军考大纲解读——军校考试大纲[最新版]数学考点140：二倍角的正弦、余弦、正切公式
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[原创]【部队考军校试题】数学题目7doc 高中数学3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1．1 两角差的余弦公式练习〔140页〕1． 利用公式()C αβ-证明： 〔1〕cos()sin 2παα-=；〔2〕cos(2)cos παα-=． 1．证明：〔1〕因为cos()coscos sinsin 222πππααα-=+，而cos0,sin122ππ==，因此cos()sin 2παα-=；〔2〕因为cos(2)cos 2cos sin 2sin παπαπα-=+， 而cos 21,sin 20ππ==， 因此cos(2)cos παα-=．2．3cos 5α=-，(,)2παπ∈，求cos()4πα-的值． 2．解：由2παπ<<，得24sin 1cos 5αα=-=，而22cos()coscos sinsin (cos sin )444210πππααααα-=+=+=， 即cos()4πα-的值为210． 3．15sin 17θ=，θ是第二象限角，求cos()3πθ-的值．3．解：因为θ是第二象限角，因此8cos 17θ==-，而1cos()cos cossin sincos 3332πππθθθθθ-=+=+，即18158cos()()321721734πθ-=⨯-+=，因此cos()3πθ-的值为834． 4．2sin 3α=-，3(,)2παπ∈，3cos 4β=，3(,2)2πβπ∈，求cos()βα-的值．4．解：因为3(,)2παπ∈，因此cos 3α==-；因为3(,2)2πβπ∈，因此sin 4β==-， 而cos()cos cos sin sin βαβαβα-=+，即32cos()()()()434312βα-=⨯-+-⨯-=，因此cos()βα-3．1．2 两角和与差的正弦、余弦正切公式练习〔144页〕1．利用和〔差〕角公式，求以下各式的值：〔1〕sin15；〔2〕cos 75；〔3〕sin 75；〔4〕tan15．1．解：〔1〕sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30=-=-，即21sin1522224=-⨯=，因此6sin154=； 〔2〕cos 75cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 30=+=-，即21cos 7522224=-⨯=，因此6cos 754=； 〔3〕sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30=+=+，即21sin 7522224=+⨯=，因此6sin 754+=； 〔4〕tan 45tan 30tan15tan(4530)1tan 45tan 30-=-=+，即1tan152===因此tan152=-． 2．3cos 5θ=-，(,)2πθπ∈，求sin()3πθ+的值． 2．解：因为(,)2πθπ∈，因此4sin 5θ==， 1sin()sin coscos sinsin cos 33322πππθθθθθ+=+=+，即1434sin()()3252510πθ-+=⨯+-=，因此sin()3πθ+． 3．12sin 13θ=-，θ是第三象限角，求cos()6πθ+的值． 3．解：因为θ是第三象限角，因此5cos 13θ==-， 1cos()coscos sinsin cos sin 66622πππθθθθθ+=-=-，即511212cos()()()621321326πθ-+=--⨯-=， 因此cos()6πθ+的值为1226-． 4．tan 3α=，求tan()4πα+．4．解：tan tan1tan 134tan()241tan 131tan tan4παπααπαα++++====----， 因此tan()24πα+=-．5．求以下各式的值：〔1〕sin 72cos18cos72sin18+； 〔2〕cos72cos12sin 72sin12+；〔3〕tan12tan 331tan12tan 33+-；〔4〕cos74sin14sin 74cos14-； 〔5〕sin34sin 26cos34cos 26-； 〔6〕sin 20cos110cos160sin 70+．5．解：〔1〕sin 72cos18cos 72sin18sin(7218)sin 901+=+==， 即sin 72cos18cos72sin181+=；〔2〕1cos72cos12sin 72sin12cos(7212)cos602+=-==， 即1cos72cos12sin 72sin122+=； 〔3〕tan12tan 33tan(1233)tan 4511tan12tan 33+=+==-，即tan12tan 3311tan12tan 33+=-；〔4〕cos 74sin14sin 74cos14(sin 74cos14cos 74sin14)-=--3sin(7414)sin 602=--=-=-， 即3cos 74sin14sin 74cos142-=-； 〔5〕sin 34sin 26cos34cos 26(cos34cos 26sin 34sin 26)-=-- 1cos(3426)cos602=-+=-=-， 即1sin 34sin 26cos34cos 262-=-；〔6〕sin 20cos110cos160sin 70sin 20cos70cos 20sin 70+=--(sin 20cos 70cos 20sin 70)sin 901=-+=-=-，即sin 20cos110cos160sin 701+=-．6．化简：〔1〕1cos sin 22x x -；〔2cos x x +；〔3cos )x x -；〔4x x ．6．解：〔1〕1cos sin cos cos sin sin()2666x x x x x πππ=-=-，即1cos sin()26x x x π=-；〔21cos 2(sin cos )2(sin cos cos sin )2266x x x x x x ππ+=⋅+⋅=+ 2sin()6x π=+，cos 2sin()6x x x π+=+；〔3cos )cos x x x x -=2(sin cos cos sin )44x x ππ=- 2sin()4x π=-，cos )2sin()4x x x π-=-；〔41cos sin )2x x x x =⋅cos sinsin )33x x ππ=-)3x π=+，cos()3x x x π=+．7．3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，β是第三象限角，求5sin()4πβ+的值． 7．解：由3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，得3sin()sin()sin 5αβαββ--=-=-=，即3sin 5β=-，而β是第三象限角，得4cos 5β==-，那么555sin()sin cos cos sin (sin cos )4442πππβββββ+=+=-+，即534sin())()]425510πβ+=--+-=因此5sin()410πβ+=． 3．1．3 二倍角的正弦、余弦、正切公式练习〔148页〕1．4cos85α=-，812παπ<<，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值． 1．解：由812παπ<<，得382αππ<<，而4cos 85α=-，那么3sin 85α=-，得3424sin 2sin cos 2()()4885525ααα==⨯-⨯-=，2247cos2cos 12()148525αα=-=⨯--=， sin244tan47cos 4ααα==，因此sin 4α，cos 4α，tan 4α的值分不为24724,,25257．2．3sin()5απ-=，求cos2α的值．2．解：由3sin()5απ-=，得3sin(2)sin()sin 5αππαπα-+=+=-=，即3sin 5α=-，而223187cos 212sin 12()152525αα=-=-⨯-=-=， 因此cos2α的值为725．3．sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，求tan α的值．3．解：因为(,)2παπ∈，得0sin 1α<<，而sin 2sin αα=-，即2sin cos sin ααα=-，得1cos 2α=-，而(,)2παπ∈，那么sin 2α=，而sin tan cos ααα== 因此tan α的值为4．1tan 23α=，求tan α的值． 4．解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，即2tan 6tan 10αα+-=，得tan 3α=-± 5．求以下各式的值： 〔1〕sin15cos15； 〔2〕22cossin 88ππ-；〔3〕2tan 22.51tan22.5-； 〔4〕22cos 22.51-．5．解：〔1〕11111sin15cos15sin(215)sin 3022224=⨯==⨯=；〔2〕22cossin cos(2)cos 8884ππππ-=⨯== 〔3〕22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522=⨯==--； 〔4〕222cos 22.51cos(222.5)cos 452-=⨯==．。
军考数学复习提纲
军考数学复习提纲第一章集合与简易逻辑一.基本概念1.集合,子集;2.集合的运算:交集,并集,补集;3.逻辑连结词:或,且,非;4.四种命题及其相互关系:原命题,逆命题,否命题,逆否命题;5.充分条件,必要条件,充要条件.第二章函数一.映射与函数1.基本概念:映射,函数,反函数,复合函数;2.函数的性质:1)单调性;2)奇偶性(注意判定奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数);3)周期性(注意辨别周期与最小正周期).3.反函数的性质:1)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称;2)一个函数和它的反函数具有相同的单调性;3)奇函数的反函数仍为奇函数,偶函数则不确定.4.复合函数5.函数图像的平移变换:上加下减,左加下减.二.基本函数与方程1.二次函数(初中已掌握,此处略过);2.指数与指数函数3.对数与对数函数1.对数的性质1)零和负数没有对数;2)1的对数为0;3).4.指数方程1)一般形式的,两边同时取对数;2)含有常数的,换元.5.对数方程与指数方程相对应,可分别采取两边同时取指数式或换元的方法.第三章数列一.基本概念数列,首项,公差,公比,等差中项,等比中项,等差数列,等比数列.二.等差数列与等比数列的性质比较三.Sn与an的关系an=Sn-(Sn-1);a1=S1.四.错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如An=Bn*Cn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
第四章三角函数一.基本知识弧度制,诱导公式,常用角的三角函数值二.两角和与差的三角函数(必须牢记)1.两角和与差的公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ; tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ); tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ.2.二倍角公式3.半角公式4.三角函数的图像和性质定义域 RR值域 ]1,1[+-]1,1[+-R周期性 π2 π2π奇偶性奇函数偶函数 奇函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且xy tan =xy cos =x y sin =第五章 向量及其应用一.基本概念向量,向量的模.零向量,平行向量,法向量. 二.向量的运算1. 向量的加减法(平行四边形定则或三角形法则);2. 实数与向量的积设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质： (λμ)a= λ(μa);(λ + μ)a= λa+ μa; λ(a ±b) = λa ± λb;(－λ)a=－(λa) = λ(－a). 3.向量的数量积1)数量积a ·b 的几何意义是：a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积;2)数量积具有以下性质： a ·a=|a|2≥0;a ·b =b ·a;k(a ·b )=(k a )b =a (k b );a ·(b +c )=a ·b +a ·c.4.平面向量1)平面向量基本定理如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2)向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题3)两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x4)定比分点公式:如图所示，点P 分线段P 1P 2的比例为：P 1P/PP 2=γ，那么：5.空间向量(许多性质基本上可以由平面向量类推得到)第六章 不等式一.基本不等式（ 当且仅当a=b 时，等号成立）,变形 , （当且仅当a=b 时，等号成立）;二.不等式证明的基本方法作差,作商(作商前要注意两项的符号). 三.不等式的解法1.一元一次,二次不等式;2.高次不等式(因式分解);3.分式不等式(化为一元一次,二次不等式或高次不等式);4.绝对值不等式(零点分段进行分类讨论或者两边平方);5.无理不等式(两边平方化成有理不等式);6.指数,对数不等式(进行指数或对数运算化为有理不等式).第七,八章解析几何一.直线方程1.斜率的定义;2.点到直线的距离公式点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C=0的距离：二.圆1.圆的定义与方程;2.点,直线.圆与圆的关系.三.圆锥曲线性质汇总与比较椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a＝点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程12222=+byax(ba>>0) 12222=-byax(a>0,b>0) pxy22=参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴焦点F 1(c,0), F 2(─c,0)F 1(c,0), F 2(─c,0))0,2(p F 准 线 x=±ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=±ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距 2c （c=22b a -） 2c （c=22b a +）离心率 )10(<<=e ace )1(>=e ace e=1第九章 平面,直线与简单几何体一.基本定义二.简单几何体 1.棱柱,棱锥;2.球 半径是R 的球的体积 计算公式是：. 半径是R 的球的表面积计算公式是：.三.正四面体的一些常用性质(自己多去尝试计算推导)当正四面体的棱长为a时，一些数据如下：1)高：√6a/3。
解放军军校考试《数学》大纲：三角函数诱导公式(1)
解放军军校考试《数学》大纲：三角函数诱导公式(1)关键词：军校考试张为臻军考培训军考大纲士兵军考军考数学考点常用公式：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系(利用原函数奇偶性)：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2+α)=-tanαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2+α)=-cotαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2+α)=-tanαcot(3π/2-α)=tanα。
解放军军校考试《数学》大纲：二次函数(7)
解放军军校考试《数学》大纲：二次函数(7)关键词：军校考试张为臻军考培训军考大纲士兵军考军考数学考点决定位置因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号。
当a>0,与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。
可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号(即a>0，b>0或a<0，b<0);当对称轴在y轴右时，a与b异号(即a0或a>0，b<0)(ab<0)。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
决定交点因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于(0,C)点。
注意：顶点坐标为(h,k)，与y轴交于(0,C)。
与x轴交点数a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
质疑点：a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与x轴无交点。
当a>0时，函数在x=h处取得最小值，在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变大)，二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k。
张为臻博客当a<0时，函数在x=h处取得最大值，在xh范围内是减函数(即y随x的变大而变小)，二次函数图像的开口向下，函数的值域是y当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。
解放军军校考试《数学》大纲：一元二次不等式(1)
解放军军校考试《数学》大纲：一元二次不等式(1)关键词：军校考试张为臻军考培训军考大纲士兵军考军考数学考点
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。
它的一般形式是ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0(a 不等于0)其中ax²+bx+c是实数域内的二次三项式。
解法一
当△=b²-4ac≥0时，
一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实根，那么ax²+bx+c可分解为如a(x-x1)(x-x2)的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。
解法二
亦可用配方法解一元二次不等式。
解法三
一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一
元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。
张为臻博客。
军队文职考试数学2考试大纲纲要大纲总结计划.docx
1、初等函数⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
下面我们用表格来把它们总结一下：函数函数的记号函数的图形函数的性质名称指数a): 不论 x 为何值 ,y 总为正数 ;函b): 当 x=0 时 ,y=1.数对a): 其图形总位于 y 轴右侧 , 并过(1,0) 点数b): 当 a＞1 时 , 在区间 (0,1) 的函值为负；在区间 (- ,+ ∞) 的值为数正；在定义域内单调增 .令 a=m/na): 当 m为偶数 n 为奇数时 ,y 幂是偶函数 ;函 a 为任意实数b): 当 m,n 都是奇数时 ,y 是奇函数 ;数这里只画出部分函数图形c): 当 m奇 n 偶时 ,y 在 (- ∞,0)的一部分。
无意义 .三a): 正弦函数是以 2π为周期的周期函数角( 正弦函数 )b): 正弦函数是奇函数且函这里只写出了正弦函数数反a): 由于此函数为多值函数 ,三( 反正弦函因此我们此函数值限制在角数 )[- π/2, π/2] 上 , 并称其为反正函这里只写出了反正弦函数弦函数的主值 .数⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数 .例题：是初等函数。
2.极限的性质唯一性有界性局部保号性3.函数极限的运算规则前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。
⑴、函数极限的运算规则若已知 x→x0( 或 x→∞ ) 时，.则：推论：在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。
例题：求解答：例题：求此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在. 我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。
解答：4函数极限的存在准则准则一：对于点 x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外( 或绝对值大于某一正数的一切 x) 有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.无穷小量的比较定义：设α，β都是时的无穷小量，且β 在x0的去心领域内不为零，a) ：如果，则称α 是β 的高阶无穷小或β 是α 的低阶无穷小；b) ：如果，则称α 和β 是同阶无穷小；c) ：如果，则称α 和β 是等价无穷小，记作：α∽β( α与β 等价)5闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续. 对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。
军考大纲解读[最新版]物理考点-光的传播及性质
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军校考大纲解读[最新版]物理考点-光的传播及性质关键词：军校考试张为臻军校考试培训军考大纲军考物理光的传播军考大纲光的折射、折射定律、折射率、全反射和临界角在考试说明中都属第Ⅱ类要求，棱镜和色散属I类要求，并要求知道和光从一种介质射到另一种介质中其频率不变。
考点解析一、光的直线传播1.光源：能自行发光的物体，如通电的电灯、点燃的蜡烛、太阳等.光源是把其它形式的能转化为光能的装置。
2.介质：光能够在其中传播的物质，如空气、玻璃等。
3.光沿直线传播的条件：在同一种均匀介质中光沿直线传播。
4.光线：用来表示光束传播方向的直线，是为了方便研究光而科学抽象的概念。
5.光速⑴光在真空中的传播速度为c=3.00×108 m/s。
⑵在其它介质中的速度，式中n为介质的折射率，n>1，故v<C.< p> 。
二、光的折射1.光的折射：光由一种介质射入另一种介质时，在界面上将发生光路改变的现象叫光的折射.折射不仅可以改变光路，还可以改变光束的性质。
2.光的折射定律：折射光线在入射光线和法线所决定的平面内，折射光线和入射光线分居在法线两侧，入射角的正弦与折射角的正弦之比是一个常数：。
在光的折射中光路是可逆的。
三、折射率1.定义：光由真空射人某种介质发生折射时，入射角的正弦跟折射角的正弦之比，叫做这种介质的折射率，即。
说明：折射率是反映介质光学性质的物理量，它的大小由介质本身决定，同时光的频率越高，折射率越大。
而与入射角、折射角的大小无关。
2.与光速的关系介质的折射率等于光在真空中的速度与在该介质中的速度之比，即n=c/v说明：⑴由n=c/v可知，任何介质的折射率都大于1。
⑵由和，当光由真空(或空气)射入某种介质时，入射角大于折射角;当光由介质射入真空(或空气)时，入射角小于折射角。
⑶两种介质相比较，折射率较大的介质叫光密介质，折射率较小的介质叫光疏介质。
3.分析光的折射时，一般需作出光路图，以便应用折射规律及光路图中提供的几何关系来解答。
解放军军校考试《数学》大纲：数列(2)
解放军军校考试《数学》大纲：数列(2)关键词：军校考试张为臻军考培训军考大纲士兵军考军考数学考点通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。
递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
数列中项的总数为数列的项数。
特别地，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an=f(n)。
如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是a(n)=f(n).并非所有的数列都能写出它的通项公式。
例如：π的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…它没有通项公式。
数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。
2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。
表示方法如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
如。
数列通项公式的特点：(1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。
(2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。
张为臻博客递推公式。
数列递推公式特点：(1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。
(2)有些数列没有递推公式。
有递推公式不一定有通项公式。
军考大纲：军校考试大纲最新版(数学)
军考大纲：军校考试大纲最新版(数学)关键词：军考张为臻军校考试军队考试语文大纲军考数学部队考军校考试科目：语文、数学、综合(政治、物理、化学)和英语。
军队考军校考试时间：语文、数学、综合均为150分钟，英语为120分钟。
试卷分数：总分为600分，其中语文满分为150分，数学满分为150分，综合满分为200分(政治80分、物理60分、化学60分)，英语满分为100分。
(一)考核目标与要求重点考核考生对基本知识的了解、对基本定理的理解、对基本方法的应用，要求考生善于从本质上抓住数学知识之间深刻的内在联系，突出考核考生的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识和创新意识。
(二)考试范围与要求1.集合集合的含义与表示：了解集合的含义、元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。
集合间的基本关系：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;在具体情境中，了解全集与空集的含义。
集合的基本运算：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。
简易逻辑：命题及其关系;理解命题的概念;了解“若，则”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
2.函数函数：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念;了解简单的分段函数，并能简单应用;理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数，了解函数奇偶性的含义;会运用函数图像理解和研究函数的性质。
张为臻博客指数函数：了解指数函数模型的实际背景;理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算;理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点;知道指数函数是一类重要的函数模型。
军考大纲：军校考试大纲最新版(化学)
军考大纲：军校考试大纲最新版(化学) 关键词：军考张为臻军校考试军队考试化学大纲军考化学 部队考军校考试科目：语文、数学、综合(政治、物理、化学)和英语。
军队考军校考试时间：语文、数学、综合均为150分钟，英语为120分钟。
试卷分数：总分为600分，其中语文满分为150分，数学满分为150分，综合满分为200分(政治80分、物理60分、化学60分)，英语满分为100分。
(一)考核目标与要求 考核考生自主学习的能力，重视理论联系实际，关注与化学有关的科学技术、社会经济和生态环境的协调发展，以促进学生在知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观等方面的全面发展。
考生应具备对化学知识的理解能力、分析问题和解决(解答)化学问题能力、化学实验与探究能力。
(二)考试范围与要求 1.化学基本概念和基本理论 物质的组成、性质和分类：了解分子、原子、离子、原子团等概念的含义;理解物理变化与化学变化的区别与联系;理解混合物和纯净物、单质和化合物、金属和非金属的概念;理解酸、碱、盐、氧化物的概念及其相互联系。
化学用语及常用计量：熟记并正确书写常见元素的名称、符号、化合价;了解原子结构示意图、分子式、结构式和结构简式的表示方法;了解相对原子质量、相对分子质量的定义，并能进行有关计算;能正确书写化学方程式和离子方程式，并能进行有关计算;了解物质的量的单位——摩尔(mol)、摩尔质量、气体摩尔体积、物质的量浓度、阿伏加德罗常数的含义;根据物质的量与微粒(原子、分子、离子等)数目、气体体积(标准状况下)之间的相互关系进行有关计算。
溶液：了解溶液的含义;了解溶液的组成，理解溶液中溶质的质量分数的概念，并能进行有关计算;了解配制一定溶质质量分数、物质的量浓度溶液的方法;了解胶体是一种常见的分散系。
物质结构和元素周期律：了解元素、核素和同位素的含义;了解原子构成;了解元素周期律的实质;了解金属和非金属在元素周期表中的位置及其性质递变规律;理解化学键的定义;理解分子间作用力和氢键对物质性质的影响。
军队院校招收士兵学员文化科目统一考试大纲
军队院校招收士兵学员文化科目统一考试大纲
军队院校招收士兵学员的文化科目统一考试大纲根据具体院校的要求会存在一些差异，下面是一个典型的文化科目统一考试大纲的示例：
一、政治理论
1. 马克思主义基本原理概论
2. 思想道德修养与法律基础
3. 中国近现代史纲要
4. 政治经济学
二、军事理论
1. 军事理论基础
2. 军事战略学
3. 军队建设理论
三、外语
1. 英语基础知识
2. 英语阅读理解
3. 英语写作表达
4. 英语听力
四、数学
1. 数学基础知识
2. 线性代数
3. 高等数学
4. 概率论与数理统计
五、综合素质考察
综合素质考察包括军事理论与实践、军事技能、体能测试、组织管理与军事法规等方面的内容。
需要注意的是，具体的考试大纲内容可能会根据不同年份的招生计划和院校要求进行调整，以上只是一个常见的大纲示例。
考生在准备考试时应根据具体院校要求和招生公告进行复习和备考。
军校考试大纲数学考点—指数函数
军校考试大纲数学考点—指数函数关键词：军校考试张为臻军校考试试题军校考试培训军校招生政策军考大纲一、指数函数指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1)(x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1在函数y=a^x中可以看到：(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1。
对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凸的。
(4)a>1时，则指数函数单调递增;若0<p="">(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数程中(不等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
(7)函数总是通过(0，1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)(8)指数函数无界。
张为臻博客(9)指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
(11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。
二、函数图像(1)由指数函数y="a^x与直线x=1相交于点(1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1，1/a)可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
(4)y=a的x次方与y=a分之1的x次方的图像关于y轴对称。
解放军军校考试《数学》大纲：抛物线(3)
解放军军校考试《数学》大纲：抛物线(3)
关键词：军校考试张为臻军考培训军考大纲士兵军考军考数学考点
准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。
这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。
弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。
焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。
正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。
直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。
这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。
解析式求法
以焦点在X轴上为例
知道P(x0，y0)
令所求为y2=2px
则有y02=2px0
∴2p=y02/x0
∴抛物线为y2=(y02/x0)x
现总结如下:
(1)知道抛物线过三个点(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)设抛物线方程为y=ax²+bx+c，将各个点的坐标代进去得到一个三元一次方程组,解得a,b,c的值即得解析式。
(2)知道抛物线的与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0),并知道抛物线过某一个点(m,n)，设抛物线的方程为y=a(x-x1)(x-x2),然后将点(m,n)代入去求得二次项系数a
(3)知道对称轴x=k
设抛物线方程是y=a(x-k)²+b,再结合其它条件确定a,c的值。
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(4)知道二次函数的最值为p
设抛物线方程是y=a(x-k)²+p,a,k要根据其它条件确定。
解放军军校考试《数学》大纲：等比数列(1)
解放军军校考试《数学》大纲：等比数列(1)关键词：军校考试张为臻军考培训军考大纲士兵军考军考数学考点
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
有关系：;
注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
通项公式
an=a1*q^(n-1)(其中首项是a1，公比是q)
an=Sn-S(n-1)(n≥2)张为臻博客
前n项和
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1*q^n)/(1-q)(q≠1)
当q=1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=na1
前n项和与通项的关系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)。
士兵考军校数学基本常识军考知识点
士兵考军校数学基本常识军考知识点士兵考军校数学基本常识军考知识点：函数部分关键词：军考士兵考军校京忠军考基本常识军考知识点函数知识点一：函数周期性一．知识点解析：设对于函数f(x),如果存在一个不为0的常数T,对于定义内的任何一个x,都有等式()()f x T f x +=,则()f x 是周期为T 的周期函数.一个周期函数,如果在所有的周期中存在一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期.二、京忠军考强化训练1．设函数是以3为周期的奇函数,且,则（）A ．1>a B ．1-a D ．2-<a< p="">2．已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（） A.10个 B.9个 C.8个 D.7个3．若是上周期为5的奇函数,且满足,则的值为（）A ．B ．1C ．D ．2知识点二：指数对数互为反函数（在对数函数中体现）知识点解析：对数函数与指数函数互为反函数,它们的图像关于直线y=x 对称.知识点三：幂函数一、知识点解析：1.幂函数定义：形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 2.幂函数的性质)( )(R x x f ∈a f f =>)2(,1)1(()f x R (1)1,(2)3f f ==(8)(4)f f -1-2-二、京忠军考强化训练1．下列所给出的函数中,是幂函数的是（） A ．3x y -= B ．3 -=x y C ．32x y = D ．13-=x y 2．已知幂函数过点)8,2(P ,则其解析式为___________.3．若函数1,0()1(),03x x x f x x ?<??=??≥??,则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.知识点四：零点问题一．知识点解析：函数f(x)=0时x 的值即为零点.二、京忠军考强化训练 1．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x4的零点是（） A.0 B.1 C.2 D.无数个 2．函数f(x)＝lo g 5(x －1)的零点是( ) A ．0 B ．1C ．2 D ．3知识点五：二次函数一．知识点解析：（1）二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：①已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；③已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用交点式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．（2）二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点；③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点.当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >恒成立；当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <恒成立．（3）二次函数常用解题方法总结：①求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；②求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；③根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合；④二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 二、京忠军考强化训练1．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )A. y=2(x+1)2+3 B. y=2(x －1)2－3 C. y=2(x+1)2－3 D. y=2(x －1)2+32．若二次函数b x a x y +-+=)1(232在区间(,1]-∞上为减函数,那么（）A.2a <- B.2a ≥- C.2-≤a D.2->a3．已知二次函数2()()f x ax bx c a c =++≠,若(1)0f -=,则函数()f x 有（）个零点A ．0B ．1C ．2D ．与a 有关</a<>。
高考数学必修知识讲解二倍角的正弦、余弦、正切公式基础
二倍角的正弦、余弦和正切公式【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：；2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：2sin 22sin cos ()S αααα=⋅22222cos 2cos sin ()2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-22,S C ααα2T α2k παπ≠+()42k k Z ππα≠+∈2αα4α2α2α4α3α32α2cos2sin2sin ααα=11sin2sincos ()222nn n n Z ααα++=∈βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,要点二：二倍角公式的逆用及变形1．公式的逆用；．．．2．公式的变形；降幂公式：升幂公式：要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用例1．化简下列各式：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．【答案】（1）（2）（3【解析】 （1）．（2）（3）．【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：2sin cos sin2ααα=1sin cos sin 22ααα=2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=22tan tan 21tan ααα=-21sin 2(sin cos )ααα±=±221cos 21cos 2cos,sin 22αααα+-==221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=(),2()()ααββααβαβ=-+=++-4sincos22αα22sincos 88ππ-2tan 37.51tan 37.5︒-︒2sin α4sin cos22sincos2sin 2222ααααα=⋅=2222sincos cos sin cos 88884πππππ⎛⎫-=--=-= ⎪⎝⎭22tan 37.512sin 37.51tan 751tan 37.521tan 37.52︒︒=⋅=︒=-︒-︒【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．【答案】（1；（2；（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：适用，不断地使用二倍角的正弦公式．方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．【答案】【解析】方法一： ．∴方法二：原式．【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若，则．cos sin cos sin 12121212ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22cos 18π-22tan 751tan 75-22cossin cos12126πππ-==cos(2cos84ππ⨯==tan150tan(18030)tan 30=-=-=sin 2sin 2cos ααα=sin 2cos 2sin ααα=116sin 20sin 50sin 70sin10sin 50sin 702cos10︒︒︒︒︒︒=︒sin 20cos 20sin 50sin 40sin 50sin 40cos 402cos104cos104cos10︒︒︒︒︒︒︒===︒︒︒sin 8018cos108︒==︒1sin10sin 30sin 50sin 7016︒︒︒︒=1cos 20cos 40cos802=︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos804sin 20︒︒︒︒=︒sin 40cos 40cos80sin 80cos801sin16014sin 202sin 2016sin 2016︒︒︒︒︒︒===⋅=︒︒︒sin 0α≠11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++=举一反三：【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．【解析】原式．类型三：利用二倍角公式化简三角函数式例3．化简下列各式：(1)【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．【答案】（1）（2）【解析】(1)(2)【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：．经常起到消除式子中1的作用．②由于，可进行无理式的化简和运算．例4．（2015秋 安徽阜阳期末）已知，且（1）求的值；（2）求的值．【思路点拨】（1）根据角的范围求出cos ，tan ，然后通过二倍角公式转化，分子分母同除cos2，代入tan ，即可求出值．（2）直接利用两角和的正切函数，展开代入tan 的值求解即可．【答案】（1）6；（2）7【解析】（1）由又，∴，∴2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos802sin 20︒︒︒︒=︒︒︒=︒2sin 40cos 40cos802sin 80cos804sin 208sin 20︒︒︒︒︒==︒︒sin160sin 2018sin 208sin 208︒︒===︒︒4sin 1)2(2cos cos 12sin sin -+++θθθθtan θsin 2cos 2-.tan )cos 21(cos )cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2θθθθθθθθθθθθθθ=++=+⋅+=+++4sin 1-.2cos 2sin |2cos 2sin |)2cos 2(sin 2cos 2cos 2sin 22sin 222-=-=-=+⋅-=αααα22sin 22cos 1,cos22cos 1=-=+2)cos (sin sin21cos sin 22sin αααααα±=±⋅=，从而02πα<<3sin 5α=22sin sin 2cos 2ααα+5tan()4απ+αα22sin sin 2cos 2ααα+ααα3sin 5α=02πα<<4cos 5α=3tan 4α=22222sin sin 22sin 2sin cos cos 2cos sin αααααααα++⋅=-（2）举一反三：【变式1】（1的化简结果是 ．（2）已知，且α∈( ，π)，则 的值为 ．【答案】（1）（2）【解析】（1）原式 = = =（2）因为，且α∈( ，π)，所以，原式=．类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用【高清课堂：倍角、半角公式370633 例2】例5．求值：（1）已知，求．（2）已知，求．【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．【答案】（1）（2）【解析】（1） = =322sin 2tan 463cos sin 1tan 1()4ααααα⨯====---53tan tan 15tan 144tan()75341tan 1tan tan 144απααπααπ++++====--⋅-3sin 5α=2π2sin 2cos ααsin 3cos3-32-|sin 3cos3|-sin 3cos3-3sin 5α=2π4cos 5α=-22sin cos 3532()cos 542ααα=⨯⨯-=-3sin(1225πθ-=cos()6πθ-sin()4m πα+=sin 2α725221m -cos(cos cos 266122πππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212sin 122πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭91225-⨯=（2）= = =【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．举一反三：【变式1】 已知，且，求，，的值．【答案】 【解析】由，得，即，∴由，得，∴．即．整理得．解得或（舍去）．∴．∴．【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．【变式2】（2016 天津红桥区模拟）已知是第二象限角，且，725sin 2cos(2)2παα=-+212sin 4πα⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦212sin 4πα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭221m -1sin cos 3αα+=0απ<<sin 2αcos 2αtan 2α89-1sin cos 3αα+=21(sin cos )9αα+=112sin cos 9αα+=8sin 22sin cos 9ααα==-1sin cos 3αα+=1cos sin 3αα=-221cos sin 3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22121sinsinsin 93ααα-=-+29sin 3sin 40αα--=sin α=sin α=22cos 212sin 12αα=-=-⨯=sin 2tan 2cos 2ααα==ααsin α=（1）求cos2的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2【解析】（1）因为是第二象限角，，所以，．（2）又是第二象限角，故．所以．类型五：二倍角公式的综合应用【高清课堂：倍角、半角公式370633 例3】例6．已知，求：（1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合；（2）f (x )的单调区间．【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成的形式．【答案】（1） （2）单增区间 单减区间 【解析】（1）原式= =则当即时， （2）f (x )的单调递增区间为：，则f (x )的单调递减区间为：，则αsin()6πα+78-αsin α=2157cos 212sin12168αα=-=-⨯=-α1cos 4α==-11sin()(642πα+=-=22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++sin()A x k ωϕ++2+|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3,,88k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦5,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦1sin 2cos 21x x +++sin 2cos 22x x ++)24x π++22,42x k πππ+=+|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭max ()2f x =+222242k x k πππππ-≤+≤+3,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦3222242k x k πππππ+≤+≤+【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式，．，．（2）扩角降幂公式，．例7．已知向量，，求函数．（1）求的最大值及相应的x 值；（2）若，求的值．【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．【答案】（1（2）【解析】（1）因为，，所以．因此，当，即时，．（2）由及得，两边平方得，即．因此，．举一反三：【变式1】（2015秋 朝阳区期中）已知函数．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）的单调递减区间．【答案】（1）2π；（2），k ∈Z ．【解析】（1）由已知可得：．5,,88x k k k z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦sin()y A x ωϕ=+21sin sin cos 22ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭21sin sin cos 22ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭21cos 2cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=21cos 2cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=(1sin 2,sin cos )x x x =+-a (1,sin cos )x x =+b ()f x =⋅a b ()f x 8()5f θ=cos 224πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭1+3()8x k k Z ππ=+∈1625(1sin 2,sin cos )x x x =+-a (1,sin cos )x x =+b 22()1sin 2sin cos 1sin 2cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=++-=+-=-+ ⎪⎝⎭2242x k πππ-=+3()8x k k Z ππ=+∈()f x 1+()1sin 2cos 2f θθθ=--8()5f θ=3sin 2cos 25θθ-=91sin 425θ-=16sin 425θ=16cos 22cos 4sin 44225ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()cos 2cos 222x x xf x =+4[2,2]33k k ππππ++()cos 12sin(16f x x x x π=++=++所以f （x ）的最小正周期为2π．（2）由，k ∈Z ，得，k ∈Z ．因此函数f （x ）的单调递减区间为，k ∈Z ．【变式2】已知向量m =（sinA ，cosA ），，m ·n =1，且A 为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数（x ∈R ）的值域．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，得，，．由A 为锐角得，．（2）由（1）知，所以．因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]．因此，当时，有最大值，当sin x=－1时，有最小值－3，所以所求函数的值域是．322262k x k πππππ+≤+≤+42233k x k ππππ+≤≤+4[2,233k k ππππ++1)=-n ()cos 24cos sin f x x A x =+3π33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦cos 1m n A A ⋅=-=2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭66A ππ-=3A π=1cos 2A =2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭1sin 2x =()f x 32()f x ()f x 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
军考数学复习提纲汇总
军考数学复习提纲第一章集合与简易逻辑一.基本概念1.集合,子集;2.集合的运算:交集,并集,补集;3.逻辑连结词:或,且,非;4.四种命题及其相互关系:原命题,逆命题,否命题,逆否命题;5.充分条件,必要条件,充要条件.第二章函数一.映射与函数1.基本概念:映射,函数,反函数,复合函数;2.函数的性质:1)单调性;2)奇偶性(注意判定奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数);3)周期性(注意辨别周期与最小正周期).3.反函数的性质:1)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称;2)一个函数和它的反函数具有相同的单调性;3)奇函数的反函数仍为奇函数,偶函数则不确定.4.复合函数5.函数图像的平移变换:上加下减,左加下减.二.基本函数与方程1.二次函数(初中已掌握,此处略过);2.指数与指数函数3.对数与对数函数1.对数的性质1)零和负数没有对数;2)1的对数为0;3).4.指数方程1)一般形式的,两边同时取对数;2)含有常数的,换元.5.对数方程与指数方程相对应,可分别采取两边同时取指数式或换元的方法.第三章数列一.基本概念数列,首项,公差,公比,等差中项,等比中项,等差数列,等比数列.二.等差数列与等比数列的性质比较三.Sn与an的关系an=Sn-(Sn-1);a1=S1.四.错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如An=Bn*Cn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
第四章三角函数一.基本知识弧度制,诱导公式,常用角的三角函数值二.两角和与差的三角函数(必须牢记)1.两角和与差的公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ; tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ); tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ.2.二倍角公式3.半角公式4.三角函数的图像和性质定义域 RR值域 ]1,1[+-]1,1[+-R周期性 π2 π2π奇偶性奇函数偶函数 奇函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且xy tan =xy cos =x y sin =第五章 向量及其应用一.基本概念向量,向量的模.零向量,平行向量,法向量. 二.向量的运算1. 向量的加减法(平行四边形定则或三角形法则);2. 实数与向量的积设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质： (λμ)a= λ(μa);(λ + μ)a= λa+ μa; λ(a ±b) = λa ± λb;(－λ)a=－(λa) = λ(－a). 3.向量的数量积1)数量积a ·b 的几何意义是：a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积;2)数量积具有以下性质： a ·a=|a|2≥0;a ·b =b ·a;k(a ·b )=(k a )b =a (k b );a ·(b +c )=a ·b +a ·c.4.平面向量1)平面向量基本定理如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2)向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题3)两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x4)定比分点公式:如图所示，点P 分线段P 1P 2的比例为：P 1P/PP 2=γ，那么：5.空间向量(许多性质基本上可以由平面向量类推得到)第六章 不等式一.基本不等式（ 当且仅当a=b 时，等号成立）,变形 , （当且仅当a=b 时，等号成立）;二.不等式证明的基本方法作差,作商(作商前要注意两项的符号). 三.不等式的解法1.一元一次,二次不等式;2.高次不等式(因式分解);3.分式不等式(化为一元一次,二次不等式或高次不等式);4.绝对值不等式(零点分段进行分类讨论或者两边平方);5.无理不等式(两边平方化成有理不等式);6.指数,对数不等式(进行指数或对数运算化为有理不等式).第七,八章解析几何一.直线方程1.斜率的定义;2.点到直线的距离公式点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C=0的距离：二.圆1.圆的定义与方程;2.点,直线.圆与圆的关系.三.圆锥曲线性质汇总与比较椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a＝点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程12222=+byax(ba>>0) 12222=-byax(a>0,b>0) pxy22=参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴焦点F 1(c,0), F 2(─c,0)F 1(c,0), F 2(─c,0))0,2(p F 准 线 x=±ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=±ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距 2c （c=22b a -） 2c （c=22b a +）离心率 )10(<<=e ace )1(>=e ace e=1第九章 平面,直线与简单几何体一.基本定义二.简单几何体 1.棱柱,棱锥;2.球 半径是R 的球的体积 计算公式是：. 半径是R 的球的表面积计算公式是：.三.正四面体的一些常用性质(自己多去尝试计算推导)当正四面体的棱长为a时，一些数据如下：1)高：√6a/3。
2022军校高考数学考点
军校高考数学考点2022年高考数学考点一共139个必会（115个）一、集合、简易逻辑（8个）1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题; 8.充要条件.二、函数（12个）1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质; 11.对数函数. 12.函数的应用举例.三、数列（5个）1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式.四、三角函数（17个）1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4,单位圆中的三角函数线; 5.同角三角函数的差不多关系式;6.正弦、余弦的诱导公式’7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切; 9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数; 11.函数的奇偶性; 12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质; 14.已知三角函数值求角; 15.正弦定理; 16余弦定理; 17斜三角形解法举例.五、平面向量（8个）1.向量2.向量的加法与减法3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离; 8.平移.六、不等式（5个）1.不等式;2.不等式的差不多性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式.七、直线和圆的方程（12个）1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一样式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域; 8.简单线性规划问题. 9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程; 11.圆的标准方程和一样方程; 12.圆的参数方程.八、圆锥曲线（7个）1椭圆及其标准方程; 2.椭圆的简单几何性质; 3.椭圆的参数方程;4.双曲线及其标准方程;5.双曲线的简单几何性质;6.抛物线及其标准方程;7.抛物线的简单几何性质.九、（b）直线、平面、简单何体（28个）1.平面及差不多性质;2.平面图形直观图的画法;3.平面直线;4.直线和平面平行的判定与性质; 5,直线和平面垂直的判与性质;6.三垂线定理及其逆定理;7.两个平面的位置关系；8.空间向量及其加法、减法与数乘; 9.空间向量的坐标表示;10.空间向量的数量积; 11.直线的方向向量; 12.异面直线所成的角;13.异面直线的公垂线; 14异面直线的距离; 15.直线和平面垂直的性质;16.平面的法向量; 17.点到平面的距离; 18.直线和平面所成的角;19.向量在平面内的射影; 20.平面与平面平行的性质; 21.平行平面间的距离;22.二面角及其平面角; 23.两个平面垂直的判定和性质; 24.多面体;25.棱柱; 26.棱锥; 27.正多面体; 28.球.十、排列、组合、二项式定理（8个）1.分类计数原理与分步计数原理.2.排列;3.排列数公式’4.组合;5.组合数公式;6.组合数的两个性质;7.二项式定理; 8.二项展开式的性质.十一、概率（5个）1.随机事件的概率;2.等可能事件的概率;3.互斥事件有一个发生的概率;4.相互独立事件同时发生的概率;5.独立重复试验.选修ⅱ（24个）十二、概率与统计（6个）1.离散型随机变量的分布列;2.离散型随机变量的期望值和方差;3.抽样方法;4.总体分布的估量;5.正态分布;6.线性回来.十三、极限（6个）1.数学归纳法;2.数学归纳法应用举例;3.数列的极限;4.函数的极限;5.极限的四则运算;6.函数的连续性.十四、导数（8个）1.导数的概念;2.导数的几何意义;3.几种常见函数的导数;4.两个函数的和、差、积、商的导数；5.复合函数的导数;6.差不多导数公式;7.利用导数研究函数的单调性和极值; 8函数的最大值和最小值.十五、复数（4个）语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。