线路与绕组中的波过程

将（8－4）代入（8－1），得
at L 0 vta = vC 0
（8－4）
由此可得电磁波的传播速度v的表达式（v取正值）： 1 v= （8－5） LC
0 0
对于架空线路，单位长度的电感L0和电容C0为
L0 =
µ 0 2h ln 2π r
H /m
（8－6）
2πε 0 C0 = 2h ln r
F /m
第八章 线路与绕组中的波过程
（4学时） 学时）
电力系统中的架空输电线路、母线、电缆、发电机和变压器 绕组等都属于具有分布参数的电路元件。无论发生雷电过电压 还是操作过电压，都会在这些线路和设备中产生过渡过程。分 布参数的过渡过程本质上是电磁波的传播过程，简称波过程。
8.1 波沿均匀无损单导线的传播
（8－7）
其中，µ 0 = 4π × 10 −7 H / m，为空气的导磁系数；ε 0= 10 −9 36π F / m，为空 气的介电系数；h为导线的对地高度，单位为m；r为导线半径，单位 为m。因此 1 1 v= = = 3 ×108 m/ s L0C0 µ 0ε 0 它等于光速，通常用c来表示。也就是说电流波或电压波是以光速 沿架空导线传播的，它与导线的几何尺寸和悬挂高度无关。 将 i = at 和（8－5）式代入（8－1）式，得到
为u1，因为
x1 + vdt x1 u q [( t 1 + dt ) − ] = u q (t1 − ) = u 1 v v x 由此可见， q (t − ) 是随着时间t的增加、以速度v向x增加的方向运 u v x 动的，是前行波电压，如图8－3所示。同样可以说明，u f (t＋ ) 代表一
个以速度v向x负方向行进的波，是反行波电压。为了方便，式（8－13） 可以简洁地表示为
实际的输电线路采用三相交流或双极直流输电，因而均属于多导 线系统；导线和绝缘中分别存在电阻和电导，因而在电磁波传播过程 中会产生能量损耗；同时，线路各点的电气参数也不可能完全一样。 由于这些原因，所谓的均匀无损单导线线路实际上是不存在的。为了 更清晰地分析波过程的物理本质和基本规律，暂时忽略线路的电阻和 电导损耗，假设线路各处参数均匀，从均匀无损单导线入手进行研究， 是比较合适的。
1 L0 C 0
从式（8－13）可以看出，电压和电流的解都包括两部分，一部分 是 (t − ) 的函数，另一部分是(t + ) 的函数。为了理解这两部分的物理 v v x 意义，首先来研究 u q (t − ) 。 v
x x
x 函数 u q (t − ) 说明，导线各点的电压是随时间而变的。设在t1时刻、 v x1 点处的电压也 + vdt t1时刻，在 + dt 线路上的x1点处的电压为u1，则在
可以将均匀无损单导线设想为由许多无限小长度dx的线路单元串 联而成，设导线单位长度的电感和对地电容分别为L0和C0 ，则每一线 路单元的电感和对地电容分别为L0 dx和C0 dx，如图8－2所示。 图中单元回路的电压和电流存在如下关系：
− ∂u = L0 ∂x ∂i − = C0 ∂x ∂i ∂t ∂u ∂t
u1q Z1
、i 2 q =
u 2q Z2
、i1 f = −
u1 f Z1
u1q Z1
−
u1 f Z1
=
u 2q Z2
（8－21）
联立方程式（8－19）和（8－21），可以解得
Байду номын сангаас
u 2q =
2Z 2 u 1q = α u 1q Z1 + Z 2
（8－22） （8－23）
u1 f
Z 2 − Z1 = u1q = βu1q Z1 + Z 2
8.1.1 波传播的物理概念
i = at
v
A
图8－1 －
. D
x = vt
B
斜角波电流作用于导线
如图8－1所示的一根架空长导线，其单位长度的电感和电容分别 为L0和C0。在t = 0时把斜角波电流i = a t （a的单位为A /s，t的单位为s） 加入长导线的左端A点。设波的传播速度为v，经过t时刻到达x远处的 B点，电流沿导线的分布就会现如图8－1所示。此时在波传播的前沿 B点的电位仍然为0。从A到B的电感 L0 x =上的压降就是A点的电位 L0 vt uA，即
' 近，且它们之间的绝缘材料的介电常数较高(相对介电常数约为4)故C0
较架空线路大；因此，电缆中波的传播速度约为光速的1/2，且波阻抗 远较架空线路小，一般小于100Ω。
波的传播也可以从电磁能量的角度进行分析，因为电压波使导线 对地电压升高的过程也就是在导线对地电容中储存电场能的过程，电 流波流过导线的过程也是导线电感中储存磁场能的过程。当电压波uA 和电流波i互相伴随着沿导线传播时，单位长度的导线获得的电场能和 即单位长度导线获得的电场能与磁场能相等，这正是电磁波传播的规 律。也就是说，电压波和电流波沿导线传播的过程就是电磁能量传播 的过程。电磁场的向量E和H相互垂直且完全处于垂直于导线轴的平面 内，是平面电磁场。因此，行波沿无损导线的传播过程就是平面电磁 场的传播过程。对架空线而言，周围介质是空气，故电磁场的传播速 度必然等于光速。
U1q Z1 U1f
图8－5 － 行波的折射和反射
.
U2q
Z2
A
由于在连接点A处只能有一个电压值和电流值，即A点左侧及右侧 的电压和电流在A点必须连续，因此必然有
u 2 q = u1q + u1 f
（8－19） （8－20）
，将它们代入式（8－20），可得
i 2 q = i1q + i1 f
因为 i1q =
电力系统过电压与绝缘配合
按照电力系统中过电压的产生原因，可将过电压作如 下分类：
其中，雷电过电压持续时间一般只有数十微秒左右，其幅值取 决于雷电参数和防雷措施，与电网额定电压无直接关系。内部过 电压中操作过电压的持续时间一般以毫秒计，而暂时过电压的持 续时间更长；内部过电压的幅值与电网额定电压有直接关系。 无论哪种过电压，它们作用时间虽短（暂时过电压有时较 长），但其数值较高，威胁到设备的正常运行；因此，研究过电 压及其防护问题对于电气设备的设计和制造、对电力系统的设计 和运行都具有重大的意义。为了保证系统安全运行，有必要研究 过电压的产生机理及其发展的物理过程，从而提出限制过电压的 措施，并确定各种电气设备应有的绝缘水平和相互之间的配合关 系。
1
一般单导线架空线路Z ≈500 Ω，分裂导线Z ≈300 Ω。 用同样的方法可以证明，在电缆中v =
' 0 ' 0
=
中 L 、C 分别为电缆每米的电感和电容，µ、ε 分别为电缆介质的导磁 芯线和外皮之间，故 L'0 较架空线路小；又因为芯线和外皮之间距离很
L'0 ，Z = ，其 ' µε C0
系数和介电常数。在电缆中，相对导磁系数为1，磁通主要分布在电缆
uq + u f u uq + u f = =Z ≠Z i iq + i f uq − u f
8.2 波的折射和反射
波沿无损均匀线路传播时，电压和电流波形保持不变，它们的比 值决定于线路的波阻抗。当行波到达线路的某一点时，若线路参数发 生变化，例如从波阻抗较大的架空线到达波阻抗较小的电缆线路，或 相反；由于节点前后波阻抗不同，而波在前进过程中必须保证电压波 和电流波的比值等于线路的波阻抗，这就意味着波在节点处必然要发 生折反射。
（8－11） 8 11
将式（8－11）中的方程式分别对x和t进行二阶求导，经联立变换 后，可以得到如下二阶偏微分方程：
∂ 2u − 2 = L0 C 0 ∂x ∂ 2i − 2 = L0 C 0 ∂x ∂ 2u ∂t 2 2 ∂ i ∂t 2
（8－12）
这就是单根均匀无损长线的波动方程。从（8－12）可以看出， 线路上的电压和电流不仅是时间t的函数，也是距离x的函数。两个方 程具有完全相同的形式，可以预见u和i的解的形式也完全相同。 应用拉普拉斯变换和延迟定律，不难求得波动方程的通解 x x u( x, t ) = uq (t − ) + u f (t + ) v v （8－13） x x i( x, t ) = iq (t − ) + i f (t + ) v v 式中， v =
di = L0 vta （8－1） dt 另一方面，A点的电位又与A点处的d x段对地部分电容C0 d x上储 存的电荷有关。设A点单位长度上的电荷为q，则在A点dx段上的电荷为 qdx，于是可求出A点电位uA等于 qdx q uA = = （8－2） C0 dx C0 u A = L0 vt
电荷的流动形成电流。在dt时间内流过A点的电荷为qdx，故A点 的电流i为 qdx dx i= =q = qv （8－3） dt dt 将（8－3）代入（8－2），且计及i = a t，得 i at uA = = （8－4） vC 0 vC 0
8.2.1 折射波和反射波的计算
以无穷长直角波为例来分析波的折反射。因为阶跃响应是计算任 意电压波形作用下解的基础，掌握了直角波作用下的波过程，就不难 应用丢阿莫尔（Duhamel）积分计算任意波作用下的波过程。 图8－5表示一无穷长直角波从波阻抗为Z1的线路1传到波阻抗为 Z2的线路2，在节点A处发生折反射。设u1q为入射的电压波，相应的 电流波为i1q ；u2q 、i2q分别为折射到线路2的电压波和电流波；u1f 、 i1f分别为在a点处反射回的电压波和电流波。
2Z 2 Z1 + Z 2
α、β分别称为电压波的折射系数和反射系数，根据上式有
1 1 1 1 2 2 2 C 0 u A = L0 i 2 。 磁场能分别为 C 0 u A 和 L 0 i 。由式（8－9），可得 2 2 2 2