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广东省惠州市2017届高三第三次调研考试数学文试题(含解析)

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广东省惠州市高三数学第三次调研试卷文(含解析)

广东省惠州市高三数学第三次调研试卷文(含解析)

广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}2．（5分）已知0＜a＜2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．B．（1，5）C．（1，3）D．3．（5分）函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．35．（5分）已知a∈R，则“a2＜2a”是“a＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离7．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．D．19．（5分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．1210．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）已知向量，且，则x=．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若a=15，b=10，A=，则cosB=．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答，按第一题记分【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，直线，被圆ρ=4截得的弦长为．【几何证明选做题】15．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD切圆O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，﹣cosx），f（x）=•，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．17．（12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的2015届高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：甲高中乙高中丙高中女生153 x y男生97 90 z已知在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．（1）求表中x的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有2015届高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．18．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若AB=BC=a，A1A=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．19．（14分）已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（14分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：按照并集的定义直接写出A∪B即可．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∪B={0，1，2，3，4}故答案为：A点评：本题考查集合的运算，求并集及运算．属于基础题．2．（5分）已知0＜a＜2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．B．（1，5）C．（1，3）D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数模的公式写出|z|=，再由0＜a＜2求得1＜a2+1＜5，则答案可求．解答：解：∵复数z=a+i，则|z|=，由0＜a＜2，得1＜a2+1＜5，∴|z|∈（1，）．故选：D．点评：本题考查了复数模的求法，考查了函数的值域，是基础的计算题．3．（5分）函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜2，故选：C．点评：本题考查了二次根式的性质，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．3考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由题意可得 S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值．解答：解：∵S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选C．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知a∈R，则“a2＜2a”是“a＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先解出a2＜2a，再进行判断即可解答：解：因为a2＜2a，所以0＜a＜2，则“a2＜2a”是“a＜2”的充分而不必要条件；故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．6．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．7．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．解答：解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设k=，则k的几何意义为区域内的点P（x，y）到圆点O的斜率，由图象可知，OA的斜率最大，由，解得其中A（1，6），则OA的斜率k=6，故的最大值为6，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线的斜率公式是解决本题的关键．9．（5分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3．所以几何体的体积：=12．故选D．点评：本题考查三视图视图能力与几何体的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，可得函数f（x）在R上单调递增．由函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣1）=0，即可解出．解答：解：∵对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．∵函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=0，∴不等式f（x+3）＜0=f（﹣1）化为x+3＜﹣1，解得x＜﹣4，∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）．故选：D．点评：本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）已知向量，且，则x=0．考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得•=0，求出x的值即可．解答：解：∵，且，∴，解得x=0．故答案为：0．点评：本题考查了的知识点是利用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系，是基础题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若a=15，b=10，A=，则cosB=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinA的值代入求出sinB的值，即可求出cosB 的值即可．解答：解：∵△ABC中，a=15，b=10，sinA=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a，∴B＜A，即B为锐角，则cosB==，故答案为：点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由P在该平面内且有，得到PB=PA且P在线段AB上，所以△PBC的面积是△ABC的，由几何概型的概率公式可求．解答：解：由P在该平面内且有，得到PB=PA且P在线段AB上，所以△PBC的面积是△ABC的，由几何概型的概率公式这粒黄豆落在△PBC内的概率为；故答案为：．点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答，按第一题记分【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，直线，被圆ρ=4截得的弦长为4．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用弦长公式弦长=2（d 为圆心到直线的距离）即可得出．解答：解：直线，化为=2，∴x+y﹣2=0，圆ρ=4化为x2+y2=16．∴圆心O（0，0）到直线的距离d==2．∴直线被圆截得的弦长=2==4．故答案为：4．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．【几何证明选做题】15．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD切圆O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：作CE⊥AD于点E，由已知结合三角形中角的关系得到AE的长度，再由AD=2AE得答案．解答：解：如图，作CE⊥AD于点E，∵∠ABC=30°，∴∠CDA=30°，则∠COA=60°，∴△AOC为正三角形，∴∠CAO=60°，AC=OC，∴∠CAE=30°，AC=CD，又∵CE⊥AD，∴AE=，则AD=2AE=．故答案为：．点评：本题考查了与圆有关的比例线段，考查了直角三角形的解法，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，﹣cosx），f（x）=•，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先求得f（x）=cos（2x+），根据周期公式可得f（x）的最小正周期；（2）先求得2x+∈，由函数的单调性质可得当2x+=π即x=时，取到f（x）的最小值﹣．解答：解：f（x）=•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2sinx（﹣cosx）=cos2x﹣sin2x﹣2sinxcosx=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）（1）T==π（2）x∈时，2x+∈∴当2x+=π即x=时，取到f（x）的最小值﹣．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，属于基础题．17．（12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的2015届高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：甲高中乙高中丙高中女生153 x y男生97 90 z已知在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．（1）求表中x的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有2015届高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．考点：概率的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）利用在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，求出表中x的值；（2）根据从第8行第7列的数开始向右读，即可写出最先检测的3个人的编号；（3）y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155），即可求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．解答：解：（1）∵在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，∴x=800×0.2=160；（2）从第8行第7列的数开始向右读，最先检测的3个人的编号为165、538、629；（3）y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155）∵丙高中学校中的女生比男生人数多，∴y＞z，∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为．点评：本题考查概率的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确计算是关键．18．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若AB=BC=a，A1A=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结A1C，可证EF是△A1BC的中位线，即EF∥BC，从而可证EF∥平面ABC．（2）易知BC⊥B1B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB1A1，又EF∥BC，即EF⊥平面ABB1A1，即可证明平面AEF⊥平面AA1B1B，（3）由直三棱柱可知V三棱锥F﹣ABC=S△ABC×h=S△ABC××CC1，代入即可求值．解答：证明：（1）连结A1C，由A1C1CA 是矩形，则A1C必过AC1的中点F，即F是A1C的中点，同理E是A1B的中点，则EF是△A1BC的中位线，即EF∥BC，又由BC在平面ABC中，EF在平面ABC外，则EF∥平面ABC．（2）由A1B1C1﹣ABC是直棱柱，则B1B⊥BC，即BC⊥B1B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB1A1，又由（1）知EF∥BC，即EF⊥平面ABB1A1，而EF在平面AEF中，则平面AEF⊥平面AA1B1B，（3）∵三棱柱A1B1C1﹣ABC是直三棱柱．∴V三棱锥F﹣ABC=S△ABC×h=S△ABC××CC1=×a×a×a=．点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力，属于中档题．19．（14分）已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可．解答：解：（1）因为a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点，则，解得：或．又等差数列{a n}递增，则，所以…3分因为点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，则S n=﹣b n+1．当n=1时，b1=S1=﹣b1+1，即．当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（﹣b n+1）﹣（﹣b n﹣1+1），即．所以数列{b n}为首项为，公比为的等比数列，即．…6分（2）由（1）知：且，则所以①②．①﹣②得：．所以．…12分点评：本题考查知识点等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和，考查分析问题解决问题的能力，20．（14分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．考点：抛物线的标准方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据OP⊥OQ⇒k OP•k OQ=﹣1，求出曲线方程；（2）设出直线直线l2的方程，然后与曲线方程联立，由于直线l2与曲线C相切，得出二次函数有两个相等实根，求出，再由点到直线距离公式表示出d，根据a+b≥2，求得b的值，即可得到直线方程．解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，﹣2）．∵OP⊥OQ，∴k OP•k OQ=﹣1．当x≠0时，得，化简得x2=2y．（2分）当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．（4分）（2）∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在．设直线l2的方程为y=kx+b，（5分）由得x2﹣2kx﹣2b=0．∵直线l2与曲线C相切，∴△=4k2+8b=0，即．（6分）点（0，2）到直线l2的距离=（7分）=（8分）（9分）=．（10分）当且仅当，即时，等号成立．此时b=﹣1．（12分）∴直线l2的方程为或．（14分）点评：本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数，对于（2）问关键是利用了a+b≥2，求出b的值．属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）根据f（x）≤f′（x），可得x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），分离参数，确定右边函数的最大值，即可求a的取值范围；（2）由f（x）=|f′（x）|，可得|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a，再分类讨论，即可得到结论；（3）由f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），，对a进行分类讨论，即可确定g（x）在x∈时的最小值．解答：解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），又因为﹣2≤x≤﹣1，所以在x∈时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．（3）因为f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），①若，则x∈时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若，则x∈时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）的最小值为g（﹣a）=1﹣a2，当a≤﹣4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若，则x∈时，当x∈时，g（x）最小值为g（1﹣2a）=2﹣2a．因为，（4a+5）﹣（2﹣2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．。

广东惠州市2017-2018学年上学期高三数学文科第三次调研试卷附答案解析

广东惠州市2017-2018学年上学期高三数学文科第三次调研试卷附答案解析

广东惠州市2017-2018学年上学期高三第三次调研数学文科试卷满分150分，时间120分钟．一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合，，则= （ ）(A) (B) (C) (D) 2．设（为虚数单位），则（ ） (A)(B) (C)(D) 2 3．等比数列中，，，则（ ）(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 644. 已知向量，则（ ）(A) (B) (C) (D)5．下列说法中正确的是（ ）(A) “”是“函数是奇函数”的充要条件(B) 若，则(C) 若为假命题，则均为假命题 (D) “若，则”的否命题是“若，则” 6．已知输入实数，执行如图所示的流程图，则输出的是 （ ）(A) (B) (C) (D) 7．将函数（）的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则（ ）}{022≤--=x x x A }{1<=x x B )(B C A R }{1x x >}{12x x <≤}{1x x ≥}{12x x ≤≤1iz i=-i 1z =22212{}n a 122a a +=454a a +=1011a a +=a b ⊥r r2,a b ==r r 2a b -=r r 2222510(0)0f =()f x 2000:,10p x R x x ∃∈-->2:,10p x R x x ⌝∀∈--<p q ∧,p q 6πα=1sin 2α=6πα≠1sin 2α≠12x =x 2510210351()()1cos 24f x x θ=+2πθ<512π()g x ()g x 9x π=θ=开始 输入xn =1n ≤3 输出x 否结束x =2x +1n =n +1是(A) (B) (C) (D)8．已知,满足条件，则的最大值是 ( )(A) (B) (C) 3 (D) 49．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )(A)(B) (C)(D) 10．已知函数的定义域为，满足，当时，，则函数的大致图象是（ ）(A) (B) (C) (D)11．已知P 为抛物线上一个动点，Q 为圆上一个动点，则点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ） (A)(B) (C) (D)12. 设定义在上的函数满足任意都有，且时， ，则的大小关系是（ ） (A) (B) (C) (D)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

惠州市2017届高三第三次调研考试语文试题(答案)

惠州市2017届高三第三次调研考试语文试题(答案)

惠州市2017届高三第三次调研考试语文参考答案及评分标准第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读（9分，毎小题3分）1．（3分）*A．【缺少“几乎”“完全”，显得武断，与原文分寸感不同。

】2．（3分）*A．3．（3分）*D．【主要依据：原文第6段表述。

参考依据：原文第3段表述。

】二、实用类文本阅读（12分）4．（5分）*A．*D．【B强加因果。

C“也是海明威日后成为诺贝尔文学奖得主的主要因素”说法不正确。

E结尾处的引用是为了给予安德森公正的评价。

对1项得2分，对2项得5分。

】5．（7分）【①详写了安德森对海明威在道路选择、生活上的关心和创作风格上的影响，表现了安德森作为文学伯乐，不但发现人才，还呵护人才成长。

②通过福克纳的回忆详写了安德森对其文学创作的指点，突出了安德森的卓越独特的文学主张，以此表现了安德森培养文学才俊的功底。

③简介了安德森本人的成长和文学成就，以此铺垫证明安德森被称为文学伯乐并非浪得虚名。

④通过海明威和福克纳的突出成就、对安德森的亲口评价，突出了安德森作为文学伯乐的发现、培养之功和对美国文学的深厚影响。

⑤与同级别的伯乐对照，突出了安德森遭受讽刺挖苦的“不幸”，从其对待不幸的反应，表现了安德森宽容的特点。

（每答对1点得2分，本题最多得7分。

意思对即可。

）】三、文学类文本阅读（14分）6．（5分）*C．*E．【A项，“接下来的售票员、大爷、时髦小姐、中年大姐的话语将故事推向高潮”有误，售票员、大爷、时髦小姐、中年大姐的话语使故事情节进一步发展。

B项，小说的主题是说公共文明很重要，不好的语言和习惯会互相影响，外地小伙儿的最后一句话不足以说明他没有涵养。

D项，小说“以沉重的语调叙述”有误。

此文的语言特点是轻松俏皮中饱含着对社会现象的思考和担忧。

对1项得2分，对2项得5分。

】7．（4分）【①不利于公共文明建设，破坏和谐环境，多余、有害。

②在每次冲突趋于化解之时，横生枝节，引起新的矛盾。

③人们心里都容不下、憋不住有害无益的话语，冲口而出，伤人害己。

广东省惠州市2017届高三第三次调研考试数学文试题

广东省惠州市2017届高三第三次调研考试数学文试题

惠州市2017届第三次调研考试 文科数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【解析】因为B A ⊆，只有A 满足。

2.【解析】(23,3),(1,1),t +=+-=--m n m n ()(),(23)30,t +⊥-∴-+-=m n m n 解得3t =-.3.【解析】)(x f y =是偶函数不能推出)(x f y =的图像关于原点对称，反之可以。

4.【解析】双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率213=e ，可得4131,4132222=+∴=a b a c ，可得23=a b ，双曲线的渐近线方程为：x y 23±=． 5.【解析】 设田忌的上，中，下三个等次马分别为A ，B ，C ，齐王田忌的上，中，下三个等次马分别为c b a ,,，从双方的马匹中随机的选一匹比赛的所有可能有Cc Cb Ca Bc Bb Ba Ac Ab Aa ,,,,,,,,共9种，田忌马获胜有Bc Ac Ab ,,3种，田忌马获胜的概率为31. 6.【解析】从几何体的左面看，对角线1AD 在视线范围内，画实线，右侧面的棱F C 1不在视线范围内，画虚线。

且上端点位于几何体上底面边的中点。

7.【解析】由正弦定理sin 1sin sin sin 2b c b C B B C c =⇒==，又c b >，且(0,)B π∈，所以6B π=，所以712A π=，所以1171sin 221221224S bc A π==⨯⨯=⨯⨯=8.【解析】11,lg lg 31,3i S ===->-否；1313,lg +lg lg lg51,355i S ====->-否；1515,lg +lg lg lg71,577i S ====->-否；1717,lg +lg lg lg91,799i S ====->-否；1919,lg +lg lg lg111,91111i S ====-<-是，输出9,i =故选B ．9.【解析】如图，当直线经过点)35,(--a a C 时满足，5243a a --+⋅=-,所以2=a 10.【解析】(0)()2f f π=-，可得1λ=-，所以()sin cos )4f x x x x π=-=-，横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移3π，得到函数()g x 的图象，115()()]sin()234212g x x x πππ=--=-，所以函数()g x 的对称轴的方程为1511,2,21226x k x k k Z πππππ-=+=+∈.当0k =时，对称轴的方程为116x π=.故选：D ．11.【解析】当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x （各棱长都相等），依题意，31(), 2.48xx ==得（也可以直接计算体积求得）易得小三棱锥的高为3，设小球半径为r ，则11=4,3336S S r r ⋅⋅⋅⋅=底面底面得故小球的表面积224.3S r ππ==故选C. 12.【解析】，因为()f x -=()f x 所以()f x 是偶函数。

【广东省惠州市】2017届高三模拟考试文科数学试卷-答案

【广东省惠州市】2017届高三模拟考试文科数学试卷-答案

广东省惠州市2017届高三模拟考试文科数学试卷答 案1~5．BDCBA 6~10．ADCBD 11~12．BB13．116 14．1315．251316．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知22π206B a ab b =--=，结合正弦定理得：22sin sin 10,A A --=，sin 1A ∴=或1sin 2A =-（舍）……………4分 ππ0π,,23A A C <<∴=∴=……………6分（Ⅱ）由2220a ab b --=，可得2a b =……………8分由题意及余弦定理可知：22196a b ab ++=，与2a b =联立，解得a b ==……………10分1sin 2ABC S ab C ∴==△……………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑2279478421.770878-⨯⨯==-⨯……………3分ˆˆ28.4ay bx ∴=-=……………5分 y 关于x 的线性回归方程是 1.728.4y x =+……………6分（Ⅱ）0.750.93,<∴二次函数回归模型更合适． ……………9分 当3x =万元时，预测A 超市销售额为33.47万元．……………12分19．（本小题满分12分）证：（Ⅰ）由1A A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，则1A A CM ⊥． 由AC CB ＝，M 是AB 的中点，则．又1A A AB A ＝，则CM ⊥平面11ABB A ，又CM ⊂平面1ACM ，所以平面1ACM ⊥平面11ABB A ．……………6分（Ⅱ）设点M 到平面11A CB 的距离为h ，由题意可知11112A C CB A B MC ＝＝＝＝1111A CB A MB S S △△＝＝．由（Ⅰ）可知CM ⊥平面11ABB A ，得，11111·3M A CB A CB V h S △－＝＝，所以，点M 到平面11A CB 的距离1111A MB A CB MC S h S ==△△ …12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）易知2a =，1b =，c =．∴1(F，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=--=+-=-，……………2分又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得221134x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，P ．……………5分（Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614k x x k +=-+． ……………6分由22(16)4(14)120k k =-⋅+⋅>△22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① ……………7分又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>．……………8分111又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414k k k k k=+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+ ∴2144k -<<．②……………10分 综①②可知2344k <<，∴k的取值范围是3(2,(,2)-．……………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()x f x e a '=+，由已知得()ln 21f '=，故ln 21e a +=，解得1a =-又()ln 2ln 2f =-，得ln 2ln 2ln 2e b -+=-，解得2b =-……………2分()2x f x e x =--，所以()1x f x e '=-当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>所以()f x 的单调区间递增区间为()0+∞，，递减区间为(),0-∞ ……………4分（Ⅱ）法一．由已知()()1k x f x x '-<+，及()1xf x e '=-整理得11x x xe k e +<-，当0x >时恒成立令()()101xxxe g x x e +=>-，()()()221x x xe e x g x e--'=- ……………6分当0x >时，0,10x x e e >->；由（Ⅰ）知()2xf x e x =--在()0+∞，上为增函数， 又()()2130,240f e f e =-<=->……………8分所以存在()01,2x ∈使得()0002=0x f x e x =--，此时00=+2xe x当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '> 所以()()()()000002min 112,31x x x e g x g x x e +===+∈-……………10分 故整数k 的最大值为2．……………12分法二．由已知()()1k x f x x '-<+，及()1x f x e '=-整理得，()10xk x e k ---<令()()()10xg x k x e k x =--->，()()1x g x k x e '=--()=0g x '得，=1x k -……………6分当1k ≤时，因为0x >，所以()0g x '<，()g x 在()0+∞，上为减函数， ()()010g x g <=-<……………8分1(0,1),g()0k x k x >∈->当时，，()g x 为增函数．(1,)x k ∈-+∞时，()0g x <，()g x 为减函数．1max ()(1)1k g x g k e k -∴=-=--由已知()110k ek --+<……………10分令()()()111k h k ek k -=-+>，()110k h k e -'=->，()h k 在()1,k ∈+∞上为增函数．又()()22=30,340h e h e -<=->，故整数k 的最大值为2……………12分22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线2C：π)4ρθ=+，可以化为2πcos()4ρθ=+，22cos 2sin ρρθρθ=-， 因此，曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+= ……………4分 它表示以(1,1)-为半径的圆．……………5分（Ⅱ）法一：当π4α=时，直线的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）点(1,0)P 在直线上，且在圆C内，把1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22220x y x y +-+=中得210t -=……………6分设两个实数根为12,t t ，则,A B 两点所对应的参数为12,t t ，则12t t +=121t t =-……………8分12PA PB t t ∴+=-==……………10分法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为22(1)(1)2x y -++=即圆心C 的坐标为(1,1)-，点(1,0)P 在直线:10l x y +-=上，且在圆C 内PA PB AB ∴+= ……………6分圆心C到直线的距离d ==……………8分所以弦AB的长满足AB ==PA PB ∴+= ……………10分23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由()1(1)1f x x x x x =++≥-+=知，min ()1f x = 欲使x R ∀∈，恒有()f x λ≥成立，则需满足min ()f x λ≤ ……………4分 所以实数λ的取值范围为(,1]-∞……………5分（Ⅱ）由题意得21,(1)()11,(10)21,(0)t t f t t t t t t --<-⎧⎪=++=-≤≤⎨⎪+>⎩……………6分m R ∃∈，使得22()0m m f t ++=成立即有44()0f t =-≥△，()1f t ∴≤……………8分又()1f t ≤可等价转化为1211t t <-⎧⎨--≤⎩或1011t -≤≤⎧⎨≤⎩或0211t t >⎧⎨+≤⎩所以实数的取值范围为[1,0]-……………10分广东省惠州市2017届高三模拟考试文科数学试卷解 析1．【解析】因为[]=0,4B ，∴选B ． 2．【解析】z i z i =-∴=，∴选D ．3．【解析】(0)2f =∴4a =．∴(2)a f +-=2，∴选C ．4．【解析】总的基本事件有四个，甲、乙的红包金额不相等的事件有两个，∴选B ． 5．1=，计算2e =，∴选A ．6．【解析】经验证1,2,3,4,5N =必须返回，6N =时通过，∴选A ． 7．【解析】3AB AC AB AC +=-，两边平方可得π3BAC ∠=，CB CA ⋅=9()2CA AB CA +⋅= 8．【解析】化简可得：22226475()()0a a a a -+-=，即64752()2()0d a a d a a +++=，560a a ∴+=，100S ∴=，∴选C ．9．【解析】1()cos 1xxe f x x e -=+，∴()f x 为奇函数，令1x =，则(1)0f <，∴选B ．10．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由条件3AF FB =容易得到123y y -=，又因为直线l 过抛物线的焦点∴2124y yp =-=-，解得1(,3A B ，k ∴=选D ．11．【解析】由三视图可知该几何体为棱长均为2的正三棱柱，设球心为O ，小圆的圆心为1O 球半径为R ，小圆的半径为r ，则22211O R r OO =+，即22713R =+=，∴28π3S =，∴选B ． 12．【解析】2234z x xy y =-+，又,,x y z 均为正实数，2234xy xyz x xy y ∴=-+143x y y x =≤+-1=，当且仅当2x y =时等号成立，因此当xyz取得最大值1时，2x y =，此时222342z x xy y y =-+=，因此，2212111x y z y y y +-=+-21(1)11y =--+≤，当且仅当1y =时等号成立，因此212x y z+-的最大值为1，故选B ．13．【解析】由132455,24a a a a +=+=，可得16112,216a q a ==∴=． 14．【解析】21cos(2)12sin ()363ππθθ-=--=． 15．【解析】因为a >0，b >0，所以由可行域得，当目标函数z ＝ax ＋by 过点（4，6）时取最大值，则4a ＋6b＝10．a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点（0，0）的距离的平方，那么最小值是点（0，0）到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，即a 2＋b 2的最小值是．16．【解析】问题转化为||x y xe y m ==与有三个交点时，m 的取值范围．||x y xe =的图象如下：10m e ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，．17~23．略。

2017年广东省惠州市高考数学三调试卷(文科)

2017年广东省惠州市高考数学三调试卷(文科)

2017年广东省惠州市高考数学三调试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A.{1，2}B.{x|x≤1}C.{-1，0，1}D.R【答案】A【解析】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中{1，2}满足要求，故选：A集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则故A⊆B，进而可得答案．本题考查的知识点是集合的子集，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．2.已知向量=（t+1，1），=（t+2，2），若，则t=（）A.0B.-3C.3D.-1【答案】B【解析】解：向量=（t+1，1），=（t+2，2），∴+=（2t+3，3），-=（-1，-1），∵，∴-（2t+3）-3=0，解得t=-3．故选：B通过向量的垂直，数量积为0，求出t的值．本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件，考查计算能力．3.设函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|是偶函数”是“y=f（x）的图象关于原点对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：“y=f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y=|f（x）|是偶函数．反之不成立，例如f（x）=x2，满足y=|f（x）|是偶函数，x∈R．因此，“y=|f（x）|是偶函数”是“y=f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．故选：B．“y=f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y=|f（x）|是偶函数．反之不成立，例如f（x）=x2．本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基4.双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【答案】B【解析】解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，可得，∴，可得=，双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：B．利用双曲线的离心率求出双曲线的渐近线中a，b的关系，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为A a，A b，A c，B a，B b，B c，C a，C b，C c，根据题设其中A b，A c，B c是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案本题考查等可能事件的概率，涉及用列举法列举基本事件，注意按一定的顺序，做到不重不漏．6.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）A. B. C. D.【解析】解：从几何体的左面看，对角线AD1在视线范围内，故画为实线，右侧面的棱C1F不在视线范围内，故画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点．故选B．根据三视图的定义判断棱AD1和C1F的位置及是否被几何体遮挡住判断．本题考查了三视图的定义与画法，属于基础题．7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则△ABC的面积为（）A. B. C.4 D.2【答案】A【解析】解：由正弦定理，又c＞b，且B∈（0，π），所以，所以，所以．故选：A．由已知利用正弦定理可求sin B，结合B的范围可求B的值，进而可求A，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A.7B.9C.10D.11【答案】B【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；，＞，否；，＞，否；，＞，否；，＞，否；，＜，是，输出i=9．故选：B．模拟程序框图的运行过程，该程序是累加求和的应用问题，当S≤-1时输出i的值即可．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．9.已知实数x，y满足：，若z=x+2y的最小值为-4，则实数a=（）A.1B.2C.4D.8【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+2y的最小值为-4，∴x+2y=-4，且平面区域在直线x+2y=-4的上方，由图象可知当z=x+2y过x+3y+5=0与x+a=0的交点时，z取得最小值．由，，解得，即A（-2，-1），点A也在直线x+a=0上，则-2+a=0，解得a=2，故选：B作出不等式组对应的平面区域，利用z=x+2y的最小值为-4，即可确定a的值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=-对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A.x=B.x=C.x=D.x=【答案】D【解析】解：根据函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=-对称，可得，可得λ=-1，所以．把f（x）的图象横坐标扩大到原来的2倍，可得y=sin（x-）的图象，再向右平移，得到函数g（x）=sin[（x-）-]=sin（x-）的图象，即g（x）=sin（-），令=kπ+，求得x=2kπ+，k∈Z，故函数g（x）的图象的对称轴方程为x=2kπ+，k∈Z．当k=0时，对称轴的方程为，故选：D．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得函数g （x）的一条对称轴方程．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A.πB.πC.πD.π【答案】C【解析】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a，则=，∴a=2，设小球的半径为r，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C．先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12.已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式＜的解集为（）A.（e，+∞）B.（0，e）C.，，D.，【答案】D【解析】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（-x）=xsinx+cos（-x）+（-x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式＜，即为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即-1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式＜，转化为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，运用对数函数的单调性，即可得到解集．本题考查函数的单调性和奇偶性的运用：解不等式，考查导数的运用：判断单调性，考查对数不等式的解法，属于中档题和易错题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），则z的共轭复数是______ ．【答案】1+i【解析】解：由z•i=1+i，得，∴．故答案为：1+i．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．14.若角α满足sinα+2cosα=0，则sin2α的值等于______ ．【答案】-【解析】解：∵sinα+2cosα=0，∴tanα=-2，∴sin2α=2sinαcosα====-．故答案为：-．根据sinα+2cosα=0求出tanα的值，再把sin2α化为切函数，从而求出它的值．本题考查了同角的三角函数关系与二倍角公式的应用问题，是基础题目．15.已知直线y=ax与圆C：x2+y2-2ax-2y+2=0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为______ ．【答案】6π【解析】解：圆C化为x2+y2-2ax-2y+2=0，即（x-a）2+（y-1）2=a2-1，且圆心C（a，1），半径R=，∵直线y=ax和圆C相交，△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线ax-y=0的距离为R sin60°=×，即d==，解得a2=7，∴圆C的面积为πR2=π（7-1）=6π．故答案为：6π．根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为R sin60°，再根据点到直线的距离公式列出方程，求出圆的半径即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解题的关键．16.已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是______ ．【答案】（3，+∞）【解析】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2-2mx+4m=（x-m）2+4m-m2＞4m-m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m-m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m-m2＜m（m＞0），解之即可．本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m-m2＜m是难点，属于中档题．三、解答题(本大题共4小题，共48.0分)17.已知数列{a n}中，点（a n，a n+1）在直线y=x+2上，且首项a1=1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}中，b1=a1，b2=a2，数列{b n}的前n项和为T n，请写出适合条件T n≤S n的所有n的值．【答案】解：（I）∵点（a n，a n+1）在直线y=x+2上，且首项a1=1．∴a n+1=a n+2，∴a n+1-a n=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2，a n=1+2（n-1）=2n-1．（II）数列{a n}是的前n项和S n==n2．等比数列{b n}中，b1=a1=1，b2=a2=3，q=3．∴a n=3n-1．数列{b n}的前n项和T n==．T n≤S n化为：≤n2，又n∈N*，所以n=1或2．【解析】（I）由点（a n，a n+1）在直线y=x+2上，且首项a1=1．可得a n+1-a n=2，利用等差数列的通项公式即可得出．（II）数列{a n}是的前n项和S n=n2．等比数列{b n}中，b1=a1=1，b2=a2=3，利用等比数列的求和公式可得{b n}的前n项和T n，代入T n≤S n，即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与就计算能力，属于中档题．18.某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元；未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的中位数；（2）将y表示为x的函数；（3）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．【答案】解：（1）由频率直方图得：需求量为[100，120）的频率为0.05×20=0.1，需求量为[120，140）的频率为0.01×20=0.2，需求量为[140，160）的频率为0.015×20=0.3，则中位数x=140+．（2）∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，∴当100≤x≤160时，y=50x-30×（160-x）=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，∴y=，，＜．（3）∵利润不少于4800元，∴80x-4800≥4800，解得x≥120，∴由（1）知利润不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．【解析】（1）由频率直方图求出需求量为[100，120）的频率，需求量为[120，140）的频率和需求量为[140，160）的频率，由此能求出中位数．（2）当100≤x≤160时，y=50x-30×（160-x）=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，由此能将将y表示为x的函数．（3）由80x-4800≥4800，能求出利润不少于4800元的概率．本题考查中位数的求法，考查函数的解析式的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．19.如图所示的多面体ABCDE中，已知ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，AE=BE．（Ⅰ）若M是DE的中点，试在AC上找一点N，使得MN∥平面ABE，并给出证明；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．【答案】证明：（I）连结BD，交AC于点N，则点N即为所求，证明如下：∵ABCD为正方形，∴N是BD的中点，又M是DE中点，容易知道MN∥BE，BE⊂平面ABE，MN⊄平面ABE，∴MN∥平面ABE（Ⅱ）取AB的中点F，连接EF因为△ABE是等腰直角三角形，并且AB=2所以EF⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，EF⊂平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，即EF为四棱锥E-ABCD的高，∴V E-ABCD==【解析】（I）连结BD，交AC于点N，则点N即为所求，MN∥BE，由线线平行线面平行；（II）取AB的中点F，连接EF，求出EF，因为平面ABCD⊥平面ABE，交线为EF，证明EF为四棱锥E-ABCD的高，代入棱锥的体积公式计算．本题考查了线面平行的证明，考查了棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力能力与推理论证能力．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点A（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能在直线y=上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因为A（1，）在椭圆C上，所以2a=|AF1|+|AF2|=+=2，因此a=，b2=a2-c2=1，故椭圆C的方程为+y2=1；方法二：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因为A（1，）在椭圆C上，所以c=1，a2-b2=c2，+=1，解得a=，b=c=1，故椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由消去x，得9y2-2ty+t2-8=0，所以y1+y2=，且△=4t2-36（t2-8）＞0故y0==且-3＜t＜3，由=，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，所以y0==，可得y4=，又-3＜t＜3，可得-＜y4＜-1，因此点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l．【解析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得a，由a，b，c的关系，可得b=1，进而得到椭圆方程；方法二、运用A在椭圆上，代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，D为线段MN的中点，则D为线段PQ的中点，求得y4的范围，即可判断．本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查向量共线的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．四、填空题(本大题共1小题，共12.0分)21.已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）因为f′（x）=-+=，（2分）当a=1，f′（x）=，令f'（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分（2）∵f′（x）=，（a≠0，a∈R）．令f′（x）=0，得到x=，若在区间[0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．（i）当x=＜0，即a＜0时，f′（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减，故f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a，由+a＜0，得a＜-；（ii）当x=＞0，即a＞0时，①若e≤，则f′（x）≤0对x∈（0，e]成立，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减，∴f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a＞0，显然，f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0不成立．②若1＜＜e，即a＞时，则有∴f（x）在区间[0，e]上的最小值为f（）=a+aln，由f（）=a+aln=a（1-lna）＜0，得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．综上，由（1）（2）可知：a∈（-∞，-）∪（e，+∞）．【解析】（1）求函数f（x）的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在区间（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区（0，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在（0，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最值问题，考查学生的计算能力，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．五、解答题(本大题共2小题，共22.0分)22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【答案】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x-2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x-2）2+y2=4得：（tcosα-1）2+（tsinα）2=4，化简得t2-2tcosα-3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1-t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．【解析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1-t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，本题难度适中，属于中档题．23.已知函数f（x）=|x-a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，所以解得a=2．（6分）（2）当a=2时，f（x）=|x-2|．设g（x）=f（x）+f（x+5），，＜于是＞所以当x＜-3时，g（x）＞5；当-3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（-∞，5]．（12分）【解析】（1）不等式f（x）≤3就是|x-a|≤3，求出它的解集，与{x|-1≤x≤5}相同，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，。

【数学】广东省惠州市2017届高三第三次调研考试(理)(word版,附答案)

【数学】广东省惠州市2017届高三第三次调研考试(理)(word版,附答案)

广东省惠州市2017届高三第三次调研考试（理）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

1.已知集合{}04M x Z x =∈≤≤，{}21log 2N x x =<<，则M N =I A. {0,1}B ．{2,3}C ．{3} D ．{2,3,4}2.已知命题p ：2R 330x x x ∃∈≤，－＋，则下列说法正确的是A ．p ⌝：2R 33>0x x x ∃∈，－＋，且p ⌝为真命题B ．p ⌝：2R 33>0x x x ∃∈，－＋，且p ⌝为假命题C ．p ⌝：R x ∀∈，2330x x >－＋，且p ⌝为真命题D ．p ⌝：R x ∀∈，2330x x >－＋，且p ⌝为假命题3.函数54)(3++=x x x f 的图象在1x =处的切线在x 轴上的截距为 A ．10 B ．5 C ．1- D ．37-4.“1a = ”是“()10,,14x ax x∀∈+∞+≥”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --6.设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞7.[]x 表示不超过x 的最大整数，若()f x '是函数()ln f x x =导函数，设()()()g x f x f x '=，则函数()()y g x g x =+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域是A ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{0}D ．{}偶数8.函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为9.已知函数()x f 对定义域R 内的任意x 都有()()x f x f -=4，且当2≠x 时其导函数()x f '满足()(),2x f x f x '>'若42<<a ，则A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<10.若32()132x a f x x x =-++函数在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点,则实数a 的取值范围是 A.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.若实数,,,a b c d 满足若实数222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为B. 2C. D. 812.设偶函数)(x f y =和奇函数)(x g y =的图象如下图所示:集合A ={}0))((=-t x g f x 与集合B ={}0))((=-t x f g x 的元素个数分别为b a ，，若121<<t ，则b a +的值不．可能是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．15第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是________.14.若函数)(x f 在R 上可导，)1()(23f x x x f '+=,则11()f x dx -=⎰____.15.已知命题p ：函数2()21(0)f x ax x a =--≠在(0,1)内恰有一个零点； 命题q ：函数2a y x -=在(0,)+∞上是减函数，若p 且q ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是 ．16.设x 为实数，定义{}x 为不小于x 的最小整数，例如{}5.36=，{}5.35-=-，则关于x 的方程{}33422x x +=+的全部实根之和为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设的内角所对的边长分别为，且． （1）求的值； （2）求的最大值. 18．（本小题满分12分）ABC △A B C ，，a b c ，，3cos cos 5a Bb Ac -=BAtan tan tan()A B -甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。

广东省惠州市高三数学第三次调研试卷 文(含解析)

广东省惠州市高三数学第三次调研试卷 文(含解析)

广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}2．（5分）已知0＜a＜2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．B．（1，5）C．（1，3）D．3．（5分）函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．35．（5分）已知a∈R，则“a2＜2a”是“a＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离7．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．D．19．（5分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．1210．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）已知向量，且，则x=．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若a=15，b=10，A=，则cosB=．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答，按第一题记分【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，直线，被圆ρ=4截得的弦长为．【几何证明选做题】15．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD切圆O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，﹣cosx），f（x）=•，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．17．（12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的2015届高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：甲高中乙高中丙高中女生153 x y男生97 90 z已知在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．（1）求表中x的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有2015届高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．18．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若AB=BC=a，A1A=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．19．（14分）已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（14分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：按照并集的定义直接写出A∪B即可．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∪B={0，1，2，3，4}故答案为：A点评：本题考查集合的运算，求并集及运算．属于基础题．2．（5分）已知0＜a＜2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．B．（1，5）C．（1，3）D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数模的公式写出|z|=，再由0＜a＜2求得1＜a2+1＜5，则答案可求．解答：解：∵复数z=a+i，则|z|=，由0＜a＜2，得1＜a2+1＜5，∴|z|∈（1，）．故选：D．点评：本题考查了复数模的求法，考查了函数的值域，是基础的计算题．3．（5分）函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜2，故选：C．点评：本题考查了二次根式的性质，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．3考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由题意可得 S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值．解答：解：∵S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选C．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知a∈R，则“a2＜2a”是“a＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先解出a2＜2a，再进行判断即可解答：解：因为a2＜2a，所以0＜a＜2，则“a2＜2a”是“a＜2”的充分而不必要条件；故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．6．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．7．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．解答：解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设k=，则k的几何意义为区域内的点P（x，y）到圆点O的斜率，由图象可知，OA的斜率最大，由，解得其中A（1，6），则OA的斜率k=6，故的最大值为6，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线的斜率公式是解决本题的关键．9．（5分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3．所以几何体的体积：=12．故选D．点评：本题考查三视图视图能力与几何体的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，可得函数f（x）在R上单调递增．由函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣1）=0，即可解出．解答：解：∵对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．∵函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=0，∴不等式f（x+3）＜0=f（﹣1）化为x+3＜﹣1，解得x＜﹣4，∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）．故选：D．点评：本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）已知向量，且，则x=0．考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得•=0，求出x的值即可．解答：解：∵，且，∴，解得x=0．故答案为：0．点评：本题考查了的知识点是利用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系，是基础题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若a=15，b=10，A=，则cosB=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinA的值代入求出sinB的值，即可求出cosB 的值即可．解答：解：∵△ABC中，a=15，b=10，sinA=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a，∴B＜A，即B为锐角，则cosB==，故答案为：点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由P在该平面内且有，得到PB=PA且P在线段AB上，所以△PBC的面积是△ABC的，由几何概型的概率公式可求．解答：解：由P在该平面内且有，得到PB=PA且P在线段AB上，所以△PBC的面积是△ABC的，由几何概型的概率公式这粒黄豆落在△PBC内的概率为；故答案为：．点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答，按第一题记分【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，直线，被圆ρ=4截得的弦长为4．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用弦长公式弦长=2（d 为圆心到直线的距离）即可得出．解答：解：直线，化为=2，∴x+y﹣2=0，圆ρ=4化为x2+y2=16．∴圆心O（0，0）到直线的距离d==2．∴直线被圆截得的弦长=2==4．故答案为：4．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．【几何证明选做题】15．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD切圆O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：作CE⊥AD于点E，由已知结合三角形中角的关系得到AE的长度，再由AD=2AE得答案．解答：解：如图，作CE⊥AD于点E，∵∠ABC=30°，∴∠CDA=30°，则∠COA=60°，∴△AOC为正三角形，∴∠CAO=60°，AC=OC，∴∠CAE=30°，AC=CD，又∵CE⊥AD，∴AE=，则AD=2AE=．故答案为：．点评：本题考查了与圆有关的比例线段，考查了直角三角形的解法，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，﹣cosx），f（x）=•，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先求得f（x）=cos（2x+），根据周期公式可得f（x）的最小正周期；（2）先求得2x+∈，由函数的单调性质可得当2x+=π即x=时，取到f（x）的最小值﹣．解答：解：f（x）=•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2sinx（﹣cosx）=cos2x﹣sin2x﹣2sinxcosx=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）（1）T==π（2）x∈时，2x+∈∴当2x+=π即x=时，取到f（x）的最小值﹣．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，属于基础题．17．（12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的2015届高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：甲高中乙高中丙高中女生153 x y男生97 90 z已知在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．（1）求表中x的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有2015届高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．考点：概率的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）利用在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，求出表中x的值；（2）根据从第8行第7列的数开始向右读，即可写出最先检测的3个人的编号；（3）y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155），即可求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．解答：解：（1）∵在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，∴x=800×0.2=160；（2）从第8行第7列的数开始向右读，最先检测的3个人的编号为165、538、629；（3）y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155）∵丙高中学校中的女生比男生人数多，∴y＞z，∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为．点评：本题考查概率的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确计算是关键．18．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若AB=BC=a，A1A=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结A1C，可证EF是△A1BC的中位线，即EF∥BC，从而可证EF∥平面ABC．（2）易知BC⊥B1B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB1A1，又EF∥BC，即EF⊥平面ABB1A1，即可证明平面AEF⊥平面AA1B1B，（3）由直三棱柱可知V三棱锥F﹣ABC=S△ABC×h=S△ABC××CC1，代入即可求值．解答：证明：（1）连结A1C，由A1C1CA 是矩形，则A1C必过AC1的中点F，即F是A1C的中点，同理E是A1B的中点，则EF是△A1BC的中位线，即EF∥BC，又由BC在平面ABC中，EF在平面ABC外，则EF∥平面ABC．（2）由A1B1C1﹣ABC是直棱柱，则B1B⊥BC，即BC⊥B1B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB1A1，又由（1）知EF∥BC，即EF⊥平面ABB1A1，而EF在平面AEF中，则平面AEF⊥平面AA1B1B，（3）∵三棱柱A1B1C1﹣ABC是直三棱柱．∴V三棱锥F﹣ABC=S△ABC×h=S△ABC××CC1=×a×a×a=．点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力，属于中档题．19．（14分）已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可．解答：解：（1）因为a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点，则，解得：或．又等差数列{a n}递增，则，所以…3分因为点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，则S n=﹣b n+1．当n=1时，b1=S1=﹣b1+1，即．当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（﹣b n+1）﹣（﹣b n﹣1+1），即．所以数列{b n}为首项为，公比为的等比数列，即．…6分（2）由（1）知：且，则所以①②．①﹣②得：．所以．…12分点评：本题考查知识点等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和，考查分析问题解决问题的能力，20．（14分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．考点：抛物线的标准方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据OP⊥OQ⇒k OP•k OQ=﹣1，求出曲线方程；（2）设出直线直线l2的方程，然后与曲线方程联立，由于直线l2与曲线C相切，得出二次函数有两个相等实根，求出，再由点到直线距离公式表示出d，根据a+b≥2，求得b的值，即可得到直线方程．解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，﹣2）．∵OP⊥OQ，∴k OP•k OQ=﹣1．当x≠0时，得，化简得x2=2y．（2分）当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．（4分）（2）∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在．设直线l2的方程为y=kx+b，（5分）由得x2﹣2kx﹣2b=0．∵直线l2与曲线C相切，∴△=4k2+8b=0，即．（6分）点（0，2）到直线l2的距离=（7分）=（8分）（9分）=．（10分）当且仅当，即时，等号成立．此时b=﹣1．（12分）∴直线l2的方程为或．（14分）点评：本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数，对于（2）问关键是利用了a+b≥2，求出b的值．属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）根据f（x）≤f′（x），可得x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），分离参数，确定右边函数的最大值，即可求a的取值范围；（2）由f（x）=|f′（x）|，可得|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a，再分类讨论，即可得到结论；（3）由f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），，对a进行分类讨论，即可确定g（x）在x∈时的最小值．解答：解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），又因为﹣2≤x≤﹣1，所以在x∈时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．（3）因为f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），①若，则x∈时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若，则x∈时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）的最小值为g（﹣a）=1﹣a2，当a≤﹣4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若，则x∈时，当x∈时，g（x）最小值为g（1﹣2a）=2﹣2a．因为，（4a+5）﹣（2﹣2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．。

2020届广东省惠州市2017级高三第三次调研考试数学(文)试卷及解析

2020届广东省惠州市2017级高三第三次调研考试数学(文)试卷及解析

2020届广东省惠州市2017级高三第三次调研考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答选择题时,选出每个小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上,写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.若{}{}=0,1,2,32,A B y y x x A ==∈，,则A B =U （ ）A. {}0,2,4,6B. {}0,2C. {}0,1,2,3,4,6D. {}0,1230246,,,,,, 【答案】C【解析】先求集合B,再根据并集定义求结果.【详解】∴B={0,2,4,6}A B=｛0，1，2，3，4，6｝Q U .故选：C2.设i 为虚数单位,复数2122z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭,则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D. 四 【答案】B【解析】先根据复数乘法求复数代数形式,再确定象限.【详解】22111122422z ⎛⎫⎫=+=+⋅+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以z 在复平面内对应的点为1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,在第二象限.故选：B3.已知数列{}n a 是等比数列,函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、,则3a =（）A. 1B. 1-C. 【答案】D【解析】根据韦达定理得155a a +=,再根据等比数列性质结果.【详解】由韦达定理可知155a a +=,153a a ⋅=,则10a >,50a >,从而30a >,且231533a a a a =⋅=∴故选：D4.“()()110m a -->”是“log 0a m >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当()() “110m a -->”时,则11m a >⎧⎨>⎩或11m a <⎧⎨<⎩此时a log m 可能无意义,故0a log m >不一定成立,而当0a log m >时,则11m a >⎧⎨>⎩或0101m a <<⎧⎨<<⎩,“()() 110m a -->”成立。

2017届高三模拟考试文科数学试卷(附答案与解析)

2017届高三模拟考试文科数学试卷(附答案与解析)

x|x2-4x≤0⎪⎪-|x|+34（B）=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-3)+(y-1)22广东省惠州市2017届高三模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集合A={1,3,5,7},B={}，则A B=（）（A）(1,3)（B）{1,3}（C）(5,7)（D）{5,7}（2）已知z=1-3i3+i（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）（A）-i（B）i（C）-1（D）1⎧log(x+a),2（3）已知函数f(x)=⎨10,⎩（A）-2（B）0(x≤1)(x>1)，若f(0)=2，则a+f(-2)=（（C）2（D）4）（4）甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（）（A）112（C）13（D）34（5）双曲线x2y2-a b22=1相切，则此双曲线的离心率为（）（A）2（B）5（C）3（D）2开始（6）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(bmod m)，例如10≡4(bmod6)，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入a=2，b=3，c=5，则输出的N=（）输入a,b,c N=0（A）6（C）12（B）9（D）21N=N+1N≡0(mod a)否（7）在△ABC中，AB+AC=3AB-AC，AB=AC=3，则CB⋅CA的值为（）是N≡0(mod b)否是（A）3（B）-3N≡1(mod c)否（C）-92（D）92是输出N（8）设{an }是公差不为0的等差数列，满足a2+a2=a2+a2，则{a}的前4567n结束10项和S=（）10（A）-10（C）0（B）-5（D）52（9）函数 f ( x ) = ( 2- 1)cosx 图象的大致形状是（1 + e x）（10）已知过抛物线 y 2 = 4 x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点（点 A 在第一象限），若 AF = 3FB ，则直线 l 的斜率为（ ）（A ） 2（B ）12（C ）32（D ） 32（11）某个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上， 3则该球面的表面积是（）28π（A ） 4π （B ）344π （C ）（D ） 20π311正视图俯视图2侧视图（12）设正实数 x, y , z 满足 x 2- 3xy + 4 y 2- z = 0 ，则当 xyz 2 1 2 取得最大值时， + - 的最大值为（ ）x y z（A ）0（B ）1（C ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．94（D ）3（13）已知等比数列{a } 中， a + a = 5 , a + a = n 1 3 2 4 5 4，则 a = ______．6π 3 π（14）已知 sin(θ - ) = ，则 cos( - 2θ ) = ______．6 3 3⎧3x - y - 6 ≤ 0 ⎪ x - y + 2 ≥ 0（15）设实数 x, y 满足约束条件 ⎨ ，若目标函数 z = ax + by(a > 0, b > 0) 的最大值为 10，则 a 2 + b 2⎪ x ≥ 0 ⎪⎩ y ≥ 0的最小值为______．（16）已知函数 f ( x ) =| xe x | -m （ m ∈ R ）有三个零点，则 m 的取值范围为____________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）已知 △ABC 的内角为 A ，B ，C 的对边分别为 a, b , c ， a 2 - ab - 2b 2 = 0 ．（Ⅰ）若 B = π，求 C ．6, 参考数据： x = 8, y = 42, ∑ x y = 2794, ∑ x 2 = 708 ．ˆ ∑ x y ∑ x, a ˆ = y - bx ． ˆ 4（Ⅱ）若 C =2πc = 14 ，求 S3△ABC．（18）某市春节期间 7 家超市广告费支出 x （万元）和销售额 y （万元）数据如表：ii超市广告费支出 xiA1 B2 C4 D6E11 F13 G19销售额 yi19 32 40 44525354（Ⅰ）若用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 与 x 的线性回归方程．（Ⅱ）若用二次函数回归模型拟合 y 与 x 的关系，可得回归方程： y = -0.17 x 2 + 5x + 20 ，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的 R 2 分别约为 0.93 和 0.75 ，请用 R 2 说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测 A 超市广告费支出 3 万元时的销售额．77i iii =1i =1参考公式： b= ni =1nii i2 - nx y- nx 2ˆ i =1（ 19 ） 如 图 ， 三 棱 柱 ABC - A B C 中 ， A A ⊥ 面 ABC ， ∠ACB=90 ， M 是 AB 的 中 点 ，1 1 11AA 1MCC1AC = CB = CC = 2 ．1BB1（Ⅰ）求证：平面 ACM ⊥ 平面 ABB A ．11 1（Ⅱ）求点 M 到平面 A CB 的距离．11x 2（20）设 F 、 F 分别是椭圆 + y 2 = 1 的左、右焦点．1 2（Ⅰ）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 PF ⋅ PF = - 1 254，求点 P 的坐标；（Ⅱ）设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，且 ∠AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点），（22）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨（ t 为参数），以原点 O 为极点， x 轴的非y = tsin α负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 2 2 cos θ + ⎪.求直线 l 的斜率 k 的取值范围．（21）已知函数 f ( x ) = e x + ax + b (a, b ∈ R) 在 x = ln2 处的切线方程为 y = x - 2ln 2.（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的单调区间；（Ⅱ）若 k 为整数，当 x > 0 时，(k - x) f '(x) < x + 1 恒成立，求 k 的最大值（其中 f '( x ) 为 f ( x ) 的导函数）．请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号．并用 2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑。

(完整word版)2017届惠州市高三第三次调研考试理科数学(word精排版附答案)

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惠州市2017届高三第三次调研考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．已知全集R U =，集合{}5,4,3,2,1=A ，{}2|≥∈=x R x B ，则图中 阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}2,1,0B ．{}1,0C ．{}2,1 D ．{}1 2．设函数R x x f y ∈=),(，“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 3．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．11 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于B A ,两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3 5．5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是（ ）A ．20-B ．5-C ．5D ．20 6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．27．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ，则ABC ∆的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形 8．函数x x y sin 22cos +=的最大值为（ ）A ．43 B ．1 C ．23D ．2 9．已知y x ,满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若y ax z +=的最大值为4，则a 等于（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-10．函数ππ≤≤--=x x xx x f (cos )1()(且)0≠x 的图象可能为（ ）11．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，F E ,分别为PD PA ,的中点，在此几何体 中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面；③直线//EF 平面PBC ；④平面⊥BCE 平面PAD ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知函数为自然对数的底数）与x x h ln 2)(=的图像上存在关于x 轴 21()(,g x a xx e e e=-≤≤开始10i =,S =lg2iS =S i ++1?S ≤-i 输出结束2i =i +是否A ．B ．C ．D ． 第Ⅱ卷二、填空题：本小题共4题，每小题5分13．若复数z 满足i i z +=⋅1（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是_______14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的 数据（如下表）：由最小二乘法求得回归方程a x y +=67.0，则a 的值为_______15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2,b c ==，且4C π=，则ABC ∆的面积为_______16．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且函数34y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数， 给出以下四个命题：（1）函数()f x 是周期函数；（2）函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称；（3）函数()f x 为R 上 的偶函数；（4）函数()f x 为R 上的单调函数．其中真命题的序号为_______（写出所有真命题的序号）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知数列中，点在直线上，且首项11a = （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列的前项和为，等比数列中，，，数列的前项和为，请写出适合条件的所有的值 21[1,2]e +2[1,2]e -221[2,2]e e +-2[2,)e -+∞{}n a ),(1+n n a a 2+=x y }{n a }{n a n n S }{n b 11a b =22a b =}{n b n n T n n S T ≤n某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同） （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆 柱OQ 的底面圆的半径2=OA ，侧面积为π38，︒=∠120AOP （Ⅰ）求证：BD AG ⊥；（Ⅱ）求二面角B AG P --的平面角的余弦值QODBCAG P．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，点1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭 圆C 上（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M N 、时，能在直线53y =上 找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足NQ PM =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明 理由21．（本小题满分12分）已知函数3ln ()()x xf x a bx e x=--的图象在点(1,)e 处的切线与直线(21)30x e y -+-=垂直 （Ⅰ）求,a b ；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，()2f x >请考生在第22题和第23题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，且AB =l 的倾斜角α的值23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数a x x f -=)(（Ⅰ）若不等式3)(≤x f 的解集为}51|{≤≤-x x ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围惠州市2017届高三第三次调研考试理科数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCBAACACBDBB{1}． 2.【解析】()y f x =是偶函数不能推出()y f x =的图像关于原点对称，反之可以。

广东省惠州市高三数学第三次调研试卷 文(含解析)

广东省惠州市高三数学第三次调研试卷 文(含解析)

广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}2．（5分）已知0＜a＜2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．B．（1，5）C．（1，3）D．3．（5分）函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．35．（5分）已知a∈R，则“a2＜2a”是“a＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离7．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．D．19．（5分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．1210．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）已知向量，且，则x=．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若a=15，b=10，A=，则cosB=．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答，按第一题记分【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，直线，被圆ρ=4截得的弦长为．【几何证明选做题】15．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD切圆O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，﹣cosx），f（x）=•，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．17．（12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的2015届高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：甲高中乙高中丙高中女生153 x y男生97 90 z已知在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．（1）求表中x的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有2015届高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．18．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若AB=BC=a，A1A=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．19．（14分）已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（14分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：按照并集的定义直接写出A∪B即可．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∪B={0，1，2，3，4}故答案为：A点评：本题考查集合的运算，求并集及运算．属于基础题．2．（5分）已知0＜a＜2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．B．（1，5）C．（1，3）D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数模的公式写出|z|=，再由0＜a＜2求得1＜a2+1＜5，则答案可求．解答：解：∵复数z=a+i，则|z|=，由0＜a＜2，得1＜a2+1＜5，∴|z|∈（1，）．故选：D．点评：本题考查了复数模的求法，考查了函数的值域，是基础的计算题．3．（5分）函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜2，故选：C．点评：本题考查了二次根式的性质，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．3考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由题意可得 S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值．解答：解：∵S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选C．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知a∈R，则“a2＜2a”是“a＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先解出a2＜2a，再进行判断即可解答：解：因为a2＜2a，所以0＜a＜2，则“a2＜2a”是“a＜2”的充分而不必要条件；故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．6．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．7．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．解答：解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设k=，则k的几何意义为区域内的点P（x，y）到圆点O的斜率，由图象可知，OA的斜率最大，由，解得其中A（1，6），则OA的斜率k=6，故的最大值为6，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线的斜率公式是解决本题的关键．9．（5分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3．所以几何体的体积：=12．故选D．点评：本题考查三视图视图能力与几何体的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，可得函数f（x）在R上单调递增．由函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣1）=0，即可解出．解答：解：∵对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．∵函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=0，∴不等式f（x+3）＜0=f（﹣1）化为x+3＜﹣1，解得x＜﹣4，∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）．故选：D．点评：本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）已知向量，且，则x=0．考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得•=0，求出x的值即可．解答：解：∵，且，∴，解得x=0．故答案为：0．点评：本题考查了的知识点是利用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系，是基础题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若a=15，b=10，A=，则cosB=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinA的值代入求出sinB的值，即可求出cosB 的值即可．解答：解：∵△ABC中，a=15，b=10，sinA=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a，∴B＜A，即B为锐角，则cosB==，故答案为：点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由P在该平面内且有，得到PB=PA且P在线段AB上，所以△PBC的面积是△ABC的，由几何概型的概率公式可求．解答：解：由P在该平面内且有，得到PB=PA且P在线段AB上，所以△PBC的面积是△ABC的，由几何概型的概率公式这粒黄豆落在△PBC内的概率为；故答案为：．点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答，按第一题记分【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，直线，被圆ρ=4截得的弦长为4．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用弦长公式弦长=2（d 为圆心到直线的距离）即可得出．解答：解：直线，化为=2，∴x+y﹣2=0，圆ρ=4化为x2+y2=16．∴圆心O（0，0）到直线的距离d==2．∴直线被圆截得的弦长=2==4．故答案为：4．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．【几何证明选做题】15．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD切圆O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：作CE⊥AD于点E，由已知结合三角形中角的关系得到AE的长度，再由AD=2AE得答案．解答：解：如图，作CE⊥AD于点E，∵∠ABC=30°，∴∠CDA=30°，则∠COA=60°，∴△AOC为正三角形，∴∠CAO=60°，AC=OC，∴∠CAE=30°，AC=CD，又∵CE⊥AD，∴AE=，则AD=2AE=．故答案为：．点评：本题考查了与圆有关的比例线段，考查了直角三角形的解法，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，﹣cosx），f（x）=•，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先求得f（x）=cos（2x+），根据周期公式可得f（x）的最小正周期；（2）先求得2x+∈，由函数的单调性质可得当2x+=π即x=时，取到f（x）的最小值﹣．解答：解：f（x）=•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2sinx（﹣cosx）=cos2x﹣sin2x﹣2sinxcosx=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）（1）T==π（2）x∈时，2x+∈∴当2x+=π即x=时，取到f（x）的最小值﹣．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，属于基础题．17．（12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的2015届高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：甲高中乙高中丙高中女生153 x y男生97 90 z已知在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．（1）求表中x的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有2015届高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．考点：概率的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）利用在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，求出表中x的值；（2）根据从第8行第7列的数开始向右读，即可写出最先检测的3个人的编号；（3）y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155），即可求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．解答：解：（1）∵在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，∴x=800×0.2=160；（2）从第8行第7列的数开始向右读，最先检测的3个人的编号为165、538、629；（3）y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155）∵丙高中学校中的女生比男生人数多，∴y＞z，∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为．点评：本题考查概率的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确计算是关键．18．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若AB=BC=a，A1A=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结A1C，可证EF是△A1BC的中位线，即EF∥BC，从而可证EF∥平面ABC．（2）易知BC⊥B1B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB1A1，又EF∥BC，即EF⊥平面ABB1A1，即可证明平面AEF⊥平面AA1B1B，（3）由直三棱柱可知V三棱锥F﹣ABC=S△ABC×h=S△ABC××CC1，代入即可求值．解答：证明：（1）连结A1C，由A1C1CA 是矩形，则A1C必过AC1的中点F，即F是A1C的中点，同理E是A1B的中点，则EF是△A1BC的中位线，即EF∥BC，又由BC在平面ABC中，EF在平面ABC外，则EF∥平面ABC．（2）由A1B1C1﹣ABC是直棱柱，则B1B⊥BC，即BC⊥B1B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB1A1，又由（1）知EF∥BC，即EF⊥平面ABB1A1，而EF在平面AEF中，则平面AEF⊥平面AA1B1B，（3）∵三棱柱A1B1C1﹣ABC是直三棱柱．∴V三棱锥F﹣ABC=S△ABC×h=S△ABC××CC1=×a×a×a=．点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力，属于中档题．19．（14分）已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可．解答：解：（1）因为a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点，则，解得：或．又等差数列{a n}递增，则，所以…3分因为点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，则S n=﹣b n+1．当n=1时，b1=S1=﹣b1+1，即．当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（﹣b n+1）﹣（﹣b n﹣1+1），即．所以数列{b n}为首项为，公比为的等比数列，即．…6分（2）由（1）知：且，则所以①②．①﹣②得：．所以．…12分点评：本题考查知识点等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和，考查分析问题解决问题的能力，20．（14分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．考点：抛物线的标准方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据OP⊥OQ⇒k OP•k OQ=﹣1，求出曲线方程；（2）设出直线直线l2的方程，然后与曲线方程联立，由于直线l2与曲线C相切，得出二次函数有两个相等实根，求出，再由点到直线距离公式表示出d，根据a+b≥2，求得b的值，即可得到直线方程．解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，﹣2）．∵OP⊥OQ，∴k OP•k OQ=﹣1．当x≠0时，得，化简得x2=2y．（2分）当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．（4分）（2）∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在．设直线l2的方程为y=kx+b，（5分）由得x2﹣2kx﹣2b=0．∵直线l2与曲线C相切，∴△=4k2+8b=0，即．（6分）点（0，2）到直线l2的距离=（7分）=（8分）（9分）=．（10分）当且仅当，即时，等号成立．此时b=﹣1．（12分）∴直线l2的方程为或．（14分）点评：本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数，对于（2）问关键是利用了a+b≥2，求出b的值．属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）根据f（x）≤f′（x），可得x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），分离参数，确定右边函数的最大值，即可求a的取值范围；（2）由f（x）=|f′（x）|，可得|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a，再分类讨论，即可得到结论；（3）由f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），，对a进行分类讨论，即可确定g（x）在x∈时的最小值．解答：解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），又因为﹣2≤x≤﹣1，所以在x∈时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．（3）因为f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），①若，则x∈时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若，则x∈时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）的最小值为g（﹣a）=1﹣a2，当a≤﹣4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若，则x∈时，当x∈时，g（x）最小值为g（1﹣2a）=2﹣2a．因为，（4a+5）﹣（2﹣2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．。

2017年广东省惠州市高考数学三调试卷(理科)

2017年广东省惠州市高考数学三调试卷(理科)

2017年广东省惠州市高考数学三调试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】集合韦恩图，判断出阴影部分中的元素在中但不在中即在与的补集的交集中．【解答】解：阴影部分的元素且，即，又，，则右图中阴影部分表示的集合是：．选项符合要求．故选．2. 设函数，“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据函数奇偶性与函数图象之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若是偶函数，则不能推出的图象关于原点对称，即充分性不成立，反之若的图象关于原点对称，则函数是奇函数，则，则，则是偶函数是偶函数，即必要性成立，则“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的必要不充分条件，故选：3. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当＝时，满足条件，退出循环，输出的值为，从而得解．【解答】模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出＝，4. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于，两点，为的实轴长的倍，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】由于直线过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线的方程为：或，代入得，依题意，即可求出的离心率．【解答】解：设双曲线的标准方程为，由于直线过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线的方程为：或，代入得，∴，故，依题意，∴，∴，∴．故选：．5. 的展开式中的系数是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．【解答】解：由二项式定理可知：，要求解的展开式中的系数，所以，所求系数为：．故选：．6. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为A. B. C. D.【答案】C【考点】由三视图还原实物图【解析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：四棱锥的直观图如图所示：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中平面，底面为正方形∴，，，∴，．,∴该几何体最长棱的棱长为：.故选．7. 若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出是等腰三角形．【解答】解：因为，即；又因为，所以，即，所以是等腰三角形．故选：．8. 函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】三角函数的最值【解析】利用二倍角公式化简函数，根据正弦函数的有界性与二次函数的图象与性质即可求出函数的最大值．【解答】解：，设，则，所以原函数可以化为，所以当时，函数取得最大值为．故选：．9. 已知，满足约束条件，若的最大值为，则A. B. C. D.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则，，若过时取得最大值为，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大为，满足条件，若过时取得最大值为，则，解得，此时，目标函数为，即，平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大为，不满足条件，故，故选：10. 函数＝且的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】先根据函数的奇偶性排除，再取＝，得到，排除．【解答】＝＝＝，∴函数为奇函数，∴函数的图象关于原点对称，故排除，，当＝时，＝，故排除，11. 如图是一个几何体的平面展开图，其中为正方形，、分别为、的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线与直线异面；②直线与直线异面；③直线平面；④平面平面．其中正确结论的个数是（）A.个B.个C.个D.个【答案】B【考点】平面与平面垂直的判定棱锥的结构特征异面直线的判定直线与平面平行的判定【解析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线与直线异面，不正确，因为，是与的中点，可知，所以，直线与直线是共面直线；②直线与直线异面；满足异面直线的定义，正确．③直线平面；由，是与的中点，可知，所以，∵平面，平面，所以判断是正确的．④因为与底面的关系不是垂直关系，与平面的关系不能确定，所以平面平面，不正确．故选．12.已知函数＝（）（为自然对数的底数）与＝的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】对数函数的图象与性质导数求函数的最值【解析】由已知，得到方程＝＝在上有解，构造函数＝，求出它的值域，得到的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程＝等价于＝在上有解．设＝，求导得：，∵，∴＝在＝有唯一的极值点，∵＝，＝，极大值＝＝，且知，故方程＝在上有解等价于．从而的取值范围为．故选．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是________．【答案】【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得，∴．故答案为：．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验．根据收集到的数据（如表）：【答案】【考点】求解线性回归方程【解析】根据回归直线方程的图象过样本中心点，求出平均数代入方程即可求出的值．【解答】解：由题意，计算，，且回归直线方程的图象过样本中心点，所以．故答案为：．在________中，角________，________，________的对边分别是________，________，________，已知________＝，________＝，且________，则________的面积为________．【答案】,,,,,,,,,,,【考点】正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可求，结合的范围，利用特殊角的三角函数值可求，利用三角形内角和定理可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】由正弦定理，又，且，所以，所以，所以．已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：①函数是周期函数；②函数的图象关于点对称；③函数是偶函数；④函数在上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是________（写出所有正确命题的序号）【答案】①②③【考点】奇函数奇偶函数图象的对称性函数的周期性【解析】题目中条件：可得知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．【解答】解：对于①：∵∴函数是周期函数且其周期为．①对对于②：∵是奇函数∴其图象关于原点对称又∵函数的图象是由向左平移个单位长度得到．∴函数的图象关于点对称，故②对．对于③：由②知，对于任意的，都有，用换，可得：∴对于任意的都成立．令，则，∴函数是偶函数，③对．对于④：∵偶函数的图象关于轴对称，∴在上不是单调函数，④不对．故答案为：①②③．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知数列中，点在直线上，且首项．求数列的通项公式；数列的前项和为，等比数列中，，，数列的前项和为，请写出适合条件的所有的值．【答案】解：∵点在直线上，且首项．∴，∴，∴数列是等差数列，公差为，．数列是的前项和．等比数列中，，，．∴．数列的前项和．化为：，又，所以或．【考点】数列的求和数列递推式【解析】由点在直线上，且首项．可得，利用等差数列的通项公式即可得出．数列是的前项和．等比数列中，，，利用等比数列的求和公式可得的前项和，代入，即可得出．【解答】解：∵点在直线上，且首项．∴，∴，∴数列是等差数列，公差为，．数列是的前项和．等比数列中，，，．∴．数列的前项和．化为：，又，所以或．某大学志愿者协会有名男同学，名女同学，在这名同学中，名同学来自数学学院，其余名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这名同学中随机选取名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．Ⅰ求选出的名同学是来自互不相同学院的概率；Ⅱ设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】出的名同学是来自互不相同学院的概率为．（2）随机变量的所有可能值为，，，，＝所以随机变量的分布列是随机变量的数学期望【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】Ⅰ利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；Ⅱ随机变量的所有可能值为，，，，＝列出随机变量的分布列求出期望值．【解答】（1）设“选出的名同学是来自互不相同学院”为事件，则，如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】解：（1）（解法一）：由题意可知，解得，在中，，∴，又∵是的中点，∴．①∵为圆的直径，∴．由已知知面，∴，∴面．分∴．②∴由①②可知：面，∴．（2）由（1）知：面，∴，，∴是二面角的平面角．，，，．∴．．（解法二）：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知，解得，则，，，，∵是的中点，∴可求得．，，∴．∵•，∴（2）由（1）知，），∵，．∴是平面的法向量．设是平面的法向量，由，解得分．所以二面角二面角的平面角的余弦值【考点】用空间向量求直线与平面的夹角直线与平面垂直的性质【解析】解法一：（1）由题设条件知可通过证明面证；（2）作辅助线，如图，找出是二面角的平面角，由于其所在的三角形各边已知，且是一个直角三角形，故易求．解法二：建立如图的空间坐标系，给出图中各点的坐标（1）求出，两线段对应的向量的坐标，验证其内积为即可得出两直线是垂直的；（2）求出两个平面的法向量，然后求出两法向量夹角的余弦值的约对值即是二面角的平面角的余弦值．【解答】解：（1）（解法一）：由题意可知，解得，在中，，∴，又∵是的中点，∴．①∵为圆的直径，∴．由已知知面，∴，∴面．分∴．②∴由①②可知：面，∴．（2）由（1）知：面，∴，，∴是二面角的平面角．，，，．∴．．（解法二）：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知，解得，则，，，，∵是的中点，∴可求得．，，∴．∵•，∴（2）由（1）知，），∵，．∴是平面的法向量．设是平面的法向量，由，解得分．所以二面角二面角的平面角的余弦值已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．求椭圆的标准方程；是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【答案】解：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上，所以，因此，，故椭圆的方程为；设直线的方程为，设，，，，的中点为，由消去，得，所以，且故且，由，知四边形为平行四边形，而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得，又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线．【考点】平面向量在解析几何中的应用椭圆的定义和性质椭圆的标准方程【解析】（1）方法一、运用椭圆的定义，可得，由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程；方法二、运用在椭圆上，代入椭圆方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，设，，，，的中点为，联立椭圆方程，运用判别式大于及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，为线段的中点，则为线段的中点，求得的范围，即可判断．【解答】解：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上，所以，因此，，故椭圆的方程为；设直线的方程为，设，，，，的中点为，由消去，得，所以，且故且，由，知四边形为平行四边形，而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得，又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线．已知函数，且函数的图象在点处的切线与直线垂直．（1）求，；（2）求证：当时，．【答案】（1）解：因为，故，故①；依题意，；又，故，故②，联立①②解得，，…（2）证明：由（1）得要证，即证；…令，∴，故当时，，；令，因为的对称轴为，且，故存在，使得；故当时，，，即在上单调递增；当时，，故，即在上单调递减；因为，，故当时，，…又当时，，∴…所以，即…【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数求函数的最值【解析】（1）根据函数的图象在点处的切线与直线垂直，求得，；（2）由（1）得，证，即证，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．【解答】（1）解：因为，故，故①；依题意，；又，故，故②，联立①②解得，，…（2）证明：由（1）得要证，即证；…令，∴，故当时，，；令，因为的对称轴为，且，故存在，使得；故当时，，，即在上单调递增；当时，，故，即在上单调递减；因为，，故当时，，…又当时，，∴…所以，即…请在第22题和第23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）已知曲线的极坐标方程是＝．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．【答案】解：∵＝，＝，＝，∴曲线的极坐标方程是＝可化为：＝，∴＝，∴＝．将代入圆的方程＝得：＝，化简得＝．设、两点对应的参数分别为、，则，∴＝，∵，∴．∴．∵，∴或．∴直线的倾斜角或．【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化参数方程与普通方程的互化直线与圆相交的性质【解析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线的直角坐标方程；（2）先将直的参数方程是（是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数，的关系式，利用＝，得到的三角方程，解方程得到的值，要注意角范围．【解答】解：∵＝，＝，＝，∴曲线的极坐标方程是＝可化为：＝，∴＝，∴＝．将代入圆的方程＝得：＝，化简得＝．设、两点对应的参数分别为、，则，∴＝，∵，∴．∴．∵，∴或．∴直线的倾斜角或．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）已知函数．若不等式的解集为，求实数的值；在的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】由得，解得．又已知不等式的解集为，所以解得．当时，．设，所以当时，；当时，；当时，．综上可得，的最小值为．从而，若即对一切实数恒成立，则的取值范围为．【考点】函数恒成立问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）不等式就是，求出它的解集，与相同，求实数的值；（2）在（1）的条件下，对一切实数恒成立，根据的最小值，可求实数的取值范围．【解答】由得，解得．又已知不等式的解集为，所以解得．当时，．设，所以当时，；当时，；当时，．综上可得，的最小值为．从而，若即对一切实数恒成立，则的取值范围为．。

广东省惠州市2017-2018学年高考数学三模试卷(文科) Word版含解析

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2017-2018学年广东省惠州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．如果复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（）A．3B．2C．3 D．23．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性相同的是（）A．y=﹣x2+1 B．y=|x+1|C．y=e|x| D．4．已知函数的最小正周期为π，则该函数的图象是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于点对称5．下列四个结论：①若p∧q是真，则￢p可能是真；②“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x﹣1≥0”；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减．其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若向扇形AOB内随机投掷300个点，则落入圆内的点的个数估计值为（）A．450 B．400 C．200 D．1007．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{a n}的前n项和最大时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．309．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．1710．已知x，y满足，若目标函数z=y﹣x的最小值是﹣4，则k的值为（）A．B．﹣3 C． D．﹣211．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，2）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是a n的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为．14．已知函数f（x）=2lnx+bx，直线y=2x﹣2与曲线y=f（x）相切，则b=．15．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=．16．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB﹣（2c﹣b）cosA=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积的最大值．18．随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多．某公司统计了2012到2016（Ⅱ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数．参考公式：=，=﹣．19．如图，ABC﹣A1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P=λC1A1（0＜λ＜1）．（Ⅰ）证明：PQ∥A1B1；（Ⅱ）当时，求点C到平面APQB的距离．20．已知点A1，A2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线A1M，A2M相交于点M，且它们的斜率之积是．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹C上的定点，E，F是轨迹C上的两个动点，如果直线AE与直线AF的斜率存在且互为相反数，求直线EF的斜率．21．已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）（I）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：f（m）+．2016年广东省惠州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B2．如果复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（）A．3B．2C．3 D．2【考点】复数求模．【分析】由已知条件利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的实部和虚部相等，求出z=3+3i，由此能求出|z|．【解答】解：z====﹣i，∵复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，∴，解得b=﹣9，∴z=3+3i，∴|z|==3．故选：A．3．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性相同的是（）A．y=﹣x2+1 B．y=|x+1|C．y=e|x| D．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断．【分析】先判断函数f（x）的单调性和奇偶性，然后进行判断比较即可．【解答】解：∵f（x）是偶函数，当x＞0时，，∴当x＞0时函数f（x）为增函数，则在（﹣2，0）上f（x）为减函数，A．在（﹣2，0）上y=﹣x2+1为增函数，不满足条件．B．y=|x+1|在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣2，0）上不单调，不满足条件．C．f（x）在（﹣2，0）上是单调递减函数，满足条件．D．当x＜0时，f（x）=x3+1是增函数，不满足条件．故选：C4．已知函数的最小正周期为π，则该函数的图象是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于点对称【考点】正弦函数的对称性．【分析】通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，得到选项．【解答】解：依题意得，故，所以，==≠0，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称．故选A．5．下列四个结论：①若p∧q是真，则￢p可能是真；②“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x﹣1≥0”；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减．其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据复合真假关系进行判断②根据含有量词的的否定进行判断③根据充分条件和必要条件的定义进行判断④根据幂函数单调性的性质进行判断【解答】解：①若p∧q是真，则p，q都是真，则￢p一定是假，故①错误；②“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，故②错误；③当a＞5且b＞﹣5时，a+b＞0，即充分性成立，当a=2，b=1时，满足a+b＞0，但a＞5且b＞﹣5不成立，即③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充充分不必要条件，故③错误；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减．故④正确，故正确结论的个数是1个，故选：B．6．如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若向扇形AOB内随机投掷300个点，则落入圆内的点的个数估计值为（）A．450 B．400 C．200 D．100【考点】模拟方法估计概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙P的面积比，可得概率，即可得出结论．．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，其面积为⊙C的面积=π•r2，连接OC，延长交扇形于P．由于CE=r，∠BOP=，OC=2r，OP=3r，==；则S扇形AOB∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是．∴概率P=，∵向扇形AOB内随机投掷300个点，∴落入圆内的点的个数估计值为300×=200．故选C．7．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{a n}的前n项和最大时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等差数列的性质．【分析】由题意和等差数列的性质可得{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此易得结论．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，∴3a8=a7+a8+a9＞0，a8+a9=a7+a10＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴当{a n}的前n项和最大时n的值为8，故选：B．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．30【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．10．已知x，y满足，若目标函数z=y﹣x的最小值是﹣4，则k的值为（）A．B．﹣3 C． D．﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，若z=y﹣x的最小值为﹣4，即y﹣x=﹣4，即y=x﹣4，则不等式对应的区域在y=x﹣4的上方，先作出对应的图象，由得，即C（4，0），同时C（4，0）也在直线kx﹣y+2=0上，则4k+2=0，得k=，故选：C．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c4﹣6a2c2+a4=0等式两边同除以a4，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得，又=c代入化简得c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2=（1+）2∴e=+1故选：C．12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函数y=f（x）﹣kx的一个零点；当x＜0时，由f（x）=kx，得﹣x2+x=kx，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，可得：k＞；当x＞0时，函数f（x）=e x﹣1，由f'（x）∈（1，+∞），进而可得k＞1；综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=ln1=0，∴x=0是函数y=f（x）﹣kx的一个零点，当x＜0时，由f（x）=kx，得﹣x2+x=kx，即﹣x+=k，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，解得k＞，当x＞0时，函数f（x）=e x﹣1，f'（x）=e x∈（1，+∞），∴要使函数y=f（x）﹣kx在x＞0时有一个零点，则k＞1，∴k＞1，即实数k的取值范围是（1，+∞），故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是a n的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为．【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得q，根据首项为1写出等比数列{a n}的通项公式，从而确定出数列也为等比数列，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和．【解答】解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，则前5项和为：．故答案为：14．已知函数f（x）=2lnx+bx，直线y=2x﹣2与曲线y=f（x）相切，则b=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，把切点横坐标分别代入曲线和直线方程，由纵坐标相等得一关系式，再由切点处的导数等于切线的斜率得另一关系式，联立后求得b 的值．【解答】解：设点（x0，y0）为直线y=2x﹣2与曲线y=f（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x0﹣2 （*）∵f′（x）=+b，∴+b=2 （**）联立（*）（**）两式，解得b=0．故答案为：0．15．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=2．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：216．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，求出R2=4，即可求出多面体E﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面ABCD的距离为d，则∵△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，∴E到平面ABCD的距离为，∴R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，∴d=，R2=4，∴多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB﹣（2c﹣b）cosA=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cosA的值，即可确定出角A的大小；（Ⅱ）由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，已知等式acosB﹣（2c﹣b）cosA=0，利用正弦定理化简得：sinAcosB﹣（2sinC﹣sinB）cosA=0，整理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∵A为三角形内角，∴A=；（Ⅱ）∵a=4，A=，∴由余弦定理得：16=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，即bc≤16，当且仅当b=c时取等号，∴S△ABC=bcsinA=bc≤4，当且仅当b=c时取等号，则△ABC面积的最小值为4．18．随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多．某公司统计了2012到2016（Ⅱ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数．参考公式：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（Ⅱ）由已知数据求出回归直线方程的系数，写出对应方程，判断是正相关关系；利用回归方程计算x=2019时y的值即可．【解答】解：（Ⅰ）从这5年中任意抽取两年，所有的事件有：，，，，，，，，，共10种，至少有1年多于20个的事件有：，，，，，，共7种，则至少有1年多于20个的概率为P=；（Ⅱ）由已知数据得=2014，=16，（x i﹣）（y i﹣）=﹣2×（﹣10）+（﹣1）×（﹣6）+0×0+1×6+2×10=52，=（﹣1）2+（﹣2）2+02+12+22=10，∴==5.2，=﹣=16﹣5.2×2014=﹣10456.8，∴回归直线的方程为y=5.2x﹣10456.8，∴y与x是正相关关系；当x=2019时，y=5.2×2019﹣10456.8=42，∴该村2019年在春节期间外出旅游的家庭数约为42．19．如图，ABC﹣A1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P=λC1A1（0＜λ＜1）．（Ⅰ）证明：PQ∥A1B1；（Ⅱ）当时，求点C到平面APQB的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】（I）由平面ABC∥平面A1B1C1，利用线面平行的性质定理可得：AB∥PQ，又AB ∥A1B1，即可证明PQ∥A1B1．（II）建立如图所示的直角坐标系．设平面APQB的法向量为=（x，y，z），则，利用点C到平面APQB的距离d=即可得出．【解答】证明：（I）∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A1B1C1=QP，∴AB∥PQ，又∵AB∥A1B1，∴PQ∥A1B1．解：（II）建立如图所示的直角坐标系．∴O（0，0，0），P（0，0，），A（0，1，0），B（﹣，0，0），C（0，﹣1，0），∴=（0，﹣1，），=（﹣，﹣1，0），=（0，﹣2，0），设平面APQB的法向量为=（x，y，z），则，可得，取=，∴点C到平面APQB的距离d===．20．已知点A1，A2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线A1M，A2M相交于点M，且它们的斜率之积是．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹C上的定点，E，F是轨迹C上的两个动点，如果直线AE与直线AF的斜率存在且互为相反数，求直线EF的斜率．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设M（x，y），根据斜率关系列方程化简即可；（II）设AE的斜率为k，则AF的斜率为﹣k，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数的关系求出E，F的坐标，代入斜率公式化简得出答案．【解答】解：（I）设M（x，y），则k AM=，k BM=．∴，即．∴点M的轨迹方程为．（II）由椭圆方程得E（1，）．设直线AE方程为y=k（x﹣1）+．则直线AF的方程为y=﹣k（x﹣1）+．联立方程组，消元得：（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0，设E（x E，y E），F（x F，y F），∵点A（1，）在椭圆上，∴x E=，y E=k（x E﹣1）+．同理可得：x F=，y F=﹣k（x F﹣1）+．∵x E+x F=+=，x E﹣x F=﹣=﹣．∴k EF===．21．已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出f（x1）+f（x2）=lna++ln2+1，通过求导进行证明．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0），不妨设φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），则关于x的方程2ax2﹣x+1=0的判别式△=1﹣8a，当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当0＜a＜时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增；（2）由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=，x1 x2=，∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1 x2]﹣（lnx1+lnx2）=ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）=lna++ln2+1，当a∈（0，）时，g′（a）=＜0，∴g（a）在（0，）内单调递减，故g（a）＞g（）=3﹣2ln2，∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，即x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣， +）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）（I）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：f（m）+．【考点】带绝对值的函数．【分析】（I）当a=2时，去掉绝对值，再求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|≥2|m+|=2（|m|+）≥4，可得结论．【解答】（I）解：当a=2时，f（x）=|x+2|+|x+|，不等式f（x）＞3等价于或或，∴x＜﹣或x＞，∴不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（Ⅱ）证明：f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|≥2|m+|=2（|m|+）≥4，当且仅当m=±1，a=1时等号成立，∴f（m）+．2016年9月3日。

高三第三次调研考试数学文科含详细答案

高三第三次调研考试数学文科含详细答案

广东省惠州市高三第三次调研考试数学试题(文科）本试卷共6页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高． 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知复数，，则z = 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知向量,且，则向量与的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．在等比数列中，则（ ） A ．3 B ．C ．3或D ．或 4. 设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：①； ②; ③; ④. 其中正确命题的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 5.是（ ） A. 最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数6. 命题“”的否命题是（ ）13V Sh =s h i z +=21i z -=1221z z •12||,10||==b a 60-=⋅060012001350150{}n a 5113133,4,a a a a ⋅=+=155a a =13133-13-αb a ,αα⊥⇒⊥b b a a ,//αα⊥⇒⊥b a b a ,//αα//,b b a a ⇒⊥⊥b a b a //,⇒⊥⊥αα2(sin cos )1y x x =+-2π2πππ,11a b a b >->-若则A. B.若，则 C. D. 7．若方程在内有解，则的图象是（ ）8．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知定义域为(－1，1)的奇函数又是减函数，且则a 的取值范围是（ ）A ．(3，)B ．(2，3)C ．(2，4)D ．(－2，3)10．对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

惠州市届高三第三次调研考试数学(文科)答案与评分标准.doc

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惠州市201X 届高三第三次调研考试文科数学参考答案与评分标准一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．【解析】{2,4,5}U A =ð,{1,5}U B =ð；故{}5U UA B ⋂=痧,所以选D.2．【解析】()21i -i 2-=.故选A3．【解析】原不等式等价于(2)(4)040x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，解得42x -<≤，故原不等式的解集为(]4,2-.选A.4．【解析】由直线垂直有斜率积为－1得2a =- 选C5.【解析】由下标和性质知239a =，∴23,a =又()()d a d a a 3.2222+-=，得2=d 故选B 6．【解析】3)1()41()3()7(-=-=+-==f f f f 故选A 7．【解析】由线面垂直的定义得B 正确8．【解析】i 是计数变量，共有10个数相加，故选A 9．【解析】()f x =2sin 12cos x x-=22sin 2cos .sin 2+=+x x x ，而142sin =π⋅，故选B10．【解析】因为12c e a ==，所以2c a =，由222a b c =+，得b a =12x x +=2b a-=，12x x =12c a =，点P (1x ，2x )到原点（0，0）的距离为:d 2 二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上） 11. 36； 12.9； 13. 4π； 14.1； 15.3。

11．【解析】36)6080100120(10012022=+++⋅+12．【解析】做出可行域易得y x z +=3的最大值为913．【解析】22()(3)2336722cos ,216108a b a b a a b b a b -+=+-=+<>-=- 2cos ,a b ∴<>=又,[0,]a b π<>∈ ,4a b π∴<>= 14．【解析】在相应直角坐标系中，)2,0(-p ，直线l 方程：0343=--y x ，所以p 到l 的距离：d ＝|3×0－－－3|32＋42＝1.15.【解析】如右图，连接AB ，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAB ＝∠C ， 又∵∠APB ＝∠CPA ，∴△PAB ∽△PCA ，∴PA AC ＝PB AB ，即PA 2R ＝PB AB ，∴R ＝PA·AB 2PB ＝2×22－122×1＝ 3. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本题满分12分）解：（1）22111coscos 2(1cos )2cos 12222A A A A ++=++-+ …………3分 =211614422cos cos 22252525A A +=⨯+⨯=……………………6分 （2）133sin ,2,sin ,3,5255S bc A b A c c ===∴⨯=∴= ……………………8分由余弦定理22242cos 425225135a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯= …………11分a ∴=……………………………………………………………12分17．（本题满分12分）解：（1）依题意，80~90间的频率为：1-（0.01+0.015+0.025+0.035+0.005）⨯10=0.1 ……………2分 频数为: 40×0.1=4 …………………………………4分 （2）这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数分别是：68.5、75、70 ………8分 （3）因为80~90有4人，设为a,b,c,d ， 90～100有2人，设为A ，B ，从中任选2人，共有如下15个基本事件（a,b ）,(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A), (c,B ），（d,A ），（d,B ）,(A,B) ………………………………10分设分在同组记为事件M ，分在同一组的有（a,b ）,(a,c),(a,d), (b,c),(b,d), (c,d), (A,B)共7个， …………………………………11分所以 ()M P =157…………………………………12分 18．(本小题满分14分) （1）证明：连结BD ，则BD //11B D ，…………1分 ∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥． …………2分 ∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥． …………3分 又C =ACCE ，∴BD ⊥面ACE ． …………4分∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥， …………5分 ∴11B D AE ⊥． …………6分 （2）证明：连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE1B F ，……7分∴四边形1B FCE 是平行四边形， …………8分 ∴ 1CF// B E ．面⊄CF 1B DE ⊂E B 1面1B DE∴ CF//面1B DE …………10分∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ， 又//BC AD ，∴//EF AD ．∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ，…… 12分面⊄AF 1B DE ⊂ED 面1B DE AF//面1B DE …………13分∵AFCF C =，∴平面//ACF 面1B DE ． …………14分19. (本小题满分14分)解：（1）∵ 对任意n ∈N*，有2()3n n a S n =+，且11S a =，A11A E C∴11122(1)(1)33a S a =+=+，得1a = 2． …………… 1分 又由2()3n n a S n =+，得 32n n S a n =-．当n ≥2且n ∈N* 时，有1113333()[(1)]12222n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=----=--，…………… 3分 即132n n a a --=， ∴113(1)n n a a -+=+，由此表明{}1n a +是以1a + 1 = 3为首项，3为公比的等比数列。

广东省惠州市届高三数学第三次调研考试试题文含解析

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惠州市2019届高三第三次调研考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题一定用黑色笔迹署名笔作答，答案一定写在答题卡各题指定的地点上，写在本试卷上无效。

一、选择题.在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求.1.已知会合，会合，则会合（）A. B.C. D.【答案】B【分析】【剖析】化简会合A，而后求并集即可 .2【详解】∵会合A={x|x +x﹣2＜0}={x| ﹣2＜x＜1}，B={x|x＞0}，应选：B．【点睛】此题考察并集的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意利用数轴求会合间的交并补．2.要获得函数的图象，只要要将函数的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位-1-/20【答案】B【分析】由于函数，要获得函数的图象，只要要将函数的图象向右平移个单位。

此题选择B选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变成本来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的次序，次序不一样，其变换量也不一样．【此处有视频，请去附件查察】3.若、知足拘束条件，则的最大值为（）【答案】C【分析】剖析：作出可行域，研究目标函数的几何意义可知，当时目标函数获得最大值为.详解：作出可行域，以以下图中的暗影部分，易知目标函数中的值随直线向上平移而增大，过点时获得最大值为，应选C.点睛：将目标函数转变成直线的斜截式方程，当截距获得最大值时，获得最大值；当截距获得最小值时，获得最小值.4.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率等于-2-/20（）A. B. C. D.【答案】D【分析】【剖析】由渐近线方程可得，从而获得双曲线的离心率.【详解】∵一条渐近线方程为，∴，从而，，应选D.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其重点就是确定一个对于a，b，c的方程或不等式，再依据a，b，c的关系消掉b获得a，c的关系式，成立对于a，b，c的方程或不等式，要充足利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5.已知函数是奇函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】【剖析】由题意第一求得m的值，而后联合函数的性质求解不等式即可.【详解】函数为奇函数，则恒成立，即恒成立，整理可得：，据此可得：，即恒成立，据此可得：.函数的分析式为：，，当且仅当时等号成立，故奇函数是定义域内的单一递加函数，不等式即，-3-/20据此有：，由函数的单一性可得：，求解不等式可得的取值范围是.此题选择C选项.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单一性，再利用其单一性脱去函数的符号“f”，转变成解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】【剖析】利用平方关系与二倍角公式即可获得所求值.【详解】由得,因此，，因此,应选D.【点睛】此题考察三角函数求值，波及到同角基本关系式、二倍角公式，考察恒等变形能力，属于基础题.7.以下图，△中，，点E 是线段的中点，则（）ABC ADA. B.C. D.【答案】C【分析】【剖析】利用平面向量的线性运算表示.-4-/20【详解】，应选C.【点睛】此题考察平面向量的线性运算，波及到加法、减法及数乘运算，属于基础题.8.已知函数，则函数的大概图象为（）A. B.C. D.【答案】A【分析】【剖析】依据函数奇偶性的观点获得BC错误，再由特别值获得答案.【详解】故函数非奇非偶，清除B,C..应选A．【点睛】这个题目考察了已知函数的表达式选择函数的图像，这种题目往常是从表达式下手，经过表达式获得函数的定义域，值域，奇偶性，等来清除部分选项，或许找寻函数的极限值，也能够清除选项.9.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C-5-/20【分析】【剖析】利用圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．【详解】直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点故∴应选：C．【点睛】此题考察直线的斜率，直线与圆的地点关系，是基础题．10.榫卯是在两个木构件上所采纳的一种凹凸联合的连结方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯合，起到连结作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，则该空间几何体的表面积为（）A.192B.186C.180D.198【答案】A【分析】【剖析】由三视图复原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为，下部分为长方体，棱长分别为，再由表面积公式求解【详解】由三视图复原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为，下部分为长方体，棱长分别为，其表面积为应选-6-/20【点睛】此题考察了求组合体的表面积问题，重点是由三视图复原几何体图形，注意题目中的计算。

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请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题做答， 做答时请在答题卡的对应答题区写上题
号，并用 2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑． （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程是
4cos ．以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为
x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
x＋ 3y＋ 5≥０ （ 9）已知实数 x，y 满足： x＋ y－1≤０，若 z＝ x＋ 2y 的最小值
x＋ a≥０
为－ 4，则实数 a＝ ( )
（A）1
（B）2
（ C） 4
（D）8
i = 1,S = 0
i S = S lg
i2
i=i 2
否 S 1?
是 输出 i
结束
（ 10）已知函数 f ( x) sin x cos x( R) 的图象关于 x
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分）
已知数列 an 中，点 (a n ,a n 1) 在直线 y x 2 上，且首项 a1 1 . （Ⅰ）求数列 { an } 的通项公式； （Ⅱ）数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ，等比数列 { bn} 中， b1 a1 ， b2 a2 ，
面 ABE ，∠ AEB=90° ，AE=BE.
（Ⅰ）若 M 是 DE 的中点，试在 AC 上找一点 N ，
使得 MN// 平面 ABE ，并给出证明； （Ⅱ）求多面体 ABCDE 的体积。
D
C
M
A
B
E
数学试题（文科）
第 4 页，共 14 页
（ 20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆
x2 C : a2
惠州市 2017 届第三次调研考试
文科数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案
A
B
B
A
A
B
A
B
B
D
C
D
1. 【解析】因为 A B ，只有 A 满足。 2. 【解析】 m n (2 t 3,3), m n ( 1, 1), Q (m n) ( m n ),
uuuv NQ ？若存在， 求
3
出直线的方程；若不存在，说明理由．
（ 21）（本小题满分 12 分）
1
已知函数 f x
a ln x a
x
0 ，a
R．
（ Ⅰ ）若 a 1 ，求函数 f x 的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间 (0 ，e] 上至少存在一点 x0 ，使得 f x0 0 成立， 求实数 a 的取值范围．
棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的 球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切） ，则小球的表面积等于
7 时，小 8
()
（A） 7 6
（B） 4 3
（ C） 2 3
（D）
2
（ 12）已知 f ( x)
x sin x cos x
x2 ，则不等式 f (ln x)
1 f (ln )
二．填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。
（ 13）若复数 z 满足 z i 1 i ( i 是虚数单位 )，则 z 的共轭复数是 ____________. （ 14）若角 满足 sin 2cos 0 ，则 sin 2 的值等于 ____________.
（ 15）已知直线 y
ax
与圆
C
:
2
x
2
0,b
0) 的离心率 e
13
，则它的渐近线方程为 ( )
2
（A） y 3 x 2
2
（B） y
x
3
9
（C） y
x
4
4
（ D） y
x
9
（ 5）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中
等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现
从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为
()
数学试题（文科）
第 1 页，共 14 页
（A） 1 3
1
（B）
4
1
（ C）
5
1
（D ）
6
（ 6）如图所示，将图（ 1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（ 2）中的几何体，
则该几何体的侧视图为 ( )
D A
EC FA
E F
B
A1
D1 （1）
C1
B1
A1
D1
（ 2）
C1 B1
(A)
(B)
(C)
(D)
（A） 0
（B） 3
（ C） 3
（D） 1
（ 3）设函数 y f ( x), x R , “y f ( x) 是偶函数 ”是 “y f ( x) 的图像关于原点对称 ”的
( )条件 （ A ）充分不必要
（ B）必要不充分条件
（C）充要 （D ）既不充分也不必要
（ 4）双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1( a
（ 7）在 ABC 中，角 A, B , C 的对边分别是 a,b, c ，已知 b 2, c 2 2 ，且 C ， 4
则 ABC 的面积为 ( )
开始
（A） 3 1
（ B ） 3 1 （C） 4 （ D） 2
（ 8）执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为
()
（A）7
（B）9
（ C） 10 （ D） 11
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（ 1）若集合 B x | x 0 ，且 A I B A ，则集合 A 可能是 ( )
（ A ） 1,2
（B） x| x 1
（ C） 1,0,1
（D） R
uur
r
uur r uur r
（ 2）已知向量 m (t 1,1),n (t 2, 2), 若 (m n) ( m n) ，则 t ( )
y2 b2
1 a b 0 的左、右焦点分别为
F1
1,0 , F2 1,0 ，点
2
A 1,
在椭圆 C 上．
2
（ Ⅰ ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 M 、 N 时，能在
直线 y
5
上找到一点
P ，在椭圆 C 上找到一点
uuuuv Q ，满足 PM
胜的概率为
1
.
3
6. 【解析】从几何体的左面看，对角线
AD1 在视线范围内，画实线，右侧面的棱
C1F 不
在视线范围内，画虚线。且上端点位于几何体上底面边的中点。
b
c
7. 【解析】由正弦定理
sin B sin C
7
所以 B ，所以 A
，所以
6
12
b sin C 1
sin B
，又 c b ，且 B (0, ) ，
对称， 则把函数 f ( x) 的 4
图象上每个点的横坐标扩大到原来的
2 倍，再向右平移 ，得到函数 g ( x) 的图象， 3
则函数 g ( x) 的一条对称轴方程为（
）
（A） x 6
（B） x
（ 11）已知一个平放的各棱长为
11
（ C） x
（D） x
4
3
6
4 的三棱锥内有一个小球 O （重量忽略不计） ，现从该三
方图估计利润不少于 4800元的
频率 / 组距
0.0150 0.0125 0.0100 0.0075 0.0050
概率。
O
100 120 140 160 180 200 需求量
（ 19）（本小题满分 12 分）
如图所示的多面体 ABCDE 中，已知 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD ⊥平
6 , 故小球的表 6
面积 S 4 r 2 2 .故选 C. 3
12所以 f ( x) 是偶函数。
所以
所以
变形为：
又
所以 f ( x) 在
单调递
增，在
单调递减。 所以
等价于
故选 D
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 1 i
(2t 3) 3 0,
解得 t 3 .
3. 【解析】 y f (x) 是偶函数不能推出 y f ( x) 的图像关于原点对称，反之可以。
4. 【解析】双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的离心率 e
13
，可得
2
c2 a2
13 ,
4
b2 a2
1
13 ，可得 b
4
a
3 ，双曲线的渐近线方程为： 2
量的频率分布直方图， 如下图所示。 该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品， 以 x (单位： 盒， 100 x 200) 表示这个开学季内的市场需求量， y (单位：元 ) 表示这个开学季内经
销该产品的利润。 （ Ⅰ ）根据直方图估计这个开学季内市
场需求量 x 的中位数； （Ⅱ） 将 y 表示为 x 的函数， 并根据直
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11.【 解析】当注入水的体积是该三棱锥体积的
7
时，设水面上方的小三棱锥的棱长为
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