D11_6高斯公式
高斯定理公式
高斯定理公式
高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。
高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
扩展资料：
高斯定理指出：穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的位置分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
在真空的情况下，Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
当存在介质时，Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
高斯公式与散度
第六节
高斯公式与散度
一、高斯(Gauss)公式
二、高斯公式的简单应用
三、物理意义 —— 通量与散度
场论三大公式：
(一) 格林公式
(二)高斯公式
------------------高斯公式
如果不是xy型的空间区域，则可构造几张辅助面， 将分成有限个xy型的空间区域，辅助面上正反两 侧的曲面积分互相抵消，一样可以证得该公式.
由两类曲面积分之间的关系
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
称为向量场 F ( x , y, z )向正侧穿过曲面Σ 的通量 （或
流量）.
2. 散度（或通量密度）的定义: 设向量场 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
P Q R 称数量 x y z ( x , y , z ) 为F在点( x , y, z )处的散度(divergence), 记为divF ,
[ P( x, y, z)cos Q( x, y, z)cos R( x, y, z)cos ]dS
由两类曲面积分之间的关系知
P Q R ( )dV x y z ( P cos Q cos R cos )dS .
2 2
32 （答案： ） 3
三、物理意义 —— 通量与散度
1、通量(或流量)的定义:
高斯公式的内容及其证明
一、高斯公式 二、通量与散度
高斯公式的物理意义、散度 散度的计算、通量、高斯公式的另一形式
一、高斯公式
定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有
W
P x
，
W
Q y
dv
S
Q(
x,
y,
z
)dzdx
，
把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．
例 1 利用高斯公式计算曲面积分 (x y)dxdy ( y z)dydz ， S
其中S为柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所围成的空间闭区域W的整
个边界曲面的外侧．
z
解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，
P yz， Q 0，R 0．
3
x
x
x
由高斯公式，有
(x y)dxdy ( y z)dydz
S
(y z)dxdydz W
O 1y 1 x
(r sin z)rdrddz
2
d
1
rdr
3
(r
sin
z)dz
9
．
W
0
0
0
2
例 2 计算曲面积分 (x2 cos y2 cos z2 cos)dS，其中S为 S
锥面 x2y2z2 介于平面 z0 及 zh (h>0)之间的部分的下侧，cos 、
S1
x2 y2 h2
因此
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 1 h4 h 4 1 h4 ．
S
2
2
二、通量与散度
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
高斯公式_精品文档
高斯公式1. 简介高斯公式，又称为高斯-勒让德公式（Gauss-Legendre Formula），是数学上用于计算曲线围成的面积或曲面闭合的体积的公式。
该公式最早由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出，之后法国数学家阿道夫·勒让德对其进行了推广和应用。
高斯公式在数学、物理学等领域都有着广泛的应用。
它不仅适用于计算平面图形的面积，还可以用于计算球体、圆锥体、圆柱体、球面等的体积。
2. 高斯公式的数学表达高斯公式的数学表达可以表示为：∮ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∬(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy其中，P(x, y)和Q(x, y)是二元函数，表示平面上的向量场。
左侧的积分表示沿着曲线的环绕积分，右侧的积分表示沿着曲线围成的区域的面积。
3. 高斯公式的应用举例3.1 计算平面图形的面积高斯公式可以用于计算平面图形的面积。
假设有一个简单闭合曲线C，可以将其分解为若干小曲线段，然后利用高斯公式求得每个小曲线段上的向量场P和Q，并对整个曲线C进行积分。
根据高斯公式的等式关系，左侧的积分将等于右侧的面积积分，从而得到该平面图形的面积。
3.2 计算球体的体积高斯公式还可以用于计算球体的体积。
以球心为原点建立球坐标系，设球面的方程为r = f(θ, φ)，其中r为球面上一点到球心的距离，θ和φ为球坐标系下的两个参数。
然后利用高斯公式对球面的方程进行积分，即可得到球体的体积。
3.3 计算圆锥体的体积高斯公式也可以用于计算圆锥体的体积。
以圆锥体的顶点为原点建立柱坐标系，设圆锥面的方程为z = f(θ, r)，其中z为圆锥面上一点到圆锥顶点的距离，θ和r为柱坐标系下的两个参数。
然后利用高斯公式对圆锥面的方程进行积分，即可得到圆锥体的体积。
4. 总结高斯公式是数学上用于计算曲线围成的面积或曲面闭合的体积的重要公式。
它有着广泛的应用领域，可以用于计算平面图形的面积、球体的体积、圆锥体的体积等。
高斯公式 通量及散度
o 1 x
y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 ∑ 为锥面 x2 + y2 = z2 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧.
∑1 h h
∑
o y 解: 作辅助面 2 2 2 x ∑1: z = h, (x, y) ∈Dxy : x + y ≤ h , 取上侧
记∑,∑1所围区域为, 则
n n
当Φ = 0 时, 说明流入与流出∑ 的流体质量相等 .
③
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为了揭示场内任意点M 处的特性, 设∑ 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记∑ 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 Φ lim →M V
r2 3x2 r 2 3y2 r 2 3z2 = q + + 5 5 5 r r r ( r ≠ 0) =0
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
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内容小结
1. 高斯公式及其应用 公式:
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y P Q R )d xd y d z = ∫∫∫ ( + + x y z
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2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 设P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在空间二 维 定理 间二 单连通域G内具有连续一阶偏导数, ∑为G内任一闭曲面, 则
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = 0
高斯公式及其应用
例1 求曲面积分
2 2
( y z) xdydz ( x y)dxdy 其中 S 是圆柱面
S
x y 1 与平面z=0，z=3所围成的闭区域 W 整个边界曲面
的外侧。 z
解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，
P Q R yz， 0， 0． x x x
3
由高斯公式，有
( y z) xdydz ( x y)dxdy
S
( y z )dxdydz ydv zdv x
W
W W
1
3
O
1
y
9 ． 2
(r sin z )rdrd dz d rdr (r sin z )dz
2 2 S: z x y
O
x x2y2 h 2
y
由高斯公式得
S S1
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 2 ( x y z )dv
W
2
x2 y 2 h2
dxdy
2
h x2 y2
( x y z )dz 2
x 2 y 2 h2
(3)
S为上半球面 z
I
R2 x2 y 2 的上侧．
解 (1)
1 R3
3 R3
xdydz ydzdx zdxdy
S
W
2 2 2 2 dv 4 , W : x y z R .
2 2 2 1 x y z 解法二 I dS 4 ; 三合一！ 3 R S R
S
1 1 3 3 R SS1 R S1
S1
3 3 R
高斯定理的公式
高斯定理的公式高斯定理，又称为高斯散度定理，是微积分中的重要定理之一。
它是由德国数学家高斯于19世纪提出的，用于描述向量场通过封闭曲面的流量与该曲面内部的源和汇的关系。
在物理学和工程学中，高斯定理被广泛应用于电磁学、流体力学、热力学等领域。
高斯定理的公式可以表达为：∮S F·dA = ∭V ∇·F dV，其中S为封闭曲面，F为向量场，dA为面元矢量，∮表示曲面积分，V为曲面所围成的空间，∇·F表示F的散度。
根据高斯定理，当向量场F通过封闭曲面S时，曲面上的流量等于空间内源的总量。
这意味着，如果向量场F在某一点的散度为正，则该点是流出的源，如果散度为负，则该点是流入的汇。
举个例子来说明高斯定理的应用。
假设有一个电荷位于空间中的某一点，那么该电荷产生的电场可以用向量场F来表示。
如果我们将一个球面围绕该电荷，根据高斯定理，球面上的电场流量等于球内电荷的总量。
这意味着，通过球面的电场线越多，球内的电荷量就越大。
在流体力学中，高斯定理的应用也非常重要。
假设有一个液体通过一个封闭表面的流动，我们可以用向量场F表示液体的流速。
根据高斯定理，表面上的流量等于液体在表面内部的源和汇的总量。
这可以帮助我们分析液体流动的特性，比如流速的分布、流动的稳定性等。
除了电磁学和流体力学，高斯定理还在其他领域有着广泛的应用。
在热力学中，高斯定理可以用来描述热流通过封闭表面的传递；在数学中，高斯定理可以用来计算曲面的面积和体积等。
总结一下，高斯定理是微积分中的一项重要定理，可以用于描述向量场通过封闭曲面的流量与该曲面内部的源和汇的关系。
它在电磁学、流体力学、热力学等领域有着广泛的应用。
通过高斯定理，我们可以更好地理解和分析各种物理现象，从而推动科学技术的发展。
经典高等数学课件D11-6高斯公式
P , Q, R在 所围区域内偏导，不连续(因在原点不连续)
添加曲面1：x 2 y2 z 2 a 2取外侧
13
添加曲面1：x y z a 取外侧
2 2 2 2
则I （
1
)
1
xd yd z yd zd x zd xd y ( x2 y2 z2 )
3 2
，
1 0 3 a
1 3 a
x d y d z y d z d x z d x d y，
1
3d v
3
是1所围区域
z o x x
z
n
yy
1 4 a 3 3 4 a 3
o
1
14
1.分面投影法 I Pdydz Qdzdx Rdxdy的计算方法 2.合一投影法 3.高斯公式法
I ( x 3 z x )d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y.
解: 补充曲面 1 : z 1, 下侧
z
2
1
( x , y ) D x y : x 2 y 2 1，则
I
1 1
1
用柱坐标
则 xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy
.
2006研
2.计算 2 x 3dydz 2 y 3dzdx 3( z 2 1)dxdy，
其中是z 1 x y（z 0）的上侧.
2 2
2004研
11
z 2 x 2 y 2 , 1 z 2 取上侧, 求 练习：设 为曲面
高斯问题的公式
高斯问题的公式
高斯问题的公式指的是高斯曲率的计算公式，它是描述曲面弯曲程度的指标之一。
该公式由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪早期提出，用于描述曲面的内部和外部的弯曲情况。
高斯曲率是一个非常重要的概念，它是计算曲面弯曲程度的基本量。
高斯曲率可以用一个公式来计算，公式中包含了曲面的曲率半径和切向量等参数。
高斯曲率的计算公式如下：
K = (LN - M) / (EG - F)
其中，K表示高斯曲率，L、M、N分别表示曲面上的一组正交曲率线对应的曲率值，E、F、G分别表示曲面上的一组正交切向量的内积。
这个公式的本质是一个特殊的张量公式，描述了曲面切向量的变化率和曲率线的曲率值之间的关系。
高斯问题的公式是数学和物理学领域中非常重要的公式之一，广泛应用于曲面的研究和计算中。
在工程和科学领域中，高斯曲率的计算常常用于描述材料的弯曲性能，对于材料的优化和设计具有重要的意义。
- 1 -。
11-6高斯公式
用极坐标
2
1
1 y
o
Dxy
= ∫∫∫ d x d ydz − ( −1) ∫∫ (− x ) d x d y
Ω
x
1 3 r dr 0
=∫
2π 0
dθ ∫ 0 r d r ∫
1
2− r 2 1
dz−∫
2π 0
cos θ d θ ∫
2
13π = 12
12
课堂练习：
lijuan
1、计算∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy ,
Σ
(Gauss 公式)
下面先证: ∂R ∫∫∫Ω ∂ z d x d y d z = ∫∫Σ R d x d y
2
证明: 设 Ω : z1 ( x, y ) ≤ z ( x, y ) ≤ z 2 ( x, y ) , ( x, y ) ∈ Dx y
lijuan 为XY型区域 , ∑ = ∑1 ∪ ∑ 2 ∪ ∑ 3 , ∑1 : z = z1 ( x, y ) , ∑ 2 : z = z 2 ( x, y ), 则 z ∑2 ∂R z2 ( x, y ) ∂ R xd y ∫ dz ∫∫∫Ω ∂ z d x d y d z = ∫∫Dxd ∑3 z1 ( x , y ) ∂ z y Ω
Ω
Dxy
∫
2 − x2 − y 2
0
dz
Dxy : x 2 + y 2 ≤ 2
lijuan
∫ dθ ∫ rdr ∫ 又 ∵ ∫∫ ( y − x )dydz + ( z
0 0 0
2 ∑1
= −3
2π
2
2− r2
dz = −6π
2
高斯6度带计算公式
高斯6度带计算公式高斯6度带是指地球表面上横跨6度经度的区域，在地图制图中经常用到。
计算高斯6度带的方法是基于高斯投影法的，需要利用椭球体参数、中央子午线经度和目标点经纬度等多个参数进行计算。
具体来说，计算高斯6度带的公式为：1. 计算目标点所在的带号带号 = int((L+180)/6)+1其中，L为目标点所在经度，int为向下取整函数。
2. 计算目标点距离中央子午线的经度差deltaL = L - (带号-1)*6 - 33. 计算椭球体参数首先需要确定使用的椭球体参数。
常用的有WGS84和北京54两种参数。
根据不同的参数，可以得到对应的长半轴a和第一偏心率e1。
4. 计算子午线弧长m利用椭球体参数和目标点所在纬度，可以计算出子午线弧长m，即：m = a(1-e1^2)/(1-e1^2*sin^2B)^(1/2)其中，B为目标点的纬度。
5. 计算底点纬度B0底点纬度B0是指目标点所在带的纬度值，计算公式为：B0 = 0 (当带号为1时)B0 = 2 (当带号为2时)B0 = 4 (当带号为3时)...B0 = (带号-1)*6-3 (当带号大于等于4时)6. 计算底点子午线弧长m0和底点到目标点的纬度差deltaB利用底点纬度B0和椭球体参数，可以计算出底点子午线弧长m0和底点到目标点的纬度差deltaB，即：m0 = a(1-e1^2)/(1-e1^2*sin^2B0)^(1/2)deltaB = (B-B0)*3600其中，3600是角度和弧度之间的换算系数。
7. 计算高斯投影坐标X和Y最终的高斯投影坐标X和Y可以通过以下公式计算得到：X = k*m*(deltaL*3600)^2/2 +k*m*(1-tan^2B)*(deltaL*3600)^4/24*(5-tan^2B+9e'^2cos^2B+4e' ^4cos^4B)Y = k*m*deltaL*3600 +k*m*tanB*(deltaL*3600)^3/6*(1+2tan^2B+e'^2cos^2B) 其中，k为比例尺因子，e'为第二偏心率，由e'^2 =(a^2-b^2)/b^2计算得到，b为短半轴。
高斯定理的三个公式
高斯定理的三个公式高斯定理在物理学中可是个相当重要的概念，它有三个关键公式，咱们一起来瞅瞅。
咱先来说说高斯定理的第一个公式。
这就好比你有一个充满电荷的球体，你想知道这个球体产生的电场强度在球体外的分布情况。
这个时候，高斯定理就派上用场啦！它能帮咱们快速算出电场的分布。
想象一下，你站在一个大大的操场上，操场上有一个透明的大球，里面装满了电荷。
你从远处观察这个球，虽然看不到里面的电荷具体是怎么分布的，但通过高斯定理，就能算出这个球在周围空间产生的电场强度。
接下来是第二个公式。
这就像是在一个封闭的房间里，电荷在房间里到处跑，但不管它们怎么跑，通过高斯定理咱们都能清楚地知道整体的情况。
比如说，你在一个房间里，灯光有点昏暗，电荷就像那些忽明忽暗的光影，而高斯定理就是能让你看清整体状况的神奇工具。
最后是第三个公式。
这个公式就更有趣啦！它就像一个超级侦探，能帮我们解决很多复杂的电场问题。
比如说，有一个形状不规则的带电体，用常规方法很难计算它产生的电场，但是用高斯定理的第三个公式，就能巧妙地找到答案。
记得我之前给学生们讲高斯定理的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这高斯定理到底有啥用啊？”我笑着回答他：“这就好比你要在一堆乱麻中找到线头，高斯定理就是那根能让你快速理清头绪的神奇线头！”然后我给他举了个例子，假如我们要计算一个无限大带电平面产生的电场，按照常规思路，那得费好大的劲。
但是用高斯定理，咱们只需要做一个合适的高斯面，就能轻松得出结果。
那个小家伙听完，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了其中的奥妙。
其实啊，高斯定理的这三个公式就像是三把神奇的钥匙，能打开很多电学难题的大门。
只要我们认真理解、多多练习，就能熟练运用它们解决各种各样的问题。
不管是在学习中还是在实际的科学研究中，高斯定理都是我们的得力助手。
所以，同学们，可别小看了这三个公式，好好掌握它们，能让我们在电学的世界里畅游无阻！。
11-6 高斯公式
分析 非闭曲面,
补 1 : z 0, 取上侧
n
z
1 o
x
y
2 z 2 xy dydz e sin xdzdx x zdxdy 例6 计算 2 2 x y
: x y 4,0 z 2 部分的外侧.
2 2
分析 原式
在 上 x y 4,
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系.
使用Guass公式时应注意: 1. P , Q , R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ 是取闭曲面的外侧.
2 2 例1 求流速场 v y x z i x j y xz k
A ndS 称为向量场 A通过曲面 指定侧的通量 ,
P Q R 而 叫做 A 的散度,记作 divv x y z P Q R 即 divA x y z
例1 求向量场 A yzi xzj xyk
(1)通过曲面 x y a (0 z h) 外侧的流量;
2 2 2
(2) A 的散度.
P Q R )dv 或 ( y z x
( P cos Q cos R cos )dS
cos , cos , cos 这里 是 的整个边界曲面的外侧， 是 上点( x , y , z )处的法向量的方向余弦.
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ( x y z )dv ( P cos Q cos R cos )dS
D11_6高斯公式
dv
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例1. 用Gauss 公式计算
其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 闭域 的整个边界曲面的外侧. z 3 解1: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y
P Q R y z, 0 0 x y z
利用高斯公式化为三重积分得
2π 0
d 0
1
Dxy
rdr
π 4
2π 0
cos 2 d
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思考与练习
所围立体, (1)
为
判断下列演算是否正确?
r 3 d y d z r 3 d z d x r 3 d x d y
x3
y3Biblioteka z3 2 2 2 2 1 3 d v 3 ( x y z ) d v R 4 πR R
1 R3
3
x 3 d y d z y 3 d z d x z 3dx d y
R2
(2)
r 3 dy d z r 3 d z d x r 3 d x d y
x3
y3
z3
原点是奇点
x3 y3 z3 3 3 3 x r y r z r
y
yd x d y d z d xd ydz
3 y 0 , z 利用质心公式, 注意 2
z 3
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
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O 1 x
y
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高斯数列的公式
高斯数列的公式
高斯数列是一种特殊的等差数列，其公式为：a(n) = a(1) + (n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示第一项，d表示公差。
高斯数列是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯首先发现并研究的，因此得名。
这种数列在数学中有广泛的应用，尤其是在计算机编程中常常被用到。
高斯数列的公式可以用来求出数列中任意一项的值，也可以用来推导数列中的规律和性质。
例如，如果已知高斯数列的前n项和为
S(n)，则可以通过公式S(n) = n(a(1)+a(n))/2来求出。
高斯数列的公式还可以用来解决一些实际问题，例如在物理学中，可以用高斯数列的公式来计算某个物体在匀加速运动下的位移，速度和加速度等问题。
总之，高斯数列的公式是一个非常重要的数学工具，它不仅有理论上的价值，还有实际应用的意义。
- 1 -。
高等数学课件--D11_6高斯公式
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
同济版高等数学课件
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例4. 设函数
2 2 2
在闭区域 上具有一阶和
Pu
v
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
x v v v v u 2 2 2 d x d y d z Qu y z x y v v v v u cos cos cos d S Ru x y z z u v u v u v d x d y d z x x y y z z
v y
, Ru
v z
, 由高斯公式得
2v 2v 2v 2 2 2 x y z
v x
v y
v z
v v P Q v R cos d x y S u 注意: 高斯公式 cos cos d ddz y x y zz x P d y d z Q d z d x R d x d y
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 曲面, 其单位法向量 n, 则称 A n d S 为向量场 A 通过
有向曲面 的通量(流量) .
在场中点 M(x, y, z) 处
P x Q y R 记作 z
div A
称为向量场 A 在点 M 的散度. 显然 div A A
高斯积分公式表
高斯积分公式表
高斯积分公式是数学中一种重要的积分方法，由德国数学家高斯
在18世纪提出。
高斯积分公式表展示了对于一些特定函数的积分结果。
下面我们将通过中文来了解高斯积分公式表。
高斯积分公式表包含的是对于一些特殊函数的积分公式。
其中最
常见的是高斯函数。
高斯函数的表达式为：
$$
f(x)=e^{-x^2}
$$
利用高斯积分公式，我们可以得到高斯函数的积分结果。
高斯积
分公式的表达式为：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}
$$
这个公式得到证明的过程相当复杂，需要运用很多高等数学知识。
不过这个公式的应用非常广泛，尤其是在概率统计学和物理学领域。
高斯积分公式表还包括对于其他函数的积分公式。
比如说，我们
可以得到以下的积分公式：
$$
\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} \, dt = \Gamma(\alpha) $$
其中$\alpha$为正实数，$\Gamma(\alpha)$为伽马函数。
通过高斯积分公式表，我们可以计算出一些复杂函数的积分结果。
这不仅有助于我们理解这些函数的性质，也有助于我们在实际应用中
进行计算，提高工作效率。
总之，高斯积分公式表是一种非常有用的工具，在数学理论和实
际应用中都具有重要意义。
虽然需要一些高等数学知识才能理解和应
用，但是它有助于我们更好地理解和掌握数学知识，提高数学应用水平。
高斯 公式
高斯公式
高斯公式，也称为高斯定理，是数学物理中一个重要的定理，它描述了在三维空间中一个封闭曲面的电场通量与该曲面所包围的电荷量的关系。
这个公式的形式非常简洁，但背后蕴含的物理概念和数学原理却非常深刻。
我们来看一下高斯公式的表达方式。
高斯公式可以写成如下形式：
∫∫∫V (∇·E)dV = ∮S (E·n)dS
其中，∇·E表示电场E的散度，V表示一个封闭曲面S所包围的空间，∮S表示曲面S的闭合曲线，E·n表示电场E与曲面法向量n 的点积。
这个公式的意义是：一个封闭曲面内部的电场通量等于该曲面所包围的电荷量的比例。
高斯公式的应用非常广泛。
在电磁学中，它可以用来计算电场的分布，从而推导出库仑定律和电场强度的计算公式。
在静电场问题中，高斯公式可以大大简化计算过程，使得问题求解更加方便快捷。
在电场分布对称的情况下，高斯公式更是发挥了巨大的作用。
除了在电磁学中的应用，高斯公式还被广泛应用于流体力学、热力学等领域。
在流体力学中，高斯公式可以用来计算流体的体积流量和质量流量，从而分析流体的运动规律。
在热力学中，高斯公式可以用来计算热流的传递和热传导的问题，从而分析热力学的过程和现象。
总的来说，高斯公式是数学物理中的一个基本定理，它描述了封闭曲面内部的电场通量与该曲面所包围的电荷量的关系。
它的应用非常广泛，不仅在电磁学中发挥着重要作用，还在流体力学、热力学等领域有着广泛的应用。
通过对高斯公式的理解和应用，我们可以更好地理解和解决各种物理问题，推动科学的进步和发展。
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v n d S
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若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于 流出的, 表明 内有泉;
当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 根据高斯公式, 流量也可表为
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为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为 , 在式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有
下面先证:
证明: 设
称为XY -型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z2 ( x, y), 则 z 2 R z ( x, y ) R d x d y d z d x d y 2 z z1 ( x, y ) z d z 3 Dx y
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 曲面, 其单位法向量 n, 则称 A n d S 为向量场 A 通过
有向曲面 的通量(流量) .
在场中点 M(x, y, z) 处
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度. 显然 div A A
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说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 div A 0 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v (v x , v y , v z ) (其中v x , v y , v z 为常数 ),
DxyFra bibliotek2π 0
d 0
1
rdr
π 4
2π 0
cos 2 d
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结束
在闭区域 上具有一阶和 v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 Pu 2 2 2 x v v v v u x 2 y 2 z 2 d x d y d z Qu y v v v v u cos cos cos d S Ru x y z z u v u v u v d x d y d z x x y y z z 其中 是整个 边界面的外侧. P Q R d x d ydz 注意: 高斯公式 x y z 例4. 设函数
Dx y
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
2 1
3
O
x
Dx y
1 y
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
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因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域
U ( M 0 ) G, 使在U ( M 0 ) 上,
P Q R 0 x y z
设U ( M 0 ) 的边界为 取外侧, 则由 高斯公式 得
P d y d z Q d z d x R d x d y
2 2 2
1 h
y
O x
1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为 , 则
I (
1
1
在 1 上 π , 0 2
h2 d x d y
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)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1. P , Q , R 是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件;
3.Σ 是取闭曲面的外侧.
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结束
例2. 利用Gauss 公式计算积分 曲面不是封闭曲面！ z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于z = 0及 z = h
之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角. 解: 作辅助面
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 用Gauss 公式计算
其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 闭域 的整个边界曲面的外侧. z 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 3 利用Gauss 公式, 得 简化曲面积分 原式 =
P d y d z Q d z d x R d x d y
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结束
v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证:令 P u x y z 2v 2v 2v 2 2 x2 y z v v v x y z
v Q v v P R d x y S u cos 注意: 高斯公式 cos cos d ddz y x x y zz P d y d z Q d z d x R d x d y 移项即得所证公式.
M
lim
V
P Q R M x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
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定义: 设有向量场
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
2
0
h
4
1 πh 2
O x
思考: 计算曲面积分
( z 2 x) d y d z z d x d y,
介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. （上节例4） 提示: 作取上侧的辅助面 1: z 2,
z
2 y
( x, y ) D x y : x 2 y 2 4
Dx y Dx y
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
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2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 设 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
Dx y
2
( x y z ) d x d y d z
I 2 ( x y z ) d xdydz
Dx y
h d xd y
z
1 h
2
利用质心公式, 注意 x y 0
2 z d x d ydz π h
先二后一
4
4
y
2 z π z d z π h
U (M 0
)
P Q R d x d y d z x y z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
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*三、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
①
的充要条件是: P Q R ② 0 , ( x, y , z ) G x y z 证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法. 已知①成立, 假设存在 M 0 G, 使 P Q R M 0 0 x y z
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
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*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , • 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 形象说，就是没有“洞”的区域 • 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 以该曲线为边界的曲面 例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但 不是二维单连通区 域.
上有连续的一阶偏导数 , 则有