(答案)第11章章测题2(曲线积分与曲面积分的应用部分)

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高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题

高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题第11章曲线积分与曲面积分一(曲线积分1.对弧长的曲线积分 (第一类), f(x,y)ds,f[,(t),,(t)],'(t)，,'(t)dt(,,,),,L,典型例题,x,acost (1)圆周0,t,1 {y,asint2,222n222n222n，1 (，)ds,(cost，asint)(acos't)，(asin't)dt,2,ayax,,L0(x，y)ds(2)线段:把线段表示出来 L是(1，0)到(0,1)的直线段 ,L1(x，1,x)x，1dx,2,0 原式= 直线为:y=1-x22x，yeds (3)圆弧的整个边界(分段) ,La,a222,，xyxa22a42e1dx，e(acos't)，(asin't)dt，e1，1dx,e(2，a),2 ,,,0004(4)参数方程 (公式)2xyzds(5)利用折线围成的封闭图形 (坐标分段) A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,3,2) ,,3322,0,0,1y20，1，0dy,y,9AB: BC: CD: ,,,,ABBC0CD0？,，，,9 ,,,,,ABBCCD2.对坐标的曲线积分 (第二类),P(x,y)dx，Q(x,y)dy,{P[,(t),,(t)],'(t)，Q[,(t),,(t)],'(t)dt ,,L,典型例题x,acost222xydx0,t,1(1)圆周圆周及x轴在一(x,a)，y,a(a,0){,Ly,asint xaacost,，x,x:(0,t,1),:象限逆时针 {{LL12yasint0,y,2a,3a(1cost)asint(aacost)'dt0dxa,，,，，，,, ,,,,120LLL21222(2)直线: 写出函数关系从(0,0)到(2,4) x-ydx，L:y,x,L25624 原式=x-xdx- (),,015,(3)圆弧 L: x=rcost,y=rsint上对应t从0到的一段弧 ydx，xdy，,L2(4)参数方程 (公式)(5)利用折线围成的封闭图形dx-dy，ydz ，A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) ABCA封闭图形 ,,=01131[1(1)][(1)'(1)']121 ，，,,,zdx，,,z，,zzdz，dx,,，，,,,,,,,ABBCCA10022二(格林公式,Q,P(-)dxdy,Pdx，Qdy1. ,,,L,x,yD1A,xdy-ydx2.面积 ,L2,,PQ3.曲线积分;pdx，dy,, 与路径无关Q,L,y,xP(x，y)dx，Q(x，y)dy同上Pdx，Qdy与路径无关,存在u(x，y)使du,Pdx，Qdy4. ,Lxy u(x,y),p(x,y)dx，Q(x,y)dy0,,xy00典型例题22xyxyyedxxedyL(,)，(3，):，,1的正向(1) 22,Lab,p,Q,1,3？,2dxdy,2,ab，解: ,,,L,y,xD(2)验证整个xoy面内存在u(x，y)使2232ydu= (3xy，8xy)dx，(x，8xy，12ye)dy并求u(x，y),p,Q2,,3x，16xy，？存在解: ,y,xxy32y322yU(x，y),0dx，(x，8xy，12ye)dy，c,xy，4xy，12(y,1)e，c ,,002三(曲面积分1.对面积的曲面积分 (第一类)22 f(x，y,z)ds,f[x,y,z(x,y)]1，z，zdxdyxy,,,,Dxy典型例题221，4zds,其中,是z,x，y上z,1的曲面部分(1)球面。

第11章曲线积分与曲面积分习题解答(开放课程)

d
L
02
2
1 a2

cos
d

2
cos
d

2 0 2

2

1 2
a
2

2
sin
2
0
2sin 2
2

2a 2
3．计算 x2 y 2 ds ，其中 L 为曲线 x acos t t sin t ，y asin t t cos t， L
解：
xydx
1
y2 y
y2
dy

2
1 y 4dy 21 y 5 1
4.
L
1
1
5 1 5
8. 计算 x3dx 3zy 2dy x 2 ydz ，其中 L 是从点 A3,2,1 到点 B0,0,0的直线 L
段 AB 。
解：直线段 AB 的方程为 x y z ，化成参数方程为 x 3t ， y 2t ， z t ， 321

1x 0

1

x
2dx
2。
2．计算 x 2 y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 y 2 ax 。 L
解：
L
的参数方程为
x

y

1 2 1 2
a cos a sin

1 2
a
， 0

2

则 x 2 y 2 1 a cos 1 a2 1 a sin 1 | a | 21 cos
0
ex
|0a
e

高等数学习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).

22R y x =+解:⎰
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
D dy y
R dz z
R R dydz y
R y z
R I yz
2
2
2
2
2
2
22
2
1. 1212
=2R
H
R y R z R R
H arctan 2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++ds zx yz xy ( ,其中∑是锥面22y x z +=
=dydz z y x P , , (
(⎰⎰∑1
, , 2dydz z y x P C. (⎰⎰∑-1
, , 2dydz z y x P D.ABC都不对
2.设(0:2222≥=
++∑z a z y x取上侧,则下述积分不等于零的是( A ⎰⎰∑
dydz x 2∑
xdydz C ⎰⎰∑
ydxdy D ⎰⎰∑
0, πA的积分(
(dy y x dx y L
+++⎰213的值最小
解:(([]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=⎰ππ
((
(0811, 014' ' 2
' >=⇒=⇒=-=I a a a I。, 1=a (a I最小,此时x y sin =
第十一章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x f ,关于y是偶函数时,

高数下十一章重点总结+例题

高数下十一章重点总结+例题第十一章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法。

3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

5.知道散度与旋度的概念，并会计算。

6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3.两类曲面积分的计算方法；4.高斯公式、斯托克斯公式；5.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

【教学难点】1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系；9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用；11.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

【教学课时分配】(14学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6第7次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段, ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n (?s i 也表示弧长); 任取(ξi , ηi )∈?s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )?s i ; 整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ?≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }→0, 则整个物质曲线的质量为 i i i ni s M ?==→∑),(lim 10ηξμλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.，将L 任意分成n 个弧段: ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n , 并用?s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段?s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i ni s f ?=∑),(1ηξ; 令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L ),(?, 即i i i ni L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性: 当f (x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds y x f L ),(?是存在的. 以后我们总假定f (x , y )在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L ),(?μ的值, 其中μ(x , y )为线密度.对弧长的曲线积分的推广:i i i i ni s f ds z y x f ?==→Γ∑?),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2, 则规定ds y x f ds y x f ds y x f L L LL ),(),(),(2121+=+.闭曲线积分: 如果L 是闭曲线, 那么函数f (x , y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作ds y x f L ),(?.对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121+=+;性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L LL ),(),(),(21+=;性质3设在L 上f (x , y )≤g (x , y ), 则??≤L L ds y x g ds y x f ),(),(. 特别地, 有≤L L ds y x f ds y x f |),(||),(|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x , y ), 则曲线形构件L 的质量为L ds y x f ),(.另一方面, 若曲线L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β),则质量元素为dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψ?ψ?'+'=,曲线的质量为?'+'βαψ?ψ?dt t t t t f )()()]( ),([22.即'+'=βαψ?ψ?dt t t t t f ds y x f L)()()]( ),([),(22.定理设f (x , y )在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β), 其中?(t )、ψ(t )在[α, β]上具有一阶连续导数, 且?'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分dsy x f L ),(?存在, 且dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψ?ψ?βα'+'=??(α<β).应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β. 讨论:(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =x , y =ψ(x )(a ≤x ≤b ),dx x x x f ds y x f baL ??'+=)(1)](,[),(2ψψ.(2)若曲线L 的方程为x =?(y )(c ≤y ≤d ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =?(y ), y =y (c ≤y ≤d ),dy y y y f ds y x f dcL ??+'=1)(]),([),(2??.(3)若曲Γ的方程为x =?(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )(α≤t ≤β), 则ds z y x f ),,(?Γ=?提示:dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψ?ωψ?βα'+'+'=??Γ.例1 计算ds y L, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧.解曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此'+=1222)(1dx x x ds y L ?+=10241dx x x )155(121-=.例2 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示, 则?=L ds y I 2. 曲线L 的参数方程为x =R cos θ, y =R sin θ (-α≤θ<α). 于是 ?=L ds y I 2?-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin-=ααθθd R 23sin =R 3(α-sin α cos α).例3 计算曲线积分ds z y x )(222++?Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=, 于是ds z y x )(222++?Γ?++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

南华大学第十一章曲线积分与曲面积答案

L
的方向角. 二．选择题：
1．对坐标的曲线积分与曲线的方向（2）（1）无关，（2）有关； 2．若 P ( x, y ) ， Q( x, y ) 在有向光滑曲线 L 上连续，则（1）（1）（2）
∫ ∫
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy ，
2. 设光滑曲线 L 的弧长为 π ，则 6ds = （2）
L
∫
（1） π ，（2） 6π ，（3） 12π . 二.计算下列对弧长的曲线积分： 1． ( x + y ) ds ，其中 L 为
L
∫
(1) 以 O(0,0)，A(1,0), B(1,1) 为顶点的三角形的边界； (2) 上半圆周 x + y = R ；
L
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy =
2
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy .
L
2 2
三．计算下列对坐标的曲线积分： 1． ( x + y )dx ，其中 L 为从点 A(0,0) 经上半圆周 ( x − 1) + y = 1 ( y > 0) 到点 B(1,1) 的
8 2 (1 − cos t ) 2 + 8 2 sin 2 t = 16 sin
设质心坐标为 ( x, y ) ，则
x=
1 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(t − sin t ) ⋅ 16 sin dt =
t 2
32 1 ，y= 3 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(1 − cos t ) ⋅ 16 sin dt =

高数第十一章曲线积分与曲面积分 (2)

A(1, 1)
4 2 y dy . 1 5
1 4
13
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例2 计算

L
y dx, 其中L为
2
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周; ( 2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
n
7
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第十一章
曲线积分与曲面积分
5.性质 (1)设、为常数，则 [P1 P2 ]dx P1dx P2 dx，
L L L
L [Q1 Q2 ]dy L Q1dy L Q2dy .
( 2) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连
2 2 续导数, 且 ( t ) ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
9
总界面上页下页返回结束
第十一章
曲线积分与曲面积分
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L L
( t ) ( t ) ,cos , 其中cos 2 2 2 2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t )
L : A B,
L
A
M2 M1
yi M i 1xi
M i M n 1
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j .

第十一章_曲线积分与曲面积分习_[1]...

x y z x y z S1 xdydz z 2dxdy xdydz z 2dxdy 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x S2 S3
S
xdydz z 2dxdy 例12 计算曲面积分 2 2 2 , 其中S是由曲面 x y z S

4 a3 . 3
2 3
0 ( x 2 y 2 z 2 )ds

( x2 z 2 )ds
L关于xOz轴平面对称, y是L上关于y 的奇函数
2 1 2 2 2 ( x y z )ds ( x y z)ds 3 3
4 a3 3
(二) 曲线面积分的计算法 1. 基本方法第一类( 对面积 ) 曲面积分第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
第一类: 始终非负 (2) 积分元素投影第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面 P, Q, R以及它们的一阶偏导数不连续的情况下,考虑通过投影化为二重积分处理.

z
2 1
1
2z dxdydz 4dxdy dxdy 2 2 zdz dxdy 4 dxdy dxdy 1 2 2 x2+y24
1 2
+ +
1 2
Dz
2
x
O
n
y
1+2
2 z
1
2
所以
BA
(x2y)dx+(y 2x)dy x2 dx
2 3 a . 3
a
a
例4 计算曲线积分 , 其中且取正向 . y 2 2 Q y x P 1 2 2 L 2 解当 x +y 0 时 , x ( x y 2 )2 y D x 在D内作圆周l: x2+y2=1, 取逆时针方向, l O D1 2 由格林公式, 有

11曲线积分与曲面积分2答案

答案：
P y
x cos
y,
Q x
2x cos
y,
P y
Q x
,故不存在( x,
y)
2、验证 (2x yz)dx (2 y xz)dy xydz 与路径无关，并计算
I (1,1,1) (2x yz)dx (2y xz)dy xydz (0,0,0)
证明： P 2x yz,Q 2y xz, R xy
ds
L
x2ds
L
x x2 2
x1
1
( 1)2 dx x
1 3
[(x
2 2
3
1) 2
(x12
3
1) 2].
2、曲线的密度与它的弧长成正比，求曲线 y
2x x 3
的弧从点(0，0)到点(4，
16 3
)的质量。
答案：解： KS
d s 1 (y')2 d x 1 x d x
S
x
1 x dx
11 曲线积分与曲面积分练习题 2 答案
一、选择（10 小题）
1-5、答案：DBDBC 二、填空（5 小题）
6-10、答案：BBADD
1、答案： L (x, y)ds
2、答案：
x2y
xy 2
y3
C
3
3
3、答案： I 2 I 2
ò 4、答案： 1 5、答案： L (1+ x2 + y2 )ds.
1 x 2 的边界线。
答案：解： (x3 ex2 y2 y2 )ds L
(x3 ex2 y2 ds y3ds 1 x3 ex2 dx cos3 tedt sin2 tdt 0 0
L
L

曲线积分与曲面积分习题答案.pdf

(1) (2x y 2z) dS，其中为平面 x y z 1在第一卦限的部分；
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ，为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取为平面 z 0的下侧被围成的部分， D 为在 xOy 面上的投影
区域。由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr

第十一章曲线积分与曲面积分

5考研专题解析第十一章曲线积分与曲面积分1.(98年数一)设L 为椭圆,13422=+y x 其周长为a ,则._______)432(22=++⎰ds y x xy L179解析 L 关于x 轴（y 轴）对称，2xy 关于y （关于x ）为奇函数20Lxyds ⇒=⎰.又在L 上22222213412(34)121243LLx y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰.因此，原式=222(34)12LLxyds x y ds a ++=⎰⎰.2.（09年数一）已知曲线2:(0L y x x =≤，则_______L xds =⎰180解析直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得Lxds ==⎰1222014)(14)8x d x =++ 32212113(14)(271)83126x =⋅+=-=.1.(00年数一) 计算曲线积分,422⎰+-=L y x ydxxdy I 其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1>R ),取逆时针方向.181解析记2222,44y xP Q x y x y-==++,则L I Pdx Qdy =+⎰直接计算较繁琐，想借助格林公式.当220x y +≠时，222224(4)Q P y x x y x y ∂∂-==∂∂+, 记L 围成的圆域为D ,因D 内含原点(0,0),而P Q 、在(0,0)无意义，所以不能直接在D 上用格林公式.现作一小椭圆C ε（取逆时针方向）：2224x y ε+=，0ε>充分小，使C ε位于D 内，记L 与C ε围成区域D ε，在D ε上用格林公式得()0LC D Q PPdx Qdy Pdx Qdy dxdy x yεε∂∂+-+=-=∂∂⎰⎰⎰⎰, 即222222222241122442L C C x y xdy ydx xdy ydx ydx xdy dxdy x y x y εεεεπεπεεε+≤--==-+===++⎰⎰⎰⎰⎰. 2.（04年数一）设L 为正向圆周222x y +=在一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为_______182解析已知L的参数方程,x t y t =，t 从0到2π.直接代公式得202)()]Lxdy ydx t t t t dt π-=-⎰⎰,2220322sin 242dt tdt πππππ=+=+⋅=⎰⎰. 3.（08年数一）计算曲线积分2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰,其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段.183解析将曲线L 的方程代入直接计算2sin 222LLI xdx ydy x ydy =-+⎰⎰(,0)220(0,0)1(cos 2)2sin cos 2x y x x xdx ππ=--+⎰221sin 2cos 22x xdx x d x ππ==-⎰⎰2001cos 2cos 22x x x xdx ππ=-+⎰201sin 222xd x ππ=-+⎰ 220011sin 2sin 22222x x xdx ππππ=-+-=-⎰.1.（97年数一）计算积分⎰-+-+-Cdz y x dy z x dx y z )()()(，其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+,2,122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的.184 解析用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z -+=上C 所围成有限部分，由L 的定向，按右手法则S 取下侧.()()()2CS dydz dzdx dxdy z y dx x z dy x y dz dxdy x y z z y x z x y∂∂∂-+-+-==∂∂∂---⎰⎰⎰, S 在xoy 平面上的投影区域22{(,)1}xy D x y x y =+≤.将第二类曲面积分化为二重积分得22Sdxdy π==-⎰⎰原积分.这里S 取下侧，故公式取负号. 2.（01年数一）计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中L 为平面2x y z ++=与柱面1=+y x 的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向.185解析用斯托克斯公式来计算，记S 为平面2xy z ++=上L 所围部分.由L 的定向，按右手法则S==S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )n a r β==，于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23Sa r I ds x y z y z z x x y β∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰([(24(2622Sy z z x x y ds =----+--⎰⎰(423)2(6)S Sx y z dS x y z x y dS =++++=+-⎰⎰. 将第一类曲面积分化为二重积分得(62(6)S SI x y x y dxdy =+-=-+-⎰⎰，其中D 为S 在xoy 平面上的投影区域1x y +≤.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰,所以21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.专题二、求曲面积分与高斯公式∑体222x y x +≤内的部分.179解析将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰首先确定被积函数(,)f x y==，对锥面z =而言，==, 其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域22{(,)(1)1}xy D x y x y =-+≤xyD I =⎰⎰作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==，则{(,)02cos ,}22r D r r θππθθθ=≤≤-≤≤. 2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰2.（07年数一）设曲面:1x y z ∑++=，则()______x y dS ∑+=⎰⎰187 解析 ∑关于yoz 平面对称，x 对x 为奇函数⇒0xdS ∑=⎰⎰,由变量的轮换对称性⇒x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,⇒()111()1333I x y dS y dS x y z dS dS ∑∑∑∑=+==++==⋅∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰曲面的面积记∑在第一卦限部分的面积为111cos ,2r σσ==即,因此118833I σ=⋅==1.（05年数一）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则______xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰192解析在Ω上用高斯公式得(111)31I dV dV ΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰作球坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθρϕθρϕ===，{(,,)0,0,02}4RπρϕθρϕθπΩ=≤≤≤≤≤≤,所以22240003sin (2RI d d d R ππθϕρϕρπ==⎰⎰⎰.2.（06年数一）设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，则23(1)_____x d y d z y d z d x z d x d y ∑++-=⎰⎰192解析添加辅助面221:1(1)z x y ∑=+≤，法向量朝上，123(1)0000xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=++=⎰⎰,∑与1∑围成区域Ω，用高斯公式得123(1)(123)623xdydz ydzdx z dxdy dV ππ∑∑Ω++-=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰,原式202ππ=-=. 3.（08年数一）设曲面∑是z =的上侧，则2_________xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰193解析直接代入公式将第二类曲面积分化为二重积分，曲面∑的方程是,)z x y D =∈,其中22{(,)4}D x y x y =+≤，z z x y ∂∂==∂∂所以22()()00D D z zxy x x dxdy x dxdy x y ⎡⎤∂∂-+-+=++⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰221()42Dx y dxdy π=+=⎰⎰.1.（01年数一）设222z y x r ++=则(1,2,2)()______div gradr -=195解析先求(,,)x y zgradr r r r =，再求()()()()x y zdiv gradr x r x r x r∂∂∂=++∂∂∂.2223331112()()()x y z r r r r r r r=-+-+-=.所以(1,2,2)2()3div gradr -=.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the world Is not between life and death But when I stand in front of you Yet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

高数期末复习题第十一章曲线积分与曲面积分

第十一章曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。

ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。

x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。

用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。

d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。

αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。

011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。

dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。

高等数学第十一章习题课(二)曲面积分

z
B
o
dS
n C

y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3

(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中为半球面

的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用高斯公式有原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D

x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy

( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]

用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S

0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算解: 记为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I

1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y

曲线曲面积分练习答案

∑
面 Σ 外侧的积分 ∫∫ (z − y)dxdy + ( y − x)dxdz + (x − z)dzdy = 3V 。二、选择题 1、设是一光滑曲线，为了使曲线积分 ∫ yF ( x, y )dx + xF ( x, y )dy
L
A、 ∫ C、 ∫
2π
0 2π
dθ ∫ dθ ∫
ρ
0 2
1 + 4 ρ 2 ⋅ ρ d ρ B、 ∫
Σ1
=4
∫∫ dxdy − 3 ∫∫ (x
D xy D xy
2
5 + y 2 )dxdy = 4π − 3 ∫ dθ∫ ρ2ρdρ = π 2 0 0
2 3 2 2
2π
1
= =
∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz + ∫∫ (x
Ω
∂P
∂Q
∂R
2
+ y 2 )dxdy
D xy
11、 (x + y + z)dydz + (x + y + z)dzdx − z(x + y )dxdy ，
2
2 π 8π = 3 3
记 P= x + y + z ，
3 2
Q= x + y + z ，
2 3
R= − z(x + y )
2 2
则
∂P ∂Q ∂R + + = 2(x 2 + y 2 ) ∂x ∂y ∂z
10、
∫∫ (1 + 3z
Σ
)dxdy ，Σ为上半球面 z = 1 − x 2 − y 2 的上侧。

第11章曲线积分与曲面积分

目录1对弧长的曲线积分（扩展）对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分3格林公式及其应用4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分1复习之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)，有（2）对于参数方程有（3）对于极坐标方程是，转成直角坐标，则。

代入2曲线积分的概念上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。

那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。

当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。

如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。

对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。

扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L的密度，求得的结果就是空间的线质量。

定义：3计算方法计算步骤1画出图形2写出L的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限）3由L类型写出对应ds的表达式4因被积函数f(x,y)的点x，y在L上变动，因此x，y必须满足L的方程。

即把L中的x，y代入被积函数f(x,y)中。

5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。

注，二重积分中xy在投影域D内动，而被积函数的xy在L上动，故(x，y)必须满足L。

如，L的方程y=k,则（保留。

还不太懂）参数方程设曲线有参数方程，则有：显式方程设曲线为，则有：设曲线为，则有：极坐标方程设曲线为则有：注：常用，半径R的圆弧对应空间曲线方程设曲线为空间曲线，则有：4、对称性：见重积分总结5、特别性质设在L上f(x,y)<=g(x,y)，则，特别的，有此性质不能用于第二类曲线积分扩展对弧长曲线积分的应用1求柱面面积2求曲线的质心、转动惯量（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：、转动惯量：I=mr^2,因此有3变力沿曲线做的功设平面力场的力为求该力沿着曲线L从a到b所做的功。

对于直线的路径ab来说功的大小是（这里有两个特点：1路径是直线2力的方向和位移的方向相同）4、平面流速场面积和流量计算5、平面环流场面积计算6、特别性质第二类曲线积分不具有此性质。

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章曲线积分与曲面积分内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质性质1 设α，β为常数，则⎰⎰⎰+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则.),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+L L LL ds y x f ds y x f ds y x f注：若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的.性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则ds y x g ds y x f LL⎰⎰≤),(),(性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使s f ds y x f L⋅=⎰),(),(ηξ其中s 是曲线L 的长度.三、第一类曲线积分的计算：)(),(),(βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x xdt t y t x t y t x f ds y x f L)()(])(),([),(22'+'=⎰⎰βα(1.10)如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则dx x y x y x f ds y x f ba L )(1])(,[),(2'+=⎰⎰ (1.11)如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则dy y x y y x f ds y x f dcL )(1]),([),(2'+=⎰⎰ (1.12)如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则θθθθθβαd r r r r f ds y x f L)()()sin ,cos (),(22'+=⎰⎰例5（E03）计算,||⎰Lds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(222222y x a y x -=+的弧.解双纽线的极坐标方程为 .2cos 22θa r =用隐函数求导得 ,2sin ,2sin 22ra r a r r θθ-='-='.2sin 2224222θθθθd r a d ra r d r r ds =+='+= 所以 .)22(2sin 4sin 4||2402402a d a d ra r ds y L -==⋅=⎰⎰⎰ππθθθθ 内容要点一、引例：设有一质点在xOy 面内从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B ,在移动过程中，这质点受到力j y x Q i y x P y x F ρρρ),(),(),(+= (2.1)的作用，其中),(y x P ，),(y x Q 在L 上连续. 试计算在上述移动过程中变力),(y x F ρ所作的功. 二、第二类曲线积分的定义与性质：j y x Q i y x P y x A ρρϖ),(),(),(+=⎰⎰+=⋅LLds Q P ds t A )cos cos (βαϖϖ平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(⎰⎰+=L L dy y x Q dx y x P ),(),(性质1 设L 是有向曲线弧, L -是与L 方向相反的有向曲线弧，则⎰⎰+-=+-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(；即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2 如设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成，则⎰⎰⎰+++=+21L L L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .三、第二类曲线积分的计算：),(t x x = ),(t y y =⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(⎰'+'=βαdt t y t y t x Q t x t y t x P )}()](),([)()](),([{. (2.9)如果曲线L 的方程为 ),(x y y =起点为a , 终点为b ，则.)}()](,[)](,[{⎰⎰'+=+ba L dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx如果曲线L 的方程为),(y x x = 起点为c , 终点为d ，则.]}),([)(]),([{⎰⎰+'=+dcLdy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx内容要点一、格林公式定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q (3.1)其中L 是D 的取正向的边界曲线.若在格林公式(3.1)中，令,,x Q y P =-= 得⎰⎰⎰-=LDydx xdy dxdy 2，上式左端是闭区域D 的面积A 的两倍，因此有 .21⎰-=Lydx xdy A 二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件定理2 设开区域D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：（1）曲线积分⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关；（2）表达式Qdy Pdx +为某二元函数),(y x u 的全微分；（3）xQy P ∂∂=∂∂在D 内恒成立；（4）对D 内任一闭曲线L ，0=+⎰LQdy Pdx .由定理的证明过程可见，若函数),(y x P ，),(y x Q 满足定理的条件，则二元函数⎰+=),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u (3.3)满足 dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=，我们称),(y x u 为表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+的原函数.C dy y x P dx y x P y x u yy xx ++=⎰⎰00),(),(),(0或 C dy y x P dx y x P y x u yy xx ++=⎰⎰0),(),(),(0例4 计算,2dxdy e Dy ⎰⎰- 其中D 是以)1,0(),1,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形闭区域.解令,0=P ,2y xe Q -=则 yPx Q ∂∂-∂∂.2y e -= 应用格林公式,得dxdy e Dy ⎰⎰-2⎰++-=BOAB OA y dy xe 2⎰-=OAdy xe y 2⎰-=102dx xe x ).1(211--=e 例5（E03）计算,22⎰+-L y x ydx xdy 其中L 为一条无重点)1(, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向.解记L 所围成的闭区域为,D 令,22y x y P +-=,22yx xQ += 则当022≠+y x 时，有 x Q∂∂22222)(y x x y +-=.y P ∂∂=(1) 当D ∉)0,0(时，由格林公式知;022=+-⎰L y x ydxxdy(2) 当D ∈)0,0(时，作位于D 内圆周,:222r y x l =+记1D 由L 和l 所围成,应用格林公式，得⎰⎰=+--+-L l y x ydxxdy y x ydx xdy .02222故⎰+-L y x ydx xdy 22⎰+-=l y x ydxxdy 22⎰+=πθθθ2022222sin cos d rr r ⎰=πθ20d .2π=例6（E04）求椭圆θcos a x =，θsin b y =所围成图形的面积A . 解所求面积A ⎰-=L ydx xdy 21⎰+=πθθθ2022)sin cos (21d ab ab ⎰=πθ2021d ab.ab π=例7 计算抛物线)0()(2>=+a ax y x 与x 轴所围成的面积. 解 ONA 为直线.0=y 曲线AMO 为 ,x ax y -=].,0[a x ∈ ∴A ⎰-=AMOydx xdy 21⎰⎰-+-=AMOONAydx xdy ydx xdy 2121⎰-=AMOydx xdy 21⎰--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=)(1221a dx x ax dx ax a x ⎰=adx x a4.612a =例10（E06）计算,)8,6()0,1(22⎰++yx ydy xdx 积分沿不通过坐标原点的路径.解显然,当)0,0(),(≠y x 时， 22y x ydy xdx ++,22y x d +=于是⎰++)8,6()0,1(22yx ydy xdx ⎰+=)8,6()0,1(22y x d )8,6()0,1(22y x +=.9=例 12 验证: 在整个xOy 面内, ydy x dx xy 22+是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数.证2 利用原函数法求全微分函数).,(y x u 由2xy y u =∂∂ ),(2222y y x dx xy u ϕ+==⎰其中)(y ϕ是y 的待定函数.由此得).(2y y x yuϕ'+=∂∂ 又u 必须满足 y x yu2=∂∂ y x y y x 22)('=+ϕ 0)('=y ϕ ,)(C y =ϕ 所求函数为.2/22C y x u +=例13（E07）设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有,),(2),(2),1()0,0()1,()0,0(⎰⎰+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx求).,(y x Q解由曲线积分与路径无关的条件知,2x xQ=∂∂ 于是),(),(2y C x y x Q +=其中)(y C 为待定函数.dy y x Q xydx t ),(2)1,()0,0(+⎰⎰+=102))((dy y C t ,)(102⎰+=dy y C tdy y x Q xydx t ),(2),1()0,0(+⎰⎰+=tdy y C 0))(1(,)(0⎰+=t dy y C t由题意可知⎰+12)(dy y C t .)(0⎰+=tdy y C t两边对t 求导,得)(12t C t +=或.12)(-=t t C 所以.12),(2-+=y x y x Q例14（E08）设曲线积分⎰+Ldy x y dx xy )(2ϕ与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且,0)0(=ϕ计算.)()1,1()0,0(2⎰+dy x y dx xy ϕ解 ),(y x P ,2xy =),(y x Q ),(x y ϕ= y P ∂∂)(2xy y ∂∂=,2xy =x Q ∂∂)]([x y xϕ∂∂=).('x y ϕ= 因积分与路径无关散,xQy P ∂∂=∂∂ 由xy x y 2)('=ϕ .)(2C x x +=ϕ 由,0)0(=ϕ知0=C .)(2x x =ϕ 故⎰+)1,1()0,0(2)(dy x y dx xy ϕ⎰⎰+=1010ydy dx .21= 例15 选取b a ,使表达式dy e y x be dx ae e y x yxyy])1([])1[(++-++++为某一函数的全微分, 并求出这个函数.解 y P ∂∂])1[(y y ae e y x y +++∂∂=,y y ae e +=x Q ∂∂])1([y x e y x be x ++-∂∂=,y x e be -=若表达式全微分式,则,xQy P ∂∂=∂∂即 .y x y x e be ae e -=+得,1-=a .1=b ),(y x u +-+++=⎰xx dx e e x 00])1()10[(⎰+++-yy x C dy e y x e 0])1([C dy e y x e dx e x yy y xx +++-+-+=⎰⎰])1([]1)1[(C ye xe y e x xe yy y x x x +--+-=00][][.))((C e e y x y x +-+=例16（E09）求方程0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解. 解 ,6xQxy y P ∂∂=-=∂∂原方程是全微分方程, ⎰⎰+-=yxdy y dx xy x y x u 0323)3(),(,42344224y y x x +-=原方程的通解为.42344224C y y x x =+- 例19求微分方程0)1(222=---+dy y x dx y x x 的通解.解将题设方程改写为,02222=---+dy y x dx y x x xdx 即,0)()(2222=---+dy y x x d y x x d 将方程左端重新组合,有,0)()(222=--+y x d y x x d故题设方程的通解为 .)(322/322C y x x =-+内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f i i i i Λ=∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在,则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f例4计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z解根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20125122220412sin 241sin cos 4ππdr r r tdt rdr r rt t r dt.420151254141512-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰du u u 例 5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.解，＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑+∑∑321∑∑12，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy于是⎰⎰⎰⎰∑==1,0xyD xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2,011xyD dxdy xxdS将)1:,(313223∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域 .10,11:+≤≤≤≤-x y x D xydxdz y y x xdS xdS xdS zx D z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑221232313,12112211222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x xdxdz x x x xz所以.00ππ=++=∑⎰⎰xdS例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分.∑的方程为,222y x R z --=它在xOy 面上的投影区域.sin :2222αR y x D xy ≤+于是通讯卫星的覆盖面积为).cos 1(22απ-=R A将h R R +=αcos 代入上式得 .21222h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%.5.4242≈RAπ 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.内容要点二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i n ρρρργβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρϖ),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数γβαcos cos cos R Q P n v ++=⋅ϖϖ 则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v ϖϖ.)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A ϖ在有向曲面∑上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα二、通量与散度一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ),,(),,(),,(),,(++=,其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，ορn 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A ρρρρρο称为向量场A ρ通过曲面∑流向指定侧的通量. 而zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A ρ的散度，记为A div ϖ，即zRy Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂=ϖ. (6.5)例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n uvudV v其中nu∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证因为=∂∂n u γβαcos cos cos z u y u xu∂∂+∂∂+∂∂n u ρ⋅∇=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n ρ是∑在点),,(z y x 处的外法线的方向余弦，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⋅∇=⋅∇=∂∂dS n u v dS n u v dS nu v)[()(ρρdS z u v y u v x u v ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.dv z v z u y v y u x v x u udv v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎝⎛⎪⎭⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=将上式右端移至左端即得所要证明的等式.例5（E05）求向量场k z j y i x r ρρρρ++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量 Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰⎰=Vdv r div ρ⎰⎰⎰=Vdv 3.3h π=(1)穿过底面向上的流量 1Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰=≤+=hz z y x zdxdy 222⎰⎰≤+=222z y x hdxdy .3h π=(2)穿过侧表面向外的流量2Q 1Q Q -=.0=内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=LRdz Qdy Pdx (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx RQ P zy x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.cos cos cos ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQPzy x γβα二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ++= 则沿场A ρ中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓCRdz Qdy Pdx称为向量场A ρ沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A ρ的旋度，记为A rot ρ，即.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ρρρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQ Pz y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=ρρρρ.四、向量微分算子：,k zj y i x ρρρ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 例 2 计算曲线积分,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰Γ其中Γ是平面2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向.解取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{=n ρ即,31cos cos cos ===λβα原式dS y x x y z y z y x z⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222313131⎰⎰∑++-=dS z y x )(34.293322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dS 例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方.解由斯托克斯公式，有原式⎰⎰∑-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβαdS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R r d R Rdxdy rx y x πσ==∑=⎰⎰⎰⎰≤+ 例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 gradu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -=div(gradu)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=rot(gradu).,,222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故rot(gradu).0=注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A ϖ=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A ϖ的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y x ϖϖϖϖωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v ϖ的旋度.解取定轴l 为z 轴，点M 的内径r ρOM =,k z j y i x ρρρ++=则点M 的线速度v ρr ρρ⨯=ωzyx kji z yx ωωωρρρ=,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y ρρρωωωωωω-+-+-=于是v ρrot x y z x y z z y x kj i y x x z z y ωωωωωω---∂∂∂∂∂∂=ρρρ)(2k j i z y x ρρρωωω++=.2ωρ=即速度场v ρ的旋等于角速度ωρ的 2 倍.内容要点点函数积分的概念点函数积分的性质点函数积分的分类及其关系一、点函数积分的概念定义1 设Ω为有界闭区域, 函数))((Ω∈=P P f u 为Ω上的有界点函数. 将形体Ω任意分成n 个子闭区域,,,,21n ∆Ω∆Ω∆ΩΛ其中i ∆Ω表示第i 个子闭区域, 也表示它的度量, 在i ∆Ω上任取一点i P , 作乘积),,2,1()(n i P f i i Λ=∆Ω并作和∑=∆Ωni iiP f 1)(如果当各子闭区域i ∆Ω的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数)(P f 在Ω上的积分, 记为⎰ΩΩd P f )(, 即.)(lim )(1∑⎰=→Ω∆Ω=Ωni iiP f d P f λ其中Ω称为积分区域, )(P f 称为被积函数, P 称为积分变量, Ωd P f )(称为被积表达式,Ωd 称为Ω的度量微元.点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域Ω, 其密度为),)((Ω∈=P P f ρ则该物体的质量)0)((,)(≥Ω=⎰ΩP f d P f M特别地, 当1)(≡P f 时, 有).(lim 1度量Ω=∆Ω=Ω∑⎰=→Ωni id λ如果点函数)(P f 在有界闭区域Ω上连续, 则)(P f 在Ω上可积.二、点函数积分的性质设)(),(P g P f 在有界闭区域Ω上都可积, 则有性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f性质2 )()()(为常数k d P f k d P kf ⎰⎰ΩΩΩ=Ω性质3,)()()(21⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ωd P f d P f d P f其中,21Ω=ΩΩY 且1Ω与2Ω无公共内点. 性质4 若,,0)(Ω∈≥P P f 则.0)(≥Ω⎰Ωd P f性质5 若,),()(Ω∈≤P P g P f 则.)()(⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f特别地, 有.|)(|)(⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f性质6 若)(P f 在积分区域Ω上的最大值为M , 最小值为m , 则.)(Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m性质7 (中值定理)若)(P f 在有界闭区域Ω上连续, 则至少有一点,*Ω∈P 使得.)()(*Ω=Ω⎰ΩP f d P f其中ΩΩ=⎰Ωd P f P f )()(*称为函数)(P f 在Ω上的平均值.三、点函数积分的分类及其关系1.若,],[R b a ⊂=Ω这时],,[),()(b a x x f P f ∈=则.)()(⎰⎰=ΩΩbadx x f d P f (1)这是一元函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分. 当1)(=x f 时,a b dx ba-=⎰是区间长.2.右,2R L ⊂=Ω且L 是一平面曲线, 这时,),(),,()(L y x y x f P f ∈=于是⎰⎰=ΩΩLds y x f d P f ),()( (2)当1)(≡P f 时,s ds L =⎰是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.3.若,3R ⊂Γ=Ω且Γ是空间曲线, 这时,),,(),,,()(Γ∈=z y x z y x f P f 则.),,()(⎰⎰ΓΩ=Ωds z y x f d P f (3)当1)(≡P f 时,s ds =⎰Γ是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明⎰⎰Γds z y x f ds y x f L),,(,),(可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.4.若,2R D ⊂=Ω且D 是平面区域, 这时,),(),,()(D y x y x f P f ∈= 则⎰⎰⎰=ΩΩDd y x f d P f σ),()( (4)(4)式称为二重积分. 当1),(=y x f 时,σσ=⎰⎰Dd 是平面区域D 的面积.5.若,3R ⊂∑=Ω且∑是空间曲面, 这时,),,(),,,()(∑∈=z y x z y x f P f 则⎰⎰⎰∑Ω=ΩdS z y x f d P f ),,()( (5)(5)式称为第一类曲面积分. 当1)(≡P f 时,S dS =⎰⎰∑是空间曲面∑的面积.由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.6.若3R ⊂Ω为空间立体, 这时,),,(),,,()(Ω∈=z y x z y x f P f 则.),,()(⎰⎰⎰⎰ΩΩ=Ωdv z y x f d P f (5)(6)式称为三重积分. 当1)(≡P f , 则V dv =⎰⎰⎰Ω是空间立体Ω的体积.更进一步, 我们还可以利用点函数积分的概念统一来表述占有界闭区域Ω的物体的重心、转动惯量、引力等物理概念, 此处不再表述.。

《高数》下册第十一章练习题

《高数》下册第十一章练习题第十一章曲线积分与曲面积分习题11-11.设在某Oy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（某,y）处它的线密度为（某,y）。

用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对某轴,对y轴的转动惯量I某Iy,（2）这曲线弧的质心坐标某,y2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线积分：（1）（2）(某L2y)d，其中L为圆周某acot,yaint(0t2)2nL(某y)d，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段2某d，其中L为由直线y=某及抛物线y某（3）L所围成的区域的整个边界e（4）L某2y2d，其中L为圆周某2y2a2，直线y=某及某轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界1tttd某ecot,yeint,ze222（5）某yz，其中为曲线上相应于t从0变到2的这段弧（6）某2yzd，其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），y2d，，其中L为摆线的一拱某a(tint),ya(1cot)(0t2)（1,3,2）（7）（8）LL(某2y2)d，其中L为曲线某a(cottint),ya(inttcot)(0t2)4.求半径为ａ，中心角为2的均匀圆弧（线密度1）的质心0t2，它的线密度5.设螺旋形弹簧一圈的方程为某acot,yaint,zkt，其中(某,y,z)某2y2z2．求：I（１）它关于ｚ轴的转动惯量z（２）它的质心。

习题11-21.设L为某Oy面内直线某a上的一段，证明：LP(某,y)d某02.设L为某Oy面内某轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：LP(某,y)d某P(某,0)d某ab3.计算下列对坐标的积分：（1）(某L2y2)d某，其中L是抛物线y某2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2）L某yd某2(某a)2y2a（a>0）及某轴所围成的在第一象限内的区，其中L为圆周域的整个边界（按逆时针方向绕行）（3）Lyd某某dy，其中L为圆周某Rcot,yRint上对应t从0到2的一段弧(某y)d某(某y)dy222某+ya（4）L（按逆时针方向绕行）某2y2，其中L为圆周（5）某2d某zdyydz，其中为曲线某kyaco,zain上对应从0到是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线的一段弧（6）（7）某d某ydy(某y1)dz，其中，其中d某dy+ydz2L为有向闭折线ABCD，这里的A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)（8）(某的一段弧4.计算2某y)d某(y22某y)dy，其中L是抛物线y某2上从点（-1,1）到点（1,1）(某y)d某(y某)dy，其中L是：L2y某上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（1）抛物线（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线22某2tt1,yt1上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（4）曲线222某yR5.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6.设z轴与动力的方向一致，求质量为m的质点从位置（某,y,z）沿直线移到（某,y,z）时重力所做的功7.把对坐标的曲线积分LP(某,y)d某Q(某,y)dy化成对弧长的积分曲线，其中L为：（1）在某Oy面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）2y某（2）沿抛物线从点（0,0）到点（1,1）22某y2某从点（0,0）到点（1,1）（3）沿上半圆周23某t,yt,zt为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分8.设Pd某QdyRdz化成对弧长的曲线积分习题11-31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1）L(2某y某2)d某(某y2)dyy某2和y2某所围成的区域的，其中L是由抛物线正向边界曲线（2）L(某2某y2)d某(y22某y)dy，其中L是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积（1）星形线某aco3t,yain3t22（2）椭圆9某+16y144（3）圆某y2a某22yd某某dy22(某1)y2，L的方向为逆时针方向L2(某2y2)3.计算曲线积分，其中L为圆周4.证明下列曲线积分在整个某Oy面内与路径无关，并计算积分值（1）（2）(2,3)(1,1)(3,4)(某y)d某(某y)dy(1,2)(2,1)(6某y2y3)d某(6某2y3某y2)dy(2某yy43)d某(某24某y3)dy（3）(1,0)5.利用格林公式，计算下列曲线积分：(2某y4)d某(5y3某6)dy（1），其中L为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）L的三角形正向边界；(某（2）L2yco某2某yin某y2e某)d某(某2in某2ye某)dy23，其中L为正向星形线某ya(a0)（3）2323，其中L为在抛物线L(2某y3y2co某)d某(12yin某3某2y2)dy2某y2上由点（0,0）到（2）的一段弧，1(某（4）L2y)d某(某in2y)dyy2某某2上由点（0,0）到点（1,1），其中L是在圆周的一段弧6.验证下列P(某,y)d某Q(某,y)dy在整个某Oy平面内是某一函数u(某,y)的全微分，并求这样的一个u(某,y)：（1）(某2y)d某(2某y)dy22某yd某某dy（2）（3）4in某in3yco某d某3co3yco2某dy2232y(3某y8某y)d某(某8某y12ye)dy（4）22(2某coyyco某)d某(2yin某某iny)dy（5）7.设有一变力在坐标轴上的投影为某某y,Y2某y8，这变力确定了一个力场。

第十一章曲线积分与曲面积分(题库)答案

x y
解： P x, y y e x , Q x, y 3 x e y ，
P Q 1, 3 y x
dxdy 2dxdy 2 ab y e dx 3x e dy = x y
x y C
Q
P
D
D
29.(11-3)计算曲线积分
2 xy 2 y dx x
L
2
4 x dy ，其中 L 取正向的圆周 x 2 y 2 9 .
解：设 P 2 xy 2 y, Q
x2 4x ，
Q P 2x 4 2 x 2, x y
2
B. 6S
C. 12S
D.
24S
L
x 上自点 A 1,1 到点 B 1, 1 之间的一段弧，则 I yds （
C. 1
2 2
D. 1
设 C 为沿 x y R 逆时针方向一周的闭合曲线，则曲线积分
2 2 I x ydx xy dy 应用格林公式计算得（ A ） C
2
0 x 2 ，计算
2
L
x 1 x ds .
解：直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得

L
xds
2
0
x 1 y2 dx
0
x 1 4 x 2 dx
1 1 2 2 2 1 4 x d 1 4 x 2 8 0 3 1 2 2 2 1 4 x 8 3 2 0

L
x 2 ds
2 . 3
2.
7. (11-1)设 L 为连接 (1,0) 及 (0,1) 两点的直线段,则 8. (11-1)计算曲线积分

(整理)高等数学-第十一章作业

第十一章曲线积分与曲面积分1对弧长的曲线积分练习题P131-132 3. (1) (3) (6) (8) 4.一、计算L((x + y)ds,其中为连接(1, o)及(0, 1)两点的直线段.、计算1e~2ds,其中L为圆周x2+ y2= a2,直线y = x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界三、计算2^-1——12 2ds 其中「为曲线x=e t cos t, y =e t sin 1*=3上对应于1从0x y z到2的这段弧.四、计算(y2ds,其中L是摆线的一拱I"a(t一sin" , (0Et E2n).L y = a(1 - cost)卫对坐标的曲线积分练习题P141 3. (3), (6), (7), (8), 4. (1), (2)计算下列对坐标的曲线积分一.、f( x 2-y 2)dx ,其中L是抛物线y = x2从点(0,0)到点(2, 4)的一段弧.、Xy L xydx ,其中L是圆周(x—a)2+y2 =a2(a >0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(逆时针方向) .(x y) dx - (x - y )dy,其中L是圆周x2+ y2 = a2（a a 0）（逆时针方向）四、X^d dx + zdy-ydz ,其中「为曲线x = k<3, y=a coS,z = a sine 上对应于日从0 到n的一段弧.五、x+y）dx+（y-x）dy其中L是先沿直线从点（i,i）到点（i,2）,然后再沿直线到点（4,2）的折线.§ 3格林公式及其应用（1）练习题P 153-154 1.(2) 2 . (2) 4. ( 1), (2), 5. ( 1), (3) 6. (1), (2)一、填空题：(1)设L 是在圆周x?+y2=9 的正向，则L( (2xy -2y)dx + (x2 -4x)dy=(2)同上，则FT xdy-ydx .L L / 2 , ""2 --------------J x +y二.利用格林公式计算下列曲线积分⑴.[Qxy—x2)dx+(x + y2)dy ,其中L是由抛物线y =x2和y2= *所围成的区域的正向边界曲线；(2) 口(x2ycosx 2xysinx - y2e x)dx (x2sinx -2ye x)dy2 2 2其中L为正向星形线x3 +y3 =a3 (a >0)；3 JJ x2—y)dx—(x+sin2y)dy 其中L 是在圆周y = J2x — x2上由点(0, 0)到点(1,1)的一段弧.格林公式及其应用(2)(2,1) 4 2 3、证明曲线积分 0)(2xy 一 y + 3)dx + (x - 4xy分的值.四、验证P(x, y)dx+Q(x,y)dy 在平面内是某个二元函数并求函数u(x, y).(1) (3x 4y +8xy 2)dx +(x 5 +8x 2y +12ye y )dy ;4 2(2) (2xcosy y cosx)dx (2ysinx-x sin y)dy与路径无关，并计算积 u(x, y)的全微分,(x *ay)dx : ydy为某二元函数的全微分，求a的值. (x y)2 五、已知六、若曲线积分L xy2dx+y4(x)dy的值与路径无关，并且4(。