03弹性动力学
弹性动力学
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
①变形连续规律弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。
如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。
反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。
几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，在笛卡儿坐标系中，几何方程为：式中xi为坐标系的坐标；ui为与xi相应的位移分量；为应变分量。
若所考虑的物体Q在其一部分边界B1上和另一物体Q1相连接，而且Q在B1上的位移为已知量，在B1上便有位移边界条件式中u1是Q的位移。
式（2）表示Q和Q1两物体在B1上贴合紧密，没有间隙。
反之则表示有间隙，违反了变形后继续保持连续的基本要求。
②应力-应变关系弹性体中一点的应力状态和应变状态之间存在着一定的联系，这种联系与如何达到这种应力状态和应变状态的过程无关，即应力和应变之间存在一一对应的关系。
若应力和应变呈线性关系，这个关系便叫作广义胡克定律，各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：和式中为应力分量；λ和G为拉梅常数，G又称剪切模量；E为杨氏模量（或弹性模量）；v为泊松比（见材料的力学性能）。
λ、G、E和v 四个常数之间存在下列联系：式（3a）适用于已知应变求应力的问题，式（3b）的适用于已知应力求应变的问题。
③运动（或平衡）规律处于运动（或平衡）状态的物体，其中任一部分都遵守力学中的运动（或平衡）规律，即牛顿运动三定律，反映这个规律的数学方程有两类：运动（或平衡）微分方程和载荷边界条件。
在笛卡儿坐标系中，运动（或平衡）微分方程为：式中t为时间；ρ为材料密度；fi为作用在物体上的体力（外载荷的体积密度）分量。
第三部分机械系统弹性动力学基础课件
（3） 两端均固定。边界条件可表示为
U (0) U (l) 0
它相当于（ 4-24 ）中k= ∞的情形。其相应的频率为
从而求的其固有频率
sin n l 0
nk
k
l
k
l
E , k 1,2,3, (4 28)
对应主振型
Uk (x)
C1k
sin
k
l
x, k
1,2,3
(4 29)
所以前三阶的主振型为
k11 k 21
k12 k 22
k13 k 23
y1 y2
0
0 0 m3 y3 k31 k32 k33 y3
其特征方程的代数形式为
8F0 l
A
4
l
2 n
2 n
4F0 l
0
4F0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
4F0
l
0
4F0
0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
解得固有频率为
n1
3.059 l
2(t ) t 2
a2 Y (x)
2Y (x) x 2
式中x和t两个变量已分离。
(4 3)
两边都必须等于同一个常数。设此常数为- wn2 则可得 两个二阶常微分方程
2(t ) t 2
wn2 (t )
0
2Y (x) x 2
wn2 a2
Y
(x)
0
(4 4)
(4 5)
式 （4-4）形式 与单自由度振动微分方程相同，其必为 简谐振动形式
左右截面的位移分别为u, u u dx
故微分段的应变为 u x
弹性体动力学与振动分析
弹性体动力学与振动分析引言弹性体动力学是研究固体和结构体在外力作用下的振动行为的一个重要领域。
弹性体动力学的应用范围广泛，涉及各个工程领域，如建筑结构、桥梁、航空航天等。
本文将就弹性体动力学和振动分析进行探索和讨论。
弹性体动力学的基本概念和原理弹性体动力学是力学中的一个分支，研究物体在外力作用下的变形和振动。
其中，弹性体是指在一定外力作用下能够恢复原状的物质，具有一定的弹性。
在弹性体动力学中，首先要了解弹性体的本构关系。
本构关系描述了物质内部的应力和应变之间的关系。
常见的本构关系包括胡克定律、非线性弹性模型等。
通过建立本构关系，可以了解物质在外力作用下的应变分布及变形情况。
同时，弹性体动力学还涉及到物体的振动行为。
振动是物体在特定频率下的周期性运动。
振动可以分为自由振动和强迫振动。
自由振动是指物体在没有外力作用下，在某一初始条件下产生的振动现象。
而强迫振动则是指物体在外界作用力下的振动，其频率与外力的频率相同或者是外力频率的倍数。
振动分析的方法与应用振动分析是研究物体振动特性的重要方法。
在实际工程中，振动分析可以用于评估结构的可靠性和稳定性，并预测结构在外力作用下的响应。
以下将介绍几种常见的振动分析方法。
1）自由振动分析自由振动分析是指在没有外力作用下对物体进行振动分析。
自由振动的特点是物体在某一初始条件下，以一定频率和振幅进行周期性运动。
自由振动可以通过求解物体的运动微分方程来获得。
2）强迫振动分析强迫振动分析是指在外界作用力的驱动下对物体进行振动分析。
对于强迫振动的分析，需要考虑外界作用力的频率和振幅对物体的影响。
强迫振动可以通过求解物体的受迫振动微分方程来获得。
3）模态分析模态分析是一种常见的结构振动分析方法，用于研究物体的固有频率和模态形态。
在模态分析中，首先需要确定物体的固有频率和振型。
通过求解物体的特征值问题，可以获得固有频率和模态形态。
模态分析在建筑结构和机械工程中有着广泛的应用。
动力学中的弹性力与非弹性力
动力学中的弹性力与非弹性力动力学是研究物体运动的力学分支，涉及到各种不同类型的力。
其中，弹性力和非弹性力是重要的概念，它们对物体的运动状态有着显著的影响。
本文将探讨动力学中的弹性力和非弹性力的特点以及它们在物体运动中的应用。
一、弹性力弹性力是指物体发生形变后恢复原状的力。
当物体受到外力作用，发生形变时，物体内部会产生内聚力，试图将物体恢复到原始状态。
这种内聚力就是弹性力。
弹性力遵循胡克定律，即弹性力与形变量成正比。
弹性力有许多不同的表现形式，比如弹簧力、弹性绳力等。
弹簧力是指当一个物体被压缩或拉伸时，由于弹簧的弹性恢复力而产生的力。
而弹性绳力是指当一根绳子被拉伸或压缩时，由于绳子的弹性而产生的力。
弹性力的应用非常广泛。
例如，弹簧的弹性力被广泛应用于悬挂系统中。
当负重均匀分布在弹簧上时，弹簧会产生与负重成正比的弹性力，使得负重处于平衡状态。
此外，弹性力还在工程设计中起到重要作用，如弹簧减震器、弹性碰撞等。
二、非弹性力非弹性力是指物体发生形变后不会恢复原状的力。
与弹性力不同，非弹性力会使物体发生永久变形。
非弹性力可以分为塑性力和黏弹性力。
塑性力是指物体受到外力作用后，发生永久形变的力。
如金属在受力过大时会发生塑性变形，无法恢复到原来的形状。
这种情况下，施加力的大小超过了物体的塑性限度。
黏弹性力是指物体受到外力作用后，发生时间延迟性的形变。
当外力施加在物体上时，物体不会立即发生形变，而是随着时间逐渐发生形变，同时伴有一定程度的能量损耗。
这种情况下，物体受到的力和形变之间的关系是非线性的。
非弹性力在许多自然和工程现象中都起着重要的作用。
例如，地震中的地表振动、车辆碰撞中的形变等都涉及到非弹性力。
此外，塑性力还广泛应用于金属加工和塑料加工等工业领域。
结论动力学中的弹性力和非弹性力是研究物体运动的重要概念。
弹性力是指物体形变后恢复原状的力，非弹性力是指物体形变后不会恢复原状的力。
弹性力遵循胡克定律，而非弹性力涉及到塑性力和黏弹性力。
《弹性动力学引论》PPT课件
均匀性假设
• 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成，认为弹性体 内不同点处的材料具有相同的性质。
•
弹性常数不随坐标的位置改变而改变；
• • 作用 可以取出物体的任意一个小部分讨论，
•
然后将分析结果应用于整个物体
• • 应用与整个弹性动力学方程建立的。
各向同性假设
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。
弹性力学的发展
到19世纪末和20世纪初，又应当提到的是另外 两个人，一位是英国人乐甫，他是总结到他那 时全部弹性力学成果的一位大师，并且奠定了 薄壳理论的基础，以及系统将弹性力学成功地 应用于地球物理的第一人。另一位是苏联学者 穆斯海利什维利，他终生致力于用复变函数求 解弹性力学。
弹性力学的发展
§1-2 弹性力学的研究内容
应力分析 位移和应变分析 • 弹性动力学的研究内容 应力和应变的关系
弹性波的传播
§1-3 弹性力学中的基本假定
• 问题的提出
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成 的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分 复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求 解。因此根据问题性质建立力学模型时，必须作 出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的 因素，使研究的问题限制在一个方便可行的范围 之内。对于弹性力学分析，这是十分必要的。
（4） 应力
(1) 一点应力的概念
(1) 物体内部分子或原子间的相互作
内力
用力;
(不考虑)
(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
lim s
Q
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力
A0 A (2) 应力矢量. Q的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
弹性动力学
28
地震波在地下传播时，不同岩石之中的传播速度是不同的，
在遇到不同岩石的界面时，会产生反射和透射波。在地面上观 测反射波，根据反射波的速度和反射波的传播时间就可以了解 地下深处的岩石界面情况，根据反射波的振幅、频率和相位等 还可以研究岩石的性质，这就是地震勘探的基本原理。
枪、蒸汽枪及电火花引爆气体等方法。
22
浙江青田水上地震勘探
浙江青田水上地震勘探
23
浙江槽头坑道横波勘探
24
井泰高速k55+450滑坡面波勘探
25
地震勘探技术是20世纪发展起来的一种最重要的石油 勘探技术。它利用的是岩石的弹性性质。地震勘探是通过 在地面人工激发的地震波，使用精密仪器记录反射和折射 地震波（主要是反射地震波），利用计算机数字处理记录 到的反射地震波建立地下的构造图像和预测地下的岩石性 质。解释人员利用地下的地质图像确定在哪里打井才可能 找到石油。世界上的许多著名油田都是通过地震方法找到 的，如波斯湾油田、中国的大庆油田等等。目前地震勘探 技术已经从二维发展到了三维，从单纯寻找地质构造发展 到了地层预测和采油监测。除了在石油勘探开发领域的应 用外，还广泛用于煤田勘探、水文勘探、地壳研究和工程 勘测等领域，成为勘探和地质研究领域一种不可缺少的重 要技术。
3
1 远在奴隶社会时代，我国劳动人民就积累了比较丰 富的力学知识，如杠杆原理、功的原理、滚动磨擦的 原理。我国古代的墨经是一部最早记述有关力学原理 的著作。在欧州，比墨经稍晚一些，相继出现了亚里 士多德的“物理学”和阿基米德的“论比重”等著作， 奠定了静力学的基础。在那个时期，出现争论的事很 多，我们大家可能都还记得高中时学过的比萨斜塔前 的实验，那个时候亚里士多德(Aristotle,B.C.384-322) 认为物体下落的速度与其重量成正比，直到十七世纪， 伽利略才推翻了这个错误的认识。还有太阳中心说及 地球中心论等等许多的争论。
1弹性动力学引论
弹性动力学：弹性体在外力的作用下处于运动状态， 此时弹性体内各点的位移、应变和应力不仅随位置 变化，而且随时间变化的弹性力学问题。
弹性动力学是研究弹性体在外力的作 用下，弹性体内各点的位移、应变和应力 随位置和时间变化而变化的规律。
弹性动力学研究的基本内容：
一、应力分析 二、位移和应变分析 三、应力和应变之间的关系 四、 弹性动力学问题
弹性动力学的研究方法
根据基本假设，从弹性体内取单元体， 通过力学、几何学、物理学三方面的条 件分析，得出其有关位移、应变、应力 的基本微分方程，再进行求解。
3. 均匀性假定
假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性
质相同。
作用：
弹性常数（E、μ）——不随位置坐标而变化；
取微元体分析的结果可应用于整个物体。
4. 各向同性假定
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
金属 —— 上述假定符合较好； 木材、岩石 —— 上述假定不符合，称为各向异性材料；
1, 1
作用： 建立方程时，可略去高阶微量； 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 使求解的方程线性化。
6.物体无初应力
假设物体处于自然状态，即物体在受力之前应力为 零。
生产实践证明，上述基本假设对于地震勘探研 究的岩体来讲，在通常所需精度范围内是正确的。
附： 工程力学问题的建模分析过程
工程力学问题建立力学模型的过程中，一般 作三方面进行简化：
u u(x, y, z)
lim 保证 s
第一章 弹性动力学基础
第一章 弹性动力学基础§1.1 弹性动力学的基本概念与基本假设1.1.1 连续介质的概念力学系统最基本的概念是连续介质。
物体从宏观上看是稠密的，无间隙的，我们称之为连续介质。
固体、液体、气体等各种形态的物体一般地都可认为是连续介质。
严格地说，从微观角度看，这种假设并不成立。
但研究物体的运动规律和变形规律等力学行为是它的外部现象，并不涉及它的内部分子结构，连续介质假设已有足够的精确度。
描述一个物体须确定它的构形。
物体在三维欧几里德空间内占据的一般是一个有界区域，它的内部区域用V 来表示，它的边界用表示。
连续介质可由V S S +给出其构形。
连续介质内任意点P 的位置由欧几里德空间中的三个坐标给出，即),,(x x x 321),,()(321x x x P x P i =S V +∈连续介质进行力学分析时，取其微体作为基本元件。
微体是在各个方向上取微分长度的微小物体。
这种基元在宏观上是无限小，在微观上是无限大。
它们的集合是稠密的，无间隙的，构成了连续介质。
1.1.2 基本假设弹性动力学是在更普遍的意义上研究线性动力学系统的力学行为。
它的理论基础是建立在连续介质力学的基础之上。
连续介质的基本假设有：（1）连续性假设。
这是连续介质的基本属性，是几何变形方面的假设。
物体在任一瞬时的构形都是稠密的、无间隙的。
这一点在 1.1.1节已作了阐述。
（2）均匀性假设。
均匀性是指连续介质各处力学性能都相同，是物理方面的假设。
金属材料在宏观上是满足均匀性假设的，而且还具有各向同性性质，即在连续介质同一地点不同方向上力学性能皆相同。
新材料的出现，如复合材料等多相材料，缺乏这种均匀性，更没有各向同性性。
在这种情况下一般仍假设宏观上的均匀性，但须引入各向异性的概念。
在本课程内不作特殊的说明时，认为均匀性假设是成立的。
（3）线性化假设。
力学现象本质是非线性的，不论几何上、物理上，以至边界上都存在着非线性因素。
工程上大量问题都作线性化假设。
弹性力学徐芝纶版
应变张量是一个二阶对称张量，用于描述物体在应力作用下的形变状态，包括大 小和方向的变化。
几何方程与应变协调方程
几何方程
几何方程描述了应变与位移之间的关 系，是弹性力学的基本方程之一。
应变协调方程
应变协调方程是一组方程，用于保证 应变张量的连续性和无间断性，是解 决弹性力学问题的重要工具之一。
03
应变分析
应变的定义与分类
应变的定义
应变是描述物体形状改变的物理量， 表示物体在应力作用下的形变程度。
应变的分类
根据不同的分类标准，应变可以分为 多种类型，如线应变和角应变、单值 应变和非单值应变等。
主应变与应变张量
主应变
在应变张量中，有三个相互垂直的主轴，对应三个主应变，表示物体在三个方向 上的形变程度。
弹性力学徐芝纶版
• 绪论 • 应力分析 • 应变分析 • 弹性本构关系 • 弹性力学问题的解法 • 弹性力学的应用实例
01
绪论
弹性力学简介
弹性力学
一门研究弹性物体在外力作用 下变形和内力的学科。
弹性力学的基本概念
物体在外力作用下发生变形， 变形与外力成正比，且在去掉 外力后恢复原状。
弹性力学的研究对象
研究物体在动态过程中受到的力，主要考察物体 的振动和波传播。
稳定性问题
研究物体在受到外力作用下的稳定性，主要考察 物体的失稳和屈曲。
求解方法概述
解析法
通过数学公式和定理求解弹性力学问题，得到精确解。适用于简单 问题和理论分析。
近似法
利用近似公式和数值计算方法求解弹性力学问题，得到近似解。适 用于复杂问题和实际工程。
通过实验测定材料的弹性模量和泊松比，结 合广义胡克定律，可以推导出各向同性材料 的弹性本构关系。这些关系式是弹性力学中 求解问题的基本方程，可用于分析各种弹性 力学问题。
弹性波动力学概念
质点振动部分一 基本概念1) 构成振动系统的各部分都可看成是一个物理性质集中地元件，这种振动系统也称为质点振动系统。
OR 由物理性质集中的元件构成的振动系统。
2)单自由度系统A 简谐振动（无阻尼自由振动）：物体在线性恢复力或线性恢复力矩的作用下的运动。
B 阻尼自由振动：因摩擦，声波辐射等原因阻碍震动的进行（阻尼），而导致震动幅度随时间衰减。
C 受迫振动：（策动力）在策动力作用下的振动称作受迫振动。
3)什么是3dB 带宽？在但自由度振动系统的震速振幅的频率特性曲线上，速度振幅比共振峰值处下降0.707倍所对应的两个频率分别为 和 （ > ），则3分贝带宽定义为 ，可以用3分贝带宽的大小表示频率特性曲线的平坦程度。
0.00.5 1.0 1.5 2.0012345678910B z z1z2二 基本原理与技能1） 简谐振动、阻尼振动和受迫振动表达式简谐振动：阻尼振动：欠阻尼状态：x(t)= cos( )过阻尼状态：x(t)=临界阻尼状态：x(t)=(受迫振动：2） 频率特性曲线的测量扫频法：将幅值相等但不同频率的简谐力加在振动系统上，测量每个频率的速度振幅，用描点法作出频率特性曲线。
脉冲法：将含有等幅值的各种频率成分的时域信号（强迫力）加在振动系统上，测量系统响应。
流体中声场部分一基本概念11）声压：设流体体积元受声扰动后压强由改变为P，则由声扰动产生的逾量压强（简称逾压）就称为声压，2）声场：媒质中有声波存在的区域。
3）声波传播速度：常数，温度为t（℃）时理想气体中的声速为(m/s)温度为20℃的空气中的声速约为334米/秒，常温下水中声速约为1500米/秒4）质点振动速度：5）声阻抗率：声场中某位置的声压与该位置的质点的速度的比值定义为该位置的声阻抗率。
== -26)声压级：声场中某点的声压级定义为该点的声压的有效值与参考声压的比值取常用对数，再乘以20。
空气中参考声压水中参考声压7）声强级：声场中某点的声强级定义为该点的声强与参考声强的比值取常用对数，再乘以10空气中参考声强一般取瓦米在空气中声压级与声强级数值上近于相等声强：通过垂直于声传播方向的单位面积上的平均能量流称为平均能量流密度或称为声强，即：I=38）临界角：光线从光密介质射向光疏介质时，折射角将大于入射角；当入射角为某一数值时，折射角等于90°，此入射角称临界角。
2024版弹性力学
•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧•一维问题求解方法与实例分析•二维问题求解方法与实例分析•三维问题求解方法与实例分析•弹性力学在工程中应用与拓展弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象弹性力学定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内部应力分布规律的科学。
研究对象弹性力学的研究对象主要是弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设弹性体在变形过程中，其内部各点之间保持连续性，且变形是微小的，即小变形假设。
约束条件弹性体的变形受到外部约束和内部约束的限制。
外部约束指物体边界上的限制条件，如固定端、铰链等；内部约束指物体内部的物理性质或化学性质引起的限制条件，如材料的不均匀性、各向异性等。
0102 03应力应力是单位面积上的内力，表示物体内部的力学状态。
在弹性力学中，应力分为正应力和剪应力。
应变应变是物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体形状的改变。
在弹性力学中，应变分为线应变和角应变。
位移关系位移是物体上某一点位置的改变。
在弹性力学中，位移与应变之间存在微分关系，即位移的一阶导数为应变。
应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律虎克定律是弹性力学的基本定律之一，它表述了应力与应变之间的线性关系。
对于各向同性材料，虎克定律可表示为σ=Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
适用范围虎克定律适用于小变形条件下的线弹性问题。
对于大变形或非线性问题，需要考虑更复杂的本构关系。
此外，虎克定律还受到温度、加载速率等因素的影响，因此在实际应用中需要注意其适用范围和限制条件。
弹性力学分析方法与技巧ABDC建立问题的数学模型根据实际问题，确定弹性体的形状、尺寸、边界条件、外力作用等，建立相应的数学模型。
选择合适的坐标系根据问题的特点和求解的方便性，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系、柱坐标系等。
列出平衡方程根据弹性力学的基本方程，列出平衡方程，包括应力平衡方程、应变协调方程等。
弹性动力学方程
弹性动力学方程
弹性动力学方程是一种物理理论，用于描述弹性材料受外力影响的变形中的所有影响因素。
它可以用不同的方程来用来描述弹性体在不同体系中的行为，包括热、力学、电磁和压强等。
一个常见的用来预测弹性材料变形的方程是梯度形式的弹性动力学方程，也称作弹性梯度方程。
弹性梯度方程可以描述弹性材料的扭矩、压缩力等影响材料行为的力学和热因素，并根据这些参数来预测弹性材料的变形。
这个方程有一个普遍的形式，它可以写为：
∂σij / ∂xk + ∂σkj / ∂xi = 0
是介质空间中弹性材料的紧张张量，xk是外力作用于材料的维度。
从上
其中σ
ij
面的弹性动力学方程中可以看出，弹性材料可以很容易地受到外力影响而产生改变。
因为只要计算出方程的结果，就可以得到材料最终在某一维度上受到外力影响时的变形状态。
此外，弹性动力学方程还可以用来描述电磁学和压力影响弹性体的变形，这就允许用它来预测材料在特定环境和温度下的变形情况。
可以看到，弹性动力学方程可以用来帮助我们理解介质空间中弹性体在受到外力影响时，会发生什么变化，以及如何影响整个应变情况。
因此，弹性动力学方程可以被用来研究材料的变形情况，从而更好的理解材料的结构特性。
第二章 弹性体动力学的变分原理
第二章 弹性体动力学的变分原理§2.1 弹性体动力学的功能概念第一章是从运动学、动力学、物理学等三个方面分析弹性体的各个力学量性质和相互关系，根据动量定理建立它的基本方程。
这一章里将应用能量概念来分析弹性体动力学问题，根据能量变分原理来建立基本方程（控制方程）。
首先介绍外力功、应变能、动能等三个弹性体的能量概念。
2.1.1 外力功的概念弹性体上作用的外力一般地分为两类：一类分布在区域V 内的体积力f i ；一类作用在边界S 上的面积力i i 。
在运动过程中弹性体发生微小位移du i ，外力在微小位移上所作的功，称为外力元功∫∫+=ΔV Si i i i e dS du t dV du f W (2.1) 弹性体在有限位移上外力所和的功是其元功的代数和，即∑Δ=e e W W (2.2) 一般情况下，外力可能是时间、速度和位移等的函数，（2.2）式不一定存在积分形式。
只是外力是位移场变量的函数且具有位，积分形式才有意义。
上述功的的对内力同样适合。
2.1.2 应变能的概念弹性体的弹性性质是由它的本构关系所决定。
它发生变形时，伴随产生力图恢复变形的弹性力，同时在弹性体内贮存一种位能，称为应变能。
在1.5.2节已叙述了它的概念，应变能是个相对值，一般取初始构形（未变形构形）为零应变能构形，瞬时构形的应变能是该瞬时应变分量的函数，是变形过程中弹性恢复力所作的功，是个非负的标量。
它为∫∫==V V kl ij ijkl ij ij ij i dV C dV U εεεσε2121)( （2.3）它的一个重要特性是弹性体应变能与变形过程无关，取决于当时的应变状态。
从热力学观点看，若弹性体变形过程是一个绝热过程，即它是与外界没有热交换的等熵可逆过程，它的应变能就是弹性体的内能。
若弹性体变形过程是等温过程，则它的应变能是弹性体的自由能。
2.1.3 动能的概念弹性体的惯性性质是弹性体的运动属性。
它运动产生速度时，弹性体就具有一种运动能量，称为动能。
弹性动力学
[4] Eringen, A.C.，Suhubi, E.S.,《弹性动力学；第二卷；线性理论，石油工业出版社，1984年。
八、教学日历（授课内容详细至二级标题，实验课、讨论课写出题目或主题）
六、教材或讲义
杨桂通,《弹性动力学》，中国铁道出版社，1988年
七、参考书目
[1]J.D. Achenbach.《Wave propagation in elastic solids》, North-Holland, Publishing Company, 1973.
[2]徐植信,洪锦如译,阿肯巴赫.《弹性固体中波的传播》,同济大学出版社，1992年
浙江大学研究生课程教学大纲
一、基本情况
课程编号
2411001
开课（院）系
航空航天学院
开课学期
冬
中文课程名称
弹性动力学
授课语言
汉语
英文课程名称
Elastodynamics
任课教师1
王惠明
职称
教授
工作证号
0003353
E-mail：
wanghuiming@
联系电话
任课教师2
职称
工作证号
四、预备知识或先修课程要求
材料力学、弹性力学、微积分；数学物理方程
五、教学目的与要求（不少于200字）
本课程以固体力学专业博士生为主要授课对象。对弹性体的振动和波动感兴趣的其他专业博士生也可选修本课程。通过本课程的学习，学生能认识和领会振动在弹性介质中传播的波动现象；掌握体波（纵波和横波）、表面波、频散曲线、相速度、波群、群速度、谐波等基本概念；掌握波动方程的建立、边界条件的提法以及波动问题的求解方法；掌握平面简谐波在交界面处的反射与透射问题的求解方法；了解弹性波在无损检测、地层勘探等领域的重要应用。
弹性力学课件完整版
材料拉伸或压缩时力学性能指标
弹性模量
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的指标，它等于应 力与应变的比值。
泊松比
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时横向变形与纵向变形之 间关系的指标。
屈服极限和强度极限
屈服极限是指材料开始产生塑性变形的应力值，强度极限 是指材料在拉伸或压缩时所能承受的最大应力值。这些指 标对于评价材料的力学性能具有重要意义。
生物医学领域人体骨骼、肌肉等软组织力学性能研究
骨骼力学性能研究
运用弹性力学理论对人体骨骼进行受力分析 和模拟，研究骨骼在不同载荷下的应力分布 和变形情况，为骨折治疗和骨骼生物力学研 究提供理论支持。
肌肉软组织力学性能研究
通过弹性力学方法建立肌肉软组织的力学模 型，研究肌肉在收缩和舒张过程中的应力应 变关系以及能量转换机制，为运动生物力学
通过弹性力学中的运动方程可以建立位移梯度与应变之间的联系。
03
位移边界条件与约束
在实际问题中，空间各点的位移会受到边界条件和约束的影响。因此，
在分析空间各点位移变化规律时，需要考虑这些因素的影响。
06
弹性力学在工程中应用 举例
建筑结构中梁、板、柱设计原理
梁的设计原理 根据梁的受力特点和支承条件，运用弹性力学理论进行内 力、应力和变形的分析，从而确定梁的截面尺寸和配筋。
实验法在弹性力学研究中作用
验证理论模型
通过实验手段，可以验证弹性力学理论模型 的正确性和有效性。
研究材料性能
通过实验可以研究不同材料的力学性能，为 弹性力学的研究提供基础数据。
获取实验数据
通过实验可以获取大量的实验数据，为弹性 力学的研究提供有力的支持。
探索新现象和新规律
通过实验可以发现新的力学现象和规律，推 动弹性力学的发展。
弹性力学基本方程及原理
z 猜应力解：
y
l
Fz g
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz
x x
采用应力法及逆解法
解：1）设应力： x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz
2）检查是否满足平衡微分方程 ji,j+Fi =0 满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（常体力时）
ij ,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足
4）检查是否满足应力的边界条件
0
2、上、下面（次边界可放松作到近似满足）边界：
由于P的分布关系不知，
用等效力系代替：
A
zz
dA
PdA P AA
满足
解2： 解：1）设位移：
2）检查是否满足位移表示的平衡微分方程
(
G)
x
G2u
Fx
0
(
G)
y
G2v
Fy
0
(
G)
z
G2w
Fz
0
3）求应变分量：
由几何方程
满足
x
u x
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力法的所有
方程，为真解
5）求应变分量：
由物理方程得应变
x
1 E
x
( y
z )
1 E
( p
2
p)
p(1 2 )
E
y
z
xy yz zx 0
6）求位移分量：
代入几何方程并积分可求位移
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
p(1 2 )
泛定方程+定解条件 =定解问题
常见的定解条件 ：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3-1）
面力是分布在弹性体表面上的力。面力可用面力集度 来表示。若单位面积Δ S上作用有总面力Δ Q，则该面积上 的集度为：
Q F lim S 0 S
（3-2）
受力弹性体内单位面积上内力的大小，称为该点的应 力。应力是小面积Δ S 上作用的力Δ F，当Δ S 趋向于零时 的极限
F lim S 0 S
0
ij ij
ij0 ij
（3-27）
0 0 0 11 0 12 13 0 0 ij 0 0 21 22 23 0 0 0 31 32 33 0
采矿地球物理学概论
三、煤岩弹性动力学
3 煤岩体弹性动力学
3.1 应 力
物体所受的力有外力和应力。根据外力的作用方式，外力 可分为体力和面力。体力是一种场力，分布于弹性体的体积
内，如重力，惯性力等。体力可用体力集度来表示。若单位
体积ΔV上作用有总体力为ΔQ，则体力集度为
Q F lim V 0 V
x
图3-2
六面体上的应力分量
考 虑 到 x，y，z 轴 相 互 垂 直 ， 根 据 平 衡 条 件 ， 则 有 ： τ 12=τ 21 τ 23 =τ 32 ； τ 31 =τ 13 （3-5）
因此，给定点的应力可用六个数值来表示。如果处于直角坐标系 中的某个平面法向n（α ，β ，γ ）作用有应力σ i，那么该应力可 由某方向上的正应力矢量σ n 和剪应力矢量τ i来表示。或者用平行 于x，y，z轴方向上的应力来表示，即：
I3
(1) i
3.2
平面应力状态
许多采矿问题的应力状态可以简化为两维的。下面介绍两维应 力状态。其应力矢量为
ij
11 12 21 22
（3-19）
根据平衡条件可得：
2件，正应力和剪应力可以写成：
（3-32）
这 里 11 , 22 , 33 为 主 应 变 ， 12， 21， 13， 31， 23， 32 为形变。 因此，就象应力一样，也存 在三个相互垂直的主应变和三 个应变不变量（在剪应变为零 时构成的），同样可以采用莫 尔（Mohr）圆来确定某方向上 的应变。
（3-31）
u1 u2 u 2 u3 u1 u3 y x z y x 21 12 ; 32 23 ; 31 13 z 2 2 2
（3-28）
这样，应变矢量可表示为
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
（3-3）
F
S
图3-1 应力
由此可见，应力的大小不仅与力的作用方向和大小矢量 有关，而且与力作用的面积矢量有关。因此，应力是一个 矢量。应力可以分为作用在与该平面垂直方向上，称为正 应力，和作用在与该平面平行方向上，称为剪应力。 若用σ n表示正应力，用τ i表示剪应力，则应力矢量可 以写成：
2 1 2 2 2 3
2
（3-13）
应力σ ij 取决于坐标系及其变化，而应力方向则与 坐标系无关。因此应当找出应力作用的条件。如果满 足条件τ i=0，此时： (3-14) a2 n 2 a3 n 3 a1 n 1
或者说
a1 11 n a 2 12 a3 13 0 a1 21 a 2 22 n a3 23 0 a1 31 a 2 23 a3 33 n 0
i i i
即可得主方向上的应力。 (1) , ( 2) , (3)
应力不变量的形式为
I 1 i(1) i( 2 ) i(3) I2
(1) i ( 2) i ( 2) i
( 3) i
( 2) i
( 3) i
( 3) i
(1) i
（3-18）
为弹性常数矩阵。
其总的形式为 式中
ik 2 ik kk ik （3-39）
* *
*和 * — —弹性常数（ lame 常数) ik — —单位矩阵符号
弹性常数—压缩模量 K 和剪切模量 G（等于 lame常数μ *），可描述如下方程式
2 1
11 22
2
11 22 2 12 2
2
11 22
2
11 22 2 12 2
2
（3-25）
若直角坐标的轴与应力方向一致，则
n
i1 i2
2 2 i1 i2 i sin 2 2
3 i
1
2
（3-37）
3.4 应力应变的关系
线弹性关系—虎克定律
ij
Aijkl kl
（3-38）
式中， Aijkl
因为 ij 和 ij 是对称的，故矩阵 Aijkl 应包含 36个弹性系数。但对于均质体，在弹性理论中，采用 两常数来描述应力应变之间的关系。
2 n 11a12 212 a1a2 22 a2 2 2 2 i 11 22 n
（3-21）
式中
a1 sin
a2 cos
（3-22）
这样式(3-21)可以写成
n 11 sin 2 2 12 sin cos 22 cos2
E 21 2 E * K G 1 1 2 3
* G
Lame常数
杨氏模量 泊松比
(3-42）
9 KG G 3* 2G E 3K G * G * 3K 2G * 2 G 23K G
x1 A
A'
D
D'
B=B'
C=C'
x2
图3-5 形变图
下面不考虑这种位移，仅讨论物体两点间距 离发生变化的位移。 ui u1 , u2 , u3 我们用 来表示位移矢量，
则在直角坐标系（x,y,z）中，变形定义为
u3 u1 u2 11 ; 22 ; 33 x y z
(3-15）
这样根据上述条件，可以构成如下方程式
n I1 n I 2 n I 3 0
式中：
3
2
（3-16）
I 1 11 22 33
2 2 2 I 2 11 22 22 33 33 11 12 23 31
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
这里，1=x，2=y，3=z 。
（3-4）
应力矢量的各分量可以由图来表示。
z 33
31
13 12
32 23 21
22
y
11
（3-10）
因为
（3-11)
因此，根据上两式可得，
2 2 2 n a1 11 a2 22 a3 33 2a2a3 23 2a1a212 2a1a313（3-12）
以及
n
2 1 2 1 2 2 2 3
2
i n
i n i
2 2 2
2
2
2
2
（3-6）
此时，根据平衡条件可得：
i 1 2 3
（3-7）
i a j ij
（3-8）
z
13 11 12
23 22 21 x
图3-3
N
y 31 33
32
四面体上的应力分量
1 i 22 11 sin 2 12 cos 2 2
（3-23）
对于满足下式的角度，剪应力为零，
2 12 tan 2 0 22 11
（3-24）
角度α 0 为主方向，第二个主方向与其垂直。在 这两个主方向上，主应力值为
i i
0
11 22 33
3
（3-28）
式(3-27)中，第一项称之为平均应力矢量（应 力轴对称量），是静水压力形成的应力，第二个称 之为偏应力张量。
考虑岩体的受力情况，除双向受力外，还有单 向应力状态
i1 0, i2 i3 0
和双向轴对称应力状态
式中：
cos a1 ; cos a2 ; cos a3
（3-9）
或者说：
1 a1 11 a2 12 a3 13 2 a1 21 a2 22 a3 23 3 a1 31 a2 32 a3 33
n a11 a2 2 a3 3 a j j
kk 3k kk ij 2G ij
当 K＝１,２,３
（3-40）
弹性常数—杨氏模量 E 和泊松比ν 是用下式 来描述应力应变关系的
1 ik ik kk ik E E
（3-41）
弹性常数之间的相互关系(
压缩模量 剪切模量
*
1 0 2
)
2 E K G 3 31 2
（3-35）
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
平均应变矢量确定应力变化形成的岩体体积变形。 同样，应变也有单轴应变状态
i 0; i i 0