【配套K12】2017_2018版高中数学第三单元导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值一教学

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【配套K12】高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课堂导学案

3.3.3 导数的实际应用课堂导学三点剖析一、求最值【例1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p =24 200-51x 2,且生产x 吨的成本为R =50 000+200x 元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？解：每月生产x 吨时的利润为f (x )=(24 200-51 x 2)x -(50 000+200x )=-51x 3+24 000x -50 000(x ≥0). 由f ′(x )=-51x 2+24 000=0.解得x 1=200,x 2=-200(舍去).因f (x )在［0,+∞)内只有一个点x =200使f ′(x )=0,故它就是最大值点，且最大值为f (200)=-51(200)3+24 000×200-50 000=3 150 000.答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于0，求y ′=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】已知某厂生产x 件产品的成本为c =25 000+200x +401x 2(元). (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解. 解析:(1)设平均成本为y 元，则.40100025)4020000025(),0(40200000254012000002522+-='++=>++=++=x x x y x x x x x x y 令y ′=0，得x 1=1 000,x 2=-1 000(舍去).当在x =1 000附近左侧时，y ′<0; 在x =1 000附近右侧时，y ′>0; 故当x =1 000时，y 取得极小值.由于函数只有一个点使y ′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.(2)利润函数为L =500x -(25 000+200x +402x )=300x -25 000-402x . ∴L ′=(300x -25 000-402x )′=300-20x . 令L ′=0，得x =6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0;当x 在6 000附近右侧时L ′<0，故当x =6 000时，L 取得极大值.由于函数只有一个使L ′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品. 三、导数在生活中的应用【例3】如图所示，水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S ，水面的高为h ，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a ，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边BC =h ·(s in Φ)-1,设下底AB =x ，则上底CD =x +2h c o t Φ,又S =21(2x +2h c o t Φ)h=(x +h c o t Φ)h, ∴下底x =hS-h c o t Φ,∴横断面被水浸湿周长l =h S h h h h S h +ΦΦ-Φ=Φ-+Φsin cos sin 2)cot (sin 2(0<Φ<2π). ∴l ′Φ=.sin sin cos 222Φ+ΦΦ-hh 令l ′Φ=0,解得cos Φ=21,∴Φ=3π.根据实际问题的意义，当Φ=3π时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.(2)设水渠高为h ，水流横断面积为S ,则S =21(a +a +2a cos Φ)·h =21(2a +2a cos Φ)·as in Φ=a 2(1+cos Φ)·s in Φ(0<Φ<2π). ∴S ′=a 2［-s in 2Φ+(1+cos Φ)cos Φ］=a 2(2cos Φ-1)(cos Φ+1). 令S ′=0,得cos Φ=21或cos Φ=-1(舍)，故在(0,2π)内，当Φ=3π时，水流横断面积最大，最大值为S=a 2(1+cos3π)s in 3π=433a 2.各个击破类题演练1已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v≤v 0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v =12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y 1,比例系数为k (k >0),则y 1=kv 2，当v =12时，y 1=720,∴720=k ·122,得k =5.设全程燃料费为y ,由题意y =y 1·,8000182002-=-v vv∴y ′=2222)8(000160001)8(0001)8(0002--=---v vv v v v v .令y ′=0,∴v =16.∴当v 0≥16时，v =16时全程燃料费最省；当v 0<16时，即v ∈(8,v 0)时y ′<0，即y 在(8，v 0］上为减函数， ∴当v =v 0时，y min =.8000102-v v综上，当v 0≥16时，v =16千米/时全程燃料费最省. 当v 0<16时，则v =v 0千米/时时全程燃料费最省.变式提升1求f (x )=16522++-x x x 在［-1,3］上的最大值和最小值.解：①求出所有导数为0的点，为此，解方程f ′(x )=0,即f ′(x )=0)1()12(5222=+--x x x即x 2-2x -1=0得x 1=1-2与x 2=1+2且x 1,x 2∈［-1,3］相应的函数值为：2257)21(,2257)21(-=++=-f f ②计算f (x )在区间端点上的值为：f (-1)=0,f (3)=0③通过比较可以发现，f (x )在点x 1=1-2处取得最大值;2257+在x 2=1+2处取得最小值2257-.类题演练2用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为x cm ，则水箱高为 h=60-2x(cm). 水箱容积V =V (x )=x 2h =60x 2-23x (0<x <120)(cm 3). V ′(x )=120x -23x 2. 令V ′(x )=0,得x =0(舍)或x =80.当x 在(0，120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在=80处，函数()取得极大值，并且这个极大值就是函数()的最大值. 将x =80代入V (x ),得最大容积V =802×60-2803=128 000 cm 3. 答：水箱底边长取80 cm 时，容积最大.其最大容积为128 000 cm 3.变式提升2铁路上AB 段的距离为100千米，工厂C 到铁路AB 的距离BC =40千米，今要在AB 之间设一转运站D .向工厂修一条公路，使从原料供应站A 运货到工厂C 所用费用最省.问D 点应设在何处？(已知每千米铁路与公路运费之比为3∶5)解：设D 与B 间距离为x 千米，则C 与D 间距离为2240x +千米.A 与D 间距离为(100-x )千米，设铁路与公路运费的比例为k ，则：y =k ［3(100-x )+52240x +］(0≤x ≤100),y ′=k ［-3+22405xx +］.令y ′=0，解得x =30.因此，当B 、D 距离30千米时，所用费用最省.类题演练3如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)？解：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数. 依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小. 根据题设，有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0) 得b =aa+-230(0<a <30), 于是y =,30)2(23022a a a k aa a k ab k -+=+-= ∵y ′=222)30()230)(2()30(a a a a k a a k --+-- =0时，a =6或a =-10(舍去).由于本题只有一个极值点，故当a =6时，b =3时为所求.变式提升3一报刊图文应占S cm 2，上，下边宽都是a cm ，左右边均为b cm ，若只注意节约用纸，问这报刊的长宽各为多少？分析：解有关实际问题的最大值、最小值时，要注意以下几点：①设出两个变量，依据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系.②确定函数关系式中自变量的定义区间.③求函数的最大值或最小值.④所得的结果要符合问题的实际意义. 解：要节约用纸，就是要求纸的利用率最高，而利用率K =纸的总面积图文所占面积,设图文所占面积的长为x ，则宽为xS，如下图所示：则)2)(2(a xSb x S K ++=)0(,)2)(2(>++=x S ax b x Sx,)2()2()(2222ax S b x ax bS S K ++-='令K′=0，即bS -ax 2=0, 解得x =abS ,在x =a bS 附近，K′由正到负，因此有极大值也是最大值，从而得报刊的长为a bS 2+2b ，宽为baS+2a 时，图文所占面积最大.。

【配套K12】高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课堂探究

3.3.2 利用导数研究函数的极值课堂探究探究一求函数的极值解决求函数的极值问题，按照求函数极值的一般步骤求解即可，解答此类问题要注意，f ′(x )＝0只是函数在x 0处有极值的必要条件，只有再加上x 0左右两侧导数值异号，才能判断函数在x 0处取得极值．函数f (x )在某个区间上连续时，它的极值点分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，即极大值点与极小值点是交替出现的．【典型例题1】求下列函数的极值： (1)y ＝f (x )＝3x 3－x ＋1； (2)f (x )＝x 2e x.思路分析：首先对函数求导，求得f ′(x )，然后求方程f ′(x )＝0的根，再检验方程根的左右两侧导数f ′(x )的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．解：(1)y ′＝9x 2－1，令y ′＝0，解得x 1＝13，x 2＝－13.当x 变化时，y ′和y 的变化情况如下表：因此，当x ＝－3时，y 有极大值，并且y 极大值＝9.而当x ＝13时，y 有极小值，并且y 极小值＝79.(2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2x e x ＋x 2·e x ＝e x ·x (2＋x )，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝－2时，函数有极大值，且f (－2)＝4e 2.探究二求函数的最值利用导数求函数的最值，实质是通过比较某些特殊的函数值来得到最值，因此我们在用导数求极值的基础上进行变通．令f ′(x )＝0得到方程的根x 1，x 2，…，直接求得函数值f (x 1)，f (x 2)，…，然后与端点的函数值比较就可以了，也可以用导数法与函数的单调性相结合求最值．【典型例题2】求下列函数的最值： (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－ 3， 3]； (2)f (x )＝－x 3＋2x 2＋3，x ∈[－3,2]．思路分析：使导数为0的点的函数值与端点处的函数值比较．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋3.令f ′(x )＝－3(x 2－1)＝0, 得x ＝±1，f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (－ 3)＝0，f ( 3)＝0.故f (x )的最大值为2，最小值为－2. (2)f ′(x )＝－3x 2＋4x ，由f ′(x )＝x (4－3x )＝0，得x ＝0，或x ＝43.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：当x ＝0或x ＝2时，f (x )取最小值3. 探究三求参数的取值已知函数的极值确定函数的系数问题为逆向思维的问题．解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．【典型例题3】设函数f (x )＝2ax －b x ＋ln x ，若f (x )在x ＝1，x ＝12处取得极值，(1)求a ，b 的值；(2)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上存在x 0使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，求c 的最小值．思路分析：(1)可以由条件列出关于a ，b 的方程组求解；(2)存在x 0使不等式c ≥f (x 0)成立，含义是函数f (x )的图象上至少有一点在直线y ＝c 的下方，也就是说只需c ≥f (x )min .解：(1)因为f (x )＝2ax －b x＋ln x ，所以f ′(x )＝2a ＋b x2＋1x.因为f (x )在x ＝1，x ＝12处取得极值，所以f ′(1)＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 即2102420a b a b ⎧⎨⎩＋＋＝，＋＋＝，解得1,31,3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以a ，b 的值分别为－13，－13.(2)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上存在x 0，使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，只需c ≥f (x )min ，由(1)知f (x )＝－23x ＋13x＋ln x .由f ′(x )＝－23－13x 2＋1x＝－2x 2－3x ＋13x 2＝－(2x －1)(x －1)3x2，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，f ′(x )＜0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＞0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(1,2)上单调递减．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的极小值，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13＋ln 12＝13－ln 2，f (2)＝－76＋ln 2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－ln 4＝ln 32e －ln 4，又e 3－16＞0，所以ln 32e －ln 4＞0，所以在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上f (x )min ＝f (2)，所以c ≥f (x )min ＝－76＋ln 2.所以c 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－76＋ln 2，＋∞，所以c 的最小值为－76＋ln 2.探究四易错辨析易错点忽视对极值点的验证【典型例题4】已知函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，求a ，b 的值．错解：f ′(x )＝3x 2－2ax －b . 由题意得3－2a －b ＝0， 1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.错因分析：在x ＝1处有极值10，则x ＝1是f ′(x )＝0的根．但f ′(x )＝0的根并不一定是极值点，故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x ＝1处有极值．正解：f ′(x )＝3x 2－2ax －b .由题意得3－2a －b ＝0,1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，所以f (x )单调递增，不存在极值，故应舍去．当a ＝－4，b ＝11时，满足题意．所以a ＝－4，b ＝11.。

2017_18版高中数学第三单元导数及其应用章末复习课课件

知识梳理
知识点一
在x＝x0处的导数
fx0＋Δx－fx0 Δy lim Δx 1.定义：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是 lim Δx＝Δx→0 ，
Δx→0
我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数. 2.几何意义：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率 .
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小
值a－aln a，无极大值.
反思与感悟
跟踪训练1
已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直
线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；解答因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.
第三章导数及其应用
章末复习课
学习目标
1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.
2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函
数的导数.
3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的
极值和最值.
4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.
内容索引
知识梳理
题型探究
当堂训练
解答
当堂训练
π sin x 1 1.曲线 y＝－在点 M ，0处的切线的斜率为 4 sin x＋cos x 2
答案
解析
1 A.－ 2
√
1 B. 2
2 C.－ 2
2 D. 2
cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin x 1 y′＝＝ 2 2， sin x＋cos x sin x＋cos x 1 故 y′| x ＝2， 4 ∴曲线在点

【配套K12】2017_2018版高中数学第三单元导数及其应用3.2.3导数的四则运算法则教学案新人

3.2.3 导数的四则运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一和、差的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？思考2 试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数．思考3 Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？梳理和、差的导数(f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x )．知识点二积、商的导数已知f (x )＝x 2，g (x )＝sin x ，φ(x )＝3. 思考1 试求f ′(x )，g ′(x )，φ′(x )．思考2 求H (x )＝x 2sin x ，M (x )＝sin x x2，Q (x )＝3sin x 的导数．梳理 (1)积的导数①[f (x )g (x )]′＝________________________. ②[Cf (x )]′＝________. (2)商的导数 [f xg x]′＝________________(g (x )≠0)． (3)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f xg x ]′≠fxgx.类型一导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)f (x )＝13ax 3＋bx 2＋c ；(2)f (x )＝x ln x ＋2x；(3)f (x )＝x －1x ＋1；(4)f (x )＝x 2·e x.反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)f (x )＝x tan x ； (2)f (x )＝2－2sin 2x2；(3)f (x )＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)； (4)f (x )＝sin x1＋sin x .类型二导数运算法则的综合应用命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，求f (x )；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数．(2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值．完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－3 B ．2e C.21－2eD.31－2e命题角度2 与切线有关的问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e xsin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行恒等变换，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪训练3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点(π2，2)处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________.(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 2．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( ) A ．－2e xcos x B ．－2e xsin xC ．2e xsin xD ．－2e x(sin x ＋cos x )3．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 34．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.225．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些与切线斜率、瞬时速度等有关的问题．答案精析问题导学知识点一思考1 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －(x ＋1x) ＝Δx ＋－Δxx x ＋Δx，∴ΔyΔx ＝1－1xx ＋Δx.∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[1－1x x ＋Δx ]＝1－1x2.同理，H ′(x )＝1＋1x2.思考3 Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和．H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．知识点二思考1 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝cos x ， φ′(x )＝0.思考2 H ′(x )＝2x sin x ＋x 2cos x .M ′(x )＝xx 2－sin x x 2x 22＝x 2cos x －2x sin x x 4＝x cos x －2sin x x 3.Q ′(x )＝3cos x .梳理 (1)①f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) ②Cf ′(x ) (2)fx g x －f x gxg 2x题型探究例1 解 (1)f ′(x )＝(13ax 3＋bx 2＋c )′＝(13ax 3)′＋(bx 2)′＋c ′＝ax 2＋2bx . (2)f ′(x )＝(x ln x ＋2x)′ ＝(x ln x )′＋(2x)′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＋2xln 2 ＝ln x ＋1＋2xln 2.(3)方法一 f ′(x )＝(x －1x ＋1)′ ＝x －x ＋－x －x ＋x ＋2＝x ＋－x －x ＋2＝2x ＋2.方法二 ∵f (x )＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴f ′(x )＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－0－x ＋x ＋2＝2x ＋2.(4)f ′(x )＝(x 2e x)′＝(x 2)′·e x＋x 2·(e x)′ ＝2x ·e x＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)．跟踪训练1 解 (1)f ′(x )＝(x ·tan x )′ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin xx －x sin x xcos 2x＝x ＋x cos xx ＋x sin 2xcos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x. (2)∵f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，∴f ′(x )＝－sin x .(3)方法一 f ′(x )＝[(x ＋1)(x ＋3)]′·(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′]·(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)·(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3) ＝3x 2＋18x ＋23.方法二 ∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5) ＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴f ′(x )＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′ ＝3x 2＋18x ＋23.(4)∵f (x )＝sin x1＋sin x ，∴f ′(x )＝cos x＋sin x －sin x ·cos x＋sin x2＝cos x ＋sin x2.例2 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1. 所以f (x )＝ln xx－2x .(2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′s in x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又因为f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.跟踪训练2 D [∵f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，令x ＝1，得f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， ∴f ′(1)＝31－2e.] 例3 解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. (2)由(1)可知，g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7. 又g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0. 跟踪训练3 (1)1 (2)4 解析 (1)因为y ′＝sin 2x －－cos x x sin 2x ＝1－2cos x sin 2x，所以当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1.又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a，所以由题意得－1a＝－1，解得a ＝1.(2)因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知，g ′(1)＝2.又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.当堂训练1．D [D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′ ＝cos x －sin x ．]2．D [y ′＝－2(e xsin x ＋e xcos x ) ＝－2e x(sin x ＋cos x )．] 3．A [∵f ′(x )＝e xx －2x 3＋1x ＋2kx2， ∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A.]4．B [∵y ′＝cos xx ＋cos x －sin xx －sinxx ＋cos x2＝1x ＋cos x2，∴y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.] 5．解由题意，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上，得⎩⎪⎨⎪⎧f＝0，f ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧02－a ×0＋b ＝0，13×03－a 2×02＋b ×0＋c ＝1，解得b ＝0，c ＝1.。

教育最新K122017_2018版高中数学第三单元导数及其应用3.3.3导数的实际应用教学案新人教B版选修1_1

3．3.3 导数的实际应用学习目标 1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．类型一几何中的最值问题命题角度1 平面几何中的最值问题例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．命题角度2 立体几何中的最值问题例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练 2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm3.类型二实际生活中的最值问题命题角度1 利润最大问题例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)命题角度2 费用(用料)最省问题例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用函数表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时3．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 34．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．答案精析知识梳理知识点 1．优化问题 3．数学建模题型探究例1 解 (1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)，则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)，令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3，当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：所以当θ＝π3时，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.跟踪训练1 解设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)，∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2. ∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2) ＝16x －12x 2＋2x 3，y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)，令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数单调递增；当2－233<x <2时，y ′<0，函数单调递减，∴当x ＝2－233时，矩形的面积有最大值为329 3.例2 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ，高为2(30－x )cm ，所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×(x ＋30－x2)2＝1 800，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积为V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)．令V ′>0，得0<x <20；令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 2 cm ，高为10 2 cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2. 跟踪训练24 00027π 解析设矩形的长为x cm ，则宽为(10－x )cm (0<x <10)．由题意可知，圆柱体积为V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3.∴V ′＝20πx －3πx 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝203，且当x ∈(0，203)时，V ′(x )>0，当x ∈(203，10)时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )max ＝4 00027π cm 3.例3 解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得x ＝4 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．跟踪训练3 解 (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．例4 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，又C (0)＝8，所以k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而隔热层建造费用为C 1(x )＝6x .所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400x ＋2，令f ′(x )＝0，即2 400x ＋2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5为f (x )的极小值点也为最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．跟踪训练4 解 (1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y ＝480 000x＋300x (0<x ≤35)．(2)由(1)知，y ′＝－480 000x2＋300，令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．答为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．当堂训练1．C [∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )·(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9，又当x ∈(0,9)时，y ′>0，x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，∴当x ＝9时函数取最大值，故选C.] 2．C [因为y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t 2＋4t －96)＝－38(t ＋12)(t －8)，当t ∈(6,8)时，y ′>0，当t ∈(8,9)时，y ′<0，故当t ＝8时，y 取极大值也为最大值．] 3．B [设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x4＝92－3x (m)(0<x <32)，故长方体的体积为V (x )＝2x 2(92－3x )＝9x 2－6x 3(0<x <32)，从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )，令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大体积为V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．] 4．160解析设底面长为x ，由题意得底面宽为4x.设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×(2x ＋2×4x)，即y ＝20x ＋80x＋80，则y ′＝20－80x，令y ′＝0，得x ＝2.小学+初中+高中∴当x＝2时，y min＝160(元)．5．解(1)设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：↘故当因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．小学+初中+高中。

2017_2018版高中数学第三单元导数及其应用3.3.3导数的实际应用教学案新人教B版选修1_12

3．3.3 导数的实际应用学习目标 1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．类型一几何中的最值问题命题角度1 平面几何中的最值问题例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．命题角度2 立体几何中的最值问题例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm3.类型二实际生活中的最值问题命题角度1 利润最大问题例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)命题角度2 费用(用料)最省问题例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件D ．7万件2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用函数表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时3．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 34．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．答案精析知识梳理知识点 1．优化问题 3．数学建模题型探究例1 解 (1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)，则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)，令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3，当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：所以当θ＝π3时，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.跟踪训练1 解设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)，∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2. ∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2) ＝16x －12x 2＋2x 3，y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)，令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数单调递增；当2－233<x <2时，y ′<0，函数单调递减，∴当x ＝2－233时，矩形的面积有最大值为329 3.例2 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ，高为2(30－x )cm ，所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×(x ＋30－x2)2＝1 800，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积为V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)．令V ′>0，得0<x <20；令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 2 cm ，高为10 2 cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2. 跟踪训练24 00027π 解析设矩形的长为x cm ，则宽为(10－x )cm (0<x <10)．由题意可知，圆柱体积为V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3.∴V ′＝20πx －3πx 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝203，且当x ∈(0，203)时，V ′(x )>0，当x ∈(203，10)时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )max ＝4 00027π cm 3.例3 解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得x ＝4所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．跟踪训练3 解 (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．例4 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，又C (0)＝8，所以k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而隔热层建造费用为C 1(x )＝6x .所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400x ＋2，令f ′(x )＝0，即2 400x ＋2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5为f (x )的极小值点也为最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．跟踪训练4 解 (1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y ＝480 000x＋300x (0<x ≤35)．(2)由(1)知，y ′＝－480 000x2＋300，令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．答为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．当堂训练1．C [∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )·(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9，又当x ∈(0,9)时，y ′>0，x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，∴当x ＝9时函数取最大值，故选C.] 2．C [因为y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t 2＋4t －96)＝－38(t ＋12)(t －8)，当t ∈(6,8)时，y ′>0，当t ∈(8,9)时，y ′<0，故当t ＝8时，y 取极大值也为最大值．] 3．B [设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x4＝92－3x (m)(0<x <32)，故长方体的体积为V (x )＝2x 2(92－3x )＝9x 2－6x 3(0<x <32)，从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )，令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大体积为V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．] 4．160解析设底面长为x ，由题意得底面宽为4x.设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×(2x ＋2×4x)，即y ＝20x ＋80x＋80，则y ′＝20－80x2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．解(1)设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：↘故当因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．11。

2018版高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义学案新人教版

3.1.3 导数的几何意义1.理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程.(重点)2.理解导函数的概念、会求导函数.(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别.(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 导数的几何意义阅读教材P76导数的几何意义～P77例2以上部分，完成下列问题.导数的几何意义1.设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limx n→x0f x n－f x0x n－x0＝f′(x0).2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点.( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线.( )【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 导函数的概念阅读教材P79导函数部分，完成下列问题.导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x ＋Δx－f xΔx.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的.( )(2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同.( )(3)函数f(x)＝0没有导函数.( )【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型].记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图313【自主解答】函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线.故选D.【答案】 D函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质.[再练一题]1.函数y ＝f (x )的图象如图314所示，根据图象比较曲线y ＝f (x )在x ＝x 1，x ＝x 2附近的变化情况.图314【解】当x ＝x 1时，曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线l 1的斜率f ′(x 1)＞0，因此在x ＝x 1附近曲线呈上升趋势，即函数y ＝f (x )在x ＝x 1附近单调递增.同理，函数y ＝f (x )在x ＝x 2附近单调递增，但是，直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度，这表明曲线y ＝f (x )在x ＝x 1附近比在x ＝x 2附近上升得缓慢.(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6x ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.【精彩点拨】本题考查曲线的切线的有关问题.解题的关键是设出切点的坐标，求出切线的斜率.【自主解答】 f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点. (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点. (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点. (3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点.解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.[再练一题]2.已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值.【导学号：97792036】【解】设切点P (x 0，y 0)，切线斜率为k .由y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx2＋a ]－x 2＋aΔx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x ，得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0，根据题意4x 0＝8，x 0＝2，分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15得y 0＝8＋a ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－7，y 0＝1.故所求切点为P (2,1)，a ＝－7.[探究共研型]探究1 【提示】不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.探究2 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？【提示】根据导数的几何意义，求出函数y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程.探究3 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？【提示】曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.(1)y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x －12C.y ＝4x －4D.y ＝4x －2【自主解答】先求y ＝－1x的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx，ΔyΔx＝1x x ＋Δx ，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝4.所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4.【答案】 C(2)已知曲线C ：y ＝x 3－x ＋2，求曲线过点P (1,2)的切线方程.【导学号：97792037】【自主解答】设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0 ＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx ＋2]－x 30－x 0＋Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1.所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0). 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为y ＝2x 或x ＋4y －9＝0.利用导数的几何意义求切线方程的方法1.若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.[再练一题]3.(1)已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________. 【解析】 lim Δx →0a 1＋Δx2＋b －a －bΔx＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a＝2. 【答案】 2(2)求曲线y ＝f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程.【解】因为y ＝2x，所以y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →02x ＋Δx －2x Δx＝lim Δx →0－2·Δxx x ＋Δx Δx ＝－2x 2，因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－2－2＝－12.由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.1.如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A.f ′(x 0)＞0 B.f ′(x 0)＜0 C.f ′(x 0)＝0D.f ′(x 0)不存在【解析】由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.【答案】 B2.已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A.2B.4C.6＋6Δx ＋2(Δx )2D.6【解析】 ∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－2x 3Δx＝2 lim Δx →0Δx3＋3x Δx2＋3x 2ΔxΔx＝2 lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.∴y ′| x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.【答案】 D3.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.【导学号：97792038】【解析】设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30). 【答案】 (3,30)4.曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.【解析】 Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)，即2x －y －2＝0. 【答案】 2x －y －2＝05.函数f (x )的图象如图315所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f－f 2的大小关系.【导学号：97792039】图315【解】设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示.则f－f 3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f－f 2＜f ′(1).。

【配套K12】[学习]2018年秋高中数学第三章导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.2 基

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标：1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)[自主预习·探新知]导数的运算法则(1)设两个函数f (x )，g (x )可导，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)[cf (x )]′＝cf ′(x )(c 为常数)思考：根据商的导数的运算法，试求函数y ＝1x的导数．[提示] y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝x －xx ＝－1x.[基础自测]1．思考辨析(1)若f (x )＝a 2＋2ax ＋x 2，则f ′(a )＝2a ＋2x . ( ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－fx [f x 2(f (x )≠0)．( ) (3)运用法则求导时，不用考虑f ′(x )，g ′(x )是否存在． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋xC [y ′＝(x )′×ln x ＋x ×(ln x )′＝ln x ＋1.] 3．函数y ＝x 4＋sin x 的导数为( ) A ．y ′＝4x 3 B ．y ′＝cos x C ．y ′＝4x 3＋sin xD ．y ′＝4x 3＋cos xD [y ′＝(x 4)′＋(sin x )′＝4x 3＋cos x ．] 4．函数y ＝9x的导数为__________.【导学号：97792139】y ′＝－9x2 [y ′＝9′×x －9×x ′x 2＝－9x2][合作探究·攻重难](1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2；(3)y ＝cos x ln x ； (4)y ＝xex . [解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋sin x 2cos x 2′＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝－2x －3＋12cos x＝－2x 3＋12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′＝3x 2－3x －6.(3)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′ ＝－sin x ln x ＋cos xx.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝x x－xxx2＝e x－x e xe 2x＝1－x ex .1．(1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．eB [f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，所以f ′(1)＝－1.](2)求下列函数的导数． ①y ＝x 3·e x.②y ＝cos x x.【导学号：97792140】[解] ①y ′＝(x 3·e x )＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)． ②y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x xx＝－x ·sin x －cos x x2＝－x sin x ＋cos xx2.(1)设曲线y ＝x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为__________．[思路探究] (1)切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直⇒切线的斜率为1a.(2)切线与直线2x －y＋1＝0平行⇒切线的斜率为2.[解析] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x ＋x －－x ＋x －x －2＝－2x －2，则y ′|x ＝3＝－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，故1a ＝－12，所以a ＝－2，故选D. (2)设P (x 0，y 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋1，得y ′|x ＝x 0＝ln x 0＋1，由题意知ln x 0＋1＝2解得x 0＝e ，y 0＝e ，故P (e ，e) [答案] (1)D (2)(e ，e)2．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R ，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解] 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3. 令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b . 又因为f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2a ＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.若曲线C 上存在一点P 到直线l 的距离最短，则曲线C 在点P 处的切线和直线l 有怎样的关系？提示：平行设点P 是曲线y ＝e x＋1上任意一点，求点P 到直线y ＝x －1的最小距离． [思路探究] 与直线y ＝x －1平行且与曲线y ＝e x＋1相切的切线上的切点即为所求． [解] 设与直线y ＝x －1平行的直线与曲线y ＝e x ＋1相切于点P (x 0，y 0)，由y ′＝e x得y ′|x ＝x 0＝e x 0，由题意知e x 0＝1，解得x 0＝0，代入y ＝e x＋1得y ＝2，所以P (0,2)，故点P 到直线y ＝x －1的最小距离为d ＝|0－2－1|2＝322.3．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.【导学号：97792141】[解] 依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，∴所求的最短距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.[当堂达标·固双基]1．下列运算中正确的是( )A ．(ln x －3sin x )′＝(ln x )′－3′·(sin x )′B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝sin x ′－x 2′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x B [根据导数的运算法则知B 正确．]2．已知f (x )＝x 3＋3x＋ln 3，则f ′(x )为( ) A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3xln 3＋13C ．3x 2＋3x ln 3D ．x 3＋3xln 3C [f ′(x )＝(x 3)′＋(3x)′＋(ln 3)′＝3x 2＋3xln 3，故选C.] 3．函数f (x )＝x e x的导函数f ′(x )＝__________. (1＋x )e x[f ′(x )＝(x e x)′＝e x＋x e x＝(1＋x )e x.]4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________.ln 2－1 [设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.]5．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，求a ，b 的值.【导学号：97792142】[解] f ′(x )＝2ax －b cos x ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－b ＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2a π3－b cos π3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，2a 3π－12b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝0.。

2017-2018版高中数学第三单元导数及其应用 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表课件新人教B版选

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(3)y＝ x2x；解答
∵y＝
x2x＝
x
3 2
，∴y′＝(
x
3 2
)′＝32
x
1 2
＝32
x.
(4)y＝lg x；解答
y′＝xln110.
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(5)y＝5x；解答 y′＝5xln 5.
解答
∵y＝cos(π2－x)＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x.
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解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
解答
设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′| x＝x＝cos x0，k2＝y′| x＝x
0
0
＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的.
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.
命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离. 解答
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
内容索引
知识梳理题型探究当堂训练
知识梳理
知识点一常数与幂函数的导数
原函数 f(x)＝C f(x)＝x f(x)＝x2
导函数 f′(x)＝_0_ f′(x)＝_1_ f′(x)＝_2_x_ f′(x)＝－__x1_2_

高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教案3北师大版选修2_220170927368

导数的实际应用（三）一、教学目标：1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（二）、新课探究导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：用函数表示的数学问题优化问题建立数学模型解决数学模型作答优化问题的答案用导数解决数学问题（三）、典例分析- 1 -例 1、磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。

磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。

磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。

磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0或 1，这个基本单元通常被称为比特（bit ）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 m ，每比特所占用的磁道长度不得小于 n 。

为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为 R 的磁盘，它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域．（1）是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？（2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课堂导学案新人教B版选修1-1

3.3.3 导数的实际应用课堂导学三点剖析一、求最值【例1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p =24 200-51x 2,且生产x 吨的成本为R =50 000+200x 元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？解：每月生产x 吨时的利润为f (x )=(24 200-51 x 2)x -(50 000+200x )=-51x 3+24 000x -50 000(x ≥0). 由f ′(x )=-51x 2+24 000=0.解得x 1=200,x 2=-200(舍去).因f (x )在［0,+∞)内只有一个点x =200使f ′(x )=0,故它就是最大值点，且最大值为f (200)=-51(200)3+24 000×200-50 000=3 150 000.答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于0，求y ′=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】已知某厂生产x 件产品的成本为c =25 000+200x +401x 2(元). (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解. 解析:(1)设平均成本为y 元，则.40100025)4020000025(),0(40200000254012000002522+-='++=>++=++=x xx y x x x x x x y令y ′=0，得x 1=1 000,x 2=-1 000(舍去).当在x =1 000附近左侧时，y ′<0; 在x =1 000附近右侧时，y ′>0; 故当x =1 000时，y 取得极小值.由于函数只有一个点使y ′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.(2)利润函数为L =500x -(25 000+200x +402x )=300x -25 000-402x . ∴L ′=(300x -25 000-402x )′=300-20x.令L ′=0，得x =6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0;当x 在6 000附近右侧时L ′<0，故当x =6 000时，L 取得极大值.由于函数只有一个使L ′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品. 三、导数在生活中的应用【例3】如图所示，水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S ，水面的高为h ，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a ，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边BC =h ·(s inΦ)-1,设下底AB =x ，则上底CD =x +2h c o t Φ,又S =21(2x +2h c o t Φ)h=(x +h c o t Φ)h, ∴下底x =hS-h c o t Φ,∴横断面被水浸湿周长l =h S h h h h S h +ΦΦ-Φ=Φ-+Φsin cos sin 2)cot (sin 2(0<Φ<2π). ∴l ′Φ=.sin sin cos 222Φ+ΦΦ-hh 令l ′Φ=0,解得cosΦ=21,∴Φ=3π.根据实际问题的意义，当Φ=3π时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.(2)设水渠高为h ，水流横断面积为S ,则S =21(a +a +2a cos Φ)·h =21(2a +2a cos Φ)·as in Φ=a 2(1+cos Φ)·s in Φ(0<Φ<2π). ∴S ′=a 2［-s in 2Φ+(1+cos Φ)cos Φ］=a 2(2cos Φ-1)(cos Φ+1). 令S ′=0,得cos Φ=21或cos Φ=-1(舍)，故在(0,2π)内，当Φ=3π时，水流横断面积最大，最大值为S=a 2(1+cos3π)s in 3π=433a 2.各个击破类题演练1已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v≤v 0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v =12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y 1,比例系数为k (k >0),则y 1=kv 2，当v =12时，y 1=720,∴720=k ·122,得k =5.设全程燃料费为y ,由题意y =y 1·,8000182002-=-v vv ∴y ′=2222)8(000160001)8(0001)8(0002--=---v vv v v v v .令y ′=0,∴v =16.∴当v 0≥16时，v =16时全程燃料费最省；当v 0<16时，即v ∈(8,v 0)时y ′<0，即y 在(8，v 0］上为减函数， ∴当v =v 0时，y min =.8000102-v v综上，当v 0≥16时，v =16千米/时全程燃料费最省. 当v 0<16时，则v =v 0千米/时时全程燃料费最省.变式提升1求f (x )=16522++-x x x 在［-1,3］上的最大值和最小值.解：①求出所有导数为0的点，为此，解方程f ′(x )=0,即f ′(x )=0)1()12(5222=+--x x x即x 2-2x -1=0得x 1=1-2与x 2=1+2且x 1,x 2∈［-1,3］相应的函数值为：2257)21(,2257)21(-=++=-f f ②计算f (x )在区间端点上的值为：f (-1)=0,f (3)=0③通过比较可以发现，f (x )在点x 1=1-2处取得最大值;2257+在x 2=1+2处取得最小值2257-.类题演练2用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为x cm ，则水箱高为 h=60-2x(cm). 水箱容积V =V (x )=x 2h =60x 2-23x (0<x <120)(cm 3). V ′(x )=120x -23x 2. 令V ′(x )=0,得x =0(舍)或x =80.当x 在(0，120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：x (0,80) 80 (80,120)V ′(x )+-因此在=80处，函数()取得极大值，并且这个极大值就是函数()的最大值. 将x =80代入V (x ),得最大容积V =802×60-2803=128 000 cm 3. 答：水箱底边长取80 cm 时，容积最大.其最大容积为128 000 cm 3.变式提升2铁路上AB 段的距离为100千米，工厂C 到铁路AB 的距离BC =40千米，今要在AB 之间设一转运站D .向工厂修一条公路，使从原料供应站A 运货到工厂C 所用费用最省.问D 点应设在何处？(已知每千米铁路与公路运费之比为3∶5)解：设D 与B 间距离为x 千米，则C 与D 间距离为2240x +千米.A 与D 间距离为(100-x )千米，设铁路与公路运费的比例为k ，则：y =k ［3(100-x )+52240x +］(0≤x ≤100),y ′=k ［-3+22405xx +］.令y ′=0，解得x =30.因此，当B 、D 距离30千米时，所用费用最省.类题演练3如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)？解：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数. 依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小. 根据题设，有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0) 得b =aa+-230(0<a <30), 于是y =,30)2(23022a a a k aa a k ab k -+=+-= ∵y ′=222)30()230)(2()30(a a a a k a a k --+-- =0时，a =6或a =-10(舍去).由于本题只有一个极值点，故当a =6时，b =3时为所求.变式提升3一报刊图文应占S cm 2，上，下边宽都是a cm ，左右边均为b cm ，若只注意节约用纸，问这报刊的长宽各为多少？分析：解有关实际问题的最大值、最小值时，要注意以下几点：①设出两个变量，依据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系.②确定函数关系式中自变量的定义区间.③求函数的最大值或最小值.④所得的结果要符合问题的实际意义. 解：要节约用纸，就是要求纸的利用率最高，而利用率K =纸的总面积图文所占面积,设图文所占面积的长为x ，则宽为xS，如下图所示：则)2)(2(a xSb x S K ++=)0(,)2)(2(>++=x S ax b x Sx,)2()2()(2222ax S b x ax bS S K ++-='令K′=0，即bS -ax 2=0, 解得x =abS ,在x =a bS 附近，K′由正到负，因此有极大值也是最大值，从而得报刊的长为a bS 2+2b ，宽为baS+2a 时，图文所占面积最大.。