(答案)第11章章测题2(曲线积分与曲面积分的应用部分)

第11 章测验题（二）曲线积分与曲面积分的应用1.C 2.D 3.B

4.解：令

I =

()()

3,4 3,4

∫−+−=∫+ (6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy P(x, y)dx Q(x, y)dy

()()

1,2 1,2

∂P

∂y

= 12xy− 3y

2

=

∂Q

∂x

因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,2)→B(3,2)→C(3,4)的折线计算I ∫−+−+∫−+−

I =(6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy (6xy2 y3 )dx (6x2 y 3xy2 )dy

AB BC

在积分区域AB 上，y = 2，x :1 → 3，若化为对x 的定积分，则dy = 0

3 3

I (6xy y )dx (6x y 3xy )dy (6x 4 8)dx (6x 2 3x 4) 0dx

1 =∫−+−=∫×−+∫×−××

2 3 2 2 2

AB 1 1

3

=∫x dx x x

(24 8) −

−= 2 =

[12 8 ]80

3

1

1

在积分区域BC 上，x = 3，y : 2 → 4 ，若化为对y 的定积分，则dx = 0

4 4

I (6xy y )dx (6x y 3xy )dy (6y 3 y ) 0dy (6y 9 3y2 3)dy

2 =∫−+−=∫×−×+∫×−×

2 3 2 2 2 3

BC 2 2

4

4

=∫y y dy y y

(54 − 9 ) =−=

[27 3 ]156

2 2 3

2

2

因此I =I1 +I = 80 +156 = 236

2

5.解：令

I =

()()

2,3 2,3

∫++−=∫+ (x y)dx (x y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy

()()

1,1 1,1

∂P

∂y

= 1 =

∂Q

∂x

因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,1)→B(2,1)→C(2,3)的折线计算I

1

∫++−+∫++−

I =(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy

AB BC

在积分区域AB 上，y = 1，x :1 → 2 ，若化为对x的定积分，则dy = 0

2 2

I (x y)dx (x y)dy (x 1)dx (x 1) 0dx

1 =∫++−=∫++∫−×AB 1 1

2

⎡1 +

⎤

2

=∫x dx x x ( +1) =2=∫x dx x x

⎢

⎥

⎣2

⎦

1 1 =

5 2

在积分区域BC 上，x = 2 ，y :1 → 3，若化为对y 的定积分，则dx = 0

3 3

I (x y)dx (x y)dy (2 y) 0dy (22

=∫++−=∫+×+∫

−

2=∫++−=∫+×+

∫−

BC 1 1

y)dy

3

⎡− 1 =∫y dy y y

3

1

⎤

⎥

⎦

= 0

(2 −) = 2

2

⎢

⎣ 2 1

因此I=I I

1 +=

2 5 2

6.解：令

I =

()()

2,1 2,1

∫−++−=∫+ (2xy y4 3)dx (x 4xy )dy P(x, y)dx Q(x, y)dy

2 3

()()

1,0 1,0

∂P

∂y

= 2x −4y

3

=

∂Q

∂x

因此曲线积分I 与路径无关，那么采用A(1,0)→B(2,0)→C(2,1)的折线计算I

2

∫−++−+∫−++−

I =(2xy y4 3)dx (x2 4xy3 )dy (2xy y4 3)dx (x2 4xy3 )dy

AB BC

在积分区域AB 上，y = 0，x :1 → 2 ，若化为对x 的定积分，则dy = 0

2 2

I (2xy y 3)dx (x 4xy )dy (0 0 3)dx (x 0) 0dx

1 =∫−++−=∫−++∫−×

4 2 3 2

AB 1 1

2

=∫

dx

3

1

= 3

在积分区域BC 上，x = 2 ，y : 0 →1，若化为对y 的定积分，则dx = 0

1 1

I 2xy y 3)dx (x 4xy )dy (2 2y y 3) 0dy (4 4 2y )dy

2 =∫−++−=∫×−+×+∫−×( 4 2

3

4 3

BC 0 0

1

=∫y dy y y

(4 3 ) =−=

− 8 4

[4 2 ] 2

1

因此 3 2 5

I =I1 +I =+=

2

7.解：令P = 3x2 y + 8xy2 Q =x3 + 8x2 y +12ye y