20100319_命题逻辑的推理理论_2

自然推理系统 P
P是一个自然推理系统，因而没有公理。 是一个自然推理系统，因而没有公理。 是一个自然推理系统 只有三个部分。 故P只有三个部分。 只有三个部分
自然推理系统 P（续） （
定义3.3 自然推理系统 定义如下： 自然推理系统P定义如下 定义如下： 定义
1．字母表 ．
（1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… ） 命题变项符号： ， ， ， （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→, ） 联结词符号： ∧ ∨ → （3） 括号和逗号：( , )，， ） 括号和逗号： ，，
形式系统的种类
自然推理系统 它的特点是从任意给定的前提出发， 任意给定的前提出发 它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统 中的推理规则进行推理演算， 中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题 公式是推理的结论。 公式是推理的结论。 公理推理系统 它只能从若干给定的公理出发， 若干给定的公理出发 它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推 理规则进行推理演算， 理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的 重言式，称为系统中的定理 定理。 重言式，称为系统中的定理。
（5） 附加规则 ）
（6） 化简规则 ）
（7） 拒取式规则 ）
（8） 假言三段论规则 ）
（9） 析取三段论规则 ）
（10） 构造性二难推理 ）
（11） 破坏性二难推理规则 ）
（12） 合取引入规则 ）
本条规则说明， 本条规则说明，若证明的公式序列中已 出现A和 则可将A∧ 引入序列中 引入序列中。 出现 和B ，则可将 ∧B引入序列中。
自然推理系统 P（续） （
3．推理规则（续） ．推理规则（ 九条推理定律和结论引入规则还可以 由九条推理定律和结论引入规则还可以 导出以下各条推理规则。 导出以下各条推理规则。
（4） 假言推理规则 ） 或称分离规则） （或称分离规则）
若证明的公式序列中已出现过A→ 和 ， 若证明的公式序列中已出现过 →B和A， 则由假言推理定律(A→ ∧ 可知， 则由假言推理定律 →B)∧A B可知， 可知 B是A→B和A的有效结论。 的有效结论。 是 → 和 的有效结论 由结论引入规则可知，可将B引入到命题 由结论引入规则可知，可将 引入到命题 序列中来。用图式表示为如下形式： 序列中来。用图式表示为如下形式：
归谬法（ 归谬法（续）
(A1∧A2∧…∧Ak)→B ∧ → ∧ ∨ ┐(A1∧A2∧…∧Ak)∨B ┐(A1∧A2∧…∧Ak ∧┐B) ∧ ∧┐ 为矛盾式， 若(A1∧A2∧…∧Ak∧┐ 为矛盾式，正说明 ∧ ∧┐B)为矛盾式 (A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，即 为重言式， ∧ → 为重言式 故推理正确。 (A1∧A2∧…∧Ak) B, 故推理正确。 ∧ 这种将结论的否定式作为附加前提引入并推出 这种将结论的否定式作为附加前提引入并推出 结论的否定式作为附加前提引入 矛盾式的证明方法称为归谬法。 的证明方法称为归谬法 矛盾式的证明方法称为归谬法。
第三章
命题逻辑的推理理论
上一节课的复习
推理的形式结构
(1) {A1,A2,…,Ak}├ B ├ (2) (A1∧A2 ∧…∧Ak)→B ∧ →
有效推理
命题公式A 的推理正确当且仅当 命题公式 1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当 的推理正确 (A1∧A2 ∧…∧Ak)→B 为重言式。 重言式。 ∧ →
例3.6. 在P中构造 中构造 下面推理的证明（练习） 下面推理的证明（练习）
如果小张守第一垒并且小李向B队投球， 如果小张守第一垒并且小李向 队投球， 队投球 队将取胜； 队未取胜， 则A队将取胜；或者 队未取胜，或者 队将取胜 或者A队未取胜 或者A 队获得联赛第一名； 队没有获得联赛的 队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的 第一名；小张守第一垒。因此， 第一名；小张守第一垒。因此，小李没 有向B队投球 队投球。 有向 队投球。 （1） 用归谬法证明； ） 用归谬法证明； （2）不用归谬法证明。 ）不用归谬法证明。
课后练习） 例3.4（续，课后练习） （ 前提： → ∨ →┐q, ∧┐ ∧┐s 前提：p→(q∨r), ┐s→┐ p∧┐ →┐ 结论： 结论：r
P中常用证明方法 中常用证明方法
附加前提证明法 归谬法
附加前提证明法
有时推理的形式结构具有如下形式 （A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B) ∧ → → （3.5） ） （3.5）式中结论也为蕴涵式。此时可将结论中 ）式中结论也为蕴涵式。 的前件也作为推理的前提，使结论只为B。 的前件也作为推理的前提，使结论只为 。即， 将（3.5）化为下述形式 ） (A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B ∧ → （3.6） ）
例3.5 在P中构造 中构造 下面推理的证明
如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影； 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵 不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。所以， 不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。所以， 当小赵去看影时，小李也去看电影。 当小赵去看电影时，小李也去看电影。 解 将简单命题符号化： 将简单命题符号化： 小张去看电影。 设 p:小张去看电影。 小张去看电影 q:小王去看电影。 小王去看电影。 小王去看电影 r:小李去看电影。 小李去看电影。 小李去看电影 s:小赵去看电影。 小赵去看电影。 小赵去看电影 前提： ∧ → 前提：(p∧q)→r, ┐s∨p, q ∨ 结论： → 结论：s→r 证明：用附加前提证明法。 证明：用附加前提证明法。
自然推理系统P中的证明 自然推理系统 中的证明
P中的证明就是由一组 中公式作为前提， 中的证明就是由一组P中公式作为前提， 中的证明就是由一组 中公式作为前提 利用P中的规则 推出结论 中的规则， 结论。 利用 中的规则，推出结论。 当然此结论也为P中公式 中公式。 当然此结论也为 中公式。 构造证明。 构造证明。
练习） 例3.3（续，练习） （
(2) 前提：┐p∨q, r∨┐ ,r→s 前提： ∨┐q → ∨ ∨┐ 结论： → 结论：p→s
P的简单实际应用 的简单实际应用
可以在自然推理系统P中构造数学和 可以在自然推理系统 中构造数学和日常 中构造数学 生活中的一些推理 中的一些推理， 生活中的一些推理，所得结论都是有效 即当各前提的合取式为真时， 的，即当各前提的合取式为真时，结论 必为真。 必为真。
在自然推理系统P 例3.4 在自然推理系统 中构造下面推理的证明
若数a是实数，则它不是有理数就是无理数； 若数 是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能 是实数 不能 表示成分数，则它不是有理数； 是实数且它不能表示 表示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示 成分数。所以a是无理数 是无理数。 成分数。所以 是无理数。 解 首先将简单命题符号化： 首先将简单命题符号化： 是实数。 设 p：a是实数。 ： 是实数 q：a是有理数。 是有理数。 ： 是有理数 r：a是无理数。 是无理数。 ： 是无理数 s：a能表示成分数。 能表示成分数。 ： 能表示成分数 前提： → ∨ →┐q, ∧┐ ∧┐s 前提：p→(q∨r), ┐s→┐ p∧┐ →┐ 结论： 结论：r
例3.5（续） （ 前提： ∧ → 前提：(p∧q)→r, ┐s∨p, q ∨ 结论： → 结论：s→r 证明：用附加前提证明法。 证明：用附加前提证明法。
归谬法
在构造形式结构为 (A1∧A2∧…∧Ak)→B ∧ → 的推理证明中，如果将┐ 作为前提能推 的推理证明中，如果将┐B作为前提能推 出矛盾来，比如说得出(A∧┐ ∧┐A)， 出矛盾来，比如说得出 ∧┐ ，则说 明推理正确。 明推理正确。
2．合式公式 同定义 ． 同定义1.6
自然推理系统 P（续） （
3．推理规则 ． （1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上 ） 前提引入规则： 都可以引入前提。 都可以引入前提。 （2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所 ） 结论引入规则： 得到的结论都可以作为后继证明的前提。 得到的结论都可以作为后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题 ） 置换规则：在证明的任何步骤上， 公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换， 公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换， 得到公式序列中的又一个公式。 得到公式序列中的又一个公式。
附加前提证明法（ 附加前提证明法（续）
(A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B) ∧ → → ┐(A1∧A2∧…∧Ak)∨(┐A∨ B） ∧ ∨ ┐ ∨ ） ┐(A1∧A2∧…∧Ak ∨┐ ∨B ∧ ∨┐A)∨ ┐(A1∧A2∧…∧Ak ∧A)∨B ∧ ∨ (A1∧A2∧…∧Ak ∧A)→B ∧ → 因为（ 因为（3.5）式与（3.6）式是等值的，因而若能证明 ）式与（ ）式是等值的， （3.6）式是正确的，则（3.5）式也是正确的。 ）式是正确的， ）式也是正确的。 用形式结构（ 称为附加前提， 用形式结构（3.6）式证明，将A称为附加前提，并称 ）式证明， 称为附加前提 此证明法为附加前提证明法 附加前提证明法。 此证明法为附加前提证明法。
真值表法; 真值表法 等值演算法; 等值演算法 主析取范式法. 主析取范式法 演算量大，比较繁琐. 演算量大，比较繁琐
用更严谨的形式推理系统描述推理
形式推理系统
定义3.2 定义
一个形式系统I由下面四个部分组成： 一个形式系统 由下面四个部分组成： 由下面四个部分组成 （1） 非空的字符表集，记作 ） 非空的字符表集，记作A(I)。 。 （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作 中符号构造的合式公式集， ） 中符号构造的合式公式集 记作E(I)。 。 （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作 ） 中一些特殊的公式组成的公理集， 中一些特殊的公式组成的公理集 AX(I)。 。 （4） 推理规则集，记作 ） 推理规则集，记作R(I)。 。 可以将I记为 其中<A(I),E(I)>是I的 可以将 记为<A(I),E(I),AX(I),R(I)>.其中 记为 其中 是 的 形式语言系统， 的形式演算系统。 形式语言系统，<AX(I),R(I)>为I的形式演算系统。 为 的形式演算系统