进行组成分析的步 骤如何？
结论：一根链杆等于 一个约束
结论：一个固定端或刚结点 等于三个约束
§2-2 平面体系的计算自由度
第二章平面体系的机动分析
例2-2-2 求图示体系的计算自由度。 解1： I 1 A II m＝2，h＝1， r＝2×2＋3＋1＝8 4
2
3
5
W＝3×2－2－8＝－4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。 解：
A 1
B 5 7 E 10
j 5 b 10 W 2 5 10 0
2 3 4 8 C 9 6 D
例2-1
I
1 解： 2 3 II（基础）
4
D 5
1）被约束对象：刚片I, II及结点D。
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4， 组成大刚片I；
大刚片 I、结点D用链杆4、5相连，符合规 律1。故体系为几何不变且无多余约束。
2）被约束对象：刚片I,II,III及结点D，见图 b)。 o D A III B I 4 1 2 3 解： b） II（基础） 刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、 III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、 B、o不共线，符合规律3，组成大刚片 I。
例1： I I
II 无多余约束的 几何不变体系
II
瞬变体系
无多余约束的 几何不变体系
有一个多余约束 的几何不变体系
例2：
无多余约束的几何不变体系
无多余约束的 几何不变体系
技巧 1： 对于与地面有着简单联系的体系，可以直接取体系内部出 来，对其进行几何构造分析。
例3：
几何可变体系
例4：
有3个多余约束的
此外应根据几何不变体系的规律设计新结构。 2. 正确区分静定结构与超静定结构。 以选择不同的计算方法
基本概念
杆件体系：不考虑材料变形，几何形状与位置 保持不变的体系为几何不变体系 发生可变的体系为几何可变体系 结构—几何不变体系 机动分析：判别体系是否为几何不变体系的分析 刚片——杆件或几何不变部分（忽略材料变形） 联系（约束）——其余链杆、结点和支座
《结构力学》第二章 平面体系的机动分析
常变体系
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
W (3m 2 j ) (2h b)
四、自由度与几何体系构造特点
W (3 2 2 2) (2 1 8) 0
五、讨论
任何平面体系的计算自由度，其计算结果有以下三种情 况： ⑴ w＞0,体系缺少足够的联系，为几何可变。 ⑵ w＝0,体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。 ⑶ w＜0,体系具有多余联系。 则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但这不是充分条 件，还必需研究几何不变体系的合理组成规则。
常见的约束 1）单铰：仅连接两个刚片的铰。
2）链杆：仅用于将两个刚片连接在一起的铰结的杆 件。
3）单刚结点：仅连接两杆的刚结点。
同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称为复铰、 复链杆、复刚结点。
总结：连接n个刚片的的复铰相当于（n-1）个单铰， 相当于2（n-1）个约束；n个刚片之间的复刚结点相 当于（n-1）个单结点，相当于3（n-1）个约束。联 结三点的链杆 ，将原来结点的六个自由度减少为整 体的三个自由度，因而相当于三个约束，即相当于三 根简单链杆。一般说来，联结n个点的复杂链杆相当 于（2n-3）根简单链杆。 约束分类：根据对自由度的影响，体系中的约 束可分为必要约束和多余约束。
§2.4 瞬变体系 1、几何瞬变体系 对体系加载时，体系在瞬时内发生微小位移，然 后便成为几何不变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）。
２、瞬变体系的静力特性： 在微小荷载作用下可产 生无穷大内力。因此， 瞬变体系或接近瞬变的 体系都是严禁作为结构 使用的。 瞬变体系一般是总约束 数满足但约束方式不满 足规则的一类体系，是 特殊的几何可变体系。
几何构造分析的几个概念
(1) 不变体系、可变体系
在不考虑材料的应变引起的结构的变形的条件下，体 系的几何形状、位置都不改变的，叫作几何不变体系； 不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变 的体系叫作几何可变体系。
四、自由度与几何体系构造特点
W (3 2 2 2) (2 1 8) 0
五、讨论
任何平面体系的计算自由度，其计算结果有以下三种情 况： ⑴ w＞0,体系缺少足够的联系，为几何可变。 ⑵ w＝0,体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。 ⑶ w＜0,体系具有多余联系。 则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但这不是充分条 件，还必需研究几何不变体系的合理组成规则。
常见的约束 1）单铰：仅连接两个刚片的铰。
2）链杆：仅用于将两个刚片连接在一起的铰结的杆 件。
3）单刚结点：仅连接两杆的刚结点。
同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称为复铰、 复链杆、复刚结点。
总结：连接n个刚片的的复铰相当于（n-1）个单铰， 相当于2（n-1）个约束；n个刚片之间的复刚结点相 当于（n-1）个单结点，相当于3（n-1）个约束。联 结三点的链杆 ，将原来结点的六个自由度减少为整 体的三个自由度，因而相当于三个约束，即相当于三 根简单链杆。一般说来，联结n个点的复杂链杆相当 于（2n-3）根简单链杆。 约束分类：根据对自由度的影响，体系中的约 束可分为必要约束和多余约束。
§2.4 瞬变体系 1、几何瞬变体系 对体系加载时，体系在瞬时内发生微小位移，然 后便成为几何不变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）。
２、瞬变体系的静力特性： 在微小荷载作用下可产 生无穷大内力。因此， 瞬变体系或接近瞬变的 体系都是严禁作为结构 使用的。 瞬变体系一般是总约束 数满足但约束方式不满 足规则的一类体系，是 特殊的几何可变体系。
几何构造分析的几个概念
(1) 不变体系、可变体系
在不考虑材料的应变引起的结构的变形的条件下，体 系的几何形状、位置都不改变的，叫作几何不变体系； 不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变 的体系叫作几何可变体系。
第二章+平面体系的机动分析
例题
2－4 瞬变体系
为什么在三钢片规则中，要规定三个铰不在 同一直线上？
（a）三根链杆交于同一点，两钢片可绕交点o转动， 但发生微小转动后三杆不交于一点，几何瞬变体系。
（b）三杆件平行但不等长时，两钢片发生微小相对 移动后三杆件不再全平行，因此属瞬变体系。
（c）三杆件平行且等长，运动可以一直继续下去， 故为常变体系。
限制运动的装置称为联系（或约束），体系的自 由度可因加入联系而减少，能减少一个自由度的装置 称为一个联系。
多余约束——多加一根竖向支座链杆，体系仍然为几 何不变，自由度仍然为零而不会再减少。
3.平面体系的计算自由度 体系怎样才能成为几何不变呢？
1.要有足够数量的联系 2.要布置得当
平面体系有钢片、铰、链杆组成
2－5 机动分析
判断体系是机构还是结构 例题2－1
例题2－2
例题2－3
例题2－4
*2-6 三钢片体系中虚铰在无穷远处的情况
虚铰在无穷远处时，如何判定体系是否是几何不变的？ （1）一铰无穷远
（a）一铰无穷远，其与另二铰连线不平行，则为几 何不变。 （b）无穷远的虚铰与另二虚铰连线平行，则为几 何瞬变体。 （c）无穷远的虚铰与另二实铰连线平行，则为几 何常变。
2－3几何不变体系的基本组成规则
1.三钢片规则
三个钢片用不同在一直线上的三个单铰两两铰联，组 成的体系是几何不变的，而且没有多余联系。
2.二元体规则
在钢片上增加一个二元体，仍为几何不变体系，而 且没有多余联系 联，为几何不变体系体系而且没有多余联系； 或者两个钢片用三根不全平行也不交于同一点的链杆 相联，为几何不变体系，而且没有多余联系。
2－7 几何构造与静定性的关系
几何构造分析的结论
结构力学第2章 平面体系机动分析
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后，只剩基础。故该体系为 无多余约束的几何不变体系。
2 如上部体系与基础的联结符合两刚片原则，可去掉基础， 只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两刚片用两平行 杆相连，几何可变。
3 当杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆 形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
几何组成分析小结
机动分析先化简 依次拆除二元体 确认刚片是关键 等效代换灵活用
撤去基础三支杆 再为组成找条件 增加两元再扩展 按照规则连成片
§2-6 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何
不变
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
刚片：不计材料变形，将杆件或已知是几何不变的部 分看作刚片，注意：不是“钢片”。
可表示为：
刚片(rigid plate)——平面刚体。
内部是稳定的,几何形状和位置不发生任何改变。（梁、柱、杆、 几何不变体、基础）
形状可任意替换
§2-2 平面体系的计算自由度
1.自由度--确定物体位置所需的独立坐标数目
虽然 W=0, 但其上部有多余联系， 而下部又缺少联系，仍为几何可变。
小结
W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。
W=0, 具备成为几何不变体系所需的最少约束 的数目。必要非充分条件
W<0， 体系具有多余联系
W> 0 W< 0
体系几何可变
体系几何不变 ？
§2-3 几何不变体系的组成规则
结构力学 第二章 平面体系的机动分析
单铰数： h
约 束： 2h
支座链杆数：r 约 束： r
体系自由度（计算）： W 3m (2h r)
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 如果体系不与基础相连，即r=0时，
体系对基础有三个自由度，仅研究体系 本身的内部可变度V。
则知 W V 3
得：V W 3 3m 2h 3
A
θ1
θ3
Ⅰ Ⅱ θ2 Ⅲ
分析：
一个刚片有三个自由 度，没连接前，三刚 片共有9个自由度；用 铰A连接后，实际自 由度为5，共减少了4 个自由度；一个单铰 减少两个自由度，所 以说铰A相当于两个 单铰作用。
实际自由度（五个）：X A 、YA、θ1、θ2 、θ3 ； 铰A相当于两个单铰。
结论：连接n个杆件的复铰，相当于(n－1)个单铰。
V 3m 2h 3
37293 2
2
0
第二章 平面体系的机动分析
§2-2 平面体系的自由度计算 4、平面链杆系的自由度(桁架):
链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
平面上一个点有两个自由度。
如图：A、B两点共有四个自由度：
X A、YA 、X B 、YB
两点用一链杆相连后有：
(X B X A)2 (YB YA)2 L2
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理。
第二章 平面体系的机动分析
§2-2平面体系的自由度计算：
(Degrees of freedom of planar systems)
一、自由度：
物体做刚体运动时，可以独立变化的几何参数的 个数，也即确定物体的位置所需的独立坐标数。
第二章 平面体系的机动分析
结构力学--平面体系的几何构造分析 ppt课件
常变体系：位移可连续发生的体系。（缺少杆件或 杆件安置不当） o
A
B B1
C
瞬变体系
常变体系
注：体系可变与否与体系在空间或平面的自由度有关
PPT课件 3
§2-1 几何构造分析的基本概念
三、自由度 （1）刚片的概念：刚体在平面上研究称刚片。
在不考虑材料应变的条件下，一根链杆、一根梁、基础以及已确定 的某个几何不变部分均可视为刚片。
n（多余约束）=（全部约束总数）—（非多余约束总数）=S-W 由于S≥W；n≥-W
⑴ 若W>0 则S>0 体系一定几何可变。 ⑵ 若W=0 则S=n 若体系无多余约束则体系几何不变； 若体系有多余约束则体系几何可变。 ⑶ 若W<0 则n>0 体系为有多余约束的可变或不变体系。
PPT课件 28
由此
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
29
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
有三个多余 约束的刚片 无多余约 束的刚片
闭合刚架
例2-3-1 试求图示体系的计算自由度。
A
解：
I B 1
II 2
C
III 3
m3 g 0 h3 b3 W 3 3 (2 3 3) 9 9 0
另解：
m 3, g 0, h 2, b 5 W 3 3 3 0 2 2 5 0
5
III（基础）
6
PPT课件
24
§2-2 几何不变体系的组成规律
思考题 ： 试分析下图示各体系的几何构造组成。
a）
PPT课件
b）
25
§2-2 几何不变体系的组成规律
c）
d）
e）
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二、平面体系的计算自由度
结构力学
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
中南大学 16:07
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§2-2 平面体系的计算自由度
平面链杆系的自由度(桁架):
结构力学
链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体， 如有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相 交的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系 内部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多 于三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
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结构力学
加减二元体
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§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论 (a) 一铰无穷远情况
结构力学
几何不变体系
不平行
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16:07
§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论
结构力学
平 行 等 长
几何常变体系
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16:07
§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论 (b) 两铰无穷远情况
结构力学
1
AC CDB CE EF CF DF DG FG
3
1
3
有几个刚片？
2
有几个单铰？ 有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
例2：计算图示体系的自由度 按刚片计算 2 1 9根杆, 9个刚片 有几个单铰？ 3根支座链杆 3 3 W=3 ×9-(2×12+3)=0 按铰结链杆计算
A
D
刚片1
B
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为 几何不变体系。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
减二元体简化分析 加二元体组成结构
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
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§2-5 机动分析示例
例2-4 对图示体系作几何组成分析。
结构力学
它可 变吗？
找 刚 片、 找 虚 铰
瞬变体系
Ⅱ
Ⅲ Ⅰ
行吗？
行吗？
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16:07
§2-5 机动分析示例
机动分析步骤总结：
结构力学
1. 可首先通过自由度的计算，检查体系是否满足几何 不变的必要条件(W≤0)。对于较为简单的体系，一般都略 去自由度的计算，直接应用上述规则进行分折。
P
几何可变
只能称之为机构
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§2-1 引言
三、杆系的机动分析：
结构力学
机动分析就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时 还要研究几何不变体系的组成规律。又称: 几何组成分析 几何构造分析
机动分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否 作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算 方法。 3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计 算顺序。
结构力学
三铰无穷远 如何?请大家 自行分析 !
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§2-7 几何构造与静定性的关系
F
结构力学
FAx
FAy
如何求支 座反力? 静定结构
FB 无多余 联系几何 不变。
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§2-7 几何构造与静定性的关系
结构力学
F
FAx
FAy 能否求全 部反力?
FC
§2-5 机动分析示例
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。
结构力学
6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键， 刚片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全 部使用，且不可重复使用。
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一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变 形而能保持其几何形状和位置不变的体系。 P 几何不变 弹性变形 可称之为结构
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§2-1 引言
结构力学
二、几何可变体系(geometrically unstable system)：
一个杆系，在荷载作用下，即使略去杆件本身的弹性变形， 它也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
C 刚片2 E A B A 刚片2 D C F E
B
刚片1
D
刚片1
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
有二元 体吗？ 有
是什么 体系？
O 无多不变 II
O是虚 铰吗？
O不是
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
试分析图示体系的几何组成 是什么 体系？
结构力学
四 杆 不 全 平 行
几何不变体系
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§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论
结构力学
四 杆 全 平 行
几何瞬变体系
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§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论
结构力学
四 杆 平 行 等 长
几何常变体系
中南大学
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§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论
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§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
(3) W<0 几何不变
(4) W<0 几何可变
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少 联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
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§2-4 瞬变体系
结构力学
瞬变体系 ——小荷载引起巨大内力（图1） ——工程结构不能用瞬变体系
几何可变体系: 瞬变 , 常变
• • • • • 例：（图2-17） 二刚片三链杆相联情况 （a）三链杆交于一点； （b）三链杆完全平行（不等长）； （c）三链杆完全平行（在刚片异侧） ； （d）三链杆完全平行（等长）
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§2-1 引言
结构力学
四、刚片：将体系中巳经肯定为几何不变的部分看作
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
几何不变体系
几何可变体系 形状可任意替换
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§2-2 平面体系的计算自由度
一、平面体系的自由度 (degree of freedom of planar system)
体系几何不变 因此，体系几何不变的必要条件：W≤0
如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对 基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可 变度V。
W> 0 W< 0
体系几何可变
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
( Geometric construction analysis (Kinematics analysis）)
§2-5 机动分析示例
结构力学
F
G
E
D
如何变静定？ 唯一吗？
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§2-5 机动分析示例
结构力学 D
C
内部可 F 变性
找刚片
E
A
中南大学
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B
16:07
§2-5 机动分析示例
结构力学 C DD E
A
E
如何才能不变？
B
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可变吗？ 有多余吗？
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§2-5 机动分析示例
一、三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两 相连，所组成的平面体系几何不变。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
说明： 1.刚片通过支座链杆与地基相联， 地基可视为一刚片。
Ⅱ
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
2. 三刚片用位于同一直线上的三个铰相联， 组成瞬变体系。( 几何可变 ) 不符合三刚片规则
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§2-5 机动分析示例
例2-1 对图示体系作几何组成分析。
结构力学
方法一:从基础出发; 利用两刚片规则;
扩大刚片; 反复利用两刚片规则;
结论: 无多余联系的几何不变体.
方法二:加、减二元体 中南大学
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§2-5 机动分析示例
结构力学
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
中南大学 16:07
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§2-2 平面体系的计算自由度
平面链杆系的自由度(桁架):
结构力学
链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体， 如有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相 交的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系 内部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多 于三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
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结构力学
加减二元体
中南大学
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§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论 (a) 一铰无穷远情况
结构力学
几何不变体系
不平行
中南大学
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§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论
结构力学
平 行 等 长
几何常变体系
中南大学
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§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论 (b) 两铰无穷远情况
结构力学
1
AC CDB CE EF CF DF DG FG
3
1
3
有几个刚片？
2
有几个单铰？ 有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
例2：计算图示体系的自由度 按刚片计算 2 1 9根杆, 9个刚片 有几个单铰？ 3根支座链杆 3 3 W=3 ×9-(2×12+3)=0 按铰结链杆计算
A
D
刚片1
B
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为 几何不变体系。
中南大学
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16:07
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
减二元体简化分析 加二元体组成结构
中南大学
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
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§2-5 机动分析示例
例2-4 对图示体系作几何组成分析。
结构力学
它可 变吗？
找 刚 片、 找 虚 铰
瞬变体系
Ⅱ
Ⅲ Ⅰ
行吗？
行吗？
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16:07
§2-5 机动分析示例
机动分析步骤总结：
结构力学
1. 可首先通过自由度的计算，检查体系是否满足几何 不变的必要条件(W≤0)。对于较为简单的体系，一般都略 去自由度的计算，直接应用上述规则进行分折。
P
几何可变
只能称之为机构
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16:07
§2-1 引言
三、杆系的机动分析：
结构力学
机动分析就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时 还要研究几何不变体系的组成规律。又称: 几何组成分析 几何构造分析
机动分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否 作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算 方法。 3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计 算顺序。
结构力学
三铰无穷远 如何?请大家 自行分析 !
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§2-7 几何构造与静定性的关系
F
结构力学
FAx
FAy
如何求支 座反力? 静定结构
FB 无多余 联系几何 不变。
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16:07
§2-7 几何构造与静定性的关系
结构力学
F
FAx
FAy 能否求全 部反力?
FC
§2-5 机动分析示例
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。
结构力学
6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键， 刚片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全 部使用，且不可重复使用。
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一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变 形而能保持其几何形状和位置不变的体系。 P 几何不变 弹性变形 可称之为结构
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§2-1 引言
结构力学
二、几何可变体系(geometrically unstable system)：
一个杆系，在荷载作用下，即使略去杆件本身的弹性变形， 它也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
C 刚片2 E A B A 刚片2 D C F E
B
刚片1
D
刚片1
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
有二元 体吗？ 有
是什么 体系？
O 无多不变 II
O是虚 铰吗？
O不是
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
试分析图示体系的几何组成 是什么 体系？
结构力学
四 杆 不 全 平 行
几何不变体系
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§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论
结构力学
四 杆 全 平 行
几何瞬变体系
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§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论
结构力学
四 杆 平 行 等 长
几何常变体系
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§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论
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§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
(3) W<0 几何不变
(4) W<0 几何可变
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少 联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
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§2-4 瞬变体系
结构力学
瞬变体系 ——小荷载引起巨大内力（图1） ——工程结构不能用瞬变体系
几何可变体系: 瞬变 , 常变
• • • • • 例：（图2-17） 二刚片三链杆相联情况 （a）三链杆交于一点； （b）三链杆完全平行（不等长）； （c）三链杆完全平行（在刚片异侧） ； （d）三链杆完全平行（等长）
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§2-1 引言
结构力学
四、刚片：将体系中巳经肯定为几何不变的部分看作
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
几何不变体系
几何可变体系 形状可任意替换
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§2-2 平面体系的计算自由度
一、平面体系的自由度 (degree of freedom of planar system)
体系几何不变 因此，体系几何不变的必要条件：W≤0
如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对 基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可 变度V。
W> 0 W< 0
体系几何可变
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
( Geometric construction analysis (Kinematics analysis）)
§2-5 机动分析示例
结构力学
F
G
E
D
如何变静定？ 唯一吗？
中南大学
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16:07
§2-5 机动分析示例
结构力学 D
C
内部可 F 变性
找刚片
E
A
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B
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§2-5 机动分析示例
结构力学 C DD E
A
E
如何才能不变？
B
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可变吗？ 有多余吗？
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§2-5 机动分析示例
一、三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两 相连，所组成的平面体系几何不变。
中南大学
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16:07
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
说明： 1.刚片通过支座链杆与地基相联， 地基可视为一刚片。
Ⅱ
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16:07
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
结构力学
2. 三刚片用位于同一直线上的三个铰相联， 组成瞬变体系。( 几何可变 ) 不符合三刚片规则
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16:07
§2-5 机动分析示例
例2-1 对图示体系作几何组成分析。
结构力学
方法一:从基础出发; 利用两刚片规则;
扩大刚片; 反复利用两刚片规则;
结论: 无多余联系的几何不变体.
方法二:加、减二元体 中南大学
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16:07
§2-5 机动分析示例