线性系统理论PPT讲义

x1 (k 1) 1.01 (1 0.04) x1 (k ) 1.01 0.02x2 (k ) 1.01 5 104 u(k ) x2 (k 1) 1.01 (1 0.02) x2 (k ) 1.01 0.04x1 (k ) 1.01 5 104 u(k )
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离散时间线性系统的状态空间描述
状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统
X (k 1) Gx(k ) Hu(k ) Y (k ) Cx(k ) Du(k )
n n阵G : 系统矩阵 n p阵H : 输入矩阵 q n阵C : 输出矩阵 q p阵D : 传输矩阵
(t ) Ax(t ) Bu(t ) 的、一阶微分方程（组）：x
(6)输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关 系的数学表达式： y(t ) Cx(t ) Du(t ) (7)状态空间表达式： (5)+ (6).
状态变量的特点：
(1)独立性：状态变量之间线性独立. (2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实 际上存在无穷多种方案. (3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异 变换.
(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量 . (5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义. 2.1.2 状态空间表达式的一般形式： (1)线性系统
t A t x t B t u t x
y t C t x t D t u t
Ra
i f const
e (t )
J, F
La
上式可表为形如
AX Bu X Y CX Du
2/7,6/50
连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构
u1 u2
x1 x2
y1 y2
输出部件

up动力学部件源自xnyq连续时间线性系统的状态空间描述
AX Bu X 线性时不变系统 Y CX Du
u1 u2
up
yq
x1, x2 ,, xn
y2
yq
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u (n1) b1u(1) b0u
复频率域描述即传递函数描述
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
2/2,13/50
2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述
由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
t t0
(3) 状态向量：以系统的 n 个独立状态变量
x1 t , L, xn t 作为分量的向量，即 x t x1 t , L, xn t .
T
(4) 状态空间: 以状态变量 x1 t ,, xn t 为坐 标轴构成的 n 维空间。 (5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系
离散时间线性时变系统
X (k 1) G(k ) x(k ) H (k )u (k ) Y (k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k )
6/7,10/50
离散系统状态空间描述的特点：
一是:状态方程形式上的差分型属性（即：状态方程为差分方程。） 二是:描述方程的线性属性。（状态方程和输出方程的右端，对状态x和输入u都 呈现为线性关系。） 三是:变量取值时间的离散属性（所有变量只能在离散时刻k取值）。
其传递函数描述
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
可以导出其状态空间描述为
Ax bu x y cx du x Rn A R nn b R n1 c R1n d R11
iL
Uc
R2 U R2
R1 1 ( R1 R2 )C uc ( R1 R2 )C e R1 R2 R i 2 L L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) R1 R2 uc R2 i e R1 R2 L R1 R2
其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=n,即系统为真情形
0 X 0 0 a0 1 0 0 a2 0 0 0 0 x u 1 0 an 1 1
A(t ) X B(t )u X 线性时变系统 Y C (t ) X D(t )u
3/7,7/50
连续时间线性系统的方块图
D(t )
U
B(t )
X


A(t )
X
C (t )
Y
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人口分布问题状态空间描述的列写示例 假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡 村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1% 设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年 所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口 迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全 国人口数
xR ,
n
uR ,
p
y Rq
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式 （动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和 输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。
R1
C
iC
电路系统状态空间描述的列写示例

第一部分: 线性系统时间域理论
线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直 接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论 和方法。
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的数学描述
u1 u2
up
yq
x1, x2 ,, xn
y2
yq
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(1).系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
以上方程可表为形如
AX Bu X Y CX Du
1/7,5/50
机电系统状态空间描述的列写示例
di R a i a La a c e e dt d c M i a f J dt ce Ra a L ia 1 i L a a La e f cM 0 J J ia 0 1
1/18,14/50
结论1
给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)

x(k )
单位延迟

C (k )
u (k )

y (k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的 线性函数,该系统称为线性系统
A(t ) X B(t )u X 对于线性系统 Y C (t ) X D(t )u
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若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个 组成元素为x、u的非线性函数,该系 统称为非线性系统 。 非线性系统可以用泰勒展 开方法化为线性系统。
写成矩阵形式
x1 ( k 1) 0.9696 0.0202 x1 ( k ) 5.05 104 u (k ) x ( k 1) 0.0404 0.9898 x (k ) 4 2 2 5.05 10 x (k ) y ( k ) 1 1 1 x2 ( k ) 亦可表为 x ( k 1) Gx( k ) Hu( k ) y ( k ) Cx ( k ) Du( k )
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u1
yq
2.1 基本概念
2.1.1 定义
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
(1)状态： 系统过去、现在和将来的状况 能够完全表征系统运动状态的 (2)状态变量： 最小一组变量： a. x t t t x(t0 ) 表示系统 t 0 时刻的状态
0
b. 当
时的输入 u t 给定，且上述初始 状态确定时，状态变量能完全确定系统 在 t t 0 时的行为