2012中考数学复习专题-动点问题课件北师大版

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北师大数学中考一轮复习动点问题

第13讲动点问题知识点1 动点问题中的函数图象本讲例举了以三角形、四边形、圆为背景的因点运动而产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系，能够依据题意，在所给出的函数图象中，找准临界点，数形结合，分段思考问题；如果是选择题，综合给出的所有选项，找到异同点，深入分析，快速找到正确选项。

【典例】例1如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（）A．11B．15C．16D．24例2如图，菱形ABCD中，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．例3如图，已知直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、PB，则△P AB面积的最大值是．例4反比例函数y＝（x＜0，k＜0）和y＝（x＜0）的图象如图所示，点P（m，0）是x 轴上一动点，过点P作直线AB⊥x轴，交两图象分别于A、B两点．（1）若m＝﹣1，线段AB＝9时，求点A、B的坐标及k值；（2）雯雯同学提出一个大胆的猜想：“当k一定时，△OAB的面积随m值的增大而增大．”你认为她的猜想对吗？说明理由．例5如图，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+15分别交x轴、y轴于点A，B，交直线y=12x于点M．动点C在直线AB上以每秒3个单位的速度从点A向终点B运动，同时，动点D以每秒a个单位的速度从点O沿OA的方向运动，当点C到达终点B时，点D同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求点A的坐标和AM的长．（2）在点C的整个运动过程中，①求点C的坐标（用含t的代数式表示）．②若a＝2，以C为直角顶点作等腰直角△CDE（点C，D，E按逆时针顺序排列）．当OM与△CDE的一边平行时，求所有满足条件的t的值．【随堂练习】1．点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝4，点A的坐标为（4，0），设△OP A的面积为s，则下列图象中，能正确反映s与x之间的函数关系式的图象是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中．∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，点D是AC边上一动点，过点D作DE ⊥BC，垂足为E．作DF∥CB，交AB于点F．四边形DEBF的面积S与线段DE之间关系的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，当∠PCB＝∠BCO时，求点P的横坐标．4．如图1，直线y=−34x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，AB平分∠OAD交x轴于点B．（1）求OB的长；（2）如图2，G，F是直线AB上的两点（点E在点F上方），若△DEF是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图3，点P是直线AB上点，点Q是直线AD上的动点，点G是x轴上的动点，且以点P、Q、D、G为顶点的四边形是菱形，直接写出点G的坐标．知识点2 动点与存在性问题在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解.【典例】例1如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是；（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为．例2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），D（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积大时，试求出点P的坐标，并求出△P AB面积的最大值；（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M 作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．例3如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【随堂练习】1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，OB＝5，点D是此抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是；（3）①点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；②在①的条件下，当△BCE的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．综合运用1．如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别在线段BO，AO上，且PQ ∥AB．以PQ为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段AC，BD上，设BP＝x，新作菱形的面积为y，则反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．2．如图1，点A 是⊙O 上一定点，圆上一点P 从圆上一定点B 出发，沿逆时针方向运动到点A ，运动时间是x （s ），线段AP 的长度是y （cm ）．图2是y 随x 变化的关系图象，则点P 的运动速度是（）A ．1cm /sB ．√2cm /sC ．π2cm /sD ．3π2cm /s3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝3cm ，点E 是AB 的中点，点P 沿E ﹣A ﹣D ﹣C 以1cm /s 的速度运动，连接CE 、PE 、PC ，设△PCE 的面积为ycm 2，点P 运动的时间为t 秒，则y 与x 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以恒定的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x．△P AB面积为y，若y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为（）A．36B．54C．72D．815．如图，正方形ABDE的边长为4cm，点F是对角线AD、BE的交点，△BDC是等腰直角三角形，∠BDC＝90°．动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D时停止．设点P运动x（秒）时，△AFP的面积为y（cm2），则能够反映y 与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，点A（﹣1，0），点P是射线AO上一动点（不与O点重合），过点P作直线y＝x 的平行线交y轴于C，过点P作x轴的垂线交直线y＝x于B，连结AB，AC，BC．（1）当点P在线段OA上且AP＝PC时，AB：BC＝．（2）当△ABC与△OPC相似时，P点的横坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+6√2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（0，2√2），点D在x轴上，CD＝AB．（1）点E在CD上，其横坐标为4√2，点F、G分别是x轴、y轴上的动点，连接EF，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，点P是直线BD上的一个动点，当|P A﹣PC|最大时，求PG+GD′的最小值；（2）将CD绕点D逆时针旋转90°得直线C′D，点M、N分别是直线C′D与直线AB 上的动点，当△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+43x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC．点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD ＝BE时，求AD+AE的最小值；（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．9．已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B．此抛物线与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．第13讲动点问题知识点1 动点问题中的函数图象本讲例举了以三角形、四边形、圆为背景的因点运动而产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系，能够依据题意，在所给出的函数图象中，找准临界点，数形结合，分段思考问题；如果是选择题，综合给出的所有选项，找到异同点，深入分析，快速找到正确选项。

北师大版数学七年级上册第二章数轴动点专题课件

2、设未知数，列出等式（列方程）；动点向右移动后表示的数=起点+每秒移动的单位长度×时间
③在数轴上A表示的数为-2，现将A点以每秒2个单位长度向右平移，时间为t，回答下列问题：分析：向右平移，即原数加2 （2）当A点移动4秒时，A点移动_____个单位长度，此时A点表示的数是_____
3、解方程；分析：A点以每秒2个单位长度运动，即每秒2个单位长度是A点的速度，运动2秒，即时间为2秒，根据路程=速度×时间得到，A点移动的单位长度=每秒2个单位长度×2=4；
二、动点问题解题步骤：
此且时|a-A1点2|表+|示b1+的6|、数=0是，：审-2+4题=2 ，分清楚动点在不同的时间段处于怎样的状态（时间
在数轴中动点移动的问题之间就是行程问题解决；例2：如图A，B二点在数轴上，A表示的数是a，B表示的数是b,
段、速度）；题型一:点移动后的表示
设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，AB的中点为M。当A向左移动m个单位，则A表示的数为a-m.
题型一:点移动后的表示
③在数轴上A表示的数为-2，现将A点以每秒2个单位长度向右平移，时间为t，回答下列问题：（2）当A点移动4秒时，A点移动_8____个单位长度，此时A点表示的数是_6____ （3）当A点向右移动t秒时，A点移动__2_t__个单位长度，此时A点表示的数是_-_2_+_2_t
设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，AB的中点为M。则： 2、中点公式：点M表示的数为：b （a+b)/2；（将AB两点a折叠正好重合，求折痕对应点表示的数也是要求中点）
例：A，B两点中点对应的数是__6__；A，C两点中点对应的数是

《中考动点问题》课件

常见的动点问题
1 直线运动问题
涉及到速度、时间和距离的计算。
2 相对运动问题
考察两个或多个物体相对运动的速度、时间和相对距离。
3 抛体运动问题
研究抛体在重力作用下的运动轨迹和最大高度等。
动点问题解决方法
理清问题思路
分析题目，明确问题的具体需求，确定解题思路。
建立数学模型
将问题抽象成数学表达式或方程，建立数学模型。
与同学合作
和同学一起讨论解题思路和方法，互相学习和帮助。
与动点问题相关的个人经验分享
1
方法一
尝试将题目中的信息可视化，利用图表和图像辅助计算。
2
方法二
将问题分解为多个小问题，逐步解决每个小问题，最后将结果汇总。
3
方法三
多多练习，熟能生巧。反复做题，培养解题思维和技巧。
动点问题的影响
发展逻辑思维
通过解决动点问学能力
熟练掌握动点问题的解题方法，提高数学成绩。
如何应对动点问题
1 理解数学原理
掌握动点问题的数学概念和原理，深入理解与运动相关的数学知识。
2 创设实际情境
将学习内容与日常生活相结合，创设实际情境，提高解题的兴趣和动力。
3 勤做练习
通过大量练习，掌握不同类型动点问题的解题技巧。
《中考动点问题》PPT课件
动点问题是中考中常见的考点之一，本课件将详细介绍动点问题的定义、解决方法，以及个人经验分享，帮助大家更好地应对和解决这一问题。
动点问题介绍
什么是动点问题？
动点问题是数学中一个重要的概念，它涉及到物体运动的速度、时间和距离等因素，并需要求解未知数。
动点问题的难点
动点问题常常需要将抽象的数学概念与具体的现实情境相结合，提高了解题的难度。

E-动点型问题(三)

2012年中考数学复习专题讲座十三动点型问题（三）（函数引动点产生的相似三角形问题、以圆为载体的动点问题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲专题五：函数引动点产生的相似三角形问题函数因动点产生的相似三角形问题一般有三个解决途径：①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例1 （2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM 与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？思路分析：（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度；（2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM 与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立；（3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式（），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题．另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度．解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；∵6=3k，∴k=2，∴y=2x．（2分）OA=．…（3分）（2）是一个定值，理由如下：如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时；②当QH与QM不重合时，∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，∴∠MQH=∠GQN，又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN…（5分），∴，当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．…（7分）①①（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF，∴OC=AC=OA=∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，∴△AOR∽△FOC，∴，∴OF=，∴点F（，0），设点B（x，），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，∴，即，解得x1=6，x2=3（舍去），∴点B（6，2），∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，∴AB=5 …（8分）；（求AB也可采用下面的方法）设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得k=，b=10，∴，∴，∴（舍去），，∴B（6，2），∴AB=5…（8分）（其它方法求出AB的长酌情给分）在△ABE与△OED中∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，∴∠ABE=∠DEO，∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED．…（9分）设OE=x，则AE=﹣x （），由△ABE∽△OED得，∴∴（）…（10分）∴顶点为（，）如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．∴当时，E点只有1个…（11分）当时，E点有2个…（12分）．点评：本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识，另外也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点．解题的难点在于转化思想的运用，本题第（2），（3）问都涉及到了问题的转化，要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题，利用自己所熟悉的数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导致失分．对应训练1．（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．考点六：以圆为载体的动点问题与圆有关的动点问题也是中考的热点，此类问题以圆为载体，主要研究几何图形在点的运动中的位置关系和数量关系；这类问题集几何、代数知识于一体，是数形结合思想的完美表现，具有较强的综合性、灵活性和多样性。

中考数学复习专题复习：动点问题PPT课件

角形？
若△PBC为等腰三角形
D
C
则PB=BC
A 30° P
7
4 B
∴7-t=4 ∴t=3
如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。
当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D
C
4 P
A
7
B
1、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
中考数学专题复习---动点问题
• 一、概念引入
动态几何的三种类型：
动点问题、动线问题、动形问题。
本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。
1、如图：已知平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。
若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三
y 4 t 2 4t 5
五、小结： • 本节课你学到了什么？
收获一：化动为静收获二：分类讨论收获三：数形结合收获四：构建函数模型、方程模型
• 六.作业
• 如图，已知抛物线对称轴为直线x=4，且与x轴交于A、B两点（A在B左侧），B点坐标为（6,0），过点B的直线与抛物线交于点C（3，2.25）.
(2)设△ APQ的面积为y，求y与t之间的函数关系。
A
D
P
Q
B
C
1.1)解：
D
Q
B
若PQ∥BC
A 则△ AQP～△ABC
AQ AP AB AC
P 5 t 2t
C
10
6
t 15 7
1.2)解：过Q作QN垂直AC于N

北师大中考实用总结中考数学动点问题专题讲解(22页)

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠AEDCB 图2A3(2)3(1)ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. AB CO 图8HC动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

数学北师大版九年级下册动点动形专题讲解

都昌县任远中学吴华南
一、中考解读
动态型问题是近几年中考命题的热点，这类题不仅能在运动变化中考查考生的操作能力、想象能力、综合解决问题的能力，同时还体现了数形结合思想、
分类讨论思想等，因此常常是压轴题.在试卷中的所
占分值约为15-18分，尤其是由动点在几何图形或抛
物线上运动形成的特殊的三角形、四边形的面积的最
值与存在性问题、开放性问题相结合的题型，预计会是今后中考命题的趋势.
二、动态问题的分类
动态几何问题就是以几何知识为背景，渗入运动变化观点的一类问题，它通常分为三种类型：
（1）点动型（常见形式是点在线段或曲线上运动）
（2）线动型（常见形式是直线或者线段在三角形或四边形上运动）
（3）形动型（动形问题通常是图形的翻转，平移、旋转变换问题）
三、动态问题的解题策略
动中窥静
1、分析运动的全过程
2、找到运动的临界点 3、把握每个阶段的运动 4、数形结合、分类讨论是解决几何动态问题的重要思想，并常与函数、方程、不等式等联系起来
以静制动
四、范例讲解
例1（2013年辽宁营口中考题）如图1，在矩形 ABCD中，动点E从点B出发，沿着BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则当X=7时，点E应运动到（） y
(2)设△AMN的面积为S，求 S与t的函数关系式；
N
A
M
B x m
例3 Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝
8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和 M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动，直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y (c㎡)，求y与读题要领: x之间的函数关系式？ P

中考数学压轴题专题动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题01：动点问题25.（2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s 的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．【答案】解：（1）t－2。

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况：①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。

②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．∴ S = S ∆AMF = （DP + AQ ）⋅ PQ -梯形AQPD - S = [（t - 2）+（2 + t ）] ⨯ 2 - t ⋅ t = - t 2 + 2t 。

∴ S = S∆AMF = （PG + AC ）⋅ PC - AM ⋅ FM梯形AQPD - S ⎪⎪- 4 t + 2t(2 < t < 4)5 2⎪- t + 22t - 84( < t < 8) （16 - 2t ）+ 8]⨯（t - 4）- 1 6 t）= -[ ⋅ ⎩∵DE=1 2 AC=4，∴点 P 在 DE 段的运动时间为 4s ，∴PE=t -6，∴PB=BE -PE=8-t ，PC=PE+CE=t-4。

2012中考数学考点数轴上的动点问题

2012中考数学考点数轴上的动点问题借助⽅程求解数轴上动点问题湖北省黄⽯市下陆中学　宋毓彬数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。

为了便于初⼀年级学⽣对这类问题的分析，不妨先明确以下⼏个问题：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即⽤右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表⽰的数—左边点表⽰的数。

2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的⽅向为正⽅向，因此向右运动的速度看作正速度，⽽向作运动的速度看作负速度。

这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即⼀个点表⽰的数为a，向左运动b个单位后表⽰的数为a—b；向右运动b个单位后所表⽰的数为a+b。

3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进⾏分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

例1．已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电⼦蚂蚁甲、⼄分别从A、C两点同时相向⽽⾏，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？⑵若⼄的速度为6个单位/秒，两只电⼦蚂蚁甲、⼄分别从A、C两点同时相向⽽⾏，问甲、⼄在数轴上的哪个点相遇？⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、⼄还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

分析：如图1，易求得AB=14，BC=20，AC=34分析⑴设x秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位。

此时甲表⽰的数为—24+4x。

①甲在AB之间时，甲到A、B的距离和为AB=14甲到C的距离为10—（—24+4x）=34—4x依题意，14+（34—4x）=40，解得x=2②甲在BC之间时，甲到B、C的距离和为BC=20，甲到A的距离为4x依题意，20+4x）=40，解得x=5即2秒或5秒，甲到A、B、C的距离和为40个单位。

⑵是⼀个相向⽽⾏的相遇问题。

设运动t秒相遇。

数学中考动点问题一(单点-双点-与函数中的运动)

2012年数学中考动点问题一（单点与双点以及函数中的运动）一、单点运动［例1］如图，在平面直角坐标系中，两个函数y=x ，6x 21y +-=的图象交于点A 。

动点P 从点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ//x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PQMN ，设它与ΔOAB 重叠部分的面积为S 。

（1）求点A 的坐标。

（2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动时间t （秒）的关系式。

（3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。

（4）若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN 和ΔOAB 重叠部分面积最大时，运动时间t 满足的条件是__________。

练习题1.如图①，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4.（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒)50(<<t ，过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标.图①y xEODCB A图②OAyEDCBPMNx·EDBCAQP二、双点运动例1：在三角形ABC 中,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。