20.2极差和方差
极差方差标准差公式
极差方差标准差公式方差、标准差和极差是统计学中常用的三种描述数据分散程度的指标，它们在数据分析和研究中起着重要的作用。
在本文中，我们将详细介绍极差、方差和标准差的概念、计算公式及其在实际应用中的意义。
首先，我们来介绍极差的概念。
极差是用来衡量一组数据中最大值和最小值之间的差距的统计量。
它可以简单地用最大值减去最小值来计算，即：极差 = 最大值最小值。
极差可以直观地反映出数据的波动程度，但它只考虑了最大值和最小值，对数据的整体分布情况并不十分准确。
因此，我们需要引入方差和标准差这两个指标来更全面地描述数据的分散程度。
接下来，我们将介绍方差的概念及其计算公式。
方差是衡量一组数据离散程度的统计量，它是各数据与其均值之差的平方的平均数。
方差的计算公式如下：方差= Σ（Xi X）^2 / n。
其中，Xi代表第i个数据点，X代表数据的均值，n代表数据的个数。
通过计算各数据与均值之差的平方并求平均数，可以得到数据的方差。
方差越大，数据的离散程度越高，反之则越低。
最后，我们将介绍标准差的概念及其计算公式。
标准差是方差的平方根，它是数据离散程度的一种度量，通常用来衡量数据的波动情况。
标准差的计算公式如下：标准差= √方差。
标准差的计算方法与方差密切相关，通过对方差取平方根，可以得到数据的标准差。
标准差越大，数据的波动越剧烈，反之则越平稳。
在实际应用中，极差、方差和标准差都是重要的统计指标，它们可以帮助我们更准确地了解数据的分布情况，从而进行科学的数据分析和决策。
例如，在财务分析中，我们可以利用这些指标来评估投资组合的风险；在质量控制中，我们可以利用这些指标来评估产品质量的稳定性；在市场营销中，我们可以利用这些指标来评估市场需求的波动情况等等。
综上所述，极差、方差和标准差是描述数据分散程度的重要统计指标，它们在数据分析和研究中具有重要的意义。
通过对这些指标的深入理解和应用，我们可以更好地把握数据的特征和规律，为科学决策提供可靠的依据。
【精品】2020年中考数学复习 --《极差、方差和标准差》知识点
【精品】2020年中考数学复习 --《极差、方差和标准差》知识点 极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．一、定义理解1、极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．极差＝最大值－最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义．2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据． 方差计算公式是： s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出2S 的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差． 标准差＝方差，方差＝标准差2．一组数据的标准差计算公式是S =其中x 为n 个数据12n x x x ，，…，的平均数． 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况．二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102（1） 求甲、乙两队的平均分和极差？（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：（1）3.100100101101104103102969997100101）＝（＝甲+++++++++⨯x 3.10010210310410410010295999797101）＝（＝乙+++++++++⨯x甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9（2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(1012222＝甲-++-+-=S 21.9])3.100102()3.10097()3.10097[(1012222＝乙-++-+-= S 甲队的标准差：37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25，23，28，22，27乙组：27，24，24，27，23（1）10盆花的花期最多相差几天？（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？（3）施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！ 解：（1）28－22＝6（天） 所以，10盆花的花期最多相差6天．（2）由平均数公式得：252722282325(51）＝＝甲++++x252327242427(51）＝＝乙++++x得乙甲＝x x ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．（3）由方差公式得： 2.5])2527()2522()2528()2523()2525[(101222222＝甲-+-+-+-+-=S 8.2])2523()2527()2524()2524()2527[(51222222＝乙-+-+-+-+-=S 得22S 乙甲<S 故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1.一组数据5，8，x ，10，4的平均数是2x ，则这组数据的方差是________．2.五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm ）：2，－2，－1，1，0， 则这组数据的极差为______cm ．方差是_______，标准差是______3.若样本1，2，3，x 的平均数为5，又样本1，2，3，x ，y 的平均数为6，则样本1，2，3，x ，y 的极差是_______，方差是_______，标准差是______．4.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____， 标准差为________．5.一组数据－8，－4，5，6，7，7，8，9的极差是______，方差是_____，标准差是______．6.若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为 ＝5，方差S 2＝0.025，则样本4x 1，4x 2，……，4x n 的平均数x ＇＝_____，方差S ＇2＝_______．。
极差、方差、标准差
分别计算这两组数据的方差，比较它们的稳定 分性析 ． (1)求平均数
x = 10 + 1(-0.1+ 0.3- 0.2+ 0.1+ 0.4 - 0.2- 0.3)= 10
甲
8
x = 10 + 1(0.2- 0.5+ 0.3+ 0.5- 0.4 - 0.2+ 0.1)= 10
3、方差
，方差的单位是 S2 = 1 n
x1 - x
+
x2 - x
2
+L
+
xn - x
2
原数据的单位的平方,方差表示统计的样本基于平
均数的偏差，当平均数相同时，方差大，说明数据
不整齐波动大，起伏大。
4、标准差为S，即方差的算术平方根，它的单位 与原数据的单位相同。
什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？
用一组数据中的最大值减去最小 值所得的差来反映这组数据的变化范
围．用这种方法得到的差称为极差
（range）．
极差＝最大值－最小值．
练习：
1、求下列各题中的极差
（1）已知一组数据4、0、2、1、-2，则极差是__
（2）某班个子最高的学生身高为1.70米，个子最 矮的学生的身高为1.38米，求该班所有学生身高 的极差______
（x>y）的平均数为100，方差为2，
求 x，y
4、已知数据 x1, x2 ,L xn 的方差为
a，求数据
差
2x1
1，2x2
1,L
L
, 2xn
1
的方
八年级数学下册第二十章《20.2极差和方差》教学课件
1、某日在不同时段测得乌鲁木齐和广州的气温情况如下:
0:00 乌鲁木齐 广州 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 19°c 23°c 16°c 21°c
10°c 14°c 20°c 24°c 20°c 22°c 23°c 25°c
(1)乌鲁木齐的气温的最大值、最小值各是多少？温差是多少？ 广 州呢？
2
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据 2 的方差（variance），记作 s
意义
用来衡量一批数据的波动大小
在样本容量相同的情况下，方差越大， 说明数据的波动越大， 越不稳定
归纳（1）研究离散程度可用
S
2
（2）方差应用更广泛衡量一组数据的 波动大小 （3）方差主要应用在平均数相等或接 近时 （4）方差大波动大，方差小波动小， 一般选波动小的
乙 队 选比 手较 的两 年图 龄， 偏请 离思 平考 均： 年甲 龄队 的选 情手 况的 怎年 么龄 样与
29 28 27 26 25 24
年龄
0
年龄
5
10
数据序号
15
甲队选手的年龄分布
29 28 27 26 25 24
0
5 10 乙队选手的年龄分布
数据序号
15
如何用数据刻画一 组数据的波动大小？
2 乙
s s
2 甲
2 乙
所以，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐。
章前引言问题
农科院对甲乙两种甜玉米各用10块实验田进行试 验，得到两个品种每公顷产量的两组数据: 品种 甲 乙 各实验田每公顷产量（单位：吨） 7.65 7.64 7.55 7.52 7.50 7.50 7.56 7.58 7.62 7.40 7.53 7.46 7.59 7.41 7.44 7.53 7.65 7.41 7.49 7.49
20.2.1 数据的波动——极差(1)
2月 4月 6月 8月 10月 12月
乌鲁木齐 10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 15℃ 昆 明 15℃ 16℃ 18℃ 19℃ 17℃ 17℃
比较两个城市气温的高低，求平均气温是一种 常用的方法。请你求出这两个城市的平均气温。
17℃ 17℃ 这是不是说，两个城市气温情况没有差异呢？
2、小华五次跳远的成绩如下（单位：m）：
3.9，4.1，3.9，3.8，4.2
关于这组数据，下列说法错误的是（ D ）
A. 极差是0.4
B. 众数是3.9
C. 平均数是3.98 D. 中位数是3.98
3、已知一组数据1，2，0，-1，x，1的平均数是1，
则这组数据的极差为 4
能力提升
1、数据a，b，c，d的极差为r，则a+x， b+x，c+x，d+x的极差为（ A）
应用
2月 2月 2月 2月 2月 2月 2月 2月 21日 22日 23日 24日 25日 26日 27日 28日
2001年 12 13 14 22 6 8 9 12
2002年 13 13 12 9 11 16 12 10
问：2001年2月下旬上海的气温的极差是多少？ 22-6=16 （℃） 2002年同期的上海的气温的极差又是多少？16-9=7 （℃）
A. r B. x C. r+x D. r-x 2、若数据2，a，3，4的极差是3， 求a的值及这组数据的平均数。
解：①若a为最小值，则4-a=3 ∴a=1 ∴￣x=2.5
②若a为最大值，则a-2=3 ∴a=5 ∴￣x=3.5
课时（6）
情景引入（二）
在一次女子篮球比赛中，甲乙两队参赛选手的 年龄如下：（单位：岁）
极差、方差和标准差教案
20.2 极差、方差与标准差【教学目标】一、知识目标1．理解极差、方差与标准差的概念及应用．2．学会用极差、方差与标准差来处理数据．3．学会用计算器求标准差。
二、能力目标1．学生通过主动思考与探索，发现方差计算的合理性．2.培养学生的探索知识的能力．三、情感态度目标学生在经历独立思考、合作探索与发现的过程中，初步体验极差、方差与标准差来分析数据，然后作出决策；体验用现代算工具处理数据的作用。
【重点难点】重点：方差计算式的导出过程．难点：方差概念的引入．【教学设想】课型：新授课．教学思路：从复习旧知入手（平均数、中位数和众数的概念）-观察导图-研究用什么数据来表示数据高低起伏的变化大小-得出极差、方差和标准差的概念-导出方差的计算式—利用计算器或计算机求标准差。
【课时安排】4课时。
【教学设计】第一课时【本课目标】1．理解极差的概念及应用．2．明确极差是刻画数据离散程度的一个统计量．3．能够举出一些利用极差进行比较的例子．【教学过程】1.情境导入播放多媒体—教材中的导图“你喜欢住在哪个城市？”（或用投影幻灯片或由教学挂图展示）．观察导图，讨论用什么样的数来反映数据的高低起伏的变化大小比较合适2、课前热身刻画数据平均水平的统计量有哪些，它们有什么作用？举例说明。
3、合作探究（1）整体感知从观察导图、复习旧知入手，引导学生自主探索，理解极差的概念及其应用，明确极差是刻画数据离散程度的一个统计量。
（2）四边互动互动1：师：用平均数、中位数、众数代表数有什么不同？生：思考、交流。
明确：通过复习旧知，导入本节课的内容。
互动2：师：在导图中，为什么说北京“四季分明”而新加坡“四季温差不大”。
生：观察，思考，交流。
明确：通过讨论，学生初步感知：最大值与最小值的差可以用来表示数据高低起伏的变化大小。
出示投影：课本么135页表20.1.1 上海每日最高气温统计表（单位：℃）表20.2.1上海每日最高气温统计表（单位：℃）互动3：师：表20.2.1显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温．从表上看，2002年和2001年2月下旬的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．我们是否可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高呢？生：小组交流、发表意见．师：比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法．请你计算其平均数。
人教版数学八年级下册20.2方差教案设计
20.2方差教学设计［课型］新授课［课时］“方差”共需2课时完成，我计划第1课时：讲授方差的定义及方差的统计意义；第2课时：讲授用样本平均数和方差估计总体平均数和方差.本课为第1课时教学目标和教学重难点：教学目标:在学生已有的认知基础上，依据新课程标准，结合新课改的要求，我从以下三个方面制定了本节课的教学目标。
1、知识与能力目标：(1)理解方差的意义，掌握如何刻画一组数据波动的大小；(2)掌握方差的计算公式，并且会用方差计算公式比较两组数据的波动大小来解决实际问题。
2、过程与方法目标：经历探索方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法以及区别，积累统计经验。
3、情感与价值观目标：培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义；培养学生探求知识的勇气和认真、耐心、细致的学习态度与学习习惯。
教学重点、难点:重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题,掌握其求法。
难点:理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。
教学程序设计一、创设情境，导入新课1.回忆旧知:我们在前面的课程中，已经学习了描述一组数据集中趋势的统计特征量，问：它们分别是什么？（平均数、众数、中位数）2.情境设计：【由“射击问题”引入：当平均数相同时，如何判断一组数据的波动大小的问题】显示打靶场面，提出问题: 为了从甲、乙两名射击选手中选拔一人参加射击比赛,两位射击选手在相同条件下射击 10次，成绩如下：甲： 7、7、8、9、8、9、10、 9、 9、 9乙： 8、9、7、8、10、7、9、10、7、10应该选谁参加比赛？请你设计一种简单易行的选拔方案。
学生回答：“可分别计算甲、乙两名选手射击成绩的平均数，谁的平均水平高，就选谁。
”分小组计算甲、乙的射击平均成绩，得出结论:平均成绩相同。
（思维第一次受阻）教师提问：“两人的平均成绩相同，难以取舍。
我们再来看他们的成绩各有什么特点？”学生：小组讨论，利用极差来判断，极差相等，也不能断定哪个稳定性好。
八年级数学20.2.1极差方差课件人教版.ppt
乙队选手的年龄分布
30
29
28
27
26
25
24
23 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 1数0据11序号
比较两幅图可以看出：
甲队选手的年龄与其平均年龄的偏差较大
乙队选手的年龄与其平均年龄的偏差较小
能否用一个量来刻画它呢？
设有n个数据x1，x2，x3，…，xn， 各数据与它们的平均数的差的平方分别
是 (x1 X )2 , (x2 X )2 , … (xn X )，2 我们 用它们的平均数，即用
联系：
极差、方差都是用来衡量（或描述）一组数据 偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常 用来比较两组数据的波动情况。
在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡 量一组数据的波动大小。
为什么常用方差来衡量一组 数据的波动情况呢？有兴趣 的同学可以参考本节的“阅 读与思考数据波动的几种度 量”
20 数据的分析
3.极差、方差的区别与联系
极差是用一组数据中的最大值与最小值的差 来反映数据的变化范围，主要反映一组数据 中两个极端值之间的差异情况，对其他的数
区 据的波动不敏感。 别 方差是用“先平均，再求差，然后平方，最 ： 后再平均”的方法得到的结果，主要反映整
组数据的波动情况，是反映一组数据与其平 均值离散程度的一个重要指标，每个数据的 变化都将影响方差的结果，是一个对整组数 据波动情况更敏感的指标。
§20.2 .1 极差、方差（1）
八年级下册
复习
1.数据-3，-2，1，2，4，4的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
2.数据-4，-3，-1，4，4，6的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
20.2数据的波动--极差与方差
10
显然 ，由此可知甲队选手年龄的波动较大，这与我 们从图看到的结果 是一致的．
2 2 s甲 s乙
例1 在一次芭蕾舞的比赛中，甲乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧（天鹅湖） ，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是 甲团 163 164 164 165 165 165 166 167
乙团 163 164 164 165 166 167 167 168
我们可以用“先平均，再求差，然后平方， 最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离 平均值的情况。这个结果通常称为方差。
两组数据的方差分别是：
2 2 2 26 26.9 25 26.9 29 26.9
2 s甲
10
2.29 0.89
2 s乙
2 2 2 28 26.9 27 26.9 26 26.9
x
s
2 1
s
2
1
(2) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍时, 则有
x
2
=n
x
2
n2
1
,
s
x
2 2
=
n
2 2
2
s
(3) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n
倍加 m 时,则有
x
= n
,
1
s
=
n
2
s
2
1
哪个芭蕾舞团的女演员的身高更整齐？ 解: 甲乙两团演员的身高更分别是：
x甲
２ ２ ２ 163 166 164 166 168 166 s２＝ ＝2.75
163 164 2 165 3 166 167 165 8 163 164 2 165 166 167 ２ 168 x乙 166 8
人教版八年级数学下册课件：《20.2极差和方差》课件
_
x甲
S
2 甲
7888
1
[(7
5 8)2
9 8 (8 8)2
_
x乙
10
6 10 6
5
(8 8)2 (8 8)2 (9
8
8 8)2 ]
0.4
5
S
2 乙
1
[(10
8)2
(6
8)2
(10
8)2
(6
8)2
(8
8)2
]
3.2
极差能够反映数据的变化范围.极差是最简单的一种度量数据波 动情况的量,但它受极端值的影响较大.
你能举一些关于极差的例子吗?
在生活中，我们常常会和极差打交道．篮球队里个子最高的队 员比个子最矮的队员高多少？家庭中年纪最大的长辈比年纪最 小的孩子大多少？这些都是求极差的例子．
1.在数据统计中,能反映一组数据变化范围大小的指标是() D
方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
方差越小,说明数据的波动越小,越稳定.
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数
7
8
8
8
9
乙命中环数
10
6
10
6
8
现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一 位比较适宜？为什么？
解：甲，乙两名射击手的平均成绩分别是
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 7
8
8
8
9
东安区八中八年级数学下册 第二十章 数据的分析20.2 数据的波动程度第2课时 根据方差做决策导学案
20.2数据的波动程度第2课时根据方差做决策一、导学1.导入课题我们在考察一组数据的波动情况时，光看它的平均数和极差还远远不够，就必须对它的波动大小情况进行考察，这个问题在产品检验、技能竞赛中技能人员的挑选、优质品种的选择等方面具有广泛应用(板书课题).2.学习目标（1）进一步认识方差的作用.（2）学会运用方差分析数据进行优化选择和决策.3.学习重、难点重点：方差的计算.难点：运用方差大小与数据波动程度的关系，解决产品挑选等问题.4.自学指导（1）自学内容：P125例1至P127例2的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：思考例1中身高整齐与哪个统计量相关?例2中选择购哪家鸡腿合算可考虑哪些统计量？（4）自学参考提纲：①方差的计算步骤是什么？②例1中身高整齐说明要使身高的波动大小要小，即运用方差来衡量.③例2中选取哪家产品，可考虑样本的平均数，也可考虑样本的方差.由于平均数大致相等，所以适合通过方差来判断.④怎样用样本方差估计总体方差.⑤完成P127练习题.二、自学学生可结合自学指导进行自主学习.三、助学：1.师助生（1）明了学情：①关注学生是否知道“身高整齐”程度与什么相关；②选取产品应用哪些统计量来比较；③求方差的步骤是否掌握.（2）差异指导：对例2的选购标准、方法不会或不理解的学生进行指导.2.生助生：相互交流，帮助矫正错误.四、强化1.点学生口答P126练习第1题和第2题，并让学生进行评价，找出不足之处.2.产品优选的衡量标准及比较.3.强化方差公式和方差的作用.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、学习收获及存在的困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生课堂学习活动的积极性和不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).方差的特点是与生产及日常生活中的实际问题紧密联系的，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用.本节课创设了一个很好的问题情境和统计知识的背景，当学生融入到具体情境中后，就会思考如何对实际问题做出决策.在学生探索过程中，辅以小组讨论，始终以学生的学习过程为主体，在学生独立思考和全班交流的基础上，有针对性地进行引导，培养学生的自主意识和探索精神.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.(15分)已知一组数据为2，0，-1，3，-4，则这组数据的方差为6.2.(15分)甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7经过计算，两人命中环数的平均数相同，但s甲2＞s乙2，所以确定乙去参加比赛.3.(20分)从甲、乙两种农作物中各抽取10株苗，分别测得它的苗高如下：(单位：cm)甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11问：(1)哪种农作物的苗长得比较高？(2)哪种农作物的苗长得比较整齐？解：x甲=x乙=10，∴两种农作物的苗长得一样高.（2）s甲2=3.6，s乙2=4.2，∵s甲2<s乙2，∴甲种农作物的苗长得比较整齐.4.(20分)段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？解：段巍：x1=13,s12=0.4，金志强：x2=13，S22=4.x1=x2, s12<s22,∴段巍的成绩比较稳定.二、综合应用（10分）5.某水果店对一周内甲、乙两种水果每天销量(单位：千克)情况统计如下：(1)分别求出这一周内甲、乙两种水果每天销售量的平均数；(2)试说明甲、乙两种水果哪一种销售量比较稳定.解： (1)x甲=51，x乙=51;(2)s甲2≈64.6,s乙2=24.∵s甲2>s乙2，∴乙种水果销售量比较稳定.三、拓展延伸（20分）6.某中学开展“唱红歌”比赛活动，八年级(1)、(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分100分)如下图所示：⑴根据左图填写右表：(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，八(1)班复赛成绩较好；(3)结合两班复赛成绩的方差，八(1)班复赛成绩较好；(4)结合两班复赛成绩的众数，八(2)班复赛成绩较好.第2课时 分式的乘方一、教学目标：1、理解分式乘方的运算法则2、熟练地进行分式乘方的运算3．渗透类比转化的数学思想方法．二、重点、难点1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.三、教学过程1、课堂引入计算下列各题：（1）2)(b a =⋅b a b a =（ ） (2) 3)(b a =⋅b a ⋅b a b a =（ ） （3）4)(b a =⋅b a ⋅b a b a ba ⋅=（ ） [提问]由以上计算的结果你能推出n ba )(（n 为正整数）的结果吗？ 2、例题讲解例5.计算(1) 332)2(ab - (2)4234223)()()(c a b a c b a c ÷÷ [分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.3、随堂练习1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）23)2(a b =252a b （2）2)23(ab -=2249a b - （3）3)32(xy -=3398x y （4）2)3(b x x -=2229b x x - 2．计算 (1) 22)35(y x （2）332)23(c b a - （2）32223)2()3(x ay xy a -÷ （3）23322)()(z x zy x -÷- （4))()()(422xy x y y x -÷-⋅- (5)232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅- 4、小结谈谈你的收获5、布置作业6、板书设计四、教学反思：第二十章数据的分析知识点:数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差知识点详解：1．解统计学的几个基本概念总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。
极差、方差与标准差2
若1，x，2，3的平均数 是5，且1，x，2，y，3 的平均数是6， 求、x,y的值与样本1，x， 2，3的方差。
X=14,y=10, S2=27.5
已知样本99，100， 101，x，y (x>y)的 平均数为100，方差 为2，求x,y。
x-100=100-y x=102, y=98
本课总结: 1.通过这节课的学习, 你有哪些收获?
2.调查结果反思
甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
(1)他们的平均成绩分别是多少？ (2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是 多少？ (3)这两名运动员的运动成绩分别是多少？
某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校 际比赛.在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：cm ）如下：
气温的变化
2005年5月31日，A，B两地的气温变化
如下图所示：
30 气温/℃
25
20
15
10
5
0
1
30
气温3 /℃ 5
7
9 11 13 110
5
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 时刻
(1)这一天，A、B两地的平均气温分别 是多少？
(2)A地这一天气温的极差、方差分别是 多少？B地呢？
(3)A、B两地的气候各有什么不同？
利用计算器和计算 机求一组数据的方 差和标准差.
例1 计算下面数据的 方差(结果保留到小 数点后第1位)： 3 -1 2 1 -3 3
例2
某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人 参加一项校际比赛.在最近的10次选拔赛中， 他们的成绩（单位：cm）如下：
八年级数学《极差、方差和标准差》知识点教学文案
解： （ 1） 28－ 22＝6（天）
所以， 10 盆花的花期最多相差 6 天．
（ 2） 由 平 均 数 公 式 得 ：
x乙＝ 1 (27 24 24 27 23）＝25 5
1 x甲＝ (25
5
23 28
22 27）＝25
得 x甲＝x乙 ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．
（ 3）由方差公式得：
(102 100.3) 2 ]＝9.21
甲队的标准差：
5.61 2.37 ； 乙队的标准差：
9.21 3.03
所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发 挥更为稳定一些． 例 2、对 10 盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把 10 盆花分成两组，每组 5 盆，记录其 花期：
标准
差的单位与原数据的单位相同． 在解决实际问题时， 常用样本的方差来估计总体方差方法去
考察总体的波动情况．
二、例题讲析
例 1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行
10 次比赛得分如下：
甲队： 100， 97， 99， 96， 102， 103， 104，101， 101， 100
乙队： 97， 97，99， 95，102， 100， 104，104， 103， 102
2
S甲
1 [( 25 25) 2 (23 25) 2 (28 25) 2 ( 22 25) 2 (27 25)2 ]＝5.2
10
S乙 2 1 [( 27 25) 2 (24 25)2 (24 25) 2 5
得 S甲2 S乙2 故施用乙种花肥，效果比较可靠
(27 25)2
(23 25) 2 ]＝2.8
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20.2 极差 方差 标准差(2)-
乙
一 二 三 四 五 月 月 月 月 月
例题2、为了从甲乙两人中选拔一人参加初中物理 实验操作能力竞赛，每个月对他们的实验水平进行 一次测验，如图给出了两个人赛前的5次测验成绩。
（2）如果你是他们的辅导 老师，应该选派哪位学生 参加这次竞赛，请你结合 90 图形简要说明理由。
80 70 60 成绩 （分） 甲
( 4 ) 若 样 本1 x 2 , x 2 2 , x 3 2 ,, x n 2 的 平 均 数 为 1 00 ， 方 差 为 2， 则 对 于 样 本 x 1, x 2 , x 3 ,, x n下 列 结 论 正 确 的 是 （ ） A、 平 均 数 是 9 8， 方 差 是 2； B、 平 均 数 是 1 00 ， 方差是2； C 、 平 均 数 是 9 8， 方 差 是 0； D 、 平 均 数 是 1 00 ， 方差是0；
2.分别计算下列各组数据的平均数、极差、
方差： (1) 3, 4, 5, 6, 7； (2) 23, 24, 25, 26, 27； (3) 6, 8, 10, 12, 14. 观察上述各组数据之间的规律，以及各组数 据的平均值、方差之间的联系，用算式表示 你猜想出的结论．
(1)有5个数1，4，a,5,2的平均数是a，则这个 5个数的方差是_____，标准差是______. (2)绝对值小于 所有整数的方差是______, 标准差是__________. (3)一组数据：a, a, a, ---,a (有n个a)则它的方 差为___;
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方 法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组 数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变 化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感 的指标。 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据 的波动大小。 标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单 位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。
人教版八年级数学下册第二十章《20.2.2 极差,方差》公开课课件
— x乙16316421651661672168166 8
s甲 2 （ 16136 ） 2（ 5161846 ） 25 （ 16176 ） 25 1.36
s乙 2(1
6136)26 (1
6146)26 (1
8
6186)2 6
2.75
s s 由甲 2 乙 2可知，甲芭蕾员 舞的 团身 女高 演更 . 整
——与考试次数有关！ 所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性
设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ， 那么我们用它们的平均数，即用
S2=
1
n
[(x1－x)2＋
(x2－x)2
＋…＋
(xn－x)2 ]
定义
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/132021/10/132021/10/1310/13/2021 12:57:47 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/132021/10/132021/10/1310/13/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/132021/10/13October 13, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/132021/10/132021/10/132021/10/13
人教版数学八下《20.2数据的波动》(极差)word教案
通过与生活实际紧密联系的大量问题的解决，引发学生学习数学的兴趣，体会数学源于生活；通过与数据集中趋势比较学习，培养学生独立思考、勇于创新的科学精神，并形成实事求是的科学态度。
重点
极差概念的理解
难点
极差概念的引入
教学过程
备注
教学设计与师生互动
第一步：创设情景：
问题：为了比较甲、乙两种棉花品种的好坏，任意抽取每种棉花各10棵，统计它们结桃数的情况如下：
甲种棉花
84
79
81
84
85
82
83
86
87
89
乙种棉花
85
84
89
79
81
91
79
76
82
84
你认为两种棉花哪种结桃情况较好？
操作：让学生在各个的学习小组中讨论、解释、交流自己的发现.教师可以参与到某个或几个小组中倾听。在小组学习中讨论、交流发现另一个统计量极差（它有别于平均数、众数、中位数），极差反映了一组数据的离散程度。
思考：你能获取什么信息呢？
发现1.甲种棉花结桃的最多数目为89，最少数目为79，其差为10；乙种棉花结桃的最多数目为91，最少数目为76，其差为15。
发现2.乙种棉花的结桃数据较甲种棉花的结桃更分散，分散的程度较大，说明棉花的结桃情况越不稳定。
通过以上发现可知：甲种棉花的结桃情况较乙种棉花好
第二步：归纳总结：
第五步：课堂小结
本节课我们主要学习了
1、极差——反映一组数据变化范围的大小
2、极差=最大值-最小值
3、极差在分析一组数据的离散程度时，仍有不足的一面。
课后反思：本节课创设恰当的问题情景，激发了学生的兴趣与思考。引导学生把数据转化成图象，观察、比较、分析从另一个角度来刻画这组数据的变化范围。巧妙地引出极差概念，体会概念的形成过程，接着呈现多种形式的问题，通过思考、合作交流进一步理解极差概念。使学生学会收集、整理、分析数据，逐步地掌握统计思想。
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1、某日在不同时段测得乌鲁木齐和广州的气温情况如下:
0:00 乌鲁木齐 广州 10°c 20°c 4:00 14°c 22°c 8:00 20°c 23°c 12:00 24°c 25°c 16:00 19°c 23°c 20:00 16°c 21°c
24 20 14 19 16
解:甲、乙两团演员的平均身高分别是
163 164 2 165 3 166 167 165 x甲 8 — 163 164 2 165 166 167 2 168 x乙 166 8
—
164165 （ 167 165 （ 163 165 ） （ ） ） 1.36 s 8
建议：英语较稳定但要提高; 数学不够稳定有待努力 进步!
跟踪练习三 :
6 . 1.数据 x1、 2 x2 、 2 x3的平均数是___ x2 、 x3、的平均数是3，则2 x1、
（2）3 3 3 6 9 9 9；
小明的烦恼
在学校，小明本学期五次测验的数学成绩和英语 成绩分别如下（单位：分） 数学 英语 70 80 95 85 75 90 95 85 90 85
通过对小明的两科成绩进行分析，你有何看法？ 对小明的学习你有什么建议？
平均数:都是85 方差:①数学 110; ②英语 10
24
20 14
19 16
(1)乌鲁木齐的气温的最大值、最小值各是多少？温差是多少？ 广 州呢？ 气温 最大值 最小值 温差 乌鲁木齐
24℃ 10℃ 14℃
广州 20℃ 25℃ 5℃ （2）你认为两个地区的气温情况怎样？ 乌鲁木齐的气温变化幅度较大,广 州的气温变化幅度较小.
问题1:你会计算一组数据的变化范围吗？ 怎么算?
_
85
成绩（分）
90
x 乙 90(分)
_
⑴ 请分别计算两名同学的平均成绩；x甲
⑵ 请根据这两名同学的成绩在 下图中画出折线统计图； ⑶ 现要挑选一名同学参加竞 赛，若你是老师，你认为挑 选哪一位比较适宜？为什么？
100 95
90(分)
90 85 80
考 试 次 数
0
1
2
3
4
5
甲同学成绩与平均成绩的偏差的和：
2
.
样本平均数 数字10 表示 样本容量 ，数字20表示 .
在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团表演 了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员的身高 (单位:cm)分别是 甲团 163 164 164 165 165 165 166 167 乙团 163 164 164 165 166 167 167 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐?
S2=
2＋ (x －x)2 ＋…＋ (x －x)2 ] [(x － x) 1 2 n n
1
定义
方差:各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.
S2=
2＋ (x －x)2 ＋…＋ (x －x)2 ] [(x － x) 1 2 n n
1
计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，
平方后，再平均”.
方差用来衡量一批数据的波动大小.(即这批数据 偏离平均数的大小).
2 2 2 2 甲
s
2
乙
(164166) ( 163 166 )
2
2
(168166)
2
8
2.75
由 s甲 s乙 可知，甲芭蕾舞团女演 员的身高更整齐 .
2
2
4、计算下列各组数据的方差：
（1）6 6 6 6 6 6 6； （2）5 5 6 6 6 7 7； （3）3 3 4 6 8 9 9；
乙同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（95-90）2+（85-90）2+（95-90）2 +（85-90）2+（90-90）2 = 100
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
——与考试次数有关！
所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性 设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ， 那么我们用它们的平均数，即用
老师的烦恼
下星期三就要数学竞赛了，甲，乙两名同学只 能从中挑选一个参加。若你是老师，你认为挑 选哪一位比较适宜？ 甲、乙两个同学本学期五次测验的数学成绩分别 如下（单位：分） 甲 乙
_
85 95
90 85
90 95
_
90 85
95 90
x甲 90(分)
x 乙 90(分)
老师的烦恼
甲，乙两名同学的测试成绩统计如下： 85 90 90 90 95 甲 乙 95 85 95
都是求极差的例子．
1.在数据统计中,能反映一组数据变化范围大小的指标是 ( D ) A 平均数 B 众数 C 中位数 D 极差
5 2.数据 0 , -1 , 3 , 2 , 4 的极差是＿＿＿＿＿ . -5 ℃. 3. 某日最高气温是4 ℃, 温差是 9 ℃,则最低气温是＿＿＿ - 2 或 4. 4.数据 -1 , 3 , 0 , x 的极差是 5 ,则 x =＿＿＿＿＿
（85-90）+（90-90）+（90-90）+（90-90） +（95-90）= 0
乙同学成绩与平均成绩的偏差的和：
（95-90）+（85-90）+（95-90）+（85-90） +（90-90）= 0
甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（85-90）2+（90-90）2+（90-90）2 +（90-90）2+（95-90）2 = 50
方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
1、样本方差的作用是（
D
）
（A)表示总体的平均水平
（B）表示样本的平均水平
（C）准确表示总体的波动大小
（D）表示样本的波动大小
2、样本5、6、7、8、9的方差是 3、 在样本方差的计算公式
2 1 ( x 20) 2 ( x 20) 2 ... ( x 20) 2 s 10 n 2 1
极差: 一组数据中的最大数据与最小数据的差 极差＝ 最大值－最小值． 作用:极差能够反映数据的变化范围.
问题2:极差是最简单的一种度量数据变化情况的
量,但它受极端值的影响较大.为什么?
问题3:你能举一些生活中与极差有关的例子吗?
班级里个子最高的学生比个子最矮的学生高多少？ 家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少？这些