吉林省实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)

吉林省实验中学2018———2019学年度下学期高二年级数学学科期中考试试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知随机变量服从正态分布，，则（）A. B. C. D，【答案】A【解析】由正态分布的特征得＝，选A.2.函数f(x)＝xcos x－sin x的导数为（）A. xsin xB. －xsin xC. xcos xD. －xcos x【答案】B【解析】【分析】根据导数的运算法则计算即可．【详解】函数f(x)＝x cos x﹣sin x的导数为＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x，故选：B．【点睛】本题考查了导数的基本运算法则和基本导数公式，属于基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的a、b分别为5、2，则输出的n＝（）A. 2B. 3C. 4D.【答案】C【解析】当n=1时，当n=2时，当n=3时，当n=4时，点睛：本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为（）A. 0.5和0.25B. 0.5和0.75C. 1和0.25D. 1和0.75【答案】A【解析】【分析】先由随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，作出X的概率分布，然后再求E（X）和D（X）．【详解】∵X服从两点分布，∴X的概率分布为∴E（X）＝0×0.5+1×0.5＝0.5，D（X）＝0.52×0.5+（1﹣0.5）2×0.5＝0.25．故选：A．【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用．5.已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=A. –4B. –2C. 4D. 2【答案】D【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.6.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】记甲、乙通过听力测试分别为事件A、B，则有P（A），P（B），所求的事件可表示为，由事件的独立性和互斥性可得答案．【详解】记甲、乙通过听力测试分别为事件A、B，则可得P（A），P（B），两人中有且只有一人能通过为事件，故所求的概率为P（）＝P（）P（B）+P（A）P（）＝（1）故选：C．【点睛】本题考查相互独立事件发生的概率，涉及事件的互斥性，属于中档题．7.下表是关于x与y的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过点（）x0123y1 2.9 5.17A. (2,2)B. (1.5,2)C. (1,2)D. (1.5,4)【答案】D【解析】【分析】根据所给的表格中的数据，求出横坐标和纵坐标的平均值，得到样本中心点，代入线性回归方程即可得到结果．【详解】∵ 1.5，4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），∴回归方程必过点（1.5，4）故选：D．【点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点，属于基础题.8.袋中有10个大小相同但编号不同的球，6个红球和4个白球，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是，再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：,故选D.考点：条件概率与独立事件.【易错点晴】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解.利用定义，分别求和，得.注意：事件与事件有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清的求法．属于中档题，看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键.9.已知m是实数，函数f (x)＝x2(x－m)，若，则函数f (x)的单调增区间是（）A. B.C. (0，＋∞)D. (0，＋∞)【答案】C【解析】因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2.所以f′(x)＝3x2＋4x.由f′(x)＝3x2＋4x>0，解得x<－或x>0，即f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，故选C.故答案为：C10.函数 f(x)=(x2－2x)e x的大致图像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由f（x）=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D；故选：B考点：函数的图象．11.已知函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. [1，＋∞)B. (－∞，0)(0,1]C. (0,1]D. (－∞，0)[1，＋∞)【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用参数分离可得x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用二次函数的最值，求出右边的范围即可得到．【详解】函数f（x）＝x的导数为f′（x）＝1，由于f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立．即为x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．由于当x＜﹣1时，x2＞1，则有1，解得，a≥1或a＜0．故选：D．【点睛】本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断单调性，以及不等式恒成立问题，转化为求函数最值或范围是解题的关键，属于基础题和易错题．12.定义在R上的函数的导函数为，且对恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】构造函数，因，故函数是单调递减函数，因为，所以，即应选答案A。

点睛：解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功。

求解时构造出函数，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中，从而确定函数是单调递减函数，再运用单调性求出当时，，从而使得问题获解。

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13.曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线的斜率为__________．【答案】4【解析】【分析】先求导函数，利用导数的几何意义，求出在点（1，1）处的切线的斜率．【详解】y＝x（3lnx+1）的导函数为：y′＝3lnx+4，当x＝1时，y′＝4，曲线y＝x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线的斜率为：4．故答案为：4．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题．14.设服从二项分布B(n，p)的随机变量ξ的期望与方差分别是15和，则n＝_____，p＝_____．【答案】(1). 60(2).【解析】【分析】若随机变量X服从二项分布，即ξ～B（n，p），则随机变量X的期望E（X）＝np，方差D（X）＝np（1﹣p），由此列方程即可解得n、p的值【详解】由二项分布的性质：E（X）＝np＝15，D（X）＝np（1﹣p）解得p，n＝60故答案为60．【点睛】本题主要考查了二项分布的性质，二项分布的期望和方差的公式及其用法，属于基础题.15.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm3．【答案】144【解析】【分析】设小正方形的边长为，可表示出盒子的容积，利用导数求得其最大值【详解】设小正方形的边长为则盒子的容积当时，，当时，时，取得极大值，也是最大值，故答案为【点睛】本题主要考查了导数在解决实际问题中的应用，考查了学生的阅读理解能力和利用数学知识解决问题的能力，属于基础题目。

16.已知定义在R上的可导函数f (x)的导函数为，满足＜f (x)，且f (x＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x)＜e x的解集为________．【答案】【解析】【分析】令，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得g（0）＝1，即可得出．【详解】令，则，∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．∴g（x）在R上单调递减．∵函数f（x+2）是偶函数，∴函数f（﹣x+2）＝f（x+2），∴函数关于x＝2对称，∴f（0）＝f（4）＝1，原不等式等价为g（x）＜1，∵g（0）1．∴g（x）＜1⇔g（x）＜g（0），∵g（x）在R上单调递减，∴x＞0．∴不等式f（x）＜e x的解集为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及利用函数的单调性解不等式，考查了函数的奇偶性及对称性的应用，运用了构造函数的方法，属于较难题．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．（1）求所选3人中女生人数ξ≤1的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求得ξ=2的概率，再利用对立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ服从超几何分布，随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，ξ可能的取值为0，1，2，结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．【详解】（1）由题意知P(ξ＝2)＝，则“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为.（2）由题意知ξ服从超几何分布，随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，ξ可能取的值为0，1，2．．∴ξ的分布列为ζ012P∴ξ的数学期望为【点睛】本题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分布，考查对立事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求的最大值和最小值．【答案】（1）见解析；（2）最大值为6，最小值为.【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，分别利用导函数大于0和小于0，结合已知函数定义域求得原函数的单调区间；（2）求出函数在[﹣2，1]两端点的值，再求出函数在该区间上的最大值得答案．【详解】（1）f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋)(x＋1)．由f′(x)>0，得x<－1或x>－；由f′(x)<0，得－1<x<－.因此，函数f(x)在[－，1]上的单调递增区间为[－，－1]，[－，1]，单调递减区间为[－1，－]．（2）f(x)在x＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x＝－处取得极小值为f(－)＝.又∵f(－)＝，f(1)＝6，且>，∴f(x)在[－，1]上的最大值为f(1)＝6，最小值为f.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．19.某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．）（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；（2）根据以上数据完成下列2×2的列联表：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下50岁以上合计（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系？附：K2＝.P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.010]0.0050.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能【解析】【分析】（1）根据茎叶图，得到30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．（2）根据茎叶图所给的数据，能够完成2×2列联表．（3），求出K2，能够求出结果．【详解】(1)在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．(2)2×2的列联表如下：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030(3) ）由（2）2×2的列联表算得：K210＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系．【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查了独立性检验的实际应用及卡方的运算，考查了数据分析整理的能力及运算能力，是基础题．20.已知函数f (x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2，讨论f (x)的单调性．【答案】见解析【解析】【分析】先求导函数，将其分解因式后，对a分类讨论，分别求得导函数为0时的根的情况，利用导函数的正负解得相应的x的范围，从而判断原函数的单调性．【详解】f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．②设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．(a)若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(e x－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(b)若a>－，则ln(－2a)<1，故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减．(c)若a<－，则ln(－2a)>1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．综上所述，当时，单增区间为（﹣∞，1）和（ln（﹣2a），+∞），单减区间为（1，ln（﹣2a））；当时，只有单增区间为（﹣∞，+∞）；当时，单增区间为（﹣∞，ln（﹣2a））和（1，+∞），单减区间为（ln（﹣2a），1）；当a≥0时，单减区间为（﹣∞，1），单增区间为（1，+∞）．【点睛】本题考查了利用导函数分析原函数单调性的问题，考查了分类讨论的数学思想方法，涉及含参二次不等式的解法，属于较难题型．21.一款击鼓小游戏的规则如下：每轮游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每轮游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓是否出现音乐相互独立．（1）玩三轮游戏，至少有一轮出现音乐的概率是多少？（2）设每轮游戏获得的分数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）；(2)见解析【解析】【分析】（1）利用对立事件求解得出P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（X＝﹣200），求解P（A1A2A3）即可得出1﹣P（A1A2A3）．（2）X可能的取值为10，20，100，﹣200．运用几何概率公式得出求解相应的概率，得出分布列．【详解】（1）设“第i轮游戏没有出现音乐”为事件A i（i＝1，2，3），则P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（X＝﹣200），所以“三轮游戏中至少有一轮出现音乐”的概率为1﹣P（A1A2A3）＝1﹣．因此，玩三轮游戏至少有一轮出现音乐的概率是．（2）X可能的取值为10，20，100，﹣200．根据题意，有P（X＝10）（）1×（1）2，P（X＝20）（）2×（1）1，P（X＝100）（）3×（1）0，P（X＝﹣200）（）0×（1）3．以X的分布列为：X1020100﹣200PE(ξ)＝.【点睛】本题考查了离散型随机变量的问题，考查了相互独立事件及对立事件概率公式的运用，属于中档题．22.已知函数f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g (x)＝x2＋e x－xe x.（1）当x∈[1，e] 时，求f (x)的最小值；（2）当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g (x2)恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出f（x）的定义域，求导数f′（x），得其极值点，按照极值点a在[1，e2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，可得其最小值；（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即f（x）min＜g（x），由（1）知f（x）在[e，e2]上递增，可得f（x）min，利用导数可判断g（x）在[﹣2，0]上的单调性，min可得g（x）min，由f（x）min＜g（x）min，可求得a的范围；【详解】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）（a∈R），当a≤1时，x∈[1，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣a；当1＜a＜e2时，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，x∈[a，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，所以f（x）min＝f（a）＝a﹣（a+1）lna﹣1；当a≥e2时，x∈[1，e2]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，所以f（x）min＝f（e2）＝e2﹣2（a+1）；综上，当a≤1时，f（x）min＝1﹣a；当1＜a＜e2时，f（x）min＝a﹣（a+1）lna﹣1；当a≥e2时，f（x）min＝e2﹣2（a+1）；（2）存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即f（x）min＜g（x），min当a＜1时，由（1）可知，x∈[e，e2]，f（x）为增函数，∴f（x1）min＝f（e）＝e﹣（a+1）g′（x）＝x+e x﹣xe x﹣e x＝x（1﹣e x），当x∈[﹣2，0]时g′（x）≤0，g（x）为减函数，g（x）min＝g（0）＝1，∴e﹣（a+1）1，a，∴a∈（，1）．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及求闭区间上函数的最值，考查分类讨论思想，考查了分析解决问题的能力，将恒成立问题转化为函数的最值是常用方法，属于较难题．。